Complement algebric- conceptul de algebră matriceală; în raport cu elementul aij al matricei pătrate A se formează prin înmulțirea minorului elementului aij cu (1)i+j; se notează cu Аij: Aij=(1)i+jMij, unde Mij este minorul elementului aij al matricei A=, adică. determinant...... Dicționar economic și matematic

complement algebric- Conceptul de algebră matriceală; în raport cu elementul aij al matricei pătrate A se formează prin înmulțirea minorului elementului aij cu (1)i+j; se notează cu Аij: Aij=(1)i+jMij, unde Mij este minorul elementului aij al matricei A=, adică. determinant de matrice,...... Ghidul tehnic al traducătorului

Vezi art. Determinant... Marea Enciclopedie Sovietică

Pentru un M minor, un număr egal cu unde M este un minor de ordinul k, situat în rânduri cu numere și coloane cu numere ale unei matrice pătrate A de ordinul n; determinant al unei matrice de ordin n k obținut din matricea A prin ștergerea rândurilor și coloanelor minorului M;... ... Enciclopedie matematică

Wikționarul are o intrare pentru „adăugare” Adăugarea poate însemna... Wikipedia

Operația pune o submulțime a unei mulțimi date X în corespondență cu o altă submulțime, astfel încât, dacă Mi N sunt cunoscute, atunci mulțimea X poate fi restaurată într-un fel sau altul În funcție de ce structură este înzestrată mulțimea X,... ... Enciclopedie matematică

Sau un determinant, la matematică, o înregistrare a numerelor sub formă de tabel pătrat, în corespondență cu care se pune un alt număr (valoarea determinantului). Foarte des, conceptul de determinant înseamnă atât sensul determinantului, cât și forma înregistrării acestuia.… … Enciclopedia lui Collier

Pentru o teoremă din teoria probabilităților, vezi articolul Teorema locală a lui Moivre-Laplace. Teorema lui Laplace este una dintre teoremele algebrei liniare. Numit după matematicianul francez Pierre Simon Laplace (1749 1827), căruia i se atribuie formularea ... ... Wikipedia

- (matricea laplaciană) una dintre reprezentările unui grafic folosind o matrice. Matricea Kirchhoff este folosită pentru a număra arborii care se întind ai unui graf dat (teorema arborelui matricei) și este, de asemenea, utilizată în teoria grafurilor spectrale. Cuprins 1... ...Wikipedia

O ecuație este o relație matematică care exprimă egalitatea a două expresii algebrice. Dacă o egalitate este adevărată pentru orice valori admisibile ale necunoscutelor incluse în ea, atunci se numește identitate; de exemplu, un raport al formei... ... Enciclopedia lui Collier

Cărți

• Matematică discretă, A. V. Chashkin. 352 p. Manualul este format din 17 capitole privind principalele secțiuni ale matematicii discrete: analiza combinatorie, teoria grafurilor, Funcții booleene, complexitatea computațională și teoria codificării. Conține...

Se numește minorul oricărui element al determinantului determinant al celui de-al doilea

ordinea obtinuta prin stergerea dintr-un determinat determinant a randului si coloana care contine acel element. Atât de minor pentru element

pentru element:

Complementul algebric al oricărui element al determinantului este minorul acestui element luat cu factorul , unde i este numărul rândului elementului, j este numărul coloanei. Astfel, complementul algebric al elementului este:

Exemplu. Găsiți complemente algebrice pentru elemente ale determinantului.

Teorema. Determinantul este egal cu suma produselor elementelor oricăreia dintre coloanele sau rândurile sale și complementele lor algebrice.

Cu alte cuvinte, următoarele egalități sunt valabile pentru determinant.

Dovada acestor egalități constă în înlocuirea adunărilor algebrice cu expresiile lor prin elementele determinantului și obținem expresia (3). Este sugerat să faceți acest lucru singur. Înlocuirea determinantului folosind una dintre cele șase formule se numește descompunerea determinantului în elementele coloanei sau rândului corespunzătoare. Aceste expansiuni sunt folosite pentru a calcula determinanții.

Exemplu. Calculați determinantul extinzându-l în elementele coloanei a doua.

Folosind teorema privind extinderea unui determinant de ordinul trei în elemente ale unui rând sau coloană, este posibil să se demonstreze validitatea proprietăților 1-8 pentru determinanții de ordinul trei. Se urmărește verificarea validității acestei declarații. Proprietățile determinanților și teorema privind descompunerea unui determinant în elemente ale unei coloane sau ale unui rând fac posibilă simplificarea calculelor determinanților.

Exemplu. Calculați determinantul.

Să calculăm multiplicator comun„2” elemente din al doilea rând și apoi același factor comun al elementelor din a treia coloană.

Să adăugăm elementele primei linii la elementele corespunzătoare din a doua linie, apoi celei de-a treia linie.

Să extindem determinantul în elementele primei coloane.

Matrice minori

Să fie dat un pătrat matrice A, n-a ordine. Minor oarecare element aij, se numește determinantul unei matrice de ordinul al n-lea determinant(n - 1) - ordinul al-lea, obținut din cel original prin tăierea rândului și coloanei la intersecția cărora se află elementul selectat aij. Notat de Mij.

Să ne uităm la un exemplu determinant al matricei 3 - ordinea sa:
Minori și complemente algebrice, determinantul matricei 3 este ordinea acesteia, apoi conform definiției minor, minor M12, corespunzător elementului a12, va fi determinant:În același timp, cu ajutorul minori poate ușura sarcina de calcul determinant al matricei. Trebuie să-l răspândim determinant matriceal de-a lungul unei linii și apoi determinant va fi egală cu suma tuturor elementelor acestei linii de către minorii lor. Descompunere determinant al matricei 3 - ordinea sa va arăta astfel:

, semnul din fața produsului este (-1) n, unde n = i + j.

Adunări algebrice:

Complement algebric elementul aij se numește sale minor, luată cu semnul „+” dacă suma (i + j) este un număr par și cu semnul „-” dacă această sumă este un număr impar. Notat de Aij.
Аij = (-1)i+j × Мij.

Apoi putem reformula proprietatea menționată mai sus. Determinant de matrice egal cu suma produsului elementelor unui anumit rând (rând sau coloană) matrici la corespunzătoare lor adunări algebrice. Exemplu.

Să continuăm conversația despre acțiunile cu matrice. Și anume, în timpul studiului acestei prelegeri veți învăța cum să găsiți matricea inversă. Învăţa. Chiar dacă matematica este dificilă.

Ce este o matrice inversă? Aici putem face o analogie cu numerele inverse: luați în considerare, de exemplu, numărul optimist 5 și numărul său invers. Produsul acestor numere este egal cu unu: . Totul este similar cu matricele! Produsul unei matrice și matricea sa inversă este egal cu – matricea identitară, care este analogul matriceal al unității numerice. Cu toate acestea, mai întâi, să rezolvăm mai întâi o problemă practică importantă, și anume, să învățăm cum să găsiți această matrice foarte inversă.

Ce trebuie să știți și să puteți face pentru a găsi matrice inversă? Trebuie să poți decide calificative. Trebuie să înțelegeți ce este matriceși să poată efectua unele acțiuni cu ei.

Există două metode principale pentru a găsi matricea inversă:
prin folosire adunări algebriceŞi folosind transformări elementare.

Astăzi vom studia prima metodă, mai simplă.

Să începem cu cele mai teribile și de neînțeles. Să luăm în considerare pătrat matrice. Matricea inversă poate fi găsită folosind următoarea formulă:

Unde este determinantul matricei, este matricea transpusă de complemente algebrice ale elementelor corespunzătoare ale matricei.

Conceptul de matrice inversă există doar pentru matrici pătrate , matrice „două câte două”, „trei câte trei”, etc.

Denumiri: După cum probabil ați observat deja, matricea inversă este indicată printr-un superscript

Să începem cu cel mai simplu caz - o matrice două câte două. Cel mai adesea, desigur, este necesar „trei câte trei”, dar, cu toate acestea, recomand insistent să studiați o sarcină mai simplă pentru a stăpâni principiu general solutii.

Exemplu:

Aflați inversul unei matrice

Să decidem. Este convenabil să descompuneți secvența de acțiuni punct cu punct.

1) Mai întâi găsim determinantul matricei.

Dacă înțelegerea dvs. despre această acțiune nu este bună, citiți materialul Cum se calculează determinantul?

Important! Dacă determinantul matricei este egal cu ZERO– matrice inversă NU EXISTĂ.

În exemplul luat în considerare, după cum sa dovedit, , ceea ce înseamnă că totul este în ordine.

2) Găsiți matricea minorilor.

Pentru a ne rezolva problema, nu este necesar să știm ce este un minor, totuși, este indicat să citiți articolul Cum se calculează determinantul.

Matricea minorilor are aceleași dimensiuni ca și matricea, adică în acest caz.
Singurul lucru de făcut este să găsiți patru numere și să le puneți în loc de asteriscuri.

Să revenim la matricea noastră
Să ne uităm mai întâi la elementul din stânga sus:

Cum să-l găsești minor?
Și acest lucru se face astfel: tăiați MENTAL rândul și coloana în care se află acest element:

Numărul rămas este minor a acestui element , pe care o scriem în matricea noastră de minori:

Luați în considerare următorul element de matrice:

Trimiteți mental rândul și coloana în care apare acest element:

Ceea ce rămâne este minorul acestui element, pe care îl scriem în matricea noastră:

În mod similar, luăm în considerare elementele din al doilea rând și găsim minorii acestora:


Gata.

Este simplu. În matricea minorilor ai nevoie SCHIMBARE SEMNE doua numere:

Acestea sunt numerele pe care le-am încercuit!

– matrice de adunări algebrice ale elementelor corespunzătoare ale matricei.

Și doar...

4) Aflați matricea transpusă de adunări algebrice.

– matrice transpusă de complemente algebrice ale elementelor corespunzătoare ale matricei.

5) Răspuns.

Să ne amintim formula noastră
Totul a fost găsit!

Deci matricea inversă este:

Este mai bine să lăsați răspunsul așa cum este. NU ESTE NEVOIEîmpărțiți fiecare element al matricei la 2, deoarece rezultatul sunt numere fracționale. Această nuanță este discutată mai detaliat în același articol. Acțiuni cu matrice.

Cum se verifică soluția?

Trebuie să efectuați înmulțirea matricei sau

Examinare:

Primit deja menționat matricea identitară este o matrice cu uni de diagonala principalăși zerouri în alte locuri.

Astfel, matricea inversă este găsită corect.

Dacă desfășurați acțiunea, rezultatul va fi și o matrice de identitate. Acesta este unul dintre puținele cazuri în care multiplicarea matricei este permutabilă, mai mult informatii detaliate pot fi găsite în articol Proprietăţi ale operaţiilor pe matrice. Expresii matriceale. De asemenea, rețineți că în timpul verificării, constanta (fracția) este adusă înainte și procesată la sfârșit - după înmulțirea matricei. Aceasta este o tehnică standard.

Să trecem la un caz mai comun în practică - matricea de trei câte trei:

Exemplu:

Aflați inversul unei matrice

Algoritmul este exact același ca pentru cazul „două câte doi”.

Găsim matricea inversă folosind formula: , unde este matricea transpusă de complemente algebrice ale elementelor corespunzătoare ale matricei.

1) Aflați determinantul matricei.

Aici se dezvăluie determinantul pe prima linie.

De asemenea, nu uitați asta, ceea ce înseamnă că totul este bine - matrice inversă există.

2) Găsiți matricea minorilor.

Matricea minorilor are o dimensiune de „trei câte trei” , și trebuie să găsim nouă numere.

Voi arunca o privire mai atentă la câțiva minori:

Luați în considerare următorul element de matrice:

Trimiteți MENTAL rândul și coloana în care se află acest element:

Scriem cele patru numere rămase în determinantul „două câte doi”.

Acest determinant doi câte doi și este minorul acestui element. Trebuie calculat:


Asta e, minorul a fost găsit, îl scriem în matricea noastră de minori:

După cum probabil ați ghicit, trebuie să calculați nouă doi câte doi determinanți. Procesul, desigur, este plictisitor, dar cazul nu este cel mai sever, poate fi și mai rău.

Ei bine, pentru a consolida – găsirea unui alt minor în imagini:

Încercați să calculați singuri minorii rămași.

Rezultatul final:
– matricea minorilor elementelor corespondente ale matricei.

Faptul că toți minorii s-au dovedit a fi negativi este pur și simplu un accident.

3) Aflați matricea adunărilor algebrice.

În matricea minorilor este necesar SCHIMBARE SEMNE strict pentru următoarele elemente:

În acest caz:

Nu luăm în considerare găsirea matricei inverse pentru o matrice „patru cu patru”, deoarece o astfel de sarcină poate fi dată doar de un profesor sadic (pentru ca elevul să calculeze un determinant „patru cu patru” și 16 determinanți „trei cu trei” ). În practica mea, a existat un singur astfel de caz, iar clientul testului a plătit destul de scump pentru chinul meu =).

Într-o serie de manuale și manuale, puteți găsi o abordare ușor diferită pentru găsirea matricei inverse, dar vă recomand să utilizați algoritmul de soluție de mai sus. De ce? Pentru că probabilitatea de a te confunda în calcule și semne este mult mai mică.

Sarcina 1.

Pentru un determinat determinant

găsiți minore și complemente algebrice ale elementelor α 12, α 32. Calculați determinant : a) descompunerea acestuia în elementele primului rând și ale coloanei a doua; b) primind în prealabil zerouri în prima linie.

Găsim:

M 12 =
= –8–16+6+12+4–16 = –18,

M 32 =
= –12+12–12–8 = –20.

Complementele algebrice ale elementelor a 12 și, respectiv, a 32 sunt egale:

A 12 = (–1) 1+2 M 12 = –(–18) = 18,

A 32 = (–1) 3+2 M 32 = –(–20) = 20.

a) Să calculăm determinantul extinzându-l în elementele primului rând:

A 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13 + a 14 A 14 = –3
–2 +

1
= – 3(8 + 2 + 4 – 4) – 2(– 8 – 16 + 6 + 12 + 4 – 16) + (16 – 12 – – 4 + 32) = 38;

Să extindem determinantul în elementele celei de-a doua coloane:

= – 2 – 2
+ 1
= – 2(– 8 + 6 – 16 + + 12 + 4 – 16) – 2(12 + 6 – 6 – 16) + (– 6 + 16 – 12 – 4) = 38;

b) Să calculăm , obținând mai întâi zerouri în prima linie. Folosim proprietatea corespunzătoare a determinanților. Să înmulțim a treia coloană a determinantului cu 3 și să o adăugăm la prima, apoi să înmulțim cu –2 și să o adăugăm la a doua. Apoi, în prima linie, toate elementele cu excepția unuia vor fi zerouri. Să descompunăm determinantul obținut astfel în elementele primului rând și să îl calculăm:

= =
=
=
=

= – (– 56 + 18) = 38.

(În determinantul de ordinul trei, am primit zerouri în prima coloană datorită aceleiași proprietăți a determinanților ca mai sus.) ◄

Sarcina 2.

Este dat un sistem de ecuații algebrice liniare neomogene

Verificați dacă acest sistem este compatibil și, dacă da, rezolvați-l: a) folosind formulele lui Cramer; b) folosind o matrice inversă (metoda matricei); c) metoda gaussiană.

Vom verifica compatibilitatea acestui sistem folosind teorema Kronecker–Capelli. Folosind transformări elementare, găsim rangul matricei

O =

sistem dat și rangul matricei extinse

ÎN =

.

Pentru a face acest lucru, înmulțiți primul rând al matricei B cu –2 și adăugați-l cu al doilea, apoi înmulțiți primul rând cu –3 și adăugați-l cu al treilea, schimbați a doua și a treia coloană. Primim

ÎN =

~

~
.

Prin urmare, rang O= rang ÎN= 3 (adică numărul de necunoscute). Aceasta înseamnă că sistemul original este consistent și are o soluție unică.

a) După formulele lui Cramer

x = x/ , y = y/ , z = z/ ,

=
= – 16;

x =
= 64;

y =
= – 16;

z=
= 32,

gasim: x = 64/(– 16) = – 4, y = – 16/(– 16) = 1, z = 32/(– 16)= – 2;

b) Pentru a găsi o soluție a sistemului folosind matricea inversă, scriem sistemul de ecuații sub formă de matrice AH = . Rezolvarea sistemului sub formă de matrice are forma x = A –1 . Folosind formula, găsim matricea inversă O –1 (există pentru că = det O = – 16 ≠ 0):

O 11 =
= – 15, O 21 = –
= 16, O 31 =
= – 11,

O 12 = –
= – 3, O 22 =
= 0, O 32 = –
= 1,

O 13 =
= – 14, O 23 = –
= 16, O 33 =
= – 6,

O –1 =

.

Soluție de sistem:

X = =
=
=

.

Aşa, x = –4, y = 1, z = –2;

c) Să rezolvăm sistemul folosind metoda Gaussiană. Să excludem x din a doua și a treia ecuație. Pentru a face acest lucru, înmulțiți prima ecuație cu 2 și scădeți-o din a doua, apoi înmulțiți prima ecuație cu 3 și scădeți-o din a treia:

Din sistemul rezultat găsim x = – 4, y = 1, z = –2. ◄

Sarcina 5.

Vârfurile piramidei sunt în puncte A(2; 3; 4), B(4; 7; 3), C(1; 2; 2)Şi D(– 2; 0; – 1). Calculați: a) aria feței ABC; b) aria secțiunii transversale care trece prin mijlocul coastelor AB, A.C., AD; c) volumul piramidei ABCD.

A) Se știe că S ABC =
. Găsim:
= (2; 4; – 1) ,

= (– 1; – 1; – 2) ,

=
= – 9 i + 5 j + 2 k.

În sfârșit avem:

S ABC =
=
;

b) Punctele mijlocii ale coastelor AB, SoareŞi OD sunt la puncte K (3; 5; 3,5),

M (1,5; 2,5; 3),N (0; 1,5; 1,5) . Mai departe avem:

S sacrificarea =
,
= (– 1,5; – 2,5; – 0,5),
= (– 3; – 3,5; – 2),

=
= 3.25i – 1.5j – 2.25k,

S sacrificarea =
=
;

c) Din moment ce V sărbătoare =
,
= (– 4; – 3; – 5),

=
= 11, Că V = 11/6 . ◄

Problema 6

Rezistenţă F = (2; 3;– 5) aplicat la un punct A(1; – 2; 2). Calculați: a) munca de forță F în cazul în care punctul de aplicare a acestuia, deplasându-se rectiliniu, se deplasează din poziție O a poziționa B(1; 4; 0); b) modulul momentului de forta F relativ la punct ÎN.

A) Din moment ce A =F · s , s =
= (0; 6; – 2) ,

Că F · = 2·0 + 3·6 + (– 5)(– 2) = 28; A = 28;

b) Momentul de forță M =
,
= (0; – 6; 2) ,

=
= 24 i + 4 j + 12 k .

Prin urmare, =
= 4
. ◄

Sarcina 8.

Culmi cunoscute O(0; 0),O(– 2; 0) paralelogram OASDși punctul de intersecție al diagonalelor sale B(2;–2). Scrieți ecuațiile laturilor paralelogramului.

Ecuația laterală OA poti scrie imediat: y = 0 . Mai mult, din moment ce punctul ÎN este punctul de mijloc al diagonalei AD(Fig. 1), apoi folosind formulele de împărțire a unui segment în jumătate, puteți calcula coordonatele vârfului D(x; y) :

2 =
, –2 =
,

unde x = 6 , y = –4 .

Acum puteți găsi ecuațiile pentru toate celelalte părți. Având în vedere paralelismul laturilor O.A. Şi CD, compunem ecuația laturii CD: y = –4 . Ecuația laterală O.D. este compilat din două puncte cunoscute:

=
,

unde y = – x, 2 x + 3 y = 0 .

În cele din urmă, găsim ecuația laturii A.C., dat fiind faptul că trece printr-un punct cunoscut A (– 2; 0) paralel cu o linie cunoscută O.D.:

y – 0 = – (x + 2) sau 2 x + 3 y + 4 = 0 . ◄

Sarcina 9.

Având în vedere vârfurile unui triunghi ABC: O(4; 3), B(– 3; – 3), C(2; 7) . Găsi:

a) ecuația laturii AB;

b) ecuația înălțimii CH;

c) ecuaţia mediană A.M.;

d) punctul N intersecție mediană A.M.și înălțimi CH;

e) ecuația unei drepte care trece printr-un vârf C paralel cu laterala AB;

e) distanta fata de punct C la o linie dreaptă AB.

A) Folosind ecuația linie dreaptă care trece prin două puncte, obținem ecuația laturii AB:

=
,

unde 6(x – 4) = 7(y – 3) sau 6 x – 7 y – 3 = 0 ;

b) Conform ecuaţiei

y = kx + b (k = tg α ) ,

panta linie dreapta AB k 1 =6/7 . Ținând cont condiţiile de perpendicularitate a liniilor ABŞi CH panta de inaltime CH k 2 = –7/6 (k 1∙ k 2 = –1). După punct C(2; 7) si panta k 2 = –7/6 alcătuiți ecuația înălțimii CH: (y – y 0 = k(x – x 0 ) )

y – 7 = – (x – 2) sau 7 x + 6 y – 56 = 0 ;

c) Folosind formule cunoscute găsim coordonatele x, y mijloc M segment B.C.:

x = (– 3 + 2)/2 = –1/2, y = (– 3 + 7)/2 = 2.

Acum două puncte cunoscute OŞi M alcătuiți ecuația mediană A.M.:

=
sau 2 x – 9 y + 19 = 0 ;

d) Pentru a afla coordonatele unui punct N intersecție mediană A.M.și înălțimi CH alcătuiește un sistem de ecuații

Rezolvând-o, obținem N (26/5; 49/15) ;

e) Deoarece linia care trece prin vârf C, paralel cu lateral AB, atunci coeficienții lor unghiulari sunt egali k 1 =6/7 . Apoi, conform ecuației:

y – y 0 = k(x – x 0 ) , după punct C si panta k 1 alcătuiește ecuații ale unei linii drepte CD:

y – 7 = (x – 2) sau 6 x – 7 y + 37 = 0 ;

f) Distanța de la punct C la o linie dreaptă AB calculat folosind formula binecunoscută:

d = | CH| =

Soluția la această problemă este ilustrată în Fig. 2 ◄

Problema 10.

Avand patru puncte O 1 (4; 7; 8), A 2 (– 1;13; 0), A 3 (2; 4; 9), A 4 (1; 8; 9) . Alcătuiți ecuații:

a) avioane O 1 O 2 O 3 ; b) drept O 1 O 2 ;

c) drept O 4 M, perpendicular pe plan O 1 O 2 O 3 ;

d) drept O 4 N, paralel cu linia O 1 O 2 .

Calcula:

e) sinusul unghiului dintre dreapta O 1 O 4 si avionul O 1 O 2 O 3 ;

e) cosinusul unghiului dintre planul de coordonate DESPRExy si avionul O 1 O 2 O 3 .

A) Folosind formula ecuații plane din trei puncte, compunem ecuația planului O 1 O 2 O 3 :

unde 6x – 7y – 9z + 97 = 0;

b) Considerând ecuațiile unei drepte care trece prin două puncte, ecuații în linie dreaptă O 1 O 2 poate fi scris sub forma

=
=
;

c) De la condiţii pentru perpendicularitatea unei drepte O 4 M si avioane O 1 O 2 O 3 rezultă că ca vector de direcţie al dreptei s poți lua un vector normal n = (6; – 7; – 9) avion O 1 O 2 O 3 . Apoi ecuația dreptei O 4 M luând în considerare canonic ecuațiile dreptei se vor scrie sub forma

=
=
;

d) Deoarece este drept O 4 N paralel cu linia O 1 O 2 , apoi vectorii lor de direcție s 1 Şi s 2 pot fi considerate identice: s 1 =s 2 = (5; – 6; 8) . Prin urmare, ecuația dreptei O 4 N arata ca

=
=
;

e) Conform formulei de constatare mărimea unghiului dintre o dreaptă și un plan

păcat φ =

e) În conformitate cu formula de constatare unghiul dintre planuri

cos φ =
=
◄

Problema 11.

Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin puncte M(4; 3; 1) Şi

N(– 2; 0; – 1) paralel cu dreapta trasată prin puncte O(1; 1; – 1) Şi

B(– 3; 1; 0).

Conform formulei ecuațiile unei linii în spațiu trecând prin două puncte, ecuația unei drepte AB arata ca

=
=
.

Dacă avionul trece printr-un punct M(4; 3; 1) , atunci ecuația sa poate fi scrisă sub forma O(x – 4) + B(y – 3) + C(z – 1) = 0 . Deoarece acest plan trece și prin punct N(– 2; 0; – 1) , atunci condiția este îndeplinită

A(– 2 – 4) + B(0 – 3) + C(– 1 – 1) = 0 sau 6A + 3B + 2C = 0.

Deoarece planul dorit este paralel cu linia găsită AB, luând apoi în considerare formulele condiţii pentru paralelismul unei drepte şi unui plan avem:

–4A + 0B + 1C = 0 sau 4A – C = 0.

Rezolvarea sistemului

găsim că C = 4 O, B = – O. Să înlocuim valorile obținute CUŞi Bîn ecuația planului dorit, avem

A(x – 4) – A(y – 3) + 4A(z – 1) = 0.

Deoarece O ≠ 0 , atunci ecuația rezultată este echivalentă cu ecuația

3(x – 4) – 14(y – 3) + 12(z – 1) = 0. ◄

Problema 12.

Găsiți coordonatele x 2 , y 2 , z 2 puncte M 2 , punct simetric M 1 (6; – 4; – 2) raportat la avion x + y + z – 3 = 0 .

Să notăm ecuațiile parametrice ale dreptei M 1 M 2 , perpendicular pe acest plan: x = 6 + t, y = – 4 + t, z = – 2 + t. După ce le-am rezolvat împreună cu ecuația planului dat, găsim t = 1 și deci punctul M intersecția unei linii drepte M 1 M 2 cu acest avion: M (7; – 3; – 1) . De la punctul M este punctul de mijloc al segmentului M 1 M 2 , atunci egalitățile sunt adevărate.; c) o parabolă cu directrice b