Compreender os princípios da integração informação discreta com a percepção separada dos elementos de um objeto complexo é um problema interdisciplinar urgente. O artigo discute o processo de construção da imagem de um objeto, que é um complexo de blocos, cada um dos quais combina um conjunto de pequenos elementos. Foi escolhida uma situação de conflito como objeto de estudo, por estar consistentemente no campo de atenção com uma estratégia constante de análise de informações. As circunstâncias da situação eram componentes do objeto e eram percebidas separadamente como protótipos do conflito. A tarefa deste trabalho foi expressar matematicamente uma matriz que refletisse a imagem de uma situação comportamental problemática. A solução do problema baseou-se em dados de uma análise visual do desenho de uma composição gráfica, cujos elementos correspondiam a circunstâncias situacionais. O tamanho e as características gráficas dos elementos selecionados, bem como sua distribuição na composição, serviram de guia para identificação de linhas e colunas na matriz da imagem. O estudo mostrou que o desenho da matriz é determinado, em primeiro lugar, pela motivação comportamental, em segundo lugar, pelas relações de causa e efeito dos elementos situacionais e pela sequência de obtenção da informação e, em terceiro lugar, pela seleção das informações de acordo com seus parâmetros de peso. Pode-se supor que os princípios do vetor matricial observados para a formação de uma imagem de uma situação comportamental são característicos da construção de imagens e outros objetos para os quais a atenção é direcionada.

visualização

percepção

discrição das informações

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Os resultados dos estudos da percepção de imagens incompletas ampliaram a perspectiva de estudo dos princípios que determinam a integração de informações discretas e a montagem de imagens completas. A análise das características de reconhecimento de imagens fragmentadas quando apresentadas com um número variável de fragmentos permitiu traçar três estratégias para a construção de uma imagem completa em condições de deficiência de informação. As estratégias diferiram na avaliação da importância das informações disponíveis para a formação de uma imagem coerente. Ou seja, cada estratégia caracterizou-se pela manipulação dos parâmetros de peso das informações disponíveis. A primeira estratégia previa a equivalência de fragmentos da imagem - sua identificação era realizada após o acúmulo de informações em nível suficiente para uma compreensão completa do objeto apresentado. A segunda estratégia baseou-se numa abordagem diferenciada para avaliar o peso das informações disponíveis. A avaliação foi dada de acordo com a hipótese levantada sobre a essência do objeto. A terceira estratégia foi determinada pela motivação para aproveitar ao máximo a informação disponível, à qual foi atribuído um peso elevado e considerada um sinal ou protótipo de um objeto real. Um ponto importante Em trabalhos anteriores, examinamos os mecanismos cerebrais que garantem uma mudança de estratégias dependendo da emoção dominante e da motivação comportamental. Isso se refere a sistemas cerebrais inespecíficos e à heterogeneidade de módulos neurais operando sob o controle do controle central. Os estudos realizados, como os conhecidos de fontes literárias, deixaram questão aberta sobre os princípios de distribuição de informações em uma imagem completa. Para responder à pergunta, observações da formação da imagem do objeto sobre o qual muito tempo a atenção está focada e a estratégia escolhida para a construção da imagem permanece inalterada. Uma situação de conflito poderia servir como tal objeto, uma vez que estava consistentemente no campo de atenção, com a segunda estratégia de análise das circunstâncias permanecendo constante. As partes em disputa rejeitaram a primeira estratégia devido ao aumento da duração do conflito e não aplicaram a terceira estratégia, evitando decisões erradas.

Alvo Este trabalho teve como objetivo esclarecer os princípios de construção de uma matriz de imagem baseada em elementos de informação obtidos através da percepção separada dos componentes de um objeto complexo para o qual a atenção foi direcionada. Resolvemos os seguintes problemas: em primeiro lugar, escolhemos um objeto no qual a atenção estava focada por um longo tempo estável, em segundo lugar, utilizamos o método de visualização de imagens para rastrear a fragmentação da informação obtida durante a percepção do objeto e, em seguida, em terceiro lugar, formular os princípios dos fragmentos de distribuição integral na matriz.

Materiais e métodos de pesquisa

Uma situação comportamental problemática serviu como um objeto multicomponente que estava estável no campo de atenção com uma estratégia inalterada de análise das informações disponíveis. O problema foi causado por conflitos nas relações entre familiares, bem como entre funcionários da produção e instituições educacionais. Experimentos em que a imagem da situação foi analisada precederam a mediação que visava resolver as contradições entre as partes em disputa. Antes do início das negociações de mediação, representantes das partes em disputa receberam uma oferta para participar como sujeitos de experimentos utilizando uma técnica que facilita a análise da situação. A técnica de visualização envolveu a construção de uma composição gráfica que refletia a construção da imagem que surgiu durante a percepção separada dos componentes de um objeto complexo. A técnica serviu como ferramenta para estudar os processos de formação de uma imagem integral a partir de um conjunto de elementos correspondentes aos detalhes do objeto. O grupo de sujeitos foi composto por 19 mulheres e 8 homens com idades entre 28 e 65 anos. Para obter um todo imagem visual situação, os sujeitos foram solicitados a realizar as seguintes ações: 1) restaurar na memória as circunstâncias da situação de conflito - acontecimentos, relações com as pessoas, motivos de seu próprio comportamento e daqueles ao seu redor; 2) avaliar as circunstâncias de acordo com sua importância para a compreensão da essência da situação; 3) dividir as circunstâncias em favoráveis ​​​​e desfavoráveis ​​​​à resolução do conflito e tentar traçar sua relação; 4) selecione, na sua opinião, um elemento gráfico adequado (círculo, quadrado, triângulo, linha ou ponto) para cada uma das circunstâncias que caracterizam a situação; 5) formar uma composição a partir de elementos gráficos, levando em consideração o significado e a relação das circunstâncias veiculadas por esses elementos, e desenhar a composição resultante em um pedaço de papel. As composições gráficas foram analisadas - foram avaliadas a ordem e a proporção de tamanho dos elementos da imagem. Composições aleatórias e desordenadas foram rejeitadas e os sujeitos foram solicitados a reconsiderar a inter-relação das circunstâncias situacionais. Os resultados da análise de composição generalizada serviram de guia para a formulação da expressão matemática da matriz da imagem.

Resultados da pesquisa e discussão

Cada composição gráfica por meio da qual o sujeito representava a construção da imagem de uma situação comportamental era original. Exemplos de composições estão ilustrados na figura.

Composições gráficas refletindo imagens de situações comportamentais problemáticas em que os sujeitos se encontravam (cada elemento da composição corresponde a circunstâncias situacionais)

A singularidade das composições atestou a abordagem responsável dos sujeitos na análise das situações, tendo em conta a sua características distintas. O número de elementos na composição e a dimensão dos elementos, bem como o desenho da composição, refletiram a avaliação do complexo de circunstâncias.

Após constatada a originalidade das composições, o estudo passou a identificar as características fundamentais do design da imagem. No esforço de construir uma composição integral que refletisse a imagem da situação, os sujeitos distribuíram os elementos de acordo com as suas preferências individuais, bem como tendo em conta as relações de causa e efeito das circunstâncias e a combinação das circunstâncias ao longo do tempo. Sete sujeitos preferiram montar a composição em forma de desenho, cuja construção foi determinada por um plano figurativo pré-desenhado. Na Fig. 1 (a, b, d) dá exemplos de tais composições. Antes de elaborar a composição, dois sujeitos escolheram a ideia que serviu de base ao plano de forma consciente, e cinco intuitivamente, sem dar uma explicação lógica do motivo pelo qual optaram pela opção escolhida. Os vinte sujeitos restantes criaram uma composição esquemática, prestando atenção apenas às relações de causa e efeito das circunstâncias e à combinação das circunstâncias ao longo do tempo (Fig. 1, c, e, f). Circunstâncias relacionadas e coincidentes foram combinadas na composição. Os experimentos não interpretaram a essência do conflito utilizando dados de composição gráfica. Esta interpretação foi posteriormente realizada no âmbito da mediação, quando foi determinada a disponibilidade das partes para negociar.

A análise das composições permitiu traçar não só a diferença, mas também a universalidade dos princípios de formação da imagem de uma situação. Em primeiro lugar, as composições consistiam em elementos gráficos, cada um dos quais refletia circunstâncias que tinham algo em comum. A semelhança das circunstâncias deveu-se a relações de causa e efeito e temporais. Em segundo lugar, as circunstâncias eram de importância desigual para a compreensão da essência da situação problemática. Ou seja, as circunstâncias diferiram nos parâmetros de peso. Circunstâncias altamente significativas foram retratadas elementos gráficos em tamanho aumentado em comparação com outros menos significativos. As características observadas da imagem foram levadas em consideração na compilação da matriz da imagem. Isso significa que o tamanho e as características gráficas dos elementos selecionados, bem como sua posição espacial na composição gráfica, serviram de guia para a construção de uma matriz de informações que refletisse a imagem da situação e fosse sua modelo matemático. Uma matriz retangular, representada como uma tabela, é dividida em linhas e colunas. Em relação à imagem da situação problema em formação, foram identificadas linhas na matriz, que continham elementos ponderados dos protótipos, unidos por relações de causa e efeito e temporais, e colunas contendo dados elementares que diferiam nos parâmetros de peso.

(1)

Cada linha individual refletia a formação de uma parte da imagem ou, em outras palavras, de um protótipo do objeto. Quanto mais linhas e maior m, mais integralmente o objeto era percebido, uma vez que as propriedades estruturais e funcionais que serviam de protótipo eram mais plenamente levadas em consideração. O número de colunas n foi determinado pelo número de detalhes anotados na construção do protótipo. Pode-se supor que quanto mais fragmentos de informação de alto e baixo peso foram acumulados, mais plenamente o protótipo correspondia à realidade. A matriz (1) caracterizou-se pelo dinamismo, pois sua dimensão mudava de acordo com a completude da imagem do objeto percebido.

É apropriado observar aqui que a integridade não é o único indicador da qualidade da imagem. As imagens apresentadas nas telas dos artistas são muitas vezes inferiores às fotografias em termos de detalhe e correspondência com a realidade, mas ao mesmo tempo podem ser superiores na associação com outras imagens, no estímulo da imaginação e na provocação de emoções. A observação feita ajuda a compreender o significado dos parâmetros amn, que indicam o peso dos fragmentos de informação. O ganho de peso compensou a falta de dados disponíveis. Como demonstrou um estudo de estratégias para superar a incerteza, o reconhecimento da elevada importância das informações disponíveis acelerou a tomada de decisões numa situação problemática.

Assim, o processo de formação de uma imagem integral pode ser interpretado se o correlacionarmos com a manipulação da informação dentro da matriz. A manipulação é expressa por uma mudança voluntária ou involuntária (consciente, proposital ou inconsciente intuitiva) nos parâmetros de peso dos fragmentos de informação, ou seja, uma mudança no valor de amn. Neste caso, o valor bm, que caracteriza a significância do protótipo, aumenta ou diminui, e ao mesmo tempo a imagem resultante br muda. Se você recorrer modelo matricial formando uma imagem cobrindo um conjunto de dados relativos a um objeto, então a organização da imagem é descrita a seguir. Vamos denotar o vetor de pré-imagens contendo m componentes por

onde T é o sinal de transposição e cada elemento do vetor de pré-imagem tem a forma:

Então a escolha da imagem resultante pode ser feita de acordo com a regra de Laplace:

onde br é o resultado final da formação de uma imagem sólida, que tem como componentes os valores bm, amn é um conjunto de valores que determinam os parâmetros de posição e peso da variável na linha correspondente à pré-imagem . Em condições de informação limitada, o resultado final pode ser aumentado aumentando os pesos dos dados disponíveis.

Ao final da discussão do material apresentado a respeito dos princípios de formação de imagens, chama-se a atenção para a necessidade de especificar o termo “imagem”, uma vez que não existe uma interpretação geralmente aceita na literatura. O termo, em primeiro lugar, significa a formação de um sistema integral de fragmentos de informação que correspondem aos detalhes do objeto no campo de atenção. Além disso, grandes detalhes do objeto são refletidos por subsistemas de fragmentos de informação que constituem os protótipos. O objeto pode ser um objeto, fenômeno, processo, bem como uma situação comportamental. A formação de uma imagem é assegurada por associações entre a informação recebida e a que está contida na memória e associada ao objeto percebido. A consolidação de fragmentos e associações de informação na criação de uma imagem é realizada no quadro de uma matriz, cujo desenho e vetor são escolhidos de forma consciente ou intuitiva. A escolha depende das preferências definidas pelas motivações do comportamento. Aqui, atenção especial é dada ao ponto fundamental - a discrição das informações utilizadas para edição matriz inteira imagem. A integridade, como mostrado, é assegurada por sistemas cerebrais inespecíficos que controlam os processos de análise das informações recebidas e sua integração na memória. A integridade pode ocorrer em valores mínimos de n e m iguais a um. A imagem adquire alto valor devido ao aumento nos parâmetros de peso das informações disponíveis, e a completude da imagem aumenta à medida que os valores de n e m (1) aumentam.

Conclusão

A visualização dos elementos da imagem permitiu traçar os princípios do seu desenho em condições de percepção separada das circunstâncias de uma situação comportamental problemática. Como resultado do trabalho realizado, foi demonstrado que a construção de uma imagem completa pode ser considerada como a distribuição de fragmentos de informação na estrutura da matriz. O seu desenho e vetor são determinados, em primeiro lugar, pela motivação comportamental, em segundo lugar, pelas relações de causa e efeito das circunstâncias e pela sequência temporal de obtenção da informação e, em terceiro lugar, pela seleção das informações de acordo com os seus parâmetros de peso. A integridade da matriz da imagem é garantida pela integração de informações discretas que refletem o objeto percebido. Sistemas cerebrais inespecíficos constituem o mecanismo responsável pela integração da informação em uma imagem coerente. O esclarecimento dos princípios matriciais de formação da imagem de um objeto complexo amplia a perspectiva de compreensão da natureza não apenas da integridade, mas também de outras propriedades da imagem. Refere-se à integridade e segurança do sistema figurativo, bem como ao valor e subjetividade causados ​​pela falta informação completa em relação ao objeto.

Link bibliográfico

Alterando as coordenadas do vetor e da matriz do operador ao passar para uma nova base

Deixe um operador linear agir do espaço para si mesmo e deixe duas bases serem escolhidas no espaço linear: e Vamos decompor os “novos” vetores de base em combinações lineares dos “antigos” vetores de base:

A matriz que está aqui A coluna que é a coluna de coordenadas do vetor de base na base “antiga” é chamada de matriz de transição da base “antiga” para a “nova”“. Se agora as coordenadas do vetor estão na base “antiga” e as coordenadas do mesmo vetor estão na base “nova”, então a igualdade é válida

Como a expansão na base é única, segue-se que

O seguinte resultado foi obtido.

Teorema 1.As coordenadas de um vetor na base e as coordenadas do mesmo vetor na base estão relacionadas pelas relações (2), onde é a matriz de transição da base “antiga” para a “nova”.

Vejamos agora como as matrizes e o mesmo operador estão relacionados entre si em diferentes bases e espaços Matriz e são definidos pelas igualdades Deixe Esta igualdade na base é equivalente à igualdade da matriz

e na base para a igualdade de matrizes (aqui são usadas as mesmas notações que em (1)). Usando o Teorema (1), teremos

como a coluna é arbitrária, obtemos a igualdade

O seguinte resultado foi comprovado.

Teorema 2.Se a matriz de um operador estiver na base e a matriz do mesmo operador estiver na base Que

Nota 1. Duas matrizes arbitrárias e relacionadas pela relação onde está alguma matriz não singular são chamadas de matrizes semelhantes. Assim, duas matrizes do mesmo operador em bases diferentes são semelhantes.

Exemplo 1. A matriz do operador na base tem a forma

Encontre a matriz deste operador na base Calcule as coordenadas do vetor na base

Solução. A matriz de transição da base antiga para a nova e sua matriz inversa têm a forma

portanto, pelo Teorema 2, a matriz do operador e a nova base serão as seguintes:

Nota 2. Podemos generalizar este resultado para operadores que atuam de um espaço linear para outro. Deixe um operador agir de um espaço linear para outro espaço linear e deixe duas bases serem escolhidas no espaço: e e no espaço – duas bases e Então podemos construir duas matrizes e o operador linear

e duas matrizes e transições de bases “antigas” para “novas”:

É fácil mostrar que neste caso a igualdade é válida

Seja dado um operador linear que atue de um espaço linear para um espaço linear. Os conceitos a seguir são úteis na resolução. equações lineares.

Definição 1. Kernel do operador chamado de conjunto

Imagem do operador chamado de conjunto

Não é difícil provar a seguinte afirmação.

Teorema 3.O núcleo e a imagem de um operador linear são subespaços lineares dos espaços e, respectivamente, e a igualdade é válida

Para calcular o núcleo do operador, é necessário escrever a equação em forma matricial (escolhendo bases nos espaços e respectivamente) e resolver o sistema algébrico de equações correspondente. Vamos agora explicar como a imagem de um operador pode ser calculada.

Deixe a matriz do operador estar em bases e vamos denotar pela ésima coluna da matriz. A pertença de um vetor a uma imagem significa que existem números tais que a coluna do vetor é representada como, ou seja, é um elemento do espaço de combinações lineares de colunas de matrizes. Tendo escolhido uma base neste espaço (por exemplo, o conjunto máximo de colunas de matrizes linearmente independentes), primeiro calculamos a imagem. operador de matriz: e, em seguida, crie a imagem do operador:

Vamos dar um exemplo de cálculo do kernel e da imagem de um operador agindo do espaço para dentro de si. Neste caso, as bases coincidem.

Exemplo 2. Encontre a matriz, o núcleo e a imagem do operador de projeção no plano (espaço tridimensional de vetores geométricos).

Solução. Escolhamos alguma base no espaço (por exemplo, uma base padrão). Nesta base, a matriz do operador de projeção é encontrada a partir da igualdade. Vamos encontrar as imagens dos vetores da base. Como o plano passa pelo eixo então

Por isso,

Isso significa que a matriz do operador tem a forma

O kernel do operador de matriz é calculado a partir da equação

Por isso,

(constante arbitrária).

A imagem do operador matriz é abrangida por todas as colunas linearmente independentes da matriz, ou seja,

(constantes arbitrárias).

EM Espaço vetorial V sobre um campo arbitrário P definido como linear operador .

Definição9.8. Essencial operador linear  é o conjunto de vetores no espaço V, cuja imagem é o vetor zero. Aceitaram notação para este conjunto: Ker, ou seja

Ker = {x | (X) = ó}.

Teorema 9.7. O núcleo de um operador linear é um subespaço do espaço V.

Definição 9.9. Dimensão o núcleo de um operador linear é chamado defeito operador linear. escurecer Ker = d.

Definição 9.10.De uma maneira operador linear  é o conjunto de imagens vetores espaciais V. Notação para este conjunto Eu sou, ou seja Eu sou = {(X) | X V}.

Teorema 9.8. Imagem operador linear é um subespaço do espaço V.

Definição 9.11. Dimensão a imagem de um operador linear é chamada classificação operador linear. escurecer Eu sou = R.

Teorema 9.9. Espaço Vé a soma direta do kernel e da imagem do operador linear especificado nele. A soma da classificação e do defeito de um operador linear é igual à dimensão do espaço V.

Exemplo 9.3. 1) No espaço R[x] ( 3) encontrar classificação e defeito operador diferenciação. Vamos encontrar aqueles polinômios cuja derivada é igual a zero. Estes são polinômios de grau zero, portanto Ker = {f | f = c) E d= 1. As derivadas de polinômios cujo grau não excede três formam um conjunto de polinômios cujo grau não excede dois, portanto, Eu sou =R[x] ( 2) e R = 3.

2) Se linear o operador é dado por uma matriz M(), então para encontrar seu kernel deve-se resolver equação ( X) = Ó, que em forma de matriz se parece com isto: M()[x] = [Ó]. De Segue-se que a base do núcleo de um operador linear é o conjunto fundamental de soluções de um sistema homogêneo de equações lineares com a matriz principal M(). Sistema de geradores de imagem de um operador linear compõem os vetores ( e 1), (e 2), …, (e n). A base deste sistema de vetores dá a base da imagem do operador linear.

9.6. Operadores lineares invertíveis

Definição9.12. Linear operador  é chamado reversível, se existir linear operador ψ tal o que está sendo feito igualdade ψ = ψ = , onde  é o operador identidade.

Teorema 9.10. Se linear operador  reversível, Que operador ψ é definido exclusivamente e é chamado reverter Para operador .

Neste caso o operador, o inverso do operador , denotado  –1.

Teorema 9.11. Operador linear  é invertível se e somente se sua matriz for invertível M(), enquanto M( –1) = (M()) –1 .

Deste teorema segue-se que a classificação de um operador linear invertível é igual a dimensões espaço, e o defeito é zero.

Exemplo 9.4 1) Determine se linear é invertível operador , se ( x) = (2X 1 – X 2 , –4X 1 + 2X 2).

Solução. Vamos criar uma matriz para este operador linear: M() = . Porque
= 0 então a matriz M() é irreversível, o que significa que é irreversível e linear operador .

2) Encontrar linear operador, voltar operador , se (x) = (2X 1 + X 2 , 3X 1 + 2X 2).

Solução. A matriz deste linear operador igual a M() =
, é reversível, pois | M()| ≠ 0. (M()) –1 =
, portanto  –1 = (2X 1 – X 2 , –3X 1 + 2X 2).

Definição 1. A imagem de um operador linear A é o conjunto de todos os elementos representáveis ​​na forma, onde.

A imagem do operador linear A é um subespaço linear do espaço. Sua dimensão é chamada classificação do operador A.

Definição 2. O núcleo de um operador linear A é o conjunto de todos os vetores para os quais .

O kernel é um subespaço linear do espaço X. Sua dimensão é chamada defeito do operador A.

Se o operador A atua no espaço -dimensional X, então a seguinte relação + = é válida.

O operador A é chamado não degenerado, se for o seu núcleo . A classificação de um operador não degenerado é igual à dimensão do espaço X.

Seja a matriz de transformação linear A do espaço X em alguma base, então as coordenadas da imagem e da imagem inversa estão relacionadas pela relação

Portanto, as coordenadas de qualquer vetor satisfazem o sistema de equações

Segue-se que o núcleo de um operador linear é uma camada linear do sistema fundamental de soluções de um determinado sistema.

Tarefas

1. Prove que o posto de um operador é igual ao posto de sua matriz em uma base arbitrária.

Calcule os núcleos dos operadores lineares definidos em uma determinada base do espaço X pelas seguintes matrizes:

5. Prove isso.

Calcule a classificação e o defeito dos operadores dados pelas seguintes matrizes:

6. . 7. . 8. .

3. Autovetores e autovalores do operador linear

Consideremos um operador linear A atuando no espaço -dimensional X.

Definição. O número l é chamado de autovalor do operador A se, tal que. Neste caso, o vetor é chamado de autovetor do operador A.

A propriedade mais importante dos autovetores de um operador linear é que os autovetores correspondentes a autovalores diferentes aos pares Linearmente independente.

Se é a matriz do operador linear A na base do espaço X, então os autovalores l e os autovetores do operador A são determinados da seguinte forma:

1. Os autovalores são encontrados como raízes da equação característica (equação algébrica do décimo grau):

2. As coordenadas de todos os autovetores linearmente independentes correspondentes a cada autovalor individual são obtidas resolvendo um sistema de equações lineares homogêneas:

cuja matriz tem classificação . As soluções fundamentais deste sistema são vetores coluna das coordenadas dos autovetores.

As raízes da equação característica também são chamadas de autovalores da matriz, e as soluções do sistema são chamadas de autovetores da matriz.

Exemplo. Encontre os autovetores e autovalores do operador A, especificados em uma determinada base pela matriz

1. Para determinar os autovalores, compomos e resolvemos a equação característica:

Daí o autovalor, sua multiplicidade.

2. Para determinar os autovetores, compomos e resolvemos um sistema de equações:

O sistema equivalente de equações básicas tem a forma

Portanto, todo autovetor é um vetor coluna, onde c é uma constante arbitrária.

3.1.Operador de estrutura simples.

Definição. Um operador linear A operando em um espaço n-dimensional é chamado de operador de estrutura simples se corresponder exatamente a n autovetores linearmente independentes. Neste caso, é possível construir uma base espacial a partir dos autovetores do operador, em que a matriz do operador possui a forma diagonal mais simples

onde estão os autovalores do operador. Obviamente, o inverso também é verdadeiro: se em alguma base do espaço X a matriz do operador tem forma diagonal, então a base consiste nos autovetores do operador.

Um operador linear A é um operador de estrutura simples se e somente se cada autovalor de multiplicidade corresponder a autovetores exatamente linearmente independentes. Como os autovetores são soluções para um sistema de equações, cada raiz da equação característica da multiplicidade deve corresponder a uma matriz de classificação.

Qualquer matriz de tamanho correspondente a um operador de estrutura simples é semelhante a uma matriz diagonal

onde a matriz de transição T da base original para a base dos autovetores tem como colunas os vetores coluna das coordenadas dos autovetores da matriz (operador A).

Exemplo. Reduza a matriz do operador linear para a forma diagonal

Vamos criar uma equação característica e encontrar suas raízes.

De onde vêm os autovalores de multiplicidade e multiplicidade?

Primeiro autovalor. Corresponde a autovetores cujas coordenadas são

solução de sistema

A classificação deste sistema é 3, portanto existe apenas uma solução independente, por exemplo, o vetor.

Os autovetores correspondentes são determinados pelo sistema de equações

cuja classificação é 1 e, portanto, existem três soluções linearmente independentes, por exemplo,

Assim, cada autovalor de multiplicidade corresponde a autovetores exatamente linearmente independentes e, portanto, o operador é um operador de estrutura simples. A matriz de transição T tem a forma

e a conexão entre matrizes semelhantes é determinada pela relação

Tarefas

Encontre autovetores e autovalores

operadores lineares definidos em uma determinada base por matrizes:

Determine qual dos seguintes operadores lineares pode ser reduzido à forma diagonal passando para uma nova base. Encontre esta base e sua matriz correspondente:

10. Prove que os autovetores de um operador linear correspondentes a diferentes autovalores são linearmente independentes.

11. Prove que se um operador linear A agindo em tem n valores diferentes, então qualquer operador linear B comuta com A, tem uma base de autovetores, e qualquer autovetor de A será um autovetor de B.

SUBESPAÇOS INVARIANTES

Definição 1.. Um subespaço L de um espaço linear X é dito invariante sob o operador A atuando em X se para cada vetor a sua imagem também pertence.

As principais propriedades dos subespaços invariantes são determinadas pelas seguintes relações:

1. Se e são subespaços invariantes em relação ao operador A, então sua soma e interseção também são invariantes em relação ao operador A.

2. Se o espaço X é decomposto em uma soma direta de subespaços e () e é invariante em relação a A, então a matriz do operador na base, que é uma união de bases, é uma matriz de bloco

Onde - matrizes quadradas, 0 – matriz zero.

3. Em qualquer subespaço invariante em relação ao operador A, o operador possui pelo menos um autovetor.

Exemplo 1. Consideremos o núcleo de algum operador A atuando em X. Por definição. Deixar . Então, já que o vetor zero está contido em todo subespaço linear. Consequentemente, o kernel é um subespaço invariante em A.

Exemplo 2. Seja em alguma base do espaço X o operador A dado por uma matriz definida pela equação e

5. Prove que qualquer subespaço que seja invariante sob um operador não degenerado A também será invariante sob o operador inverso.

6. Deixe uma transformação linear de um espaço A-dimensional ter em sua base uma matriz diagonal com diferentes elementos na diagonal. Encontre todos os subespaços invariantes em A e determine seu número.