Funcțiile Walsh sunt o familie de funcții care formează un sistem ortogonal, luând valori doar 1 și -1 în întregul domeniu de definiție.

În principiu, funcțiile Walsh pot fi reprezentate în formă continuă, dar mai des sunt definite ca șiruri discrete de elemente. Grupul de funcții Walsh formează matricea Hadamard.

Funcțiile Walsh sunt utilizate pe scară largă în comunicațiile radio, unde sunt utilizate pentru a implementa accesul multiplu prin diviziune de cod (CDMA), de exemplu, în astfel de standarde comunicatii celulare cum ar fi IS-95, CDMA2000 sau UMTS.

Sistemul de funcții Walsh este o bază ortonormală și, în consecință, permite extinderea semnalelor de formă arbitrară într-o serie Fourier generalizată.

Transformarea Walsh-Hadamard

Este un caz special al transformării Fourier generalizate, în care baza este sistemul de funcții Walsh.

Seria generalizată Fourier este reprezentată de formula:

unde aceasta este una dintre funcțiile de bază și este un coeficient.

Descompunerea semnalului în funcții Walsh are forma:

ÎN formă discretă formula se va scrie astfel:

Coeficienții pot fi determinați prin efectuarea produsului scalar al semnalului descompus și a funcției Walsh de bază corespunzătoare:

Trebuie luată în considerare natura periodică a funcțiilor Walsh.

9. Interpolare: interpretare spectrală, filtre FIR pentru interpolare polinomială de ordinul 0 și 1; utilizarea structurii polifazate.

Interpolarea este un proces de numere. procesarea semnalului, conducând la formarea unui semnal y(nT) cu o frecvență de eșantionare crescută dintr-un semnal x(vT’)=x(vLT) cu o frecvență de eșantionare mai mică sub anumite restricții privind modificările temporale și spectrale ale semnalului original.

Există trei tipuri de proces de interpolare DSP:

1. Creșterea ratei de eșantionare se realizează în conformitate cu conceptul matematic de interpolare; 2. Cu creșterea frecvenței de eșantionare. mostrele originale ale semnalului discret x(vT’) se pierd, cu toate acestea, mostrele semnalului de ieșire y(nT) pot fi considerate ca mostre ale semnalului original semnal analogic

x(t), din care semnalul discret original x(vT’) se formează prin eșantionare cu un interval T’. În acest caz, forma anvelopei semnalului x(vT’) și y(nT) (și spectrul) nu se modifică;

3. Creșterea frecvenței de eșantionare duce la o modificare a formei semnalului interpolat, dar modulul de spectru nu se modifică.

D-sampler cu interval de eșantionare T’=LT., interpolatorul ideal AI crește frecvența de eșantionare. la un întreg L. După AI, semnalul poate fi considerat ca rezultat al eșantionării semnalului analogic original x(t) cu un interval de eșantionare T=T’/L. , Hφ-sistem discret cu caracteristică de frecvență.

Proces de interpolare a frecvenței cu coeficientul întreg L:

a) spectrul semnalului analogic original. b) spectrul semnalului eșantionat cu frecvența de eșantionare fd. c) spectrul semnalului eșantionat cu frecvența de eșantionare fд’=3fд.

CĂ. procesul de creștere a frecvenței de eșantionare (interpolare) - transformarea spectrului de la b) la c), adică suprimarea componentelor de frecvență „extra” ale spectrului original.

O creștere a frecvenței de eșantionare a semnalului original de numărul necesar de ori L este efectuată de un expandor de frecvență de eșantionare (SRF). Utilizarea structurii polifazate în interpolare folosind filtre FIR. Particularitatea acestei structuri este că în loc de un singur filtru funcționează frecventa inalta

eșantionarea, se folosesc mai multe filtre care funcționează la frecvențe joase. Un filtru polifazic este o colecție de filtre mici care rulează în paralel, fiecare procesând doar un subset de eșantioane de semnal (dacă există N filtre în total, fiecare filtru va procesa doar fiecare N-a probă). Diagrama echivalentă a unei structuri polifazate:

Comanda zero. Când se calculează următorul eșantion al semnalului y(nT) cu un interval de eșantionare T, este utilizat doar un eșantion din semnalul interpolat de intrare x(vT’) cu un interval de eșantionare T’. Când frecvența de eșantionare crește de L ori, eșantionul semnalului x(vT’) se repetă de L ori la ciclurile de ceas n=vL, vL+1, …,vL+L-1:

y(nT)=x(vT’), n=vL, vL+1, …,vL+L-1, v=0,1,2,...

Procesul de interpolare de ordinul zero este prezentat în figura următoare, unde T3 este întârzierea introdusă de filtru.

Funcția de transfer al filtrului

Implementarea unui filtru omogen:

Semnalul de intrare x(vT’) este scris în registrul RG cu o frecvență fд’=1/T’, iar semnalul y(nT) este citit cu o frecvență fд=Lfд’=1/T. Primul ordin (interpolare liniară). Fie dat semnalul x(n)=cos(2πn∙0,125). Între fiecare numărătoare ref. Probele L-1 sunt introduse în semnal (upsampling). Funcția de transfer este scrisă

10. Decimare: interpretare spectrală, filtre FIR pentru decimarea polinomială de ordinul 0 și 1; utilizarea unei structuri polifazate. Decimarea este procesul de reducere a frecvenței de eșantionare a unui semnal.

Se consideră semnalul x(t), modulul spectrului său a).

x(nT)-semnal eșantionat cu intervalul de eșantionare T, modulul său al spectrului său în primul caz b), în al doilea d).

x(lambdaT)-semnal eșantionat x(t) cu intervalul de eșantionare T’=MT.(M=2), modulul său de spectru în primul caz c), în al doilea d).

Cazul 1. La eșantionarea cu frecvența wd1, a fost îndeplinită condiția wd1 2Mwmax (în cazul nostru wd1 4wmax). Semnalul poate fi restabilit deoarece spectrul nu se suprapune.

Cazul 2. La eșantionarea cu frecvența wd2, condiția wd2 2Mwmax nu a fost îndeplinită. Semnalul nu poate fi restabilit, deoarece spectrul se suprapune.

Pentru a efectua operația de decimare de un număr întreg de ori M, este necesar ca frecvența de eșantionare wd a semnalului x(nT) de decimat să îndeplinească condiția wd 2Mwmax.

Operația de decimare este efectuată folosind un compresor de frecvență de eșantionare (SFC) (imaginea din stânga). CCD-ul este un comutator care se inchide in momentele t=nMT=lambdaT', adica din semnalul de intrare x*(nT) cu un interval de esantionare T se preleaza doar fiecare M-a proba si genereaza un semnal x(lambdaT' )= x*(lambdaMT ) cu intervalul de prelevare T=MT

Utilizarea structurii polifazate în decimare folosind filtre FIR. Această structură conține M ramuri de procesare paralelă, fiecare dintre ele conține un filtru care funcționează la o frecvență de eșantionare „joasă” (de ieșire). Ecuația care descrie structura polifazată a decimării:

Unde M este un coeficient întreg,

G este un număr întreg, r=0, 1,…,M-1.

Aceste. secvența de ieșire y(lambdaT') a circuitului este suma M secvențe yk(lambdaMT'), k=0,1,…,M-1, fiecare dintre acestea fiind la rândul lor rezultatul filtrării secvenței yk*( lambdaMT')=x(lambdaMT -kT) filtru discret cu PF Hk*(zM) și răspuns la impuls brk=brM+k, iar mostrele de răspuns la impuls al filtrului k-al-lea sunt mostrele de răspuns la impuls bl al filtrului prototip, prelevate prin proba M-1.

Proiectarea filtrelor FIR pentru decimarea polinomială de ordinul 0 și 1.

Circuit de reducere a ratei de eșantionare

Comanda zero. Un filtru omogen este folosit ca filtru, a cărui funcție de transfer este:

Răspunsul în frecvență al unui filtru omogen

Condiția în care este selectată ordinea de filtrare: N=k*M.

Prima comandă. Un filtru triunghiular cu PF este folosit ca filtru.

Demonstrați că coeficienții seriei Kotelnikov s(t), acestea sunt valorile semnalului uneori t=nT d.

Demonstrați că eșantionul funcționează sinc( t-nT d) și sinc( t-mT d) ortogonală când n¹ m.

Determinați densitatea spectrală a pulsului dată de expresia analitică s(t)=sinc( t-nT d).

De ce este imposibil să existe o funcție care descrie un semnal care este limitat în timp și are un spectru de frecvență limitat?

9. Reprezentarea semnalelor prin funcții Walsh

În 1923, matematicianul american Walsh J.L. a introdus și studiat funcțiile care îi poartă numele. Semnalele discrete bazate pe funcții Walsh (WF) reprezintă un sistem complet de funcții ortogonale de tip undă pătrată. Domeniul de aplicare al funcțiilor Walsh, care este destul de extins în prezent, se extinde constant.

Funcțiile Walsh pot fi reprezentate grafic în diferite moduri. Cu toate acestea, în intervalul definiției lor, aceștia iau doar două valori: +1 și –1. Atunci când se utilizează FU, timpul adimensional este de obicei introdus, deci.

În fig. Figura 9.1 prezintă primele 8 funcții Walsh (unde pătrate) pe intervalul de valori ale argumentului.

Orez. 9.1. Funcții Walsh, ordonate și numerotate în funcție de numărul de modificări de semn pe interval.

Denumire acceptată wal k(q) are legătură cu scrierea numelui de familie Walsh. Index k indică numărul de schimbări de semn (numărul de treceri la nivel zero) de către funcția pe intervalul de definiție. Prin urmare, jumătate din valoare k denumită altfel frecvența de oscilație wal k(q). Domeniul de existență al UF este caracterizat de mărimea bazei, unde n=1,2,3,.... În Fig. Mărimea de bază 9.1.

Funcțiile Walsh sunt ortonormale în intervalul:

Funcțiile Walsh au proprietatea multiplicativă, adică înmulțirea a două FU dă un alt FU, în timp ce

unde operația denotă însumarea pe biți modulo 2 conform regulilor:

1Å1=0; 0Å0=0; 1Å0=1; 0Å1=1.

Înmulțirea FU cu ea însăși dă o funcție de ordin zero, deoarece rezultatul este doar produse ale formei. Astfel,

Înmulțirea oricărui FU cu o funcție de ordin zero, adică

nu modifică prima funcție. În acest sens, FU joacă rolul unui fel de funcție de „unitate”.

Desigur, sistemul ortonormal complet al funcțiilor Walsh face posibilă reprezentarea oricăror semnale prin seria Walsh-Fourier.

.

Procedura pentru găsirea amplitudinii fiecărei „armonici dreptunghiulare” din seria Walsh-Fourier este foarte simplă: cu un semnal cunoscut s(t) Pentru k-a acelui coeficient „armonic” este determinat de formula

.

Exemplu: extindeți funcția într-o serie Walsh-Fourier pe interval, limitat la opt termeni ai expansiunii (bazei).

Trecând la timpul fără dimensiuni, ar trebui să desemnăm. Deoarece funcţia dată s(t) este impar în raport cu , și toate funcțiile Walsh cu indici pare, inclusiv zero, par Fig. 9.1, apoi produsele , unde vor fi funcții impare și, prin urmare, integrala acestor produse este egală cu zero: c 0 =c 2 =c 4 =c 6 =0.

Acum să calculăm coeficienții și:

Coeficientul este:

,

unde se notează și .

Făcând calcule simple, puteți obține

Astfel, descompunerea unei oscilații sinusoidale s(t) pe baza funcţiilor Walsh cu N=8 are două componente spectrale nenule cu amplitudini și

.

Rezultatul aproximării semnalului funcțiile Walsh trunchiate și spectrul acestui semnal pe baza funcțiilor Walsh este prezentat în Fig. 9.2, OŞi b respectiv.

Orez. 9.2. Reprezentarea unui semnal prin expansiune pe o bază ortogonală a funcțiilor Walsh

Eroarea pătratică medie a reprezentării semnalului ca o serie trunchiată folosind funcțiile Walsh este

Desigur, extinderea sinusoidului într-o serie Fourier în funcții trigonometrice oferă o precizie mai bună. Acuratețea sută la sută este asigurată de o serie care conține un singur termen . Dar extinderea unei funcții de meandru dreptunghiular, cum ar fi wal 1 (q) într-o serie Fourier

când se rețin doar doi termeni ai seriei, oferă o acuratețe mult mai slabă în ceea ce privește eroarea pătratică medie, și anume, după cum urmează din, . Desigur, spectrul unei funcții dreptunghiulare bazată pe funcțiile Walsh va conține o singură componentă și va reprezenta funcția originală absolut exact cu ea.

Acest exemplu ilustrează faptul că pentru fiecare tip specific de semnal există întotdeauna un astfel de sistem de bază, extinderea în care oferă cea mai compactă reprezentare a acestui semnal pentru o anumită precizie (sau cea mai precisă reprezentare pentru un anumit număr de termeni de expansiune).

Funcțiile Walsh sunt generate pur și simplu de sistemele de generare și procesare a semnalului digital bazate pe componente moderne.

Funcții de bază

Reprezentare matematică

Spectrul semnalului poate fi scris prin transformata Fourier (este posibil fără coeficient 1 / 2 π (\displaystyle 1/(\sqrt (2\pi )))) sub forma:

S (ω) = ∫ − ∞ + ∞ s (t) e − eu ω t d t (\displaystyle S(\omega)=\int \limits _(-\infty )^(+\infty )s(t)e^ (-i\omega t)dt), Unde ω (\displaystyle \omega )- frecventa unghiulara egala 2 π f (\displaystyle 2\pi f).

Spectrul semnalului este o mărime complexă și este reprezentat ca: S (ω) = A (ω) e - i ϕ (ω) (\displaystyle S(\omega)=A(\omega)e^(-i\phi (\omega))), Unde A (ω) (\displaystyle A(\omega))- spectrul de amplitudine a semnalului, ϕ (ω) (\displaystyle \phi (\omega))- spectrul de fază al semnalului.

Dacă sub semnal s (t) (\displaystyle s(t))înţelege

În conformitate cu metoda spectrală de analiză a trecerii semnalelor prin circuite liniare ale oricăror semnal aleator S(T) poate fi reprezentat ca o sumă infinită de semnale deterministe elementare similare analitic:

(2.8)

Prin aplicarea la intrarea unui circuit liniar (Fig. 1.14), al cărui coeficient de transmisie este egal cu , elementar semnal determinist, puteți găsi răspunsul elementar al circuitului, adică semnalul la ieșirea circuitului.

Fig.2.3. Pentru a determina semnalul la ieșirea unui circuit liniar .

Semnalul la ieșirea circuitului liniar este egal cu

(2.9)

Deoarece principiul suprapunerii este valabil pentru circuitele liniare, răspunsul rezultat va fi egal cu:

(2.10)

Funcțiile care descriu semnale elementare sunt numite funcții de bază. Reprezentarea unui semnal prin funcții de bază este simplificată dacă acestea sunt ortogonale și ortonormale.

Un set de funcții se numește ortogonal , Dacă în intervalul de la până la

la (2.11)

Și ortonormal , Dacă condiția este îndeplinită pentru toți

. (2.12)

Ortogonalitatea funcțiilor de bază cu care este reprezentat semnalul original garantează că semnalul poate fi reprezentat într-un mod unic. Condiția de ortogonalitate este îndeplinită de funcțiile armonice de mai multe frecvențe, precum și de funcțiile Walsh, care în segmentul existenței lor de la a lua doar valori egale cu 1, semnale discrete Barker și alte câteva funcții. Metoda spectrală de analiză a semnalului se bazează pe transformate Fourier și constă în înlocuire functie complexa timp care descrie semnalul prin suma primelor semnale armonice, formând spectrul de frecvențe acest semnal. Celebrul fizician și matematician francez J.B.Fourier (1768 - 1830) a demonstrat că orice modificare în timp a unei anumite funcții poate fi aproximată ca o sumă finită sau infinită a unei serii de oscilații armonice cu diferite amplitudini, frecvențe și faze inițiale. Această funcție poate fi curent sau tensiune într-un circuit electric.

Să considerăm mai întâi reprezentarea unui semnal electric periodic (Fig. 2.4), care îndeplinește condiția

, (2.13)

unde: - perioada semnalului; =1,2,3,….

Orez. 2.4. Semnal periodic

Să ne imaginăm acest semnal ca o serie trigonometrică infinită:

Această serie se numește seria Fourier.

Este posibil să scrieți seria Fourier într-o altă formă:

, (2.15)

Unde: — modul de amplitudini armonice;

— faze armonice;

— frecvență circulară;

— coeficienții componentelor cosinus; — coeficienții componentelor sinusoidale; — valoarea medie a semnalului pe o perioadă (componentă constantă) .

Termenii individuali ai seriei se numesc armonici . Numărul este numărul armonic. Setul de valori în serie (2.15) se numește spectru de amplitudine, iar setul de valori se numește spectru de fază.

Mai jos în fig. Figura 2.5 prezintă spectrele de amplitudine și fază ale unui semnal periodic. Segmentele verticale ale spectrului de amplitudine reprezintă amplitudini armonice și se numesc linii spectrale.

Figura 2.5. Spectrele de amplitudine și fază ale unui semnal periodic

Astfel, spectrul unui semnal periodic – Guvernat . Fiecare semnal periodic are spectre de amplitudine și fază bine definite.

Suma seriei (2.15) este infinită, dar, pornind de la un anumit număr, amplitudinile armonicilor sunt atât de mici încât pot fi neglijate și un semnal periodic practic real este reprezentat de o funcție cu spectru limitat. Intervalul de frecvență corespunzător spectrului limitat se numește lățimea spectrului.

Dacă funcția care descrie semnalul periodic este pară, atunci suma seriei (2.14) va conține doar componente cosinus. Dacă este o funcție impară, atunci suma va conține doar componente sinusoidale.

De asemenea, este posibil să se reprezinte un semnal periodic sub forma unei serii Fourier complexe:

, (2.16)

— amplitudini complexe ale spectrului, care conțin informații atât despre spectrul de amplitudine, cât și despre faza.

După înlocuirea valorilor și , obținem:

(2.17)

Dacă înlocuim valoarea rezultată în serie (1.29), atunci aceasta se transformă într-o identitate. Astfel, periodic semnal electric poate fi specificat fie printr-o functie de timp, fie prin amplitudinea complexa a spectrului.

2.2.1. Spectrul unei secvențe periodice de impulsuri dreptunghiulare

Compoziția spectrului unei secvențe periodice de impulsuri dreptunghiulare depinde de raportul dintre perioada secvenței și durata impulsului, numit ciclu de lucru al impulsurilor. Spectrul nu va conține armonici cu numere care sunt multipli ai ciclului de lucru al impulsului. Ciclul de lucru al impulsurilor este . Figura 1.17 prezintă trei secvențe de impulsuri cu cicluri de lucru diferite și spectrele corespunzătoare. Pentru o secvență periodică, al cărei ciclu de lucru este 2, spectrul nu conține 2, 4, 6, 8 etc. armonici. Pentru o secvență al cărei ciclu de lucru este 3, armonicile a 3-a, a 6-a etc. sunt absente în spectru. Pentru o secvență al cărei ciclu de lucru este 4, spectrul nu conține armonicile a 4-a, a 8-a etc. În toate spectrele date, intervalul dintre liniile spectrale este egal cu inversul perioadei secvenței. Punctele de pe axa frecvenței la care spectrul este zero corespund reciprocului duratei impulsurilor secvențelor periodice.

Fig.2.6.Secvente periodice de impulsuri si spectrele acestora.

2.2.2. Spectrul unui semnal neperiodic

Când luăm în considerare spectrul unui semnal neperiodic, vom folosi tranziția limitativă de la un semnal periodic la un semnal neperiodic, direcționând perioada la infinit.

Pentru semnalul periodic prezentat în Fig. 2.4, expresia (2.17) a fost obținută anterior pentru amplitudinea complexă a spectrului:

(2.18)

Să introducem notația:

(2.19)

Să construim un modul de spectru:

Orez. 2.7. Modulul de spectru de semnal periodic

Distanța dintre liniile spectrale este . Dacă creșteți perioada, atunci intervalul w1 va scădea. Când intervalul dintre liniile spectrale w1® dw. În acest caz, succesiunea periodică de impulsuri se transformă într-un singur impuls, iar modulul spectrului tinde spre o funcție continuă a frecvenței. Ca urmare a tranziției limitatoare de la un semnal periodic la unul neperiodic, spectrul de linii degenerează într-un spectru continuu, prezentat în Fig. 2.8.

Orez. 2.8. Spectrul unui semnal neperiodic

În acest caz, amplitudinea complexă este egală cu:

. (2.20)

Tinand cont de trecerea la limita la

(2.21)

Să substituim expresia rezultată în seria (2.16). În acest caz, suma este transformată într-o integrală, iar valorile frecvențelor discrete în valoarea frecvenței curente și a semnalului neperiodic pot fi reprezentate în următoarea formă:

. (2.22)

Această expresie corespunde transformării Fourier inverse. Anvelopa spectrului continuu al unui singur impuls coincide cu anvelopa spectrului de linii ale unei funcții periodice reprezentând repetarea periodică a acestui impuls.

Integrala Fourier permite oricărei funcții neperiodice să fie reprezentată ca suma unui număr infinit de oscilații sinusoidale cu amplitudini infinitezimale și un interval de frecvență infinitezimal. Spectrul semnalului este determinat din expresie

Această integrală corespunde transformării directe Fourier.

– spectru complex, conține informații atât despre spectrul de amplitudine, cât și despre spectrul de fază.

Astfel, spectrul unei funcții neperiodice este continuu. Putem spune că conține „toate” frecvențele. Dacă tăiați un interval mic de frecvență dintr-un spectru continuu, atunci frecvențele componentelor spectrale din această zonă vor diferi cât de puțin doriți. Prin urmare, componentele spectrale pot fi adăugate ca și cum toate ar avea aceeași frecvență și aceleași amplitudini complexe. Densitatea spectrală este raportul dintre amplitudinea complexă a unui interval mic de frecvență și valoarea acestui interval.

Analiza spectrală a semnalelor este de o importanță fundamentală în electronica radio. Cunoașterea spectrului unui semnal vă permite să luați decizii informate cu privire la lățimea de bandă a dispozitivelor afectate de acel semnal.

2.2.3. Spectrul unui singur impuls video dreptunghiular

Să calculăm spectrul unui singur impuls dreptunghiular, a cărui amplitudine este egală cu E, iar durata este t, prezentată în Fig. 2.9.

Orez. 2.9. Un singur impuls pătrat

În conformitate cu expresia (2.24), spectrul unui astfel de semnal este egal cu

=. (2.24)

Deoarece = 0 când , atunci frecvențele la care dispare spectrul sunt egale cu , unde K=1,2,3…

În fig. Figura 2.10 prezintă spectrul complex al unui singur impuls dreptunghiular de durată .

Fig.2.10. Spectrul unui singur impuls dreptunghiular

Densitatea spectrală determină distribuția energiei în spectrul unui singur impuls. În general, distribuția energiei este neuniformă. O distribuție omogenă este caracteristică unui proces haotic numit „zgomot alb”.

Densitatea spectrală a unui impuls la frecvență zero este egală cu aria sa. Aproximativ 90% din energia unui singur impuls dreptunghiular este concentrată în spectru, a cărui lățime este determinată de expresia

Relația (1.41) determină cerințele pentru lățimea de bandă a unui dispozitiv radio. În sarcinile în care forma semnalului este de importanță secundară, lățimea de bandă a dispozitivului pentru acest semnal poate fi aleasă egală cu lățimea primului lob de spectru. În acest caz, gradul de distorsiune a formei semnalului este necunoscut. Dublarea lățimii de bandă va crește doar energia semnalului cu 5% și, în același timp, va crește nivelul de zgomot.

Funcția trigonometrică de bază este descrisă de: - număr armonic.

Interval de ortogonalitate. Când este normalizată de putere, funcția de bază este: Ω=2π\T

;

;
;
;

, A i - amplitudinea armonicilor, Θ i - faza

;

2. Descompunerea semnalelor și a zgomotului prin funcții Walsh.

Funcțiile Walsh sunt alcătuite din funcții Rademacher
,k=1,2...;

sgn este o funcție de semn.

Intervalul se împarte în 2 k intervale ∆T. În ele, funcția Rademacher ia valorile „+1” și „–1”. (F-I își păstrează ortogonalitatea.)wal 0 =1 – Funcția Walsh „0” de ordinul 1.

Obținerea funcțiilor wal de ordine superioară (k=1,2,3...):

1) Scrieți numărul k în sistemul binar în

cod direct.

m este numărul de biți de cod necesari pentru a reprezenta funcțiile Walsh de ordinul k, γ i este un coeficient de ponderare având valorile 1 sau 0 (în funcție de dacă acest bit este luat în considerare sau nu în timpul însumării).

2) Numărul k este recodat conform regulii codului Gray. Codul combinației este adăugat mod2 cu aceeași combinație deplasată cu 1 bit la dreapta. În acest caz, bitul cel mai puțin semnificativ este aruncat, codul rezultat se numește codul Walsh.

3) Reprezentare f. Walsh în seria Rodomacher:

Această regulă arată că f. Walsh se obține prin înmulțirea funcției Rodomacher într-o anumită combinație cu coeficientul b i . Pentru 4kf. Construim Walsh:

Acest sistem se caracterizează prin aranjarea funcțiilor în ordine crescătoare

numărul de variabile semn pe interval. În acest sistem chiar

relativ la mijlocul intervalului alternează cu impare

numărul de modificări de semn pe un interval pentru numere pare

semnul se schimbă m/2 și pentru impar (m+1)/2.

-f. Walsh în sistemul ortogonal.

3. Reprezentarea geometrică a semnalelor și interferențelor.

Obiectul matematic A i este un element al mulţimii A 1 .

dacă asupra obiectului A i se pot efectua operații liniare, atunci mulțimea A 1 aparține unui spațiu liniar, iar elementele sale A i sunt puncte ale acestui spațiu.

Spațiul are orice dimensiune m.

Dacă într-un astfel de spațiu se determină distanța dintre punctele A i și A j, atunci spațiul este metric, iar distanța dintre origine și orice punct este o normă, iar spațiul este normalizat. În consecință, norma și distanța pot fi determinate. Într-un spațiu normat liniar norma este definită sub forma
si distanta
-spațiul se numește euclidian.ifn→∞ - spațiu Hilbert.A i este un vector, lungimea lui este normă.

Atunci oscilația U i (t) poate fi asociată unui punct A i sau unui vector într-un spațiu n-dimensional a cărui dimensiune este egală cu numărul de grade de libertate de vibrație u(t). Fie extinse oscilațiile u a (t) și u b (t) într-un sistem ortogonal de funcții φ i (t).
,
Aceste oscilații vor corespunde vectorilor
cu coordonate
. Lungimea lor

. Ținând cont de condiția de ortogonalitate, sau mai degrabă de ortonormalitate. Lungimea și standardul sunt aceleași.

Pa și P b - puterea de oscilație specifică medie. Lungimea vectorului în spațiul n-dimensional este determinată de valoarea efectivă a vibrației corespunzătoare

-Caracterizeaza gradul de apropiere. Distanța poate fi considerată ca modulul diferenței
, cu cât această valoare este mai mică, cu atât diferențele dintre vibrații sunt mai mici.

* - valoarea medie a produsului oscilaţiilor.
** - interacțiunea efectivă între m/u oscilații u a și u b . - P ab
, atunci expresiile * și ** vor coincide dacă a și u b sunt ortogonale =0.Dacă U a =–U b atunci P ab = – P a = – P b . Semnalul și zgomotul pot fi reprezentate ca un vector. În reprezentarea geometrică a semnalelor codificate. Spațiu de dimensiuni largi în metrica non-euclidiană. Distanța în acest spațiu este determinată de algoritm
,n este numărul de elemente ale combinației acestui cod, ax i și y i sunt valorile biților corespunzători. Model geometric de n cifre cod binar este un cub n-dimensional cu muchia = 1, fiecare dintre ale cărui vârfuri reprezintă una dintre combinațiile posibile. 000.001.010.100.101.110.011.111 Distanta -. Un semnal codificat sub forma unui cub n-dimensional.