Разбиране на принципите на интеграция дискретна информацияс отделно възприемане на елементи от сложен обект е неотложен интердисциплинарен проблем. Статията разглежда процеса на изграждане на изображение на обект, който е комплекс от блокове, всеки от които съчетава набор от малки елементи. За обект на изследване беше избрана конфликтна ситуация, тъй като тя постоянно беше в полето на вниманието с постоянна стратегия за анализ на информацията. Обстоятелствата на ситуацията бяха компоненти на обекта и бяха възприемани отделно като прототипи на конфликта. Задачата на тази работа беше да изрази математически матрица, която отразява образа на проблемна поведенческа ситуация. Решението на проблема се основава на данни от визуален анализ на дизайна на графична композиция, чиито елементи съответстват на ситуационни обстоятелства. Размерът и графичните характеристики на избраните елементи, както и тяхното разпределение в композицията, послужиха като ориентир за идентифициране на редове и колони в матрицата на изображението. Проучването показа, че дизайнът на матрицата се определя, първо, от поведенческата мотивация, второ, от причинно-следствените връзки на ситуационните елементи и последователността на получаване на информация, а също и, трето, от подбора на парчета на информация в съответствие с техните тегловни параметри. Може да се предположи, че отбелязаните матрични векторни принципи за формиране на образ на поведенческа ситуация са характерни за конструирането на изображения и други обекти, към които е насочено вниманието.

визуализация

възприятие

дискретност на информацията

1. Анохин П.К. Есета по физиология на функционалните системи. – М.: Медицина, 1985. – 444 с.

2. Илин В. А., Позняк Е. Г. Линейна алгебра: учебник за ВУЗ. – 6-то изд. – М.: Физматлит, 2004. -280 с.

3. Лавров В.В. Мозък и психика. – Санкт Петербург: РГПУ, 1996. – 156 с.

4. Лавров В.В., Лаврова Н.М. Влиянието на агресията върху целостта, целостта, стойността и субективността на образа на конфликтна ситуация // Когнитивна психология: интердисциплинарни изследвания и интегративни практики. – Санкт Петербург: ВВМ, 2015. – С. 342-347.

5. Лавров В.В., Рудински А.В. Триада от стратегии за обработка на информация при разпознаване на непълни визуални образи // Фундаментални изследвания. – 2014 – № 6 (2). – с. 375-380.

6. Лаврова Н.М., Лавров В.В., Лавров Н.В. Медиация: вземане на отговорни решения. – М: ОППЛ, 2013. – 224 с.

7. Shelepin Yu.E., Chikhman V.N., Foreman N. Анализ на изследванията на възприятието на фрагментирани изображения - цялостно възприятие и възприятие въз основа на информативни характеристики // Руско физиологично списание. 2008. – Т. 94. № 7. – С. 758-776.

Резултатите от изследванията на възприемането на непълни изображения разшириха перспективата за изучаване на принципите, които определят интегрирането на дискретна информация и монтажа на пълни изображения. Анализът на характеристиките на разпознаване на фрагментирани изображения, когато се представят с променящ се брой фрагменти, позволи да се проследят три стратегии за изграждане на цялостно изображение в условията на дефицит на информация. Стратегиите се различават в оценката си за значимостта на наличната информация за формирането на последователен образ. С други думи, всяка стратегия се характеризира с манипулиране на тегловните параметри на наличните части от информацията. Първата стратегия предвижда еквивалентност на фрагменти от изображението - идентифицирането му се извършва след натрупване на информация до ниво, достатъчно за пълно разбиране на представения обект. Втората стратегия се основава на диференциран подход за оценка на тежестта на наличната информация. Оценката е дадена в съответствие с изложената хипотеза за същността на обекта. Третата стратегия се определя от мотивацията за максимално използване на наличната информация, на която се придава голяма тежест и се счита за знак или прототип на реален обект. Важен моментВ предишна работа разгледахме мозъчните механизми, които осигуряват промяна в стратегиите в зависимост от доминиращата емоция и поведенческа мотивация. Това се отнася до неспецифични мозъчни системи и хетерогенността на невронните модули, работещи под контрола на централния контрол. Извършените проучвания, както и известните от литературни източници, останаха отворен въпросза принципите на разпространение на информацията в цялостен образ. За да отговорите на въпроса, наблюдения върху формирането на образа на обекта, върху който дълго времевниманието е фокусирано и избраната стратегия за изграждане на образа остава непроменена. Конфликтна ситуация може да служи като такъв обект, тъй като тя постоянно е в полето на вниманието, като втората стратегия за анализ на обстоятелствата остава постоянна. Спорните страни отхвърлиха първата стратегия поради увеличаването на продължителността на конфликта и не приложиха третата стратегия, избягвайки грешни решения.

ЦелЦелта на тази работа беше да се изяснят принципите за изграждане на матрица на изображение въз основа на елементи от информация, получена чрез отделно възприятие на компонентите на сложен обект, към който беше насочено вниманието. Решихме следните проблеми: първо, избрахме обект, върху който вниманието беше фокусирано за дълго време, второ, използвахме метода за визуализация на изображението, за да проследим фрагментацията на информацията, получена по време на възприемането на обекта, и след това, трето, да се формулират принципите на интегралното разпределение на фрагментите в матрицата.

Материали и методи на изследване

Проблемна поведенческа ситуация служи като многокомпонентен обект, който е стабилен в полето на вниманието с непроменена стратегия за анализ на наличната информация. Проблемът е причинен от конфликт в отношенията между членове на семейството, както и служители на производството и образователни институции. Експериментите, в които се анализира образът на ситуацията, предхождат медиацията, насочена към разрешаване на противоречия между спорещите страни. Преди началото на преговорите по медиация представители на спорещите страни получиха предложение да участват като субекти в експерименти, използвайки техника, която улеснява анализа на ситуацията. Техниката на визуализация включваше изграждането на графична композиция, отразяваща конструкцията на изображението, възникнало по време на отделното възприемане на компонентите на сложен обект. Техниката служи като инструмент за изследване на процесите на формиране на цялостно изображение от набор от елементи, съответстващи на детайлите на обекта. Групата изследвани се състои от 19 жени и 8 мъже на възраст от 28 до 65 години. За да се получи едно цяло визуален образситуация, субектите бяха помолени да извършат следните действия: 1) възстановяват в паметта обстоятелствата на конфликтната ситуация - събития, взаимоотношения с хора, мотиви за собственото си поведение и тези около тях; 2) оценявайте обстоятелствата според тяхното значение за разбиране на същността на ситуацията; 3) разделете обстоятелствата на благоприятни и неблагоприятни за разрешаване на конфликта и се опитайте да проследите връзката им; 4) изберете по ваше мнение подходящ графичен елемент (кръг, квадрат, триъгълник, линия или точка) за всяко от обстоятелствата, характеризиращи ситуацията; 5) формирайте композиция от графични елементи, като вземете предвид значението и връзката на обстоятелствата, предадени от тези елементи, и начертайте получената композиция върху лист хартия. Анализирани са графичните композиции - оценени са подредеността и съотношението на размерите на елементите на изображението. Случайни, неподредени композиции бяха отхвърлени и субектите бяха помолени да преразгледат взаимовръзката на ситуационните обстоятелства. Резултатите от обобщения композиционен анализ послужиха като ръководство за формулиране на математическия израз на матрицата на изображението.

Резултати от изследването и дискусия

Всяка графична композиция, чрез която субектът представя изграждането на образа на поведенческа ситуация, е оригинална. Примери за композиции са илюстрирани на фигурата.

Графични композиции, отразяващи образи на проблемни поведенчески ситуации, в които се намират субектите (всеки елемент от композицията съответства на ситуационни обстоятелства)

Уникалността на композициите свидетелства за отговорния подход на субектите към анализа на ситуациите, като се вземат предвид техните отличителни черти. Броят на елементите в композицията и размерът на елементите, както и дизайнът на композицията отразяват оценката на комплекса от обстоятелства.

След като беше отбелязана оригиналността на композициите, изследването се насочи към идентифициране на основните характеристики на дизайна на изображението. В стремежа си да изградят цялостна композиция, отразяваща образа на ситуацията, субектите разпределят елементите в съответствие с индивидуалните си предпочитания, както и като вземат предвид причинно-следствените връзки на обстоятелствата и комбинацията от обстоятелства във времето. Седем субекта предпочетоха да монтират композицията под формата на рисунка, чиято конструкция се определяше от предварително начертан фигуративен план. На фиг. 1 (a, b, d) дава примери за такива състави. Преди съставянето на композицията двама субекти съзнателно избират идеята, която е в основата на плана, а пет интуитивно, без да дават логично обяснение защо са се спрели на избрания вариант. Останалите двадесет субекта създадоха схематична композиция, като обърнаха внимание само на причинно-следствените връзки на обстоятелствата и комбинацията от обстоятелства във времето (фиг. 1, c, e, f). В композицията са обединени свързани и случайни обстоятелства. Експериментите не интерпретират същността на конфликта, използвайки данни за графична композиция. Това тълкуване впоследствие се извършва в рамките на медиацията, когато се определя готовността на страните за преговори.

Анализът на композициите позволи да се проследи не само разликата, но и универсалността на принципите за формиране на образа на ситуацията. Първо, композициите се състоят от графични елементи, всеки от които отразява обстоятелства, които имат общо. Обобщението на обстоятелствата се дължи на причинно-следствени и времеви връзки. Второ, обстоятелствата са с различно значение за разбиране на същността на проблемната ситуация. Тоест обстоятелствата се различават по параметрите на теглото. Бяха изобразени изключително значими обстоятелства графични елементив увеличен размер в сравнение с по-малко значимите. Отбелязаните характеристики на изображението са взети предвид при съставянето на матрицата на изображението. Това означава, че размерът и графичните характеристики на избраните елементи, както и тяхното пространствено положение в графичната композиция, са служили като ориентир за изграждане на информационна матрица, която отразява образа на ситуацията и е нейната математически модел. Правоъгълна матрица, представена като таблица, е разделена на редове и колони. Във връзка с образа на формираната проблемна ситуация в матрицата бяха идентифицирани редове, които съдържаха претеглени елементи на прототипите, обединени от причинно-следствени и времеви връзки, и колони, съдържащи елементарни данни, които се различаваха по тегловни параметри.

(1)

Всяка отделна линия отразява формирането на част от изображението или, с други думи, прототип на обекта. Колкото повече линии и колкото по-голямо е m, толкова по-цялостно се възприема обектът, тъй като структурните и функционални свойства, които са служили като негови прототипи, са взети под внимание по-пълно. Броят на колоните n се определя от броя на детайлите, отбелязани при конструирането на прототипа. Може да се предположи, че колкото повече информационни фрагменти с голямо и ниско тегло са натрупани, толкова по-пълно прототипът отговаря на реалността. Матрицата (1) се характеризира с динамичност, тъй като размерът й се променя в съответствие с пълнотата на образа на възприемания обект.

Тук е уместно да се отбележи, че пълнотата не е единственият показател за качество на изображението. Изображенията, представени върху платната на художниците, често отстъпват на снимките по детайлност и съответствие с реалността, но в същото време могат да превъзхождат в асоциация с други изображения, в стимулиране на въображението и в провокиране на емоции. Направената забележка помага да се разбере значението на параметрите amn, показващи тежестта на информационните фрагменти. Наддаването на тегло компенсира липсата на налични данни. Както показа проучване на стратегиите за преодоляване на несигурността, признаването на високата значимост на наличната информация ускорява вземането на решения в проблемна ситуация.

И така, процесът на формиране на цялостно изображение може да бъде интерпретиран, ако го съпоставим с манипулирането на информацията в матрицата. Манипулацията се изразява в доброволна или неволна (съзнателна, целенасочена или интуитивно несъзнателна) промяна в параметрите на теглото на информационните фрагменти, тоест промяна в стойността на amn. В този случай стойността bm, която характеризира значимостта на прототипа, се увеличава или намалява, като в същото време се променя полученото изображение br. Ако се обърнете към матричен моделформиране на изображение, покриващо набор от данни относно обект, тогава организацията на изображението е описана по следния начин. Нека означим вектора от прообрази, съдържащи m компоненти с

където T е знакът за транспониране и всеки елемент от вектора на предварителното изображение има формата:

Тогава изборът на полученото изображение може да се извърши съгласно правилото на Лаплас:

където br е крайният резултат от формирането на солидно изображение, което има стойностите bm като негови компоненти, amn е набор от стойности, които определят параметрите на позицията и теглото на променливата в линията, съответстваща на предварителното изображение . В условия на ограничена информация, крайният резултат може да бъде увеличен чрез увеличаване на теглата на наличните данни.

В края на обсъждането на представения материал относно принципите на формиране на образа се обръща внимание на необходимостта от уточняване на термина „имидж“, тъй като в литературата няма общоприето тълкуване. Терминът, на първо място, означава формирането на цялостна система от информационни фрагменти, които съответстват на детайлите на обекта в полето на вниманието. Освен това големи детайли на обекта се отразяват от подсистеми от информационни фрагменти, които съставляват прототипите. Обектът може да бъде предмет, явление, процес, както и поведенческа ситуация. Формирането на образ се осигурява от асоциации на получената информация и тази, която се съдържа в паметта и е свързана с възприемания обект. Консолидирането на информационни фрагменти и асоциации при създаване на изображение се осъществява в рамките на матрица, чийто дизайн и вектор се избират съзнателно или интуитивно. Изборът зависи от предпочитанията, зададени от мотивите на поведение. Тук специално внимание се обръща на основния момент - дискретността на информацията, използвана за редактиране цяла матрицаизображение. Целостта, както е показано, се осигурява от неспецифични мозъчни системи, които контролират процесите на анализ на получената информация и нейното интегриране в паметта. Целостта може да възникне при минимални стойности на n и m, равни на едно. Изображението придобива висока стойност поради увеличаване на тегловните параметри на наличната информация, а пълнотата на изображението се увеличава с увеличаване на стойностите на n и m (1).

Заключение

Визуализацията на елементите на изображението позволи да се проследят принципите на неговия дизайн в условията на отделно възприемане на обстоятелствата на проблемна поведенческа ситуация. В резултат на извършената работа беше показано, че изграждането на пълно изображение може да се разглежда като разпределение на информационни фрагменти в структурата на матрицата. Неговият дизайн и вектор се определят, първо, от поведенческата мотивация, второ, от причинно-следствените връзки на обстоятелствата и времевата последователност на получаване на информация, и трето, от подбора на парчета информация в съответствие с техните тегловни параметри. Целостта на матрицата на изображението се осигурява от интегрирането на дискретна информация, отразяваща възприемания обект. Неспецифичните мозъчни системи съставляват механизма, отговорен за интегрирането на информация в кохерентен образ. Изясняването на матричните принципи на формиране на образа на сложен обект разширява перспективата за разбиране на природата не само на целостта, но и на други свойства на изображението. Това се отнася до целостта и безопасността на фигуративната система, както и до стойността и субективността, причинени от липсата пълна информацияспрямо обекта.

Библиографска връзка

Промяна на координатите на вектора и матрицата на оператора при преминаване към нова основа

Нека линеен оператор действа от пространството в себе си и нека две бази са избрани в линейното пространство: и Нека разложим „новите“ базисни вектори в линейни комбинации от „старите“ базисни вектори:

Матрицата, която стои тук Тази колона, която е координатната колона на тия базисен вектор в „старата“ база, се нарича матрица на прехода от „старата“ база към „новата““. Ако сега координатите на вектора са в „стария“ базис и координатите на същия вектор са в „новия“ базис, тогава равенството е в сила

Тъй като разширението в основата е уникално, следва, че

Беше получен следният резултат.

Теорема 1.Координатите на вектор в базиса и координатите на същия вектор в базиса са свързани с отношения (2), където е матрицата на прехода от „стария” базис към „новия”.

Нека сега да видим как матриците и един и същи оператор са свързани помежду си в различни бази и пространства Матрица и се определят от равенствата Нека Това равенство в основата е еквивалентно на матричното равенство

и в основата към матрично равенство (тук се използват същите обозначения като в (1)). Използвайки теорема (1), ще имаме

тъй като колоната е произволна, получаваме равенството

Доказан е следният резултат.

Теорема 2.Ако матрицата на даден оператор е в базиса и матрицата на същия оператор е в базисатова

Бележка 1.Две произволни матрици и свързани с релацията където е някаква неособена матрица се наричат ​​подобни матрици.По този начин две матрици на един и същи оператор в различни бази са подобни.

Пример 1.Операторната матрица в основата има формата

Намерете матрицата на този оператор в базиса Изчислете координатите на вектора в базиса

Решение.Преходната матрица от старата база към новата и нейната обратна матрица имат формата

следователно, съгласно теорема 2, матрицата на оператора и новия базис ще бъде както следва:

Бележка 2.Можем да обобщим този резултат за оператори, действащи от едно линейно пространство в друго. Нека един оператор действа от едно линейно пространство в друго линейно пространство и нека в пространството са избрани две бази: и и в пространството – две бази и Тогава можем да конструираме две матрици и линейния оператор

и две матрици и преходи от „стари“ бази към „нови“:

Лесно е да се покаже, че в този случай равенството е в сила

Нека е даден линеен оператор, който действа от линейно пространство към линейно пространство, които са полезни при решаването линейни уравнения.

Определение 1. Операторско ядронаречен набор

Изображение на операторанаречен набор

Не е трудно да се докаже следното твърдение.

Теорема 3.Ядрото и образът на линеен оператор са линейни подпространства на пространствата и, съответно, и е изпълнено равенството

За да се изчисли ядрото на оператора, е необходимо да се напише уравнението в матрична форма (като се изберат бази в интервалите и съответно) и да се реши съответната алгебрична система от уравнения. Нека сега обясним как може да се изчисли изображението на оператор.

Нека матрицата на оператора в основите и Нека означим с th колона на матрицата Принадлежността на вектор към изображение означава, че има такива числа, че векторната колона е представена като т.е. е елемент от пространството на линейните комбинации от матрични колони. След като изберем база в това пространство (например максималния набор от линейно независими матрични колони), първо изчисляваме изображението. матричен оператор: и след това изградете изображението на оператора:

Нека дадем пример за изчисляване на ядрото и образа на оператор, действащ от пространството в себе си. В този случай основите съвпадат.

Пример 2.Намерете матрицата, ядрото и изображението на проекционния оператор върху равнината (триизмерно пространство от геометрични вектори).

Решение.Нека изберем някакъв базис в пространството (например стандартен базис). В този базис матрицата на проекционния оператор се намира от равенството Да намерим изображенията на базисните вектори. Тъй като равнината минава през оста тогава

по този начин

Това означава, че операторната матрица има формата

Ядрото на матричния оператор се изчислява от уравнението

по този начин

(произволна константа).

Изображението на матричния оператор се обхваща от всички линейно независими колони на матрицата, т.е.

(произволни константи).

IN векторно пространство V над произволно поле П настроен на линеен оператор .

Определение 9.8. Ядролинеен оператор  е множеството от вектори в пространството V, чийто образ е нулевият вектор. Прието нотация за този набор: Кер, т.е.

Кер = {х | (X) = о}.

Теорема 9.7.Ядрото на линейния оператор е подпространство на пространството V.

Определение 9.9.Измерение извиква се ядрото на линеен оператор дефектлинеен оператор. дим Кер = d.

Определение 9.10.По начинлинеен оператор  е множеството от изображения космически вектори V. Нотация за този набор Im, т.е. Im = {(X) | X V}.

Теорема 9.8.Изображение линейният оператор е подпространство на пространството V.

Определение 9.11.Измерение образът на линеен оператор се нарича ранглинеен оператор. дим Im = r.

Теорема 9.9.пространство Vе директната сума на ядрото и образа на посочения в него линеен оператор. Сумата от ранга и дефекта на линеен оператор е равна на размерността на пространството V.

Пример 9.3. 1) В космоса Р[х] ( 3) намерете ранг и дефект оператор диференциация. Нека намерим онези полиноми, чиято производна е равна на нула. Следователно това са полиноми от нулева степен Кер = {f | f = c) И d= 1. Производните на полиноми, чиято степен не надвишава три, образуват набор от полиноми, чиято степен не надвишава две, следователно, Im =Р[х] ( 2) и r = 3.

2) Ако е линейно операторът е даден от матрица М(), тогава за да се намери нейното ядро, трябва да се реши уравнение ( X) = О, което в матрична форма изглежда така: М()[х] = [О]. от От това следва, че основата на ядрото на линеен оператор е фундаменталното множество от решения на хомогенна система от линейни уравнения с основната матрица М(). Система от генератори на образа на линеен оператор съставят векторите ( д 1), (д 2), …, (д п). Базата на тази система от вектори дава основата на образа на линейния оператор.

9.6. Обратими линейни оператори

Определение9.12. Линеен извиква се оператор  обратими, ако съществува линеен оператор ψ такива какво се прави равенство ψ = ψ = , където  е операторът за идентичност.

Теорема 9.10.Ако е линейно оператор  обратимо, това оператор ψ се определя еднозначно и се нарича обратен За оператор .

В този случай операторът, обратен на оператора , означено с  –1.

Теорема 9.11.Линеен оператор  е обратимо тогава и само тогава, когато неговата матрица е обратима М(), докато М( –1) = (М()) –1 .

От тази теорема следва, че рангът на един обратим линеен оператор е равен на размери пространство, а дефектът е нула.

Пример 9.4 1) Определете дали линейната е обратима оператор , ако ( х) = (2X 1 – X 2 , –4X 1 + 2X 2).

Решение. Нека създадем матрица за този линеен оператор: М() = . защото
= 0 след това матрицата М() е необратимо, което означава, че е необратимо и линейно оператор .

2) Намерете линеен оператор, назад оператор , ако (х) = (2X 1 + X 2 , 3X 1 + 2X 2).

Решение.Матрицата на тази линейна оператор равен на М() =
, е обратимо, тъй като | М()| ≠ 0. (М()) –1 =
, следователно  –1 = (2X 1 – X 2 , –3X 1 + 2X 2).

Определение 1.Образът на линеен оператор A е множеството от всички елементи, представими във формата , където .

Образът на линейния оператор A е линейно подпространство на пространството. Измерението му се нарича операторски рангА.

Определение 2.Ядрото на линеен оператор A е множеството от всички вектори, за които .

Ядрото е линейно подпространство на пространството X. Неговото измерение се нарича дефект на оператораА.

Ако операторът A действа в -мерното пространство X, тогава е валидно следното отношение + =.

Извиква се оператор А неизродени, ако ядрото му . Рангът на неизроден оператор е равен на размерността на пространството X.

Нека е матрицата на линейното преобразуване A на пространството X в някакъв базис, тогава координатите на изображението и обратното изображение са свързани с отношението

Следователно координатите на всеки вектор удовлетворяват системата от уравнения

От това следва, че ядрото на линейния оператор е линейна обвивка на фундаменталната система от решения на дадена система.

Задачи

1. Докажете, че рангът на оператор е равен на ранга на неговата матрица в произволен базис.

Изчислете ядрата на линейните оператори, дефинирани в определен базис на пространство X чрез следните матрици:

5. Докажете, че .

Изчислете ранга и дефекта на операторите, дадени от следните матрици:

6. . 7. . 8. .

3. Собствени вектори и собствени стойности на линейния оператор

Нека разгледаме линеен оператор A, действащ в -мерното пространство X.

Определение.Числото l се нарича собствена стойност на оператора A if , така че . В този случай векторът се нарича собствен вектор на оператор A.

Най-важното свойство на собствените вектори на линеен оператор е, че собствените вектори, съответстващи на различни по двойки собствени стойности линейно независими.

Ако е матрицата на линейния оператор A в основата на пространството X, тогава собствените стойности l и собствените вектори на оператора A се определят, както следва:

1. Собствените стойности се намират като корените на характеристичното уравнение (алгебрично уравнение от степен):

2. Координатите на всички линейно независими собствени вектори, съответстващи на всяка отделна собствена стойност, се получават чрез решаване на система от хомогенни линейни уравнения:

чиято матрица има ранг . Фундаменталните решения на тази система са вектори колони на координатите на собствените вектори.

Корените на характеристичното уравнение се наричат ​​също собствени стойности на матрицата, а решенията на системата се наричат ​​собствени вектори на матрицата.

Пример.Намерете собствените вектори и собствените стойности на оператора A, определени в определена база от матрицата

1. За да определим собствените стойности, съставяме и решаваме характеристичното уравнение:

Оттук и собствената стойност, нейната множественост.

2. За да определим собствените вектори, съставяме и решаваме система от уравнения:

Еквивалентната система от основни уравнения има формата

Следователно всеки собствен вектор е вектор-колона, където c е произволна константа.

3.1. Оператор за проста структура.

Определение.Линеен оператор A, работещ в n-мерно пространство, се нарича оператор с проста структура, ако съответства на точно n линейно независими собствени вектора. В този случай е възможно да се конструира пространствен базис от собствените вектори на оператора, в който операторната матрица има най-простата диагонална форма

където са собствените стойности на оператора. Очевидно е вярно и обратното: ако в някакъв базис на пространството X матрицата на оператора има диагонална форма, то базисът се състои от собствените вектори на оператора.

Линеен оператор A е оператор с проста структура тогава и само ако всяка собствена стойност на множественост съответства на точно линейно независими собствени вектори. Тъй като собствените вектори са решения на система от уравнения, следователно всеки корен на характеристичното уравнение на множествеността трябва да съответства на рангова матрица.

Всяка матрица с размер, съответстващ на прост структурен оператор, е подобна на диагонална матрица

където матрицата на прехода T от първоначалната база към основата на собствените вектори има като свои колони векторите колони от координатите на собствените вектори на матрицата (оператор A).

Пример.Редуцирайте матрицата на линейния оператор до диагонална форма

Нека съставим характеристично уравнение и да намерим неговите корени.

Откъде идват собствените стойности на множеството и множеството?

Първа собствена стойност. Съответства на собствени вектори, чиито координати са

системно решение

Рангът на тази система е 3, така че има само едно независимо решение, например векторът.

Собствените вектори, съответстващи на се определят от системата от уравнения

чийто ранг е 1 и следователно има три линейно независими решения, например,

По този начин всяка собствена стойност на кратност съответства на точно линейно независими собствени вектори и следователно операторът е оператор с проста структура. Преходната матрица T има формата

а връзката между подобни матрици се определя от релацията

Задачи

Намерете собствени вектори и собствени стойности

линейни оператори, дефинирани в определен базис чрез матрици:

Определете кой от следните линейни оператори може да бъде редуциран до диагонална форма чрез преминаване към нов базис. Намерете тази основа и съответната й матрица:

10. Докажете, че собствените вектори на линеен оператор, съответстващи на различни собствени стойности, са линейно независими.

11. Докажете, че ако линеен оператор A, действащ на има n различни стойности, тогава всеки линеен оператор B, комутиращ с A, има база от собствени вектори и всеки собствен вектор на A ще бъде собствен вектор и на B.

ИНВАРИАНТНИ ПОДПРОСТРАНСТВА

Определение 1.. Казва се, че подпространство L на линейно пространство X е инвариантно спрямо оператора A, действащ в X, ако за всеки вектор неговият образ също принадлежи на .

Основните свойства на инвариантните подпространства се определят от следните отношения:

1. Ако и са инвариантни подпространства по отношение на оператора A, тогава тяхната сума и пресечната точка също са инвариантни по отношение на оператора A.

2. Ако пространството X е разложено на пряка сума от подпространства и () и е инвариантно по отношение на A, тогава матрицата на оператора в базиса, който е обединение на бази, е блокова матрица

къде - квадратни матрици, 0 – нулева матрица.

3. Във всяко подпространство, инвариантно по отношение на оператора A, операторът има поне един собствен вектор.

Пример 1.Нека разгледаме ядрото на някой оператор A, действащ в X. По дефиниция. Нека . Тогава , тъй като нулевият вектор се съдържа във всяко линейно подпространство. Следователно ядрото е подпространство, инвариантно под A.

Пример 2.Нека в някакъв базис на пространството X операторът A е даден от матрица, дефинирана от уравнението и

5. Докажете, че всяко подпространство, което е инвариантно спрямо неизроден оператор A, ще бъде инвариантно и спрямо обратния оператор.

6. Нека линейна трансформация на A -мерно пространство има в основата си диагонална матрица с различни елементи по диагонала. Намерете всички подпространства, инвариантни спрямо A, и определете броя им.