Considerăm o matrice A arbitrară, nu neapărat pătrată, de dimensiunea mxn.

Rangul matricei.

Conceptul de rang de matrice este legat de concept dependență liniară(independența) rândurilor (coloanelor) matricei. Să luăm în considerare acest concept pentru șiruri. Pentru coloane - în mod similar.

Să notăm drenurile matricei A:

e 1 =(a 11,a 12,…,a 1n); e 2 =(a 21,a 22,…,a 2n);…, e m =(a m1,a m2,…,a mn)

e k =e s dacă a kj =a sj , j=1,2,…,n

Operaţiile aritmetice pe rânduri de matrice (adunare, înmulţire cu un număr) sunt introduse ca operaţii efectuate element cu element: λе k =(λа k1 ,λа k2 ,…,λа kn);

e k +е s =[(a k1 +a s1),(a k2 +a s2),…,(a kn +a sn)].

Linia e se numește combinație liniară rândurile e 1, e 2,…, e k, dacă este egală cu suma produselor acestor drepte prin numere reale arbitrare:

e=λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ k e k

Liniile e 1, e 2,…, e m sunt numite dependent liniar, dacă există numere reale λ 1 ,λ 2 ,…,λ m , nu toate egale cu zero, că combinația liniară a acestor șiruri este egală cu șirul zero: λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ m e m = 0 ,Unde 0 =(0,0,…,0) (1)

Dacă o combinație liniară este egală cu zero dacă și numai dacă toți coeficienții λ i sunt egali cu zero (λ 1 =λ 2 =...=λ m =0), atunci rândurile e 1, e 2,..., e m sunt numite liniar independent.

Teorema 1. Pentru ca șirurile e 1 , e 2 ,…, e m să fie dependente liniar, este necesar și suficient ca unul dintre aceste șiruri să fie o combinație liniară a șirurilor rămase.

Dovada. Necesitate. Fie șirurile e 1, e 2,…, e m dependente liniar. Să, pentru certitudine, (1) λ m ≠0, atunci

Că. șirul e m este o combinație liniară a șirurilor rămase. etc.

Adecvarea. Fie unul dintre șiruri, de exemplu e m, o combinație liniară a șirurilor rămase. Apoi vor exista numere astfel încât egalitatea să fie valabilă, care pot fi rescrise în formă

unde cel puțin 1 dintre coeficienți, (-1), nu este egal cu zero. Aceste. rândurile sunt dependente liniar. etc.

Definiţie. Ordinea k-a minoră matricea A de dimensiunea mxn se numește determinant de ordinul k cu elemente care se află la intersecția oricăror k rânduri și oricăror k coloane ale matricei A. (k≤min(m,n)). .

Exemplu., minori de ordinul I: =, =;

Minori de ordinul 2: , ordinul 3

O matrice de ordinul 3 are 9 minori de ordinul 1, 9 minori de ordinul 2 și 1 minor de ordinul 3 (determinantul acestei matrice).

Definiţie. Rangul matricei A este cel mai înalt ordin al minorilor diferit de zero ale acestei matrice. Denumire - rg A sau r(A).

Proprietățile rangului matricei.

1) rangul matricei A nxm nu depășește dimensiunile sale mai mici, adică.

r(A)≤min(m,n).

2) r(A)=0 când toate elementele matricei sunt egale cu 0, i.e. A=0.

3) Pentru matrice pătratăȘi de ordin al n-lea r(A)=n, când A este nedegenerat.

(Rangul unei matrici diagonale este egal cu numărul elementelor diagonale diferite de zero).

4) Dacă rangul unei matrice este egal cu r, atunci matricea are cel puțin un minor de ordinul r care nu este egal cu zero, iar toate minorele de ordine superioară sunt egale cu zero.

Următoarele relații sunt valabile pentru rangurile matricei:

2) r(A+B)≤r(A)+r(B); 3) r(AB)≤min(r(A),r(B));

3) r(A+B)≥│r(A)-r(B)│; 4) r(A T A)=r(A);

5) r(AB)=r(A), dacă B este o matrice pătrată nesingulară.

6) r(AB)≥r(A)+r(B)-n, unde n este numărul de coloane ale matricei A sau rânduri ale matricei B.

Definiţie. Se numește un minor diferit de zero de ordinul r(A). minor de bază. (Matricea A poate avea mai multe minori de bază). Se numesc rândurile și coloanele la intersecția cărora există o bază minoră corzi de bazăŞi coloane de bază.

Teorema 2 (despre baza minoră). Rândurile (coloanele) subiacente sunt liniar independente. Orice rând (orice coloană) din matricea A este o combinație liniară a rândurilor de bază (coloane).

Dovada. (Pentru coarde). Dacă rândurile de bază ar fi dependente liniar, atunci conform teoremei (1) unul dintre aceste rânduri ar fi o combinație liniară a altor rânduri de bază, atunci, fără a modifica valoarea minorului de bază, puteți scădea din acest rând combinația liniară indicată. și obțineți un rând zero, iar acest lucru contrazice faptul că baza minoră este diferită de zero. Că. rândurile de bază sunt liniar independente.

Să demonstrăm că orice rând al matricei A este o combinație liniară a rândurilor de bază. Deoarece cu modificări arbitrare ale rândurilor (coloanelor) determinantul păstrează proprietatea de a fi egal cu zero, apoi, fără pierderea generalității, putem presupune că baza minoră se află în colțul din stânga sus al matricei

A=, aceste. situate pe primele r rânduri și primele r coloane. Fie 1£j£n, 1£i£m. Să arătăm că determinantul de ordin (r+1).

Dacă j£r sau i£r, atunci acest determinant este egal cu zero, deoarece va avea două coloane identice sau două rânduri identice.

Dacă j>r și i>r, atunci acest determinant este minor de ordinul (r+1) al matricei A. Deoarece Rangul matricei este egal cu r, ceea ce înseamnă că orice minor de ordin superior este egal cu 0.

Expandându-l în funcție de elementele ultimei coloane (adăugate), obținem

a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a rj A rj +a ij A ij =0, unde ultimul complement algebric A ij coincide cu baza minoră M r și deci A ij = M r ≠0.

Împărțind ultima egalitate la A ij, putem exprima elementul a ij ca o combinație liniară: , unde .

Să fixăm valoarea lui i (i>r) și să aflăm că pentru orice j (j=1,2,…,n) elementele i-a linie e i sunt exprimate liniar prin elementele dreptelor e 1, e 2,…, e r, i.e. i-a linie este o combinație liniară a șirurilor de bază: . etc.

Teorema 3. (condiție necesară și suficientă pentru ca determinantul să fie egal cu zero). Pentru ca determinantul D de ordinul al n-lea să fie egal cu zero, este necesar și suficient ca rândurile (coloanele) ale acestuia să fie dependente liniar.

Dovada (pag. 40). Necesitate. Dacă determinantul de ordinul al n-lea D este egal cu zero, atunci baza minoră a matricei sale este de ordinul r

Astfel, un rând este o combinație liniară a celorlalte. Apoi, după teorema 1, rândurile determinantului sunt liniar dependente.

Adecvarea. Dacă rândurile D sunt dependente liniar, atunci, după teorema 1, un rând A i este o combinație liniară a rândurilor rămase. Scăzând combinația liniară indicată din șirul A i fără a modifica valoarea lui D, obținem un șir zero. Prin urmare, conform proprietăților determinanților, D=0. etc.

Teorema 4.În timpul transformărilor elementare, rangul matricei nu se modifică.

Dovada. După cum sa arătat când se iau în considerare proprietățile determinanților, la transformarea matricelor pătrate, determinanții lor fie nu se modifică, fie sunt înmulțiți cu un număr diferit de zero, fie își schimbă semnul. În acest caz, se păstrează cel mai înalt ordin al minorilor non-zero din matricea originală, adică. rangul matricei nu se modifică. etc.

Dacă r(A)=r(B), atunci A și B sunt echivalent: A~B.

Teorema 5. Folosind transformări elementare, puteți reduce matricea la vedere în trepte. Matricea se numește treptat, dacă are forma:

A=, unde a ii ≠0, i=1,2,…,r; r≤k.

Condiția r≤k poate fi întotdeauna atinsă prin transpunere.

Teorema 6. Rangul unei matrice eșalon este egal cu numărul rândurilor sale diferite de zero .

Aceste. Rangul matricei pasului este egal cu r, deoarece există un minor diferit de zero de ordinul r:

Fiecare rând al matricei A este notat cu e i = (a i 1 a i 2 …, a in) (de exemplu,
e 1 = (a 11 a 12 ..., a 1 n), e 2 = (a 21 a 22 ..., a 2 n), etc.). Fiecare dintre ele este o matrice de rând care poate fi înmulțită cu un număr sau adăugată la un alt rând conform regulilor generale de lucru cu matrice.

Combinație liniară Dreptele e l , e 2 ,...e k se numesc suma produselor acestor drepte prin numere reale arbitrare:
e = l l e l + l 2 e 2 +...+ l k e k, unde l l, l 2,..., l k sunt numere arbitrare (coeficienții unei combinații liniare).

Se numesc rândurile matricei e l , e 2 ,...e m dependent liniar, dacă există numere l l , l 2 ,..., l m care nu sunt egale cu zero în același timp, astfel încât combinația liniară de rânduri a matricei să fie egală cu rândul zero:
l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0, unde 0 = (0 0...0).

O relație liniară între rândurile unei matrice înseamnă că cel puțin un rând al matricei este o combinație liniară a celorlalte. Într-adevăr, pentru definiție, să fie ultimul coeficient l m ¹ 0. Apoi, împărțind ambele părți ale egalității la l m, obținem o expresie pentru ultima linie ca o combinație liniară a liniilor rămase:
e m = (l l /l m)e l + (l 2 /l m)e 2 +...+ (l m-1 /l m)e m-1 .

Dacă o combinație liniară de rânduri este egală cu zero dacă și numai dacă toți coeficienții sunt egali cu zero, i.e. l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0 Û l k = 0 "k, atunci liniile se numesc liniar independent.

Teorema rangului matricei. Rangul unei matrice este egal cu numărul maxim al rândurilor sau coloanelor sale liniar independente prin care toate celelalte rânduri sau coloane ale sale pot fi exprimate liniar.

Să demonstrăm această teoremă. Fie ca o matrice A de dimensiunea m x n să aibă rangul r (r(A) £ min (m; n)). În consecință, există un minor diferit de zero de ordinul r-a. Vom chema fiecare astfel de minor de bază. Să fie minor ca să fie clar

Vor fi numite și liniile acestui minor de bază.

Să demonstrăm că atunci rândurile matricei e l , e 2 ,...e r sunt liniar independente. Să presupunem contrariul, adică. unul dintre aceste rânduri, de exemplu r-th, este o combinație liniară a celorlalte: e r = l l e l + l 2 e 2 +...+ l r-1 e r-1 = 0. Atunci, dacă scădem elementele rândului r primul rând înmulțit cu l l , elementele rândului al 2-lea înmulțit cu l 2 etc., în sfârșit, elementele rândului (r-1) înmulțit cu l r-1 , apoi r-lea rândul va deveni zero. În acest caz, conform proprietăților determinantului, determinantul de mai sus nu ar trebui să se schimbe și, în același timp, ar trebui să fie egal cu zero. Se obține o contradicție și se dovedește independența liniară a rândurilor.

Acum demonstrăm că orice rând (r+1) ale matricei sunt dependente liniar, adică. orice șir poate fi exprimat în termeni de cele de bază.

Să suplimentăm minorul considerat anterior cu încă un rând (i-a) și încă o coloană (j-a). Ca rezultat, obținem un minor de ordin (r+1), care prin definiția rangului este egal cu zero.

unde sunt unele numere (unele dintre aceste numere sau chiar toate pot fi egale cu zero). Aceasta înseamnă că există următoarele egalități între elementele coloanelor:

Din (3.3.1) rezultă că

Dacă egalitatea (3.3.3) este adevărată dacă și numai dacă , atunci rândurile se numesc liniar independente. Relația (3.3.2) arată că dacă unul dintre rânduri este exprimat liniar în termenii celorlalte, atunci rândurile sunt dependente liniar.

Este ușor de observat contrariul: dacă șirurile sunt dependente liniar, atunci există un șir care va fi o combinație liniară a șirurilor rămase.

Fie, de exemplu, în (3.3.3), atunci .

Definiţie. Fie identificat un anumit ordin al r-lea minor în matricea A și fie ca (r+1)-al-lea minor de ordin al aceleiași matrice să conțină în întregime minorul . Vom spune că în acest caz minorul se învecinează cu minorul (sau se învecinează cu ).

Acum vom demonstra o lemă importantă.

Lema despre minorii învecinați. Dacă un minor de ordinul r al matricei A= este diferit de zero și toate minorele care îl mărginesc sunt egale cu zero, atunci orice rând (coloană) a matricei A este o combinație liniară a rândurilor (coloanelor) sale care alcătuiesc .

Dovada. Fără a pierde generalitatea raționamentului, vom presupune că o minoră diferită de zero de ordinul r se află în colțul din stânga sus al matricei A =:

.

Pentru primele k rânduri ale matricei A, afirmația lemei este evidentă: este suficient să includeți într-o combinație liniară același rând cu un coeficient egal cu unu, iar restul - cu coeficienți egali cu zero.

Să demonstrăm acum că rândurile rămase ale matricei A sunt exprimate liniar prin primele k rânduri. Pentru a face acest lucru, construim un minor de ordin (r+1) adăugând linia k-a () la minor și l a coloana():

.

Minorul rezultat este egal cu zero pentru toate k și l. Dacă , atunci este egal cu zero, deoarece conține două coloane identice. Dacă , atunci minorul rezultat este minorul limită pentru și, prin urmare, este egal cu zero după condițiile lemei.

Să descompunem minorul după elementele ultimului l a coloana:

Presupunând că obținem:

(3.3.6)

Expresia (3.3.6) înseamnă că rândul k al matricei A este exprimat liniar prin primele r rânduri.

Deoarece atunci când o matrice este transpusă, valorile minorilor ei nu se modifică (datorită proprietății determinanților), atunci tot ceea ce dovedit este valabil și pentru coloane. Teorema a fost demonstrată.

Corolarul I. Orice rând (coloană) al unei matrice este o combinație liniară a rândurilor (coloanelor) de bază. Într-adevăr, baza minoră a matricei este diferită de zero, iar toți minorii care o mărginesc sunt egale cu zero.

Corolarul II. Un determinant de ordinul al n-lea este egal cu zero dacă și numai dacă conține rânduri (coloane) dependente liniar. Suficiența dependenței liniare a rândurilor (coloanelor) pentru ca determinantul să fie egal cu zero a fost dovedită mai devreme ca o proprietate a determinanților.

Să dovedim necesitatea. Să ni se dă o matrice pătrată de ordinul al n-lea al cărei singur minor este zero. Rezultă că rangul acestei matrice este mai mic decât n, adică. există cel puțin un rând care este o combinație liniară a rândurilor de bază ale acestei matrice.

Să demonstrăm o altă teoremă despre rangul matricei.

Teorema. Numărul maxim de rânduri liniar independente ale unei matrice este egal cu numărul maxim al coloanelor sale liniar independente și este egal cu rangul acestei matrice.

Dovada. Fie rangul matricei A= egal cu r. Atunci oricare dintre k rândurile sale de bază sunt liniar independente, altfel baza minoră ar fi egală cu zero. Pe de altă parte, orice r+1 sau mai multe rânduri sunt dependente liniar. Presupunând contrariul, am putea găsi un minor de ordin mai mare decât r care este diferit de zero după Corolarul 2 al lemei anterioare. Acesta din urmă contrazice faptul că ordinul maxim al minorilor diferit de zero este r. Tot ceea ce este dovedit pentru rânduri este valabil și pentru coloane.

În concluzie, vom schița o altă metodă de găsire a rangului unei matrice. Rangul unei matrice poate fi determinat prin găsirea unui minor de ordinul maxim care este diferit de zero.

La prima vedere, acest lucru necesită calculul unui număr finit, dar poate foarte mare de minore ale acestei matrice.

Următoarea teoremă permite, totuși, introducerea unor simplificări semnificative în acest sens.

Teorema. Dacă minorul matricei A este diferit de zero și toate minorele care o mărginesc sunt egale cu zero, atunci rangul matricei este egal cu r.

Dovada. Este suficient să arătăm că orice subsistem de rânduri de matrice pentru S>r va fi dependent liniar în condițiile teoremei (se va urma că r este numărul maxim de rânduri de matrice liniar independente sau oricare dintre minorele sale de ordin mai mare decât k sunt egale cu zero).

Să presupunem contrariul. Lasă rândurile să fie liniar independente. Conform lemei despre minorii învecinați, fiecare dintre ei va fi exprimat liniar prin liniile care conțin minorul și care, datorită faptului că sunt diferite de zero, sunt liniar independente:

Acum luați în considerare următoarea combinație liniară:

sau

Folosind (3.3.7) și (3.3.8), obținem

,

ceea ce contrazice independența rândurilor liniare.

În consecință, presupunerea noastră este incorectă și, prin urmare, orice rând S>r în condițiile teoremei sunt dependente liniar. Teorema a fost demonstrată.

Să luăm în considerare regula de calcul al rangului unei matrice - metoda limitării minorilor, pe baza acestei teoreme.

Când se calculează rangul unei matrice, ar trebui să se treacă de la minori de ordin inferior la minori de ordin superior. Dacă un minor de ordinul r, diferit de zero, a fost deja găsit, atunci este necesar să se calculeze doar minorii de ordinul (r+1) care mărginesc minorul. Dacă sunt egale cu zero, atunci rangul matricei este egal cu r. Această metodă este folosită și dacă nu numai că calculăm rangul matricei, ci și stabilim ce coloane (rânduri) alcătuiesc baza minoră a matricei.

Exemplu. Calculați rangul matricei folosind metoda minorilor învecinați

Soluţie. Minorul de ordinul doi, situat în colțul din stânga sus al matricei A, este diferit de zero:

.

Cu toate acestea, toți minorii de ordinul trei care îl înconjoară sunt egali cu zero:

;	;
;	;
;	.

Prin urmare, rangul matricei A este egal cu doi: .

Primul și al doilea rând, prima și a doua coloană din această matrice sunt de bază. Rândurile și coloanele rămase sunt combinații liniare ale acestora. De fapt, următoarele egalități sunt valabile pentru șiruri:

În concluzie, remarcăm validitatea următoarelor proprietăți:

1) rangul produsului de matrice nu este mai mare decât rangul fiecăruia dintre factori;

2) rangul produsului unei matrice arbitrare A la dreapta sau la stânga de o matrice pătrată nesingulară Q este egal cu rangul matricei A.

Matrici polinomiale

Definiţie. O matrice polinomială sau -matrice este o matrice dreptunghiulară ale cărei elemente sunt polinoame într-o variabilă cu coeficienți numerici.

Transformările elementare pot fi efectuate pe -matrice. Acestea includ:

Rearanjarea a două rânduri (coloane);

Înmulțirea unui rând (coloană) cu un alt număr decât zero;

Adăugând la un rând (coloană) un alt rând (coloană) înmulțit cu orice polinom.

Două -matrice și de aceeași dimensiune se spune că sunt echivalente: , dacă se poate trece de la matrice la utilizarea unui număr finit de transformări elementare.

Exemplu. Demonstrați echivalența matricei

,

.

1. Schimbați prima și a doua coloană din matrice:

.

2. Din a doua linie, scădeți primul, înmulțit cu ():

.

3. Înmulțiți a doua linie cu (–1) și rețineți că

.

4. Scădeți din a doua coloană prima, înmulțită cu , obținem

.

Mulțimea tuturor -matricelor de dimensiuni date este împărțită în clase disjunse de matrici echivalente. Matricele care sunt echivalente între ele formează o clasă, iar cele care nu sunt echivalente formează alta.

Fiecare clasă de matrici echivalente este caracterizată de o matrice canonică, sau normală, de dimensiuni date.

Definiţie. O matrice canonică sau normală de dimensiuni este o matrice a cărei diagonală principală conține polinoame, unde p este cea mai mică dintre numerele m și n ( ), iar polinoamele care nu sunt egale cu zero au coeficienți conducători egali cu 1, iar fiecare polinom ulterior este împărțit la cel anterior. Toate elementele din afara diagonalei principale sunt 0.

Din definiție rezultă că dacă printre polinoame există polinoame de grad zero, atunci acestea se află la începutul diagonalei principale. Dacă există zerouri, acestea sunt la capătul diagonalei principale.

Matricea exemplului anterior este canonică. Matrice

de asemenea canonice.

Fiecare clasă de matrice conține o matrice canonică unică, adică. Fiecare -matrice este echivalentă cu o matrice canonică unică, care se numește forma canonică sau forma normală a acelei matrice.

Polinoamele situate pe diagonala principală a formei canonice a unei matrici date se numesc factori invarianți ai acestei matrici.

O metodă pentru calcularea factorilor invarianți este reducerea unei matrice date la formă canonică.

Astfel, pentru matricea exemplului anterior, factorii invarianți sunt

Din cele de mai sus rezultă că prezența aceluiași set de factori invarianți este o condiție necesară și suficientă pentru echivalența matricelor.

Reducerea -matricelor la forma canonică se reduce la determinarea factorilor invarianți

, ; ,

unde r este rangul matricei; - cel mai mare divizor comun al minorilor de ordinul k, luat cu coeficientul de conducere egal cu 1.

Exemplu. Fie dat -matrice

.

Soluţie. Evident, cel mai mare divizor comun de ordinul întâi, i.e. .

Să definim minorii de ordinul doi:

,

etc.

Deja aceste date sunt suficiente pentru a trage o concluzie: prin urmare, .

Noi definim

,

Prin urmare, .

Astfel, forma canonică a acestei matrice este următoarea -matrice:

.

Un polinom matriceal este o expresie a formei

unde este variabilă; - matrici pătrate de ordin n cu elemente numerice.

Dacă , atunci S se numește gradul polinomului matriceal, n este ordinul polinomului matriceal.

Orice matrice pătratică poate fi reprezentată ca un polinom matriceal. Evident, este adevărată și afirmația opusă, adică. orice polinom matriceal poate fi reprezentat ca o matrice pătrată.

Validitatea acestor afirmații rezultă în mod clar din proprietățile operațiilor pe matrice. Să ne uităm la următoarele exemple:

Exemplu. Reprezentați o matrice polinomială

sub forma unui polinom matriceal după cum urmează

.

Exemplu. Polinom matriceal

poate fi reprezentat ca următoarea matrice polinomială (-matrice)

.

Această interschimbabilitate a polinoamelor matriceale și a matricelor polinomiale joacă un rol semnificativ în aparatul matematic al metodelor de analiză factorială și componente.

Polinoamele matriceale de același ordin pot fi adunate, scăzute și înmulțite în același mod ca polinoamele obișnuite cu coeficienți numerici. Cu toate acestea, trebuie amintit că înmulțirea polinoamelor matriceale, în general, nu este comutativă, deoarece Înmulțirea prin matrice nu este comutativă.

Se spune că două polinoame matriceale sunt egale dacă coeficienții lor sunt egali, i.e. matrice corespunzătoare pentru aceleași puteri ale variabilei .

Suma (diferența) a două polinoame matriceale este un polinom matriceal al cărui coeficient pentru fiecare grad al variabilei este egal cu suma (diferența) coeficienților pentru același grad din polinoame și .

Pentru a înmulți un polinom matriceal cu un polinom matriceal, trebuie să înmulțiți fiecare termen al polinomului matriceal cu fiecare termen al polinomului matriceal, să adăugați produsele rezultate și să aduceți termeni similari.

Gradul unui polinom matriceal este un produs mai mic sau egal cu suma gradelor factorilor.

Operațiile pe polinoamele matriceale pot fi efectuate folosind operații pe matricele corespunzătoare.

Pentru a adăuga (scădea) polinoame de matrice, este suficient să adăugați (scădeți) matricele corespunzătoare. Același lucru este valabil și pentru înmulțire. -matricea produsului polinoamelor matriceale este egală cu produsul -matricelor factorilor.

Pe de altă parte, și poate fi scris în formă

unde B 0 este o matrice nesingulară.

La împărțirea la există un coeficient drept unic și un rest drept

unde gradul lui R 1 este mai mic decât gradul sau (diviziunea fără rest), precum și câtul din stânga și restul din stânga dacă și numai dacă, unde de ordin

Independența liniară a rândurilor matricei

Dată o matrice de dimensiuni

Să notăm rândurile matricei după cum urmează:

Cele două linii sunt numite egal , dacă elementele lor corespunzătoare sunt egale. .

Să introducem operațiile de înmulțire a unui șir cu un număr și de adăugare de șiruri ca operații efectuate element cu element:

Definiţie. Un rând se numește o combinație liniară de rânduri matrice dacă este egal cu suma produselor acestor rânduri prin numere reale arbitrare (orice numere):

Definiţie. Se numesc rândurile matricei dependent liniar , dacă există numere care nu sunt simultan egale cu zero, astfel încât o combinație liniară de rânduri ale matricei să fie egală cu rândul zero:

Unde . (1,1)

Dependența liniară a rândurilor matricei înseamnă că cel puțin 1 rând al matricei este o combinație liniară a restului.

Definiţie. Dacă o combinație liniară de rânduri (1.1) este egală cu zero dacă și numai dacă toți coeficienții sunt , atunci rândurile se numesc liniar independent .

Teorema rangului matricei. Rangul unei matrice este egal cu numărul maxim al rândurilor sau coloanelor sale liniar independente prin care toate celelalte rânduri (coloane) sunt exprimate liniar.

Teorema joacă un rol fundamental în analiza matriceală, în special, în studiul sistemelor de ecuații liniare.

6, 13,14,15,16. Vectori. Operații pe vectori (adunare, scădere, înmulțire cu un număr),n -vector dimensional. Conceptul de spațiu vectorial și baza acestuia.

Un vector este un segment direcționat cu un punct de plecare Oși punctul final ÎN(care poate fi mutat paralel cu el însuși).

Vectorii pot fi desemnați fie cu 2 majuscule, fie printr-o literă mică cu o linie sau o săgeată.

Lungime (sau modul) un vector este un număr egal cu lungimea segmentului AB care reprezintă vectorul.

Se numesc vectorii situati pe aceeasi linie sau pe linii paralele coliniare .

Dacă începutul și sfârșitul vectorului coincid (), atunci se numește un astfel de vector zero si se noteaza = . Lungimea vectorului zero este zero:

1) Produsul unui vector și al unui număr:

Va exista un vector cu o lungime a cărui direcție coincide cu direcția vectorului dacă , și opus acestuia dacă .

2) Vector opus - numit produsul vectorului - și numărul (-1), adică. -=.

3) Suma a doi vectori și se numește un vector, începutul căruia coincide cu începutul vectorului, iar sfârșitul cu sfârșitul vectorului, cu condiția ca începutul să coincidă cu sfârșitul. (regula triunghiurilor). Suma mai multor vectori se determină în mod similar.

4) Diferența a doi vectori și se numește suma vectorului și a vectorului -, opus .

Produs punctual

Definiţie: Produsul scalar a doi vectori este un număr egal cu produsul dintre lungimile acestor vectori și cosinusul unghiului dintre ei:

vector n-dimensional și spațiu vectorial

Definiţie. Un vector n-dimensional este o colecție ordonată n numere reale scrise sub forma x = (x 1,x 2,…,x n), Unde x i – i -a componenta a vectorului X.

Conceptul de vector n-dimensional este utilizat pe scară largă în economie, de exemplu, un anumit set de bunuri poate fi caracterizat printr-un vector x = (x 1,x 2,…,x n), si preturile corespunzatoare y = (y 1,y 2,…,y n).

- Doi vectori n-dimensionali sunt egali dacă și numai dacă componentele lor corespunzătoare sunt egale, i.e. x=y, dacă x i= y i, i = 1,2,…,n.

- Suma a doi vectori aceeași dimensiune n numit vector z = x + y, ale căror componente sunt egale cu suma componentelor corespunzătoare ale vectorilor sumand, i.e. z i= x i+ y i, i = 1,2,…, n.

- Produsul unui vector x și al unui număr real se numește vector ale cărui componente sunt egale cu produsul componentelor corespunzătoare ale vectorului, adică. , i= 1,2,…,n.

Operațiile liniare pe orice vector satisfac următoarele proprietăți:

1) - proprietate comutativă (comutativă) a sumei;

2) - proprietate asociativă (combinativă) a sumei;

3) - o proprietate asociativă în raport cu un factor numeric;

4) - proprietate distributivă (distributivă) relativă la suma vectorilor;

5) - proprietatea distributivă în raport cu suma factorilor numerici;

6) Există un vector zero astfel încât pentru orice vector (rolul special al vectorului zero);

7) Pentru orice vector există un vector opus astfel încât ;

8) pentru orice vector (rolul special al factorului numeric 1).

Definiţie. Mulțimea vectorilor cu componente reale, în care se definesc operațiile de adunare a vectorilor și de înmulțire a unui vector cu un număr care satisface cele opt proprietăți de mai sus (considerate ca axiome), se numește stare vectorială .

Dimensiunea și baza spațiului vectorial

Definiţie. Se numește spațiu liniar n-dimensională , dacă există n vectori liniar independenți și oricare dintre vectori sunt deja dependenți. Cu alte cuvinte, dimensiunea spatiului este numărul maxim de vectori liniar independenți pe care îi conține. Numărul n se numește dimensiunea spațiului și se notează cu .

Se numește o mulțime de n vectori liniar independenți în spațiu n-dimensional bază .

7. Vectorii proprii și valorile proprii ale unei matrice. Ecuația caracteristică a unei matrice.

Definiţie. Vectorul este numit vector propriu operator liniar dacă există un număr astfel încât:

Numărul este numit propriu valoarea operatorului (matrici O), corespunzător vectorului .

Poate fi scris sub formă de matrice:

Unde este o matrice de coloană de coordonate vectoriale sau în formă extinsă:

Să rescriem sistemul astfel încât să existe zerouri în partea dreaptă:

sau sub formă de matrice: . Sistemul omogen rezultat are întotdeauna o soluție zero. Pentru existenţa unei soluţii nenule este necesar şi suficient ca determinantul sistemului: .

Determinantul este un polinom n gradul relativ la . Acest polinom se numește polinom caracteristic operatorului sau matricea A, iar ecuația rezultată este ecuaţia caracteristică a operatorului sau matricea A.

Exemplu:

Găsiți valorile proprii și vectorii proprii ai operatorului liniar dat de matrice.

Rezolvare: Compunem ecuația caracteristică sau , de unde valoarea proprie a operatorului liniar .

Găsim vectorul propriu corespunzător valorii proprii. Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația matriceală:

Sau , sau , de unde găsim: , sau

Sau .

Să presupunem că , obținem că vectorii , pentru oricare, sunt vectori proprii ai unui operator liniar cu valoare proprie .

La fel, vectorul.

8. Sistem n ecuații liniare cu n variabile (vedere generală). Forma matriceală de înregistrare a unui astfel de sistem. Soluție de sistem (definiție). Sisteme de ecuații liniare consistente și incompatibile, definite și nedefinite.

Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare cu necunoscute

Sistemele de ecuații liniare sunt utilizate pe scară largă în economie.

Sistemul de ecuații liniare cu variabile are forma:

,

unde () sunt numere arbitrare numite coeficienți pentru variabile Şi termenii liberi ai ecuațiilor , respectiv.

Scurtă intrare: ().

Definiţie. Soluția sistemului este un astfel de set de valori, la înlocuirea cărora fiecare ecuație a sistemului se transformă într-o egalitate adevărată.

1) Sistemul de ecuații se numește comun , dacă are cel puțin o soluție, și nearticulată, daca nu are solutii.

2) Sistemul de ecuații simultane se numește anumit , dacă are o soluție unică, și nesigur , dacă are mai multe soluții.

3) Se numesc două sisteme de ecuații echivalent (echivalent) , dacă au același set de soluții (de exemplu, o soluție).

Să scriem sistemul sub formă de matrice:

Să notăm: , Unde

O– matricea coeficienților pentru variabile sau matricea sistemului, X – matrice-coloană de variabile, ÎN – matrice-coloană de membri liberi.

Deoarece numărul de coloane ale matricei este egal cu numărul de rânduri ale matricei, atunci produsul lor este:

Există o matrice de coloană. Elementele matricei rezultate sunt părțile din stânga sistemului inițial. Pe baza definiției egalității matricelor, sistemul inițial poate fi scris sub forma: .

teorema lui Cramer. Fie determinantul matricei sistemului, și fie determinantul matricei obținute din matrice prin înlocuirea coloanei-a cu o coloană de termeni liberi. Atunci, dacă , atunci sistemul are o soluție unică, determinată de formulele:

Formula lui Cramer.

Exemplu. Rezolvați un sistem de ecuații folosind formulele lui Cramer

Soluţie. Determinant al matricei sistemului. Prin urmare, sistemul are o soluție unică. Să calculăm , obținut din înlocuirea primei, a doua, a treia coloane cu o coloană de termeni liberi, respectiv:

Conform formulelor lui Cramer:

9. Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemuluin ecuații liniare cu n variabile. Conceptul metodei Jordan–Gauss.

metoda Gauss - metoda de eliminare secventiala a variabilelor.

Metoda Gauss constă în faptul că, folosind transformări elementare de rând și permutări de coloane, un sistem de ecuații se reduce la un sistem echivalent de formă treptă (sau triunghiulară), din care toate celelalte variabile se găsesc secvenţial, începând cu ultima ( după număr) variabile.

Este convenabil să se efectueze transformări gaussiene nu cu ecuațiile în sine, ci cu matricea extinsă a coeficienților acestora, obținute prin alocarea unei coloane de termeni liberi matricei:

.

De remarcat că metoda Gauss poate rezolva orice sistem de ecuații de formă .

Exemplu. Rezolvați sistemul folosind metoda Gauss:

Să notăm matricea extinsă a sistemului.

Pasul 1 . Să schimbăm prima și a doua linie astfel încât să devină egală cu 1.

Pasul 2. Să înmulțim elementele primului rând cu (–2) și (–1) și să le adăugăm elementelor din al doilea și al treilea rând, astfel încât zerouri să apară sub elementul din prima coloană. .

Pentru sistemele simultane de ecuații liniare, următoarele teoreme sunt adevărate:

Teorema 1. Dacă rangul matricei unui sistem comun este egal cu numărul de variabile, i.e. , atunci sistemul are o soluție unică.

Teorema 2. Dacă rangul matricei unui sistem comun este mai mic decât numărul de variabile, i.e. , atunci sistemul este incert și are un număr infinit de soluții.

Definiţie. O bază minoră a unei matrice este orice minor non-zero a cărui ordine este egală cu rangul matricei.

Definiţie. Acele necunoscute ai căror coeficienți sunt incluși în notația minorului de bază se numesc de bază (sau de bază), necunoscutele rămase sunt numite libere (sau nebazice).

Rezolvarea unui sistem de ecuații în caz înseamnă a exprima și (deoarece determinantul compus din coeficienții lor nu este egal cu zero), atunci și sunt necunoscute libere.

Să exprimăm variabilele de bază în termeni de cele libere.

Din al doilea rând al matricei rezultate exprimăm variabila:

Din prima linie exprimăm: ,

Rezolvarea generală a sistemului de ecuaţii: , .