Luați în considerare o funcție a două variabile:

Deoarece variabilele $x$ și $y$ sunt independente, pentru o astfel de funcție putem introduce conceptul de derivată parțială:

Derivata parțială a funcției $f$ în punctul $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ în raport cu variabila $x$ este limita

\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Delta x;((y)_(0)) \right))(\Delta x)\]

În mod similar, puteți defini derivata parțială în raport cu variabila $y$ :

\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Delta y \right))(\Delta y)\]

Cu alte cuvinte, pentru a găsi derivata parțială a unei funcții de mai multe variabile, trebuie să fixați toate celelalte variabile, cu excepția celei dorite, și apoi să găsiți derivata obișnuită în raport cu această variabilă dorită.

Acest lucru duce la tehnica principală de calcul a unor astfel de derivate: pur și simplu presupuneți că toate variabilele, cu excepția acesteia, sunt o constantă, apoi diferențiați funcția așa cum ați diferenția una „obișnuită” - cu o variabilă. De exemplu:

$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2) )) \right))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ prim ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(align)$

Evident, derivatele parțiale cu privire la diferite variabile dau răspunsuri diferite - acest lucru este normal. Este mult mai important să înțelegem de ce, să zicem, în primul caz am eliminat cu calm $10y$ de sub semnul derivatului, iar în al doilea caz am eliminat complet primul termen. Toate acestea se întâmplă din cauza faptului că toate literele, cu excepția variabilei prin care se realizează diferențierea, sunt considerate constante: pot fi scoase, „arse”, etc.

Ce este „derivată parțială”?

Astăzi vom vorbi despre funcțiile mai multor variabile și derivatele parțiale ale acestora. În primul rând, ce este o funcție a mai multor variabile? Până acum, suntem obișnuiți să considerăm o funcție ca $y\left(x\right)$ sau $t\left(x \right)$, sau orice variabilă și o singură funcție a acesteia. Acum vom avea o singură funcție, dar mai multe variabile. Pe măsură ce $y$ și $x$ se schimbă, valoarea funcției se va schimba. De exemplu, dacă $x$ se dublează, valoarea funcției se va modifica, iar dacă $x$ se modifică, dar $y$ nu se modifică, valoarea funcției se va schimba în același mod.

Desigur, o funcție a mai multor variabile, la fel ca o funcție a unei variabile, poate fi diferențiată. Cu toate acestea, deoarece există mai multe variabile, este posibil să se diferențieze în funcție de diferite variabile. În acest caz, apar reguli specifice care nu au existat la diferențierea unei variabile.

În primul rând, atunci când calculăm derivata unei funcții din orice variabilă, ni se cere să indicăm pentru ce variabilă calculăm derivata - aceasta se numește derivată parțială. De exemplu, avem o funcție a două variabile și o putem calcula atât în ​​$x$ cât și în $y$ - două derivate parțiale ale fiecărei variabile.

În al doilea rând, de îndată ce am fixat una dintre variabile și începem să calculăm derivata parțială în raport cu aceasta, atunci toate celelalte incluse în această funcție sunt considerate constante. De exemplu, în $z\left(xy \right)$, dacă luăm în considerare derivata parțială față de $x$, atunci oriunde întâlnim $y$, o considerăm constantă și o tratăm ca atare. În special, la calcularea derivatei unui produs, putem scoate $y$ din paranteze (avem o constantă), iar la calcularea derivatei unei sume, dacă undeva obținem o derivată a unei expresii care conține $y$ și neconținând $x$, atunci derivata acestei expresii va fi egală cu „zero” ca derivată a unei constante.

La prima vedere, poate părea că vorbesc despre ceva complicat, iar mulți studenți sunt confuzi la început. Cu toate acestea, nu există nimic supranatural în derivatele parțiale și acum vom vedea acest lucru folosind exemplul unor probleme specifice.

Probleme cu radicali și polinoame

Sarcina nr. 1

Pentru a nu pierde timpul, să începem de la bun început cu exemple serioase.

Pentru început, permiteți-mi să vă reamintesc această formulă:

Aceasta este valoarea tabelului standard pe care o cunoaștem din cursul standard.

În acest caz, derivata $z$ se calculează după cum urmează:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)\]

Să o facem din nou, deoarece rădăcina nu este $x$, ci o altă expresie, în acest caz $\frac(y)(x)$, atunci vom folosi mai întâi valoarea tabelului standard și apoi, deoarece rădăcina este nu $x $ și o altă expresie, trebuie să ne înmulțim derivata cu alta a acestei expresii în raport cu aceeași variabilă. Să calculăm mai întâi următoarele:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((y)"))_(x))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot x-y\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]

Ne întoarcem la expresia noastră și scriem:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)\]

Practic, asta-i tot. Cu toate acestea, este greșit să o lăsați în această formă: o astfel de construcție este incomod de utilizat pentru calcule ulterioare, așa că să o transformăm puțin:

\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]

\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]

Răspunsul a fost găsit. Acum să ne ocupăm de $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)\]

Să-l notăm separat:

\[((\left(\frac(y)(x) \right)))^(\prime ))_(y)=\frac(((((y)"))_(y))\cdot x-y \cdot (((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot x-y\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]

Acum scriem:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]

\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]

Totul este făcut.

Problema nr. 2

Acest exemplu este atât mai simplu, cât și mai complex decât cel precedent. Este mai complicat pentru că există mai multe acțiuni, dar este mai simplu pentru că nu există rădăcină și, în plus, funcția este simetrică față de $x$ și $y$, adică. dacă schimbăm $x$ și $y$, formula nu se va schimba. Această remarcă va simplifica și mai mult calculul derivatei parțiale, adică. este suficient să numărați unul dintre ele, iar în al doilea pur și simplu schimbați $x$ și $y$.

Să trecem la treabă:

\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy)(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \right ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \right)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ) )_(x))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]

Să numărăm:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]

Cu toate acestea, mulți studenți nu înțeleg această notație, așa că haideți să o scriem astfel:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]

Astfel, suntem din nou convinși de universalitatea algoritmului derivatei parțiale: indiferent de modul în care le calculăm, dacă toate regulile sunt aplicate corect, răspunsul va fi același.

Acum să ne uităm la încă o derivată parțială din formula noastră mare:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=((\left((() x)^(2)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \right))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]

Să substituim expresiile rezultate în formula noastră și să obținem:

\[\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ dreapta)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x))(((\left) (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \dreapta))^(2)))=\]

\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right)-xy\cdot 2x)(((\left((() x)^(2))+((y)^(2))+1 \dreapta))^(2)))=\]

\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \right))(((\) stânga(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \right))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2 )))\]

Bazat pe $x$ numărați. Și pentru a calcula $y$ din aceeași expresie, să nu executăm aceeași secvență de acțiuni, ci să profităm de simetria expresiei noastre originale - pur și simplu înlocuim toți $y$ din expresia noastră originală cu $x$ și invers:

\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \right))((( \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]

Datorită simetriei, am calculat această expresie mult mai rapid.

Nuanțe ale soluției

Pentru derivatele parțiale funcționează toate formulele standard pe care le folosim pentru cele obișnuite, și anume, derivata coeficientului. În același timp, însă, apar și caracteristici specifice: dacă luăm în considerare derivata parțială a lui $x$, atunci când o obținem din $x$, o considerăm constantă și, prin urmare, derivata ei va fi egală cu „zero” .

Ca și în cazul derivatelor obișnuite, parțialul (același) poate fi calculat de mai multe în diverse moduri. De exemplu, aceeași construcție pe care tocmai am calculat-o poate fi rescrisă după cum urmează:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]

În același timp, pe de altă parte, puteți utiliza formula din suma derivatelor. După cum știm, este egal cu suma derivatelor. De exemplu, să scriem următoarele:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]

Acum, știind toate acestea, să încercăm să lucrăm cu expresii mai serioase, deoarece derivatele parțiale reale nu se limitează doar la polinoame și rădăcini: există și trigonometrie și logaritmi și funcția exponențială. Acum hai să facem asta.

Probleme cu funcțiile trigonometrice și logaritmi

Sarcina nr. 1

Să scriem următoarele formule standard:

\[((\left(\sqrt(x) \right)))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]

\[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]

Înarmați cu aceste cunoștințe, să încercăm să rezolvăm:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Să scriem o variabilă separat:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y)\right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Să revenim la designul nostru:

\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Gata, am găsit-o pentru $x$, acum hai să facem calculele pentru $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Din nou, să calculăm o expresie:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \dreapta)\]

Revenim la expresia originală și continuăm soluția:

\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Totul este făcut.

Problema nr. 2

Să scriem formula de care avem nevoie:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]

Acum să numărăm cu $x$:

\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\]

Găsit pentru $x$. Numărăm cu $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \right))\ ]

Problema este rezolvată.

Nuanțe ale soluției

Deci, indiferent de ce funcție luăm derivata parțială, regulile rămân aceleași, indiferent dacă lucrăm cu trigonometrie, cu rădăcini sau cu logaritmi.

Regulile clasice de lucru cu derivate standard rămân neschimbate, și anume, derivata unei sume și a unei diferențe, a unui coeficient și a unei funcții complexe.

Ultima formulă se găsește cel mai adesea la rezolvarea problemelor cu derivate parțiale. Îi întâlnim aproape peste tot. Nu a existat niciodată o singură sarcină în care să nu am întâlnit-o. Dar indiferent de formula pe care o folosim, mai avem încă o cerință adăugată, și anume, particularitatea lucrului cu derivate parțiale. Odată ce fixăm o variabilă, toate celelalte sunt constante. În special, dacă luăm în considerare derivata parțială a expresiei $\cos \frac(x)(y)$ față de $y$, atunci $y$ este variabila și $x$ rămâne constantă peste tot. Același lucru funcționează invers. Poate fi scos din semnul derivatului, iar derivata constantei în sine va fi egală cu „zero”.

Toate acestea conduc la faptul că derivatele parțiale ale aceleiași expresii, dar în raport cu diferite variabile, pot arăta complet diferit. De exemplu, să ne uităm la următoarele expresii:

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]

Probleme cu funcțiile exponențiale și logaritmii

Sarcina nr. 1

Pentru început, să scriem următoarea formulă:

\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]

Cunoscând acest fapt, precum și derivata unei funcții complexe, să încercăm să calculăm. Acum o voi rezolva în două moduri diferite. Primul și cel mai evident este derivatul produsului:

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Să rezolvăm separat următoarea expresie:

\[((\left(\frac(x)(y) \right)))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot y-x .((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot y-x\cdot 0)(((y)^(2))) =\frac(y)(((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]

Revenim la designul nostru original și continuăm cu soluția:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left(1 +\frac(1)(y)\dreapta)\]

Totul, $x$ este calculat.

Totuși, așa cum am promis, acum vom încerca să calculăm această derivată parțială într-un mod diferit. Pentru a face acest lucru, rețineți următoarele:

\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]

Hai sa o scriem asa:

\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y) )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \right)\]

Drept urmare, am primit exact același răspuns, dar cantitatea de calcule s-a dovedit a fi mai mică. Pentru a face acest lucru, a fost suficient să rețineți că la efectuarea produsului, indicatorii pot fi adăugați.

Acum să numărăm cu $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(y)=\]

\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Să rezolvăm o expresie separat:

\[((\left(\frac(x)(y) \right)))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot y-x \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)(((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]

Să continuăm să rezolvăm construcția noastră originală:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]

Desigur, această derivată ar putea fi calculată în al doilea mod, iar răspunsul ar fi același.

Problema nr. 2

Să numărăm cu $x$:

\[(((z)")_(x))=((\left(x \right))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \right )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Să calculăm o expresie separat:

\[((\left(\ln \left((((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)((( x)^(2))+y)\]

Să continuăm rezolvarea construcției inițiale: $$

Acesta este răspunsul.

Rămâne de găsit prin analogie folosind $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(x \right))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \right)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Ca întotdeauna, calculăm o expresie separat:

\[((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \right) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]

Continuăm să rezolvăm designul de bază:

Totul a fost calculat. După cum puteți vedea, în funcție de ce variabilă este luată pentru diferențiere, răspunsurile sunt complet diferite.

Nuanțe ale soluției

Iată un exemplu izbitor al modului în care derivata aceleiași funcții poate fi calculată în două moduri diferite. Uite aici:

\[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right)=( (\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\ stânga(1+\frac(1)(y) \dreapta)\]

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \right)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right)))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \right)\ ]

Atunci când alegeți căi diferite, cantitatea de calcule poate fi diferită, dar răspunsul, dacă totul este făcut corect, va fi același. Acest lucru se aplică atât derivatelor clasice, cât și parțiale. În același timp, vă reamintesc încă o dată: în funcție de ce variabilă este luată derivata, adică. diferențiere, răspunsul poate fi complet diferit. Uite:

\[((\left(\ln \left((((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 2x\]

\[((\left(\ln \left((((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 1\]

În concluzie, pentru a consolida tot acest material, să încercăm să calculăm încă două exemple.

Probleme cu funcții trigonometrice și funcții cu trei variabile

Sarcina nr. 1

Să notăm următoarele formule:

\[((\left(((a)^(x)) \right))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]

\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))=((e)^(x))\]

Să rezolvăm acum expresia noastră:

\[(((z)")_(x))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(x)=((3) )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]

Să calculăm separat următoarea construcție:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ stânga(\sin y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]

Continuăm să rezolvăm expresia originală:

\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]

Acesta este răspunsul final al variabilei private pe $x$. Acum să numărăm cu $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(y)=((3) )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]

Să rezolvăm o expresie separat:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ stânga(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]

Să ne rezolvăm construcția până la capăt:

\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]

Problema nr. 2

La prima vedere, acest exemplu poate părea destul de complicat, deoarece există trei variabile. De fapt, aceasta este una dintre cele mai ușoare sarcini din tutorialul video de astăzi.

Găsiți după $x$:

\[(((t)")_(x))=((\left(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \right))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e)) ^(z)) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y) )) \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]

Acum să ne ocupăm de $y$:

\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \right))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot) ((e)^(z)) \right))^(\prime ))_(y)=\]

\[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\left) (y \right))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]

Am găsit răspunsul.

Acum tot ce rămâne este să găsiți cu $z$:

\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e) )^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \right))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]

Am calculat derivata a treia, care completează soluția celei de-a doua probleme.

Nuanțe ale soluției

După cum puteți vedea, nu este nimic complicat în aceste două exemple. Singurul lucru de care suntem convinși este că derivata unei funcții complexe este folosită des și în funcție de derivata parțială pe care o calculăm, obținem răspunsuri diferite.

În ultima sarcină, ni s-a cerut să ne ocupăm de o funcție de trei variabile simultan. Nu este nimic în neregulă cu asta, dar până la urmă am fost convinși că toate sunt semnificativ diferite unele de altele.

Puncte cheie

Ultimele concluzii din tutorialul video de astăzi sunt următoarele:

1. Derivatele parțiale sunt considerate în același mod ca și cele obișnuite, dar pentru a calcula derivata parțială față de o variabilă, toate celelalte variabile incluse în această funcție, le considerăm constante.
2. Când lucrăm cu derivate parțiale, folosim aceleași formule standard ca și cu derivatele obișnuite: sumă, diferență, derivată a produsului și coeficientului și, desigur, derivată a unei funcții complexe.

Desigur, doar vizionarea acestei lecții video nu este suficientă pentru a înțelege pe deplin acest subiect, așa că chiar acum pe site-ul meu există un set de probleme pentru acest videoclip dedicat special subiectului de astăzi - intrați, descărcați, rezolvați aceste probleme și verificați răspunsul . Și după aceasta nu veți mai avea probleme cu derivatele parțiale nici la examene, nici în munca independentă. Desigur, aceasta nu este ultima lecție de matematică superioară, așa că vizitați site-ul nostru web, adăugați VKontakte, abonați-vă la YouTube, like și rămâneți cu noi!

Derivatele parțiale sunt utilizate în problemele care implică funcții ale mai multor variabile. Regulile de găsire sunt exact aceleași ca și pentru funcțiile unei variabile, singura diferență fiind că una dintre variabile trebuie considerată o constantă (număr constant) în momentul diferențierii.

Formula

Derivatele parțiale pentru o funcție a două variabile $ z(x,y) $ sunt scrise sub următoarea formă $ z"_x, z"_y $ și se găsesc folosind formulele:

Derivate parțiale de ordinul întâi

$$ z"_x = \frac(\partial z)(\partial x) $$

$$ z"_y = \frac(\partial z)(\partial y) $$

Derivate parțiale de ordinul doi

$$ z""_(xx) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial y) $$

Derivat mixt

$$ z""_(xy) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial x) $$

Derivată parțială a unei funcții complexe

a) Fie $ z (t) = f(x(t), y(t)) $, atunci derivata unei funcții complexe este determinată de formula:

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\partial z)(\partial y) \cdot \frac (dy)(dt)$$

b) Fie $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, atunci derivatele parțiale ale funcției se găsesc prin formula:

$$ \frac(\partial z)(\partial u) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial u) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial u) $$

$$ \frac(\partial z)(\partial v) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial v) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial v) $$

Derivate parțiale ale unei funcții implicite

a) Fie $ F(x,y(x)) = 0 $, apoi $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$

b) Fie $ F(x,y,z)=0 $, apoi $$ z"_x = - \frac(F"_x)(F"_z); z"_y = - \frac(F"_y)( F"_z) $$

Exemple de soluții

Se oferă o dovadă a formulei pentru derivata unei funcții complexe. Cazurile în care o funcție complexă depinde de una sau două variabile sunt luate în considerare în detaliu. Se face o generalizare în cazul unui număr arbitrar de variabile. Conţinut Vezi și: Exemple de utilizare a formulei pentru derivata unei funcții complexe Formule de bază Aici oferim derivarea următoarelor formule pentru derivata unei funcții complexe. Dacă, atunci . Dacă, atunci . Dacă, atunci . Derivată a unei funcții complexe dintr-o variabilă Fie reprezentată o funcție a variabilei x ca o funcție complexă în următoarea formă: , unde există unele funcții. Funcția este diferențiabilă pentru o anumită valoare a variabilei x. Funcția este diferențiabilă la valoarea variabilei. (1) . Atunci funcția complexă (compozită) este diferențiabilă în punctul x și derivata ei este determinată de formula: ; . Formula (1) poate fi scrisă și după cum urmează: Dovada ; . Să introducem următoarea notație. Aici există o funcție a variabilelor și , există o funcție a variabilelor și . ; . Dar vom omite argumentele acestor funcții pentru a nu aglomera calculele. . Deoarece funcțiile și sunt diferențiabile în punctele x și, respectiv, atunci în aceste puncte există derivate ale acestor funcții, care sunt următoarele limite: . Luați în considerare următoarea funcție: . Deoarece funcția este o funcție diferențiabilă în punct, este continuă în acel punct. De aceea . Luați în considerare următoarea funcție: . Acum găsim derivata. . Formula este dovedită. Consecinţă Dacă o funcţie a unei variabile x poate fi reprezentată ca o funcţie complexă a unei funcţii complexe , atunci derivata sa este determinată de formula . Aici și există câteva funcții diferențiabile. Pentru a demonstra această formulă, calculăm secvenţial derivata folosind regula de diferenţiere a unei funcţii complexe. Luați în considerare funcția complexă . Derivatul său . Luați în considerare funcția inițială . Derivatul său . Derivată a unei funcții complexe din două variabile Acum, funcția complexă depinde de mai multe variabile. Mai întâi să ne uităm la cazul unei funcţii complexe a două variabile. Fie o funcție care depinde de variabila x să fie reprezentată ca o funcție complexă a două variabile în următoarea formă: , Unde și există funcții diferențiabile pentru o anumită valoare a variabilei x; - o functie a doua variabile, diferentiabila la punctul , . (2) . Formula (1) poate fi scrisă și după cum urmează: Apoi, funcția complexă este definită într-o anumită vecinătate a punctului și are o derivată, care este determinată de formula: ; . Deoarece funcțiile și sunt diferențiabile în punct, ele sunt definite într-o anumită vecinătate a acestui punct, sunt continue în punct, iar derivatele lor există în punct, care sunt următoarele limite: ; . Aici ; . Datorită continuității acestor funcții la un punct, avem: (3) . Deoarece funcțiile și sunt diferențiabile în punct, ele sunt definite într-o anumită vecinătate a acestui punct, sunt continue în punct, iar derivatele lor există în punct, care sunt următoarele limite: Deoarece funcția este diferențiabilă în punct, este definită într-o anumită vecinătate a acestui punct, este continuă în acest punct, iar incrementul ei poate fi scris în următoarea formă: ; - incrementarea unei funcții atunci când argumentele acesteia sunt incrementate cu valori și ; - derivate parţiale ale funcţiei faţă de variabilele şi . ; . Pentru valorile fixe ale și , și sunt funcții ale variabilelor și . ; . Ele tind să se zero la și: . : . De când și , atunci . Formula este dovedită. Creșterea funcției: Să înlocuim (3): Derivată a unei funcții complexe din mai multe variabile Concluzia de mai sus poate fi generalizată cu ușurință în cazul în care numărul de variabile ale unei funcții complexe este mai mare de două. De exemplu, dacă f este , Unde funcţia a trei variabile , Asta , și există funcții diferențiabile pentru o anumită valoare a variabilei x; (4) . - functie diferentiabila a trei variabile in punctul , , . ; ; , Apoi, din definiția diferențiabilității funcției, avem: ; ; . Pentru că, datorită continuității, . Că Împărțind (4) la și trecând la limită, obținem:. Și, în sfârșit, să luăm în considerare , Unde cel mai general caz - functie diferentiabila a n variabile intr-un punct , , ... , . Luați în considerare următoarea funcție: . Vezi și: Exemplu. Găsiți dacă, unde. Soluţie. Conform formulei (1) avem: Exemplu. Aflați derivata parțială și derivata totală dacă . Soluţie. . Pe baza formulei (2) obținem . 2°. Cazul mai multor variabile independente. Lasă z = f(x;y) - funcţia a două variabile XŞi y, fiecare dintre ele este o funcție variabilă independentă t: x = x(t), y = y(t).În acest caz, funcția z=f(x(t);y(t)) este funcţie complexă a unei variabile independente t; variabile x și y sunt variabile intermediare. Teorema. Dacă z == f(x; y) - diferentiabil la un punct M(x;y) D funcţie Şi x = x(t)Şi la =y(t) - funcţii diferenţiabile ale variabilei independente t, apoi derivata unei funcții complexe z(t) == f(x(t);y(t)) calculate prin formula (3) Caz special: z = f(x; y), unde y = y(x), aceste. z = f(x;y(x)) - funcția complexă a unuia variabilă independentă X. Acest caz se reduce la cel precedent, și rolul variabilei t joacă X. Conform formulei (3) avem: . Ultima formulă se numește formule derivate totale. Caz general: z = f(x;y), Unde x = x(u;v), y=y(u;v). Atunci z = f(x(u;v);y(u;v)) - complex funcţia variabilelor independente ŞiŞi v. Derivatele sale parțiale pot fi găsite folosind formula (3) după cum urmează. După ce am reparat v,înlocuiește-l, derivate parțiale corespunzătoare Astfel, derivata funcției complexe (z) față de fiecare variabilă independentă (ŞiŞi v) este egală cu suma produselor derivatelor parțiale ale acestei funcții (z) față de intermediarul ei variabile (x și y) la derivatele lor în raport cu variabila independentă corespunzătoare (u și v). În toate cazurile luate în considerare, formula este valabilă (proprietatea de invarianță a unui diferenţial total). Exemplu. Găsiți și dacă z= f(x,y), unde x=uv, .

1°. Cazul unei variabile independente. Dacă z=f(x,y) este o funcție diferențiabilă a argumentelor x și y, care la rândul lor sunt funcții diferențiabile ale variabilei independente t: , atunci derivata funcției complexe poate fi calculat folosind formula

Exemplu. Găsiți dacă, unde.

Soluţie. Conform formulei (1) avem:

Exemplu. Aflați derivata parțială și derivata totală dacă .

Soluţie. .

Pe baza formulei (2) obținem .

2°. Cazul mai multor variabile independente.

Lasă z =f (x ;y) - funcţia a două variabile XŞi y, fiecare dintre ele este o funcție a variabilei independente t : x =x(t), y =y (t).În acest caz, funcția z =f (x(t);y (t)) este o funcție complexă a unei variabile independente t; variabile x și y sunt variabile intermediare.

Teorema. Dacă z == f(x ; y) - diferentiabil la un punct M(x;y)D funcţia şi x =x(t)Şi la =y (t) - funcţii diferenţiabile ale variabilei independente t, apoi derivata unei funcții complexe z (t) == f(x(t);y (t)) calculate prin formula

Caz special:z = f (x ; y), unde y = y(x), aceste. z = f (x ;y (x )) - funcţie complexă a unei variabile independente X. Acest caz se reduce la cel precedent, și rolul variabilei t joacă X. Conform formulei (3) avem:

.

Ultima formulă se numește formule derivate totale.

Caz general:z = f (x ;y), Unde x =x(tu ;v),y =y (tu ;v). Atunci z = f (x(tu ;v);y (tu ;v)) - funcţie complexă a variabilelor independente ŞiŞi v. Derivatele sale parțiale pot fi găsite folosind formula (3) după cum urmează. După ce am reparat v,înlocuim în ea , derivatele parțiale corespunzătoare

Astfel, derivata unei funcții complexe (z) față de fiecare variabilă independentă (ŞiŞi v) este egală cu suma produselor derivatelor parțiale ale acestei funcții (z) în raport cu variabilele sale intermediare (x și y) la derivatele lor în raport cu variabila independentă corespunzătoare (u și v).

În toate cazurile luate în considerare, formula este valabilă

(proprietatea de invarianță a unui diferenţial total).

Exemplu. Găsiți și dacă z = f(x ,y ), unde x =uv , .

Soluţie. Aplicând formulele (4) și (5), obținem:

Exemplu. Arătați că funcția satisface ecuația .

Soluţie. Funcția depinde de x și y printr-un argument intermediar, deci

Înlocuind derivate parțiale în partea stângă a ecuației, avem:

Adică funcția z satisface această ecuație.

Derivată într-o direcție dată și gradient al funcției

1°. Derivată a unei funcții într-o direcție dată. Derivat funcțiile z= f(x,y) in aceasta directie numit , unde și sunt valorile funcției în punctele și . Dacă funcția z este diferențiabilă, atunci formula este validă

unde sunt unghiurile dintre direcții lși axele de coordonate corespunzătoare. Derivata într-o direcție dată caracterizează viteza de schimbare a unei funcții în acea direcție.

Exemplu. Aflați derivata funcției z = 2x 2 - 3 2 în punctul P (1; 0) în direcția făcând un unghi de 120° cu axa OX.

Soluţie. Să găsim derivatele parțiale ale acestei funcții și valorile lor în punctul P.