MATRICE ȘI DETERMINANȚI

Curs 1. Matrice

1. Conceptul de matrice. Tipuri de matrice

2. Algebră matriceală

Curs 2. Determinanti

1. Determinanții unei matrici pătrate și proprietățile acestora

2. Laplace și teoreme de anulare

Curs 3. Matrice inversă

1. Conceptul de matrice inversă. Unicitatea matricei inverse

2. Algoritm pentru construirea matricei inverse. Proprietățile unei matrice inverse

4. Probleme și exerciții

4.1. Matrici și operații asupra lor

4.2. Determinanți

4.3. matrice inversă

5. Sarcini individuale

Literatură

PRELEZA 1. MATRICE

Plan

1. Conceptul de matrice. Tipuri de matrice.

2. Algebră matriceală.

Concepte cheie

Matricea diagonală.

Matrice de identitate.

Matrice zero.

Matricea simetrică.

Consistența matricei.

Transpunerea.

Matrice triunghiulară.

1. CONCEPTUL DE MATRICE. TIPURI DE MATRICE

Masa dreptunghiulara

format din m rânduri și n coloane, ale căror elemente sunt numere reale, unde i- Numărul de linie, j- numărul coloanei la intersecția căreia se află acest element se va numi numeric matrice ordonați m´n și notați .

Să luăm în considerare principalele tipuri de matrice:

1. Fie m = n, apoi matricea A – pătrat o matrice care are ordinul n:

A = .

Elemente formează diagonala principală, elemente formează o diagonală laterală.

diagonală , dacă toate elementele sale, cu excepția poate elementele diagonalei principale, sunt egale cu zero:

A = = diag ( ).

Se numește o matrice diagonală și, prin urmare, pătrată singur , dacă toate elementele diagonalei principale sunt egale cu 1:

E = = diag (1, 1, 1,…,1).

Rețineți că matricea de identitate este analogul matricei unuia din mulțimea numerelor reale și, de asemenea, subliniem că matricea de identitate este definită numai pentru matrice pătrată.

Iată exemple de matrice de identitate:

Matrici pătrate

A = , B =

sunt numite triunghiular superior și respectiv inferior.

2 . Fie m = 1, atunci matricea A este o matrice rând, care are forma:

3 . Fie n=1, atunci matricea A este o matrice coloană, care are forma:

4 .O matrice zero este o matrice de ordinul m´n, toate elementele care sunt egale cu 0:

Rețineți că matricea nulă poate fi o matrice pătrată, o matrice de rând sau o matrice de coloană. Matricea zero este analogul matricei lui zero în mulțimea numerelor reale.

5 . Matricea se numește transpus la o matrice și se notează dacă coloanele sale sunt rândurile numerotate corespunzătoare ale matricei.

Exemplu . Fie = , apoi = .

Rețineți că dacă matricea A are ordinul m´n, atunci matricea transpusă are ordinul n´m.

6 . Matricea A se numește simetric , dacă A=A și oblic-simetric , dacă A = –A.

Exemplu . Examinați simetria matricelor A și B.

Atunci = , prin urmare, matricea A este simetrică, deoarece A = A.

В = , atunci = , prin urmare, matricea В este simetrică oblică, deoarece В = – В.

Rețineți că matricele simetrice și oblic-simetrice sunt întotdeauna pătrate. Pe diagonala principală a unei matrice simetrice pot apărea orice elemente, iar elementele identice trebuie să apară simetric față de diagonala principală, adică =. Diagonala principală a unei matrice de simetrie oblică conține întotdeauna zerouri și simetric față de diagonala principală = – .

2. ALGEBRA MATRICELOR

Să ne uităm la operațiile pe matrice, dar mai întâi vom introduce câteva concepte noi.

Două matrici A și B se numesc matrici de același ordin dacă au același număr de rânduri și același număr de coloane.

Exemplu. și sunt matrici de același ordin 2´3;

Și sunt matrici de ordine diferite, deoarece 2´3≠3´2.

Conceptele de „mai mult” și „mai puțin” nu sunt definite pentru matrice.

Se spune că matricele A și B sunt egale dacă sunt de același ordin m´n, și = , unde 1, 2, 3, …, m și j = 1, 2, 3, …, n.

Înmulțirea unei matrice cu un număr.

Înmulțirea matricei A cu numărul λ are ca rezultat înmulțirea fiecărui element al matricei cu numărul λ:

λA = , λR.

Din această definiție rezultă că factorul comun al tuturor elementelor matricei poate fi scos din semnul matricei.

Exemplu.

Fie matricea A =, apoi 5A= =.

Fie matricea B = = = 5.

Proprietățile înmulțirii unei matrice cu un număr :

2) (λμ)А = λ(μА) = μ(λА), unde λ,μ R;

3) (λA) = λA;

Suma (diferența) matricelor .

Suma (diferența) este determinată numai pentru matrice de același ordin m´n.

Suma (diferența) a două matrice A și B de ordinul m´n este o matrice C de același ordin, unde = ± ( 1, 2, 3, …, m ,

j= 1, 2, 3, …, n.).

Cu alte cuvinte, matricea C este formată din elemente egale cu suma (diferența) elementelor corespunzătoare ale matricelor A și B.

Exemplu . Aflați suma și diferența matricelor A și B.

atunci =+= =,

=–==.

Daca = , = , atunci A ± B nu există, deoarece matricele sunt de ordine diferită.

Din definițiile de mai sus rezultă proprietăți sume matriceale:

1) comutativitatea A+B=B+A;

2) asociativitatea (A+B)+C=A+(B+C);

3) distributivitatea la înmulțirea cu numărul λR: λ(A+B) = λA+λB;

4) 0+A=A, unde 0 este o matrice zero;

5) A+(–A)=0, unde (–A) este matricea opusă matricei A;

6) (A+B)= A+B.

Produsul matricelor.

Funcționarea produsului nu este definită pentru toate matricele, ci doar pentru cele potrivite.

Matricele A și B se numesc ne-am înțeles asupra , dacă numărul de coloane ale matricei A este egal cu numărul de rânduri ale matricei B. Deci, dacă , , m≠k, atunci matricele A și B sunt consistente, deoarece n = n, iar în ordine inversă, matricele B și A sunt inconsecvente, deoarece m ≠ k. Matricele pătrate sunt consistente atunci când au același ordin n, iar atât A și B, cât și B și A sunt consistente. Dacă , a , atunci matricele A și B, precum și matricele B și A, vor fi consistente, deoarece n = n, m = m.

Produsul a două matrici potrivite și

A= , V=

se numește matrice C de ordinul m´k:

=∙, ale căror elemente sunt calculate folosind formula:

(1, 2, 3, …, m, j=1, 2, 3, …, k),

adică elementul rândului i și coloanei j a matricei C este egal cu suma produselor tuturor elementelor din rândul i al matricei A cu elementele corespunzătoare ale coloanei j a matricea B.

Exemplu . Aflați produsul matricelor A și B.

∙===.

Produsul matricelor BA∙A nu există, deoarece matricele B și A nu sunt consistente: matricea B este de ordin 2´2, iar matricea A este de ordin 3´2.

Sa luam in considerare proprietăți produse ale matricelor:

1 ) necomutativitate: AB ≠ BA, chiar dacă A și B, și B și A sunt consecvente. Dacă AB = BA, atunci matricele A și B se numesc comutație (matricele A și B în acest caz vor fi neapărat pătrate).

Exemplul 1 . = , = ;

==;

==.

Este evident că ≠ .

Exemplul 2 . = , = ;

= = =;

= = = .

Concluzie: ≠, deși matricele sunt de aceeași ordine.

2 ) pentru orice matrice pătrată, matricea de identitate E comută la orice matrice A de același ordin și, ca rezultat, obținem aceeași matrice A, adică AE = EA = A.

Exemplu .

===;

===.

3 ) A·0 = 0·A = 0.

4 ) produsul a două matrici poate fi egal cu zero, în timp ce matricele A și B pot fi nenule.

Exemplu .

= ==.

5 ) asociativitatea ABC=A(BC)=(AB)C:

· (·

Exemplu .

Avem matrici, , ;

atunci Aּ(BּC) = (·

(AּB)ּC=

===

==.

Astfel, am arătat prin exemplu că A(B) = (A)C.

6 ) distributivitatea în raport cu adaosul:

(A+B)∙C = AC + BC, A∙(B + C) = AB + AC.

7) (A∙B)= B∙A.

Exemplu.

, =.

Apoi AB =∙==

=(A∙B)= =

ÎN ∙A =∙ = ==.

Prin urmare, ( A∙B)= ÎN A .

8 ) λ(AּB) = (λA)ּ B = Aּ (λB), λ,R.

Sa luam in considerare exemple tipice pentru a efectua operații pe matrice, adică trebuie să găsiți suma, diferența, produsul (dacă există) a două matrici A și B.

Exemplul 1 .

, .

Soluţie.

1) + = = =;

2) – ===;

3) produsul nu există, deoarece matricele A și B sunt inconsistente; totuși, produsul nu există din același motiv.

Exemplul 2 .

Soluţie.

1) suma matricelor, precum și diferența lor, nu există, deoarece matricele originale sunt de ordine diferită: matricea A are ordinul 2´3, iar matricea B are ordinul 3´1;

2) deoarece matricele A și B sunt consistente, atunci produsul matricelor A și B există:

·=·= =,

produsul matricelor ВּА nu există, deoarece matricele și sunt inconsistente.

Exemplul 3.

Soluţie.

1) suma matricelor, precum și diferența lor, nu există, deoarece matricele originale sunt de ordine diferită: matricea A are ordinul 3´2, iar matricea B are ordinul 2´3;

2) produsul ambelor matrici AּB și BּA există, deoarece matricele sunt consistente, dar rezultatul unor astfel de produse vor fi matrici de ordine diferite: ·=, ·=.

= = ;

·=·= =

În acest caz, AB ≠ BA.

Exemplul 4 .

Soluţie.

1) +===,

2) –= ==;

3) produs ca matrice A ּ ÎN, asa de ÎN ּ A, există deoarece matricele sunt consistente:

·==·= =;

·==·= =

=≠, adică matricele A și B nu fac navetă.

Exemplul 5 .

Soluţie.

1) +===,

2) –===;

3) produsul ambelor matrici AּB și BּA există, deoarece matricele sunt consistente:

·==·= =;

·==·= =

АּВ=ВּА, adică aceste matrice fac naveta.

CURTEA 2. DETERMINANȚI

Plan

1. Determinanții unei matrici pătrate și proprietățile acestora.

2. Laplace și teoremele de anulare.

Concepte cheie

Complement algebric al unui element determinant.

Element minor al determinantului.

Determinant de ordinul doi.

Determinant de ordinul trei.

Determinant de ordine arbitrară.

teorema lui Laplace.

Teorema anulării.

1. DETERMINANȚII UNEI MATRICE PĂTRATĂ ȘI PROPRIETĂȚILE LOR

Fie A o matrice pătrată de ordinul n:

A= .

Fiecare astfel de matrice poate fi asociată cu un singur număr real, numit determinant al matricei și notat

Det A= Δ= .

Rețineți că determinantul există numai pentru pătrat matrici

Să luăm în considerare regulile de calcul a determinanților și proprietățile lor pentru matrice pătrată de ordinul doi și al treilea, pe care le vom numi determinanți de concizie de ordinul doi și, respectiv, al treilea.

Determinant de ordinul doi matricea este un număr determinat de regula:

adică determinantul de ordinul doi este un număr egal cu produsul elementelor diagonalei principale minus produsul elementelor diagonalei secundare.

Exemplu .

Atunci == 4 3 – (–1) 2=12 + 2 = 14.

Trebuie amintit că parantezele rotunde sau pătrate sunt folosite pentru a desemna matrice, iar pentru determinant - linii verticale. O matrice este un tabel de numere, iar un determinant este un număr.

Din definiţia unui determinant de ordinul doi rezultă că proprietăți :

1. Determinantul nu se va schimba dacă toate rândurile sale sunt înlocuite cu coloanele corespunzătoare:

2. Semnul determinantului se schimbă în sens opus la rearanjarea rândurilor (coloanelor) determinantului:

3. Factorul comun al tuturor elementelor rândului (coloanei) determinantului poate fi scos din semnul determinantului:

4. Dacă toate elementele unui anumit rând (coloană) unui determinant sunt egale cu zero, atunci determinantul este egal cu zero.

5. Determinantul este egal cu zero dacă elementele corespunzătoare ale rândurilor (coloanelor) sale sunt proporționale:

6. Dacă elementele unui rând (coloană) a unui determinant sunt egale cu suma a doi termeni, atunci un astfel de determinant este egal cu suma a doi determinanți:

=+, =+.

7. Valoarea determinantului nu se va modifica dacă elementele corespunzătoare dintr-un alt rând (coloană) sunt adăugate (scăzute) elementelor rândului (coloanei) acestuia, înmulțite cu același număr:

=+=,

deoarece =0 prin proprietatea 5.

Vom considera mai jos proprietățile rămase ale determinanților.

Să introducem conceptul de determinant de ordinul trei: determinant al treilea Ordin al unei matrice pătrate este numărul

Δ == det A= =

=++– – – ,

adică fiecare termen din formula (2) este un produs al elementelor determinantului, luate unul și numai unul din fiecare rând și fiecare coloană. Pentru a vă aminti ce produse din formula (2) ar trebui luate cu semnul plus și care cu semnul minus, este util să cunoașteți regula triunghiurilor (regula lui Sarrus):

Exemplu . Calculați determinant

==

Trebuie remarcat faptul că proprietățile determinantului de ordinul doi discutate mai sus sunt transferate fără modificări în cazul determinanților de orice ordin, inclusiv a celui de-al treilea.

2. TEOREME LAPLACE ȘI ANULARE

Să luăm în considerare încă două proprietăți foarte importante ale determinanților.

Să introducem conceptele de complement minor și algebric.

Element minor al determinantului este un determinant obținut din determinantul inițial prin tăierea rândului și coloanei cărora le aparține acest element. Minorul unui element este notat cu .

Exemplu . = .

Atunci, de exemplu, = , = .

Adunarea algebrică a unui element Determinantul se numește minorul său, luat cu semnul. Vom nota complementul algebric, adică =.

De exemplu:

= , === –,

Să revenim la formula (2). Grupând elementele și luând factorul comun din paranteze, obținem:

=(– ) +( – ) +(–)=

Egalitățile sunt dovedite în mod similar:

1, 2, 3; (3)

Formulele (3) se numesc formule de expansiune determinant prin elemente ale rândului i (coloana j) sau formule Laplace pentru un determinant de ordinul trei.

Deci primim a opta proprietate a determinantului :

teorema lui Laplace . Determinantul este egal cu suma tuturor produselor elementelor oricărui rând (coloană) prin complementele algebrice corespunzătoare ale elementelor acestui rând (coloană).

Rețineți că această proprietate a unui determinant nu este altceva decât definiția unui determinant de orice ordin. În practică, este folosit pentru a calcula determinantul oricărei ordine. De regulă, înainte de a calcula determinantul, folosind proprietățile 1–7, se asigură, dacă este posibil, că în orice rând (coloană) toate elementele, cu excepția unuia, sunt egale cu zero și apoi le aranjează în funcție de elementele rândului (coloană). ).

Exemplu . Calculați determinant

== (scădeți primul din a doua linie) =

== (scădeți primul din a treia linie)=

== (extindem determinantul în elementele celui de-al treilea

rânduri) = 1ּ = (scădeți prima coloană din a doua coloană) = = 1998ּ0 – 1ּ2 = –2.

Exemplu .

Să luăm în considerare un determinant de ordinul al patrulea. Pentru a o calcula, vom folosi teorema lui Laplace, adică descompunerea în elementele unui rând (coloană).

== (deoarece a doua coloană conține trei elemente zero, vom extinde determinantul în elementele celei de-a doua coloane)= =3ּ= (din al doilea rând îl scadem pe primul, înmulțit cu 3, iar din al treilea rând îl scadem scădeți primul, înmulțit cu 2) =

3 = (extindem determinantul în elementele primei coloane) = 3ּ1ּ =

A noua proprietate determinantul se numeste teorema anulării :

suma tuturor produselor elementelor unui rând (coloană) a determinantului cu complementele algebrice corespunzătoare ale elementelor altui rând (coloană) este egală cu zero, adică

++ = 0,

Exemplu .

= = (se descompune în elemente ale liniei a treia)=

0ּ+0ּ+ּ = –2.

Dar, pentru același exemplu: 0ּ+0ּ+1ּ=

0ּ +0ּ+1ּ = 0.

Dacă determinantul oricărei ordine are formă triunghiulară

=, atunci este egal cu produsul elementelor de pe diagonală:

=ּּ…ּ. (4)

Exemplu. Calculați determinantul.

=

Uneori, atunci când se calculează determinantul folosind transformări elementare, este posibil să-l reducă la formă triunghiulară, după care se aplică formula (4).

În ceea ce privește determinantul produsului a două matrici pătrate, acesta este egal cu produsul determinanților acestor matrici pătrate: .

PRELEZA 3. MATRICE INVERSA

Plan

1. Conceptul de matrice inversă. Unicitatea matricei inverse.

2. Algoritm pentru construirea matricei inverse.

Proprietățile unei matrice inverse.

Concepte cheie

Matrice inversă.

Matrice adjunctă.

1. CONCEPTUL DE MATRICE INVERSA.

UNICITATEA MATRICEI INVERSE

În teoria numerelor, împreună cu un număr, ei definesc numărul opus acestuia () astfel încât , iar numărul opus acestuia astfel încât . De exemplu, pentru numărul 5 ar fi opusul

(– 5), iar inversul va fi . În mod similar, în teoria matricelor am introdus deja conceptul de matrice opusă, desemnarea acesteia (– A). Matrice inversă pentru o matrice pătrată A de ordinul n se numește matrice dacă egalitățile sunt îndeplinite

Unde E– matricea identitară de ordinul n.

Să observăm imediat că matricea inversă există numai pentru matrice pătrată nesingulară.

Matricea pătrată se numește nedegenerate (nesingular) dacă detA ≠ 0. Dacă detA = 0, atunci matricea A se numește degenerat (special).

Rețineți că matricea nesingulară A are un unic matrice inversă. Să demonstrăm această afirmație.

Lăsați pentru matrice A există două matrici inverse, adică

Apoi =ּ=ּ() =

Q.E.D.

Să găsim determinantul matricei inverse. Deoarece determinantul produsului a două matrice A și B de același ordin este egal cu produsul determinanților acestor matrici, adică, prin urmare, produsul a două matrice nesingulare AB este o matrice nesingulară.

Concluzionăm că determinantul matricei inverse este inversul determinantului matricei originale.

2. ALGORITM DE CONSTRUIRE A MATRICEI INVERSE.

PROPRIETĂȚI ALE MATRICEI INVERSE

Să arătăm că dacă matricea A este nesingulară, atunci există o matrice inversă pentru ea și o vom construi.

Să creăm o matrice din adunări algebrice elemente ale matricei A:

Transpunându-l, obținem așa-numitul atașat matrice:

.

Să găsim produsul ּ. Luând în considerare teorema lui Laplace și teorema de anulare:

ּ = =

=.

Încheiem:

Algoritm pentru construirea unei matrice inverse.

1) Calculați determinantul matricei A. Dacă determinantul este zero, atunci nu există o matrice inversă.

2) Dacă determinantul matricei nu este egal cu zero, atunci compuneți din complementele algebrice ale elementelor corespunzătoare ale matricei A matrice.

3) Prin transpunerea matricei se obține matricea adiacentă.

4) Folosind formula (2), creați o matrice inversă.

5) Utilizând formula (1), verificați calculele.

Exemplu . Aflați matricea inversă.

A). Fie A=. Deoarece matricea A are două rânduri identice, determinantul matricei este egal cu zero. Prin urmare, matricea este singulară și nu există o matrice inversă pentru aceasta.

b). Lăsa A =.

Să calculăm determinantul matricei

matricea inversă există.

Să creăm o matrice de adunări algebrice

= = ;

transpunând matricea, obținem matricea adjunctă

folosind formula (2) găsim matricea inversă

==.

Să verificăm exactitatea calculelor

= = .

Prin urmare, matricea inversă construită este corectă.

Proprietățile unei matrice inverse

1. ;

2. ;

3. .

4. SARCINI ȘI EXERCIȚII

4.1 Matrici și operații asupra acestora

1. Aflați suma, diferența, produsul a două matrici A și B.

A) , ;

b) , ;

V) , ;

G) , ;

d) , ;

e) , ;

și) , ;

h), ;

Și) , .

2. Demonstrați că matricele A și B fac navetă.

A) , ; b) , .

3. Date matrice A, B și C. Să se arate că (AB)·C=A·(BC).

A) , , ;

b) , , .

4. Calculați (3A – 2B) C, dacă

, , .

5. Aflați dacă

A) ; b) .

6. Aflați matricea X dacă 3A+2X=B, unde

, .

7. Găsiți ABC dacă

A) , , ;

b) , , .

RĂSPUNSURI PE TEMA „MATRICE ȘI ACȚIUNI ASUPRA ELE”

1. a) , ;

b) produsele AB și BA nu există;

V) , ;

G) , ;

e) nu există sume, diferențe și produse ale matricelor VA, ;

e), ;

g) produsele matrice nu există;

h) , ;

Și) , .

2. a) ; b) .

3. a) ; b) .

4. .

5. a) ; b) .

6. .

7. a) ; b) .

4.2 Determinanți

1. Calculați determinanții

A) ; b) ; V) ; G) ; d) ; e) ;

și) ; h) .

3. Folosind regula triunghiurilor, calculați determinanții

A) ; b) ; V) ; G).

4. Calculați determinanții din exemplul 2 folosind teorema lui Laplace.

5. Calculați determinanții, simplificându-i anterior:

A) ; b) ; V) ;

G) ; d) ; e) ;

și) .

6. Calculați determinantul reducându-l la formă triunghiulară

.

7. Fie date matricele A și B. Demonstrați că :

, .

RĂSPUNSURI PE TEMA „CALIFICAȚI”

1. a) 10; b) 1; c) 25; d) 16; e) 0; e) –3; g) -6; h) 1.

2. a) –25; b) 168; la 21; d) 12.

3. a) –25; b) 168; la 21; d) 12.

4. a) 2; b) 0; c) 0; d) 70; e) 18; e) –66; g) -36.

4.3 Matricea inversă

1. Aflați matricea inversă:

A) ; b) ; V) ; G) ;

d) ; e) ; și) ; h) ;

Și) ; La) ; l) ;

m) ; m) .

2. Găsiți matricea inversă și verificați dacă este îndeplinită condiția:

A) ; b) .

3. Demonstrați egalitatea :

A) , ; b) ,.

4. Demonstrați egalitatea :

A) ; b) .

RĂSPUNSURI PE TEMA „MATRICE INVERSA”

1. a) ; b) ; V) ; G) ;

d) ; e) ; și) ;

h) ; Și) ;

La) ; l) ;

m) ; m) .

2. a) ; b) .

2. a) , , =;

b) , ,

=.

5. a) , ,

, ;

b) , ,

, .

5. SARCINI INDIVIDUALE

1. Calculați determinantul prin expansiune

a) pe linia i-a;

b) de-a lungul coloanei j-a.

1.1. ; 1.2. ; 1.3. ;

i=2, j=3. i=4, j=1. i=3, j=2.

1.4. ; 1.5. ; 1.6. ;

i=3, j=3. i=1, j=4. i=2, j=2.

1.7. ; 1.8. ; 1.9. ;

i=4, j=4. i=2, j=2. i=3, j=2.

1.10. ; 1.11. ; 1.12. ;

i=2, j=1. i=1, j=2. i=3, j=2.

1.13. ; 1.14. ; 1.15. ;

i=2, j=3. i=1, j=3. i=4, j=2.

1.16. ; 1.17. ; 1.18. ;

i=2, j=3. i=2, j=4. i=1, j=3.

1.19. ; 1.20. ; 1.21. ;

i=2, j=2. i=1, j=4. i=3, j=2.

1.22. ; 1.23. ; 1.24. ;

i=1, j=3. i=2, j=1. i=3, j=4.

1.25. ; 1.26. ; 1.27. ;

i=4, j=3. i=3, j=3. i=1, j=2.

1.28. ; 1.29. ; 1.30. .

i=3, j=3. i=2, j=1. i=3, j=2.

LITERATURĂ

1. Zhevnyak R.M., Karpuk A.A. Matematică superioară. – Mn.: Mai sus. şcoală, 1992.- 384 p.

2. Gusak A.A. Un ghid de referință pentru rezolvarea problemelor: geometrie analitică și algebră liniară. – Mn.: Tetrasystems, 1998.- 288 p.

3. Markov L.N., Razmyslovich G.P. Matematică superioară. Partea 1. –Mn.: Amalthea, 1999. – 208 p.

4. Belko I.V., Kuzmich K.K. Matematică superioară pentru economiști. I semestru. M.: Cunoștințe noi, 2002.- 140 p.

5.Kovalenko N.S., Minchenkov Yu.V., Ovseets M.I. Matematică superioară. Manual indemnizatie. -Mn.: CIUP, 2003. – 32 p.