Algebraisches Komplement- Konzept der Matrixalgebra; in Bezug auf das Element aij der quadratischen Matrix A wird durch Multiplikation des Nebenelements aij mit (1)i+j gebildet; wird durch Аij bezeichnet: Aij=(1)i+jMij, wobei Mij das Nebenelement des Elements aij der Matrix A= ist, d. h. bestimmend... ... Wirtschaftsmathematisches Wörterbuch

algebraisches Komplement- Das Konzept der Matrixalgebra; in Bezug auf das Element aij der quadratischen Matrix A wird durch Multiplikation des Nebenelements aij mit (1)i+j gebildet; wird durch Аij bezeichnet: Aij=(1)i+jMij, wobei Mij das Nebenelement des Elements aij der Matrix A= ist, d. h. Matrixdeterminante,... ... Leitfaden für technische Übersetzer

Siehe Art. Bestimmend... Große sowjetische Enzyklopädie

Für ein Minor M eine Zahl, die gleich ist, wobei M ein Minor der Ordnung k ist und sich in Zeilen mit Zahlen und Spalten mit Zahlen einer quadratischen Matrix A der Ordnung n befindet; Determinante einer Matrix der Ordnung n k, die aus der Matrix A durch Löschen der Zeilen und Spalten der Nebenmatrix M erhalten wird;... ... Mathematische Enzyklopädie

Wiktionary hat einen Eintrag für „Addition“. Addition kann bedeuten... Wikipedia

Die Operation bringt eine Teilmenge der gegebenen Menge ... Mathematische Enzyklopädie

Oder eine Determinante, in der Mathematik eine Aufzeichnung von Zahlen in Form einer quadratischen Tabelle, in deren Korrespondenz eine andere Zahl (der Wert der Determinante) platziert wird. Sehr oft bedeutet der Begriff Determinante sowohl die Bedeutung der Determinante als auch die Form ihrer Aufzeichnung.… … Colliers Enzyklopädie

Einen Satz aus der Wahrscheinlichkeitstheorie finden Sie im Artikel Lokaler Satz von Moivre-Laplace. Der Satz von Laplace ist einer der Sätze der linearen Algebra. Benannt nach dem französischen Mathematiker Pierre Simon Laplace (1749 1827), dem die Formulierung von ... ... Wikipedia zugeschrieben wird

- (Laplace-Matrix) eine der Darstellungen eines Graphen mithilfe einer Matrix. Die Kirchhoff-Matrix dient zur Zählung der aufspannenden Bäume eines gegebenen Graphen (Matrixbaumsatz) und wird auch in der Spektralgraphentheorie verwendet. Inhalt 1... ...Wikipedia

Eine Gleichung ist eine mathematische Beziehung, die die Gleichheit zweier algebraischer Ausdrücke ausdrückt. Wenn eine Gleichheit für alle zulässigen Werte der darin enthaltenen Unbekannten gilt, wird sie als Identität bezeichnet. zum Beispiel ein Verhältnis der Form... ... Colliers Enzyklopädie

Bücher

• Diskrete Mathematik, A. V. Chashkin. 352 Seiten. Das Lehrbuch besteht aus 17 Kapiteln zu den Hauptabschnitten der diskreten Mathematik: kombinatorische Analyse, Graphentheorie, Boolesche Funktionen, rechnerische Komplexität und Codierungstheorie. Enthält...

Das Moll eines beliebigen Elements der Determinante wird aufgerufen Determinante der Sekunde

Reihenfolge, die durch Löschen der Zeile und Spalte, die dieses Element enthält, aus einer bestimmten Determinante erhalten wird. Also Moll für Element

für Element:

Das algebraische Komplement eines beliebigen Elements der Determinante ist das Nebenelement dieses Elements mit dem Faktor , wobei i die Zeilennummer des Elements und j die Spaltennummer ist. Somit ist das algebraische Komplement des Elements:

Beispiel. Finden Sie algebraische Komplemente für Elemente der Determinante.

Satz. Die Determinante ist gleich der Summe der Produkte der Elemente einer ihrer Spalten oder Zeilen und ihrer algebraischen Komplemente.

Mit anderen Worten: Für die Determinante gelten die folgenden Gleichungen.

Der Beweis dieser Gleichheiten besteht darin, die algebraischen Additionen durch ihre Ausdrücke durch die Elemente der Determinante zu ersetzen, und wir erhalten den Ausdruck (3). Es wird empfohlen, dass Sie dies selbst tun. Das Ersetzen der Determinante mithilfe einer der sechs Formeln wird als Zerlegen der Determinante in die Elemente der entsprechenden Spalte oder Zeile bezeichnet. Diese Erweiterungen werden zur Berechnung von Determinanten verwendet.

Beispiel. Berechnen Sie die Determinante, indem Sie sie in die Elemente der zweiten Spalte erweitern.

Mit dem Satz über die Entwicklung einer Determinante dritter Ordnung in Elemente einer Zeile oder Spalte lässt sich die Gültigkeit der Eigenschaften 1-8 für Determinanten dritter Ordnung nachweisen. Es soll die Gültigkeit dieser Aussage überprüfen. Die Eigenschaften von Determinanten und der Satz über die Zerlegung einer Determinante in Elemente einer Spalte oder Zeile ermöglichen eine Vereinfachung der Berechnungen von Determinanten.

Beispiel. Berechnen Sie die Determinante.

Rechnen wir gemeinsamer Multiplikator„2“ Elemente der zweiten Zeile und dann der gleiche gemeinsame Faktor der Elemente der dritten Spalte.

Fügen wir die Elemente der ersten Zeile zu den entsprechenden Elementen der zweiten Zeile und dann der dritten Zeile hinzu.

Erweitern wir die Determinante in die Elemente der ersten Spalte.

Matrix-Minderjährige

Gegeben sei ein Quadrat Matrix A, n-te Ordnung. Unerheblich ein Element aij, die Determinante einer Matrix n-ter Ordnung, heißt bestimmend(n - 1) - te Ordnung, erhalten aus der ursprünglichen durch Durchstreichen der Zeile und Spalte, an deren Schnittpunkt sich das ausgewählte Element aij befindet. Bezeichnet mit Mij.

Schauen wir uns ein Beispiel an Determinante der Matrix 3 - seine Reihenfolge:
Minor und algebraische Komplemente, die Determinante der Matrix 3 ist ihre Reihenfolge, dann gemäß der Definition Moll, Moll M12, entsprechend Element a12, wird sein bestimmend:Gleichzeitig mit der Hilfe Minderjährige kann die Berechnungsaufgabe erleichtern Determinante der Matrix. Wir müssen es verbreiten Matrixdeterminante entlang einer Linie und dann bestimmend wird gleich der Summe aller Elemente dieser Zeile durch ihre Minderjährigen sein. Zersetzung Determinante der Matrix 3 – die Reihenfolge sieht folgendermaßen aus:

, das Vorzeichen vor dem Produkt ist (-1) n, wobei n = i + j.

Algebraische Ergänzungen:

Algebraisches Komplement Element aij heißt its unerheblich, mit einem „+“-Zeichen, wenn die Summe (i + j) eine gerade Zahl ist, und mit einem „-“-Zeichen, wenn diese Summe eine ungerade Zahl ist. Bezeichnet mit Aij.
Аij = (-1)i+j × Мij.

Dann können wir die oben angegebene Eigenschaft umformulieren. Matrixdeterminante gleich der Summe des Produkts der Elemente einer bestimmten Zeile (Zeile oder Spalte) Matrizen zu ihren entsprechenden algebraische Additionen. Beispiel.

Lassen Sie uns das Gespräch über Aktionen mit Matrizen fortsetzen. Während des Studiums dieser Vorlesung erfahren Sie nämlich, wie Sie die inverse Matrix finden. Lernen. Auch wenn Mathe schwierig ist.

Was ist eine inverse Matrix? Hier können wir eine Analogie zu inversen Zahlen ziehen: Betrachten Sie zum Beispiel die optimistische Zahl 5 und ihre inverse Zahl. Das Produkt dieser Zahlen ist gleich eins: . Bei Matrizen ist alles ähnlich! Das Produkt einer Matrix und ihrer inversen Matrix ist gleich – Identitätsmatrix, das Matrixanalogon der numerischen Einheit. Aber das Wichtigste zuerst: Lassen Sie uns zunächst ein wichtiges praktisches Problem lösen, nämlich lernen, wie man diese sehr inverse Matrix findet.

Was Sie wissen und können müssen, um es zu finden inverse Matrix? Sie müssen entscheiden können Qualifikanten. Sie müssen verstehen, was es ist Matrix und in der Lage sein, einige Aktionen mit ihnen durchzuführen.

Es gibt zwei Hauptmethoden zum Ermitteln der inversen Matrix:
durch die Verwendung algebraische Additionen Und unter Verwendung elementarer Transformationen.

Heute werden wir die erste, einfachere Methode studieren.

Beginnen wir mit dem Schrecklichsten und Unverständlichsten. Lassen Sie uns überlegen Quadrat Matrix. Die inverse Matrix kann mit der folgenden Formel ermittelt werden:

Wo ist die Determinante der Matrix, ist die transponierte Matrix algebraischer Komplemente der entsprechenden Elemente der Matrix.

Das Konzept einer inversen Matrix existiert nur für quadratische Matrizen , Matrizen „zwei mal zwei“, „drei mal drei“ usw.

Bezeichnungen: Wie Sie vielleicht bereits bemerkt haben, wird die inverse Matrix durch einen hochgestellten Index gekennzeichnet

Beginnen wir mit dem einfachsten Fall – einer Zwei-mal-Zwei-Matrix. Am häufigsten ist natürlich „drei mal drei“ erforderlich, aber ich empfehle dennoch dringend, eine einfachere Aufgabe zu studieren, um sie zu meistern allgemeines Prinzip Lösungen.

Beispiel:

Finden Sie die Umkehrung einer Matrix

Lass uns entscheiden. Es ist praktisch, die Abfolge der Aktionen Punkt für Punkt aufzuschlüsseln.

1) Zuerst ermitteln wir die Determinante der Matrix.

Wenn Sie diese Aktion nicht gut verstehen, lesen Sie das Material Wie berechnet man die Determinante?

Wichtig! Wenn die Determinante der Matrix gleich ist NULL– inverse Matrix EXISTIERT NICHT.

Wie sich herausstellte, ist im betrachteten Beispiel alles in Ordnung.

2) Finden Sie die Matrix der Minderjährigen.

Um unser Problem zu lösen, ist es nicht notwendig zu wissen, was ein Minderjähriger ist, es ist jedoch ratsam, den Artikel zu lesen So berechnen Sie die Determinante.

Die Matrix der Minderjährigen hat in diesem Fall die gleichen Dimensionen wie die Matrix.
Jetzt müssen Sie nur noch vier Zahlen finden und diese anstelle der Sternchen eingeben.

Kehren wir zu unserer Matrix zurück
Schauen wir uns zunächst das Element oben links an:

So finden Sie es unerheblich?
Und das geht so: Streichen Sie GEISTLICH die Zeile und Spalte durch, in der sich dieses Element befindet:

Die verbleibende Anzahl ist unerheblich dieses Elements , was wir in unserer Matrix der Minderjährigen schreiben:

Betrachten Sie das folgende Matrixelement:

Streichen Sie im Geiste die Zeile und Spalte durch, in der dieses Element vorkommt:

Übrig bleibt das Moll dieses Elements, das wir in unsere Matrix schreiben:

Ebenso betrachten wir die Elemente der zweiten Reihe und finden ihre Nebenelemente:


Bereit.

Es ist einfach. In der Matrix der Minderjährigen benötigen Sie ÄNDERUNGSSCHILDER zwei Zahlen:

Das sind die Zahlen, die ich eingekreist habe!

– Matrix algebraischer Additionen der entsprechenden Elemente der Matrix.

Und einfach...

4) Finden Sie die transponierte Matrix algebraischer Additionen.

– transponierte Matrix algebraischer Komplemente der entsprechenden Elemente der Matrix.

5) Antwort.

Erinnern wir uns an unsere Formel
Alles wurde gefunden!

Die Umkehrmatrix lautet also:

Es ist besser, die Antwort so zu lassen, wie sie ist. KEINE NOTWENDIGKEIT Teilen Sie jedes Element der Matrix durch 2, da das Ergebnis Bruchzahlen sind. Diese Nuance wird im selben Artikel ausführlicher besprochen. Aktionen mit Matrizen.

Wie überprüfe ich die Lösung?

Sie müssen eine Matrixmultiplikation durchführen oder

Prüfung:

Erhalten bereits erwähnt Identitätsmatrix ist eine Matrix mit Einsen von Hauptdiagonale und Nullen an anderen Stellen.

Somit wird die inverse Matrix korrekt gefunden.

Wenn Sie die Aktion ausführen, ist das Ergebnis ebenfalls eine Identitätsmatrix. Dies ist einer der wenigen Fälle, in denen die Matrixmultiplikation permutierbar ist detaillierte Informationen finden Sie im Artikel Eigenschaften von Operationen auf Matrizen. Matrixausdrücke. Beachten Sie auch, dass bei der Prüfung die Konstante (Bruch) vorgezogen und ganz am Ende verarbeitet wird – nach der Matrixmultiplikation. Dies ist eine Standardtechnik.

Kommen wir zu einem in der Praxis häufiger vorkommenden Fall – der Drei-mal-Drei-Matrix:

Beispiel:

Finden Sie die Umkehrung einer Matrix

Der Algorithmus ist genau der gleiche wie für den Fall „zwei mal zwei“.

Wir finden die inverse Matrix mit der Formel: , wobei die transponierte Matrix algebraischer Komplemente der entsprechenden Elemente der Matrix ist.

1) Finden Sie die Determinante der Matrix.

Hier wird die Determinante offenbart in der ersten Zeile.

Vergessen Sie das auch nicht, das bedeutet, dass alles in Ordnung ist – Es existiert eine inverse Matrix.

2) Finden Sie die Matrix der Minderjährigen.

Die Matrix der Minderjährigen hat die Dimension „drei mal drei“ , und wir müssen neun Zahlen finden.

Ich werde mir ein paar Nebenfächer im Detail ansehen:

Betrachten Sie das folgende Matrixelement:

Streichen Sie im Geiste die Zeile und Spalte durch, in der sich dieses Element befindet:

Die restlichen vier Zahlen schreiben wir in die Determinante „zwei mal zwei“.

Diese Zwei-mal-Zwei-Determinante und ist das Moll dieses Elements. Es muss berechnet werden:


Das war’s, der Minor ist gefunden, wir schreiben es in unsere Minor-Matrix:

Wie Sie wahrscheinlich vermutet haben, müssen Sie neun Determinanten im Zwei-mal-Zwei-Format berechnen. Der Prozess ist natürlich langwierig, aber der Fall ist nicht der schwerwiegendste, er kann schlimmer sein.

Nun, zur Festigung – auf den Bildern einen weiteren Minderjährigen finden:

Versuchen Sie, die verbleibenden Minderjährigen selbst zu berechnen.

Endergebnis:
– Matrix der Minderjährigen der entsprechenden Elemente der Matrix.

Die Tatsache, dass alle Minderjährigen negativ ausfielen, ist reiner Zufall.

3) Finden Sie die Matrix algebraischer Additionen.

In der Minderjährigenmatrix ist es notwendig ÄNDERUNGSSCHILDER ausschließlich für die folgenden Elemente:

In diesem Fall:

Wir erwägen nicht, die Umkehrmatrix für eine „Vier mal Vier“-Matrix zu finden, da eine solche Aufgabe nur von einem sadistischen Lehrer gestellt werden kann (wobei der Schüler eine „Vier mal Vier“-Determinante und 16 „Drei mal drei“-Determinanten berechnen muss ). In meiner Praxis gab es nur einen solchen Fall, und der Testkunde hat meine Qual ziemlich teuer bezahlt =).

In einer Reihe von Lehrbüchern und Handbüchern finden Sie einen etwas anderen Ansatz zur Ermittlung der inversen Matrix, ich empfehle jedoch die Verwendung des oben beschriebenen Lösungsalgorithmus. Warum? Denn die Wahrscheinlichkeit, bei Berechnungen und Zeichen durcheinander zu kommen, ist deutlich geringer.

Aufgabe 1.

Für eine gegebene Determinante

Finden Sie Minderjährige und algebraische Komplemente der Elemente α 12, α 32. Determinante berechnen : a) Zerlegen in die Elemente der ersten Zeile und der zweiten Spalte; b) zuvor in der ersten Zeile Nullen erhalten haben.

Wir finden:

M 12 =
= –8–16+6+12+4–16 = –18,

M 32 =
= –12+12–12–8 = –20.

Die algebraischen Komplemente der Elemente a 12 und a 32 sind jeweils gleich:

A 12 = (–1) 1+2 M 12 = –(–18) = 18,

A 32 = (–1) 3+2 M 32 = –(–20) = 20.

a) Berechnen wir die Determinante, indem wir sie in die Elemente der ersten Zeile erweitern:

A 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13 + a 14 A 14 = –3
–2 +

1
= – 3(8 + 2 + 4 – 4) – 2(– 8 – 16 + 6 + 12 + 4 – 16) + (16 – 12 – – 4 + 32) = 38;

Erweitern wir die Determinante in die Elemente der zweiten Spalte:

= – 2 – 2
+ 1
= – 2(– 8 + 6 – 16 + + 12 + 4 – 16) – 2(12 + 6 – 6 – 16) + (– 6 + 16 – 12 – 4) = 38;

b) Berechnen wir, nachdem wir in der ersten Zeile zunächst Nullen erhalten haben. Wir nutzen die entsprechende Eigenschaft von Determinanten. Lassen Sie uns die dritte Spalte der Determinante mit 3 multiplizieren und zur ersten hinzufügen, dann mit –2 multiplizieren und zur zweiten hinzufügen. Dann sind in der ersten Zeile alle Elemente außer einem Nullen. Zerlegen wir die so erhaltene Determinante in die Elemente der ersten Zeile und berechnen sie:

= =
=
=
=

= – (– 56 + 18) = 38.

(Bei der Determinante dritter Ordnung erhalten wir in der ersten Spalte aufgrund der gleichen Eigenschaft der Determinanten wie oben Nullen.) ◄

Aufgabe 2.

Gegeben ist ein System linearer inhomogener algebraischer Gleichungen

Prüfen Sie, ob dieses System kompatibel ist, und wenn ja, lösen Sie es: a) unter Verwendung der Cramer-Formeln; b) Verwendung einer inversen Matrix (Matrixmethode); c) Gaußsche Methode.

Wir werden die Kompatibilität dieses Systems mithilfe des Kronecker-Capelli-Theorems überprüfen. Mithilfe elementarer Transformationen ermitteln wir den Rang der Matrix

A =

gegebenes System und den Rang der erweiterten Matrix

IN =

.

Multiplizieren Sie dazu die erste Zeile der Matrix B mit –2 und addieren Sie sie mit der zweiten, multiplizieren Sie dann die erste Zeile mit –3 und addieren Sie sie mit der dritten, vertauschen Sie die zweite und dritte Spalte. Wir bekommen

IN =

~

~
.

Daher Rang A= Rang IN= 3 (d. h. die Anzahl der Unbekannten). Dies bedeutet, dass das ursprüngliche System konsistent ist und über eine einzigartige Lösung verfügt.

a) Nach Cramers Formeln

x = X/ , y = j/ , z = z/ ,

=
= – 16;

X =
= 64;

j =
= – 16;

z=
= 32,

wir finden: X = 64/(– 16) = – 4, j = – 16/(– 16) = 1, z = 32/(– 16)= – 2;

b) Um eine Lösung des Systems mithilfe der inversen Matrix zu finden, schreiben wir das Gleichungssystem in Matrixform AH = . Die Lösung des Systems in Matrixform hat die Form x = A –1 . Mit der Formel finden wir die inverse Matrix A –1 (es existiert, weil = det A = – 16 ≠ 0):

A 11 =
= – 15, A 21 = –
= 16, A 31 =
= – 11,

A 12 = –
= – 3, A 22 =
= 0, A 32 = –
= 1,

A 13 =
= – 14, A 23 = –
= 16, A 33 =
= – 6,

A –1 =

.

Systemlösung:

X = =
=
=

.

Also, X = –4, j = 1, z = –2;

c) Lösen wir das System mit der Gaußschen Methode. Lassen Sie uns ausschließen X aus der zweiten und dritten Gleichung. Multiplizieren Sie dazu die erste Gleichung mit 2 und subtrahieren Sie sie von der zweiten. Multiplizieren Sie dann die erste Gleichung mit 3 und subtrahieren Sie sie von der dritten:

Aus dem resultierenden System finden wir X = – 4, j = 1, z = –2. ◄

Aufgabe 5.

Die Spitzen der Pyramide liegen an den Punkten A(2; 3; 4), B(4; 7; 3), C(1; 2; 2) Und D(– 2; 0; – 1). Berechnen Sie: a) Fläche des Gesichts ABC; b) Querschnittsfläche, die durch die Mitte der Rippen verläuft AB, A.C., ANZEIGE; c) Volumen der Pyramide ABCD.

A) Es ist bekannt, dass S ABC =
. Wir finden:
= (2; 4; – 1) ,

= (– 1; – 1; – 2) ,

=
= – 9 ich + 5 J + 2 k.

Endlich haben wir:

S ABC =
=
;

b) Mittelpunkte der Rippen AB, Sonne Und AD liegen an Punkten K (3; 5; 3,5),

M (1,5; 2,5; 3),N (0; 1,5; 1,5) . Als nächstes haben wir:

S schlachten =
,
= (– 1,5; – 2,5; – 0,5),
= (– 3; – 3,5; – 2),

=
= 3,25i – 1,5j – 2,25k,

S schlachten =
=
;

c) Seit V Fest =
,
= (– 4; – 3; – 5),

=
= 11, Das V = 11/6 . ◄

Problem 6

Stärke F = (2; 3;– 5) auf einen Punkt angewendet A(1; – 2; 2). Berechnen Sie: a) Kraftarbeit F für den Fall, dass sich der Anwendungspunkt geradlinig bewegt und von der Position abweicht A zu positionieren B(1; 4; 0); b) Modul des Kraftmoments F relativ zum Punkt IN.

A) Seitdem A =F · S , S =
= (0; 6; – 2) ,

Das F · = 2·0 + 3·6 + (– 5)(– 2) = 28; A = 28;

b) Kraftmoment M =
,
= (0; – 6; 2) ,

=
= 24 ich + 4 J + 12 k .

Somit, =
= 4
. ◄

Aufgabe 8.

Bekannte Gipfel O(0; 0),A(– 2; 0) Parallelogramm OASD und der Schnittpunkt seiner Diagonalen B(2;–2). Schreiben Sie die Gleichungen der Parallelogrammseiten auf.

Nebengleichung OA Sie können sofort schreiben: j = 0 . Weiter, da der Punkt IN ist der Mittelpunkt der Diagonale ANZEIGE(Abb. 1), dann können Sie mit den Formeln zum Teilen eines Segments in zwei Hälften die Koordinaten des Scheitelpunkts berechnen D(X; j) :

2 =
, –2 =
,

Wo X = 6 , j = –4 .

Jetzt können Sie die Gleichungen für alle anderen Seiten finden. Berücksichtigung der Parallelität der Seiten O.A. Und CD, stellen wir die Seitengleichung auf CD: j = –4 . Nebengleichung Außendurchmesser wird aus zwei bekannten Punkten zusammengestellt:

=
,

Wo j = – X, 2 X + 3 j = 0 .

Schließlich finden wir die Gleichung der Seite A.C., vorausgesetzt, dass es durch einen bekannten Punkt verläuft A (– 2; 0) parallel zu einer bekannten Linie Außendurchmesser:

j – 0 = – (X + 2) oder 2 X + 3 j + 4 = 0 . ◄

Aufgabe 9.

Gegeben sind die Eckpunkte eines Dreiecks ABC: A(4; 3), B(– 3; – 3), C(2; 7) . Finden:

a) Nebengleichung AB;

b) Höhengleichung CH;

c) Mediangleichung BIN.;

d) Punkt N mittlerer Schnittpunkt BIN. und Höhen CH;

e) Gleichung einer Geraden, die durch einen Scheitelpunkt verläuft C parallel zur Seite AB;

e) Entfernung vom Punkt C zu einer geraden Linie AB.

A) Verwenden der Gleichung gerade Linie, die durch zwei Punkte geht, erhalten wir die Seitengleichung AB:

=
,

Wo 6(X – 4) = 7(j – 3) oder 6 X – 7 j – 3 = 0 ;

b) Gemäß der Gleichung

j = kx + B (k = tg α ) ,

Gerade Steigung AB k 1 =6/7 . Unter Berücksichtigung Bedingungen für die Rechtwinkligkeit von Linien AB Und CH Höhensteigung CH k 2 = –7/6 (k 1∙ k 2 = –1). Nach Punkt C(2; 7) und Steigung k 2 = –7/6 Stellen Sie die Höhengleichung auf CH: (j – j 0 = k(X – X 0 ) )

j – 7 = – (X – 2) oder 7 X + 6 j – 56 = 0 ;

c) Mit bekannten Formeln ermitteln wir die Koordinaten X, j Mitte M Segment B.C.:

X = (– 3 + 2)/2 = –1/2, j = (– 3 + 7)/2 = 2.

Nun zu zwei bekannten Punkten A Und M Bilden Sie die Mediangleichung BIN.:

=
oder 2 X – 9 j + 19 = 0 ;

d) Um die Koordinaten eines Punktes zu finden N mittlerer Schnittpunkt BIN. und Höhen CH ein Gleichungssystem zusammenstellen

Wenn wir es lösen, bekommen wir N (26/5; 49/15) ;

e) Da die Linie durch den Scheitelpunkt verläuft C, parallel zur Seite AB, dann sind ihre Winkelkoeffizienten gleich k 1 =6/7 . Dann gilt nach der Gleichung:

j – j 0 = k(X – X 0 ) , nach Punkt C und Steigung k 1 Gleichungen einer Geraden aufstellen CD:

j – 7 = (X – 2) oder 6 X – 7 j + 37 = 0 ;

f) Entfernung vom Punkt C zu einer geraden Linie AB berechnet nach der bekannten Formel:

D = | CH| =

Die Lösung dieses Problems ist in Abb. dargestellt. 2 ◄

Aufgabe 10.

Vier Punkte gegeben A 1 (4; 7; 8), A 2 (– 1;13; 0), A 3 (2; 4; 9), A 4 (1; 8; 9) . Bilden Sie Gleichungen:

a) Flugzeuge A 1 A 2 A 3 ; b) gerade A 1 A 2 ;

c) gerade A 4 M, senkrecht zur Ebene A 1 A 2 A 3 ;

d) gerade A 4 N, parallel zur Linie A 1 A 2 .

Berechnen:

e) Sinus des Winkels zwischen der Geraden A 1 A 4 und Flugzeug A 1 A 2 A 3 ;

e) Kosinus des Winkels zwischen der Koordinatenebene UMxy und Flugzeug A 1 A 2 A 3 .

A) Verwendung der Formel Ebenengleichungen aus drei Punkten, stellen wir die Gleichung der Ebene auf A 1 A 2 A 3 :

Wo 6x – 7y – 9z + 97 = 0;

b) Überlegung Gleichungen einer Geraden, die durch zwei Punkte verläuft, Geradengleichungen A 1 A 2 kann in das Formular geschrieben werden

=
=
;

c) Von Bedingungen für die Rechtwinkligkeit einer Linie A 4 M und Flugzeuge A 1 A 2 A 3 daraus folgt der Richtungsvektor der Geraden S Sie können einen Normalenvektor nehmen N = (6; – 7; – 9) Flugzeug A 1 A 2 A 3 . Dann die Geradengleichung A 4 M berücksichtigen kanonisch Gleichungen der Geraden werden in das Formular geschrieben

=
=
;

d) Da es gerade ist A 4 N parallel zur Linie A 1 A 2 , dann ihre Richtungsvektoren S 1 Und S 2 kann als identisch angesehen werden: S 1 =S 2 = (5; – 6; 8) . Daher die Gleichung der Geraden A 4 N sieht aus wie

=
=
;

e) Gemäß der Findungsformel die Größe des Winkels zwischen einer Geraden und einer Ebene

Sünde φ =

e) Gemäß der Findungsformel Winkel zwischen Ebenen

cos φ =
=
◄

Aufgabe 11.

Schreiben Sie eine Gleichung für eine Ebene, die durch die Punkte verläuft M(4; 3; 1) Und

N(– 2; 0; – 1) parallel zu der durch die Punkte gezogenen Linie A(1; 1; – 1) Und

B(– 3; 1; 0).

Nach der Formel Gleichungen einer Linie im Raum durch zwei Punkte verlaufend, die Gleichung einer Geraden AB sieht aus wie

=
=
.

Wenn das Flugzeug durch einen Punkt geht M(4; 3; 1) , dann kann seine Gleichung in der Form geschrieben werden A(X – 4) + B(j – 3) + C(z – 1) = 0 . Da diese Ebene auch durch den Punkt geht N(– 2; 0; – 1) , dann ist die Bedingung erfüllt

A(– 2 – 4) + B(0 – 3) + C(– 1 – 1) = 0 oder 6A + 3B + 2C = 0.

Da die gewünschte Ebene parallel zur gefundenen Linie ist AB, dann unter Berücksichtigung der Formeln Bedingungen für die Parallelität einer Linie und einer Ebene wir haben:

–4A + 0B + 1C = 0 oder 4A – C = 0.

Das System lösen

das finden wir C = 4 A, B = – A. Ersetzen wir die erhaltenen Werte MIT Und B In die Gleichung der gewünschten Ebene haben wir

A(x – 4) – A(y – 3) + 4A(z – 1) = 0.

Weil A ≠ 0 , dann ist die resultierende Gleichung äquivalent zur Gleichung

3(x – 4) – 14(y – 3) + 12(z – 1) = 0. ◄

Aufgabe 12.

Finden Sie Koordinaten X 2 , j 2 , z 2 Punkte M 2 , symmetrischer Punkt M 1 (6; – 4; – 2) relativ zur Ebene X + j + z – 3 = 0 .

Schreiben wir die parametrischen Gleichungen der Geraden auf M 1 M 2 , senkrecht zu dieser Ebene: X = 6 + T, j = – 4 + T, z = – 2 + T. Nachdem wir sie zusammen mit der Gleichung der gegebenen Ebene gelöst haben, finden wir T = 1 und deshalb der Punkt M Schnittpunkt einer Geraden M 1 M 2 mit diesem Flugzeug: M (7; – 3; – 1) . Da der Punkt M ist der Mittelpunkt des Segments M 1 M 2 , dann sind die Gleichheiten wahr.; c) eine Parabel mit der Leitlinie b