As funções de Walsh são uma família de funções que formam um sistema ortogonal, assumindo apenas os valores 1 e −1 em todo o domínio de definição.

Em princípio, as funções de Walsh podem ser representadas de forma contínua, mas mais frequentemente são definidas como sequências discretas de elementos. O grupo de funções de Walsh forma a matriz de Hadamard.

As funções de Walsh são amplamente utilizadas em comunicações de rádio, onde são utilizadas para implementar acesso múltiplo por divisão de código (CDMA), por exemplo, em tais padrões comunicações celulares como IS-95, CDMA2000 ou UMTS.

O sistema de funções de Walsh é uma base ortonormal e, como consequência, permite expandir sinais de forma arbitrária em uma série de Fourier generalizada.

Transformação Walsh-Hadamard

É um caso especial da transformada generalizada de Fourier, em que a base é o sistema de funções de Walsh.

A série generalizada de Fourier é representada pela fórmula:

onde esta é uma das funções básicas e é um coeficiente.

A decomposição do sinal em funções de Walsh tem a forma:

EM forma discreta a fórmula será escrita da seguinte forma:

Os coeficientes podem ser determinados realizando o produto escalar do sinal decomposto e a função de Walsh de base correspondente:

A natureza periódica das funções de Walsh deve ser levada em conta.

9. Interpolação: interpretação espectral, filtros FIR para interpolação polinomial de 0ª e 1ª ordem; uso de estrutura polifásica. A interpolação é um processo de números. processamento de sinal, levando à formação de um sinal y(nT) com uma frequência de amostragem aumentada a partir de um sinal x(vT’)=x(vLT) com uma frequência de amostragem mais baixa sob certas restrições nas mudanças temporais e espectrais no sinal original.

Existem três tipos de processo de interpolação DSP:

1. O aumento da taxa de amostragem é realizado de acordo com o conceito matemático de interpolação;

2. Com o aumento da frequência de amostragem. as amostras originais do sinal discreto x(vT’) são perdidas, entretanto, as amostras do sinal de saída y(nT) podem ser consideradas como amostras do sinal original sinal analógico x(t), a partir do qual o sinal discreto original x(vT’) é formado por amostragem com um intervalo T’. Neste caso, a forma do envelope de sinal x(vT’) e y(nT) (e espectro) não muda;

3. Aumentar a frequência de amostragem leva a uma mudança na forma do sinal interpolado, mas o módulo do espectro não muda.

Amostrador D com intervalo de amostragem T’=LT., O interpolador AI-ideal aumenta a frequência de amostragem. para um número inteiro L. Após AI, o sinal pode ser considerado como o resultado da amostragem do sinal analógico original x(t) com um intervalo de amostragem T=T’/L. , Sistema Hφ-discreto com característica de frequência.

Processo de interpolação de frequência com coeficiente inteiro L:

a) espectro do sinal analógico original. b) espectro do sinal amostrado com frequência de amostragem fd. c) espectro do sinal amostrado com frequência de amostragem fд’=3fд.

QUE. o processo de aumento da frequência de amostragem (interpolação) - transformação do espectro de b) em c), ou seja, supressão dos componentes de frequência “extras” do espectro original.

Um aumento na frequência de amostragem do sinal original pelo número necessário de vezes L é realizado por um expansor de frequência de amostragem (SRF).

Usando estrutura polifásica em interpolação usando filtros FIR. A peculiaridade desta estrutura é que em vez de um filtro operando em alta frequência amostragem, vários filtros operando em baixas frequências são usados. Um filtro polifásico é uma coleção de pequenos filtros executados em paralelo, cada um processando apenas um subconjunto das amostras de sinal (se houver N filtros no total, cada filtro processará apenas cada enésima amostra). Diagrama equivalente de uma estrutura polifásica:

Projeto de filtros FIR para interpolação polinomial de 0ª e 1ª ordem.

Ordem zero. Ao calcular a próxima amostra do sinal y(nT) com um intervalo de amostragem T, apenas uma amostra do sinal interpolado de entrada x(vT’) com um intervalo de amostragem T’ é usada. Quando a frequência de amostragem aumenta L vezes, a amostra do sinal x(vT’) é repetida L vezes em ciclos de clock n=vL, vL+1, …,vL+L-1:

y(nT)=x(vT’), n=vL, vL+1,…,vL+L-1, v=0,1,2,…

O processo de interpolação de ordem zero é mostrado na figura a seguir, onde T3 é o atraso introduzido pelo filtro.

Função de transferência de filtro

Implementação de um filtro homogêneo:

O sinal de entrada x(vT’) é escrito no registrador RG com uma frequência fд’=1/T’, e o sinal y(nT) é lido com uma frequência fд=Lfд’=1/T. Primeira ordem (interpolação linear). Seja dado o sinal x(n)=cos(2πn∙0,125). Entre cada contando ref. Amostras L-1 são inseridas no sinal (upsampling). A função de transferência é escrita

10. Dizimação: interpretação espectral, filtros FIR para dizimação polinomial de 0ª e 1ª ordem; uso de uma estrutura polifásica A dizimação é o processo de redução da frequência de amostragem de um sinal.

Considere o sinal x(t), o módulo de seu espectro a).

Sinal amostrado x(nT) com intervalo de amostragem T, seu módulo de seu espectro no primeiro caso b), no segundo d).

sinal amostrado x(lambdaT) x(t) com intervalo de amostragem T’=MT.(M=2), seu módulo de espectro no primeiro caso c), no segundo d).

Caso 1. Ao amostrar com frequência wd1, a condição wd1 2Mwmax foi cumprida (no nosso caso wd1 4wmax). O sinal pode ser restaurado desde que o espectro não se sobreponha.

Caso 2. Ao amostrar com frequência wd2, a condição wd2 2Mwmax não foi atendida. O sinal não pode ser restaurado porque o espectro se sobrepõe.

Para realizar a operação de dizimação por um número inteiro de vezes M, é necessário que a frequência de amostragem wd do sinal x(nT) a ser dizimado satisfaça a condição wd 2Mwmax.

A operação de dizimação é realizada usando um compressor de taxa de amostragem (SFC) (imagem à esquerda). O CCD é uma chave que fecha nos momentos t=nMT=lambdaT', ou seja, a partir do sinal de entrada x*(nT) com intervalo de amostragem T, apenas cada M-ésima amostra é retirada e gera um sinal x(lambdaT' )= x*(lambdaMT ) com intervalo de amostragem T=MT

Usando estrutura polifásica na dizimação usando filtros FIR. Esta estrutura contém M ramos de processamento paralelo, cada um dos quais contém um filtro operando em uma frequência de amostragem “baixa” (saída). Equação que descreve a estrutura polifásica de dizimação:

Onde M é um coeficiente inteiro,

G é um número inteiro, r=0, 1,…,M-1.

Aqueles. a sequência de saída y(lambdaT') do circuito é a soma de M sequências yk(lambdaMT'), k=0,1,…,M-1, cada uma das quais é, por sua vez, o resultado da filtragem da sequência yk*( lambdaMT')=x(lambdaMT -kT) filtro discreto com PF Hk*(zM) e Resposta de impulso brk=brM+k, e as amostras da resposta ao impulso do k-ésimo filtro são as amostras da resposta ao impulso bl do filtro protótipo, obtidas através da amostra M-1.

Projeto de filtros FIR para dizimação polinomial de 0ª e 1ª ordem.

Circuito de redução da taxa de amostragem

Ordem zero. Um filtro homogêneo é usado como filtro, cuja função de transferência é:

Resposta de frequência de um filtro homogêneo

A condição sob a qual a ordem do filtro é selecionada: N=k*M.

Primeira ordem. Um filtro triangular com PF é usado como filtro.

Prove que os coeficientes da série de Kotelnikov é(t), estes são os valores do sinal às vezes t=nT d.

Prove que a amostra funciona sinc( t-nT d) e sinc( t-MT d) ortogonal quando n¹ eu.

Determine a densidade espectral do pulso dada pela expressão analítica é(t)=sinc( t-nT d).

Por que é impossível existir uma função que descreva um sinal limitado no tempo e com um espectro de frequência limitado?

9. Representação de sinais por funções de Walsh

Em 1923, o matemático americano J.L. Walsh introduziu e estudou as funções que levam seu nome. Sinais discretos baseados em funções de Walsh (WF) representam um sistema completo de funções ortogonais do tipo onda quadrada. O escopo de aplicação das funções de Walsh, atualmente bastante extenso, está em constante expansão.

As funções de Walsh podem ser representadas graficamente de várias maneiras. Porém, no intervalo de sua definição eles assumem apenas dois valores: +1 e –1. Ao usar FUs, geralmente é introduzido tempo adimensional, portanto.

Na Fig. A Figura 9.1 mostra as primeiras 8 funções de Walsh (ondas quadradas) no intervalo de valores dos argumentos.

Arroz. 9.1. Funções de Walsh, ordenadas e numeradas de acordo com o número de mudanças de sinal no intervalo.

Designação aceita wal k(q) está relacionado à grafia do sobrenome Walsh. Índice k indica o número de mudanças de sinal (o número de passagens de nível zero) pela função no intervalo de definição. Portanto metade do valor k também chamada de frequência de oscilação wal k(q). O domínio de existência da UF é caracterizado pelo tamanho da base, onde n=1,2,3,.... Na Fig. Tamanho básico de 9,1.

As funções de Walsh são ortonormais no intervalo:

As funções de Walsh têm a propriedade multiplicativa, ou seja, multiplicar duas FUs dá outra FU, enquanto

onde a operação denota módulo de soma bit a bit 2 de acordo com as regras:

1Å1=0; 0Å0=0; 1Å0=1; 0Å1=1.

Multiplicar o FU por si só dá uma função de ordem zero, pois o resultado são apenas produtos da forma. Por isso,

Multiplicação de qualquer FU por uma função de ordem zero, ou seja,

não altera a primeira função. Nesse sentido, a UF desempenha o papel de uma espécie de função “unidade”.

Naturalmente, o sistema ortonormal completo de funções de Walsh torna possível representar quaisquer sinais pelas séries de Walsh-Fourier.

.

O procedimento para encontrar a amplitude de cada “harmônico retangular” da série Walsh-Fourier é muito simples: com um sinal conhecido é(t) Para k-desse coeficiente “harmônico” é determinado pela fórmula

.

Exemplo: expanda a função em uma série de Walsh – Fourier no intervalo, limitado a oito termos da expansão (base).

Passando para o tempo adimensional, devemos designar. Como a função dada é(t) é ímpar em relação a , e todas as funções de Walsh com índices pares, incluindo zero, par Fig. 9.1, então os produtos , onde serão funções ímpares e, portanto, a integral desses produtos é igual a zero: c 0 =c 2 =c 4 =c 6 =0.

Agora vamos calcular os coeficientes e:

O coeficiente é:

,

onde é denotado e .

Fazendo cálculos simples você pode obter

Assim, a decomposição de uma oscilação sinusoidal é(t) com base nas funções de Walsh com N=8 tem dois componentes espectrais diferentes de zero com amplitudes e

.

Resultado da aproximação do sinal funções de Walsh truncadas e o espectro deste sinal na base das funções de Walsh é apresentado na Fig. 9.2, A E b respectivamente.

Arroz. 9.2. Representação de um sinal por expansão numa base ortogonal de funções de Walsh

A raiz do erro quadrático médio de representar o sinal como uma série truncada usando as funções de Walsh é

É claro que expandir a senóide em uma série de Fourier em funções trigonométricas proporciona melhor precisão. Cem por cento de precisão é garantida por uma série contendo apenas um termo . Mas expandir uma função meandro retangular como wal 1 (q) em uma série de Fourier

ao reter apenas dois termos da série, proporciona uma precisão muito pior em termos da raiz do erro quadrático médio, nomeadamente, como segue de,. Naturalmente, o espectro de uma função retangular baseada nas funções de Walsh conterá apenas um componente e com ele representará a função original com absoluta precisão.

Este exemplo ilustra o fato de que para cada tipo específico de sinal existe sempre um sistema básico, cuja expansão fornece a representação mais compacta deste sinal para uma determinada precisão (ou a representação mais precisa para um determinado número de termos de expansão).

As funções de Walsh são simplesmente geradas por sistemas de geração e processamento de sinais digitais baseados em componentes modernos.

Funções básicas

Representação matemática

O espectro do sinal pode ser escrito através da transformada de Fourier (é possível sem o coeficiente 1/2 π (\displaystyle 1/(\sqrt (2\pi )))) como:

S (ω) = ∫ − ∞ + ∞ s (t) e − i ω t d t (\displaystyle S(\omega)=\int \limits _(-\infty )^(+\infty )s(t)e^ (-i\ômega t)dt), Onde ω (\ displaystyle \ omega )- frequência angular igual 2 π f (\ displaystyle 2 \ pi f).

O espectro do sinal é uma quantidade complexa e é representado como: S (ω) = A (ω) e − i ϕ (ω) (\displaystyle S(\omega)=A(\omega)e^(-i\phi (\omega))), Onde UMA (ω) (\ displaystyle A (\ omega))- espectro de amplitude do sinal, ϕ (ω) (\ displaystyle \ phi (\ omega))- espectro de fase do sinal.

Se sob sinal s (t) (\estilo de exibição s(t)) entender

De acordo com o método espectral de análise da passagem de sinais através de circuitos lineares de qualquer sinal aleatório S(T) pode ser representado como uma soma infinita de sinais determinísticos elementares analiticamente semelhantes:

(2.8)

Aplicando à entrada de um circuito linear (Fig. 1.14), cujo coeficiente de transmissão é igual a , elementar sinal determinístico, você pode encontrar a resposta elementar do circuito, ou seja, o sinal na saída do circuito.

Figura 2.3. Para determinar o sinal na saída de um circuito linear .

O sinal na saída do circuito linear é igual a

(2.9)

Como o princípio da superposição é válido para circuitos lineares, a resposta resultante será igual a:

(2.10)

Funções que descrevem sinais elementares são chamadas de funções básicas. A representação de um sinal por funções básicas é simplificada se elas forem ortogonais e ortonormais.

Um conjunto de funções é chamado ortogonal , Se estiver na faixa de a

em (2.11)

E ortonormal , Se a condição for satisfeita para todos

. (2.12)

A ortogonalidade das funções básicas com as quais o sinal original é representado garante que o sinal possa ser representado de uma forma única. A condição de ortogonalidade é atendida por funções harmônicas de múltiplas frequências, bem como funções de Walsh, que no segmento de sua existência de assumem apenas valores iguais a 1, sinais discretos Barker e algumas outras funções. O método espectral de análise de sinais é baseado nas transformadas de Fourier e consiste em substituir função complexa tempo descrevendo o sinal pela soma dos primos sinais harmônicos, formando espectro de frequencia este sinal. O famoso físico e matemático francês J.B. Fourier (1768 - 1830) provou que qualquer mudança no tempo de uma determinada função pode ser aproximada como uma soma finita ou infinita de uma série de oscilações harmônicas com diferentes amplitudes, frequências e fases iniciais. Esta função pode ser corrente ou tensão em um circuito elétrico.

Consideremos primeiro a representação de um sinal elétrico periódico (Fig. 2.4), que atende à condição

, (2.13)

onde: - período do sinal; =1,2,3,….

Arroz. 2.4. Sinal periódico

Vamos imaginar este sinal como uma série trigonométrica infinita:

Esta série é chamada de série de Fourier.

É possível escrever a série de Fourier de outra forma:

, (2.15)

Onde: — módulo de amplitudes harmônicas;

— fases harmônicas;

— frequência circular;

— coeficientes dos componentes do cosseno; — coeficientes de componentes sinusoidais; — valor médio do sinal durante um período (componente constante) .

Os termos individuais da série são chamados de harmônicos . O número é o número harmônico. O conjunto de valores em série (2.15) é denominado espectro de amplitude, e o conjunto de valores é denominado espectro de fase.

Abaixo na Fig. A Figura 2.5 mostra os espectros de amplitude e fase de um sinal periódico. Os segmentos verticais do espectro de amplitude representam amplitudes harmônicas e são chamados de linhas espectrais.

Figura 2.5. Espectros de amplitude e fase de um sinal periódico

Assim, o espectro de um sinal periódico – Governado . Cada sinal periódico possui espectros de amplitude e fase bem definidos.

A soma das séries (2.15) é infinita, mas, a partir de um certo número, as amplitudes dos harmônicos são tão pequenas que podem ser desprezadas e um sinal periódico praticamente real é representado por uma função com espectro limitado. O intervalo de frequência correspondente ao espectro limitado é chamado de largura do espectro.

Se a função que descreve o sinal periódico for par, então a soma da série (2.14) conterá apenas componentes cosseno. Se for uma função ímpar, então a soma conterá apenas componentes senoidais.

Também é possível representar um sinal periódico na forma de uma série complexa de Fourier:

, (2.16)

— amplitudes de espectro complexo, contendo informações sobre os espectros de amplitude e de fase.

Após substituir os valores e , obtemos:

(2.17)

Se substituirmos o valor resultante na série (1.29), ele se transformará em uma identidade. Assim, periódico sinal elétrico pode ser especificado por uma função de tempo ou pela amplitude complexa do espectro.

2.2.1. Espectro de uma sequência periódica de pulsos retangulares

A composição do espectro de uma sequência periódica de pulsos retangulares depende da razão entre o período da sequência e a duração do pulso, chamada de ciclo de trabalho dos pulsos. O espectro não conterá harmônicos com números múltiplos do ciclo de trabalho do pulso. O ciclo de trabalho dos pulsos é . A Figura 1.17 mostra três sequências de pulsos com diferentes ciclos de trabalho e seus espectros correspondentes. Para uma sequência periódica cujo ciclo de trabalho é 2, o espectro não contém 2, 4, 6, 8, etc. Para uma sequência cujo ciclo de trabalho é 3, o 3º, 6º, etc., os harmônicos estão ausentes no espectro. Para uma sequência cujo ciclo de trabalho é 4, o espectro não contém o 4º, 8º, etc. Em todos os espectros dados, o intervalo entre as linhas espectrais é igual ao inverso do período da sequência. Os pontos no eixo da frequência nos quais o espectro é zero correspondem ao inverso da duração dos pulsos das sequências periódicas.

Figura 2.6.Sequências periódicas de pulsos e seus espectros.

2.2.2. Espectro de um sinal não periódico

Ao considerar o espectro de um sinal não periódico, usaremos a transição limitante de um sinal periódico para um sinal não periódico, direcionando o período ao infinito.

Para o sinal periódico mostrado na Fig. 2.4, a expressão (2.17) foi obtida anteriormente para a amplitude complexa do espectro:

(2.18)

Vamos apresentar a notação:

(2.19)

Vamos construir um módulo de espectro:

Arroz. 2.7. Módulo de espectro de sinal periódico

A distância entre as linhas espectrais é . Se você aumentar o período, o intervalo w1 diminuirá. Quando o intervalo entre as linhas espectrais w1® dw. Neste caso, a sequência periódica de pulsos se transforma em um único pulso e o módulo do espectro tende a uma função contínua da frequência. Como resultado da transição limitante de um sinal periódico para um não periódico, o espectro de linha degenera em um espectro contínuo, mostrado na Fig. 2.8.

Arroz. 2.8. Espectro de um sinal não periódico

Neste caso, a amplitude complexa é igual a:

. (2.20)

Tendo em conta a passagem até ao limite em

(2.21)

Vamos substituir a expressão resultante na série (2.16). Neste caso, a soma é transformada em integral, e os valores das frequências discretas no valor da frequência atual e do sinal não periódico podem ser representados da seguinte forma:

. (2.22)

Esta expressão corresponde à transformada inversa de Fourier. O envelope do espectro contínuo de um único pulso coincide com o envelope do espectro de linha de uma função periódica que representa a repetição periódica desse pulso.

A integral de Fourier permite que qualquer função não periódica seja representada como a soma de um número infinito de oscilações senoidais com amplitudes infinitesimais e um intervalo de frequência infinitesimal. O espectro do sinal é determinado a partir da expressão

Esta integral corresponde à transformada direta de Fourier.

– espectro complexo, contém informações sobre o espectro de amplitude e o espectro de fase.

Assim, o espectro de uma função não periódica é contínuo. Podemos dizer que contém “todas” as frequências. Se você cortar um pequeno intervalo de frequência de um espectro contínuo, as frequências dos componentes espectrais nesta área diferirão tão pouco quanto desejado. Portanto, os componentes espectrais podem ser somados como se todos tivessem a mesma frequência e as mesmas amplitudes complexas. Densidade Espectralé a razão entre a amplitude complexa de um pequeno intervalo de frequência e o valor desse intervalo.

A análise espectral de sinais é de fundamental importância na radioeletrônica. Conhecer o espectro de um sinal permite tomar decisões informadas sobre a largura de banda dos dispositivos afetados por esse sinal.

2.2.3. Espectro de um único pulso de vídeo retangular

Vamos calcular o espectro de um único pulso retangular, cuja amplitude é igual a E, e a duração é t, mostrada na Fig. 2.9.

Arroz. 2.9. Pulso quadrado único

De acordo com a expressão (2.24), o espectro de tal sinal é igual a

=. (2.24)

Como = 0 quando, então as frequências nas quais o espectro desaparece são iguais a, onde K=1,2,3…

Na Fig. A Figura 2.10 mostra o espectro complexo de um único pulso retangular de duração.

Figura 2.10. Espectro de um único pulso retangular

A densidade espectral determina a distribuição de energia no espectro de um único pulso. No caso geral, a distribuição de energia não é uniforme. Uma distribuição homogênea é característica de um processo caótico denominado “ruído branco”.

A densidade espectral de um pulso em frequência zero é igual à sua área. Aproximadamente 90% da energia de um único pulso retangular está concentrada no espectro, cuja largura é determinada pela expressão

O relacionamento (1.41) determina os requisitos para a largura de banda de um dispositivo de rádio. Em tarefas onde o formato do sinal é de importância secundária, a largura de banda do dispositivo para este sinal pode ser escolhida igual à largura do primeiro lóbulo do espectro. Neste caso, o grau de distorção da forma do sinal é desconhecido. Dobrar a largura de banda aumentará apenas a energia do sinal em 5% e, ao mesmo tempo, aumentará o nível de ruído.

A função trigonométrica básica é descrita por: - número harmônico.

Intervalo de ortogonalidade. Quando normalizada pela potência, a função básica é: Ω=2π\T

;

;
;
;

, A i - amplitude dos harmônicos, Θ i - fase

;

2. Decomposição de sinais e ruídos por funções de Walsh.

As funções de Walsh são compostas por funções de Rademacher
,k=1,2...;

sgn é uma função de sinal.

O intervalo é dividido em 2 k intervalos ∆T. Neles, a função Rademacher assume os valores “+1” e “–1”. (F-I mantém sua ortogonalidade.)wal 0 =1 – Função de Walsh “0” de ordem 1.

Obtenção de funções wal de ordens superiores (k=1,2,3...):

1) Escreva o número k no sistema binário em

código direto.

m é o número de bits do código necessários para representar as funções de Walsh de k-ésima ordem, γ i é o coeficiente de ponderação com valores 1 ou 0 (dependendo se este bit é levado em consideração ou não durante o somatório) .

2) O número k é recodificado de acordo com a regra do código Gray. O código de combinação é adicionado mod2 com a mesma combinação deslocada 1 bit para a direita. Neste caso, o bit menos significativo é descartado, o código resultante é denominado código de Walsh.

3) Representação f. Walsh na série Rodomacher:

Esta regra mostra que f. Walsh é obtido multiplicando a função Rodomacher em uma determinada combinação pelo coeficiente b i . Por 4kf. Nós construímos Walsh:

Este sistema é caracterizado pela disposição das funções em ordem crescente

número de variáveis ​​de sinal no intervalo. Neste sistema mesmo

em relação ao meio do intervalo alternado com ímpares

número de mudanças de sinal em um intervalo para números pares

o sinal muda m/2 e para ímpar (m+1)/2.

-f. Walsh no sistema ortogonal.

3. Representação geométrica de sinais e interferências.

O objeto matemático A i é um elemento do conjunto A 1 .

se operações lineares podem ser realizadas no objeto A i, então o conjunto A 1 pertence a um espaço linear e seus elementos A i são pontos desse espaço.

O espaço tem qualquer dimensão m.

Se em tal espaço a distância entre os pontos A i e A j for determinada, então o espaço é métrico, e a distância entre a origem e qualquer ponto é uma norma, e o espaço é normalizado. Assim, a norma e a distância podem ser determinadas. Num espaço normado linear a norma é definida na forma
e distância
-espaço é chamado euclidiano.ifn→∞ - espaço de Hilbert.A i é um vetor, seu comprimento é norma.

Então a oscilação U i (t) pode ser associada a um ponto A i ou a um vetor em um espaço n-dimensional cuja dimensão é igual ao número de graus de liberdade de vibração você(t). Sejam as oscilações u a (t) e u b (t) expandidas em um sistema ortogonal de funções φ i (t).
,
Essas oscilações corresponderão aos vetores
com coordenadas
. Seu comprimento

. Levando em conta a condição de ortogonalidade, ou melhor, ortonormalidade. Comprimento e padrão são iguais.

Pa e P b - potência de oscilação específica média. O comprimento do vetor no espaço n-dimensional é determinado pelo valor efetivo da vibração correspondente

-Caracteriza o grau de proximidade. A distância pode ser considerada como o módulo da diferença
, quanto menor for esse valor, menores serão as diferenças entre as vibrações.

* - valor médio do produto das oscilações.
** - interação efetiva entre oscilações m/u u a e u b . potência mútua das oscilações - P ab .
, então as expressões * e ** coincidirão seu a e u b forem ortogonais. =0.Se U a =–U b então P ab = – P a = – P b . O sinal e o ruído podem ser representados como um vetor. Na representação geométrica de sinais codificados. Espaço de dimensão ampla na métrica não euclidiana. A distância neste espaço é determinada pelo algoritmo
,n é o número de elementos da combinação deste código, ax i e y i são os valores dos bits correspondentes. Modelo geométrico de n dígitos Código binárioé um cubo n-dimensional com aresta = 1, cada um dos quais representa uma das combinações possíveis. 000.001.010.100.101.110.011.111 Distância -. Um sinal codificado na forma de um cubo n-dimensional.