Betrachten Sie eine beliebige, nicht unbedingt quadratische Matrix A der Größe mxn.

Matrixrang.

Das Konzept des Matrixrangs hängt mit dem Konzept zusammen lineare Abhängigkeit(Unabhängigkeit) der Zeilen (Spalten) der Matrix. Betrachten wir dieses Konzept für Strings. Für Spalten - ähnlich.

Bezeichnen wir die Drains der Matrix A:

e 1 =(a 11,a 12,…,a 1n); e 2 =(a 21,a 22,…,a 2n);…, e m =(a m1,a m2,…,a mn)

e k =e s wenn a kj =a sj , j=1,2,…,n

Arithmetische Operationen auf Matrixzeilen (Addition, Multiplikation mit einer Zahl) werden als Element für Element ausgeführte Operationen eingeführt: λе k =(λа k1 ,λа k2 ,…,λа kn);

e k +е s =[(a k1 +a s1),(a k2 +a s2),…,(a kn +a sn)].

Zeile e wird aufgerufen Linearkombination Zeilen e 1, e 2,…, e k, wenn es gleich der Summe der Produkte dieser Zeilen durch beliebige reelle Zahlen ist:

e=λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ k e k

Die Zeilen e 1, e 2,…, e m werden aufgerufen linear abhängig, wenn es reelle Zahlen λ 1 ,λ 2 ,…,λ m gibt, die nicht alle gleich Null sind, dass die Linearkombination dieser Zeichenfolgen gleich der Nullzeichenfolge ist: λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ m e m = 0 ,Wo 0 =(0,0,…,0) (1)

Wenn eine Linearkombination genau dann gleich Null ist, wenn alle Koeffizienten λ i gleich Null sind (λ 1 =λ 2 =...=λ m =0), dann sind die Zeilen e 1, e 2,..., e m heißen linear unabhängig.

Satz 1. Damit die Zeichenfolgen e 1 , e 2 ,…, e m linear abhängig sind, ist es notwendig und ausreichend, dass eine dieser Zeichenfolgen eine Linearkombination der verbleibenden Zeichenfolgen ist.

Nachweisen. Notwendigkeit. Die Strings e 1, e 2,…, e m seien linear abhängig. Lassen Sie, der Bestimmtheit halber, (1) λ m ≠0, dann

Das. Die Zeichenfolge e m ist eine lineare Kombination der verbleibenden Zeichenfolgen. Usw.

Angemessenheit. Eine der Zeichenfolgen, zum Beispiel e m, sei eine Linearkombination der verbleibenden Zeichenfolgen. Dann wird es Zahlen geben, bei denen die Gleichheit gilt, die in der Form umgeschrieben werden können

wobei mindestens einer der Koeffizienten (-1) ungleich Null ist. Diese. die Zeilen sind linear abhängig. Usw.

Definition. Kleinere k-te Ordnung Matrix A der Größe mxn wird als Determinante k-ter Ordnung bezeichnet, deren Elemente am Schnittpunkt beliebiger k Zeilen und beliebiger k Spalten der Matrix A liegen. (k≤min(m,n)). .

Beispiel., Minderjährige 1. Ordnung: =, =;

Minderjährige 2. Ordnung: , 3. Ordnung

Eine Matrix 3. Ordnung hat 9 Minor 1. Ordnung, 9 Minor 2. Ordnung und 1 Minor 3. Ordnung (die Determinante dieser Matrix).

Definition. Rang der Matrix A ist die höchste Ordnung der von Null verschiedenen Minderjährigen dieser Matrix. Bezeichnung - rg A oder r(A).

Matrix-Rangeigenschaften.

1) Der Rang der Matrix A nxm überschreitet nicht die kleinere ihrer Dimensionen, d.h.

r(A)≤min(m,n).

2) r(A)=0, wenn alle Matrixelemente gleich 0 sind, d.h. A=0.

3) Für quadratische Matrix Und n-ter Ordnung r(A)=n, wenn A nicht entartet ist.

(Der Rang einer Diagonalmatrix ist gleich der Anzahl ihrer Diagonalelemente ungleich Null).

4) Wenn der Rang einer Matrix gleich r ist, dann hat die Matrix mindestens einen Nebenwert der Ordnung r, der ungleich Null ist, und alle Nebenwerte höherer Ordnung sind gleich Null.

Für die Ränge der Matrix gelten folgende Beziehungen:

2) r(A+B)≤r(A)+r(B); 3) r(AB)≤min(r(A),r(B));

3) r(A+B)≥│r(A)-r(B)│; 4) r(A T A)=r(A);

5) r(AB)=r(A), wenn B eine quadratische nicht-singuläre Matrix ist.

6) r(AB)≥r(A)+r(B)-n, wobei n die Anzahl der Spalten der Matrix A oder Zeilen der Matrix B ist.

Definition. Ein kleinerer Wert ungleich Null der Ordnung r(A) wird aufgerufen grundlegendes Nebenfach. (Matrix A kann mehrere Basis-Minderjährige haben). Zeilen und Spalten, an deren Schnittpunkt sich eine Basis-Minor befindet, werden jeweils aufgerufen Basissaiten Und Basissäulen.

Satz 2 (über das Basis-Moll). Die zugrunde liegenden Zeilen (Spalten) sind linear unabhängig. Jede Zeile (jede Spalte) der Matrix A ist eine lineare Kombination der Basiszeilen (Spalten).

Nachweisen. (Für Streicher). Wären die Grundzeilen linear abhängig, dann wäre nach Satz (1) eine dieser Zeilen eine Linearkombination anderer Grundzeilen, dann kann man, ohne den Wert der Grundunterzeile zu ändern, die angegebene Linearkombination von dieser Zeile subtrahieren und eine Nullzeile erhalten, und dies widerspricht der Tatsache, dass die Basis-Moll von Null verschieden ist. Das. Die Basiszeilen sind linear unabhängig.

Beweisen wir, dass jede Zeile der Matrix A eine Linearkombination der Basiszeilen ist. Weil Bei willkürlichen Änderungen von Zeilen (Spalten) behält die Determinante die Eigenschaft, gleich Null zu sein, dann können wir ohne Verlust der Allgemeinheit davon ausgehen, dass sich die Basis Minor in der oberen linken Ecke der Matrix befindet

A=, diese. befindet sich in den ersten r Zeilen und ersten r Spalten. Sei 1£j£n, 1£i£m. Zeigen wir, dass die Determinante der Ordnung (r+1) ist

Wenn j£r oder i£r, dann ist diese Determinante gleich Null, weil es wird zwei identische Spalten oder zwei identische Zeilen haben.

Wenn j>r und i>r, dann ist diese Determinante ein Minor der (r+1)-ten Ordnung der Matrix A. Da Der Rang der Matrix ist gleich r, was bedeutet, dass jeder Nebenwert höherer Ordnung gleich 0 ist.

Wenn wir es entsprechend den Elementen der letzten (hinzugefügten) Spalte erweitern, erhalten wir

a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a rj A rj +a ij A ij =0, wobei der letzte algebraisches Komplement A ij fällt mit der Basis Minor M r zusammen und daher ist A ij = M r ≠0.

Wenn wir die letzte Gleichheit durch A ij dividieren, können wir das Element a ij als lineare Kombination ausdrücken: , wobei .

Lassen Sie uns den Wert von i (i>r) festlegen und diesen für jedes j (j=1,2,…,n) der Elemente ermitteln i-te Zeile e i werden linear durch die Elemente der Linien e 1, e 2,…, e r ausgedrückt, d.h. i-te Zeile ist eine lineare Kombination der Basiszeichenfolgen: . Usw.

Satz 3. (notwendige und ausreichende Bedingung dafür, dass die Determinante gleich Null ist). Damit die Determinante n-ter Ordnung D gleich Null ist, ist es notwendig und ausreichend, dass ihre Zeilen (Spalten) linear abhängig sind.

Beweis (S.40). Notwendigkeit. Wenn die Determinante n-ter Ordnung D gleich Null ist, dann hat die Basis ihrer Matrix die Ordnung r

Somit ist eine Zeile eine lineare Kombination der anderen. Dann sind nach Satz 1 die Zeilen der Determinante linear abhängig.

Angemessenheit. Wenn die Zeilen D linear abhängig sind, dann ist nach Satz 1 eine Zeile A i eine Linearkombination der übrigen Zeilen. Wenn wir die angegebene Linearkombination von der Zeichenfolge A i subtrahieren, ohne den Wert von D zu ändern, erhalten wir eine Nullzeichenfolge. Daher gilt entsprechend den Eigenschaften der Determinanten D=0. usw.

Satz 4. Bei elementaren Transformationen ändert sich der Rang der Matrix nicht.

Nachweisen. Wie bei der Betrachtung der Eigenschaften von Determinanten gezeigt wurde, ändern sich deren Determinanten bei der Transformation quadratischer Matrizen entweder nicht, werden mit einer Zahl ungleich Null multipliziert oder ändern das Vorzeichen. In diesem Fall bleibt die höchste Ordnung der Nicht-Null-Minderjährigen der Originalmatrix erhalten, d.h. der Rang der Matrix ändert sich nicht. Usw.

Wenn r(A)=r(B), dann sind A und B Äquivalent: A~B.

Satz 5. Mithilfe elementarer Transformationen können Sie die Matrix auf reduzieren Stufenansicht. Die Matrix heißt schrittweise, wenn es die Form hat:

A=, wobei a ii ≠0, i=1,2,…,r; r≤k.

Die Bedingung r≤k kann immer durch Transponieren erreicht werden.

Satz 6. Der Rang einer Staffelmatrix entspricht der Anzahl ihrer Nicht-Null-Zeilen .

Diese. Der Rang der Stufenmatrix ist gleich r, weil Es gibt ein von Null verschiedenes Minderjähriges der Ordnung r:

Jede Zeile der Matrix A wird mit e i = (a i 1 a i 2 …, a in) bezeichnet (z. B.
e 1 = (a 11 a 12 ..., a 1 n), e 2 = (a 21 a 22 ..., a 2 n) usw.). Jede von ihnen ist eine Zeilenmatrix, die gemäß den allgemeinen Regeln für die Arbeit mit Matrizen mit einer Zahl multipliziert oder zu einer anderen Zeile addiert werden kann.

Linearkombination Die Geraden e l , e 2 ,...e k heißen die Summe der Produkte dieser Geraden durch beliebige reelle Zahlen:
e = l l e l + l 2 e 2 +...+ l k e k, wobei l l, l 2,..., l k beliebige Zahlen (Koeffizienten einer Linearkombination) sind.

Die Zeilen der Matrix werden e l , e 2 ,...em genannt linear abhängig, wenn es Zahlen l l , l 2 ,..., l m gibt, die gleichzeitig ungleich Null sind, so dass die Linearkombination der Zeilen der Matrix gleich der Nullzeile ist:
l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0, wobei 0 = (0 0...0).

Eine lineare Beziehung zwischen den Zeilen einer Matrix bedeutet, dass mindestens eine Zeile der Matrix eine lineare Kombination der anderen ist. Der Bestimmtheit halber sei tatsächlich der letzte Koeffizient l m ¹ 0. Wenn wir dann beide Seiten der Gleichheit durch l m dividieren, erhalten wir einen Ausdruck für die letzte Zeile als lineare Kombination der verbleibenden Zeilen:
e m = (l l /l m)e l + (l 2 /l m)e 2 +...+ (l m-1 /l m)e m-1 .

Wenn eine lineare Kombination von Zeilen genau dann gleich Null ist, wenn alle Koeffizienten gleich Null sind, d. h. l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0 Û l k = 0 "k, dann heißen die Linien linear unabhängig.

Matrixrangsatz. Der Rang einer Matrix ist gleich der maximalen Anzahl ihrer linear unabhängigen Zeilen oder Spalten, durch die alle anderen Zeilen oder Spalten linear ausgedrückt werden können.

Beweisen wir diesen Satz. Es sei eine Matrix A der Größe m x n mit dem Rang r (r(A) £ min (m; n)). Folglich existiert ein von Null verschiedenes Moll r-ter Ordnung. Wir werden jeden dieser Minderjährigen anrufen Basic. Zur Verdeutlichung soll es ein Moll sein

Die Zeilen dieses Molls werden ebenfalls aufgerufen Basic.

Beweisen wir, dass dann die Zeilen der Matrix e l , e 2 ,...e r linear unabhängig sind. Nehmen wir das Gegenteil an, d.h. Eine dieser Zeilen, zum Beispiel die r-te, ist eine lineare Kombination der anderen: e r = l l e l + l 2 e 2 +...+ l r-1 e r-1 = 0. Wenn wir dann subtrahieren Elemente der r-ten Zeile 1. Zeile multipliziert mit l l , Elemente der 2. Zeile multipliziert mit l 2 usw., schließlich Elemente der (r-1)-ten Zeile multipliziert mit l r-1 , dann das r-te Zeile wird Null. In diesem Fall sollte sich die obige Determinante entsprechend den Eigenschaften der Determinante nicht ändern und gleichzeitig gleich Null sein. Es entsteht ein Widerspruch und die lineare Unabhängigkeit der Zeilen ist bewiesen.

Jetzt beweisen wir, dass alle (r+1) Zeilen der Matrix linear abhängig sind, d.h. Jede Zeichenfolge kann durch einfache Zeichenfolgen ausgedrückt werden.

Ergänzen wir das zuvor betrachtete Moll um eine weitere Zeile (i-te) und eine weitere Spalte (j-te). Als Ergebnis erhalten wir einen Minor der Ordnung (r+1), der per Definition des Rangs gleich Null ist.

wo sind einige Zahlen (einige dieser Zahlen oder sogar alle können gleich Null sein). Dies bedeutet, dass zwischen den Elementen der Spalten folgende Gleichheiten bestehen:

Aus (3.3.1) folgt das

Wenn Gleichheit (3.3.3) genau dann wahr ist, wenn , dann heißen die Zeilen linear unabhängig. Beziehung (3.3.2) zeigt, dass, wenn eine der Zeilen linear durch die anderen ausgedrückt wird, die Zeilen linear abhängig sind.

Das Gegenteil ist leicht zu erkennen: Wenn die Zeichenfolgen linear abhängig sind, gibt es eine Zeichenfolge, die eine lineare Kombination der verbleibenden Zeichenfolgen ist.

Nehmen wir also zum Beispiel (3.3.3). .

Definition. Es sei ein bestimmter Minor r-ter Ordnung in Matrix A identifiziert und der Minor (r+1)-ter Ordnung derselben Matrix soll den Minor vollständig enthalten. Wir werden sagen, dass in diesem Fall der Minor an den Minor grenzt (oder angrenzt).

Jetzt werden wir ein wichtiges Lemma beweisen.

Lemmaüber angrenzende Minderjährige. Wenn ein Minor der Ordnung r der Matrix A= von Null verschieden ist und alle an ihn angrenzenden Minors gleich Null sind, dann ist jede Zeile (Spalte) der Matrix A eine Linearkombination ihrer Zeilen (Spalten), aus denen sich zusammensetzt.

Nachweisen. Ohne die Allgemeingültigkeit der Argumentation zu verlieren, gehen wir davon aus, dass sich in der oberen linken Ecke der Matrix A = ein Minor r. Ordnung ungleich Null befindet:

.

Für die ersten k Zeilen der Matrix A ist die Aussage des Lemmas offensichtlich: Es reicht aus, dieselbe Zeile mit einem Koeffizienten gleich eins und den Rest mit Koeffizienten gleich Null in eine Linearkombination aufzunehmen.

Lassen Sie uns nun beweisen, dass die verbleibenden Zeilen der Matrix A linear durch die ersten k Zeilen ausgedrückt werden. Dazu konstruieren wir einen Minor der Ordnung (r+1), indem wir die k-te Zeile () zum Minor and hinzufügen l te Spalte():

.

Der resultierende Minor ist für alle k und l gleich Null. Wenn , dann ist es gleich Null, da es zwei identische Spalten enthält. Wenn , dann ist der resultierende Minor der angrenzende Minor für und ist daher gemäß den Bedingungen des Lemmas gleich Null.

Zerlegen wir das Moll nach den Elementen des letzten l Spalte:

Angenommen, wir erhalten:

(3.3.6)

Ausdruck (3.3.6) bedeutet, dass die k-te Zeile der Matrix A linear durch die ersten r Zeilen ausgedrückt wird.

Da sich bei der Transponierung einer Matrix die Werte ihrer Minderjährigen nicht ändern (aufgrund der Eigenschaft von Determinanten), gilt alles Bewiesene auch für Spalten. Der Satz ist bewiesen.

Folgerung I. Jede Zeile (Spalte) einer Matrix ist eine lineare Kombination ihrer Basiszeilen (Spalten). Tatsächlich ist die Basis-Moll der Matrix ungleich Null, und alle daran angrenzenden Minor-Matrix sind gleich Null.

Folgerung II. Eine Determinante n-ter Ordnung ist genau dann gleich Null, wenn sie linear abhängige Zeilen (Spalten) enthält. Dass die lineare Abhängigkeit von Zeilen (Spalten) ausreicht, damit die Determinante gleich Null ist, wurde bereits früher als Eigenschaft von Determinanten nachgewiesen.

Lassen Sie uns die Notwendigkeit beweisen. Gegeben sei eine quadratische Matrix n-ter Ordnung, deren einzige Nebenmatrix Null ist. Daraus folgt, dass der Rang dieser Matrix kleiner als n ist, d.h. Es gibt mindestens eine Zeile, die eine lineare Kombination der Basiszeilen dieser Matrix ist.

Lassen Sie uns einen weiteren Satz über den Rang der Matrix beweisen.

Satz. Die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen einer Matrix ist gleich der maximalen Anzahl ihrer linear unabhängigen Spalten und entspricht dem Rang dieser Matrix.

Nachweisen. Der Rang der Matrix A= sei gleich r. Dann sind alle k-Basiszeilen linear unabhängig, andernfalls wäre die Basis-Minor-Zeile gleich Null. Andererseits sind alle r+1 oder mehr Zeilen linear abhängig. Unter der Annahme des Gegenteils könnten wir nach Korollar 2 des vorherigen Lemmas eine kleinere Ordnung größer als r finden, die ungleich Null ist. Letzteres widerspricht der Tatsache, dass die maximale Ordnung von Minderjährigen ungleich Null r ist. Alles, was für Zeilen bewiesen wurde, gilt auch für Spalten.

Abschließend werden wir eine weitere Methode zum Ermitteln des Rangs einer Matrix skizzieren. Der Rang einer Matrix kann bestimmt werden, indem man einen Nebenwert der maximalen Ordnung findet, der von Null verschieden ist.

Dies erfordert auf den ersten Blick die Berechnung einer endlichen, aber vielleicht sehr großen Anzahl von Minderjährigen dieser Matrix.

Der folgende Satz erlaubt jedoch, hier wesentliche Vereinfachungen einzuführen.

Satz. Wenn der Nebenwert der Matrix A ungleich Null ist und alle an ihn angrenzenden Nebenwerte gleich Null sind, ist der Rang der Matrix gleich r.

Nachweisen. Es genügt zu zeigen, dass jedes Subsystem von Matrixzeilen für S>r unter den Bedingungen des Theorems linear abhängig ist (daraus folgt, dass r die maximale Anzahl linear unabhängiger Matrixzeilen oder eines ihrer Nebensysteme mit einer Ordnung größer als k ist). gleich Null sind).

Nehmen wir das Gegenteil an. Die Zeilen seien linear unabhängig. Nach dem Lemma über angrenzende Minderjährige wird jeder von ihnen linear durch die Zeilen ausgedrückt, die den Minderjährigen enthalten und die aufgrund der Tatsache, dass sie ungleich Null sind, linear unabhängig sind:

Betrachten Sie nun die folgende Linearkombination:

oder

Mit (3.3.7) und (3.3.8) erhalten wir

,

was der linearen Zeilenunabhängigkeit widerspricht.

Folglich ist unsere Annahme falsch und daher sind alle S>r-Zeilen unter den Bedingungen des Satzes linear abhängig. Der Satz ist bewiesen.

Betrachten wir die Regel zur Berechnung des Rangs einer Matrix – die Methode zur Eingrenzung von Minderjährigen, basierend auf diesem Theorem.

Bei der Berechnung des Rangs einer Matrix sollte man von Untergeordneten niedrigerer Ordnung zu Untergeordneten höherer Ordnung übergehen. Wenn bereits ein Minor r-ter Ordnung, der von Null verschieden ist, gefunden wurde, müssen nur die an den Minor angrenzenden Minors (r+1)-ter Ordnung berechnet werden. Wenn sie gleich Null sind, ist der Rang der Matrix gleich r. Diese Methode wird auch verwendet, wenn wir nicht nur den Rang der Matrix berechnen, sondern auch bestimmen, welche Spalten (Zeilen) die Basis Minor der Matrix bilden.

Beispiel. Berechnen Sie den Rang der Matrix mithilfe der Bordering-Minor-Methode

Lösung. Der Moll zweiter Ordnung, der sich in der oberen linken Ecke der Matrix A befindet, ist ungleich Null:

.

Alle ihn umgebenden Minderjährigen dritter Ordnung sind jedoch gleich Null:

;	;
;	;
;	.

Daher ist der Rang der Matrix A gleich zwei: .

Die erste und zweite Zeile sowie die erste und zweite Spalte dieser Matrix sind grundlegend. Die übrigen Zeilen und Spalten sind lineare Kombinationen davon. Tatsächlich gelten für Strings die folgenden Gleichheiten:

Abschließend stellen wir die Gültigkeit der folgenden Eigenschaften fest:

1) der Rang des Matrizenprodukts ist nicht größer als der Rang jedes einzelnen Faktors;

2) Der Rang des Produkts einer beliebigen Matrix A rechts oder links durch eine nicht singuläre quadratische Matrix Q ist gleich dem Rang der Matrix A.

Polynommatrizen

Definition. Eine Polynommatrix oder -matrix ist eine rechteckige Matrix, deren Elemente Polynome in einer Variablen mit numerischen Koeffizienten sind.

Auf -Matrizen können elementare Transformationen durchgeführt werden. Dazu gehören:

Zwei Zeilen (Spalten) neu anordnen;

Multiplizieren einer Zeile (Spalte) mit einer Zahl ungleich Null;

Hinzufügen einer weiteren Zeile (Spalte) zu einer Zeile (Spalte), multipliziert mit einem beliebigen Polynom.

Zwei Matrizen gleicher Größe heißen äquivalent: , wenn man von einer Matrix zu einer endlichen Anzahl elementarer Transformationen übergehen kann.

Beispiel. Beweisen Sie die Matrixäquivalenz

,

.

1. Vertauschen Sie die erste und zweite Spalte in der Matrix:

.

2. Subtrahieren Sie von der zweiten Zeile die erste, multipliziert mit ():

.

3. Multiplizieren Sie die zweite Zeile mit (–1) und notieren Sie sich das

.

4. Subtrahieren Sie von der zweiten Spalte die erste, multipliziert mit , erhalten wir

.

Die Menge aller Matrizen gegebener Größe wird in disjunkte Klassen äquivalenter Matrizen unterteilt. Untereinander äquivalente Matrizen bilden eine Klasse, nicht äquivalente Matrizen eine andere.

Jede Klasse äquivalenter Matrizen ist durch eine kanonische oder normale Matrix mit bestimmten Dimensionen gekennzeichnet.

Definition. Eine kanonische oder normale Dimensionsmatrix ist eine Matrix, deren Hauptdiagonale Polynome enthält, wobei p die kleinere der Zahlen m und n ist ( ), und Polynome, die ungleich Null sind, haben führende Koeffizienten gleich 1, und jedes nachfolgende Polynom wird durch das vorherige dividiert. Alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonale sind 0.

Aus der Definition folgt, dass, wenn es unter den Polynomen Polynome vom Grad Null gibt, diese am Anfang der Hauptdiagonale stehen. Wenn es Nullen gibt, liegen diese am Ende der Hauptdiagonalen.

Die Matrix des vorherigen Beispiels ist kanonisch. Matrix

auch kanonisch.

Jede Klasse von -Matrizen enthält eine eindeutige kanonische -Matrix, d. h. Jede -Matrix entspricht einer eindeutigen kanonischen Matrix, die als kanonische Form oder Normalform dieser Matrix bezeichnet wird.

Polynome, die auf der Hauptdiagonale der kanonischen Form einer gegebenen Matrix liegen, werden als invariante Faktoren dieser Matrix bezeichnet.

Eine Methode zur Berechnung invarianter Faktoren besteht darin, eine gegebene Matrix auf die kanonische Form zu reduzieren.

Für die Matrix des vorherigen Beispiels gelten also die invarianten Faktoren

Daraus folgt, dass das Vorhandensein des gleichen Satzes invarianter Faktoren eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Äquivalenz von -Matrizen ist.

Die Reduzierung von -Matrizen auf die kanonische Form reduziert sich auf die Bestimmung invarianter Faktoren

, ; ,

wobei r der Rang der Matrix ist; - der größte gemeinsame Teiler der Minderjährigen k-ter Ordnung, berechnet mit dem führenden Koeffizienten gleich 1.

Beispiel. Sei gegeben -Matrix

.

Lösung. Offensichtlich ist der größte gemeinsame Teiler erster Ordnung, d.h. .

Definieren wir Minderjährige zweiter Ordnung:

,

usw.

Bereits diese Daten reichen aus, um eine Schlussfolgerung zu ziehen: Daher .

Wir definieren

,

Somit, .

Somit ist die kanonische Form dieser Matrix die folgende -Matrix:

.

Ein Matrixpolynom ist ein Ausdruck der Form

wo ist variabel; - Quadratische Matrizen der Ordnung n mit numerischen Elementen.

Wenn , dann heißt S der Grad des Matrixpolynoms, n ist die Ordnung des Matrixpolynoms.

Jede quadratische Matrix kann als Matrixpolynom dargestellt werden. Offensichtlich trifft auch die umgekehrte Aussage zu, d. h. Jedes Matrixpolynom kann als quadratische Matrix dargestellt werden.

Die Gültigkeit dieser Aussagen ergibt sich eindeutig aus den Eigenschaften von Operationen auf Matrizen. Schauen wir uns die folgenden Beispiele an:

Beispiel. Stellen Sie eine Polynommatrix dar

in Form eines Matrixpolynoms wie folgt

.

Beispiel. Matrixpolynom

kann als folgende Polynommatrix dargestellt werden ( -matrix)

.

Diese Austauschbarkeit von Matrixpolynomen und Polynommatrizen spielt im mathematischen Apparat von Faktoren- und Komponentenanalysemethoden eine bedeutende Rolle.

Matrixpolynome derselben Ordnung können auf die gleiche Weise addiert, subtrahiert und multipliziert werden wie gewöhnliche Polynome mit numerischen Koeffizienten. Es sollte jedoch beachtet werden, dass die Multiplikation von Matrixpolynomen im Allgemeinen nicht kommutativ ist, da Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ.

Zwei Matrixpolynome heißen gleich, wenn ihre Koeffizienten gleich sind, d. h. entsprechende Matrizen für die gleichen Potenzen der Variablen.

Die Summe (Differenz) zweier Matrixpolynome ist ein Matrixpolynom, dessen Koeffizient für jeden Grad der Variablen gleich der Summe (Differenz) der Koeffizienten für denselben Grad in den Polynomen und ist.

Um ein Matrixpolynom mit einem Matrixpolynom zu multiplizieren, müssen Sie jeden Term des Matrixpolynoms mit jedem Term des Matrixpolynoms multiplizieren, die resultierenden Produkte addieren und ähnliche Terme bilden.

Der Grad eines Matrixpolynoms ist ein Produkt, das kleiner oder gleich der Summe der Grade der Faktoren ist.

Operationen an Matrixpolynomen können mithilfe von Operationen an den entsprechenden Matrizen durchgeführt werden.

Um Matrixpolynome zu addieren (subtrahieren), reicht es aus, die entsprechenden Matrizen zu addieren (subtrahieren). Dasselbe gilt auch für die Multiplikation. -Matrix des Produkts von Matrixpolynomen ist gleich dem Produkt von -Matrizen von Faktoren.

Andererseits kann es auch in der Form geschrieben werden

wobei B 0 eine nicht singuläre Matrix ist.

Bei der Division durch gibt es einen eindeutigen rechten Quotienten und einen rechten Rest

wobei der Grad von R 1 kleiner ist als der Grad oder (Division ohne Rest), sowie der linke Quotient und der linke Rest genau dann, wenn, wo der Reihenfolge

Lineare Unabhängigkeit von Matrixzeilen

Gegeben sei eine Größenmatrix

Bezeichnen wir die Zeilen der Matrix wie folgt:

Die beiden Zeilen werden aufgerufen gleich , wenn ihre entsprechenden Elemente gleich sind. .

Lassen Sie uns die Operationen der Multiplikation einer Zeichenfolge mit einer Zahl und der Addition von Zeichenfolgen als elementweise ausgeführte Operationen vorstellen:

Definition. Eine Zeile heißt Linearkombination von Matrixzeilen, wenn sie gleich der Summe der Produkte dieser Zeilen durch beliebige reelle Zahlen (beliebige Zahlen) ist:

Definition. Die Zeilen der Matrix werden aufgerufen linear abhängig , wenn es Zahlen gibt, die nicht gleichzeitig gleich Null sind, so dass eine Linearkombination von Matrixzeilen gleich der Nullzeile ist:

Wo . (1.1)

Die lineare Abhängigkeit der Matrixzeilen bedeutet, dass mindestens eine Zeile der Matrix eine lineare Kombination des Rests ist.

Definition. Wenn eine lineare Kombination von Zeilen (1.1) genau dann gleich Null ist, wenn alle Koeffizienten sind, dann werden die Zeilen aufgerufen linear unabhängig .

Matrixrangsatz. Der Rang einer Matrix ist gleich der maximalen Anzahl ihrer linear unabhängigen Zeilen oder Spalten, durch die alle anderen Zeilen (Spalten) linear ausgedrückt werden.

Der Satz spielt eine grundlegende Rolle in der Matrixanalyse, insbesondere bei der Untersuchung linearer Gleichungssysteme.

6, 13,14,15,16. Vektoren. Operationen an Vektoren (Addition, Subtraktion, Multiplikation mit einer Zahl),N -dimensionaler Vektor. Das Konzept des Vektorraums und seine Grundlage.

Ein Vektor ist ein gerichtetes Segment mit einem Startpunkt A und Endpunkt IN(der parallel zu sich selbst bewegt werden kann).

Vektoren können entweder durch 2 Großbuchstaben oder durch einen Kleinbuchstaben mit einer Linie oder einem Pfeil gekennzeichnet werden.

Länge (oder Modul) Ein Vektor ist eine Zahl, die der Länge des Segments AB entspricht, das den Vektor darstellt.

Vektoren, die auf derselben Geraden oder auf parallelen Geraden liegen, werden aufgerufen kollinear .

Wenn Anfang und Ende des Vektors zusammenfallen (), wird ein solcher Vektor aufgerufen null und wird mit = bezeichnet. Die Länge des Nullvektors ist Null:

1) Produkt eines Vektors und einer Zahl:

Es wird einen Vektor mit einer Länge geben, deren Richtung mit der Richtung des Vektors if übereinstimmt und dieser entgegengesetzt ist, if .

2) Gegenüberliegender Vektor - genannt das Produkt des Vektors - und der Zahl (-1), d.h. -=.

3) Die Summe zweier Vektoren und es wird ein Vektor aufgerufen, dessen Anfang mit dem Anfang des Vektors und dessen Ende mit dem Ende des Vektors zusammenfällt, vorausgesetzt, dass der Anfang mit dem Ende zusammenfällt. (Dreiecksregel). Die Summe mehrerer Vektoren wird auf ähnliche Weise bestimmt.

4) Die Differenz zweier Vektoren und heißt die Summe des Vektors und des Vektors -, entgegengesetzt .

Punktprodukt

Definition: Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine Zahl, die dem Produkt der Längen dieser Vektoren und dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen entspricht:

n-dimensionaler Vektor und Vektorraum

Definition. Ein n-dimensionaler Vektor ist eine geordnete Sammlung N reelle Zahlen in der Form geschrieben x = (x 1,x 2,…,x n), Wo x i – ich -te Komponente des Vektors X.

Das Konzept eines n-dimensionalen Vektors wird in der Wirtschaftswissenschaft häufig verwendet. Beispielsweise kann eine bestimmte Menge von Gütern durch einen Vektor charakterisiert werden x = (x 1,x 2,…,x n), und die entsprechenden Preise y = (y 1,y 2,…,y n).

- Zwei n-dimensionale Vektoren sind gleich genau dann, wenn ihre entsprechenden Komponenten gleich sind, d. h. x=y, wenn x ich= y ich, ich = 1,2,…,N.

- Die Summe zweier Vektoren gleiche Größe N wird als Vektor bezeichnet z = x + y, deren Komponenten gleich der Summe der entsprechenden Komponenten der Summandenvektoren sind, d.h. z ich= x ich+ J ich, i = 1,2,…, N.

- Das Produkt eines Vektors x und einer reellen Zahl heißt ein Vektor, dessen Komponenten gleich dem Produkt der entsprechenden Komponenten des Vektors sind, d.h. , ich= 1,2,…,N.

Lineare Operationen an beliebigen Vektoren erfüllen die folgenden Eigenschaften:

1) - kommutative (kommutative) Eigenschaft der Summe;

2) - assoziative (kombinative) Eigenschaft der Summe;

3) – eine assoziative Eigenschaft in Bezug auf einen numerischen Faktor;

4) - distributive (distributive) Eigenschaft relativ zur Summe der Vektoren;

5) - Verteilungseigentum in Bezug auf die Summe numerischer Faktoren;

6) Es gibt einen Nullvektor, so dass für jeden Vektor (die besondere Rolle des Nullvektors);

7) Zu jedem Vektor gibt es einen entgegengesetzten Vektor, so dass ;

8) für jeden Vektor (besondere Rolle des numerischen Faktors 1).

Definition. Die Menge der Vektoren mit reellen Komponenten, in der die Operationen der Addition von Vektoren und der Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl definiert sind, die die oben genannten acht Eigenschaften (als Axiome betrachtet) erfüllt, wird aufgerufen Vektorzustand .

Dimension und Basis des Vektorraums

Definition. Der lineare Raum heißt n-dimensional , falls vorhanden N linear unabhängige Vektoren, und jeder der Vektoren ist bereits abhängig. Mit anderen Worten, Dimension des Raumes ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren, die es enthält. Die Zahl n wird Raumdimension genannt und mit bezeichnet.

Eine Menge von n linear unabhängigen Vektoren im n-dimensionalen Raum heißt Basis .

7. Eigenvektoren und Eigenwerte einer Matrix. Charakteristische Gleichung einer Matrix.

Definition. Der Vektor heißt Eigenvektor linearer Operator, wenn es eine Zahl gibt, so dass:

Die Zahl heißt richtig Operatorwert (Matrizen A), entsprechend dem Vektor .

Kann in Matrixform geschrieben werden:

Wo ist eine Spaltenmatrix aus Vektorkoordinaten oder in erweiterter Form:

Schreiben wir das System so um, dass auf den rechten Seiten Nullen stehen:

oder in Matrixform: . Das resultierende homogene System hat immer eine Nulllösung. Für die Existenz einer Lösung ungleich Null ist es notwendig und ausreichend, dass die Determinante des Systems: .

Die Determinante ist ein Polynom N Grad relativ zu . Dieses Polynom heißt charakteristisches Polynom des Operators oder Matrix A, und die resultierende Gleichung lautet charakteristische Gleichung des Operators oder Matrix A.

Beispiel:

Finden Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren des durch die Matrix gegebenen linearen Operators.

Lösung: Wir stellen die charakteristische Gleichung auf oder , woher der Eigenwert des linearen Operators.

Wir finden den Eigenvektor, der dem Eigenwert entspricht. Dazu lösen wir die Matrixgleichung:

Oder , oder , woher wir finden: , oder

Oder .

Nehmen wir an, wir erhalten, dass die Vektoren für jeden Eigenvektoren eines linearen Operators mit dem Eigenwert sind.

Ebenso Vektor .

8. System N lineare Gleichungen mit N Variablen (Gesamtansicht). Matrixform zur Aufzeichnung eines solchen Systems. Systemlösung (Definition). Konsistente und inkompatible, bestimmte und unbestimmte Systeme linearer Gleichungen.

Lösen eines linearen Gleichungssystems mit Unbekannten

Systeme linearer Gleichungen werden in der Wirtschaftswissenschaft häufig verwendet.

Das lineare Gleichungssystem mit Variablen hat die Form:

,

wobei () beliebige Zahlen heißen Koeffizienten für Variablen Und freie Terme der Gleichungen , jeweils.

Kurzer Eintrag: ().

Definition. Die Lösung des Systems ist eine solche Menge von Werten, bei deren Ersetzung sich jede Gleichung des Systems in eine echte Gleichheit verwandelt.

1) Das Gleichungssystem heißt gemeinsam , wenn es mindestens eine Lösung hat, und nicht gelenkig, wenn es keine Lösungen gibt.

2) Das simultane Gleichungssystem heißt bestimmt , wenn es eine eindeutige Lösung hat, und unsicher , wenn es mehr als eine Lösung gibt.

3) Es werden zwei Gleichungssysteme aufgerufen Äquivalent (Äquivalent) , wenn sie denselben Lösungssatz haben (z. B. eine Lösung).

Schreiben wir das System in Matrixform:

Bezeichnen wir: , Wo

A– Koeffizientenmatrix für Variablen oder Matrix des Systems, X – Matrix-Variablenspalte, IN – Matrixspalte freier Mitglieder.

Weil die Anzahl der Spalten der Matrix gleich der Anzahl der Zeilen der Matrix ist, dann ist ihr Produkt:

Es gibt eine Spaltenmatrix. Die Elemente der resultierenden Matrix sind die linken Teile des Ausgangssystems. Basierend auf der Definition der Matrizengleichheit kann das ursprüngliche System in der Form geschrieben werden: .

Satz von Cramer. Sei die Determinante der Matrix des Systems und sei die Determinante der Matrix, die man aus der Matrix erhält, indem man die te-Spalte durch eine Spalte mit freien Termen ersetzt. Dann, wenn , dann hat das System eine eindeutige Lösung, bestimmt durch die Formeln:

Cramers Formel.

Beispiel. Lösen Sie ein Gleichungssystem mit den Formeln von Cramer

Lösung. Determinante der Systemmatrix. Daher verfügt das System über eine einzigartige Lösung. Berechnen wir , erhalten durch Ersetzen der ersten, zweiten und dritten Spalte jeweils durch eine Spalte mit freien Termen:

Nach Cramers Formeln:

9. Gauß-Methode zur Lösung des SystemsN lineare Gleichungen mit N Variablen. Das Konzept der Jordan-Gauss-Methode.

Gauß-Methode - Methode der sequentiellen Eliminierung von Variablen.

Die Gauß-Methode besteht darin, dass unter Verwendung elementarer Zeilentransformationen und Spaltenpermutationen ein Gleichungssystem auf ein äquivalentes System in Stufenform (oder Dreiecksform) reduziert wird, aus dem alle anderen Variablen nacheinander gefunden werden, beginnend mit der letzten ( nach Anzahl) Variablen.

Es ist praktisch, Gaußsche Transformationen nicht mit den Gleichungen selbst durchzuführen, sondern mit der erweiterten Matrix ihrer Koeffizienten, die man erhält, indem man der Matrix eine Spalte mit freien Termen zuordnet:

.

Es ist zu beachten, dass die Gauß-Methode jedes Gleichungssystem der Form lösen kann .

Beispiel. Lösen Sie das System mit der Gauß-Methode:

Schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems auf.

Schritt 1 . Lassen Sie uns die erste und zweite Zeile vertauschen, sodass sie gleich 1 wird.

Schritt 2. Multiplizieren wir die Elemente der ersten Zeile mit (–2) und (–1) und addieren sie zu den Elementen der zweiten und dritten Zeile, sodass unter dem Element in der ersten Spalte Nullen erscheinen. .

Für simultane lineare Gleichungssysteme gelten die folgenden Sätze:

Satz 1. Wenn der Rang der Matrix eines gemeinsamen Systems gleich der Anzahl der Variablen ist, d. h. , dann hat das System eine eindeutige Lösung.

Satz 2. Wenn der Rang der Matrix eines gemeinsamen Systems kleiner ist als die Anzahl der Variablen, d. h. , dann ist das System unsicher und hat unendlich viele Lösungen.

Definition. Ein Basisminor einer Matrix ist jeder Minor ungleich Null, dessen Ordnung dem Rang der Matrix entspricht.

Definition. Diejenigen Unbekannten, deren Koeffizienten in der Notation des Basis-Molls enthalten sind, werden als Basis (oder Basis) bezeichnet, die übrigen Unbekannten werden als Frei (oder Nicht-Basis) bezeichnet.

Das Lösen eines Gleichungssystems bedeutet in diesem Fall das Ausdrücken von und (da die aus ihren Koeffizienten zusammengesetzte Determinante ungleich Null ist), dann sind und freie Unbekannte.

Lassen Sie uns die Grundvariablen als freie Variablen ausdrücken.

Aus der zweiten Zeile der resultierenden Matrix drücken wir die Variable aus:

Ab der ersten Zeile drücken wir aus: ,

Allgemeine Lösung des Gleichungssystems: , .