§ 1.2. Представяне на числа в компютър

Представяне на числа на компютър. Въпроси и задачи

1. Прочетете презентационните материали към параграфа, съдържащи се в електронното приложение към учебника. Използвайте тези материали, когато подготвяте отговори на въпроси и изпълнявате задачи.

2. Как се представят положителните и отрицателните цели числа в компютърната памет?

3. Всяко цяло число може да се разглежда като реално число, но с нулева дробна част. Обосновете осъществимостта на специални начини за компютърно представяне на цели числа.

4. Представете числото 63 10 в 8-битов формат без знак.

5. Намерете десетичните еквиваленти на числа, като използвате техните директни кодове, написани в 8-битов формат със знак:

а) 01001100;
б) 00010101.

6. Кое от числата 443 8, 101010 2, 256 10 може да се запише в 8-битов формат?

7. Запишете следните числа в естествен вид:

а) 0,3800456 10 2;
б) 0,245 10 -3;
а) 1,256900E+5;
а) 9.569120E-3.

8. Напишете числото 2010.0102 10 по пет различни начина в експоненциална форма.

9. Запишете следните числа в експоненциална форма с нормализирана мантиса - правилна дроб, която има различна от нула цифра след десетичната запетая:

а) 217,934 10;
б) 75321 10;
в) 0,00101 10.

10. Начертайте диаграма, свързваща основните понятия, разгледани в този параграф.

Отговори: Представяне на числа в компютър

9. а) 0,217934 10 3; б) 0,75321 10 5; в) 0,101 · 10 -2.

Представяне на информация на компютър.

1. Представяне на цели числа

2. Представяне на реални числа

3. Представяне на текстова информация

4. Представяне на графична и видео информация

5. Представяне на аудио информация

6. Методи за компресиране на цифрова информация

От края на 20-ти век, векът на компютъризацията, човечеството използва двоичната бройна система всеки ден, тъй като цялата информация, обработвана от съвременните компютри, се представя в двоична форма.

Всеки регистър на аритметичното устройство на компютъра, всяка клетка на паметта е физическа система, състояща се от определен брой хомогенни елементи, които имат две стабилни състояния, едното от които съответства на нула, а другото на единица. Всеки такъв елемент се използва за запис на един от битовете на двоично число. Ето защо всеки клетъчен елемент се нарича цифра.

Фиг.1 Клетка от k-цифри.

Компютърната техника възниква като средство за автоматизиране на изчисленията, поради което първите компютри са наречени компютри - електронни компютри. Днес компютрите обработват различни видове информация: цифрова, текстова, звукова, графична. Съвременният компютър обаче може да съхранява и обработва само дискретна информация. Следователно всеки вид информация, която е обект на компютърна обработка, трябва да бъде кодирана по един или друг начин с помощта на крайна последователност от цели числа, която след това се преобразува в двоична форма за съхранение в компютъра.

В тази лекция ще разгледаме как се решава проблемът с преобразуването на изходната информация в компютърно представяне за всеки тип информация. Ще бъде показано колко точно компютърното представяне отразява оригиналната информация, като думата „точно“ тук се отнася не само за числа (прецизност на представяне), но и за други видове информация. А именно степента на реализъм в предаването на цветовите нюанси на монитора, степента на близост на възпроизвежданата музика до естествения звук на музикалните инструменти или човешкия глас и др компютърната информация се нарича задача вземане на пробиили квантуване. Този проблем трябва да бъде разрешен за всички видове информация. Методите за вземане на проби за различните видове информация са различни, но подходите за решаване на този проблем се основават на едни и същи принципи.

Представяне на цели числа.

Всяко цяло число може да се разглежда като реално число, но с нулева дробна част, т.е. човек може да се ограничи до представянето на реални числа в компютър и изпълнението на аритметични операции върху тях. Въпреки това, за да се използва ефективно паметта, да се увеличи скоростта на изчисленията и да се въведе операцията деление на цяло число с остатък, целите числа се представят по специално проектирани начини.

Въвеждането на специални методи за представяне на цели числа е оправдано от факта, че доста често в задачи, решавани с помощта на компютър, много операции се свеждат до операции с цели числа. Например при задачи от икономическо естество данните са брой акции, служители, части, превозни средства и др., които по смисъла си са цели числа. Целите числа се използват както за указване на дата и час, така и за номериране на различни обекти: елементи от масиви, записи в бази данни, машинни адреси и др.

За компютърно представяне на цели числа обикновено се използват няколко различни метода за представяне, които се различават един от друг по броя на цифрите и наличието или отсъствието на знакова цифра. Беззнаковото представяне може да се използва само за неотрицателни цели числа; отрицателните числа могат да бъдат представени само със знак.

При представяне без знак всички битове на клетката се разпределят към самото число. Когато се представя със знак, най-важната (лява) цифра се присвоява на знака на числото, останалите цифри се разпределят в самото число. Ако числото е положително, тогава 0 се поставя в бита със знак; ако числото е отрицателно, тогава се поставя 1. Очевидно в клетки с еднакъв размер може да бъде представен по-голям диапазон от неотрицателни цели числа, отколкото в представяне без знак. подписани числа. Например в един байт (8 бита) можете да записвате положителни числа от 0 до 255, а със знак - само до 127. Следователно, ако знаете предварително, че определена числова стойност винаги е неотрицателна, тогава тя по-изгодно е да го считаме за неподписан.

Казват, че целите числа в компютъра се съхраняват във формат c фиксирана точка(друго тълкуване - фиксирана точка).

Представяне на цели положителни числа.

За да получите компютърно представяне на цяло число без знак в k-битова клетка от паметта, е достатъчно да го преобразувате в двоичната бройна система и да допълнете получения резултат отляво с нули до k цифри. Ясно е, че има ограничение за числата, които можем да запишем в k-битова клетка.

Максималното представимо число съответства на единици във всички цифри на клетката (двоично число, състоящо се от k единици). За k-битово представяне то ще бъде равно на 2 k - 1. Минималното число е представено с нули във всички цифри на клетката, винаги е равно на нула. По-долу са максималните числа за представяне без знак за различни стойности на k:

Със знаковото представяне на цели числа, понятия като напр предни, обратни и допълнителни кодове .

Определение 1. Представяне на число във форма, позната на хората “ знак-величина ", в която най-значимата цифра на клетката е разпределена за знака, останалите к - 1цифри - под цифрите на номера, наречендиректен код.

Например директни кодове на двоични числа 11001 2 И -11001 2 за осембитова клетка са равни 00011001 И 10011001 съответно. Положителните цели числа се представят в компютъра с помощта на директен код.Директният код на отрицателно цяло число се различава от директния код на съответното положително число по съдържанието на знаковия бит. Но вместо директен код, компютрите използват код за допълване на две, за да представят отрицателни цели числа.

Обърнете внимание, че максималното положително число, което може да бъде записано в нотация със знак с k цифри, е 2 k-1 - 1 , което е почти два пъти по-малко от максималния брой в представянето без знак в същите k бита.

Въпрос 1. Възможно ли е да се представи числото 200 със знак в 8-битова клетка?

Въпроси.

1. Обосновете възможността за представяне на цели числа по специален начин на компютър.
2. Дайте пример за умножение на две положителни числа с ограничен брой цифри, което води до отрицателно число.
3. Избройте и обяснете всички грешки, които могат да възникнат при извършване на аритметични операции с цели числа в компютърната аритметика в ограничен брой цифри.
4. Покажете как използването на код за допълване на две ви позволява да замените операцията за изваждане с операция за добавяне.
5. В осембитова клетка запишете допълнителните кодове на следните двоични числа: а) -1010; б) -1001; в) -11; г) -11011.
6. Може ли да се каже по формата на допълнението на числото дали е четно или нечетно?
7. Намерете десетичните еквиваленти на отрицателни числа, записани като допълнение от две: а) 11000100; б) 11111001.
8. Кое от числата 43 16, 101010 2, 129 10 и -135 10 може да бъде съхранено в един байт (8 бита)?
9. Получете 16-битово представяне на следните числа: а) 25; б) -610.
10. За числата A = 1110 2, B = 1101 2 изпълнете следните операции: A + B; А - Б; Б - А; -А - А; -B - B; -A - B (в осембитово представяне със знак).

Въпроси.

1. Напишете следните десетични числа в нормализирана форма:

а) 217,934; в) 10,0101; б) 75321; г) 0,00200450.

2. Редуцирайте следните числа до нормализирана форма, като използвате основите на техните бройни системи като P:

а) -0,000001011101 2 ;

б) 98765432У 10;

в) 123456789, ABCD 16.

3. Сравнете следните числа:

а) 318,4785 × 10 9 и 3,184785 × 10 11;

б) 218,4785 × 10 -3 и 21847,85 × 10 -4;

в) 0,1101 2 × 2 2 и 101 2 × 2 -2.

4. Сравнете диапазона на представяне на числа с плаваща запетая в 32-битов формат (24 бита за мантиса и 6 бита за модул) с диапазона на представяне на числа с фиксирана запетая в същия формат.

5. Какви са предимствата на компютърното представяне на числа с плаваща запетая пред представянето с фиксирана запетая, което най-често използваме в ежедневието?

6. Извършете следните аритметични операции с десетични нормализирани числа съгласно правилата на реалната компютърна аритметика (6 значещи цифри трябва да се съхраняват в мантисата):

а) 0,397621 х 10 3 + 0,237900 х 10 1;

б) 0,982563 х 10 2 - 0,745623 х 10 2;

в) 0,235001 х 10 2 0,850000 х 10 3;

г) 0,117800 x 10 2: 0,235600 x 10 3.

Когато изпълнявате тази задача, трябва да нормализирате мантисата на резултата от съответната аритметична операция и след това да я закръглите

7. Изпълнете операцията върху машинни кодове на числа с плаваща запетая в 32-битов формат: X = A + B, където A = 125.75 и B = -50.

8. Избройте и обяснете всички грешки, които могат да възникнат при аритметични операции с нормализирани числа в ограничен брой цифри.

Квантуване на цветовете.

Както бе споменато по-горе, графичната информация от естествен произход, когато се въвежда в компютър, трябва да бъде подложена на операции за пространствено вземане на проби и квантуване на цветовете

Квантуването (кодирането) на цвета се основава на математическо описание на цвета, което от своя страна разчита на факта, че цветовете могат да бъдат измерени и сравнени. Научната дисциплина, която изучава измерването на характеристиките на цвета, се нарича цветна метрология, или колориметрия. Човек има много сложно цветово възприятие; достатъчно е да се отбележи, че зрителните центрове на мозъка на новородените прекарват няколко месеца (!) само в тренировки да виждат. Следователно математическото описание на цвета също е много нетривиално.

Дълго време учените не успяха да обяснят процеса на цветоусещане. До средата на 17 век господства спекулативната теория на Аристотел, според която всички цветове се образуват чрез смесване на черно с бяло. Първите сериозни резултати в тази област са получени от Исак Нютон, който описва съставната природа на бялата светлина и установява, че спектралните цветове са неразложими и че чрез смесване на спектрални цветове е възможно да се синтезират бял цвят и всякакви нюанси на други цветове. Нютон идентифицира седемте най-забележими спектрални цвята в спектъра на бялата светлина и ги нарича първични - червено, оранжево, жълто, зелено, синьо, индиго и виолетово. Около половин век по-късно, през 1756 г., изключителният руски учен М. В. Ломоносов формулира т. нар. трикомпонентна теория на цвета, обобщавайки огромния емпиричен материал, който е натрупал при разработването на технологията за производство на цветно стъкло и мозайка. Докато изследва проблемите на оцветяването на стъклото, Ломоносов открива, че за да се придаде цветен нюанс на стъклото на който и да е М. В. Ломоносов (1711-1765), е достатъчно да се използват само три основни бои, смесвайки ги в определени пропорции. Около век по-късно изключителният немски учен Херман Грасман (1809-1877) въвежда математически апарат под формата на законите на Грасман за адитивен синтез на цветовете в теорията на трикомпонентния цвят. Най-важните от тях са следните два закона.

Закон за триизмерността: използвайки три линейно независими цвята, всеки цвят може да бъде уникално изразен. Цветовете се считат за линейно независими, ако нито един от тях не може да бъде получен чрез смесване на другите.

Закон за непрекъснатостта: когато съставът на цветната смес непрекъснато се променя, полученият цвят също се променя непрекъснато. Можете да изберете безкрайно близък цвят до всеки цвят.

Теорията на трикомпонентния цвят става основа на колориметрията, но обосновката на тази теория се появява едва в началото на 19-20 век, след като е изследвана физиологията на зрителните органи.

Колориметричните закони на Грасман установяват общите свойства на математическите модели на цвета. Всъщност законите на Грасман постулират, че всеки цвят може да бъде недвусмислено свързан с определена точка в триизмерното пространство. Точките в пространството, които съответстват на цветовете, възприемани от човешкото око, образуват определено изпъкнало тяло в пространството. Абсолютното черно винаги съответства на точката (0, 0, 0). По този начин цветовете могат да се разглеждат като точки или вектори в триизмерно цветово пространство. Всеки цветен модел определя определена координатна система в него, в която основните цветове на модела играят ролята на базисни вектори. И цветното квантуване е по същество дискретизация на цветовото пространство.

Най-често в компютърните технологии се използват следните цветови модели:

• RGB (червено-зелено-синьо, червено-зелено-синьо).
• CMYK (циан-магента-жълто-черно, циан-магента-жълто-черно).
• HSB (Hue-Saturation-Brightness, нюанс-наситеност-яркост).

За да премахнем двусмислието в тълкуването на термините „яркост“, „наситеност“, „цветов нюанс“, нека ги обясним.

Яркосте характеристика на цвета, чието определение основно съвпада с ежедневната концепция за яркост и физическата концепция за осветеност или осветеност. Яркочервените, червените и тъмночервените цветове се различават точно по яркост. От физическа гледна точка, яркостта е количествена мярка за потока от светлинна енергия, излъчвана или отразена от обект към наблюдателя. Така че при ярка слънчева светлина и привечер един и същ цветен модел изглежда различно. В този случай цветните нюанси не се променят, различна е само яркостта на цветовете.

Цветен нюанс и наситеността са две други независими характеристики на цвета. Нека имаме набор от бои с различни цветове. Чрез смесване на различни бои помежду си ще получим нови цветове. Например, смес от равни количества жълта и синя бои ще произведе зелена боя. Оттенъкът или нюансът на въпросния обект е свързан със спектралния състав на радиацията. По цветовия тон на даден предмет можем да съдим за цвета на обекта – син, зелен, червен и др. Отделни части от видимия спектър предизвикват усещане за различни цветове.

Насищанехарактеризира степента на "разреждане" на цветен тон с бяло. Например, ако яркочервената (наситена) боя се разрежда с бяла, тогава цветният й нюанс ще остане същият, само наситеността ще се промени. По абсолютно същия начин кафявото, жълтото и лимоновото имат еднакъв цветови нюанс - жълто, разликата им е в наситеността на цветовия нюанс. Светлината от монохромен източник има най-голяма наситеност.

Обърнете внимание, че за белите и черните цветове наситеността е 0%, т.е. тези цветове нямат наситеност. Ето защо, смесвайки ги с цветна боя, ние променяме нейната наситеност, а не нюанса.

RGB цветен модел.

В RGB модела основните цветове са червено, зеленоИ синьо. Този модел се използва главно при показване на графични изображения на екрана на монитор, телевизор, мобилен телефон и др. Чрез смесване на три основни цвята се синтезират всички останали цветове, като тяхната условна яркост (интензитет) се определя с реални числа от 0 до 1. (стойност 1 съответства на максималната яркост на съответния цвят, който графичното устройство може да показва). RGB моделът дефинира цветово пространство под формата на единичен куб с оси „яркост на червения компонент“, „яркост на зеления компонент“ и „яркост на синия компонент“.

Характеристики на RGB модела

Всяка точка от куба ( r, g, b ) определя определен цвят.

Точката (0, 0, 0) съответства на черното, точката (1, 1, 1) на бялото, а линията (0, 0, 0) - (1, 1, 1) описва всички нюанси на сивото: от черно към бяло.

При движение по права линия от (0, 0, 0) през точката ( r, g, b) получаваме всички градации на яркостта на цвета ( r, g, b), от най-тъмното към най-яркото. Например (1/4, 1/4, 0) - тъмно кафяво, (1/2, 1/2, 0) - кафяво, (3/4, 3/4, 0) - жълто-кафяво, ( 1 , 1, 0) - жълто.

На лицата на куба ( r = 0}, {ж = 0) и ( b = 0) са разположени най-наситените цветове.

Колкото по-близо е дадена точка до главния диагонал (0, 0, 0)-(1, 1, 1), толкова по-малко наситен е съответният цвят.

RGB цветовият модел има физиологична основа. Човешкото око съдържа четири вида зрителни рецептори: пръчици (рецептори за интензитет) и

три вида "конуси" (цветни рецептори). Конусите от всеки тип са чувствителни към светлина в техния тесен диапазон от дължини на вълните за конуси от различни типове, максималната чувствителност възниква при различни дължини на вълната, диапазоните на чувствителност частично се припокриват:

Благодарение на неравномерната спектрална чувствителност и припокриващите се диапазони на чувствителност, човешкото око е в състояние да различи огромен брой цветове (около 10 милиона).

Ако изпратите в окото съставен светлинен сигнал с правилно избрано съотношение на яркост на червени, зелени и сини цветове, тогава зрителните центрове на мозъка няма да могат да различат заместването и ще заключат, че се наблюдава желаният цвят ! Този механизъм за синтезиране на цветови нюанси се използва във всички съвременни видове цветни монитори, телевизори и дисплеи на мобилни телефони.

За да се използва математическият RGB модел за реално компютърно представяне на графична информация, е необходимо да се квантува цветовото пространство, т.е. да се намери начин да се представят реалните стойности на яркостта на цветовите компоненти в дискретна форма

Най-лесният начин да постигнете това е да конвертирате реални числа от интервала )