Cea mai importantă caracteristică a proceselor aleatoare staționare este densitatea spectrală a puterii, care descrie distribuția puterii zgomotului pe spectrul de frecvență. Să considerăm un proces aleator staționar, care poate fi reprezentat printr-o secvență aleatorie de impulsuri de tensiune sau curent care se succed la intervale de timp aleatorii. Un proces cu o secvență aleatorie de impulsuri este neperiodic. Cu toate acestea, putem vorbi despre spectrul unui astfel de proces, adică în acest caz cu spectru distribuția puterii pe frecvențe.

Pentru a descrie zgomotul, este introdus conceptul de densitate spectrală de putere (PSD) a zgomotului, numit și în cazul general densitate spectrală (SP) a zgomotului, care este determinat de relația:

unde  P(f) - puterea de zgomot medie în timp în banda de frecvență f la frecventa de masurare f.

După cum rezultă din relația (2.10), frecvența zgomotului are dimensiunea W/Hz. În general, SP este o funcție de frecvență. Se numește dependența zgomotului SP de frecvență spectrul energetic, care transportă informații despre caracteristicile dinamice ale sistemului.

Dacă un proces aleatoriu este ergodic, atunci spectrul energetic al unui astfel de proces poate fi găsit din implementarea sa unică, care este utilizată pe scară largă în practică.

Când se iau în considerare caracteristicile spectrale ale unui proces aleator staționar, este adesea necesar să se utilizeze conceptul de lățime a spectrului de zgomot. Aria de sub curba spectrului energetic al unui proces aleatoriu, legată de frecvența zgomotului la o anumită frecvență caracteristică f 0 este numit lățimea efectivă a spectrului, care este determinată de formula:

(2.11)

Această mărime poate fi interpretată ca lățimea spectrului energetic uniform al unui proces aleatoriu în bandă
, echivalent în putere medie procesul luat în considerare.

Putere de zgomot P, cuprinse în banda de frecvență f 1 …f 2 este egal cu

(2.12)

Dacă zgomotul SP în banda de frecvență f 1 ...f 2 este constantă și egală S 0, atunci pentru puterea de zgomot într-o bandă de frecvență dată avem:
unde f=f 2 -f 1 – banda de frecventa parcursa de circuit sau dispozitiv de masura.

Un caz important de proces aleator staționar este zgomotul alb, pentru care densitatea spectrală nu depinde de frecvență pe o gamă largă de frecvențe (teoretic, pe o gamă de frecvență infinită). Spectrul energetic al zgomotului alb în domeniul de frecvență -∞< f < +∞ este dat de:

= 2S 0 = const, (2,13)

Modelul de zgomot alb descrie un proces aleatoriu fără memorie (fără efect secundar). Zgomotul alb apare în sistemele cu un număr mare de elemente omogene simple și se caracterizează printr-o distribuție normală a amplitudinii fluctuațiilor. Proprietățile zgomotului alb sunt determinate de statisticile evenimentelor independente independente (de exemplu, mișcarea termică a purtătorilor de sarcină într-un conductor sau semiconductor). Cu toate acestea, zgomotul alb adevărat cu o bandă de frecvență infinită nu există, deoarece are putere infinită.

În fig. 2.3. prezintă o oscilogramă tipică a zgomotului alb (dependența valorilor tensiunii instantanee în timp) (Fig. 2.3a) și funcția de distribuție a probabilității a valorilor tensiunii instantanee e, care este o distribuție normală (Fig. 2.3b). Zona umbrită de sub curbă corespunde probabilității de apariție a valorilor instantanee ale tensiunii e, depășind valoarea e 1 .

Orez. 2.3. Oscilograma tipică a zgomotului alb (a) și funcția de distribuție a densității de probabilitate a valorilor instantanee ale amplitudinii tensiunii de zgomot (b).

În practică, atunci când se evaluează nivelul de zgomot al oricărui element sau sub-dispozitiv, se măsoară de obicei tensiunea medie pătratică a zgomotului. în unități de V 2 sau curent rms în unități de A 2. În acest caz, zgomotul SP este exprimat în unități de V 2 / Hz sau A 2 / Hz, iar densitățile spectrale ale fluctuațiilor de tensiune S u (f) sau curent S eu (f) se calculează folosind următoarele formule:

(2.14)

Unde
și – tensiunea și curentul de zgomot medii în timp în banda de frecvență f respectiv. Bara de mai sus înseamnă o medie în timp.

În problemele practice, când se iau în considerare fluctuațiile diferitelor mărimi fizice, se introduce conceptul de densitate spectrală generalizată a fluctuațiilor. În acest caz, SP de fluctuații, de exemplu, pentru rezistență R exprimat în unități de Ohm 2 /Hz; Fluctuațiile inducției magnetice sunt măsurate în unități de T 2 /Hz, iar fluctuațiile frecvenței auto-oscilatorului sunt măsurate în unități de Hz 2 /Hz = Hz.

Când se compară nivelurile de zgomot în rețele liniare cu două terminale de același tip, este convenabil să se utilizeze densitatea spectrală relativă a zgomotului, care este definită ca

=
, (2.15)

Unde u– Căderea de tensiune continuă într-o rețea liniară cu două terminale.

După cum se poate observa din expresia (2.15), densitatea spectrală relativă a zgomotului S(f) se exprimă în unități de Hz -1.

Să fie dat un semnal care caracterizează schimbarea tensiunii sau curentului în timp. Apoi va determina puterea instantanee eliberată la o rezistență de 1 ohm.

Atunci puterea medie a semnalului într-un interval de timp dat este:

Dacă semnalul este periodic, atunci puterea medie poate fi obținută prin medierea unei perioade de repetare a semnalului. În cazul unui semnal neperiodic absolut integrabil, intervalul de integrare poate fi extins pe toată axa temporală:

Se poate observa că puterea medie a unui semnal neperiodic absolut integrabil este zero atunci când se face media pe un interval de timp infinit. În mod similar, energia unui semnal periodic de-a lungul întregii axe a timpului este egală cu infinitul.

Astfel, putem caracteriza semnale periodice care se repetă pe toate axele timpului prin putere medie finită, deoarece energia lor este infinită. Semnalele neperiodice sunt caracterizate de energie finită deoarece puterea lor medie pe toate axele timpului este zero.

Expresiile (1)-(3) sunt valabile și pentru un semnal complex. În acest caz, puterea instantanee poate fi definită ca .

Produsul punctual al semnalelor. Formula Rayleigh generalizată

Fie date două semnale și, în cazul general complex. Produsul scalar al semnalelor este o valoare egală cu:

Integrala (4) returnează un număr (scalar), în general complex.

Rețineți că produsul punctual al unui semnal cu el însuși returnează energia semnalului dat:

Apoi produsul scalar (4) poate fi interpretat ca valoarea energiei reciproce a semnalelor și , i.e. gradul de influență reciprocă a unui semnal asupra altuia. Dacă două semnale au un produs scalar zero, atunci se spune că sunt ortogonale.

Să substituim în (4) transformata Fourier inversă a densității sale spectrale . Apoi:

Să schimbăm ordinea integrării în (6):

Putem concluziona: produsul scalar al semnalelor din domeniul timp, până la un factor , este egal cu produsul scalar al densităților spectrale ale acestor semnale. Expresia (7) se numește formula Rayleigh generalizată.

Egalitatea lui Parseval

Anterior, am considerat deja egalitatea lui Parseval, care raportează puterea medie a unui semnal periodic. Pentru semnalele neperiodice, putem obține o egalitate similară a energiei semnalului în timp și în domeniul frecvenței. Pentru a face acest lucru, înlocuim în formula generalizată Rayleigh și obținem:

Sau ținând cont de (4) egalitatea lui Parseval:

Astfel, energia semnalului în domeniile timp și frecvență este egală cu un factor.

Dacă în expresiile (7)-(9) folosim în schimb frecvența exprimată în herți frecventa ciclica, măsurată în unități de rad/s, atunci factorul se reduce:

Densitatea spectrală a energiei semnalului

Când sa luat în considerare tranziția limitativă la transformata Fourier, a fost introdus conceptul de densitate spectrală a unui semnal și a fost dată o analogie pentru a explica conceptul de densitate spectrală și diferența acestuia față de spectrul unui semnal periodic.

Din egalitatea (9) rezultă că energia semnalului poate fi reprezentată ca o integrală de-a lungul întregii axe a frecvenței:

Apoi, folosind aceeași analogie ca în secțiune, în special comparând (12) cu, putem concluziona care este densitatea de energie spectrală a semnalului. Prin integrarea pe toată axa, obținem energia totală a semnalului, la fel cum integrând densitatea tijei pe lungime, obținem masa totală. Densitatea de energie spectrală este pătratul răspunsului în frecvență al semnalului. De asemenea, este o funcție reală nenegativă a frecvenței. Densitatea de energie spectrală a unui semnal este măsurată în unități de joule pe hertz (J/Hz) sau watt ori secundă pătrată (Ws).

Să facem o notă importantă. Densitatea de energie spectrală ignoră răspunsul de fază al semnalului. Apoi putem concluziona că aceeași densitate de energie spectrală poate corespunde multor semnale diferite având același răspuns în frecvență și caracteristici diferite de răspuns la fază.

Densitățile spectrale ale semnalelor au un caracter descrescător în raport cu frecvența, iar în practică este importantă analiza comportamentului densității spectrale descrescătoare cu creșterea frecvenței. Cu toate acestea, analiza grafică poate fi dificilă din cauza ratei mari de scădere a densității spectrale cu frecvența, iar în cazul densității energiei spectrale este de două ori dificilă, deoarece pătrarea răspunsului în frecvență nu face decât să accelereze scăderea. Prin urmare, reprezentarea densității energiei spectrale la scară logaritmică, exprimată în unități de decibeli (dB), a devenit larg răspândită:

Ca exemplu, Figura 1 arată densitățile de energie spectrală ale impulsurilor dreptunghiulare, triunghiulare, exponențiale cu două capete și Gaussiene la scară liniară și logaritmică.

Figura 1. Densitatea de energie spectrală a unor semnale
a - la scară liniară; b - pe o scară logaritmică

După cum se poate observa din Figura 1a, densitățile de energie spectrală ale impulsurilor la scară liniară practic se îmbină și sunt foarte greu de distins.

Scara logaritmică pentru reprezentarea densității energiei spectrale este convenabilă atunci când se compară caracteristicile semnalului. Dacă energiile a două semnale diferă cu un factor de 100, atunci pe o scară logaritmică raportul energiilor lor este de 20 dB. Dacă energiile diferă cu un factor de 1.000.000, atunci pe o scară logaritmică aceasta corespunde la 60 dB. Dublarea energiei semnalului, pe o scară logaritmică, corespunde unei creșteri de 3 dB.

Concluzii

În această secțiune, am examinat caracteristicile energetice ale semnalelor periodice și neperiodice. Am arătat că semnalele periodice au energie infinită, dar putere medie finită. Puterea medie a semnalelor neperiodice tinde spre zero, iar energia lor este finită.

A fost introdus conceptul de produs scalar al semnalelor și s-a obținut o formulă Rayleigh generalizată care relaționează produsul scalar în domeniile timp și frecvență.

Egalitatea Parseval este stabilită pentru semnalele neperiodice, ca un caz special al formulei Rayleigh.

Este introdus conceptul de densitate de energie spectrală ca modul pătrat al densității spectrale a semnalului. De asemenea, este luată în considerare reprezentarea densității energiei spectrale pe scale liniare și logaritmice pentru diferite semnale.

Vezi de asemenea

Referințe

Baskakov, S.I. Moscova, LENAND, 2016, 528 p. ISBN 978-5-9710-2464-4

Gonorovsky I.S. Circuite și semnale radio Moscova, Radio sovietică, 1977, 608 p.

Corporația Internațională de Educație

Facultatea de Științe Aplicate

Abstract

pe subiect„Spectrul de densitate a puterii și relația sa cu funcția de corelare”

Prin disciplină„Teoria comunicațiilor electrice »

Finalizat: elev de grup

FPN-REiT(z)-4S *

Dzhumageldin D

Verificat: Glukhova N.V.

Almaty, 2015

I Introducere

II Partea principală

1. Densitatea spectrală de putere

1.1 Variabile aleatorii

1.2 Densitatea de probabilitate a unei funcții a unei variabile aleatoare

2. Proces aleatoriu

3. Metoda de determinare a densitatii spectrale de putere prin funcția de corelare

III Concluzie

IV Lista literaturii folosite

Introducere

Teoria probabilității ia în considerare variabilele aleatoare și caracteristicile lor în „statică”. Problema descrierii și studierii semnalelor aleatorii „în dinamică”, ca reflectare a fenomenelor aleatorii care se dezvoltă în timp sau în funcție de orice altă variabilă, este rezolvată de teoria proceselor aleatorii.

De regulă, vom folosi variabila „t” ca coordonată universală pentru distribuția variabilelor aleatoare pe o variabilă independentă și o vom trata, pur pentru comoditate, ca o coordonată de timp. Distribuțiile variabilelor aleatoare în timp, precum și semnalele care le afișează sub orice formă matematică, sunt de obicei numite procese aleatorii. În literatura tehnică termenii „ semnal aleator„ și „proces aleatoriu” sunt folosite în mod interschimbabil.

În procesul de prelucrare și analiză a datelor fizice și tehnice, de obicei trebuie să se ocupe de trei tipuri de semnale descrise prin metode statistice. În primul rând, acestea sunt semnale informaționale care reflectă procese fizice de natură probabilistică, cum ar fi, de exemplu, actele de înregistrare a particulelor de radiații ionizante în timpul dezintegrarii radionuclizilor. În al doilea rând, semnalele informaționale care depind de anumiți parametri ai proceselor fizice sau obiectelor, ale căror valori sunt necunoscute în prealabil și care sunt de obicei supuse determinării din date semnale informative. Și în al treilea rând, acesta este zgomotul și interferența, care variază haotic în timp, care însoțesc semnalele informaționale, dar, de regulă, sunt independente din punct de vedere statistic de ele atât în ​​​​valorile lor, cât și în modificările în timp.

Densitatea spectrală de putere

Densitatea spectrală de putere permite să se judece proprietățile de frecvență ale unui proces aleatoriu. Își caracterizează intensitatea la frecvențe diferite sau, cu alte cuvinte, puterea medie pe unitatea de bandă de frecvență.

Distribuția puterii medii între frecvențe se numește spectru de putere. Dispozitivul care măsoară spectrul de putere se numește analizor de spectru. Spectrul găsit ca rezultat al măsurătorilor se numește spectru hardware.

Analizorul de spectru funcționează pe baza următoarelor metode de măsurare:

· metoda de filtrare;

· metoda de transformare conform teoremei Wiener-Hinchen;

· Metoda transformării Fourier;

· metoda folosind functii semn;

· metoda de aplicare hardware a functiilor ortogonale.

Particularitatea măsurării spectrului de putere este durata semnificativă a experimentului. Adesea depășește durata de existență a implementării, sau timpul în care rămâne staționaritatea procesului studiat. Estimările spectrului de putere obținute dintr-o implementare a unui proces ergodic staționar nu sunt întotdeauna acceptabile. Adesea este necesar să se efectueze numeroase măsurători, deoarece este necesară o medie a realizărilor atât în ​​timp, cât și pe ansamblu. În multe cazuri, implementările proceselor aleatoare studiate sunt pre-memorizate, ceea ce face posibilă repetarea de mai multe ori a experimentului, modificând durata analizei, folosind diferiți algoritmi și echipamente de procesare.

În cazul înregistrării preliminare a implementărilor unui proces aleatoriu, erorile hardware pot fi reduse la valori datorită duratei finite a implementării și a nestationarității.

Memorarea implementărilor analizate vă permite să accelerați analiza hardware și să o automatizați.

Variabile aleatorii

O variabilă aleatorie este descrisă de legile probabilistice. Probabilitatea ca o cantitate continuă X atunci când este măsurat va cădea în orice interval x 1<х <х 2 , este determinată de expresia:

, Unde p(x)- densitatea probabilității și . Pentru o variabilă aleatoare discretă x i P(x = x i)=P i, Unde P i- probabilitatea corespunzătoare nivelului i al mărimii X.

Cursul 7.

DENSITATEA PUTERII SPECTRALE A UNUI PROCES ALEATOARE

Când ne referim la un proces aleatoriu ca ansamblu (ansamblu) de realizări, este necesar să avem în vedere că realizările cu forme diferite corespund unor caracteristici spectrale diferite. Medierea densității spectrale complexe pe toate implementările conduce la un spectru zero al procesului (cu medie = 0) datorită aleatoriei și independenței fazelor componentelor spectrale în diferite implementări. Este posibil, totuși, să se introducă conceptul de densitate spectrală a pătratului mediu al unei variabile aleatoare, deoarece valoarea pătratului mediu nu depinde de relația de fază a armonicilor însumate. Dacă funcția aleatorie x(t) înseamnă tensiune sau curent electric, atunci pătratul mediu al acestei funcții poate fi considerată puterea medie eliberată într-o rezistență de 1 Ohm. Această putere este distribuită pe frecvențe dintr-o anumită bandă, în funcție de mecanismul de formare a procesului aleator. Densitatea spectrală medie a puterii este puterea medie pe Hz la o anumită frecvență ω . Densitatea spectrală introdusă în acest fel S(ω) în cele ce urmează vom numi spectrul energetic al funcţiei x(t) . Semnificația acestui nume este determinată de dimensiunea funcției S(ω) , care este raportul dintre putere și banda de frecvență:

[S(ω) ] = [ putere/lățime de bandă ] = [putere × timp] = [energie],

Spectrul energetic poate fi găsit dacă este cunoscut mecanismul de formare a procesului aleator. Aici ne vom limita la câteva definiții generale.

Metode de calcul PSD

Funcțiile de densitate spectrală pot fi definite în trei moduri echivalente diferite, pe care le vom analiza mai jos:

Utilizarea funcțiilor de covarianță;

Folosind transformata Fourier finită;

Folosind filtrarea, pătrarea și medierea.

Determinarea spectrelor folosind funcții de corelație.

Din punct de vedere istoric, prima modalitate de a determina densitatea spectrală a apărut în matematică. Constă în luarea transformării Fourier a unei funcții de corelație precalculate. După scăderea mijloacelor, astfel de transformări Fourier (infinite) există de obicei chiar dacă transformarea Fourier (infinită) a procesului original nu există. Această abordare oferă o densitate spectrală bidirecțională definită pentru frecvențe f de la - la + și notat S(f) .

Să existe funcții de corelare și corelație încrucișată R x(t), Ry(t) Şi Rxy(t) . Să presupunem, de asemenea, că integralele valorilor lor absolute sunt finite

R( d

În practică, aceste condiții sunt întotdeauna îndeplinite pentru implementări de lungime finită. Apoi funcționează PF R(t) există și sunt determinate de formule

S x (f)=

S y (f)= (1)

S xy (f)=

Astfel de integrale peste realizările finite există întotdeauna. Funcții S x(f) Şi S y(f) se numesc funcţii ale densităţii spectrale a proceselor x(t) Şi y(t) respectiv, sau pur și simplu densitățile spectrale și funcția se numește densitatea spectrală reciprocă a două procese x(t) Şi y(t) .

PF-urile inverse din formulele (1) dau

R x(τ ) =

Ry(τ ) = (2)

Rxy(τ ) = df.

Relațiile (1) și (2) se numesc formule Wiener-Khinchin, care în anii 30 au stabilit independent o legătură între funcțiile de corelație și densitatea spectrală prin PF. Când rezolvați probleme practice, trebuie să permiteți R(t) Şi S(f) prezența funcțiilor delta.

Din proprietățile de simetrie ale funcțiilor de covarianță staționară rezultă

S x (-f)= S x (f) o S xy (-f) = S yx (f)

Prin urmare, densitatea spectrală S x(f) este o funcție egală reală, a S xy(f) – funcţie complexă din f.

Apoi relațiile spectrale din (1) pot fi transformate în forma

Estimarea densității spectrale de putere prezintă o problemă binecunoscută pentru procesele aleatorii. Exemple de procese aleatorii includ zgomotul, precum și semnalele care transportă informații. De obicei, trebuie să găsiți o estimare stabilă statistic. Analiza semnalului este tratată în detaliu în cursul Procesare digitală a semnalului. Informațiile inițiale sunt prezentate în.

Pentru semnalele cu caracteristici statistice cunoscute, compoziția spectrală poate fi determinată din intervalul finit al acestui semnal. Dacă caracteristicile statistice ale unui semnal sunt necunoscute, doar o estimare a spectrului său poate fi obținută dintr-un segment de semnal. Metode diferite folosesc ipoteze diferite și, prin urmare, produc estimări diferite.

La alegerea unei estimări, se presupune că, în cazul general, semnalul analizat este un proces aleatoriu. Și este necesar să se selecteze o estimare imparțială cu dispersie scăzută, care să permită media spectrului de semnal. Prejudecata este diferența dintre estimarea medie și valoarea reală a unei cantități. Un estimator imparțial este un estimator cu părtinire zero. O estimare cu varianță scăzută localizează bine cantitățile dorite, adică. densitatea de probabilitate este concentrată în jurul valorii medii. Este recomandabil să existe o evaluare consecventă, de ex. o estimare care tinde către valoarea adevărată pe măsură ce dimensiunea eșantionului crește (biașia și varianța tind spre zero). Există estimări parametrice, care utilizează doar informații despre semnalul în sine, și estimări neparametrice, care utilizează un model statistic al unui semnal aleator și selectează parametrii acestui model.

La estimarea proceselor aleatoare, utilizarea funcțiilor de corelare este obișnuită.

Pentru un proces ergodic, este posibil să se determine parametrii statistici ai procesului prin medierea unei implementări.

Pentru proces aleator staționar funcţia de corelare R x (t) depinde de intervalul de timp pentru care este determinată. Această mărime caracterizează relația dintre valorile lui x(t) separate de intervalul t. Cu cât R(t) scade mai lent, cu atât este mai lung intervalul în care se observă o relație statistică între valorile procesului aleator.

unde este așteptarea matematică a lui x(t).

Relația dintre funcția de corelație R(t) și densitatea spectrală de putere W(w) pentru un proces aleator este determinată de teorema Wiener-Khinchin

Pentru procesele discrete, teorema Wiener-Khinchin stabilește o legătură între spectrul unui proces aleator discret W(w) și funcția sa de corelație R x (n)

W(w)= R x (n) exp(-j w n T)

Pentru a estima energia semnalului în domeniile timp și frecvență, se utilizează egalitatea lui Parseval

Una dintre modalitățile comune de a obține o estimare a densității spectrale este utilizarea metodei periodogramei.

Periodograma.În această metodă, se realizează o transformată Fourier discretă pentru semnalul x(n), specificat în puncte de eșantionare discrete de lungime N eșantioane și media sa statistică. Calculul propriu-zis al spectrului, X(k), se efectuează numai la un număr finit de puncte de frecvență N. Se aplică transformata Fourier rapidă (FFT). Se calculează densitatea spectrală de putere per probă de probă:

P xx (X k)=|X(k)| 2/N, X(k)=, k=0,1,…,N-1.

Pentru a obține o estimare stabilă statistic, datele disponibile sunt împărțite în eșantioane suprapuse, urmate de media spectrelor obținute pentru fiecare probă. Sunt specificate numărul de eșantioane pe eșantion N și deplasarea începutului fiecărei probe ulterioare față de începutul precedentului N t. Cu cât numărul de eșantioane din eșantion este mai mic, cu atât sunt mai multe eșantioane și cu atât estimările au mai puțină varianță. Dar, deoarece lungimea eșantionului N este legată de rezoluția de frecvență (2.4), o scădere a lungimii eșantionului duce la o scădere a rezoluției de frecvență.

Astfel, semnalul este vizualizat prin fereastră, iar datele care nu se încadrează în fereastră sunt considerate zero. Un semnal finit x(n) format din N eșantioane este de obicei reprezentat ca rezultat al înmulțirii unui semnal care este infinit în timp (n) la o fereastră dreptunghiulară cu lungime finită w R (n):

x(n) = (n)∙w R (n),

iar spectrul continuu X N (f) al semnalelor observate x(n) este definit ca convoluția imaginilor Fourier X(f), W R (f) a unui semnal infinit în timp (n)∙și ferestre w R (n)

X N (f)=X(f)*W R (f)=

Spectrul unei ferestre dreptunghiulare continue (rect) are forma unui sinus integral sinc(x)=sin(x)/x. Conține un lob principal și mai mulți lobi laterali, dintre care cel mai mare se află la aproximativ 13 dB sub vârful principal (vezi Fig. 15).

Imaginea Fourier (spectrul) a unei secvențe discrete obținute prin eșantionarea în N puncte a unei ferestre dreptunghiulare continue este prezentată în Fig. 32. Acesta poate fi calculat prin însumarea sinusurilor integrale deplasate (2.9), rezultând nucleul Dirichlet

Orez. 32. Spectrul unei ferestre dreptunghiulare discrete

În timp ce un semnal cu lungime infinită își va concentra puterea cu precizie la o frecvență discretă fk, un semnal eșantionat cu undă pătrată are un spectru de putere distribuit. Cu cât eșantionul este mai scurt, cu atât spectrul este mai distribuit.

În analiza spectrală, datele sunt ponderate folosind funcții de fereastră, reducând astfel influența „lobilor” laterali asupra estimărilor spectrale.

Pentru a detecta două armonici f 1 și f 2 cu frecvențe apropiate, este necesar ca pentru fereastra de timp T lățimea „lobului” principal Df -3 ≈ Df L =0 =1/T, determinată la o valoare de -3 dB, este mai mică decât diferența dintre frecvențele dorite

Df=f 1 -f 2 > Df -3

Lățimea ferestrei de timp T este legată de frecvența de eșantionare f s și de numărul de probe de eșantionare prin formula (2.4).

Instrumente de analiză armonică. Pentru studierea semnalelor, este foarte convenabil să folosiți pachetul MATLAB, în special, aplicația sa (Toolbox) Signal Processing.

Periodograme modificate utilizați funcții de fereastră non-dreptunghiulare care reduc efectul Gibbs. Un exemplu este utilizarea ferestrei Hamming. Dar, în același timp, lățimea lobului principal al spectrogramei se dublează aproximativ. Fereastra Kaiser a fost puțin mai optimizată. Creșterea lățimii lobilor principali la crearea filtrelor low-pass duce la o creștere a benzii de tranziție (între benzile de trecere și de oprire).

Funcția de punctare a lui Welch. Metoda constă în împărțirea datelor secvențiale de timp în segmente (eventual suprapuse), apoi procesarea fiecărui segment și apoi estimarea spectrului prin mediarea rezultatelor procesării segmentelor. Funcțiile ferestrei non-dreptunghiulare, cum ar fi fereastra Hamming, pot fi folosite pentru a îmbunătăți estimarea. Creșterea numărului de segmente reduce dispersia, dar în același timp rezoluția în frecvență a metodei scade. Metoda dă rezultate bune cu un mic exces de semnal util peste zgomot și este destul de des folosită în practică.

Figura 33 prezintă estimări ale compoziției armonice pentru date care conțin semnale utile de bandă îngustă și zgomot alb, cu eșantioane diferite (N=100, N=67) și folosind metode diferite.

Orez. 33. Estimarea armonicilor semnalului pentru transformarea FFT de 1024 puncte

Metode parametrice utilizați modele autoregresive (AR). Metodele construiesc modele de filtru și le folosesc pentru a estima spectre de semnal. Toate metodele, în prezența zgomotului în semnal, oferă estimări părtinitoare. Metodele sunt destinate procesării semnalelor cu componente armonice pe un fundal de zgomot. Ordinea metodei (filtrului) este setată la dublul numărului de armonici prezente în semnal. Au fost propuse mai multe metode parametrice.

Metoda Burg oferă rezoluție de înaltă frecvență pentru eșantioane scurte. Cu o ordine mare de filtrare, vârfurile spectrale sunt împărțite. Poziția vârfurilor spectrale depinde de fazele armonice inițiale.

Metoda covarianței vă permite să estimați spectrul unui semnal care conține suma componentelor armonice.

Metoda Yule-Walker dă rezultate bune pe probe lungi și nu este recomandată pentru probe scurte.

Metode de corelare. Metodele MISIC (Multiple Signal Classification) și EV (vectori proprii) produc rezultate sub forma unui pseudo-spectru. Metodele se bazează pe analiza vectorilor matricei de corelare a semnalului. Aceste metode oferă o rezoluție de frecvență puțin mai bună decât metodele de autocorelare.