Помислете за функция на две променливи:

Тъй като променливите $x$ и $y$ са независими, за такава функция можем да въведем концепцията за частична производна:

Частната производна на функцията $f$ в точка $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ по отношение на променливата $x$ е границата

\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Делта x;((y)_(0)) \right))(\Делта x)\]

По същия начин можете да дефинирате частичната производна по отношение на променливата $y$:

\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Delta y \right))(\Delta y)\]

С други думи, за да намерите частичната производна на функция от няколко променливи, трябва да фиксирате всички други променливи с изключение на желаната и след това да намерите обикновената производна по отношение на тази желана променлива.

Това води до основната техника за изчисляване на такива производни: просто приемете, че всички променливи с изключение на тази са константа и след това диференцирайте функцията, както бихте диференцирали „обикновена“ – с една променлива. Например:

$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2 )) \right))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ просто ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\край (подравняване)$

Очевидно частните производни по отношение на различни променливи дават различни отговори - това е нормално. Много по-важно е да разберем защо, да речем, в първия случай ние спокойно премахнахме $10y$ под знака за производна, а във втория случай напълно занулихме първия член. Всичко това се дължи на факта, че всички букви, с изключение на променливата, чрез която се извършва диференциацията, се считат за константи: те могат да бъдат извадени, „изгорени“ и т.н.

Какво е "частична производна"?

Днес ще говорим за функции на няколко променливи и частни производни от тях. Първо, какво е функция на няколко променливи? Досега сме свикнали да разглеждаме функция като $y\left(x \right)$ или $t\left(x \right)$, или всяка променлива и една единствена функция от нея. Сега ще имаме една функция, но няколко променливи. Тъй като $y$ и $x$ се променят, стойността на функцията ще се променя. Например, ако $x$ се удвои, стойността на функцията ще се промени, а ако $x$ се промени, но $y$ не се промени, стойността на функцията ще се промени по същия начин.

Разбира се, функция на няколко променливи, точно както функция на една променлива, може да бъде диференцирана. Въпреки това, тъй като има няколко променливи, е възможно да се направи разграничение според различните променливи. В този случай възникват специфични правила, които не съществуват при диференцирането на една променлива.

Първо, когато изчисляваме производната на функция от която и да е променлива, от нас се изисква да посочим за коя променлива изчисляваме производната - това се нарича частична производна. Например, имаме функция на две променливи и можем да я изчислим както в $x$, така и в $y$ - две частични производни на всяка променлива.

Второ, щом фиксираме една от променливите и започнем да изчисляваме частната производна по отношение на нея, всички останали, включени в тази функция, се считат за константи. Например, в $z\left(xy \right)$, ако разгледаме частичната производна по отношение на $x$, тогава където и да срещнем $y$, ние го считаме за константа и я третираме като такава. По-специално, когато изчисляваме производната на продукт, можем да извадим $y$ извън скоби (имаме константа), а когато изчисляваме производната на сума, ако някъде получим производна на израз, съдържащ $y$ и не съдържа $x$, тогава производната на този израз ще бъде равна на „нула“ като производна на константа.

На пръв поглед може да изглежда, че говоря за нещо сложно и много ученици в началото са объркани. Но в частичните производни няма нищо свръхестествено и сега ще видим това, използвайки примера на конкретни задачи.

Задачи с радикали и полиноми

Задача No1

За да не губим време, нека започнем от самото начало със сериозни примери.

Като начало нека ви напомня за тази формула:

Това е стандартната стойност на таблицата, която знаем от стандартния курс.

В този случай производната $z$ се изчислява, както следва:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)\]

Нека го направим отново, тъй като коренът не е $x$, а някакъв друг израз, в този случай $\frac(y)(x)$, тогава първо ще използваме стандартната стойност на таблицата и след това, тъй като коренът е не $x $, а друг израз, трябва да умножим нашата производна по друга от този израз по отношение на същата променлива. Нека първо изчислим следното:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((y)"))_(x))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot x-y\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]

Връщаме се към нашия израз и пишем:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)\]

По принцип това е всичко. Въпреки това е погрешно да го оставим в тази форма: такава конструкция е неудобна за използване за по-нататъшни изчисления, така че нека я трансформираме малко:

\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]

\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]

Отговорът е намерен. Сега нека се заемем с $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)\]

Нека го запишем отделно:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((y)"))_(y))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot x-y\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]

Сега записваме:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]

\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]

Всичко е направено.

Проблем No2

Този пример е едновременно по-прост и по-сложен от предишния. По-сложно е, защото има повече действия, но е по-просто, защото няма корен и освен това функцията е симетрична спрямо $x$ и $y$, т.е. ако разменим $x$ и $y$, формулата няма да се промени. Тази забележка допълнително ще опрости нашето изчисление на частната производна, т.е. достатъчно е да преброите един от тях, а във втория просто да размените $x$ и $y$.

Да се ​​заемем с работата:

\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy)(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \right ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \right)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ) )_(x))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]

Нека преброим:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]

Много студенти обаче не разбират това обозначение, така че нека го напишем така:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]

Така още веднъж се убеждаваме в универсалността на алгоритъма за частични производни: както и да ги изчисляваме, ако всички правила се прилагат правилно, отговорът ще бъде същият.

Сега нека разгледаме още една частична производна от нашата голяма формула:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=((\left((( x)^(2)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \right))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]

Нека заместим получените изрази в нашата формула и ще получим:

\[\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ дясно)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x))(((\left (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\]

\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right)-xy\cdot 2x)(((\left((( x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\]

\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \right))(((\ ляво(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \дясно))^(2)))=\frac(y\ляво(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \right))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2 )))\]

Въз основа на преброени $x$. И за да изчислим $y$ от същия израз, нека не изпълняваме същата последователност от действия, а да се възползваме от симетрията на нашия оригинален израз - ние просто заместваме всички $y$ в нашия оригинален израз с $x$ и обратно:

\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \right))((( \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]

Поради симетрията изчислихме този израз много по-бързо.

Нюанси на решението

За частичните производни работят всички стандартни формули, които използваме за обикновените, а именно производната на частното. В същото време обаче възникват специфични особености: ако разглеждаме частната производна на $x$, тогава когато я получим от $x$, ние я разглеждаме като константа и следователно нейната производна ще бъде равна на „нула“ .

Както в случая с обикновените производни, частичният (същият) може да се изчисли по няколко по различни начини. Например, същата конструкция, която току-що изчислихме, може да бъде пренаписана както следва:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]

В същото време, от друга страна, можете да използвате формулата от производната сума. Както знаем, тя е равна на сбора от производните. Например, нека напишем следното:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]

Сега, знаейки всичко това, нека се опитаме да работим с по-сериозни изрази, тъй като реалните частни производни не се ограничават само до полиноми и корени: има и тригонометрия, и логаритми, и експоненциална функция. Сега нека направим това.

Задачи с тригонометрични функции и логаритми

Задача No1

Нека напишем следните стандартни формули:

\[((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]

\[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]

Въоръжени с тези знания, нека се опитаме да решим:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Нека напишем една променлива отделно:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y)\right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Да се ​​върнем към нашия дизайн:

\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Това е всичко, намерихме го за $x$, сега нека направим изчисленията за $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Отново, нека изчислим един израз:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \right)\]

Връщаме се към първоначалния израз и продължаваме решението:

\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Всичко е направено.

Проблем No2

Нека запишем формулата, от която се нуждаем:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]

Сега нека броим с $x$:

\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\]

Намерено за $x$. Ние броим по $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \right))\ ]

Проблемът е решен.

Нюанси на решението

Така че, независимо от каква функция вземаме частичната производна, правилата остават същите, независимо дали работим с тригонометрия, с корени или с логаритми.

Класическите правила за работа със стандартни производни остават непроменени, а именно производната на сбор и разлика, частно и комплексна функция.

Последната формула най-често се среща при решаване на задачи с частни производни. Срещаме ги почти навсякъде. Никога не е имало нито една задача, в която да не сме я срещали. Но без значение каква формула използваме, все пак имаме добавено още едно изискване, а именно особеността на работата с частични производни. Щом фиксираме една променлива, всички останали се оказват константи. По-специално, ако разгледаме частичната производна на израза $\cos \frac(x)(y)$ по отношение на $y$, тогава $y$ е променливата и $x$ остава константа навсякъде. Същото работи и обратното. Тя може да бъде извадена от знака на производната, а производната на самата константа ще бъде равна на „нула“.

Всичко това води до факта, че частичните производни на един и същи израз, но по отношение на различни променливи, могат да изглеждат напълно различно. Например, нека разгледаме следните изрази:

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]

Задачи с експоненциални функции и логаритми

Задача No1

Като начало нека напишем следната формула:

\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]

Знаейки този факт, както и производната на сложна функция, нека се опитаме да изчислим. Сега ще го реша по два различни начина. Първият и най-очевиден е производното на продукта:

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Нека решим отделно следния израз:

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot y-x .((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot y-x\cdot 0)(((y)^(2))) =\frac(y)(((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]

Връщаме се към нашия оригинален дизайн и продължаваме с решението:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left(1 +\frac(1)(y)\right)\]

Всичко, $x$ се изчислява.

Обаче, както обещах, сега ще се опитаме да изчислим същата частна производна по различен начин. За да направите това, имайте предвид следното:

\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]

Нека го напишем така:

\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y) )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \right)\]

В резултат на това получихме абсолютно същия отговор, но количеството изчисления се оказа по-малко. За да направите това, беше достатъчно да се отбележи, че при изпълнение на продукта могат да се добавят индикатори.

Сега нека броим по $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(y)=\]

\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Нека решим един израз отделно:

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot y-x \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)(((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]

Нека продължим да решаваме нашата първоначална конструкция:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]

Разбира се, същата тази производна може да се изчисли по втория начин и отговорът ще бъде същият.

Проблем No2

Нека броим по $x$:

\[(((z)")_(x))=((\left(x \right))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \right )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Нека изчислим един израз отделно:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)((( x)^(2))+y)\]

Нека продължим с решаването на оригиналната конструкция: $$

Това е отговорът.

Остава да намерим по аналогия с $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(x \right))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \right)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Както винаги, изчисляваме един израз отделно:

\[((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \right) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]

Продължаваме да решаваме основния дизайн:

Всичко е изчислено. Както можете да видите, в зависимост от това коя променлива се взема за диференциране, отговорите са напълно различни.

Нюанси на решението

Ето един поразителен пример за това как производната на една и съща функция може да се изчисли по два различни начина. Вижте тук:

\[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right)=( (\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\ ляво(1+\frac(1)(y) \дясно)\]

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \right)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \right)\ ]

При избора на различни пътища количеството изчисления може да е различно, но отговорът, ако всичко е направено правилно, ще бъде същият. Това се отнася както за класическите, така и за частичните производни. В същото време напомням още веднъж: в зависимост от това коя променлива се взема производната, т.е. диференциация, отговорът може да се окаже съвсем различен. Вижте:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 2x\]

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 1\]

В заключение, за да консолидираме целия този материал, нека се опитаме да изчислим още два примера.

Задачи с тригонометрични функции и функции с три променливи

Задача No1

Нека запишем следните формули:

\[((\left(((a)^(x)) \right))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]

\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))=((e)^(x))\]

Нека сега решим нашия израз:

\[(((z)")_(x))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(x)=((3 )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]

Нека изчислим отделно следната конструкция:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ ляво(\sin y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]

Продължаваме да решаваме оригиналния израз:

\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]

Това е крайният отговор на частната променлива на $x$. Сега нека броим по $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(y)=((3 )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]

Нека решим един израз отделно:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ ляво(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]

Нека решим нашата конструкция до края:

\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]

Проблем No2

На пръв поглед този пример може да изглежда доста сложен, защото има три променливи. Всъщност това е една от най-лесните задачи в днешния видео урок.

Намерете по $x$:

\[(((t)")_(x))=((\left(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \right))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e) ^(z)) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y) )) \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]

Сега нека се заемем с $y$:

\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \right))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot ((e)^(z)) \right))^(\prime ))_(y)=\]

\[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\left (y \right))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]

Намерихме отговора.

Сега всичко, което остава, е да намерим по $z$:

\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e) )^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \right))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]

Изчислихме третата производна, което завършва решението на втората задача.

Нюанси на решението

Както можете да видите, в тези два примера няма нищо сложно. Единственото, в което сме убедени е, че производната на сложна функция се използва често и в зависимост от това коя частна производна изчисляваме, получаваме различни отговори.

В последната задача бяхме помолени да се справим с функция на три променливи наведнъж. В това няма нищо лошо, но накрая се убедихме, че всички те са значително различни един от друг.

Ключови моменти

Последните изводи от днешния видео урок са следните:

1. Частичните производни се разглеждат по същия начин като обикновените, но за да се изчисли частната производна по отношение на една променлива, всички останали променливи, включени в тази функция, приемаме ги за константи.
2. Когато работим с частни производни, ние използваме същите стандартни формули като с обикновените производни: сума, разлика, производна на произведението и частното и, разбира се, производна на сложна функция.

Разбира се, самото гледане на този видео урок не е достатъчно, за да разберете напълно тази тема, така че в момента на моя уебсайт има набор от задачи за това видео, специално посветено на днешната тема - влезте, изтеглете, решете тези задачи и проверете отговора . И след това няма да имате проблеми с частни производни нито на изпити, нито на самостоятелна работа. Разбира се, това не е последният урок по висша математика, така че посетете нашия уебсайт, добавете VKontakte, абонирайте се за YouTube, харесайте и останете с нас!

Частичните производни се използват в задачи, включващи функции на няколко променливи. Правилата за намиране са абсолютно същите като за функциите на една променлива, с единствената разлика, че една от променливите трябва да се счита за константа (постоянно число) в момента на диференциране.

Формула

Частичните производни за функция на две променливи $ z(x,y) $ се записват в следната форма $ z"_x, z"_y $ и се намират с помощта на формулите:

Частични производни от първи ред

$$ z"_x = \frac(\partial z)(\partial x) $$

$$ z"_y = \frac(\partial z)(\partial y) $$

Частични производни от втори ред

$$ z""_(xx) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial y) $$

Смесен дериват

$$ z""_(xy) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial x) $$

Частична производна на сложна функция

а) Нека $ z (t) = f(x(t), y(t)) $, тогава производната на сложна функция се определя от формулата:

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\partial z)(\partial y) \cdot \frac (dy)(dt)$$

б) Нека $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, тогава частните производни на функцията се намират по формулата:

$$ \frac(\partial z)(\partial u) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial u) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial u) $$

$$ \frac(\partial z)(\partial v) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial v) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial v) $$

Частични производни на неявна функция

а) Нека $ F(x,y(x)) = 0 $, тогава $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$

b) Нека $ F(x,y,z)=0 $, тогава $$ z"_x = - \frac(F"_x)(F"_z); z"_y = - \frac(F"_y)( F"_z) $$

Примери за решения

Дадено е доказателство на формулата за производна на комплексна функция. Подробно са разгледани случаите, когато сложна функция зависи от една или две променливи. Направено е обобщение за случай на произволен брой променливи. Съдържание Вижте също: Примери за използване на формулата за производна на сложна функция Основни формули Тук предоставяме извеждането на следните формули за производната на сложна функция. Ако, тогава . Ако, тогава . Ако, тогава . Производна на сложна функция от една променлива Нека функция на променлива x бъде представена като сложна функция в следната форма: , където има някои функции. Функцията е диференцируема за някаква стойност на променливата x. Функцията е диференцируема по стойността на променливата. (1) . Тогава комплексната (съставната) функция е диференцируема в точка x и нейната производна се определя по формулата: ; . Формула (1) може да бъде записана и по следния начин: Доказателство ; . Нека въведем следната нотация. Тук има функция на променливите и , има функция на променливите и . ; . Но ще пропуснем аргументите на тези функции, за да не затрупваме изчисленията. . Тъй като функциите и са диференцируеми в точки x и съответно, тогава в тези точки има производни на тези функции, които са следните граници: . Помислете за следната функция: . Тъй като функцията е диференцируема функция в точката, тя е непрекъсната в тази точка. Ето защо . Помислете за следната функция: . Сега намираме производната. . Формулата е доказана. Последица Ако функция на променлива x може да бъде представена като сложна функция на сложна функция , тогава неговата производна се определя от формулата . Тук и има някои диференцируеми функции. За да докажем тази формула, ние последователно изчисляваме производната, използвайки правилото за диференциране на сложна функция. Разгледайте сложната функция . Негова производна . Помислете за оригиналната функция . Негова производна . Производна на сложна функция от две променливи Сега нека сложната функция зависи от няколко променливи. Първо нека да разгледаме случай на сложна функция на две променливи. Нека функция, зависеща от променливата x, бъде представена като сложна функция на две променливи в следната форма: , Къде и има диференцируеми функции за някаква стойност на променливата x; - функция на две променливи, диференцируема в точка , . (2) . Формула (1) може да бъде записана и по следния начин: Тогава комплексната функция е дефинирана в определена околност на точката и има производна, която се определя по формулата: ; . Тъй като функциите и са диференцируеми в точката, те са дефинирани в определена околност на тази точка, непрекъснати са в точката и техните производни съществуват в точката, които са следните граници: ; . тук ; . Поради непрекъснатостта на тези функции в даден момент имаме: (3) . Тъй като функциите и са диференцируеми в точката, те са дефинирани в определена околност на тази точка, непрекъснати са в точката и техните производни съществуват в точката, които са следните граници: Тъй като функцията е диференцируема в точката, тя е дефинирана в определена околност на тази точка, непрекъсната е в тази точка и нейното нарастване може да се запише в следната форма: ; - увеличаване на функция, когато нейните аргументи се увеличават със стойности и ; - частни производни на функцията по отношение на променливите и . ; . За фиксирани стойности на и и са функции на променливите и . ; . Те клонят към нула при и: . : . Тъй като и , тогава . Формулата е доказана. Увеличаване на функцията: Нека заместим (3): Производна на сложна функция от няколко променливи Горното заключение може лесно да се обобщи за случая, когато броят на променливите на сложна функция е повече от две.Например, ако f е , Къде функция на три променливи , Това , и има диференцируеми функции за някаква стойност на променливата x; (4) . - диференцируема функция на три променливи в точка , , . ; ; , Тогава от определението за диференцируемост на функцията имаме: ; ; . Защото поради приемствеността, . това Разделяйки (4) на и преминавайки към границата, получаваме:. И накрая, нека помислим , Къде най-общия случай - диференцируема функция на n променливи в точка , , ... , . Помислете за следната функция: . Вижте също: Пример. Намерете дали, къде. Решение. Според формула (1) имаме: Пример. Намерете частната производна и пълната производна, ако . Решение. . Въз основа на формула (2) получаваме . 2°. Случаят на няколко независими променливи. Нека z = f(x;y) -функция на две променливи XИ y,всяка от които е функция независима променлива t: x = x(t), y = y(t).В този случай функцията z=f(x(t);y(t))е сложна функция на една независима променлива t;променливи x и y са междинни променливи. Теорема. Ако z == f(x; y) -диференцируеми в точка M(x;y) Dфункция И x = x(t)И при =y(t) -диференцируеми функции на независимата променлива t, след това производната на сложна функция z(t) == f(x(t);y(t))изчислено по формулата (3) Специален случай: z = f(x; y),където y = y(x),тези. z = f(x;y(x)) -сложна функция на един независима променлива X.Този случай намалява до предишния и ролята на променливата tиграе X.Съгласно формула (3) имаме: . Последната формула се нарича формули за общи производни. Общ случай: z = f(x;y),Къде x = x(u;v), y=y(u;v).Тогава z = f(x(u;v);y(u;v)) -комплекс функция на независими променливи ИИ v.Неговите частични производни могат да бъдат намерени използвайки формула (3), както следва. След като поправих v,замени го, съответните частни производни По този начин, производната на комплексната функция (z) по отношение на всяка независима променлива (ИИ v) е равно на сумата от произведенията на частните производни на тази функция (z) по отношение на нейното междинно променливи (x и y)към техните производни по отношение на съответната независима променлива (u и v). Във всички разглеждани случаи формулата е валидна (свойство за инвариантност на пълен диференциал). Пример. Намерете и ако z= f(x,y), където x=uv, .

1°. Случаят на една независима променлива. Ако z=f(x,y) е диференцируема функция на аргументите x и y, които от своя страна са диференцируеми функции на независимата променлива t: , тогава производната на комплексната функция може да се изчисли с помощта на формулата

Пример. Намерете дали, къде.

Решение. Според формула (1) имаме:

Пример. Намерете частната производна и пълната производна, ако .

Решение. .

Въз основа на формула (2) получаваме .

2°. Случаят на няколко независими променливи.

Нека z =е (x ;y) -функция на две променливи XИ y,всяка от които е функция на независимата променлива t : x =x (t), y =y (т).В този случай функцията z =е (x (t);y (т ))е сложна функция на една независима променлива t;променливи x и y са междинни променливи.

Теорема. Ако z == f(x; y) -диференцируеми в точка M(x;y)гфункция и x =x (т)И при =y (т) -диференцируеми функции на независимата променлива t,след това производната на сложна функция z (т) == f(x (t);y (т ))изчислено по формулата

Специален случай:z = е (x ; y),където y = y(x),тези. z = е (x ;y (x )) -сложна функция на една независима променлива X.Този случай намалява до предишния и ролята на променливата tиграе X.Съгласно формула (3) имаме:

.

Последната формула се нарича формули за общи производни.

Общ случай:z = е (x ;y),Къде x =x (u ;v),y =y (u ;v).Тогава z = е (x (u ;v);y (u ;v)) -сложна функция на независими променливи ИИ v.Неговите частни производни могат да бъдат намерени с помощта на формула (3), както следва. След като поправих v,заместваме в него съответните частни производни

По този начин, производната на комплексна функция (z) по отношение на всяка независима променлива (ИИ v)е равно на сумата от произведенията на частните производни на тази функция (z) по отношение на нейните междинни променливи (x и y)към техните производни по отношение на съответната независима променлива (u и v).

Във всички разглеждани случаи формулата е валидна

(свойство за инвариантност на пълен диференциал).

Пример. Намерете и ако z = f(x ,y ), където x =uv , .

Решение. Прилагайки формули (4) и (5), получаваме:

Пример. Покажете, че функцията удовлетворява уравнението .

Решение. Функцията зависи от x и y чрез междинен аргумент, така че

Замествайки частични производни в лявата страна на уравнението, имаме:

Тоест функцията z удовлетворява това уравнение.

Производна по дадена посока и градиент на функцията

1°. Производна на функция в дадена посока. Производнафункции z= f(x,y) в тази посоканаречен , където и са стойностите на функцията в точки и . Ако функцията z е диференцируема, тогава формулата е валидна

къде са ъглите между посоките ли съответните координатни оси. Производната в дадена посока характеризира скоростта на промяна на функция в тази посока.

Пример. Намерете производната на функцията z = 2x 2 - 3 2 в точка P (1; 0) в посока, сключваща ъгъл 120° с оста OX.

Решение. Нека намерим частните производни на тази функция и техните стойности в точка P.