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Der Laplace-Operator entspricht der sequentiellen Ausführung der Gradienten- und Divergenzoperationen: $\backslash Delta=\backslash operatorname(div)\backslash ,\backslash operatorname(grad)$, daher kann der Wert des Laplace-Operators an einem Punkt als Dichte der Quellen (Senken) des potentiellen Vektorfeldes interpretiert werden $\backslash \; \backslash operatorname(grad)F$ an dieser Stelle. In einem kartesischen Koordinatensystem wird der Laplace-Operator oft wie folgt bezeichnet $\backslash Delta=\backslash nabla\backslash cdot\backslash nabla=\backslash nabla^2$, also in Form eines Skalarprodukts des Nabla-Operators mit sich selbst. Der Laplace-Operator ist symmetrisch.

Eine weitere Definition des Laplace-Operators

Der Laplace-Operator ist eine natürliche Verallgemeinerung der gewöhnlichen zweiten Ableitung einer Funktion einer Variablen auf Funktionen mehrerer Variablen. In der Tat, wenn die Funktion $\backslash f(x)$ hat einen Punkt in der Nähe $\backslash x\_0$ stetige zweite Ableitung $\backslash F$(X), also wie folgt aus der Taylor-Formel

$\backslash \; f(x\_0+r)=f(x\_0)+rf"(x\_0)+\backslash frac(r^2)(2)f$(x_0)+o(r^2), bei $r\backslash to\; 0,$, $\backslash f(x\_0-r)=f(x\_0)-rf"(x\_0)+\backslash frac(r^2)(2)f$(x_0)+o(r^2), bei $r\backslash to\; 0,$

die zweite Ableitung ist der Grenzwert

$\backslash F$(x_0)=\lim\limits_(r \to 0) \frac(2)(r^2) \left\( \frac(f(x_0+r)+f(x_0-r))(2)-f (x_0)\right\).

Wenn, gehen Sie zur Funktion $\backslash F$ aus $\backslash k$ Variablen, gehen Sie auf die gleiche Weise vor, d. h. für einen bestimmten Punkt $M\_0(x\_1^0,x\_2^0,\; ...\; ,x\_k^0)$ Schau es dir an $\backslash k$-dimensionale sphärische Nachbarschaft $\backslash Q\_r$ Radius $\backslash R$ und die Differenz zwischen dem arithmetischen Mittel

$\backslash \backslash frac(1)(\backslash sigma(S\_r))\backslash int\backslash limits\_(S\_r)Fd\backslash sigma$

Funktionen $\backslash F$ an der Grenze $\backslash S\_r$ eine solche Nachbarschaft mit Grenzgebiet $\backslash \backslash sigma(S\_r)$ und Bedeutung $\backslash F(M\_0)$ im Zentrum dieses Viertels $\backslash M\_0$, dann im Fall der Stetigkeit der zweiten partiellen Ableitungen der Funktion $\backslash F$ in der Nähe eines Punktes $\backslash M\_0$ Laplace-Wert $\backslash \backslash Delta\; F$ An dieser Stelle gibt es eine Grenze

$\backslash \; \backslash Delta\; F(M\_0)=\backslash lim\backslash limits\_(r\; \backslash to\; 0)\; \backslash frac(2k)(r^2)\; \backslash left\backslash (\backslash frac(1)(\backslash sigma(S\_r))\backslash int\backslash limits\_(S\_r\; )F(M)d\backslash sigma\; -F(M\_0)\; \backslash right\backslash ).$

Gleichzeitig mit der vorherigen Präsentation für den Laplace-Operator der Funktion $\backslash F$, die stetige zweite Ableitungen hat, ist die Formel gültig

$\backslash \; \backslash Delta\; F(M\_0)=\backslash lim\backslash limits\_(r\; \backslash to\; 0)\; \backslash frac(2(k+2))(r^2)\; \backslash left\backslash (\backslash frac(1)(\backslash omega(Q\_r))\backslash \; int\backslash limits\_(Q\_r)F(M)d\backslash omega\; -F(M\_0)\; \backslash right\backslash ),$ Wo $\backslash \backslash omega(Q\_r)$- Lautstärke der Umgebung $\backslash Q\_r.$

Diese Formel drückt den direkten Zusammenhang zwischen dem Laplace-Operator einer Funktion und ihrem volumetrischen Durchschnitt in der Umgebung eines bestimmten Punktes aus.

Der Beweis dieser Formeln findet sich beispielsweise in.

Die oben genannten Grenzwerte können in allen Fällen, in denen sie existieren, als Definition des Laplace-Operators der Funktion dienen $\backslash F.$ Diese Definition ist der üblichen Definition des Laplace-Operators vorzuziehen, die die Existenz zweiter Ableitungen der betrachteten Funktionen annimmt und mit der üblichen Definition im Fall der Stetigkeit dieser Ableitungen übereinstimmt.

Ausdrücke für den Laplace-Operator in verschiedenen krummlinigen Koordinatensystemen

In beliebigen orthogonalen krummlinigen Koordinaten im dreidimensionalen Raum $q\_1,\backslash \; q\_2,\backslash \; q\_3$:

$\backslash Delta\; f\; (q\_1,\backslash \; q\_2,\backslash \; q\_3)\; =\; \backslash operatorname(div)\backslash ,\backslash operatorname(grad)\backslash ,f(q\_1,\backslash \; q\_2,\backslash \; q\_3)\; =$ $=\backslash frac(1)(H\_1H\_2H\_3)\backslash left[\; \backslash frac(\backslash partial)(\backslash partial\; q\_1)\backslash left(\backslash frac(H\_2H\_3)(H\_1)\backslash frac(\backslash partial\; f)(\backslash partial\; q\_1)\; \backslash right)\; +\; \backslash frac(\backslash partial)(\backslash partial\; q\_2)\backslash left(\backslash frac(H\_1H\_3)(H\_2)\backslash frac(\backslash partial\; f)(\backslash partial\; q\_2)\; \backslash right)\; +\; \backslash frac(\backslash partial)(\backslash partial\; q\_3)\backslash \; left(\backslash frac(H\_1H\_2)(H\_3)\backslash frac(\backslash partial\; f)(\backslash partial\; q\_3)\; \backslash right)\backslash right],$ Wo $Hallo\backslash$- Lamé-Koeffizienten.

Zylinderkoordinaten

In Zylinderkoordinaten außerhalb der Linie $\backslash r=0$:

$\backslash Updelta\; f$

= (1 \over r) (\partial \over \partial r)

\left(r (\partial f \over \partial r) \right)

+ (\partial^2f \over \partial z^2) + (1 \over r^2) (\partial^2 f \over \partial \varphi^2)

Kugelkoordinaten

In Kugelkoordinaten außerhalb des Ursprungs (im dreidimensionalen Raum):

$\backslash Updelta\; f$

= (1 \over r^2) (\partial \over \partial r)

\left(r^2 (\partial f \over \partial r) \right)

+ (1 \over r^2\sin^2 \theta) (\partial^2 f \over \partial \varphi^2)

$\backslash Updelta\; f$

= (1 \over r) (\partial^2 \over \partial r^2)

\left(rf \right)

+ (1 \over r^2 \sin \theta) (\partial \over \partial \theta)

\left(\sin \theta (\partial f \over \partial \theta) \right)

+ (1 \over r^2 \sin^2 \theta) (\partial^2 f \over \partial \varphi^2).

Falls $\backslash f=f(r)$ V N-dimensionaler Raum:

$\backslash Updelta\; f\; =\; (d^2\; f\backslash over\; dr^2)\; +\; (n-1\; \backslash over\; r\; )\; (df\backslash over\; dr).$

Parabolische Koordinaten

In parabolischen Koordinaten (im dreidimensionalen Raum) außerhalb des Ursprungs:

\Updelta f= \frac(1)(\sigma^(2) + \tau^(2)) \left[ \frac(1)(\sigma) \frac(\partial )(\partial \sigma) \left (\sigma \frac(\partial f)(\partial \sigma) \right) + \frac(1)(\tau) \frac(\partial )(\partial \tau) \left(\tau \frac(\ partielles f)(\partial \tau) \right)\right] + \frac(1)(\sigma^2\tau^2)\frac(\partial^2 f)(\partial \varphi^2)

Zylindrische parabolische Koordinaten

In den Koordinaten eines parabolischen Zylinders außerhalb des Ursprungs:

$\backslash Updelta\; F(u,v,z)\; =\; \backslash frac(1)(c^2(u^2+v^2))\; \backslash left[\; \backslash frac(\backslash partial^2\; F\; )(\backslash partial\; u^2)+\; \backslash frac(\backslash partial^2\; F\; )(\backslash partial\; v^2)\backslash right]\; +\; \backslash frac(\backslash partial^2\; F\; )(\backslash partial\; z^2).$

Allgemeine krummlinige Koordinaten und Riemannsche Räume

Lassen Sie einen glatten Verteiler $X$ ein lokales Koordinatensystem angegeben ist und $g\_(ij)$- Riemannscher metrischer Tensor auf $X$, das heißt, die Metrik hat die Form

$ds^2\; =\backslash sum^n\_(i,j=1)g\_(ij)\; dx^idx^j$ .

Bezeichnen wir mit $g^(ij)$ Matrixelemente $(g\_(ij))^(-1)$ Und

$g\; =\; \backslash operatorname(det)\; g\_(ij)\; =\; (\backslash operatorname(det)\; g^(ij))^(-1)$.

Vektorfelddivergenz $F$, angegeben durch die Koordinaten $F^i$(und repräsentiert den Differentialoperator erster Ordnung $\backslash sum\_i\; F^i\backslash frac(\backslash partial)(\backslash partial\; x^i)$) auf dem Verteiler X nach der Formel berechnet

$\backslash operatorname(div)\; F\; =\; \backslash frac(1)(\backslash sqrt(g))\backslash sum^n\_(i=1)\backslash frac(\backslash partial)(\backslash partial\; x^i)(\backslash sqrt(g)F^i\; )$,

und die Gradientenkomponenten der Funktion F- nach der Formel

$(\backslash nabla\; f)^j\; =\backslash sum^n\_(i=1)g^(ij)\; \backslash frac(\backslash partial\; f)(\backslash partial\; x^i).$

Laplace-Operator - Beltrami on $X$:

$\backslash Delta\; f\; =\; \backslash operatorname(div)\; (\backslash nabla\; f)=\; \backslash frac(1)(\backslash sqrt(g))\backslash sum^n\_(i=1)\backslash frac(\backslash partial)(\backslash partial\; x^i)\backslash \; Big(\backslash sqrt(g)\; \backslash sum^n\_(k=1)g^(ik)\; \backslash frac(\backslash partial\; f)(\backslash partial\; x^k)\backslash Big).$

Bedeutung $\backslash Updelta\; f$ ist ein Skalar, das heißt, er ändert sich bei der Transformation von Koordinaten nicht.

Anwendung

Durch die Verwendung dieses Betreibers Es ist praktisch, Laplace-, Poisson- und Wellengleichungen zu schreiben. In der Physik ist der Laplace-Operator in der Elektrostatik und Elektrodynamik, der Quantenmechanik, in vielen Gleichungen der Kontinuumsphysik sowie bei der Untersuchung des Gleichgewichts von Membranen, Filmen oder Grenzflächen mit Oberflächenspannung (siehe Laplace-Druck) in stationären Problemen anwendbar von Diffusion und Wärmeleitfähigkeit, die sich im kontinuierlichen Grenzfall auf die üblichen Gleichungen von Laplace oder Poisson oder auf einige ihrer Verallgemeinerungen reduzieren.

Variationen und Verallgemeinerungen

• Der D'Alembert-Operator ist eine Verallgemeinerung des Laplace-Operators für hyperbolische Gleichungen. Beinhaltet die zweite Ableitung nach der Zeit.
• Der Vektor-Laplace-Operator ist eine Verallgemeinerung des Laplace-Operators auf den Fall eines Vektorarguments.

Siehe auch

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Literatur

Links

Ein Auszug zur Charakterisierung des Laplace-Operators

Boris gelang es nicht, in St. Petersburg eine reiche Braut zu heiraten, und aus demselben Grund kam er nach Moskau. In Moskau war Boris unentschlossen zwischen den beiden reichsten Bräuten – Julie und Prinzessin Marya. Obwohl ihm Prinzessin Marya trotz ihrer Hässlichkeit attraktiver vorkam als Julie, war es ihm aus irgendeinem Grund unangenehm, Bolkonskaya den Hof zu machen. Bei ihrem letzten Treffen mit ihr, am Namenstag des alten Prinzen, auf all seine Versuche, mit ihr über Gefühle zu sprechen, antwortete sie ihm unangemessen und hörte ihm offensichtlich nicht zu.
Julie hingegen nahm sein Werben bereitwillig an, obwohl sie auf eine besondere Art und Weise eigen war.
Julie war 27 Jahre alt. Nach dem Tod ihrer Brüder wurde sie sehr reich. Sie war jetzt völlig hässlich; aber ich fand, dass sie nicht nur genauso gut, sondern sogar viel attraktiver war als zuvor. Sie wurde in dieser Täuschung dadurch gestützt, dass sie erstens eine sehr reiche Braut wurde und zweitens, je älter sie wurde, desto sicherer für Männer war sie, desto freier konnten Männer sie behandeln, ohne sie zu übernehmen Wenn Sie keine Verpflichtungen haben, nutzen Sie ihre Abendessen, Abende und die lebhafte Gesellschaft, die sich bei ihr versammelt. Ein Mann, der sich vor zehn Jahren davor gefürchtet hätte, jeden Tag zu dem Haus zu gehen, in dem eine 17-jährige junge Dame lebte, um sie nicht zu kompromittieren und zu fesseln, ging nun jeden Tag mutig zu ihr und behandelte sie nicht als junge Braut, sondern als Bekannte, die kein Geschlecht hat.
Das Haus der Karagins war in diesem Winter das angenehmste und gastfreundlichste Haus in Moskau. Zusätzlich zu Partys und Abendessen versammelte sich bei den Karagins jeden Tag eine große Gesellschaft, vor allem Männer, die um 12 Uhr morgens speisten und bis 3 Uhr blieben. Es gab keinen Ball, keine Party oder kein Theater, das Julie verpasst hätte. Ihre Toiletten waren immer die modernsten. Trotzdem schien Julie von allem enttäuscht zu sein und erzählte allen, dass sie weder an Freundschaft noch an Liebe noch an Lebensfreude glaubte und nur dort Frieden erwartete. Sie nahm den Ton eines Mädchens an, das eine große Enttäuschung erlitten hatte, eines Mädchens, als hätte sie einen geliebten Menschen verloren oder sei von ihm grausam getäuscht worden. Obwohl ihr nichts dergleichen passierte, wurde sie angeschaut, als wäre sie eine solche, und sie selbst glaubte sogar, dass sie im Leben viel gelitten hatte. Diese Melancholie, die sie nicht daran hinderte, Spaß zu haben, hinderte die jungen Leute, die sie besuchten, nicht daran, eine angenehme Zeit zu verbringen. Jeder Gast, der zu ihnen kam, bezahlte seine Schuld für die melancholische Stimmung der Gastgeberin und beschäftigte sich dann mit Smalltalk, Tanz, Gedankenspielen und Burime-Turnieren, die bei den Karagins in Mode waren. Nur einige junge Leute, darunter Boris, tauchten tiefer in Julies melancholische Stimmung ein, und mit diesen jungen Leuten führte sie längere und privatere Gespräche über die Eitelkeit alles Weltlichen und öffnete ihnen ihre Alben voller trauriger Bilder, Sprüche und Gedichte.

Der Laplace-Operator ist ein Differentialoperator linearer Raum glatte Funktionen und mit dem Symbol gekennzeichnet. Er ordnet die Funktion F der Funktion zu

Der Laplace-Operator entspricht der sequentiellen Ausführung der Gradienten- und Divergenzoperationen.

Der Gradient ist ein Vektor, der die Richtung des schnellsten Anstiegs einer bestimmten Größe angibt, deren Wert sich von einem Punkt im Raum zum anderen ändert (Skalarfeld). Nehmen wir beispielsweise die Höhe der Erdoberfläche über dem Meeresspiegel als Höhe, dann zeigt ihr Gefälle an jedem Punkt der Oberfläche die „Richtung des steilsten Anstiegs“. Der Betrag (Modul) des Gradientenvektors entspricht der Wachstumsrate in dieser Richtung. Im dreidimensionalen Raum ist der Gradient eine Vektorfunktion mit Komponenten, wobei es sich um eine Skalarfunktion der Koordinaten x, y, z handelt.

Wenn es sich um eine Funktion von n Variablen handelt, ist ihr Gradient ein n-dimensionaler Vektor

Deren Komponenten sind gleich den partiellen Ableitungen aller ihrer Argumente. Der Gradient wird mit grad oder mit dem Nabla-Operator bezeichnet.

Aus der Definition des Gradienten folgt Folgendes:

Die Bedeutung des Gradienten jeder Skalarfunktion f besteht darin, dass ihr Skalarprodukt mit einem infinitesimalen Verschiebungsvektor das Gesamtdifferential dieser Funktion mit einer entsprechenden Koordinatenänderung in dem Raum ergibt, in dem f definiert ist, d. h. linear (in diesem Fall). allgemeine Stellung es ist auch der Hauptteil der Änderung von f, wenn es um verschoben wird. Wenn wir denselben Buchstaben verwenden, um eine Funktion eines Vektors und die entsprechende Funktion seiner Koordinaten zu bezeichnen, können wir schreiben:

Es ist hier anzumerken, dass das resultierende Differential eine Invariante, also einen Skalar, ist, da die Formel für das Gesamtdifferential nicht von der Art der Koordinaten x i, also von der Natur der Parameter x im Allgemeinen, abhängt beliebige Koordinatentransformationen, und da dx ein Vektor ist, stellt sich heraus, dass der auf die übliche Weise berechnete Gradient ein kovarianter Vektor ist, d Summieren der Produkte der Koordinaten eines gewöhnlichen (kontravarianten) Koordinatensystems, d. h. eines auf regulärer Basis geschriebenen Vektors.

Somit kann der Ausdruck (im Allgemeinen für beliebige krummlinige Koordinaten) ganz korrekt und invariant geschrieben werden als:

Oder, nach Einsteins Regel, unter Weglassen des Summenzeichens,

Divergenz ist ein Differentialoperator, der ein Vektorfeld auf ein Skalarfeld abbildet (d. h. die Differenzierungsoperation, die bei Anwendung auf ein Vektorfeld zu einem Skalarfeld führt), der (für jeden Punkt) bestimmt, „wie stark das Feld ein- und ausgeht“. aus einer kleinen Umgebung eines bestimmten Punktes divergiert“ (genauer gesagt, wie stark die ein- und ausgehenden Ströme divergieren).

Wenn wir berücksichtigen, dass einem Fluss ein Vorzeichen zugeordnet werden kann, ist es nicht erforderlich, die eingehenden und ausgehenden Flüsse getrennt zu berücksichtigen, wenn alles unter Berücksichtigung des Vorzeichens summiert wird. Daher können wir eine kürzere Definition der Divergenz geben:

Divergenz ist ein Differentialoperator für ein Vektorfeld, das den Fluss charakterisiert dieses Feldes durch die Oberfläche einer kleinen Umgebung jedes internen Punktes des Felddefinitionsbereichs.

Der auf das Feld F angewendete Divergenzoperator wird als oder bezeichnet

Die Definition der Divergenz sieht folgendermaßen aus:

Dabei ist ФF der Fluss des Vektorfeldes F durch eine sphärische Oberfläche mit der Fläche S, die das Volumen V begrenzt. Noch allgemeiner und daher praktischer ist die Definition, wenn die Form einer Region mit der Oberfläche S und dem Volumen V zulässig ist irgendein sein. Die einzige Voraussetzung ist, dass es sich innerhalb einer Kugel befindet, deren Radius gegen Null geht. Diese Definition ist, anders als die unten angegebene, nicht an bestimmte Koordinaten, beispielsweise an kartesische, gebunden, was in bestimmten Fällen eine zusätzliche Erleichterung sein kann. (Wenn Sie beispielsweise eine Nachbarschaft in Form eines Würfels oder eines Parallelepipeds wählen, können Sie die im nächsten Absatz angegebenen Formeln für kartesische Koordinaten leicht erhalten.)

somit kann der Wert des Laplace-Operators an einem Punkt als die Dichte der Quellen (Senken) des potentiellen Vektorfeldes gradF an diesem Punkt interpretiert werden. Im kartesischen Koordinatensystem wird der Laplace-Operator oft wie folgt bezeichnet, also in Form eines Skalarprodukts des Nabla-Operators mit sich selbst.

Laplace-Operator

Der Laplace-Operator wird durch den Ausdruck definiert

und im kartesischen Koordinatensystem wird durch die Formel beschrieben

Finden wir einen Ausdruck für den Laplace-Operator in einem krummlinigen orthogonalen Koordinatensystem. Dazu schreiben wir die Steigung und Divergenz in einem krummlinigen Koordinatensystem auf

Wenn wir diese Ausdrücke in den Laplace-Operator einsetzen, erhalten wir

Beispiel 1. Finden Sie einen Ausdruck für den Laplace-Operator in einem Zylinderkoordinatensystem.

Bemerkung 1. Der Laplace-Operator in einem Polarkoordinatensystem wird durch die Formel definiert

Beispiel 2. Finden Sie einen Ausdruck für den Laplace-Operator in einem sphärischen Koordinatensystem.

Lösung. Ersetzen wir die Werte der Lame-Koeffizienten, erhalten wir

Laplace-Gleichung

Die Laplace-Gleichung ist eine Gleichung der Form.

Diese Gleichung wird als Gleichung vom elliptischen Typ bezeichnet. Es tritt häufig bei Problemen im Zusammenhang mit der Bestimmung des Potenzials verschiedener stationärer Felder auf. Mit der Lösung der Laplace-Gleichung ist insbesondere das Problem der Bestimmung des Temperaturfeldes, des elektrischen Potentials, der elastischen Spannungen und Dehnungen verbunden. Beachten Sie, dass in der mathematischen Physik auch Gleichungen hyperbolischen und parabolischen Typs untersucht werden.

Es gibt viele verschiedene Methoden Lösen von Gleichungen vom elliptischen Typ. Dazu gehören die Methode der Variablentrennung, die Quellfunktionsmethode, die Potentialtheorie, die Methode der analytischen Funktionen und viele andere. Betrachten wir einige einfache Aufgaben, die keine speziellen Methoden erfordern.

Zylindrische Symmetrie. Finden wir eine Lösung der Laplace-Gleichung für eine Funktion mit Zylindersymmetrie, d. h. unabhängig vom Polarwinkel und der Variablen z. In diesem Fall hat die in einem Zylinderkoordinatensystem geschriebene Laplace-Gleichung die Form

Teilableitungen werden hier durch vollständige Ableitungen ersetzt. Aus dieser Gleichung folgt

wobei und beliebige Konstanten sind, die aus den Randbedingungen ermittelt werden können.

Kugelsymmetrie. Finden wir eine Lösung der Laplace-Gleichung für eine Funktion mit sphärischer Symmetrie, d. h. unabhängig von Winkeln und. In diesem Fall hat die in einem sphärischen Koordinatensystem geschriebene Laplace-Gleichung die Form

Es ist nicht schwer, eine Lösung für diese Gleichung zu finden

Betrachten wir die Lösung der Poisson-Gleichung anhand konkreter Beispiele.

Beispiel 1. Finden Sie eine Lösung der Poisson-Gleichung innerhalb eines Kreises mit dem Radius if

Lösung. Die gewünschte Funktion hat Zylindersymmetrie, daher schreiben wir die Poisson-Gleichung in einem Zylinderkoordinatensystem in der Form

Lassen Sie uns diese Gleichung lösen

krummliniges Lamé-Differential mit Gradienten

Konstanten und wir werden von finden Randbedingung und Bedingungen eingeschränkter Funktion. Wenn man das bedenkt, bekommen wir. Von der Bedingung bekommen wir

Daher haben wir die endgültige Antwort

Es handelt sich um einen Spezialfall der Helmholtz-Gleichung. Kann im dreidimensionalen (1), zweidimensionalen (2), eindimensionalen und n-dimensionalen Raum betrachtet werden:

Der Operator wird Laplace-Operator genannt (Der Laplace-Operator entspricht der sequentiellen Ausführung der Gradienten- und Divergenzoperationen.)

Lösung der Laplace-Gleichung

Die Lösungen der Laplace-Gleichung sind harmonische Funktionen.

Die Laplace-Gleichung gehört zu den elliptischen Gleichungen. Die inhomogene Gleichung von Laplace wird zur Poisson-Gleichung.

Jede Lösung der Laplace-Gleichung in einem begrenzten Bereich G wird eindeutig durch Randbedingungen identifiziert, die dem Verhalten der Lösung (oder ihrer Ableitungen) am Rand des Bereichs G auferlegt werden. Wenn die Lösung im gesamten Raum gesucht wird, gelten die Randbedingungen werden auf die Vorschrift eines asymptotischen Verhaltens für f at reduziert. Das Problem, solche Lösungen zu finden, wird als Randwertproblem bezeichnet. Am gebräuchlichsten sind das Dirichlet-Problem, bei dem der Wert der Funktion f selbst auf dem Rand angegeben wird, und das Neman-Problem, bei dem der Wert von f entlang der Normalen zum Rand angegeben wird.

Laplace-Gleichung in sphärischen, polaren und zylindrischen Koordinaten

Die Laplace-Gleichung kann nicht nur in kartesischen Koordinaten geschrieben werden.

In sphärischen Koordinaten (Laplace-Gleichung hat die folgende Form:

In Polarkoordinaten (Koordinatensystem) lautet die Gleichung:

In Zylinderkoordinaten (die Gleichung lautet:

Viele Probleme in der Physik und Mechanik führen zur Laplace-Gleichung, in der eine physikalische Größe nur eine Funktion der Koordinaten eines Punktes ist. Somit beschreibt die Laplace-Gleichung das Potential in einem Bereich, der keine gravitierenden Massen enthält, das Potential eines elektrostatischen Feldes in einem Bereich, der keine Ladungen enthält, die Temperatur bei stationären Prozessen usw. Eine große Zahl technische Probleme, insbesondere verbunden mit der langsamen stationären Strömung um den Schiffsrumpf, der stationären Grundwasserfiltration, der Entstehung eines Feldes um einen Elektromagneten sowie einem stationären elektrischen Feld in der Nähe eines Porzellanisolators oder eines variablen elektrischen Kabels Querschnitt im Boden vergraben, kommt es darauf an, die dreidimensionalen Gleichungen von Laplace oder Poisson zu lösen. Der Laplace-Operator spielt in der Quantenmechanik eine große Rolle.

Beispiele für Problemlösungen

BEISPIEL 1

BEISPIEL 2

Wir haben drei Hauptoperationen der Vektoranalyse betrachtet: Berechnen von gradtx für ein Skalarfeld a und rot a für ein Vektorfeld a = a(x, y, z). Diese Operationen können in einfacherer Form mit dem symbolischen Operator V („nabla“) geschrieben werden: Der Operator V (Hamilton-Operator) hat sowohl Differential- als auch Vektoreigenschaften. Formale Multiplikationen, beispielsweise die Multiplikation ^ mit der Funktion u(x, y), werden als partielle Differentiation verstanden: Im Rahmen der Vektoralgebra werden formale Operationen am Operator V so ausgeführt, als wäre er ein Vektor. Mit diesem Formalismus erhalten wir die folgenden Grundformeln: 1. Wenn es sich um eine skalar differenzierbare Funktion handelt, dann erhalten wir durch die Regel der Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar, wobei P, Q, R differenzierbare Funktionen sind, dann durch die Formel zum Ermitteln der Skalarprodukt erhalten wir Hamilton-Operator Differentialoperationen zweiter Ordnung Operator Laplace-Konzept der krummlinigen Koordinaten Kugelkoordinaten 3. Durch Berechnung des Vektorprodukts erhalten wir For konstante Funktion und = c erhalten wir und für einen konstanten Vektor c erhalten wir Aus der Verteilungseigenschaft für die Skalar- und Vektorprodukte erhalten wir Bemerkung 1. Die Formeln (5) und (6) können dort als Manifestation der Differentialeigenschaften der „ nabla“-Operator (V ist ein linearer Differentialoperator). Wir waren uns einig, dass der Operator V auf alle nach ihm geschriebenen Größen einwirkt. In diesem Sinne handelt es sich beispielsweise um einen skalaren Differentialoperator. Wenn man den Operator V auf ein Produkt beliebiger Mengen anwendet, muss man die übliche Regel zur Differenzierung eines Produkts beachten. Beispiel 1. Beweisen Sie, dass wir mit Formel (2) unter Berücksichtigung von Bemerkung 1 erhalten oder beachten, dass „obs a“ auf keine der darin enthaltenen Größen einwirkt komplexe Formel, wird dieser Wert mit dem Index c („const“) markiert, der im Endergebnis weggelassen wird. Beispiel 2. Sei u(xty,z) eine skalar differenzierbare Funktion und (x,y,z) eine vektordifferenzierbare Funktion. Beweisen Sie, dass 4 die linke Seite von (8) in symbolischer Form umschreibt. Unter Berücksichtigung der Differentialnatur des Operators V erhalten wir: Da u ein konstanter Skalar ist, kann er aus dem Vorzeichen des Skalarprodukts herausgenommen werden, sodass a (im letzten Schritt haben wir den Index e weggelassen). Im Ausdruck (V, iac) wirkt der Operator V nur auf eine Skalarfunktion und daher erhalten wir als Ergebnis Bemerkung 2. Wenn wir den Formalismus des Handelns mit dem Operator V als Vektor verwenden, müssen wir uns daran erinnern, dass V ist kein gewöhnlicher Vektor – er hat weder Länge noch Richtung, also. zum Beispiel Vektor)