Определитель: det, ||, детерминант.

Определитель - это не матрица, а число.

Как найти определитель матрицы?

Чтобы найти определитель матрицы вводят понятие "минор" . Обозначение: M ij - минор, M ij 2 - минор второго порядка (определитель матрицы 2*2) и т.д.

Чтобы найти минор для элемента a ij , вычеркиваем из матрицы A i-ю строку и j-й столбец. Получаем матрицу размерностью n-1*m-1, находим определитель этой матрицы .

Пример: найти минор второго порядка для элемента a 12 матрицы A:

Вычеркиваем из матрицы A 1-ю строку и 2-й столбец. Получаем матрицу размерностью 2*2, находим определитель этой матрицы :

Таким образом, минор - это не матрица, а число.

Пример: найти определитель (в общем виде) матрицы 2*2 разложением по 1) строке; 2) столбцу:

По строке: det A = a 11 *(-1) 1+1 *M 11 +a 12 *(-1) 1+2 *M 12 = a 11 *1*a 22 +a 12 *(-1)*a 21 =
= a 11 *a 22 -a 12 *a 21

По столбцу: det A = a 11 *(-1) 1+1 *M 11 +a 21 *(-1) 2+1 *M 21 = a 11 *1*a 22 +a 21 *(-1)*a 12 =
= a 11 *a 22 -a 21 *a 12

Несложно увидеть, что получен одинаковый результат.

Таким образом, чтобы найти определитель матрицы 2*2 достаточно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов побочной:

Как быстро вычислить определитель третьего порядка?

Для вычисления определителя третьего порядка используют правило треугольника (или "звездочки").

1. Перемножаем элементы главной диагонали: det(A)=11*22*33...

2. К полученному произведению прибавляем произведение "треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали": det(A)=11*22*33+31*12*23+13*21*32...

3. Все, что связано с побочной диагональю, берем со знаком "-". Перемножаем элементы побочной диагонали и вычитаем: det(A)=11*22*33+31*12*23+13*21*32-13*22*31...

4. Аналогично "главным треугольникам" перемножаем побочные и вычитаем: det(A)=11*22*33+31*12*23+13*21*32-13*22*31-11*23*32-33*12*21.

det(A)=11*22*33+31*12*23+13*21*32-13*22*31-11*23*32-33*12*21=
=7986+8556+8736-8866-8096-8316=0

Свойства определителя матрицы.

• При перестановке местами двух параллельных строк или столбцов определителя его знак меняется на обратный;
• Определитель, содержащий две одинаковых строки или столбца, равен нулю;
• Если одну из строк определителя умножить на какое-либо число, то получится определитель, равный исходному определителю, умноженному на это число;
• При транспонировании матрицы её определитель не меняет своего значения;
• Если в определителе вместо любой строки записать сумму этой строки и любой другой строки, умноженной на некоторое число, то полученный новый определитель будет равен исходному;
• Если каждый элемент какой-либо строки или столбца определителя представляем в виде суммы двух слагаемых, то этот определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей;
• Общий множитель элементов какой-либо строки или столбца определителя можно выносить за знак определителя.

— Отпустите синицу на верную смерть!
Пусть её приласкает свобода!
И корабль плывёт, и реактор ревёт...
— Паш, ты упоролся?

Помню, класса до 8-го мне не нравилась алгебра. Вообще не нравилась. Бесила она меня. Потому что я там ничего не понимал.

А затем всё изменилось, потому что я просёк одну фишку:

В математике вообще (и алгебре в частности) всё строится на грамотной и последовательной системе определений. Знаешь определения, понимаешь их суть — разобраться в остальном не составит труда.

Вот так и с темой сегодняшнего урока. Мы детально рассмотрим несколько смежных вопросов и определений, благодаря чему вы раз и навсегда разберётесь и с матрицами, и с определителями, и со всеми их свойствами.

Определители — центральное понятие в алгебре матриц. Подобно формулам сокращённого умножения, они будут преследовать вас на протяжении всего курса высшей математики. Поэтому читаем, смотрим и разбираемся досконально.:)

И начнём мы с самого сокровенного — а что такое матрица? И как правильно с ней работать.

Правильная расстановка индексов в матрице

Матрица — это просто таблица, заполненная числами. Нео тут ни при чём.

Одна из ключевых характеристик матрицы — это её размерность, т.е. количество строк и столбцов, из которых она состоит. Обычно говорят, что некая матрица $A$ имеет размер $\left[ m\times n \right]$, если в ней имеется $m$ строк и $n$ столбцов. Записывают это так:

Или вот так:

Бывают и другие обозначения — тут всё зависит от предпочтений лектора/ семинариста/ автора учебника. Но в любом случае со всеми этими $\left[ m\times n \right]$ и ${{a}_{ij}}$ возникает одна и та же проблема:

Какой индекс за что отвечает? Сначала идёт номер строки, затем — столбца? Или наоборот?

При чтении лекций и учебников ответ будет казаться очевидным. Но когда на экзамене перед вами — только листик с задачей, можно переволноваться и внезапно запутаться.

Поэтому давайте разберёмся с этим вопросом раз и навсегда. Для начала вспомним обычную систему координат из школьного курса математики:

Введение системы координат на плоскости

Помните её? У неё есть начало координат (точка $O=\left(0;0 \right)$) оси $x$и $y$, а каждая точка на плоскости однозначно определяется по координатам: $A=\left(1;2 \right)$, $B=\left(3;1 \right)$ и т.д.

А теперь давайте возьмём эту конструкцию и поставим её рядом с матрицей так, чтобы начало координат находилось в левом верхнем углу. Почему именно там? Да потому что открывая книгу, мы начинаем читать именно с левого верхнего угла страницы — запомнить это легче лёгкого.

Но куда направить оси? Мы направим их так, чтобы вся наша виртуальная «страница» была охвачена этими осями. Правда, для этого придётся повернуть нашу систему координат. Единственно возможный вариант такого расположения:

Теперь всякая клетка матрицы имеет однозначные координаты $x$ и $y$. Например запись ${{a}_{24}}$ означает, что мы обращаемся к элементу с координатами $x=2$ и $y=4$. Размеры матрицы тоже однозначно задаются парой чисел:

Просто всмотритесь в эту картинку внимательно. Поиграйтесь с координатами (особенно когда будете работать с настоящими матрицами и определителями) — и очень скоро поймёте, что даже в самых сложных теоремах и определениях вы прекрасно понимаете, о чём идёт речь.

Разобрались? Что ж, переходим к первому шагу просветления — геометрическому определению определителя.:)

Геометрическое определение

Прежде всего хотел бы отметить, что определитель существует только для квадратных матриц вида $\left[ n\times n \right]$. Определитель — это число, которое cчитается по определённым правилам и является одной из характеристик этой матрицы (есть другие характеристики: ранг, собственные вектора, но об этом в других уроках).

Ну и что это за характеристика? Что он означает? Всё просто:

Определитель квадратной матрицы $A=\left[ n\times n \right]$ — это объём $n$-мерного параллелепипеда, который образуется, если рассмотреть строки матрицы в качестве векторов, образующих рёбра этого параллелепипеда.

Например, определитель матрицы размера 2x2 — это просто площадь параллелограмма, а для матрицы 3x3 это уже объём 3-мерного параллелепипеда — того самого, который так бесит всех старшеклассников на уроках стереометрии.

На первый взгляд это определение может показаться совершенно неадекватным. Но давайте не будем спешить с выводами — глянем на примеры. На самом деле всё элементарно, Ватсон:

Задача. Найдите определители матриц:

\[\left| \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \\\end{matrix} \right|\quad \left| \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & 2 \\\end{matrix} \right|\quad \left| \begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 4 \\\end{matrix} \right|\]

Решение. Первые два определителя имеют размер 2x2. Значит, это просто площади параллелограммов. Начертим их и посчитаем площадь.

Первый параллелограмм построен на векторах ${{v}_{1}}=\left(1;0 \right)$ и ${{v}_{2}}=\left(0;3 \right)$:

Определитель 2x2 — это площадь параллелограмма

Очевидно, это не просто параллелограмм, а вполне себе прямоугольник. Его площадь равна

Второй параллелограмм построен на векторах ${{v}_{1}}=\left(1;-1 \right)$ и ${{v}_{2}}=\left(2;2 \right)$. Ну и что с того? Это тоже прямоугольник:

Ещё один определитель 2x2

Стороны этого прямоугольника (по сути — длины векторов) легко считаются по теореме Пифагора:

\[\begin{align} & \left| {{v}_{1}} \right|=\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left(-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{2}; \\ & \left| {{v}_{2}} \right|=\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}; \\ & S=\left| {{v}_{1}} \right|\cdot \left| {{v}_{2}} \right|=\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}=4. \\\end{align}\]

Осталось разобраться с последним определителем — там уже матрица 3x3. Придётся вспоминать стереометрию:

Определитель 3x3 — это объём параллелепипеда

Выглядит мозговыносяще, но по факту достаточно вспомнить формулу объёма параллелепипеда:

где $S$ — площадь основания (в нашем случае это площадь параллелограмма на плоскости $OXY$), $h$ — высота, проведённая к этому основанию (по сути, $z$-координата вектора ${{v}_{3}}$).

Площадь параллелограмма (мы начертили его отдельно) тоже считается легко:

\[\begin{align} & S=2\cdot 3=6; \\ & V=S\cdot h=6\cdot 4=24. \\\end{align}\]

Вот и всё! Записываем ответы.

Ответ: 3; 4; 24.

Небольшое замечание по поводу системы обозначений. Кому-то наверняка не понравится, что я игнорирую «стрелочки» над векторами. Якобы так можно спутать вектор с точкой или ещё с чем.

Но давайте серьёзно: мы с вами уже взрослые мальчики и девочки, поэтому из контекста прекрасно понимаем, когда речь идёт о векторе, а когда — о точке. Стрелки лишь засоряют повествование, и без того под завязку напичканное математическими формулами.

И ещё. В принципе, ничто не мешает рассмотреть и определитель матрицы 1x1 — такая матрица представляет собой просто одну клетку, а число, записанное в этой клетке, и будет определителем. Но тут есть важное замечание:

В отличие от классического объёма, определитель даст нам так называемый «ориентированный объём », т.е. объём с учётом последовательности рассмотрения векторов-строк.

И если вы хотите получить объём в классическом смысле этого слова, придётся взять модуль определителя, но сейчас не стоит париться об этом — всё равно через несколько секунд мы научимся считать любой определитель с любыми знаками, размерами и т.д.:)

Алгебраическое определение

При всей красоте и наглядности геометрического подхода у него есть серьёзный недостаток: он ничего не говорит нам о том, как этот самый определитель считать.

Поэтому сейчас мы разберём альтернативное определение — алгебраическое. Для этого нам потребуется краткая теоретическая подготовка, зато на выходе мы получим инструмент, позволяющий считать в матрицах что и как угодно.

Правда, там появится новая проблема... но обо всём по порядку.

Перестановки и инверсии

Давайте выпишем в строчку числа от 1 до $n$. Получится что-то типа этого:

Теперь (чисто по приколу) поменяем парочку чисел местами. Можно поменять соседние:

А можно — не особо соседние:

И знаете, что? А ничего! В алгебре эта хрень называется перестановкой. И у неё есть куча свойств.

Определение. Перестановка длины $n$ — строка из $n$ различных чисел, записанных в любой последовательности. Обычно рассматриваются первые $n$ натуральных чисел (т.е. как раз числа 1, 2, ..., $n$), а затем их перемешивают для получения нужной перестановки.

Обозначаются перестановки так же, как и векторы — просто буквой и последовательным перечислением своих элементов в скобках. Например: $p=\left(1;3;2 \right)$ или $p=\left(2;5;1;4;3 \right)$. Буква может быть любой, но пусть будет $p$.:)

Далее для простоты изложения будем работать с перестановками длины 5 — они уже достаточно серьёзны для наблюдения всяких подозрительных эффектов, но ещё не настолько суровы для неокрепшего мозга, как перестановки длины 6 и более. Вот примеры таких перестановок:

\[\begin{align} & {{p}_{1}}=\left(1;2;3;4;5 \right) \\ & {{p}_{2}}=\left(1;3;2;5;4 \right) \\ & {{p}_{3}}=\left(5;4;3;2;1 \right) \\\end{align}\]

Естественно, перестановку длины $n$ можно рассматривать как функцию, которая определена на множестве $\left\{ 1;2;...;n \right\}$ и биективно отображает это множество на себя же. Возвращаясь к только что записанным перестановкам ${{p}_{1}}$, ${{p}_{2}}$ и ${{p}_{3}}$, мы вполне законно можем написать:

\[{{p}_{1}}\left(1 \right)=1;{{p}_{2}}\left(3 \right)=2;{{p}_{3}}\left(2 \right)=4;\]

Количество различных перестановок длины $n$ всегда ограничено и равно $n!$ — это легко доказуемый факт из комбинаторики. Например, если мы захотим выписать все перестановки длины 5, то мы весьма заколебёмся, поскольку таких перестановок будет

Одной из ключевых характеристик всякой перестановки является количество инверсий в ней.

Определение. Инверсия в перестановке $p=\left({{a}_{1}};{{a}_{2}};...;{{a}_{n}} \right)$ — всякая пара $\left({{a}_{i}};{{a}_{j}} \right)$ такая, что $i \lt j$, но ${{a}_{i}} \gt {{a}_{j}}$. Проще говоря, инверсия — это когда большее число стоит левее меньшего (не обязательно соседнего).

Мы будем обозначать через $N\left(p \right)$ количество инверсий в перестановке $p$, но будьте готовы встретиться и с другими обозначениями в разных учебниках и у разных авторов — единых стандартов тут нет. Тема инверсий весьма обширна, и ей будет посвящён отдельный урок. Сейчас же наша задача — просто научиться считать их в реальных задачах.

Например, посчитаем количество инверсий в перестановке $p=\left(1;4;5;3;2 \right)$:

\[\left(4;3 \right);\left(4;2 \right);\left(5;3 \right);\left(5;2 \right);\left(3;2 \right).\]

Таким образом, $N\left(p \right)=5$. Как видите, ничего страшного в этом нет. Сразу скажу: дальше нас будет интересовать не столько само число $N\left(p \right)$, сколько его чётность/ нечётность. И тут мы плавно переходим к ключевому термину сегодняшнего урока.

Что такое определитель

Пусть дана квадратная матрица $A=\left[ n\times n \right]$. Тогда:

Определение. Определитель матрицы $A=\left[ n\times n \right]$ — это алгебраическая сумма $n!$ слагаемых, составленных следующим образом. Каждое слагаемое — это произведение $n$ элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, умноженное на (−1) в степени количество инверсий:

\[\left| A \right|=\sum\limits_{n!}{{{\left(-1 \right)}^{N\left(p \right)}}\cdot {{a}_{1;p\left(1 \right)}}\cdot {{a}_{2;p\left(2 \right)}}\cdot ...\cdot {{a}_{n;p\left(n \right)}}}\]

Принципиальным моментом при выборе множителей для каждого слагаемого в определителе является тот факт, что никакие два множителя не стоят в одной строчке или в одном столбце.

Благодаря этому можно без ограничения общности считать, что индексы $i$ множителей ${{a}_{i;j}}$ «пробегают» значения 1, ..., $n$, а индексы $j$ являются некоторой перестановкой от первых:

А когда есть перестановка $p$, мы легко посчитаем инверсии $N\left(p \right)$ — и очередное слагаемое определителя готово.

Естественно, никто не запрещает поменять местами множители в каком-либо слагаемом (или во всех сразу — чего мелочиться-то?), и тогда первые индексы тоже будут представлять собой некоторую перестановку. Но в итоге ничего не поменяется: суммарное количество инверсий в индексах $i$ и $j$ сохраняет чётность при подобных извращениях, что вполне соответствует старому-доброму правилу:

От перестановки множителей произведение чисел не меняется.

Вот только не надо приплетать это правило к умножению матриц — в отличие от умножения чисел, оно не коммутативно. Но это я отвлёкся.:)

Матрица 2x2

Вообще-то можно рассмотреть и матрицу 1x1 — это будет одна клетка, и её определитель, как нетрудно догадаться, равен числу, записанному в этой клетке. Ничего интересного.

Поэтому давайте рассмотрим квадратную матрицу размером 2x2:

\[\left[ \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} \\\end{matrix} \right]\]

Поскольку количество строк в ней $n=2$, то определитель будет содержать $n!=2!=1\cdot 2=2$ слагаемых. Выпишем их:

\[\begin{align} & {{\left(-1 \right)}^{N\left(1;2 \right)}}\cdot {{a}_{11}}\cdot {{a}_{22}}={{\left(-1 \right)}^{0}}\cdot {{a}_{11}}\cdot {{a}_{22}}={{a}_{11}}{{a}_{22}}; \\ & {{\left(-1 \right)}^{N\left(2;1 \right)}}\cdot {{a}_{12}}\cdot {{a}_{21}}={{\left(-1 \right)}^{1}}\cdot {{a}_{12}}\cdot {{a}_{21}}={{a}_{12}}{{a}_{21}}. \\\end{align}\]

Очевидно, что в перестановке $\left(1;2 \right)$, состоящей из двух элементов, нет инверсий, поэтому $N\left(1;2 \right)=0$. А вот в перестановке $\left(2;1 \right)$ одна инверсия имеется (собственно, 2 < 1), поэтому $N\left(2;1 \right)=1.$

Итого универсальная формула вычисления определителя для матрицы 2x2 выглядит так:

\[\left| \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} \\\end{matrix} \right|={{a}_{11}}{{a}_{22}}-{{a}_{12}}{{a}_{21}}\]

Графически это можно представить как произведение элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов на побочной:

Рассмотрим пару примеров:

\[\left| \begin{matrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\end{matrix} \right|;\quad \left| \begin{matrix} 7 & 12 \\ 14 & 1 \\\end{matrix} \right|.\]

Решение. Всё считается в одну строчку. Первая матрица:

И вторая:

Ответ: −3; −161.

Впрочем, это было слишком просто. Давайте рассмотрим матрицы 3x3 — там уже интересно.

Матрица 3x3

Теперь рассмотрим квадратную матрицу размера 3x3:

\[\left[ \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} & {{a}_{13}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & {{a}_{23}} \\ {{a}_{31}} & {{a}_{32}} & {{a}_{33}} \\\end{matrix} \right]\]

При вычислении её определителя мы получим $3!=1\cdot 2\cdot 3=6$ слагаемых — ещё не слишком много для паники, но уже достаточно, чтобы начать искать какие-то закономерности. Для начала выпишем все перестановки из трёх элементов и посчитаем инверсии в каждой из них:

\[\begin{align} & {{p}_{1}}=\left(1;2;3 \right)\Rightarrow N\left({{p}_{1}} \right)=N\left(1;2;3 \right)=0; \\ & {{p}_{2}}=\left(1;3;2 \right)\Rightarrow N\left({{p}_{2}} \right)=N\left(1;3;2 \right)=1; \\ & {{p}_{3}}=\left(2;1;3 \right)\Rightarrow N\left({{p}_{3}} \right)=N\left(2;1;3 \right)=1; \\ & {{p}_{4}}=\left(2;3;1 \right)\Rightarrow N\left({{p}_{4}} \right)=N\left(2;3;1 \right)=2; \\ & {{p}_{5}}=\left(3;1;2 \right)\Rightarrow N\left({{p}_{5}} \right)=N\left(3;1;2 \right)=2; \\ & {{p}_{6}}=\left(3;2;1 \right)\Rightarrow N\left({{p}_{6}} \right)=N\left(3;2;1 \right)=3. \\\end{align}\]

Как и предполагалось, всего выписано 6 перестановок ${{p}_{1}}$, ... ${{p}_{6}}$ (естественно, можно было бы выписать их в другой последовательности — суть от этого не изменится), а количество инверсий в них меняется от 0 до 3.

В общем, у нас будет три слагаемых с «плюсом» (там, где $N\left(p \right)$ — чётное) и ещё три с «минусом». А в целом определитель будет считаться по формуле:

\[\left| \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} & {{a}_{13}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & {{a}_{23}} \\ {{a}_{31}} & {{a}_{32}} & {{a}_{33}} \\\end{matrix} \right|=\begin{matrix} {{a}_{11}}{{a}_{22}}{{a}_{33}}+{{a}_{12}}{{a}_{23}}{{a}_{31}}+{{a}_{13}}{{a}_{21}}{{a}_{32}}- \\ -{{a}_{13}}{{a}_{22}}{{a}_{31}}-{{a}_{12}}{{a}_{21}}{{a}_{33}}-{{a}_{11}}{{a}_{23}}{{a}_{32}} \\\end{matrix}\]

Вот только не надо сейчас садиться и яростно зубрить все эти индексы! Вместо непонятных цифр лучше запомните следующее мнемоническое правило:

Правило треугольника. Для нахождения определителя матрицы 3x3 нужно сложить три произведения элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах равнобедренных треугольников со стороной, параллельной этой диагонали, а затем вычесть такие же три произведения, но на побочной диагонали. Схематически это выглядит так:

Определитель матрицы 3x3: правило треугольников

Именно эти треугольники (или пентаграммы — кому как больше нравится) любят рисовать во всяких учебниках и методичках по алгебре. Впрочем, не будем о грустном. Давайте лучше посчитаем один такой определитель — для разминки перед настоящей жестью.:)

Задача. Вычислите определитель:

\[\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 1 \\\end{matrix} \right|\]

Решение. Работаем по правилу треугольников. Сначала посчитаем три слагаемых, составленных из элементов на главной диагонали и параллельно ей:

\[\begin{align} & 1\cdot 5\cdot 1+2\cdot 6\cdot 7+3\cdot 4\cdot 8= \\ & =5+84+96=185 \\\end{align}\]

Теперь разбираемся с побочной диагональю:

\[\begin{align} & 3\cdot 5\cdot 7+2\cdot 4\cdot 1+1\cdot 6\cdot 8= \\ & =105+8+48=161 \\\end{align}\]

Осталось лишь вычесть из первого числа второе — и мы получим ответ:

Вот и всё!

Тем не менее, определители матриц 3x3 — это ещё не вершина мастерства. Самое интересное ждёт нас дальше.:)

Общая схема вычисления определителей

Как мы знаем, с ростом размерности матрицы $n$ количество слагаемых в определителе составляет $n!$ и быстро растёт. Всё-таки факториал — это вам не хрен собачий довольно быстро растущая функция.

Уже для матриц 4x4 считать определители напролом (т.е. через перестановки) становится как-то не оч. Про 5x5 и более вообще молчу. Поэтому к делу подключаются некоторые свойства определителя, но для их понимания нужна небольшая теоретическая подготовка.

Готовы? Поехали!

Что такое минор матрицы

Пусть дана произвольная матрица $A=\left[ m\times n \right]$. Заметьте: не обязательно квадратная. В отличие от определителей, миноры — это такие няшки, которые существуют не только в суровых квадратных матрицах. Выберем в этой матрице несколько (например, $k$) строк и столбцов, причём $1\le k\le m$ и $1\le k\le n$. Тогда:

Определение. Минор порядка $k$ — определитель квадратной матрицы, возникающей на пересечении выбранных $k$ столбцов и строк. Также минором мы будем называть и саму эту новую матрицу.

Обозначается такой минор ${{M}_{k}}$. Естественно, у одной матрицы может быть целая куча миноров порядка $k$. Вот пример минора порядка 2 для матрицы $\left[ 5\times 6 \right]$:

Выбор $k = 2$ столбцов и строк для формирования минора

Совершенно необязательно, чтобы выбранные строки и столбцы стояли рядом, как в рассмотренном примере. Главное, чтобы количество выбранных строк и столбцов было одинаковым (это и есть число $k$).

Есть и другое определение. Возможно, кому-то оно больше придётся по душе:

Определение. Пусть дана прямоугольная матрица $A=\left[ m\times n \right]$. Если после вычеркивания в ней одного или нескольких столбцов и одной или нескольких строк образуется квадратная матрица размера $\left[ k\times k \right]$, то её определитель — это и есть минор ${{M}_{k}}$. Саму матрицу мы тоже иногда будем называть минором — это будет ясно из контекста.

Как говорил мой кот, иногда лучше один раз навернуться с 11-го этажа есть корм, чем мяукать, сидя на балконе.

Пример. Пусть дана матрица

Выбирая строку 1 и столбец 2, получаем минор первого порядка:

\[{{M}_{1}}=\left| 7 \right|=7\]

Выбирая строки 2, 3 и столбцы 3, 4, получаем минор второго порядка:

\[{{M}_{2}}=\left| \begin{matrix} 5 & 3 \\ 6 & 1 \\\end{matrix} \right|=5-18=-13\]

А если выбрать все три строки, а также столбцы 1, 2, 4, будет минор третьего порядка:

\[{{M}_{3}}=\left| \begin{matrix} 1 & 7 & 0 \\ 2 & 4 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \\\end{matrix} \right|\]

Читателю не составит труда найти и другие миноры порядков 1, 2 или 3. Поэтому идём дальше.

Алгебраические дополнения

«Ну ok, и что дают нам эти миньоны миноры?» — наверняка спросите вы. Сами по себе — ничего. Но в квадратных матрицах у каждого минора появляется «компаньон» — дополнительный минор, а также алгебраическое дополнение. И вместе эти два ушлёпка позволят нам щёлкать определители как орешки.

Определение. Пусть дана квадратная матрица $A=\left[ n\times n \right]$, в которой выбран минор ${{M}_{k}}$. Тогда дополнительный минор для минора ${{M}_{k}}$ — это кусок исходной матрицы $A$, который останется при вычёркивании всех строк и столбцов, задействованных при составлении минора ${{M}_{k}}$:

Дополнительный минор к минору ${{M}_{2}}$

Уточним один момент: дополнительный минор — это не просто «кусок матрицы», а определитель этого куска.

Обозначаются дополнительные миноры с помощью «звёздочки»: $M_{k}^{*}$:

где операция $A\nabla {{M}_{k}}$ буквально означает «вычеркнуть из $A$ строки и столбцы, входящие в ${{M}_{k}}$». Эта операция не является общепринятой в математике — я её сам только что придумал для красоты повествования.:)

Дополнительные миноры редко используются сами по себе. Они являются частью более сложной конструкции — алгебраического дополнения.

Определение. Алгебраическое дополнение минора ${{M}_{k}}$ — это дополнительный минор $M_{k}^{*}$, умноженный на величину ${{\left(-1 \right)}^{S}}$, где $S$ — сумма номеров всех строк и столбцов, задействованных в исходном миноре ${{M}_{k}}$.

Как правило, алгебраическое дополнение минора ${{M}_{k}}$ обозначается через ${{A}_{k}}$. Поэтому:

\[{{A}_{k}}={{\left(-1 \right)}^{S}}\cdot M_{k}^{*}\]

Сложно? На первый взгляд — да. Но это не точно. Потому что на самом деле всё легко. Рассмотрим пример:

Пример. Дана матрица 4x4:

Выберем минор второго порядка

\[{{M}_{2}}=\left| \begin{matrix} 3 & 4 \\ 15 & 16 \\\end{matrix} \right|\]

Капитан Очевидность как бы намекает нам, что при составлении этого минора были задействованы строки 1 и 4, а также столбцы 3 и 4. Вычёркиваем их — получим дополнительный минор:

Осталось найти число $S$ и получить алгебраическое дополнение. Поскольку мы знаем номера задействованных строк (1 и 4) и столбцов (3 и 4), всё просто:

\[\begin{align} & S=1+4+3+4=12; \\ & {{A}_{2}}={{\left(-1 \right)}^{S}}\cdot M_{2}^{*}={{\left(-1 \right)}^{12}}\cdot \left(-4 \right)=-4\end{align}\]

Ответ: ${{A}_{2}}=-4$

Вот и всё! По сути, всё различие между дополнительным минором и алгебраическим дополнением — только в минусе спереди, да и то не всегда.

Теорема Лапласа

И вот мы пришли к тому, зачем, собственно, все эти миноры и алгебраические дополнения были нужны.

Теорема Лапласа о разложении определителя. Пусть в матрице размера $\left[ n\times n \right]$ выбрано $k$ строк (столбцов), причём $1\le k\le n-1$. Тогда определитель этой матрицы равен сумме всех произведений миноров порядка $k$, содержащихся в выбранных строках (столбцах), на их алгебраические дополнения:

\[\left| A \right|=\sum{{{M}_{k}}\cdot {{A}_{k}}}\]

Причём таких слагаемых будет ровно $C_{n}^{k}$.

Ладно, ладно: про $C_{n}^{k}$ — это я уже понтуюсь, в оригинальной теореме Лапласа ничего такого не было. Но комбинаторику никто не отменял, и буквально беглый взгляд на условие позволит вам самостоятельно убедиться, что слагаемых будет именно столько.:)

Мы не будем её доказывать, хоть это и не представляет особой трудности — все выкладки сводятся к старым-добрым перестановкам и чётности/ нечётности инверсий. Тем не менее, доказательство будет представлено в отдельном параграфе, а сегодня у нас сугубо практический урок.

Поэтому переходим к частному случаю этой теоремы, когда миноры представляют собой отдельные клетки матрицы.

Разложение определителя по строке и столбцу

То, о чём сейчас пойдёт речь — как раз и есть основной инструмент работы с определителями, ради которого затевались вся эта дичь с перестановками, минорами и алгебраическими дополнениями.

Читайте и наслаждайтесь:

Следствие из Теоремы Лапласа (разложение определителя по строке/столбцу). Пусть в матрице размера $\left[ n\times n \right]$ выбрана одна строка. Минорами в этой строке будут $n$ отдельных клеток:

\[{{M}_{1}}={{a}_{ij}},\quad j=1,...,n\]

Дополнительные миноры тоже легко считаются: просто берём исходную матрицу и вычёркиваем строку и столбец, содержащие ${{a}_{ij}}$. Назовём такие миноры $M_{ij}^{*}$.

Для алгебраического дополнения ещё нужно число $S$, но в случае с минором порядка 1 это просто сумма «координат» клетки ${{a}_{ij}}$:

И тогда исходный определитель можно расписать через ${{a}_{ij}}$ и $M_{ij}^{*}$ согласно теореме Лапласа:

\[\left| A \right|=\sum\limits_{j=1}^{n}{{{a}_{ij}}\cdot {{\left(-1 \right)}^{i+j}}\cdot {{M}_{ij}}}\]

Это и есть формула разложения определителя по строке . Но то же верно и для столбцов.

Из этого следствия можно сразу сформулировать несколько выводов:

1. Эта схема одинаково хорошо работает как для строк, так и для столбцов. На самом деле чаще всего разложение будет идти именно по столбцам, нежели по строкам.
2. Количество слагаемых в разложении всегда ровно $n$. Это существенно меньше $C_{n}^{k}$ и уж тем более $n!$.
3. Вместо одного определителя $\left[ n\times n \right]$ придётся считать несколько определителей размера на единицу меньше: $\left[ \left(n-1 \right)\times \left(n-1 \right) \right]$.

Последний факт особенно важен. Например, вместо зверского определителя 4x4 теперь достаточно будет посчитать несколько определителей 3x3 — с ними мы уж как-нибудь справимся.:)

Задача. Найдите определитель:

\[\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\\end{matrix} \right|\]

Решение. Разложим этот определитель по первой строке:

\[\begin{align} \left| A \right|=1\cdot {{\left(-1 \right)}^{1+1}}\cdot \left| \begin{matrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\end{matrix} \right|+ & \\ 2\cdot {{\left(-1 \right)}^{1+2}}\cdot \left| \begin{matrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \\\end{matrix} \right|+ & \\ 3\cdot {{\left(-1 \right)}^{1+3}}\cdot \left| \begin{matrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \\\end{matrix} \right|= & \\\end{align}\]

\[\begin{align} & =1\cdot \left(45-48 \right)-2\cdot \left(36-42 \right)+3\cdot \left(32-35 \right)= \\ & =1\cdot \left(-3 \right)-2\cdot \left(-6 \right)+3\cdot \left(-3 \right)=0. \\\end{align}\]

Задача. Найдите определитель:

\[\left| \begin{matrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right|\]

Решение. Для разнообразия давайте в этот раз работать со столбцами. Например, в последнем столбце присутствуют сразу два нуля — очевидно, это значительно сократит вычисления. Сейчас увидите почему.

Итак, раскладываем определитель по четвёртому столбцу:

\[\begin{align} \left| \begin{matrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right|=0\cdot {{\left(-1 \right)}^{1+4}}\cdot \left| \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end{matrix} \right|+ & \\ +1\cdot {{\left(-1 \right)}^{2+4}}\cdot \left| \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end{matrix} \right|+ & \\ +1\cdot {{\left(-1 \right)}^{3+4}}\cdot \left| \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\end{matrix} \right|+ & \\ +0\cdot {{\left(-1 \right)}^{4+4}}\cdot \left| \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right| & \\\end{align}\]

И тут — о, чудо! — два слагаемых сразу улетают коту под хвост, поскольку в них есть множитель «0». Остаётся ещё два определителя 3x3, с которыми мы легко разберёмся:

\[\begin{align} & \left| \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end{matrix} \right|=0+0+1-1-1-0=-1; \\ & \left| \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\end{matrix} \right|=0+1+1-0-0-1=1. \\\end{align}\]

Возвращаемся к исходнику и находим ответ:

\[\left| \begin{matrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right|=1\cdot \left(-1 \right)+\left(-1 \right)\cdot 1=-2\]

Ну вот и всё. И никаких 4! = 24 слагаемых считать не пришлось.:)

Ответ: −2

Основные свойства определителя

В последней задаче мы видели, как наличие нулей в строках (столбцах) матрицы резко упрощает разложение определителя и вообще все вычисления. Возникает естественный вопрос: а нельзя ли сделать так, чтобы эти нули появились даже в той матрице, где их изначально не было?

Ответ однозначен: можно . И здесь нам на помощь приходят свойства определителя:

1. Если поменять две строчки (столбца) местами, определитель не изменится;
2. Если одну строку (столбец) умножить на число $k$, то весь определитель тоже умножится на число $k$;
3. Если взять одну строку и прибавить (вычесть) её сколько угодно раз из другой, определитель не изменится;
4. Если две строки определителя одинаковы, либо пропорциональны, либо одна из строк заполнена нулями, то весь определитель равен нулю;
5. Все указанные выше свойства верны и для столбцов.
6. При транспонировании матрицы определитель не меняется;
7. Определитель произведения матриц равен произведению определителей.

Особую ценность представляет третье свойство: мы можем вычитать из одной строки (столбца) другую до тех пор, пока в нужных местах не появятся нули .

Чаще всего расчёты сводится к тому, чтобы «обнулить» весь столбец везде, кроме одного элемента, а затем разложить определитель по этому столбцу, получив матрицу размером на 1 меньше.

Давайте посмотрим, как это работает на практике:

Задача. Найдите определитель:

\[\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\end{matrix} \right|\]

Решение. Нулей тут как бы вообще не наблюдается, поэтому можно «долбить» по любой строке или столбцу — объём вычислений будет примерно одинаковым. Давайте не будем мелочиться и «обнулим» первый столбец: в нём уже есть клетка с единицей, поэтому просто возьмём первую строчку и вычтем её 4 раза из второй, 3 раза из третьей и 2 раза из последней.

В результате мы получим новую матрицу, но её определитель будет тем же:

\[\begin{matrix} \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\end{matrix} \right|\begin{matrix} \downarrow \\ -4 \\ -3 \\ -2 \\\end{matrix}= \\ =\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4-4\cdot 1 & 1-4\cdot 2 & 2-4\cdot 3 & 3-4\cdot 4 \\ 3-3\cdot 1 & 4-3\cdot 2 & 1-3\cdot 3 & 2-3\cdot 4 \\ 2-2\cdot 1 & 3-2\cdot 2 & 4-2\cdot 3 & 1-2\cdot 4 \\\end{matrix} \right|= \\ =\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -7 & -10 & -13 \\ 0 & -2 & -8 & -10 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\\end{matrix} \right| \\\end{matrix}\]

Теперь с невозмутимостью Пятачка раскладываем этот определитель по первому столбцу:

\[\begin{matrix} 1\cdot {{\left(-1 \right)}^{1+1}}\cdot \left| \begin{matrix} -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\end{matrix} \right|+0\cdot {{\left(-1 \right)}^{2+1}}\cdot \left| ... \right|+ \\ +0\cdot {{\left(-1 \right)}^{3+1}}\cdot \left| ... \right|+0\cdot {{\left(-1 \right)}^{4+1}}\cdot \left| ... \right| \\\end{matrix}\]

Понятно, что «выживет» только первое слагаемое — в остальных я даже определители не выписывал, поскольку они всё равно умножаются на ноль. Коэффициент перед определителем равен единице, т.е. его можно не записывать.

Зато можно вынести «минусы» из всех трёх строк определителя. По сути, мы трижды вынесли множитель (−1):

\[\left| \begin{matrix} -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\end{matrix} \right|=\cdot \left| \begin{matrix} 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\end{matrix} \right|\]

Получили мелкий определитель 3x3, который уже можно посчитать по правилу треугольников. Но мы попробуем разложить и его по первому столбцу — благо в последней строчке гордо стоит единица:

\[\begin{align} & \left(-1 \right)\cdot \left| \begin{matrix} 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\end{matrix} \right|\begin{matrix} -7 \\ -2 \\ \uparrow \\\end{matrix}=\left(-1 \right)\cdot \left| \begin{matrix} 0 & -4 & -36 \\ 0 & 4 & -4 \\ 1 & 2 & 7 \\\end{matrix} \right|= \\ & =\cdot \left| \begin{matrix} -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end{matrix} \right|=\left(-1 \right)\cdot \left| \begin{matrix} -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end{matrix} \right| \\\end{align}\]

Можно, конечно, ещё поприкалываться и разложить матрицу 2x2 по строке (столбцу), но мы же с вами адекватны, поэтому просто посчитаем ответ:

\[\left(-1 \right)\cdot \left| \begin{matrix} -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end{matrix} \right|=\left(-1 \right)\cdot \left(16+144 \right)=-160\]

Вот так и разбиваются мечты. Всего-то −160 в ответе.:)

Ответ: −160.

Парочка замечаний перед тем, как мы перейдём к последней задаче:

1. Исходная матрица была симметрична относительно побочной диагонали. Все миноры в разложении тоже симметричны относительно той же побочной диагонали.
2. Строго говоря, мы могли вообще ничего не раскладывать, а просто привести матрицу к верхнетреугольному виду, когда под главной диагональю стоят сплошные нули. Тогда (в точном соответствии с геометрической интерпретацией, кстати) определитель равен произведению ${{a}_{ii}}$ — чисел на главной диагонали.

Задача. Найдите определитель:

\[\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\end{matrix} \right|\]

Решение. Ну, тут первая строка прямо-таки напрашивается на «обнуление». Берём первый столбец и вычитаем ровно один раз из всех остальных:

\[\begin{align} & \left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\end{matrix} \right|= \\ & =\left| \begin{matrix} 1 & 1-1 & 1-1 & 1-1 \\ 2 & 4-2 & 8-2 & 16-2 \\ 3 & 9-3 & 27-3 & 81-3 \\ 5 & 25-5 & 125-5 & 625-5 \\\end{matrix} \right|= \\ & =\left| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 6 & 14 \\ 3 & 6 & 24 & 78 \\ 5 & 20 & 120 & 620 \\\end{matrix} \right| \\\end{align}\]

Раскладываем по первой строке, а затем выносим общие множители из оставшихся строк:

\[\cdot \left| \begin{matrix} 2 & 6 & 14 \\ 6 & 24 & 78 \\ 20 & 120 & 620 \\\end{matrix} \right|=\cdot \left| \begin{matrix} 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\end{matrix} \right|\]

Снова наблюдаем «красивые» числа, но уже в первом столбце — раскладываем определитель по нему:

\[\begin{align} & 240\cdot \left| \begin{matrix} 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\end{matrix} \right|\begin{matrix} \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end{matrix}=240\cdot \left| \begin{matrix} 1 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 3 & 24 \\\end{matrix} \right|= \\ & =240\cdot {{\left(-1 \right)}^{1+1}}\cdot \left| \begin{matrix} 1 & 6 \\ 3 & 24 \\\end{matrix} \right|= \\ & =240\cdot 1\cdot \left(24-18 \right)=1440 \\\end{align}\]

Порядок. Задача решена.

Ответ: 1440

Основной числовой характеристикой квадратной матрицы является ее определитель. Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка

Определителем или детерминантом второго порядка называется число, вычисленное по следующему правилу

Например,

Рассмотрим теперь квадратную матрицу третьего порядка

.

Определителем третьего порядка называется число, вычисленное по следующему правилу

В целях запоминания сочетания слагаемых, входящих в выражения для определения определителя третьего порядка обычно используют правило Саррюса: первое из трех слагаемых, входящих в правую часть со знаком плюс есть произведение элементов, стоящих на главной диагонали матрицы , а каждое из двух других – произведение элементов, лежащих на параллели к этой диагонали, и элемента из противоположного угла матрицы.

Последние три слагаемые, входящие со знаком минус определяются аналогичным образом, только относительно побочной диагонали.

Пример:

Основные свойства определителей матрицы

1. Величина определителя не изменяется при транспонировании матрицы.

2. При перестановки местами строк или столбцов матрицы, определитель меняет лишь знак, сохраняя абсолютную величину.

3. Определитель, содержащий пропорциональные строки или столбцы равен нулю.

4. Общий множитель элементов некоторой строки или столбца можно выносить за знак определителя.

5. Если все элементы некоторой строки или столбца равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

6. Если к элементам отдельной строки или столбца определителя прибавить элементы другой строки или столбца, умноженные на произвольный невырожденный множитель , то величина определителя не изменится.

Минором матрицы называется определитель, полученный вычеркиванием из квадратной матрицы одинакового числа столбцов и строк.

Если все миноры порядка выше , которые можно составить из матрицы, равны нулю, а среди миноров порядка хотя бы один отличен от нуля, то число называется рангом этой матрицы.

Алгебраическим дополнением элемента определителя порядка будем называть его минор порядка, получаемый вычеркиванием соответствующей строки и столбца, на пересечении которых, стоит элемент , взятый со знаком плюс, если сумма индексов равна четному числу и со знаком минус в противном случае.

Таким образом

,

где соответствующий минор порядка.

Вычисление определителя матрицы путем разложения по элементам строки или столбца

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов какой- либо строки (какого- либо столбца) матрицы на соответствующие алгебраические дополнения элементов этой строки (этого столбца). При вычислении определителя матрицы таким способом следует руководствоваться следующим правилом: выбирать строку или столбец с наибольшим числом нулевых элементов. Этот прием позволяет значительно сократить объем вычислений.

Пример: .

При вычислении данного определителя, воспользовались приемом разложения его по элементам первого столбца. Как видно из приведенной формулы нет необходимости вычислять последний из определителей второго порядка, т.к. он умножается на ноль.

Вычисление обратной матрицы

При решении матричных уравнений широко используют обратную матрицу. Она в известной степени заменяет операцию деления, которая в явном виде в алгебре матриц отсутствует.

Квадратные матрицы одинакового порядка, произведение которых дает единичную матрицу , называются взаимообратными или обратными. Обозначается обратная матрица и для нее справедливо

Вычислить обратную матрицу можно только для такой матрицы , для которой .

Классический алгоритм вычисления обратной матрицы

1. Записывают матрицу , транспонированную к матрице .

2. Заменяют каждый элемент матрицы определителем, полученным в результате вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых расположен данный элемент.

3. Этот определитель сопровождают знаком плюс, если сумма индексов элемента четная, и знаком минус – в противном случае.

4. Делят полученную матрицу на определитель матрицы .

Пусть имеется квадратная матрица A размером n x n .
Определение. Определителем называется алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов, взятых по одному из каждого столбца и каждой строки матрицы A . Если в каждом таком произведении (члене определителя) множители расположены в порядке следования столбцов (т.е. вторые индексы элементов a ij в произведении расположены в порядке возрастания), то со знаком (+) берутся те произведения, у которых перестановка первых индексов чётная, а со знаком (-) – те, ­ у которых она нечетная.
.
Здесь - число инверсий в перестановке индексов i 1 , i 2 , …, i n .

Методы нахождения определителей

1. Определитель матрицы разложением по строкам и столбцам через миноры.
2. Определитель методом приведения к треугольному виду (методом Гаусса)

Свойство определителей

1. При транспонировании матрицы её определитель не меняется.
2. Если поменять местами две строки или два столбца определителя, то определитель изменит знак, а по абсолютной величине не изменится.
3. Пусть C = AB где A и B квадратные матрицы. Тогда detC = detA ∙ detB .
4. Определитель с двумя одинаковыми строками или с двумя одинаковыми столбцами равен 0. Если все элементы некоторой строки или столбца равны нулю, то и сам определитель равен нулю.
5. Определитель с двумя пропорциональными строками или столбцами равен 0.
6. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. Определитель диагональной матрицы равен произведению элементов стоящих на главной диагонали.
7. Если все элементы строки (столбца) умножить на одно и то же число, то определитель умножится на это число.
8. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы) кроме данной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят первые, а во втором - вторые слагаемые.
9. Теорема Якоби: Если к элементам некоторого столбца определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца, умноженные на произвольный множитель λ, то величина определителя не изменится.

• транспонировать матрицу;
• прибавить к какой-либо строке другую строку, умноженную на любое число.

Задание 1 . Вычислить определитель, разлагая его по строке или столбцу.
Решение :xls
Пример 1 :xls

Задание 2 . Вычислить определитель двумя способами: а) по правилу «треугольников»; б) разложением по строке.

Решение .
а) Слагаемые, входящие в со знаком «минус», строятся таким же образом относительно побочной диагонали.

Задание 3 . Укажите, чему равен определитель квадратной матрицы A четвертого порядка, если ее ранг r(A)=1.
Ответ: det(A) = 0.

Задана система N линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с неизвестными, коэффициентами при которых являются элементы матрицы , а свободными членами — числа

Первый индекс возле коэффициентов указывает в каком уравнении находится коэффициент, а второй — при котором из неизвестным он находится.

Если определитель матрицы не равен нулю

то система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение.

Решением системы линейных алгебраических уравнений называется такая упорядоченная совокупность чисел , которая при превращает каждое из уравнений системы в правильную равенство.

Если правые части всех уравнений системы равны нулю, то систему уравнений называют однородной. В случае, когда некоторые из них отличны от нуля – неоднородной

Если система линейных алгебраических уравнений имеет хоть одно решение, то она называется совместной, в противном случае — несовместимой.

Если решение системы единственное, то система линейных уравнений называется определенной. В случае, когда решение совместной системы не единственный, систему уравнений называют неопределенной.

Две системы линейных уравнений называются эквивалентными (или равносильными), если все решения одной системы является решениями второй, и наоборот. Эквивалентны (или равносильны) системы получаем с помощью эквивалентных преобразований.

Эквивалентные преобразования СЛАУ

1) перестановка местами уравнений;

2) умножение (или деление) уравнений на отличное от нуля число;

3) добавление к некоторого уравнения другого уравнения, умноженного на произвольное, отличное от нуля число.

Решение СЛАУ можно найти разными способами.

МЕТОД КРАМЕРА

ТЕОРЕМА КРАМЕРА. Если определитель системы линейных алгебраических уравнений с неизвестными отличен от нуля то эта система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

— определители, образованные с заменой -го столбца, столбцом из свободных членов.

Если , а хотя бы один из отличен от нуля, то СЛАУ решений не имеет. Если же , то СЛАУ имеет множество решений. Рассмотрим примеры с применением метода Крамера.

—————————————————————

Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Решить систему методом Крамера

Найдем определитель матрицы коэффициентов при неизвестных

Так как , то заданная система уравнений совместная и имеет единственное решение. Вычислим определители:

По формулам Крамера находим неизвестные

Итак единственное решение системы.

Дана система четырех линейных алгебраических уравнений. Решить систему методом Крамера.

Найдем определитель матрицы коэффициентов при неизвестных. Для этого разложим его по первой строке.

Найдем составляющие определителя:

Подставим найденные значения в определитель

Детерминант , следовательно система уравнений совместная и имеет единственное решение. Вычислим определители по формулам Крамера:

Разложим каждый из определителей по столбцу в котором есть больше нулей.

По формулам Крамера находим

Решение системы

Данный пример можно решить математическим калькулятором YukhymCALC . Фрагмент программы и результаты вычислений наведены ниже.

——————————

МЕТОД К Р А М Е Р А

|1,1,1,1|

D=|5,-3,2,-8|

|3,5,1,4|

|4,2,3,1|

D=1*(-3*1*1+2*4*2+(-8)*5*3-((-8)*1*2+2*5*1+(-3)*4*3))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3))+1*(5*5*1+(-3)*4*4+(-8)*3*2-((-8)*5*4+(-3)*3*1+5*4*2))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3))= 1*(-3+16-120+16-10+36)-1*(5+32-72+32-6-60)+1*(25-48-48+160+9-40)-1*(75-12+12-40+27-10)=1*(-65)-1*(-69)+1*58-1*52=-65+69+58-52=10

|0,1,1,1|

Dx1=|1,-3,2,-8|

|0,5,1,4|

|3,2,3,1|

Dx1=-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3))+1*(1*5*1+(-3)*4*3+(-8)*0*2-((-8)*5*3+(-3)*0*1+1*4*2))-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3))= -1*(1+24+0+24+0-12)+1*(5-36+0+120+0-8)-1*(15-9+0-30+0-2)= -1*(37)+1*81-1*(-26)=-37+81+26=70

|1,0,1,1|

Dx2=|5,1,2,-8|

|3,0,1,4|

|4,3,3,1|

Dx2=1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3))+1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3))= 1*(1+24+0+24+0-12)+1*(0+16-72+0-3-60)-1*(0+4+18+0-9-15)= 1*37+1*(-119)-1*(-2)=37-119+2=-80

|1,1,0,1|

Dx3=|5,-3,1,-8|

|3,5,0,4|

|4,2,3,1|

Dx3=1*(-3*0*1+1*4*2+(-8)*5*3-((-8)*0*2+1*5*1+(-3)*4*3))-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))= 1*(0+8-120+0-5+36)-1*(0+16-72+0-3-60)-1*(75+0+6-20+27+0)= 1*(-81)-1*(-119)-1*88=-81+119-88=-50

|1,1,1,0|

Dx4=|5,-3,2,1|

|3,5,1,0|

|4,2,3,3|

Dx4=1*(-3*1*3+2*0*2+1*5*3-(1*1*2+2*5*3+(-3)*0*3))-1*(5*1*3+2*0*4+1*3*3-(1*1*4+2*3*3+5*0*3))+1*(5*5*3+(-3)*0*4+1*3*2-(1*5*4+(-3)*3*3+5*0*2))= 1*(-9+0+15-2-30+0)-1*(15+0+9-4-18+0)+1*(75+0+6-20+27+0)= 1*(-26)-1*(2)+1*88=-26-2+88=60

x1=Dx1/D=70,0000/10,0000=7,0000

x2=Dx2/D=-80,0000/10,0000=-8,0000

x3=Dx3/D=-50,0000/10,0000=-5,0000

x4=Dx4/D=60,0000/10,0000=6,0000

Посмотреть материалы:

{jcomments on}

В общем случае правило вычисления определителей-го порядка является довольно громоздким. Для определителей второго и третьего порядка существуют рациональные способы их вычислений.

Вычисления определителей второго порядка

Чтобы вычислить определитель матрицы второго порядка, надо от произведения элементов главной диагонали отнять произведение элементов побочной диагонали:

Пример

Задание. Вычислить определитель второго порядка

Решение.

Ответ.

Методы вычисления определителей третьего порядка

Для вычисления определителей третьего порядка существует такие правила.

Правило треугольника

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком «плюс»; аналогично, для второго определителя — соответствующие произведения берутся со знаком «минус», т.е.

Пример

Задание. Вычислить определитель методом треугольников.

Решение.

Ответ.

Правило Саррюса

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком «плюс»; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком «минус»:

Пример

Задание. Вычислить определитель с помощью правила Саррюса.

Решение.

Ответ.

Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения.

Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Пример

Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель

Решение.

Ответ.

Этот метод позволяет вычисление определителя свести к вычислению определителя более низкого порядка.

Пример

Задание. Вычислить определитель

Решение. Выполним следующие преобразования над строками определителя: из второй строки отнимем четыре первых, а из третьей первую строку, умноженную на семь, в результате, согласно свойствам определителя, получим определитель, равный данному.

Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки являются пропорциональными.

Ответ.

Для вычисления определителей четвертого порядка и выше применяется либо разложение по строке/столбцу, либо приведение к треугольному виду, либо с помощью теоремы Лапласа.

Разложение определителя по элементам строки или столбца

Пример

Задание. Вычислить определитель , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.

Решение. Предварительно выполним элементарные преобразования над строками определителя, сделав как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих, от второй — пять третьих и от четвертой — три третьих строки, получаем:

Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:

Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули, например, в первом столбце.

Для этого от первой строки отнимаем две вторые строки, а от третьей — вторую:

Ответ.

Замечание

Последний и предпоследний определители можно было бы и не вычислять, а сразу сделать вывод о том, что они равны нулю, так как содержат пропорциональные строки.

Приведение определителя к треугольному виду

С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение, согласно свойствам определителя, равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.

Пример

Задание. Вычислить определитель приведением его к треугольному виду.

Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю.

4.Свойства определителей. Определитель произведения матриц.

Все преобразования будет выполнять проще, если элемент будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:

Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если диагональный элемент будет равен , то вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на противоположный знак определителя):

Ответ.

Теорема Лапласа

Пример

Задание. Используя теорему Лапласа, вычислить определитель

Решение. Выберем в данном определителе пятого порядка две строки — вторую и третью, тогда получаем (слагаемые, которые равны нулю, опускаем):

Ответ.

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА I

§ 31 Случай, когда главный определитель системы уравнений равен нулю, а хотя бы один из вспомогательных определителей отличен от нуля

Теорема. Если главный определитель системы уравнений

(1)

равен нулю, а хотя бы один из вспомогательных определителей отличен от нуля, то система несовместна.

Формально, доказательство этой теоремы нетрудно получить методом от противного. Предположим, что система уравнений (1) имеет решение (x 0 , y 0). Тогда как показано в предыдущем параграфе,

Δ x 0 = Δ x , Δ y 0 = Δ y (2)

Но по условию Δ = 0, а хотя бы один из определителей Δ x и Δ y отличен от нуля. Таким образом, равенства (2) одновременно выполняться не могут. Теорема доказана.

Однако представляется интересным более детально выяснить, почему система уравнений (1) в рассматриваемом случае несовместна.

означает, что коэффициенты при неизвестных в системе уравнений (1) пропорциональны. Пусть, например,

a 1 = ka 2 , b 1 = kb 2 .

означает, что коэффициенты при у и свободные члены уравнений системы (1) не пропорциональны. Поскольку b 1 = kb 2 , то c 1 =/= kc 2 .

Следовательно, система уравнений (1) может быть записана в следующем виде:

В этой системе коэффициенты при неизвестных соответственно пропорциональны, но коэффициенты при у (или при х ) и свободные члены не пропорциональны. Такая система, конечно, несовместна. Действительно, если бы она имела решение (x 0 , y 0), то выполнялись бы числовые равенства

k (a 2 x 0 + b 2 y 0) = c 1

a 2 x 0 + b 2 y 0 = c 2 .

Но одно из этих равенств противоречит другому: ведь c 1 =/= kc 2 .

Мы рассмотрели лишь случай, когда Δ x =/= 0. Аналогично может быть рассмотрен случай, когда Δ y =/= 0."

Доказанную теорему можно сформулировать и таким образом.

Если коэффициенты при неизвестных х и у в системе уравнений (1) пропорциональны, а коэффициенты при какой-нибудь из этих неизвестных и свободные члены не пропорциональны, то эта система уравнений несовместна.

Легко, например, убедиться в том, что каждая из данных систем будет несовместной:

Метод Крамера решения систем линейных уравнений

Формулы Крамера

Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных.

Метод Крамера. Применение для систем линейных уравнений

Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Определение . Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

.

Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

*

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

**
,

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной , если у неё нет ни одного решения, и совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой , а более одного – неопределённой .

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

.

На основании теоремы Крамера

………….
,

где
—

определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:

Пример 2.

.

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

.

Решение. Находим определитель системы:

Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы — (2; -1; 1).

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

К началу страницы

Пройти тест по теме Системы линейных уравнений

Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.

Пример 4. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных — буквы. За примерами далеко ходить не надо.

Следующий пример — на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

,

,

.

И, наконец, система четырёх уравнений с четырьмя неизвестными.

Пример 7. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

.

Внимание! Методы вычисления определителей четвёртого порядка здесь объясняться не будут. За этим — на соответствующий раздел сайта. Но небольшие комментарии будут. Решение. Находим определитель системы:

Небольшой комментарий. В первоначальном определителе из элементов второй строки были вычтены элементы четвёртой строки, из элементов третьей строки — элементы четвёртой строки, умноженной на 2, из элементов четвёртой строки — элементы первой строки, умноженной на 2. Преобразования первоначальных определителей при трёх первых неизвестных произведены по такой же схеме. Находим определители при неизвестных

Для преобразований определителя при четвёртом неизвестном из элементов первой строки были вычтены элементы четвёртой строки.

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы — (1; 1; -1; -1).

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

Самые внимательные, наверное, заметили, что в статье не было примеров решения неопределённых систем линейных уравнений. А всё потому, что методом Крамера решить такие системы невозможно, можно лишь констатировать, что система неопределённа. Решения таких систем даёт метод Гаусса.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Системы линейных уравнений

Другое по теме «Системы уравнений и неравенств»

Калькулятор — решение систем уравнений онлайн

Программная реализация метода Крамера на C++

Решение систем линейных уравнений методом подстановки и методом сложения

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Условие совместности системы линейных уравнений.

Теорема Кронекера-Капелли

Решение систем линейных уравнений матричным методом (обратной матрицы)

Системы линейных неравенств и выпуклые множества точек

Начало темы «Линейная алгебра»

Определители

В этой статье мы познакомимся с очень важным понятием из раздела линейной алгебры, которое называется определитель.

Сразу хотелось бы отметить важный момент: понятие определитель действительно только для квадратных матриц (число строк = числу столбцов), у других матриц его нет.

Определитель квадратной матрицы (детерминант) — численная характеристика матрицы.

Обозначение определителей: |A|, det A, ∆ A.

Определителем «n» порядка называют алгебраическую сумму всех возможных произведений его элементов, удовлетворяющих следующим требованиям:

1) Каждое такое произведение содержит ровно «n» элементов (т.е. определитель 2 порядка — 2 элемента).

2) В каждом произведении присутствует в качестве сомножителя представитель каждой строки и каждого столбца.

3) Любые два сомножителя в каждом произведении не могут принадлежать одной строке или столбцу.

Знак произведения определяется порядком чередования номеров столбцов, если в произведении элементы расставлены в порядке возрастания номеров строк.

Рассмотрим несколько примеров нахождения детерминанта матрицы:

У матрицы первого порядка (т.е.

Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера.

имеется всего 1 элемент), детерминант равен этому элементу:

2. Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка:

3. Рассмотрим квадратную матрицу третьего порядка (3×3):

4. А теперь рассмотрим примеры с действительными числами:

Правило треугольника.

Правило треугольника — это способ вычисления определителя матрицы, который предполагает его нахождение по следующей схеме:

Как вы уже поняли, метод был назван правилом треугольника в следствии того, что перемножаемые элементы матрицы образуют своеобразные треугольники.

Для того, чтобы понять это лучше, разберём такой пример:

А теперь рассмотрим вычисление определителя матрицы с действительными числами правилом треугольника:

Для закрепления пройденного материала, решим ещё один практический пример:

Свойства определителей:

1. Если элементы строки или столбца равны нулю, то и определитель равен нулю.

2. Определитель изменит знак, если поменять местами какие-либо 2 строки или столбца. Рассмотрим это на небольшом примере:

3. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

4. Определитель равен нулю, если элементы одной строки равны соответствующим элементам другой строки (для столбцов также). Самый простой пример этого свойства определителей:

5. Определитель равен нулю, если его 2 строки пропорциональны (также и для столбцов). Пример (1 и 2 строка пропорциональны):

6. Общий сомножитель строки (столбца) может быть вынесен за знак определителя.

7) Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одну и ту же величину. Рассмотрим это на примере:

Просмотры: 57258

Определитель(он же determinant(детерминант)) находится только у квадратных матриц. Определитель есть ничто иное, как значение сочетающее в себе все элементы матрицы, сохранающееся при транспонировании строк или столбцов. Обозначаться он может как det(A), |А|, Δ(A), Δ, где А может быть как матрицей, так и буквой обозначающей ее. Найти его можно разными методами:

Все выше предложенные методы будут разобраны на матрицах размера от трех и выше. Определитель двумерной матрицы находится с помощью трех элементарных математических операций, поэтому ни в один из методов нахождение определителя двумерной матрицы не попадет. Ну кроме как дополнение, но об этом потом.

Найдем определитель матрицы размером 2х2:

Для того, чтобы найти определитель нашей матрицы, требуется вычесть произведение чисел одной диагонали из другой, а именно , то есть

Примеры нахождения определителя матриц второго порядка

Разложение по строке/столбцу

Выбирается любая строка или столбец в матрице. Каждое число в выбранной линии умножается на (-1) i+j где(i,j — номер строки,столбца того числа) и перемножается с определителем второго порядка, составленного из оставшихся элементов после вычеркивания i — строки и j — столбца. Разберем на матрице

1. Выберем строку/столбец

Например возьмем вторую строку.

Примечание: Если явно не указано, с помощью какой линии найти определитель, выбирайте ту линию у которой есть ноль. Меньше будет вычислений.

1. Составим выражение

Не трудно определить, что знак у числа меняется через раз. Поэтому вместо единиц можно руководствоваться такой таблицей:

1. Поменяем знак у наших чисел

1. Найдем определители у наших матриц

1. Считаем все это

Решение можно написать так:

Примеры нахождения определителя разложением по строке/столбцу:

Метод приведения к треугольному виду(с помощью элементарных преобразований)

Определитель находится с помощью приведения матрицы к треугольному(ступенчатому) виду и перемножению элементов на главной диагонали

Треугольной матрицей называется матрица, элементы которой по одну сторону диагонали равны нулю.

При построении матрицы следует помнить три простых правила:

1. Каждый раз при перестановке строк между собой определитель меняет знак на противоположный.
2. При умножении/делении одной строки на не нулевое число, её следует разделить(если умножали)/умножить(если разделяли) на него же или же произвести это действие с полученным определителем.
3. При прибавлении одной строки умноженной на число к другой строке, определитель не изменяется(умножаемая строка принимает своё исходное значение).

Попытаемся получить нули в первом столбце, потом во втором.

Взглянем на нашу матрицу:

Та-а-ак. Чтобы вычисления были поприятнее, хотелось бы иметь самое близкое число сверху. Можно и оставить, но не надо. Окей, у нас во второй строке двойка, а на первой четыре.

Поменяем же эти две строки местами.

Поменяли строки местами, теперь мы должны либо поменять у одной строки знак, либо в конце поменять знак у определителя.

Определители. Вычисление определителей (стр. 2)

Сделаем это потом.

Теперь, чтобы получить ноль в первой строке — умножим первую строку на 2.

Отнимем 1-ю строку из второй.

Согласно нашему 3-му правилу возващаем исходную строку в начальное положение.

Теперь сделаем ноль в 3-ей строке. Можем домножить 1-ую строку на 1.5 и отнять от третьей, но работа с дробями приносит мало удовольствия. Поэтому найдем число, к которому можно привести обе строки — это 6.

Умножим 3-ю строку на 2.

Теперь умножим 1-ю строку на 3 и отнимем из 3-ей.

Возвратим нашу 1-ю строку.

Не забываем, что умножали 3-ю строку на 2, так что потом разделим определитель на 2.

Один столбец есть. Теперь для того чтобы получить нули во втором — забудем про 1-ю строку — работаем со 2-й строкой. Домножим вторую строку на -3и прибавим к третьей.

Не забываем вернуть вторую строку.

Вот мы и построили треугольнаую матрицу. Что нам осталось? А осталось перемножить числа на главной диагонали, чем и займемся.

Ну и осталось вспомнить, что мы должны разделить наш определитель на 2 и поменять знак.

Правило Саррюса(Правило треугольников)

Правило Саррюса применимо только к квадратным матрицам третьего порядка.

Определитель вычисляется путем добавления первых двух столбцов справа от матрицы, перемножением элементов диагоналей матрицы и их сложением, и вычитанием суммы противоположных диагоналей. Из оранжевых диагоналей вычитаем фиолетовые.

У правила треугольников то же, только картинка другая.

Теорема Лапласа см. Разложение по строке/столбцу