Случайна променлива се нарича логормално разпределена, ако нейният логаритъм се подчинява на закона за нормално разпределение.

Това означава, по-специално, че стойностите на логаритмично нормална случайна променлива се формират под въздействието на много голям брой взаимно независими фактори и влиянието на всеки отделен фактор е „равномерно незначително“ и еднакво вероятно по знак . Освен това, за разлика от схемата на формиране на механизма на нормалния закон, последователният характер на влиянието на случайните фактори е такъв, че случайното увеличение, причинено от действието на всеки следващ фактор, е пропорционално на стойността на изследваната стойност, която има вече постигнати към този момент (в случая се говори за мултипликативен характер на влиянието на фактора). Математически казаното може да се формализира по следния начин. Ако - е неслучаен компонент на изследваната характеристика (т.е., така да се каже, "истинската" стойност в идеализирана схема, когато влиянието на всички случайни фактори е елиминирано), - е числов израз на ефектите от влияние на споменатите по-горе случайни фактори, тогава стойностите на изследваната характеристика, последователно трансформирани от действието на тези фактори, ще бъдат:

Оттук се стига лесно

Къде . Но дясната страна на (6.11) е резултат от адитивното действие на много случайни фактори, които, при направените по-горе предположения, трябва да водят, както знаем (вижте раздел 6.1.5, както и § 7.3, посветен на към централната гранична теорема), към нормалното разпределение на тази сума .

В същото време, като се вземе предвид достатъчно големият брой произволни членове (т.е. настройка ) и относителната незначителност на влиянието на всеки от тях (т.е. настройка ), е възможно да се премине от сумата от лявата страна на (6.11) към интеграла

това. и в крайна сметка означава, че логаритъма на количеството, което ни интересува (намалено с постоянна стойност) се подчинява на нормалния закон с нулева средна стойност, т.е.

откъдето чрез диференциране по отношение на x лявата и дясната страна на тази връзка получаваме

(валидността на идентичността, използвана в изчислението, следва от стриктната монотонност на трансформацията

Описаната схема за генериране на стойностите на логаритмично нормална случайна променлива се оказва характерна за много специфични физически и социално-икономически ситуации (размер и тегло на частиците, образувани по време на раздробяване; заплати на служителите; семейни доходи; размери на пространствени образувания; дълготрайност на продукт, работещ в режим на износване и стареене и други, вижте например , , ).

Пример 6.1. Месечният доход на глава от населението (в долари) на семейство от определен набор от семейства се счита за случайна променлива. Изследвани са N=750 семейства.

Таблица 6.1

Таблица 6.2

В табл 6.1 и 6.2 показват резултатите от групирането на примерните данни и съответно техните логаритми (ширината на групиращия интервал е 25 долара). На фиг. 6.1, a, b показват съответно хистограми и плътности на логаритмично нормалното и нормалното разпределение.

ориз. 6 1. Хистограма и теоретична (моделна) плътност, характеризираща разпределението на семействата по среден месечен доход на глава от населението (а) и по логаритъм на средния месечен доход на глава от населението (б)

По-долу са резултатите от изчисляването на основните числени характеристики на логаритмично нормалното разпределение (по отношение на параметрите на закона a и ):

От тези изрази става ясно, че асиметрията и ексцесът на логаритмично нормалното разпределение са винаги положителни (и колкото по-близо до нула, толкова по-близо до нула), а модата, медианата и средната стойност са подредени точно в реда, който виждаме в Фиг. 5.8, и те ще се стремят към сливане (и кривата на плътност - към симетрия), тъй като количеството клони към нула В този случай, въпреки че стойностите на логаритмично нормална случайна променлива се формират като „случайни изкривявания“ на някои „. истинска стойност” a, последната в крайна сметка действа не като средна, а като медиана.

Случайната променлива Y има логаритмично нормално разпределение с параметри μ и σ, ако случайната променлива X = lnY има нормално разпределение със същите параметри μ и σ. Познавайки естеството на връзката между променливите X и Y, можем лесно да изградим графика на плътността на вероятността на случайна променлива с логнормално разпределение (Фигура 4.2).

Фигура 4.2 - Криви на плътност на логнормалното разпределение за различни стойности на параметрите μ и σ

Ако случайна променлива X има функция на плътност на вероятността, дефинирана от формула (4.6), и ако X = lnY, тогава:

Къде имаме за y > 0:

От дефиницията следва, че случайна променлива, предмет на логнормално разпределение, може да приема само положителни стойности. Както е показано на фигура 4.2, кривите на функцията f(y) имат лявостранна асиметрия, която е по-силна, колкото по-големи са стойностите на параметрите μ и σ. Всяка крива има един максимум и е определена за всички положителни стойности на y.

Изчисляването на математическото очакване и дисперсията на случайна променлива с логнормално разпределение не е особено трудно:

Чрез замествания и въвеждане на нови променливи в интеграли 4.15 и 4.16 получаваме:

Като цяло, за да се изчисли вероятността случайна променлива Y с логнормално разпределение и плътност f(y, μ, σ) да приеме стойност в интервала (a, b), трябва да вземем интеграла:

На практика обаче е по-удобно да се използва фактът, че логаритъма на случайната променлива Y има нормално разпределение. Вероятността a ≤ Y ≤ b е еквивалентна на вероятността че
lna ≤ lnY ≤ lnb.

Нека изчислим вероятността случайна променлива с логаритмично разпределение μ = 1, σ = 0,5 да приеме стойност в интервала (2, 5). Ние имаме:

От таблиците на логаритмите намираме ln2 = 0,6932 и ln5 = 1,6094.

Означавайки lnY = X, можем да напишем:

Освен това случайната променлива X е обект на нормално разпределение със средна стойност μ = 1 и стандартно отклонение σ = 0,5. Сега желаната вероятност може лесно да се изчисли от таблиците на интегралната функция на нормалното разпределение:

Въпроси за самоконтрол

1 Определение за правоъгълно разпределение.

2 Графика на плътността на вероятността на случайна променлива с правоъгълно разпределение

3 Основно значение на правоъгълното разпределение.

4 Очакванеи дисперсията на случайна променлива в правоъгълно разпределение.

5 Ролята на нормалното разпределение в математическата статистика.

6 Какво е нормалното разпределение и как е свързано с бинома?

7 Графика на плътността на вероятността на случайна променлива с нормално разпределение.

8 Какви статистически параметри могат да се използват за дефиниране на нормално разпределение?

9 Защо нормалното разпределение е непрекъснато?

10 Уравнение на нормална крива.

11 Какво е нормализирано отклонение?

12 Уравнение на кривата на нормалното разпределение в нормализирана форма.

13 Какви стойности на μ и σ характеризират нормална популация в нормализирана форма?

14 Каква част от данните за извадката попадат в границите от ±1σ, ±2σ, ±3σ?

15 Какво показва таблицата на нормалния вероятностен интеграл?

16 Уравнение на логнормална крива.

17 Графика на плътността на вероятността на случайна променлива с логнормално разпределение.

18 Какви трансформации трябва да се извършат, за да се получи нормално разпределение от логнормално разпределение?

19 Какви статистически параметри определят логнормалното разпределение?

ТЕМА 5 Разпределение на параметрите на извадката

5.1 t – Студентско разпределение

5.2 F-разпределение на Fisher–Snedecor

5.3 χ 2 – разпределение

5.1 t – Студентско разпределение

Законът за нормалното разпределение се появява, когато броят на признаците е n > 20–30. Експериментаторът обаче често провежда ограничен брой измервания и основава заключенията си на малки проби. При малък брой наблюдения резултатите обикновено са близки и рядко се появяват големи отклонения. Това може лесно да се обясни със закона за нормалното разпределение, според който вероятността за малки отклонения е по-голяма от големите отклонения. Така вероятността за отклонения над ±2σ по абсолютна стойност е 0,05, или един случай на 20 измервания, а отклонения ± 3σ – 0,01, или един случай на 100.

Ако полевият опит се проведе например в 4–6 повторения, тогава естествено е да се очаква, че няма да има много големи отклонения в показанията на добива на паралелни парцели. Следователно стандартното отклонение s, изчислено от малка извадка, в повечето случаи ще бъде по-малко от това от цялата популация. Следователно в тези случаи не можете да разчитате на нормални критерии за разпределение във вашите заключения.

От началото на 20 век започва да се развива ново направление в математическата статистика, което може да се нарече статистика на малки извадки. Най-голямо практическо значение за експерименталната работа има t-разпределението, открито през 1908 г. от английския статистик и химик У. Госет, наречено разпределение на Стюдънт (англ. student-student, псевдоним на У. Госет).

Разпределението t на Стюдънт за извадкови средни се определя от равенството:

Числителят на формулата означава отклонението на средната стойност на извадката от средната стойност на цялата съвкупност, а знаменателят:

– е индикатор, който оценява стандартната грешка на средната извадкова съвкупност.

По този начин стойността на t се измерва чрез отклонението на средната стойност на извадката от средната стойност на съвкупността, изразена в дялове на грешката на извадката, взета за единица.

Честотните максимуми на нормалното и t-разпределението съвпадат, но формата на кривата на t-разпределението зависи изцяло от броя на степените на свобода. При много малки стойности на степените на свобода, тя е под формата на крива с плосък връх, а областта, ограничена от кривата, е по-голяма, отколкото при нормално разпределение и с увеличаване на броя на наблюденията (n ​> 30), разпределението t се доближава до нормалното и се превръща в него при n = ∞.

Фигура 1.1 показва диференциалното и интегралното разпределение на t-Student при 10 степени на свобода.

Фигура 5.1 – Диференциално (вляво) и интегрално (вдясно) t-разпределение на Стюдънт

Разпределението t-Student е важно, когато работите с малки извадки: то ви позволява да определите доверителен интервал, покриващ средната популация , и тествайте една или друга хипотеза по отношение на общата съвкупност. В този случай не е необходимо да се знаят параметрите на популацията И , достатъчно е да има техните оценки μ и σ за определен размер на извадката n.

5.1.1 Проблем на Беренс–Фишър

Тестването на хипотезата за общите средни стойности на две групи с нормално разпределение и неравни дисперсии в математическата статистика се нарича проблем на Беренс–Фишър и в момента има само приблизителни решения. Защо изискването за равенство на дисперсиите в сравняваните групи е толкова важно? Без да навлизаме в подробности за този проблем, отбелязваме, че колкото повече дисперсиите и размерите на извадките се различават един от друг, толкова повече разпределението на „изчисления t-тест“ се различава от разпределението на „t-теста на Стюдънт“. В този случай както самият t-критерий, така и такъв параметър на тези разпределения като броя на степените на свобода имат различни стойности. От своя страна броят на степените на свобода влияе върху стойността на постигнатото (критично) ниво на значимост (p< ...) определяемого для вычисленного значения t-критерия.

Пренебрегването от страна на изследователите на горните условия за допустимостта на използването на t-теста на Student води до значително изкривяване на резултатите от тестването на хипотези за равенството на средните. Следователно, в работи, където тестването на хипотези за равенството на две средни стойности е извършено с помощта на t-теста на Student и не се споменават критериите за тестване на нормалното разпределение и равенството на дисперсиите, има основания да се приеме, че авторите са използвали неправилно този критерий и следователно съмнителността на декларираните от тях заключения.

други често срещана грешка– прилагане на t-теста на Стюдънт за проверка на хипотези за равенството на три или повече групови средни стойности. В този случай е необходимо да се приложи така нареченият общ линеен модел, реализиран в процедурата за еднопосочен дисперсионен анализ с фиксирани ефекти.

Нека разгледаме по-подробно характеристиките на използването на t-теста на Student. Най-често t-тестът се използва в два случая. В първия случай се използва за проверка на хипотезата за равенството на общите средни на две независими, несвързани извадки (т.нар. t-тест с две извадки). В този случай има контролна група и експериментална група, състояща се от различни обекти, чийто брой в групите може да бъде различен. Във втория случай се използва така нареченият сдвоен t-тест, когато една и съща група обекти генерира цифров материал за проверка на хипотези за средни стойности. Следователно тези проби се наричат ​​зависими, свързани. Например, броят на белите кръвни клетки се измерва при здрави животни и след това при същите животни след излагане на определена доза радиация. И в двата случая трябва да бъде спазено изискването за нормалност на разпределението на изследвания признак във всяка от сравняваните групи. Доминирането на t-теста на Стюдънт в по-голямата част от произведенията отразява два важни аспекта.

Второ, това също предполага, че тези автори не познават алтернативи на този критерий или не могат сами да ги използват. Може да се каже без преувеличение, че в момента необмисленото използване на t-теста на Стюдънт в повечето биологични трудове носи повече вреда, отколкото полза.

5.2 F-разпределение на Fisher–Snedecor

Ако вземем две независими извадки с размер n 1 и n 2 от нормално разпределена популация и изчислим дисперсиите И със степени на свобода ν 1 = n –1 и ν 2 = n 2 –1, тогава съотношението на дисперсията може да се определи:

Съотношението на дисперсиите се приема така, че да има голяма дисперсия в числителя и следователно F ≥ 1.

Разпределението на F зависи само от броя на степените на свобода ν 1 и ν 2 (законът на разпределението F е открит от Р. А. Фишер). Когато две сравнявани извадки са произволни, независими от общата съвкупност с обща средна стойност, тогава действителната стойност на F няма да надхвърли определени граници и няма да надхвърли теоретичната стойност на критерия F, критичен за данни ν 1 и ν 2 (F факт< F теор). Если генеральные параметры сравниваемых групп различны, то F факт >F теор. Теоретичните стойности на F за нивата на значимост от 5% и 1% са дадени в таблицата, където са представени в таблица само правилните критични точки за F ≥ 1, тъй като винаги е обичайно да се намира съотношението на по-голямата дисперсия към по-малката .

Кривите, получени от функцията на разпределение за всички възможни стойности на F, особено при малък брой наблюдения, имат асиметрична форма - дълга "опашка" от големи стойности и голяма концентрация на малки F стойности ( Фигура 5.2).

Фигура 5.2 – Диференциал (вляво) и интеграл (вдясно)
F разпределение на Fisher–Snedecor

Обърнете внимание, че t-разпределението на Стюдънт е специален случай на F-разпределението с броя на степените на свобода ν 1 = 1 и ν 2 = ν, т.е. равен на броя на степените на свобода за t-разпределението. В този случай се наблюдава следната връзка между F и t:

5.3 χ 2 – разпределение

Много действителни разпределения съответстват на теоретичните модели на разпределение (нормално, биномно, Поасоново), но на практика има разпределения, които са много различни от нормалните. За да се оцени степента на несъответствие или степента на съответствие между броя на действителните и теоретичните разпределения, се въвеждат статистически критерии за съответствие, например критерият χ 2. Този критерий се използва за решаване на проблеми статистически анализ, например, за тестване на хипотези: за независимостта на два принципа, лежащи в основата на групирането на резултатите от наблюдение от една популация; относно хомогенността на групите по отношение на определени идентифицируеми характеристики; относно съответствието между теоретичните и експерименталните криви на изобилие. Критерият χ 2 може да се нарече както критерий за съгласие, така и критерий за независимост, критерий за хомогенност. Законът за разпределение χ 2 (хи-квадрат) е открит от К. Пиърсън. Крива на разпределение, получена от функцията хи-квадрат:

където f са действителните и F са теоретичните честоти на броя на пробните обекти. Появата му силно зависи от броя на степените на свобода. За малък брой степени на свобода ν кривата е асиметрична (Фигура 5.3), но с увеличаването на ν асиметрията намалява и при ν = ∞ кривата става нормална гаусова.

Разпределението χ 2, както и t-разпределението, е частен случай
F – разпределения за ν 1 = ν и ν 2 = ∞.

Фигура 5.3 – Диференциал (вляво) и интеграл (вдясно)
χ 2 – разпределение

Въпроси за самоконтрол

1 В какви случаи е за предпочитане да се използва t-разпределението на Student вместо нормалното разпределение?

2 Какви количества трябва да бъдат оценени, за да се използва t-разпределението на Стюдънт?

3 Каква е същността на проблема на Беренс-Фишър?

4 Как се изразява F разпределението числено за две независими пробиот общия набор от променливи?

5 От какви характерни стойности на случайни променливи зависи F-разпределението?

6 На какви въпроси може да отговори стойността на критерия χ 2 по време на статистическа обработка на експериментални данни?

ТЕМА 6 Основи на математическата статистика

6.1 Средни стойности

6.2 Средно аритметично

6.3 Средно геометрично

6.4 Хармонично средно

Моделът на логаритмичното разпределение на известния английски математик Фишър е първият опит да се опише връзката между броя на видовете и броя на индивидите от тези видове. Този модел беше особено успешен в ентомологичните изследвания и за първи път беше използван от Фишър като теоретичен модел за описание на разпределението на видовете в колекциите. Този модел и статистиката за разнообразието бяха обект на подробно проучване от L. R. Taylor et al.

Честотното разпределение на видовете за логаритмично разпределение се описва със следната последователност:

където  X– броят видове, представени от един индивид, x 2 /2 – броят видове, представени от два индивида и т.н.

Логаритмичният модел има два параметъра  и х. Това означава, че за размер на извадката Ни брой видове Сима само едно възможно честотно разпределение на видовете въз основа на тяхното относително изобилие, тъй като както , така и Xса функции НИ С. Колкото по-голяма е извадката, взета от дадена общност, толкова по-голяма е стойността Xи колкото по-малък е делът на индивидите, принадлежащи към видовете, представени от един индивид в извадката. Два параметъра СИ Н(общ брой индивиди) са свързани помежду си чрез зависимост
, където  е индексът на разнообразие, който може да се получи от уравнението:

,

където е сумата от всички индивиди Нпринадлежащ на Свидове:

Логаритмичният модел на разпределение, характеризиращ се с малък брой разпространени видове и голяма част от „редки“, е най-вероятно да опише общности, чиято структура се определя от един или няколко фактора на околната среда.

Както е показано от изследване, проведено от Magharran в Ирландия, тази серия съответства на разпределението на изобилието от наземни растителни видове в иглолистни култури при условия на слаба светлина.

5.3.3. Логнормално разпределение

Повечето общности проявяват логаритмично нормално разпределение на изобилието на видовете, но този модел обикновено показва голяма, зряла и разнообразна общност. Това разпределение е типично за системи, когато стойността на дадена променлива се определя от голям брой фактори.

Този модел е приложен за първи път към разпределението на изобилието на видове от Престън. Използвайки различни емпирични материали, той показа, че честотите на видовете в големи проби се разпределят в съответствие с логаритмично нормалния закон. Съгласно разработената от него методология видовете, чийто брой индивиди се съдържат в интервали, които са ограничени от числата на геометричната прогресия, се групират в честотни класове. Престън начерта изобилието на видовете на логаритъм с основа 2 (log 2) и нарече получените класове октави. Но за да опишете модела, можете да използвате всяка логаритмична основа. В графиката разпределението на честотите на видовете според класовете на изобилие, получени по този начин, съответства на добре познатата крива на нормално разпределение, съкратена отляво, в честотния диапазон на редки видове.

Разпределението обикновено се записва във формата:

, Къде

С Р – теоретичният брой видове в октава, разположени в R октави от модалната октава; С мес– брой видове в модалната октава;  – стандартно отклонение на теоретичната логаритмична нормална крива, изразено в брой октави.

ориз. 5.3.2. Лог-нормално разпределение

Логаритмично нормалното разпределение се описва със симетрична „нормална“, т.е. камбанообразна крива (фиг. 5.3.2.). Въпреки това, ако данните, на които съответства, идват от ограничена извадка, тогава лявата страна на кривата (т.е. редки, неотчетени видове) ще бъде неясна. Престън нарече тази точка на отрязване отляво „линията на завесата“. „Линията на завесата“ може да се премести наляво с увеличаване на размера на извадката. На фигурата е обозначено със стрелка. За повечето проби се изразява само частта от кривата вдясно от режима. Пълната крива може да бъде проследена само с огромни количества данни, събрани в обширни биогеографски области. СКривата във формата на - показва сложния характер на диференциацията и припокриването на ниши. Повечето видове в естествени отворени екосистеми съществуват в конкуренция за ресурси, а не в пряка конкуренция; Много адаптации правят възможно разделянето на ниши без конкурентно изключване от местообитанието. Този модел най-вероятно е за необезпокоявани общности.

Функцията за логаритмично нормално разпределение е намерила широко приложение при анализиране на надеждността на обекти в технологиите, биологията, икономиката и др. Например, функцията се използва успешно за описание на времето до повреда на лагери, електронни устройстваи други продукти.

Неотрицателните произволни стойности на някакъв параметър са логаритмично разпределени, ако неговият логаритъм е нормално разпределен. Плътността на разпределение за различни стойности на σ е показана на фиг. 4.3.

ориз. 4.3.

Плътността на разпределение се описва от зависимостта

Къде М x и σ – параметри, оценени от резултатите птестове до отказ:

(4.4)

За закон за логнормално разпределение, функцията за надеждност

(4.5)

Вероятността за безотказно функциониране може да се определи от таблици за нормално разпределение (вижте Таблица A6.1 от Приложение 6) в зависимост от стойността на квантила

Математическо очакване на времето до отказ

Стандартното отклонение и съответно коефициентът на вариация ще бъдат равни

Ако vх ≤ 0,3, тогава се смята, че ν x = σ и грешката е не повече от 1%.

Често се използва за записване на зависимости за закона за логнормално разпределение в десетични логаритми. В съответствие с този закон, плътността на разпространение

Оценки на параметрите на lg х 0 и σ се определят въз основа на резултатите от изпитването:

Очакване М x, стандартно отклонение σ x и коефициент на вариация ν x пъти до отказ са съответно равни

Пример 4.6

Определете вероятността за безаварийна работа на скоростната кутия по време на t= 103 часа, ако ресурсът е разпределен логаритмично с параметри lg t 0 = 3,6; σ = 0,3.

Решение

Нека намерим стойността на квантила и да определим вероятността за безотказна работа:

отговор: Р(t) = 0,0228.

Разпределение на Уейбул

Функцията на разпределение на Weibull е разпределение с два параметъра. Законът, който описва, е универсален, тъй като при подходящи стойности на параметрите той се превръща в нормални, експоненциални и други видове разпределения. Авторът на този закон за разпределение, V. Weibull, го използва, за да опише и анализира експериментално наблюдаваните промени в якостта на умора на стоманата и нейните граници на еластичност. Законът на Weibull задоволително описва времето до повреда на лагерите и елементите на електронното оборудване; използва се за оценка на надеждността на части и възли на машини, включително автомобили, както и за оценка на надеждността на машините в процеса на тяхното обработване. Плътността на разпределение се описва със зависимостта

където α е параметърът на формата на кривата на разпределение; λ – мащабен параметър на кривата на разпределение.

Графиката на функцията на плътността на разпределението е показана на фиг. 4.4.

ориз. 4.4.

Функция на разпределение на Вейбул

Функция на надеждност за този закон на разпределение

Очакване на случайна променлива Xравни

където Г( х) – гама функция.

За непрекъснати стойности X

За целочислени стойности XГама функцията се изчислява по формулата

формулите също са правилни

Дисперсията на случайната променлива е равна на

Широкото използване на закона за разпределение на Weibull при анализа и изчисленията на надеждността на продукта се обяснява с факта, че този закон, обобщаващ експоненциалното разпределение, съдържа допълнителен параметър α.

Чрез правилния избор на параметрите a и λ е възможно да се получи по-добро съответствие между изчислените стойности и експерименталните данни в сравнение с експоненциалния закон, който е еднопараметърен (параметър λ).

И така, за продукти, които имат скрити дефекти, но които дълго времене се използват (и следователно стареят по-бавно), рискът от неуспех е най-голям в началния период, а след това бързо намалява. Функцията за надеждност за такъв продукт е добре описана от закона на Weibull с параметър α< 1.

Напротив, ако продуктът е добре контролиран по време на производството и почти няма скрити дефекти, но претърпява бързо стареене, тогава функцията за надеждност се описва от закона на Weibull с параметър α > 1. При α = 3,3 разпределението на Weibull е близко до към нормалното.

Логаритмично разпределение в теорията на вероятностите - клас дискретни разпределения. Логаритмичното разпределение се използва в различни приложения, включително математическа генетика и физика.

Определение

Нека разпределението на случайна променлива $Y$се дава от вероятностната функция:

$p\_Y(k)\; \backslash equiv\; \backslash mathbb(P)(Y=k)\; =\; -\backslash frac(1)(\backslash ln(1-p))\; \backslash frac(p^k)(k),\backslash ;\; k=1,2,3,\backslash lточки$,

Къде $0$

Тогава те казват това $Y$има логаритмично разпределение с параметъра $стр$. Те пишат: $Y\backslash sim\backslash mathrm(Дневник)(p)$.

Функция на разпределение на случайна променлива $Y$частично постоянна със скокове в естествени точки:

$F\_Y(y)\; =\; \backslash наляво\backslash ($

\begin(matrix) 0, & y< 1 & \\ 1 + \frac{\mathrm{B}_p(k+1,0)}{\ln (1-p)},\; & y \in ,\; 0

$\backslash sum\backslash limits\_(k=1)^(\backslash infty)p\_Y(k)\; =\; 1$.

Моменти

Пораждаща функция на моменти на случайна величина $Y\backslash sim\backslash mathrm(Дневник)(p)$се дава по формулата

$M\_Y(t)\; =\; \backslash frac(\backslash ln\backslash left)(\backslash ln)$,

$\backslash mathbb(E)[Y]\; =\; -\; \backslash frac(1)(\backslash ln(1-p))\; \backslash frac(p)(1-p)$, $\backslash mathrm(D)[Y]\; =\; -p\; \backslash ;\backslash frac(p\; +\; \backslash ln(1-p))((1-p)^2\backslash ,\backslash ln^2(1-p))$.

Връзка с други дистрибуции

Поасоновата сума на независимите логаритмични случайни променливи има отрицателно биномно разпределение. Нека $\backslash (X\_i\backslash )\_(i=1)^n$поредица от независими еднакво разпределени случайни променливи, така че $X\_i\; \backslash sim\; \backslash mathrm(Log)(p),\; \backslash ;\; i=1,2,\backslash lточки$. Нека $N\; \backslash sim\; \backslash mathrm(P)(\backslash lambda)$- Поасонова случайна променлива. Тогава

$Y\; =\; \backslash sum\backslash limits\_(i=1)^N\; X\_i\; \backslash sim\; \backslash mathrm(NB)$.

Приложения

Напишете отзив за статията "Логаритмично разпределение"

Откъс, описващ логаритмичното разпределение

Вятърът утихна, черни облаци надвиснаха ниско над бойното поле, сливайки се на хоризонта с барутен дим. Стъмни се и блясъкът на огньовете се виждаше още по-ясно на две места. Канонадата стана по-слаба, но пукането на оръдията отзад и отдясно се чуваше още по-често и по-близо. Веднага щом Тушин с оръжията си, обикаляйки и прегазвайки ранените, излезе от обстрела и слезе в дерето, той беше посрещнат от своите началници и адютанти, включително щабен офицер и Жерков, който беше изпратен два пъти и никога стигна до батареята на Тушин. Всички те, прекъсвайки се един друг, давали и предавали нареждания как и къде да отиде, отправяли му упреци и коментари. Тушин не даваше заповеди и мълчаливо, страхувайки се да говори, тъй като при всяка дума беше готов, без да знае защо, да заплаче, той яздеше отзад на артилерийската си заячка. Въпреки че беше наредено ранените да бъдат изоставени, много от тях се влачеха зад войските и поискаха да бъдат разгърнати при оръдията. Същият смел пехотен офицер, който изскочи от колибата на Тушин преди битката, беше с куршум в стомаха качен на каретата на Матвевна. Под планината блед хусарски кадет, поддържайки другия с една ръка, се приближи до Тушин и поиска да седне.