И сега ще има продължение на темата, в която ще разгледаме не само нов материал, но и ще изработим действия с матрици.

Има доста свойства, които се отнасят до операции с матрици; в същата Wikipedia можете да се възхищавате на подредените редици на съответните правила. На практика обаче много свойства са в известен смисъл „мъртви“, тъй като само няколко от тях се използват за решаване на реални проблеми. Целта ми е да разгледам практическото приложение на свойствата с конкретни примери и ако имате нужда от строга теория, моля, използвайте друг източник на информация.

Нека да разгледаме някои изключения от правилото, които ще са необходими за изпълнение на практически задачи.

Ако квадратна матрица има обратна матрица, тогава тяхното умножение е комутативно:

Идентификационната матрица е квадратна матрица, чиято главен диагоналединици са разположени, а останалите елементи са равни на нула. Например: и т.н.

В този случай е вярно следното свойство: ако произволна матрица се умножи отляво или отдясно по матрица за идентичност с подходящи размери, резултатът ще бъде оригиналната матрица:

Както можете да видите, комутативността на матричното умножение също има място тук.

Нека вземем някаква матрица, добре, да кажем, матрицата от предишния проблем: .

Желаещите могат да проверят и да се уверят, че:

Единичната матрица за матрици е аналог на числовата единица за числа, което е особено ясно от току-що обсъдените примери.

За матрици и реални числа е валидно следното свойство:

Тоест числовият фактор може (и трябва) да бъде преместен напред, така че да „не пречи“ на умножителните матрици.

Забележка : най-общо казано, формулировката на свойството е непълна - "ламбда" може да бъде поставена навсякъде между матриците, дори в края. Правилото остава валидно, ако се умножат три или повече матрици.

Пример 4

Изчислете продукт

решение:

(1) Според собствеността преместете числения фактор напред. Самите матрици не могат да се пренареждат!

(2) – (3) Извършване на матрично умножение.

(4) Тук можете да разделите всяко число на 10, но тогава сред елементите на матрицата ще се появят десетични дроби, което не е добре. Забелязваме обаче, че всички числа в матрицата се делят на 5, така че умножаваме всеки елемент по .

Отговор:

Малка шарада, която да решите сами:

Пример 5

Изчислете дали

Решението и отговорът са в края на урока.

Коя техническа техника е важна при решаването на такива примери? Нека да разберем числата последно от всички .

Нека прикрепим друг вагон към локомотива:

Първо, КАКЪВ трябва да бъде резултатът от умножаването на три матрици? Котка няма да роди мишка. Ако умножението на матрицата е осъществимо, тогава резултатът също ще бъде матрица. Хм, добре, моят учител по алгебра не вижда как да обясня затвореността на алгебричната структура спрямо нейните елементи =)

Продуктът на три матрици може да се изчисли по два начина:

1) намерете и след това умножете по матрицата “ce”: ;

2) или първо намерете, след това умножете.

Резултатите със сигурност ще съвпаднат и на теория това свойство се нарича асоциативност на матричното умножение:

Пример 6

Умножаване на матрици по два начина

Алгоритъмът за решение е двуетапен: намираме произведението на две матрици, след което отново намираме произведението на две матрици.

1) Използвайте формулата

Действие едно:

Второ действие:

2) Използвайте формулата

Действие едно:

Второ действие:

Отговор:

Първото решение, разбира се, е по-познато и стандартно, където „изглежда всичко е наред“. Между другото, относно поръчката. В разглежданата задача често възниква илюзията, че говорим за някакви пермутации на матрици. Те не са тук. Отново напомням, че в общия случай е НЕВЪЗМОЖНО ПРЕРАСТРАНЯВАНЕТО НА МАТРИЦИ. И така, във втория параграф, във втората стъпка, извършваме умножение, но в никакъв случай не . С обикновени числа такъв номер би работил, но с матрици не би.

Свойството на асоциативното умножение е вярно не само за квадратни, но и за произволни матрици - стига да се умножават:

Пример 7

Намерете произведението на три матрици

Това е пример, който можете да решите сами. В примерното решение изчисленията се извършват по два начина; анализирайте кой път е по-изгоден и по-кратък.

Свойството за асоциативност на матричното умножение се отнася и за по-голям брой фактори.

Сега е моментът да се върнем към мощностите на матриците. Квадратът на матрицата се разглежда в самото начало и въпросът на дневен ред е:

Тези операции също са дефинирани само за квадратни матрици. За да кубирате квадратна матрица, трябва да изчислите продукта:

Всъщност това е специален случай на умножение на три матрици, съгласно свойството за асоциативност на умножението на матрици: . И една матрица, умножена по себе си, е квадрат на матрицата:

Така получаваме работната формула:

Тоест задачата се изпълнява на две стъпки: първо матрицата трябва да бъде повдигната на квадрат и след това получената матрица трябва да бъде умножена по матрицата.

Пример 8

Конструирайте матрицата в куб.

Това е малък проблем, който трябва да решите сами.

Повдигането на матрица на четвърта степен се извършва по естествен начин:

Използвайки асоциативността на матричното умножение, извеждаме две работещи формули. Първо: – това е произведението на три матрици.

1) . С други думи, първо намираме , след това го умножаваме по „be“ - получаваме куб и накрая отново извършваме умножението - ще има четвърта степен.

2) Но има решение с една стъпка по-кратко: . Тоест, в първата стъпка намираме квадрат и, заобикаляйки куба, извършваме умножение

Допълнителна задача към Пример 8:

Повдигнете матрицата на четвърта степен.

Както току-що отбелязахме, това може да стане по два начина:

1) Тъй като кубът е известен, тогава извършваме умножение.

2) Но ако според условията на задачата се изисква да се построи матрица само на четвърта степен, тогава е изгодно да съкратите пътя - намерете квадрата на матрицата и използвайте формулата.

И двете решения и отговорът са в края на урока.

По същия начин матрицата се издига до петата и по-високите мощности. От практически опит мога да кажа, че понякога срещам примери за повишаване на 4-та степен, но не помня нищо за пета степен. Но за всеки случай ще дам оптималния алгоритъм:

1) намери ;
2) намери ;
3) повдигнете матрицата на пета степен: .

Това са може би всички основни свойства на матричните операции, които могат да бъдат полезни при практически задачи.

Във втората част на урока се очаква също толкова колоритна тълпа.

Нека повторим обичайните ученически изрази с числа. Числовият израз се състои от числа, математически символи и скоби, например: . При изчисляване се прилага познатият алгебричен приоритет: първо, скоби, след което се изпълнява степенуване/вкореняване, Тогава умножение/делениеи не на последно място - събиране/изваждане.

Ако числовият израз има смисъл, тогава резултатът от неговата оценка е число, например:

Матричните изрази работят почти по същия начин! С тази разлика, че главните герои са матрици. Плюс някои специфични операции с матрици, като транспониране и намиране на обратната на матрица.

Разгледайте матричния израз , където са някои матрици. В този матричен израз три члена и операции за добавяне/изваждане се изпълняват последни.

В първия член първо трябва да транспонирате матрицата „be“: , след това да извършите умножението и да въведете „двете“ в получената матрица. Имайте предвид, че транспонирането има по-висок приоритет от умножението. Скобите, както в числовите изрази, променят реда на действията: - тук първо се извършва умножението, след това получената матрица се транспонира и умножава по 2.

Във втория член първо се извършва умножение на матрицата и обратната матрица се намира от продукта. Ако премахнете скобите: , тогава първо трябва да намерите обратната матрица и след това да умножите матриците: . Намирането на обратното на матрица също има предимство пред умножението.

С третия член всичко е очевидно: издигаме матрицата в куб и въвеждаме „петицата“ в получената матрица.

Ако матричен израз има смисъл, тогава резултатът от неговата оценка е матрица.

Всички задачи ще бъдат от реални тестове, като ще започнем с най-простите:

Пример 9

Дадени матрици . намирам:

Решение: редът на действията е очевиден, първо се извършва умножение, след това добавяне.

Събирането не може да се извърши, тъй като матриците са с различни размери.

Не се изненадвайте; в задачи от този тип често се предлагат очевидно невъзможни действия.

Нека се опитаме да изчислим втория израз:

Тук всичко е наред.

Отговор: действието не може да бъде изпълнено, .

Матрица A -1 се нарича обратна матрица по отношение на матрица A, ако A*A -1 = E, където E е матрицата на идентичност от n-ти ред. Обратна матрица може да съществува само за квадратни матрици.

Цел на услугата. С помощта на тази услуга онлайн можете да намерите алгебрични допълнения, транспонирана матрица A T, свързана матрица и обратна матрица. Решението се извършва директно на уебсайта (онлайн) и е безплатно. Резултатите от изчислението се представят в отчет във формат Word и Excel (т.е. възможно е да се провери решението). вижте примерен дизайн.

Инструкции. За да се получи решение, е необходимо да се посочи размерът на матрицата. След това попълнете матрица A в новия диалогов прозорец.

Вижте също обратна матрица, използваща метода на Йордано-Гаус

Пример №1. Нека напишем матрицата във формата: