Filtruose skaičiavimas dažniausiai pradedamas nustatant filtro parametrus, iš kurių svarbiausias yra dažnio atsakas. Kaip jau aptarėme straipsnyje, pirmiausia tam tikro filtro reikalavimai yra suderinti su žemųjų dažnių filtro prototipo reikalavimais. Suprojektuoto filtro žemųjų dažnių filtro prototipo amplitudės-dažnio atsako reikalavimų pavyzdys parodytas 1 pav.

Šis grafikas rodo filtro perdavimo koeficiento priklausomybę nuo normalizuoto dažnio ξ , Kur ξ = f/f V

1 paveiksle parodytas grafikas rodo, kad leistinas perdavimo koeficiento netolygumas nurodytas pralaidumo juostoje. Stabdymo juostoje nustatomas minimalus trukdančio signalo slopinimo koeficientas. Tikrasis filtras gali būti bet kokios formos. Svarbiausia, kad jis neperžengtų nurodytų reikalavimų ribų.

Užteks ilgas laikas Filtras buvo apskaičiuotas pasirenkant amplitudės-dažnio atsaką naudojant standartines nuorodas (m-link arba k-link). Šis metodas buvo vadinamas taikymo metodu. Tai buvo gana sudėtinga ir nepateikė optimalaus sukurto filtro kokybės ir nuorodų skaičiaus santykio. Todėl buvo sukurti matematiniai metodai, leidžiantys aproksimuoti amplitudės-dažnio atsaką su nurodytomis charakteristikomis.

Matematikoje aproksimacija yra sudėtingo ryšio atvaizdavimas tam tikra žinoma funkcija. Paprastai ši funkcija yra gana paprasta. Kuriant filtrą svarbu, kad apytikslę funkciją būtų galima lengvai įgyvendinti grandinėje. Norėdami tai padaryti, funkcijos įgyvendinamos naudojant keturių prievadų tinklo perdavimo koeficiento nulius ir polius, šiuo atveju filtrą. Jie lengvai įgyvendinami naudojant LC grandines arba grįžtamojo ryšio kilpas.

Dažniausias filtro dažnio atsako aproksimacijos tipas yra Butterworth aproksimacija. Tokie filtrai vadinami Butterworth filtrais.

Butterworth filtrai

Išskirtinis Butterworth filtro amplitudės-dažnio atsako bruožas yra minimumų ir maksimumų nebuvimas pralaidumo juostoje ir stabdymo juostoje. Šių filtrų dažnio atsako pralaidumo juostos krašte yra 3 dB. Jei filtras turi turėti mažesnę bangavimo reikšmę pralaidumo juostoje, tada reikia pasirinkti tinkamą filtro dažnį f in yra pasirinktas virš nurodyto viršutinio pralaidumo juostos dažnio. Butterworth filtro žemųjų dažnių filtro prototipo dažnio atsako aproksimavimo funkcija yra tokia:

Kur ξ - normalizuotas dažnis;
n- filtrų tvarka.

Šiuo atveju tikroji kuriamo filtro amplitudės-dažnio charakteristika gali būti gaunama padauginus normalizuotą dažnį ξ iki filtro išjungimo dažnio. Žemo dažnio Butterworth filtro dažnio atsako aproksimavimo funkcija atrodys taip:

Dabar atkreipkime dėmesį, kad skaičiuojant filtrus, plačiai naudojama kompleksinės s plokštumos sąvoka, kurioje išilgai ordinačių ašies brėžiamas apskritimo dažnis. jω, o išilgai x ašies yra kokybės koeficiento atvirkštinė vertė. Tokiu būdu galima nustatyti pagrindinius LC grandinių, kurios yra filtro grandinės dalis, parametrus: derinimo dažnį (rezonansinį dažnį) ir kokybės koeficientą. Perėjimas į s plokštumą atliekamas naudojant .

Pateiktas išsamus Butterworth filtro polių padėtis sudėtingoje s plokštumoje. Mums svarbiausia, kad šio filtro poliai būtų ant vieneto apskritimo vienodu atstumu vienas nuo kito. Polių skaičius nustatomas pagal filtro tvarką.

2 paveiksle parodytos pirmos eilės Butterworth filtro polių vietos. Dažnio atsakas, atitinkantis tam tikrą polių išdėstymą sudėtingoje s plokštumoje, parodytas netoliese.

2 paveiksle parodyta, kad pirmos eilės filtro polius turi būti sureguliuotas į nulinį dažnį, o jo kokybės koeficientas turi būti lygus vienetui. Dažnio atsako grafikas rodo, kad stulpo derinimo dažnis iš tiesų yra lygus nuliui, o stulpo kokybės koeficientas yra toks, kad esant normalizuoto Buterworth filtro ribiniam dažniui, lygiam vienetui, jo perdavimo koeficientas yra –3 dB.

Antrosios eilės Butterworth filtro poliai nustatomi lygiai taip pat. Šį kartą polių derinimo dažnis pasirenkamas vienetinio apskritimo sankirtoje su tiesia linija, einančia per apskritimo centrą 45° kampu. Polių išdėstymo kompleksinėje s-plokštumoje pavyzdys antros eilės Butterworth filtro dažnio atsakas parodytas 3 paveiksle.

Šiuo atveju poliaus rezonansinis dažnis yra arti normalizuoto filtro ribinio dažnio. Jis lygus 0,707. Stulpo kokybės koeficientas pagal polių padėties grafiką yra du kartus didesnis už pirmos eilės Butterworth filtro poliaus kokybės koeficientą, todėl amplitudės-dažnio atsako nuolydis yra didesnis. (Atkreipkite dėmesį į skaičius dešinėje grafiko pusėje. Kai dažnio derinimas yra 2, slopinimas jau yra 13 dB) Kairioji poliaus amplitudės-dažnio atsako pusė pasirodo esanti plokščia. Taip yra dėl poliaus, esančio neigiamo dažnio zonoje, įtakos.

Trečios eilės Butterworth filtro polių vieta ir amplitudės-dažnio atsakas parodytas 4 paveiksle.

Kaip matyti iš 2...5 paveiksluose pateiktų grafikų, didėjant Butterworth filtro eilės tvarkai, mažėja amplitudės-dažnio charakteristikos nuolydis ir reikalingas antros eilės grandinės (grandinės), kuri įgyvendina, kokybės koeficientas. padidėja filtro perdavimo charakteristikos polius. Būtent reikiamo kokybės koeficiento padidinimas riboja maksimalią filtro, kurį galima įdiegti, tvarką. Šiuo metu galima įdiegti Butterworth filtrus iki aštuntos – dešimtos eilės.

Čebyševo filtrai

Chebyshev filtruose amplitudės-dažnio atsakas yra apytikslis taip:

Šiuo atveju tikrojo Čebyševo filtro amplitudės-dažnio atsaką, kaip ir Butterwortho filtre, galima gauti padauginus normalizuotą dažnį ξ iki kuriamo filtro ribinio dažnio. Žemo dažnio Čebyševo filtro amplitudės-dažnio atsaką galima nustatyti taip:

Čebyševo filtro amplitudės-dažnio atsakas žemi dažniai būdingas staigesnis dažnių diapazono nuosmukis virš viršutinio praėjimo dažnio. Šis padidėjimas pasiekiamas dėl dažnio atsako netolygumo praėjimo juostoje. Čebyševo filtro dažnio atsako aproksimacinės funkcijos netolygumus lemia aukštesnis polių kokybės koeficientas.

Pateiktas detalus Čebyševo filtro aproksimacinės funkcijos polių padėties s plokštumoje išvedimas. Mums svarbu tai, kad Čebyševo filtro poliai būtų išsidėstę elipsėje, kurios pagrindinė ašis sutampa su normalizuotų dažnių ašimi. Šioje ašyje elipsė eina per žemųjų dažnių filtro ribinio dažnio tašką.

Normalizuotoje versijoje šis taškas yra lygus vienetui. Antroji ašis nustatoma pagal dažnio atsako aproksimacijos funkcijos netolygumus praėjimo juostoje. Kuo didesnis leistinas bangavimas pralaidumo juostoje, tuo ši ašis mažesnė. Yra tam tikras Butterworth filtro vieneto apskritimo „išlyginimas“. Atrodo, kad poliai artėja prie dažnio ašies. Tai atitinka filtro polių kokybės koeficiento padidėjimą. Kuo didesnis pralaidumo juostos nelygumas, tuo didesnis polių kokybės koeficientas, tuo didesnis susilpnėjimo greitis Čebyševo filtro stabdymo juostoje. Dažnio atsako aproksimacijos funkcijos polių skaičius nustatomas pagal Čebyševo filtro tvarką.

Reikėtų pažymėti, kad nėra pirmos eilės Čebyševo filtro. Antros eilės Čebyševo filtro polių vieta ir dažninė charakteristika parodyta 5 pav. Čebyševo filtro charakteristika įdomi tuo, kad jame aiškiai matomi polių dažniai. Jie atitinka didžiausią dažnio atsaką perdavimo juostoje. Antros eilės filtrui polių dažnis atitinka ξ =0.707.

Butterwortho filtro dažnio atsakas apibūdinamas lygtimi

Butterworth filtro savybės: netiesinis fazės atsakas; ribinis dažnis, nepriklausomas nuo polių skaičiaus; svyruojantis pereinamojo atsako pobūdis su žingsniniu įvesties signalu. Didėjant filtrų tvarkai, didėja virpesių pobūdis.

Čebyševo filtras

Čebyševo filtro dažnio atsakas apibūdinamas lygtimi

,

Kur T n 2 (ω/ω n ) – Čebyševo daugianario n– įsakymas.

Čebyševo polinomas apskaičiuojamas naudojant pasikartojančią formulę

Čebyševo filtro savybės: padidėjęs fazės atsako netolygumas; bangą primenanti charakteristika pralaidumo juostoje. Kuo didesnis filtro dažnio atsako netolygumo koeficientas pralaidumo juostoje, tuo staigesnis pereinamojo laikotarpio nuosmukis ta pačia tvarka. Laikinasis laipsniško įvesties signalo svyravimas yra didesnis nei Butterworth filtro. Chebyshev filtro polių kokybės koeficientas yra didesnis nei Butterworth filtro.

Beselio filtras

Besselio filtro dažnio atsakas apibūdinamas lygtimi

,

Kur
;B n 2 (ω/ω cp h ) – Beselio daugianario n– įsakymas.

Besselio polinomas apskaičiuojamas naudojant pasikartojančią formulę

Besselio filtro ypatybės: gana vienoda dažnio ir fazės atsakas, apytikslis Gauso funkcija; filtro fazinis poslinkis yra proporcingas dažniui, t.y. filtras turi nuo dažnio nepriklausomą grupės delsos laiką. Ribinis dažnis keičiasi keičiantis filtro polių skaičiui. Filtro dažnio atsakas paprastai yra plokštesnis nei Butterwortho ir Chebyshev. Šis filtras ypač tinka impulsinėms grandinėms ir fazei jautriam signalų apdorojimui.

Cauer filtras (elipsinis filtras)

Bendras Cauer filtro perdavimo funkcijos vaizdas

.

Cauer filtro ypatybės: netolygus dažnio atsakas praėjimo ir stabdymo juostoje; ryškiausias visų minėtų filtrų dažnio atsako kritimas; įgyvendina reikalingas perdavimo funkcijas su mažesne filtrų tvarka nei naudojant kitų tipų filtrus.

Filtrų eilės nustatymas

Reikiama filtrų tvarka nustatoma pagal toliau pateiktas formules ir suapvalinama iki artimiausio sveikojo skaičiaus. Butterworth filtrų užsakymas

.

Čebyševo filtrų užsakymas

.

Besselio filtrui nėra jokios eilės skaičiavimo formulės, pateikiamos lentelės, atitinkančios filtrų eiliškumą pagal minimalų reikalaujamą delsos laiko nuokrypį nuo vieneto tam tikru dažniu ir nuostolių lygį dB.

Skaičiuojant Besselio filtrų tvarką, nurodomi šie parametrai:

Leidžiamas procentinis grupės vėlavimo laiko nuokrypis tam tikru dažniu ω ω cp h ;

Filtro stiprinimo slopinimo lygį galima nustatyti dB dažniu ω , normalizuotas, palyginti su ω cp h .

Remiantis šiais duomenimis, nustatoma reikiama Besselio filtro eilės tvarka.

1 ir 2 eilės žemųjų dažnių filtrų kaskadų grandinės

Fig. 12.4, 12.5 parodytos tipinės žemųjų dažnių filtrų kaskadų grandinės.

A) b)

Ryžiai. 12.4. Butterwortho, Chebyshev ir Besselio žemųjų dažnių filtrų kaskados: A - 1 eilė; b – 2 eilė

A) b)

Ryžiai. 12.5. Cauer žemųjų dažnių filtrų kaskados: A - 1 eilė; b – 2 eilė

Bendras 1 ir 2 eilės žemųjų dažnių filtrų Butterworth, Chebyshev ir Bessel perdavimo funkcijų vaizdas

,
.

Bendras 1 ir 2 eilės Cauer žemųjų dažnių filtrų perdavimo funkcijų vaizdas

,
.

pagrindinis skirtumas tarp 2 eilės Cauer filtro ir juostos stabdymo filtro yra tas, kad Cauer filtro perdavimo funkcijoje dažnių santykis Ω s ≠ 1.

Butterworth, Chebyshev ir Bessel žemųjų dažnių filtrų skaičiavimo metodas

Šis metodas pagrįstas lentelėse pateiktais koeficientais ir galioja Butterworth, Chebyshev ir Bessel filtrams. Cauer filtrų apskaičiavimo metodas pateikiamas atskirai. Butterworth, Chebyshev ir Bessel žemųjų dažnių filtrų skaičiavimas prasideda nuo jų eilės nustatymo. Visiems filtrams nurodyti minimalūs ir didžiausi slopinimo parametrai bei ribinis dažnis. Čebyševo filtrams papildomai nustatomas dažnio atsako netolygumo koeficientas pralaidumo juostoje, o Beselio filtrams – grupės vėlavimo laikas. Toliau nustatoma filtro perdavimo funkcija, kurią galima paimti iš lentelių, ir apskaičiuojamos jo 1 ir 2 eilės kaskados, stebima tokia skaičiavimo tvarka:

Priklausomai nuo filtro eilės ir tipo, parenkamos jo kaskadų grandinės, o lyginės eilės filtras susideda iš n/2 2 eilės kaskados ir nelyginės eilės filtras - iš vienos 1 eilės kaskados ir ( n– 1)/2 2 eilės kaskados;

Norėdami apskaičiuoti pirmos eilės pakopą:

Pasirinktas filtro tipas ir tvarka nustato vertę b 1 1 eilės kaskados;

Sumažinus užimamą plotą, pasirenkamas pajėgumo įvertinimas C ir yra apskaičiuojamas R pagal formulę (taip pat galite pasirinkti R, bet rekomenduojama rinktis C, tikslumo sumetimais)

;

Apskaičiuojamas pelnas KAM adresu U 1 1 eilės kaskada, kuri nustatoma iš santykio

,

Kur KAM adresu U– viso filtro stiprinimas; KAM adresu U 2 , …, KAM adresu Un– 2 eilės kaskadų stiprinimo koeficientai;

Norėdami realizuoti pelną KAM adresu U 1 būtina nustatyti rezistorius remiantis tokiu ryšiu

R B = R A ּ (KAM adresu U1 –1) .

Norėdami apskaičiuoti 2 eilės pakopą:

Sumažinus užimamą plotą, parenkamos vardinės konteinerių vertės C 1 = C 2 = C;

Koeficientai parenkami iš lentelių b 1 i Ir K pi 2 eilės kaskadoms;

Pagal nurodytą kondensatoriaus nominalią vertę C apskaičiuojami rezistoriai R pagal formulę

;

Pasirinktam filtro tipui turite nustatyti atitinkamą stiprinimą KAM adresu Ui = 3 – (1/K pi) kiekvieno 2 eilės etapo, nustatydami rezistorius pagal šį ryšį

R B = R A ּ (KAM adresu Ui –1) ;

Besselio filtrams būtina visų kondensatorių nominalus padauginti iš reikiamo grupės vėlavimo laiko.

DF DAŽNIO SAVYBĖS KONVERTAVIMAS (LPF -> LPF1)

DF DAŽNIO SAVYBĖS KONVERTAVIMAS (LPF -> HPF)

DF DAŽNIO SAVYBĖS KONVERTAVIMAS (LPF -> PF)

DF DAŽNIO SAVYBĖS KONVERTAVIMAS (LPF -> RF)

4 eilės Butterworth filtras

DF DAŽNIO SAVYBĖS KONVERTAVIMAS (LPF -> LPF1)

DF DAŽNIO SAVYBĖS KONVERTAVIMAS (LPF -> HPF)

DF DAŽNIO SAVYBĖS KONVERTAVIMAS (LPF -> PF)

DF DAŽNIO SAVYBĖS KONVERTAVIMAS (LPF -> RF)

Čebyševo filtras 3 eilės

DF DAŽNIO SAVYBĖS KONVERTAVIMAS (LPF -> LPF1)

DF DAŽNIO SAVYBĖS KONVERTAVIMAS (LPF -> HPF)

DF DAŽNIO SAVYBĖS KONVERTAVIMAS (LPF -> PF)

DF DAŽNIO SAVYBĖS KONVERTAVIMAS (LPF -> RF)

Čebyševo filtras 4 užsakymai

DF DAŽNIO SAVYBĖS KONVERTAVIMAS (LPF -> LPF1)

DF DAŽNIO SAVYBĖS KONVERTAVIMAS (LPF -> HPF)

DF DAŽNIO SAVYBĖS KONVERTAVIMAS (LPF -> PF)

DF DAŽNIO SAVYBĖS KONVERTAVIMAS (LPF -> RF)

Beselio filtras 3 eilės

DF DAŽNIO SAVYBĖS KONVERTAVIMAS (LPF -> LPF1)

DF DAŽNIO SAVYBĖS KONVERTAVIMAS (LPF -> HPF)

DF DAŽNIO SAVYBĖS KONVERTAVIMAS (LPF -> PF)

DF DAŽNIO SAVYBĖS KONVERTAVIMAS (LPF -> RF)

Beselio filtras 4 eilės

DF DAŽNIO SAVYBĖS KONVERTAVIMAS (LPF -> LPF1)

DF DAŽNIO SAVYBĖS KONVERTAVIMAS (LPF -> HPF)

DF DAŽNIO SAVYBĖS KONVERTAVIMAS (LPF -> PF)

DF DAŽNIO SAVYBĖS KONVERTAVIMAS (LPF -> RF)

Išanalizuoti skaitmeninių žemųjų dažnių filtro koeficientų nustatymo klaidų įtaką dažnio atsakui (pakeitus vieną iš koeficientų b j). Apibūdinkite dažnio atsako pokyčio pobūdį. Padarykite išvadą apie vieno iš koeficientų pakeitimo poveikį filtro veikimui.

Išanalizuosime skaitmeninių žemųjų dažnių filtro koeficientų nustatymo klaidų įtaką dažnio atsakui, naudodamiesi 4 eilės Besselio filtro pavyzdžiu.

Parinkkime koeficientų ε nuokrypio reikšmę –1,5%, kad didžiausias dažnio charakteristikos nuokrypis būtų apie 10%.

„Idealaus“ filtro ir filtrų, kurių koeficientai pasikeitė reikšme ε, dažnio atsakas parodytas paveikslėlyje:

IR

Paveikslėlyje parodyta, kad didžiausią įtaką dažnio charakteristikoms daro koeficientų b 1 ir b 2 pokyčiai (jų reikšmė viršija kitų koeficientų reikšmę). Naudojant neigiamą ε reikšmę, pastebime, kad teigiami koeficientai sumažina amplitudę apatinėje spektro dalyje, o neigiami – padidina. Esant teigiamai ε vertei, viskas vyksta atvirkščiai.

Kvantifikuokite koeficientus skaitmeninis filtras tokiu dvejetainių bitų skaičiumi, kad didžiausias dažnio atsako nuokrypis nuo originalo būtų apie 10 - 20%. Nubraižykite dažnio atsaką ir apibūdinkite jo pokyčio pobūdį.

Keičiant koeficientų trupmeninės dalies skaitmenų skaičių b j Atkreipkite dėmesį, kad didžiausias dažnio atsako nuokrypis nuo pradinio neviršija 20%, kai n≥3.

Skirtingo dažnio atsako tipas n parodyta nuotraukose:

n =3, maksimalus dažnio atsako nuokrypis =19,7 %

n =4, maksimalus dažnio atsako nuokrypis =13,2 %

n =5, maksimalus dažnio atsako nuokrypis =5,8 %

n =6, maksimalus dažnio atsako nuokrypis =1,7 %

Taigi, galima pastebėti, kad bitų gylio didinimas kvantuojant filtro koeficientus lemia tai, kad filtro dažnio atsakas vis labiau linksta į pradinį. Tačiau reikia pažymėti, kad tai apsunkina fizinį filtro realizavimą.

Kvantifikavimas skirtingais n galima pamatyti paveiksle:

Spalvotųjų metalų ir aukso institutas Sibiro federaliniame universitete

Gamybos procesų automatizavimo katedra

Filtrų tipai  Butterworth žemo dažnio filtras  Čebyševo žemųjų dažnių filtras aš tipo  Minimalus filtrų užsakymas  LPF su MOS 

 LPF per INUN  Biquad žemo dažnio filtrai  2 eilės filtrų nustatymas  Nelyginės eilės žemųjų dažnių filtras 

 Čebyševo žemųjų dažnių filtras II tipo  Elipsiniai žemųjų dažnių filtrai  Elipsiniai žemųjų dažnių filtrai INUN  Elipsiniai žemųjų dažnių filtrai su 3 kondensatoriais  Bikvadratiniai elipsiniai žemo dažnio filtrai  Chebyshev žemo dažnio filtro nustatymas II tipo ir elipsės formos 

 2 eilės filtrų nustatymas   Viso praėjimo filtrai  Žemųjų dažnių filtrų modeliavimas  Diagramų kūrimas 

 Perėjimo x-k skaičiavimas  Dažnio parametrų skaičiavimas  Darbo užbaigimas  Kontroliniai klausimai 

Laboratorinis darbas Nr.1

„Signalų filtravimo Micro-Cap 6/7 aplinkoje tyrimas“

Darbo tikslas

1. Išstudijuokite pagrindinius filtrų tipus ir charakteristikas

2. Ištirkite filtrų modeliavimą Micro-Cap 6 aplinkoje.

3. Ištirkite aktyvių filtrų charakteristikas Micro-Cap 6 aplinkoje

Teorinė informacija

1. Filtrų tipai ir charakteristikos

Signalo filtravimas atlieka svarbų vaidmenį skaitmenines sistemas valdymas. Juose filtrai naudojami atsitiktinėms matavimo paklaidoms (trukdžių signalų įvedimui, triukšmui) pašalinti (1.1 pav.). Yra aparatinės (grandinės) ir skaitmeninės (programinės įrangos) filtravimas. Pirmuoju atveju naudojami elektroniniai filtrai iš pasyviųjų ir aktyviųjų elementų, antruoju – įvairūs programiniai metodai trikdžiams izoliuoti ir pašalinti. Aparatinis filtravimas naudojamas valdiklių ICD moduliuose (ryšio įrenginiuose su objektu) ir paskirstytose duomenų rinkimo ir valdymo sistemose.

Skaitmeninis filtravimas naudojamas UVM Auksciausias lygis APCS. Šiame straipsnyje išsamiai aptariami aparatinės įrangos filtravimo klausimai.

žemųjų dažnių filtrai - žemųjų dažnių filtrai (praleidžia žemus dažnius ir vėluoja aukštus dažnius);

aukšto dažnio filtrai (praleidžia aukštus dažnius ir blokuoja žemus dažnius);

juostos pralaidumo filtrai (praleisti dažnių juostą ir blokuoti dažnius aukščiau ir žemiau šios juostos);

juostos stabdymo filtrai (kurie vėluoja dažnių juostą ir perduoda dažnius, esančius aukščiau ir žemiau tos juostos).

Filtro perdavimo funkcija (TF) yra tokia:

kur ½ N(j w)½- modulis PF arba dažnio atsakas; j (w) - fazinis atsakas; w – su dažniu susietas kampinis dažnis (rad/s). f (Hz) santykis w = 2p f.

Įdiegto filtro PF turi formą

Kur A Ir b - pastovios vertės ir T , n = 1, 2, 3 ... (m £ n).

Vardiklio daugianario laipsnis n nustato filtrų tvarką. Kuo jis didesnis, tuo geresnė dažnio charakteristika, tačiau grandinė yra sudėtingesnė ir kaina didesnė.

Diapazonai arba dažnių juostos, kuriomis praeina signalai, yra pralaidumo juostos ir jose dažnio atsako reikšmė yra ½ N(j w)½ yra didelis ir idealiu atveju pastovus. Dažnių diapazonai, kuriuose signalai slopinami, yra stabdymo juostos, o juose dažnio atsako reikšmė yra maža ir idealiu atveju lygi nuliui.

Realiuose filtruose pralaidumo juosta yra dažnių diapazonas (0 -  c), kur dažnio atsako reikšmė yra didesnė už nurodytą reikšmę A 1 . Sustojimo juosta - tai dažnių diapazonas ( 1 -∞), kuriame dažnio atsakas yra mažesnis už reikšmę - A 2 . Perėjimo iš pralaidumo juostos į stabdymo juostą dažnio intervalas ( c - 1) vadinamas perėjimo sritimi.

Dažnai filtrams apibūdinti naudojamas slopinimas, o ne amplitudė. Slopinimas decibelais (dB) nustatomas pagal formulę

Amplitudės reikšmė A = 1 atitinka slopinimą a= 0. Jei A 1 = A/
= 1/= 0,707, tada susilpnėjimas dažniu w c:

Esant žemiems dažniams (žemiau 0,5 MHz), induktorių parametrai yra nepatenkinami: dideli dydžiai ir charakteristikų nukrypimai nuo idealo. Induktoriai prastai tinka integruotam dizainui. Paprasčiausias žemųjų dažnių filtras (LPF) ir jo dažnio atsakas parodytas fig. 1.8.

Aktyvūs filtrai kuriami remiantis R, C elementai ir aktyvieji elementai - operaciniai stiprintuvai(OU). Op-stiprintuvai turi turėti: didelį stiprinimą (50 kartų didesnį nei filtro); didelis išėjimo įtampos kilimo greitis (iki 100-1000 V/µs).

Net užsisakykite filtrą su P > 2 yra n/2 antros eilės nuorodos, sujungtos kaskadomis. Nelyginis filtras su P > 2 yra ( P - 1)/2 antrojo eilės nuorodos ir viena pirmo eilės nuoroda.

Pirmos užsakymo PF filtrams

Kur IN Ir SU - pastovūs skaičiai; P(s) – antrojo ar mažesnio laipsnio daugianario.

Žemųjų dažnių filtras turi didžiausią slopinimą pralaidumo juostoje a 1 neviršija 3 dB, o slopinimas stabdymo juostoje a 2 svyruoja nuo 20 iki 100 dB. Žemųjų dažnių filtro stiprinimas yra jo perdavimo funkcijos vertė s = 0 arba jo dažnio atsako reikšmė, kai w = 0 , t.y. . lygus A.

Butterworthas- turėti monotoninę dažnio charakteristiką (1.12 pav.);

Čebyševa (I tipas) - dažnio charakteristika turi pulsacijų praėjimo juostoje ir yra monotoniška stabdymo juostoje (1.13 pav.);

atvirkštinis Čebyševas(tipas II) - dažnio charakteristika yra monotoniška pralaidumo juostoje ir turi bangavimą stabdymo juostoje (1.14 pav.);

elipsės formos - Dažnio charakteristika turi raibuliavimą tiek praėjimo, tiek stabdymo juostoje (1.15 pav.).

Butterworth žemo dažnio filtras n-tosios eilės dažnio atsakas yra tokios formos

Butterwortho filtro, kaip daugianario filtro, PF yra lygus

Dėl n = 3, 5, 7 PF normalizuotas Butterworth filtras yra lygus

kur parametrai e ir KAM – pastovūs skaičiai ir SU P- Pirmojo laipsnio Čebyševo daugianario P, lygus

Taikymo sritis R p galima sumažinti pasirinkus pakankamai mažą parametro e reikšmę.

Mažiausias leistinas slopinimas praleidžiamojoje juostoje – nuolatinis bangavimas nuo smailės iki maksimumo – išreiškiamas decibelais kaip

Chebyshev ir Butterworth žemųjų dažnių filtrų PF yra identiškos formos ir apibūdinami išraiškomis (1.15) - (1.16). Chebyshev filtro dažnio atsakas yra geresnis nei tos pačios eilės Butterworth filtro dažnio atsakas, nes pirmasis turi siauresnį pereinamosios srities plotį. Tačiau Čebyševo filtras turi blogesnį (netiesiškesnį) fazės atsaką nei Butterworth filtras.

Čebyševo filtro dažnio atsakas šio įsakymo geriau nei Butterworth dažnio atsakas, nes Čebyševo filtras turi siauresnį pereinamosios srities plotį. Tačiau Chebyshev filtro fazinis atsakas yra blogesnis (labiau netiesinis), palyginti su Butterworth filtro fazės atsaku.

Čebyševo filtro fazės atsako charakteristikos 2-7 eilėms parodytos fig. 1.18. Palyginimui, pav. 1.18 punktyrinė linija rodo šeštos eilės Butterworth filtro fazės atsaką. Taip pat galima pastebėti, kad aukšto lygio Čebyševo filtrų fazinis atsakas yra prastesnis nei žemesnės eilės filtrų fazės atsakas. Tai atitinka faktą, kad aukšto lygio Čebyševo filtro dažnio atsakas yra geresnis nei žemesnės eilės filtro dažnio atsakas.

1.1. MINIMALIO FILTRO UŽSAKYMO PASIRINKIMAS

Remiantis Fig. 1.8 ir 1.9 galime daryti išvadą, kad kuo aukštesnė Butterworth ir Chebyshev filtrų eilė, tuo geresnė jų dažnio charakteristika. Tačiau didesnis užsakymas apsunkina grandinės įgyvendinimą ir todėl padidina išlaidas. Taigi svarbu pasirinkti minimalią reikiamą filtrų tvarką, atitinkančią pateiktus reikalavimus.

Įveskite tą, kuris parodytas pav. 1.2 bendrosios charakteristikos nurodytas didžiausias leistinas slopinimas pralaidumo juostoje a 1 (dB), mažiausias leistinas slopinimas stabdymo juostoje a 2 (dB), ribinis dažnis w s (rad/s) arba f c (Hz) ir didžiausią leistiną pereinamosios srities plotį T W, kuris apibrėžiamas taip:

kur logaritmai gali būti natūralūs arba dešimtainiai.

Lygtį (1.24) galima parašyti kaip

ir pakeiskite gautą santykį į (1.25), kad surastumėte eilės priklausomybę P perėjimo srities plotyje, o ne dažnyje w 1. Parametras T W/w with vadinamas normalizuotas pereinamosios srities plotis ir yra bematis dydis. Vadinasi, T W ir w c galima nurodyti radianais per sekundę ir hercais.

Panašiai, remiantis (1.18) for K = 1 Raskite mažiausią Čebyševo filtro tvarką

ir iš (1.25) išplaukia, kad šiuos reikalavimus atitinkantis Butterworth filtras turi turėti tokią minimalią tvarką:

Dar kartą radę artimiausią didesnį sveikąjį skaičių, gauname P= 4.

Šis pavyzdys aiškiai parodo Chebyshev filtro pranašumą prieš Butterworth filtrą, jei pagrindinis parametras yra dažnio atsakas. Nagrinėjamu atveju Čebyševo filtras užtikrina tokį patį perdavimo funkcijos nuolydį kaip ir dvigubo sudėtingumo Butterworth filtras.

1.2. LPF SU MULTI-LOOP ATSAKOMYBĖMIS

IR BEGALINIS GALIMAS

Aukštesnės eilės filtrams lygtis (1.29) apibūdina tipinės antros eilės nuorodos PF, kur KAM – jo stiprinimo koeficientas; IN Ir SU - sąsajos koeficientai pateikti informacinėje literatūroje. Vienas is labiausiai paprastos grandinės aktyvieji filtrai, kurie įgyvendina žemųjų dažnių PF pagal (1.29), parodyti pav. 1.11.

Varžos, atitinkančios (1.30) lygtį, yra lygios

Geras būdas yra nustatyti nominalią talpos vertę C 2, beveik 10/ f c µF ir pasirinkite didžiausią galimą vardinės talpos vertę C 1 tenkinanti lygtis (1.31). Atsparumas turi būti artimas vertėms, apskaičiuotoms pagal (1.31). Kuo aukštesnė filtrų tvarka, tuo kritiškesni šie reikalavimai. Jei apskaičiuotos nominalios varžos vertės nėra, reikia pažymėti, kad visas varžos vertes galima padauginti iš bendro koeficiento, jei talpos vertės yra padalintos iš to paties koeficiento.

Pavyzdžiui, tarkime, kad norite sukurti antros eilės MOC Chebyshev filtrą, kurio pulsacija yra 0,5 dB, dažnių juostos plotis 1000 Hz ir stiprinimas 2. Šiuo atveju KAM= 2, w c = 2π (1000), o iš A priedo matome, kad B = 1,425625 ir C = 1,516203. Vardinės vertės pasirinkimas C 2 = 10/f c= 10/1000 = 0,01 μF = 10 -8 F, iš (1,32) gauname

Dabar tarkime, kad būtina sukurti šeštos eilės Butterworth filtrą su MOC ribiniu dažniu f c= 1000 Hz ir stiprinimas K= 8. Jį sudarys trys antrosios eilės nuorodos, kurių kiekviena turi PF, nustatytą pagal (2.1) lygtį. Parinkime kiekvienos nuorodos padidėjimą K= 2, kuris suteikia reikiamą paties filtro stiprinimą 2∙2∙2=8. Iš A priedo pirmajai rastai nuorodai IN= 0,517638 ir C = 1. Dar kartą parinksime nominalią talpos vertę SU 2 = 0,01 μF ir šiuo atveju iš (2,21) randame SU 1 = 0,00022 µF. Nustatykime nominalią talpos vertę SU 1 = 200 pF ir iš (2.20) randame varžos reikšmes R 2 = 139,4 kOhm; R 1 = 69,7 kOhm; R 3 = 90,9 kOhm. Kitos dvi nuorodos apskaičiuojamos panašiai, o tada nuorodos sujungiamos, kad būtų įdiegtas šeštos eilės Butterworth filtras.

Dėl savo santykinio paprastumo MOC filtras yra vienas iš populiariausių invertuojamųjų stiprinimo filtrų tipų. Jis taip pat turi tam tikrų pranašumų, būtent gerą stabilumą ir mažą išėjimo varžą; taigi, jis gali būti nedelsiant sujungtas su kitomis nuorodomis, kad būtų įdiegtas aukštesnės eilės filtras. Schemos trūkumas yra tas, kad neįmanoma pasiekti aukštos kokybės koeficiento Q vertės be reikšmingo elementų verčių sklaidos ir didelio jautrumo jų pokyčiams. Norėdami pasiekti gerų rezultatų, įgyti KAM

Pakoreguota LPF-filtras. ... MOS-struktūra, yra galimybė reguliuoti stiprinimą ir juostą filtras kai keičiasi nominalai minimumas ... filtras ant mikroschemų tipo...turi tą patį įsakymas tos pačios vertybės kaip... klasika filtraiČebyševa Ir Butterworthas, ...

Analizuojant filtrus ir skaičiuojant jų parametrus, visada naudojami kai kurie standartiniai terminai, kurių prasminga laikytis nuo pat pradžių.

Tarkime, kad norite žemųjų dažnių filtro su plokščia pralaidumo juosta ir staigiu perėjimu prie sustabdymo juostos. Galutinis atsako nuolydis stabdymo juostoje visada bus 6n dB/oktava, kur n yra „polių“ skaičius. Vienam poliui reikalingas vienas kondensatorius (arba induktorius), todėl galutiniai filtro nusileidimo greičio reikalavimai apytiksliai lemia jo sudėtingumą.

Tarkime, kad nusprendėte naudoti 6 polių žemųjų dažnių filtrą. Jums garantuojamas galutinis našumo sumažėjimas aukšti dažniai 36 dB/oktava. Savo ruožtu dabar galima optimizuoti filtro grandinę taip, kad praėjimo juostoje būtų užtikrintas kuo lygesnis atsakas, sumažinant perėjimo nuo praėjimo juostos į stabdymo juostą nuolydį. Kita vertus, leidžiant tam tikrą bangavimą pralaidumo juostoje, galima pasiekti staigesnį perėjimą iš pralaidumo juostos į stabdymo juostą. Trečiasis kriterijus, kuris gali būti svarbus, apibūdina filtro gebėjimą perduoti signalus, kurių spektras yra pralaidumo juostoje, neiškraipant jų formos dėl fazių poslinkių. Taip pat galite domėtis kilimo laiku, viršijimu ir nusistovėjimo laiku.

Yra žinomi filtrų projektavimo metodai, tinkami bet kuriai iš šių charakteristikų arba jų derinių optimizuoti. Tikrai protingas filtro pasirinkimas nevyksta taip, kaip aprašyta aukščiau; Paprastai pirmiausia nustatomas reikiamas charakteristikų vienodumas pralaidumo juostoje ir reikalingas slopinimas tam tikru dažniu už pralaidumo juostos ribų ir kiti parametrai. Po to parenkama tinkamiausia grandinė su polių skaičiumi, kurio pakanka visiems šiems reikalavimams patenkinti. Kituose skyriuose bus nagrinėjami trys labiausiai populiarus tipas filtrai, būtent Butterworth filtras (plokščiausias atsakas pralaidumo juostoje), Čebyševo filtras (stačiausias perėjimas iš pralaidumo juostos į atmetimo juostą) ir Besselio filtras (plokščiausia vėlavimo laiko charakteristika). Bet kuris iš šių filtrų tipų gali būti įgyvendintas naudojant įvairias filtrų grandines; Kai kuriuos iš jų aptarsime vėliau.

Butterworth ir Chebyshev filtrai. Butterworth filtras suteikia plokštiausią atsaką praėjimo juostoje, kuris pasiekiamas sklandumo kaina pereinamojoje srityje, t.y. tarp pralaidumo juostų ir vėlinimo juostų. Kaip bus parodyta vėliau, jis taip pat turi prastą fazinio dažnio atsaką. Jo amplitudės-dažnio charakteristika apskaičiuojama pagal šią formulę:
U out / U in = 1/ 1/2,
kur n apibrėžia filtrų tvarką (polių skaičių). Padidinus stulpų skaičių, galima išlyginti charakteristikos dalį praėjimo juostoje ir padidinti riedėjimo nuo praėjimo juostos iki slopinimo juostos statumą, kaip parodyta Fig. 5.10.

Ryžiai. 5.10 Normalizuotos Butterworth žemo dažnio filtrų charakteristikos. Atkreipkite dėmesį į tai, kad didėjant filtrų eilės tvarkai būdingas riedėjimas didėja.

Renkantis Butterworth filtrą, visa kita aukojame vardan pačių plokščiausių savybių. Jo charakteristika eina horizontaliai, pradedant nuo nulinio dažnio, jo vingis prasideda nuo ribinio dažnio ƒ s - šis dažnis dažniausiai atitinka -3 dB tašką.

Daugumoje programų svarbiausias dalykas yra tai, kad pralaidumo juostos pulsacija neviršytų tam tikro dydžio, tarkime, 1 dB. Čebyševo filtras atitinka šį reikalavimą, o tam tikri charakteristikos netolygumai leidžiami visoje pralaidumo juostoje, tačiau tuo pačiu labai padidėja jo lūžio ryškumas. Čebyševo filtrui nurodomas polių skaičius ir pralaidumo juostos nelygumai. Atsižvelgdami į didesnius praėjimo juostos nelygumus, gauname ryškesnį kreivumą. Šio filtro amplitudės-dažnio atsakas pateikiamas tokiu ryšiu
U out / U in = 1/ 1/2,
čia C n yra pirmos rūšies n laipsnio Čebyševo daugianario, o ε yra konstanta, kuri lemia charakteristikos netolygumą pralaidumo juostoje. Čebyševo filtras, kaip ir Butterworth filtras, turi fazinio dažnio charakteristikas, kurios toli gražu nėra idealios. Fig. 5.11 paveiksle palygintos 6 polių Chebyshev ir Butterworth žemo dažnio filtrų charakteristikos. Kaip nesunkiai matote, abu yra daug geresni nei 6 polių RC filtras.

Ryžiai. 5.11. Kai kurių dažniausiai naudojamų 6 polių žemo dažnio filtrų charakteristikų palyginimas. Tų pačių filtrų charakteristikos rodomos tiek logaritminėmis (viršuje), tiek tiesinėmis (apačiomis) skalėmis. 1 - Besselio filtras; 2 - Butterworth filtras; 3 - Čebyševo filtras (pulsacija 0,5 dB).

Tiesą sakant, Butterworth filtras su maksimaliai plokščiu praėjimo dažnių juostos atsaku nėra toks patrauklus, kaip gali atrodyti, nes bet kuriuo atveju turite susitaikyti su tam tikrais pralaidumo juostos netolygumais (Buterwortho filtrui tai laipsniškai mažės, nes dažnis artėja prie ƒ c, o Čebyševo filtrui - bangavimas, paskirstytas per visą pralaidumo juostą). Be to, aktyvieji filtrai, pagaminti iš elementų, kurių reitingai turi tam tikrą toleranciją, turės charakteristiką, kuri skirsis nuo apskaičiuotosios, o tai reiškia, kad iš tikrųjų Butterworth filtro charakteristikoje visada bus tam tikrų pralaidumo juostos nelygybių. Fig. 5.12 paveiksle parodytas labiausiai nepageidautinas kondensatoriaus talpos ir rezistoriaus varžos verčių nuokrypių poveikis filtro charakteristikoms.

Ryžiai. 5.12. Elementų parametrų pokyčių įtaka aktyvaus filtro charakteristikoms.

Atsižvelgiant į tai, kas išdėstyta pirmiau, labai racionali struktūra yra Čebyševo filtras. Kartais jis vadinamas vienodų bangų filtru, nes jo charakteristika pereinamojoje srityje yra didesnė dėl to, kad per pralaidumo juostą pasiskirsto keli vienodo dydžio bangos, kurių skaičius didėja atsižvelgiant į filtro tvarką. Net ir esant santykinai nedideliam bangavimui (apie 0,1 dB), Chebyshev filtras suteikia daug didesnį nuolydį pereinamojoje srityje nei Butterworth filtras. Norėdami kiekybiškai įvertinti šį skirtumą, tarkime, kad reikalingas filtras, kurio pralaidumo juostos lygumas yra ne didesnis kaip 0,1 dB ir 20 dB slopinimas, kai dažnis skiriasi nuo 25 %. ribinis dažnis pralaidumo. Skaičiavimas rodo, kad šiuo atveju reikalingas 19 polių Butterworth filtras arba tiesiog 8 polių Čebyševo filtras.

Idėja, kad galima toleruoti bangavimą praėjimo juostoje, kad būtų padidintas perėjimo atkarpos statumas, yra logiška išvadoje vadinamojo elipsinio filtro (arba Cauer filtro), kuriame leidžiamas pulsavimas. tiek pralaidumo juostoje, tiek uždelsimas, siekiant užtikrinti, kad perėjimo atkarpos statumas būtų dar didesnis nei Čebyševo filtro charakteristikos. Kompiuterio pagalba elipsiniai filtrai gali būti sukurti taip paprastai, kaip klasikiniai Chebyshev ir Butterworth filtrai. Fig. 5.13 paveiksle parodytas grafinis filtro amplitudės-dažnio atsako aprašymas. Šiuo atveju (žemų dažnių filtras) priimtinas filtro stiprinimo diapazonas (t. y. pulsacija) pralaidumo juostoje, minimalus dažnis, kuriuo charakteristika palieka pralaidumo juostą, didžiausias dažnis, kai charakteristika patenka į stabdymo juostą, ir mažiausias slopinimas areštas.

Ryžiai. 5.13. Filtro dažnio atsako parametrų nustatymas.

Beselio filtrai. Kaip buvo nustatyta anksčiau, filtro amplitudės-dažnio atsakas nesuteikia visos informacijos apie jį. Filtras su plokščia amplitudės-dažnio atsaku gali turėti didelius fazių poslinkius. Dėl to signalo, kurio spektras yra pralaidumo juostoje, forma bus iškraipyta praeinant per filtrą. Tais atvejais, kai bangos forma yra itin svarbi, pageidautina turėti linijinės fazės filtrą (pastovios delsos laiko filtrą). Reikalavimas, kad filtras užtikrintų tiesinį fazės poslinkio pokytį, kaip dažnio funkciją, yra tolygus reikalavimui nuolatinio vėlavimo laiko signalui, kurio spektras yra pralaidumo juostoje, ty signalo formos iškraipymo nebuvimas. Besselio filtras (taip pat vadinamas Thomson filtru) turi plokščiausią pralaidumo juostos delsos kreivės dalį, kaip ir Butterworth filtras turi plokštiausią dažnio atsaką. Norėdami suprasti Besselio filtro teikiamą laiko srities patobulinimą, žr. 5.14 paveiksle pavaizduoti 6 polių Besselio ir Butterwortho žemųjų dažnių filtrų dažnio normalizuoti vėlavimo laiko grafikai. Prastos Butterworth filtro delsos charakteristikos sukelia viršijimo tipo efektus, kai impulsiniai signalai praeina per filtrą. Kita vertus, už Besselio filtro uždelsimo laiko pastovumą reikia mokėti tuo, kad jo amplitudės-dažnio charakteristika turi dar plokštesnę perėjimo dalį tarp pralaidumo juostos ir stabdymo juostos nei netgi Butterworth filtro charakteristika.

Ryžiai. 5.14. 6 juostų Bessel (1) ir Butterworth (2) žemųjų dažnių filtrų laiko delsų palyginimas. Besselio filtras dėl savo puikių laiko srities savybių sukuria mažiausią bangos formos iškraipymą.

Yra daug įvairiais būdais filtrų konstrukcijos, kuriomis bandoma pagerinti Besselio filtro veikimą laiko srityje, iš dalies paaukojant pastovų delsos laiką, siekiant sumažinti kilimo laiką ir pagerinti amplitudės-dažnio atsaką. Gauso filtras pasižymi beveik tokiomis pat geromis fazinėmis charakteristikomis kaip ir Besselio filtro, tačiau pagerino trumpalaikį atsaką. Kita įdomi klasė yra filtrai, kurie leidžia pasiekti identiškus vėlinimo laiko kreivės bangavimą pralaidumo juostoje (panašiai kaip amplitudės-dažnio charakteristikos Čebyševo filtre) ir užtikrina maždaug tokį patį vėlavimą signalams, kurių spektras yra iki stabdymo juosta. Kitas būdas sukurti filtrus su pastoviu delsos laiku yra visų pralaidų filtrų, kitaip vadinamų laiko domeno ekvalaizeriais, naudojimas. Šie filtrai turi pastovią amplitudės-dažnio atsaką, o fazių poslinkį galima keisti pagal specifinius reikalavimus. Taigi, jie gali būti naudojami bet kokių filtrų, ypač Butterworth ir Chebyshev filtrų, delsos trukmei išlyginti.

Filtrų palyginimas. Nepaisant ankstesnių komentarų apie trumpalaikį Besselio filtrų atsaką, jis vis dar turi labai geras laiko domeno savybes, palyginti su Butterworth ir Chebyshev filtrais. Pats Čebyševo filtras, turintis labai tinkamą amplitudės-dažnio atsaką, turi pačius blogiausius parametrus laiko srityje iš visų šių trijų filtrų tipų. Butterworth filtras leidžia pakeisti dažnius ir laiko charakteristikas. Fig. 5.15 paveiksle pateikta informacija apie šių trijų tipų filtrų veikimo charakteristikas laiko srityje, papildant ankstesnes amplitudės-dažnio charakteristikų diagramas. Remiantis šiais duomenimis, galime daryti išvadą, kad tais atvejais, kai svarbūs filtro parametrai laiko srityje, patartina naudoti Besselio filtrą.

Ryžiai. 5.15. Trumpalaikis 6 polių žemo dažnio filtrų palyginimas. Kreivės normalizuojamos sumažinus 3 dB slopinimo reikšmę iki 1 Hz dažnio. 1 - Besselio filtras; 2 - Butterworth filtras; 3 - Čebyševo filtras (pulsacija 0,5 dB).