Lassen V Vektorraum über dem Feld R, S- Vektorsystem von V.

Definition 1. Die Basis des Vektorsystems S Ein solches geordnetes linear unabhängiges Teilsystem heißt B 1, B 2, ..., B R Systeme S, dass jeder Vektor des Systems S lineare Kombination von Vektoren B 1, B 2, ..., B R.

Definition 2. Rang des Vektorsystems S ist die Anzahl der Basisvektoren des Systems S. Der Rang des Vektorsystems wird angegeben S Symbol R= Rang S.

Wenn S = ( 0 ), dann hat das System keine Basis und es wird dieser Rang angenommen S= 0.

Beispiel 1. Gegeben sei ein System von Vektoren A 1 = (1,2), A 2 = (2,3), A 3 = (3,5), A 4 = (1.3). Vektor A 1 , A 2 bilden die Grundlage dieses Systems, da sie linear unabhängig sind (siehe Beispiel 3.1) und A 3 = A 1 + A 2 , A 4 = 3A 1 - A 2. Der Rang dieses Vektorsystems ist zwei.

Satz 1(Satz über Basen). Sei S - Endsystem Vektoren von V, S ≠{0 }. Dann sind die Aussagen wahr.

1 ° Jedes linear unabhängige Teilsystem des Systems S kann zu einer Basis erweitert werden.

2 ° System S hat eine Basis.

2 ° Zwei beliebige Basen des Systems S enthalten die gleiche Anzahl von Vektoren, d. h. der Rang des Systems hängt nicht von der Wahl der Basis ab.

4 ° Wenn R= Rang S, dann bilden alle r linear unabhängigen Vektoren die Basis des Systems S.

5 ° Wenn R= Rang S, Dann sind alle k > r Vektoren des Systems S linear abhängig.

6 ° Jeder Vektor A€ S wird durch die Basisvektoren eindeutig linear ausgedrückt, d. h. wenn B 1, B 2, ..., B R ist also die Basis des Systems S

A = A1 B 1 + A2 B 2 +...+ ARB R; A1 , A2 , ..., AN€P,(1)

Und das ist die einzige Darstellung.

Aufgrund der 5°-Basis ist dies Maximal linear unabhängiges Subsystem Systeme S und der Rang des Systems S die Anzahl der Vektoren in einem solchen Subsystem.

Vektordarstellung A in der Form (1) heißt Durch Zerlegen eines Vektors in Basisvektoren, und die Zahlen a1, a2 , ..., ar heißen Vektorkoordinaten A Auf dieser Basis.

Nachweisen. 1° Lass B 1, B 2, ..., B K- linear unabhängiges Teilsystem des Systems S. Wenn jeder Vektor des Systems S Linear ausgedrückt durch die Vektoren unseres Subsystems ist es per Definition die Basis des Systems S.

Wenn es einen Vektor im System gibt S, was nicht linear in Form von Vektoren ausgedrückt wird B 1, B 2, ..., B K, dann bezeichnen wir es mit B K+1. Dann die Systeme B 1, B 2, ..., B K, B K+1 - linear unabhängig. Wenn jeder Vektor des Systems S Linear ausgedrückt durch die Vektoren dieses Subsystems ist es per Definition die Basis des Systems S.

Wenn es einen Vektor im System gibt S, was nicht linear ausgedrückt wird durch B 1, B 2, ..., B K, B K+1, dann wiederholen wir die Argumentation. Wenn wir diesen Prozess fortsetzen, gelangen wir entweder zur Basis des Systems S, oder erhöhen Sie die Anzahl der Vektoren in einem linear unabhängigen System um eins. Da im System S Wenn wir eine endliche Anzahl von Vektoren haben, kann die zweite Alternative nicht unendlich fortgesetzt werden, und irgendwann erhalten wir die Basis des Systems S.

2° Lass S endliches Vektorsystem und S ≠{0 ). Dann im System S Es gibt einen Vektor B 1 ≠ 0, was ein linear unabhängiges Teilsystem des Systems bildet S. Gemäß dem ersten Teil kann es um die Grundlagen des Systems ergänzt werden S. So das System S hat eine Grundlage.

3° Nehmen wir an, dass das System S hat zwei Grundlagen:

B 1, B 2, ..., B R , (2)

C 1, C 2, ..., C S , (3)

Nach Definition der Basis ist das Vektorsystem (2) linear unabhängig und (2) Н S. Darüber hinaus ist jeder Vektor des Systems (2) per Definition der Basis eine lineare Kombination von Vektoren des Systems (3). Dann nach dem Hauptsatz über zwei Vektorsysteme R £ S. Ebenso ist es bewiesen S £ R. Aus diesen beiden Ungleichungen folgt R = S.

4° Lassen R= Rang S, A 1, A 2, ..., A R- linear unabhängiges Subsystem S. Zeigen wir, dass es die Grundlage der Systeme ist S. Wenn es keine Basis ist, kann es mit dem ersten Teil zu einer Basis ergänzt werden und wir erhalten eine Basis A 1, A 2, ..., A R, A R+1,..., A R+T enthält mehr als R

5° Wenn K Vektoren A 1, A 2, ..., A K (K > R) Systeme S- linear unabhängig sind, dann kann aus dem ersten Teil dieses Vektorsystem zu einer Basis ergänzt werden und wir erhalten eine Basis A 1, A 2, ..., A K, A K+1,..., A K+T enthält mehr als R Vektoren. Dies widerspricht dem, was im dritten Teil bewiesen wurde.

6° Let B 1, B 2, ..., B R Systembasis S. Per Definition einer Basis jeder Vektor A € S Es gibt eine Linearkombination von Basisvektoren:

A = a1 B 1 + a2 B 2 +...+ Ar B R.

Um die Einzigartigkeit einer solchen Darstellung zu beweisen, nehmen wir das Gegenteil an, dass es eine andere Darstellung gibt:

A = b1 B 1 + b2 B 2 +...+ Br B R.

Wenn wir die Gleichungen Term für Term subtrahieren, finden wir

0 = (a1 - b1) B 1 + (a2 - b2) B 2 +...+ (ar - br) B R.

Da die Basis B 1, B 2, ..., B R linear unabhängiges System, dann alle Koeffizienten ai - bi =0; ICH = 1, 2, ..., R. Daher ist ai = bi; ICH = 1, 2, ..., R und Einzigartigkeit ist bewiesen.

Definition. System der Elemente x..., xch linearer Raum V heißt linear abhängig, wenn es Zahlen a",..., otq gibt, die nicht alle gleich Null sind und so dass Wenn Gleichheit (1) nur für a] = ... = aq = 0 erfüllt ist, dann das System von Elemente xj,..,x9 heißen linear unabhängig. Die folgenden Aussagen sind wahr. Satz 1. Ein System von Elementen X\,..., xq (q ^ 2) ist genau dann linear abhängig, wenn mindestens eines seiner Elemente als Linearkombination der anderen dargestellt werden kann. Nehmen wir zunächst an, dass das System der Elemente xx..., xq linear abhängig ist. Der Bestimmtheit halber nehmen wir an, dass in Gleichung (1) der Koeffizient a9 ungleich Null ist. Wenn wir alle Terme außer dem letzten auf die rechte Seite übertragen, erhalten wir nach der Division durch otq FO, dass das Element xq eine Linearkombination der Elemente xi,..., xq ist: Umgekehrt, wenn eines der Elemente gleich einer Linearen ist Kombination der anderen, dann, wenn wir es in den linken Teil verschieben, erhalten wir eine lineare Kombination, in der es Koeffizienten ungleich Null gibt (-1 Ф 0). Dies bedeutet, dass das Elementsystem Xi,_____ xq linear abhängig ist. Satz 2. Das System der Elemente X|,...,X9 sei linear unabhängig und y = a\X\ + .+ aqxq. Dann werden die Koeffizienten ori,...,aq aus dem Element y auf eindeutige Weise bestimmt. m Lassen Sie dann Lineare Abhängigkeit Elemente X|,..., xq Daraus folgt a( und daher ein Satz 3. Ein System von Elementen, das ein linear abhängiges Teilsystem enthält, ist linear abhängig , xg+l, ... , xm sind linear abhängig. Dann gibt es eine lineare Kombination dieser Elemente, sodass nicht alle Koeffizienten von „..., aq gleich Null sind. Durch Addition von Elementen,..., xm mit Nullfaktoren ergeben, dass in den linearen Kombinationen von Abb. 5 nicht alle Koeffizienten gleich Null sind. Beispiel: Vektoren von Vj sind genau dann linear abhängig, wenn sie koplanar sind (Abb. 5). in |,..., e„ eines linearen Raums V heißt Basis dieses linearen Raums, wenn die Elemente in |,..., en linear unabhängig sind und jedes Element von V als Linearkombination dargestellt werden kann Ordnung bedeutet hier, dass jedem Element eine bestimmte (Ordnungs-)Zahl zugewiesen wird. Beispiel: Sei a.b.c ein Tripel nichtkoplanarer Vektoren aus Vj. Dann sind geordnete Tripel verschiedene Basen. Sei c = (в!... en) eine Basis des Raums V. Dann gibt es für jedes Element x von V eine Menge von Zahlen..., C, so dass aufgrund des Satzes 2, Zahlen,..., C – die Koordinaten des Elements x in der Basis c – sind eindeutig bestimmt. Sehen wir uns an, was bei den einfachsten Aktionen mit den Koordinaten der Elemente passiert. Sei und für jede Zahl a. Wenn also Elemente hinzugefügt werden, werden ihre entsprechenden Koordinaten addiert, und wenn ein Element mit einer Zahl multipliziert wird, werden alle seine Koordinaten mit dieser Zahl multipliziert. Es ist oft praktisch, Elementkoordinaten als Spalte zu schreiben. Beispielsweise ist n die Koordinatenspalte eines Elements in der c-Basis. Erweitern wir ein beliebiges System von Elementen X|,..., x gemäß der Basis c und betrachten wir die Koordinatenspalten der Elemente X|,..., x9 in dieser Basis: Satz 4. Das System der Elemente x\,...,xq ist dann und nur dann linear abhängig, wenn das System ihrer Koordinatenspalten in irgendeiner Basis linear abhängig ist. * Mindestens einer der Koeffizienten A* sei von Null verschieden. Lassen Sie uns dies detaillierter aufschreiben. Aufgrund der Einzigartigkeit der Zerlegung des Elements entlang der Basis folgt daraus die lineare Abhängigkeit der Basisdimension, die Änderung der Basis, also die lineare Kombination der Koordinatenspalten der Elemente xt,. .., xq ist gleich der Nullspalte (mit den gleichen Koeffizienten A|,..., A?). Dies bedeutet, dass das System der Koordinatenspalten linear abhängig ist. Wenn Gleichheit (2) erfüllt ist, erhalten wir in umgekehrter Reihenfolge die Formel (1). Somit ist das Verschwinden einer nichttrivialen (mindestens einer der Koeffizienten ist ungleich Null) Linearkombination von Elementen eines linearen Raums äquivalent zu der Tatsache, dass die nichttriviale Linearkombination ihrer Koordinatenspalten (mit denselben Koeffizienten) gleich Null ist Spalte. Satz 5. Die Basis c eines linearen Raums V bestehe aus n Elementen. Dann ist jedes System von m Elementen mit m > n linear abhängig. oder, was dasselbe ist, * Nach Satz 3 reicht es aus, den Fall Sei Xj,..., xn+| zu betrachten - beliebige Elemente des Raums V. Erweitern wir jedes Element gemäß der Basis c und schreiben wir die Koordinaten der Elemente ........... in Form einer Matrix und weisen den Koordinaten des eine Spalte zu Element. Wir erhalten eine Matrix aus n Zeilen und + 1 Spalten. - Da der Rang der Matrix K die Anzahl n ihrer Zeilen nicht überschreitet, sind die Spalten der Matrix K (es gibt n + 1 davon) linear abhängig. Und da es sich hierbei um Koordinatenspalten von Elementen handelt, ist nach Satz 4 das System der Elemente X|.....x„+| ist ebenfalls linear abhängig. Folge. Alle Basen des linearen Raums V bestehen aus der gleichen Anzahl von Elementen. Basisdimension Ersetzen der Basis von wo. Aus . Die Dimension dieses linearen Raums ist gleich der Anzahl der Elemente des FSR, d. h. n - g. wobei r der Rang der Koeffizientenmatrix eines homogenen Systems und an die Anzahl der Unbekannten ist. Beispiel 3. Die Dimension des linearen Raums Mn von Polynomen mit einem Grad nicht höher als n ist gleich n + 1. 4 Da jedes Polynom /*(() mit einem Grad nicht höher als n die Form hat, reicht es aus, das zu zeigen lineare Unabhängigkeit der Elemente in |. =. Unter der Annahme, dass t = 0 ist, erhalten wir, dass «о = 0.5 Zak.750 Lassen Sie uns Gleichheit (3) bezüglich t differenzieren: POSITIONIERUNG t = 0 Wiederum erhalten wir DAS 0|. Wenn wir diesen Prozess fortsetzen, überprüfen wir konsequent, dass оо = „I = ... = à„ =0. Dies bedeutet, dass das System der Elemente θ = 1,... ,én4) = *n ist linear unabhängig. Daher ist die erforderliche Dimension n + 1. Übereinstimmung. Im weiteren Verlauf dieses Kapitels wird, sofern nicht anders angegeben, davon ausgegangen, dass die Dimension des linearen Raums V gleich ist. Es ist klar, dass wenn W ein Unterraum eines n-dimensionalen linearen Raums V ist, dann dim W ^ n. Zeigen wir, dass es in einem n-dimensionalen linearen Raum V lineare Unterräume jeder Dimension k ^ n gibt sei die Basis des Raums V. Es ist leicht zu überprüfen, dass die lineare Hülle die Dimension k hat. Per Definition gilt Satz b (über die Vervollständigung der Basis). Sei ein System von Elementen eines linearen Raums V der Dimension n linear unabhängig und k. Dann gibt es im Raum V Elemente a*+1,..., so dass das System a„ eine Basis von V ist Sei b ein beliebiges Element des linearen Raums V. Wenn das System linear abhängig ist, dann ^, da in einer nichttrivialen Linearkombination der Koeffizient aufgrund der linearen Unabhängigkeit des Systems a Wenn eine Entwicklung der Form (4) geschrieben werden könnte Für jedes Element b des Raumes V wäre das ursprüngliche System a|,..., a* per Definition eine Basis. Aufgrund der Bedingungen ist dies jedoch unmöglich. Daher muss es ein Element a*+i € V geben, so dass das vollständige System ai,..., ab,a*+| wird linear, aber unabhängig sein. Wenn k + 1 = n, dann ist dieses System die Basis des Raums V. Wenn k + 1, dann sollte für System a die vorherige Überlegung wiederholt werden. Auf diese Weise kann jedes gegebene linear unabhängige System von Elementen zur Basis des gesamten Raums V vervollständigt werden. Beispiel. Vervollständigen Sie ein System aus zwei Vektoren a| = (1,2,0,1), aj = (-1,1.1,0) des Raumes R4 zur Basis dieses Raumes. M Nehmen wir die Vektoren aj = (im Raum R4 und zeigen, dass das Vektorsystem ai.aj.aj, a4 die Basis von R4 ist. Der Rang der Matrix, deren Zeilen die Koordinaten der Vektoren aag, az sind, A4 ist gleich vier. Dies bedeutet, dass die Zeilen der Matrix A und damit die Vektoren bei. ag. az, a^ sind linear unabhängig. > Ein ähnlicher Ansatz wird im allgemeinen Fall verwendet: Um ein System linear unabhängiger Elemente zur Basis des Raums zu ergänzen, wird die Matrix Lineare Abhängigkeit Basis Dimension Ersetzen der Basis durch elementare Zeilentransformationen auf eine Trapezform reduziert und dann mit ergänzt n - k Zeilen der Form, sodass der Rang der resultierenden Matrix gleich n ist. Die folgende Aussage ist wahr. Satz 7. Seien lineare Unterräume eines linearen Raums V. Dann. Basiswechsel Seien die Basen des linearen Raums V. Erweitern wir die Elemente der Basis c zur Basis c. Wir haben diese Beziehungen praktischerweise in Matrixform geschrieben. Die Matrix wird als Übergangsmatrix von Basis c zu Basis c bezeichnet. Der Beweis dieser Eigenschaft erfolgt durch Widerspruch. Die Gleichheit det S = 0 impliziert eine Linearität Abhängigkeit der Spalten der Matrix S. Diese Spalten sind die Koordinatenspalten des Elements." ,... "e"n in der Basis c. Daher (und aufgrund von Satz 4) sind die Elemente e"und..., e"n muss linear abhängig sein. Letzteres widerspricht der Tatsache, dass c" eine Basis ist. Dies bedeutet, dass die Annahme, dass det S = 0 ist, falsch ist. 2. Wenn..., und..., die Koordinaten des Elements x in den Basen c bzw. c" sind, dann _ Wenn wir sie in der Formel durch Ausdrücke (1) ersetzen, erhalten wir aufgrund der Einzigartigkeit Folgendes der Zerlegung des Elements in der Basis haben wir I. Wenn wir mit der Matrixaufzeichnung der gefundenen Gleichheiten fortfahren, sind wir von der Gültigkeit der Eigenschaft 2 überzeugt. 3. S-1 ist die Übergangsmatrix von der Basis c" zur Basis c.

lineare Unabhängigkeit

homogenes System

Es heißt endlichdimensional, wenn es ein endliches erzeugendes Vektorsystem hat.

Kommentar. Wir werden nur endlichdimensionale Vektorräume untersuchen. Obwohl wir bereits einiges über die Basis eines endlichdimensionalen Vektorraums wissen, sind wir nicht sicher, ob ein solcher Raum überhaupt existiert. Alle bisher erzielten Ergebnisse wurden unter der Annahme ermittelt, dass die Grundlage vorhanden ist. Das Folgende schließt diese Frage ab.

Satz. (Über die Existenz einer Basis eines endlichdimensionalen Vektorraums.)

Jeder endlichdimensionale Vektorraum hat eine Basis.

Nachweisen. Gemäß der Bedingung gibt es ein endliches erzeugendes System eines gegebenen endlichdimensionalen Vektorraums V: .

Beachten wir sofort, dass, wenn das erzeugende Vektorsystem leer ist, d.h. enthält keinen Vektor, dann wird per Definition angenommen, dass dieser Vektorraum Null ist, d.h. . In diesem Fall wird per Definition angenommen, dass die Basis des Nullvektorraums die leere Basis ist, und per Definition wird angenommen, dass sie gleich Null ist. Wenn dieses System unabhängig ist, dann ist alles bewiesen, denn Grundlage ist ein linear unabhängiges und erzeugendes Vektorsystem eines Vektorraums. Vektoren linear abhängig sind, dann wird einer der Vektoren dieses Systems linear durch die übrigen ausgedrückt und kann aus dem System entfernt werden, und das verbleibende Vektorsystem wird weiterhin erzeugend sein.

Nummerieren wir das verbleibende Vektorsystem neu: . Anschließend wird die Begründung wiederholt.

Wenn dieses System linear unabhängig ist, dann ist es eine Basis. Wenn nicht, gibt es in diesem System wieder einen Vektor, der entfernt werden kann, und das verbleibende System wird generieren.

Durch die Wiederholung dieses Vorgangs können wir nicht mit einem leeren Vektorsystem zurückbleiben, weil Im extremsten Fall gelangen wir zu einem erzeugenden System aus einem Vektor ungleich Null, der linear unabhängig und daher eine Basis ist. Daher gelangen wir irgendwann zu einem linear unabhängigen und erzeugenden Vektorsystem, d. h. zur Basis usw.

Der Satz ist bewiesen.

Lemma. (Über Vektorsysteme im n-dimensionalen Vektorraum.)

Lassen . Dann:

1. Jedes System ist linear von einem Vektor abhängig.

2. Jedes linear unabhängige Vektorsystem ist seine Basis.

Nachweisen. 1). Gemäß den Bedingungen des Lemmas ist die Anzahl der Vektoren in der Basis gleich und die Basis ist ein erzeugendes System, daher kann die Anzahl der Vektoren in jedem linear unabhängigen System nicht größer sein, d.h. Jedes System, das einen Vektor enthält, ist linear abhängig.

2). Wie aus dem soeben Bewiesenen folgt, ist jedes linear unabhängige Vektorsystem dieses Vektorraums maximal und daher eine Basis.

Das Lemma ist bewiesen.

Satz (Über die Komplementierung zu einer Basis.) Jedes linear unabhängige Vektorsystem in einem Vektorraum kann zu einer Basis dieses Raums ergänzt werden.

Nachweisen. Es gebe einen Vektorraum der Dimension n und ein linear unabhängiges System seiner Vektoren. Dann .

Wenn, dann ist dieses System gemäß dem vorherigen Lemma eine Basis und es gibt nichts zu beweisen.

Wenn , dann ist dieses System kein maximal unabhängiges System (sonst wäre es eine Basis, was unmöglich ist, weil ). Folglich gibt es einen Vektor, so dass das System – linear unabhängig.

Wenn, jetzt, dann das System ist eine Grundlage.

Wenn ja, wiederholt sich alles. Der Prozess der Wiederauffüllung des Systems kann nicht auf unbestimmte Zeit fortgesetzt werden, weil Bei jedem Schritt erhalten wir ein linear unabhängiges System von Raumvektoren, und gemäß dem vorherigen Lemma darf die Anzahl der Vektoren in einem solchen System die Dimension des Raums nicht überschreiten. Folglich werden wir irgendwann zur Grundlage dieses Raums gelangen usw.

Definition. Basis

Ein arithmetischer Spaltenvektorraum der Höhe n heißt kanonisch oder natürlich.