Dacă tăiați mental un element sub forma unui cub infinit infinit în jurul unui punct al corpului, atunci tensiunile prezentate în Fig. 1 vor acționa în general de-a lungul marginilor sale. 3.1.

Se numește setul de tensiuni normale și tangențiale care acționează asupra tuturor zonelor (secțiunilor) care conțin orice punct starea tensionată a corpului într-un punct dat

Orez.3 . 1

Astfel, pe fețele unui paralelipiped elementar izolat în vecinătatea unui punct al unui corp încărcat, acționează nouă componente de stres. Să le scriem sub forma următoarei matrice pătrate:

unde primul, al doilea și al treilea rând conțin componentele tensiunii, respectiv, pe zone perpendiculare pe axele , , . Acest set de tensiuni se numește tensor de stres.

Legea împerecherii tensiunilor tangențiale. Domenii principale și tensiuni principale.

Să creăm o ecuație pentru momentele tuturor forțelor aplicate unui paralelipiped elementar în raport cu axa. (Fig. 3.1.).

Forțele paralele și care se intersectează acestei axe nu vor intra în ecuație. Se echilibrează momentele de forță pe două fețe perpendiculare pe axă, precum și momentele de forță pe fețele superioare și inferioare ale elementului. Astfel obținem:

Rezultă că .

În mod similar, din celelalte două ecuații găsim:

Deci, avem egalități

numit legea perechii tensiunilor tangente

Legea împerecherii tensiunilor tangente – tensiunile tangențiale pe oricare două locuri, dar reciproc perpendiculare, direcționate perpendicular pe linia de intersecție a locurilor, sunt egale ca mărime. În același timp, au tendința de a roti elementul în direcții diferite.

Când se modifică orientarea fețelor unui element selectat, se modifică și tensiunile care acționează asupra fețelor acestuia. Este posibil să se deseneze zone în care eforturile de forfecare sunt zero. Se numesc zone la care eforturile de forfecare sunt zero locații principale, iar tensiunile normale la aceste locuri sunt tensiuni principale.

Se poate dovedi că în fiecare punct al unui corp tensionat există trei zone principale reciproc perpendiculare.

Tensiunile principale sunt notate cu , , . În acest caz, indicii ar trebui aranjați astfel încât inegalitatea să fie satisfăcută

Dacă toate cele trei tensiuni principale sunt diferite de zero, atunci se numește starea tensionată triaxial sau volumetric (Fig. 3.2, a).

Dacă una dintre tensiunile principale este egală cu zero, atunci se numește starea tensionată biaxiale sau plat (Fig. 3.2, b).

Dacă două tensiuni principale sunt egale cu zero, atunci se numește starea tensionată uniaxiale sau liniarm(Fig. 3.2, c).

Orez.3 . 2

Stare de stres în plan.

Când se studiază starea tensionată a elementelor structurale, cel mai adesea trebuie să se ocupe de o stare de tensiune plană. Apare la torsiune, încovoiere și rezistență complexă. Prin urmare, ne vom opri asupra ei mai detaliat.

Să luăm în considerare un element ale cărui fețe sunt zonele principale.

Orez.3 . 3

Tensiuni pozitive și acționează asupra lor, și al treilea stres principal (direcția perpendiculară pe planul desenului).

Să desenăm o secțiune I – I, care va determina aria (), caracterizată printr-un unghi pozitiv. Tensiunile de-a lungul acestei zone vor fi determinate de formulele:

(3.3)

Tensiunile principale de compresiune sunt substituite în aceste formule cu semnul minus, iar unghiul este măsurat din efortul principal algebric mai mare.

Să desenăm secțiunea II – II, care va determina aria perpendiculară pe zonă. Normala la acesta formează un unghi cu direcția

Înlocuind valorile unghiului în formulele (3.2) și (3.3), vom avea

. (3.5)

Setul de formule (3.2) - (3.5) face posibilă găsirea tensiunilor de-a lungul oricăror zone înclinate reciproc perpendiculare dacă se cunosc tensiunile principale.

Adăugând egalitățile (3.2) și (3.4), aflăm că

, (3.6)

adică suma tensiunilor normale de-a lungul a două zone reciproc perpendiculare nu depinde de unghiul de înclinare al acestor zone și este egală cu suma tensiunilor principale.

Din formulele (3.3) și (3.5) vedem că tensiunile tangențiale ating cea mai mare valoare la , adică de-a lungul zonelor înclinate față de zonele principale sub un unghi , și

. (3.7)

Comparând formulele (3.3) și (3.5), aflăm că

Această egalitate exprimă legea împerecherii tensiunilor tangențiale.

Să mai desenăm acum două secțiuni (Fig. 3.3): Secțiunea III – III, paralelă cu I – I, și secțiunea IV – IV, paralelă cu II – II. Elementul, separat de element prin patru secțiuni (Fig. 3.4, a), va avea forma prezentată în Fig. 3.4, b. Ambele elemente definesc aceeași stare de solicitare, dar elementul o reprezintă prin tensiuni principale, iar elementul prin tensiuni pe zone înclinate.

Orez.3 . 4

În teoria stărilor de stres se pot distinge două sarcini principale.

Sarcina directă. La un moment dat, sunt cunoscute pozițiile zonelor principale și tensiunile principale corespunzătoare; este necesar să se găsească tensiuni normale și forfecare de-a lungul zonelor înclinate la un unghi dat față de cele principale.

Problemă inversă. La un punct se cunosc tensiunile normale si tangentiale care actioneaza in doua zone reciproc perpendiculare; este necesar să se găsească direcțiile principale și tensiunile principale. Ambele probleme pot fi rezolvate atât analitic, cât și grafic.

Problemă directă într-o stare de stres plană. Cercul de tensiune (cercul lui Mohr).

Rezolvarea analitică a problemei directe este dată de formulele (3.2) – (3.5).

Să analizăm starea de stres folosind un simplu construcție grafică. Pentru a face acest lucru, introducem în considerare planul geometric și îl raportăm la axele de coordonate dreptunghiulare și . Vom descrie procedura de calcul folosind exemplul stării de stres prezentat în Fig. 3.5, a.

După ce am ales o anumită scară pentru tensiuni, trasăm segmentele pe axa absciselor (Figura 3.5, b)

Pe același diametru construim un cerc cu centrul în punctul . Cercul construit este numit cerc de tensiune sau Cercul lui Mohr.

Orez.3 . 5

Coordonatele punctelor cercului corespund tensiunilor normale și de forfecare la diferite locuri. Deci, pentru a determina tensiunea pe o zonă trasată la un unghi (Fig. 3.5, a) din centrul cercului (Fig. 3.5, b), desenăm o rază la un unghi până când se intersectează cu cercul într-un punct (punem unghiuri pozitive în sens invers acelor de ceasornic). Abscisa unui punct (segment) este egală cu tensiunea normală, iar ordonata (segmentul) acestuia este egală cu tensiunea tangenţială.

Găsim tensiunea pe o zonă perpendiculară pe cea considerată desenând o rază în unghi și obținând un punct la intersecția cu cercul. Evident, ordonata punctului corespunde efortului de forfecare, iar abscisa punctului corespunde tensiunii normale.

Tragând o linie paralelă dintr-un punct (în cazul nostru, o linie orizontală) până când se intersectează cu un cerc, găsim un pol - un punct. Linia care leagă polul de orice punct al cercului este paralelă cu direcția tensiunii normale pe locul căruia îi corespunde acest punct. Deci, de exemplu, o linie este paralelă cu tensiunea principală. Evident, linia este paralelă cu direcția tensiunii principale.

Problemă inversă într-o stare de efort plană.

În calculele practice, tensiunile normale și de forfecare sunt de obicei determinate pe două zone reciproc perpendiculare. Să fie cunoscute, de exemplu, tensiunile , , , (fig. 3.6, a). Folosind aceste date, este necesar să se determine valorile tensiunilor principale și poziția zonelor principale.

În primul rând, să rezolvăm această problemă grafic. Să presupunem că > ​​și >.

În planul geometric din sistemul de coordonate graficăm punctul , cu coordonatele , și punctul cu coordonatele , (Fig. 3.6, b). Conectând punctele și , găsim centrul cercului - un punct - și desenăm un cerc cu o rază. Abcisele punctelor de intersecție cu axa - segmentele și - vor da, respectiv, valorile tensiunilor principale și.

Pentru a determina poziția site-urilor principale, vom găsi stâlpul și vom folosi proprietatea acestuia. Să tragem o linie din punctul paralel cu linia de acțiune a tensiunii, adică orizontală. Punctul de intersecție al acestei linii cu cercul este polul. Prin legarea polului cu punctele și , obținem direcțiile tensiunilor principale. Zonele principale sunt perpendiculare pe direcțiile găsite ale tensiunilor principale.

Orez.3 . 6

Folosim cercul construit pentru a obține expresii analitice pentru tensiunile principale și:

(3.9)

(3.10)

Formula (3.10) determină singura valoare a unghiului cu care normala trebuie rotită pentru a obține direcția tensiunii principale algebrice mai mare. O valoare negativă corespunde rotației în sensul acelor de ceasornic.

Dacă una dintre tensiunile principale se dovedește a fi negativă, iar cealaltă pozitivă, atunci acestea ar trebui desemnate și . Dacă ambele tensiuni principale se dovedesc a fi negative, atunci acestea ar trebui desemnate și .

Cursul 4. Teorii de forță. Schimb pur (jcomentează)

Teorii ale puterii.

Cea mai importantă sarcină a calculului ingineresc este de a evalua rezistența unui element structural pe baza unei stări de efort cunoscute. Pentru tipurile simple de deformații, în special pentru stările de solicitare uniaxiale, determinarea valorilor tensiunilor periculoase nu prezintă dificultăți deosebite. Să ne amintim că solicitările periculoase sunt înțelese ca tensiuni corespunzătoare debutului distrugerii (în cazul unei stări fragile a materialului) sau apariției deformațiilor reziduale (în cazul unei stări plastice a materialului):

Pentru tensiuni periculoase se stabilesc tensiuni admisibile care oferă o anumită marjă față de apariția stării limită.

Într-o stare de stres complexă, după cum arată experimentele, o stare periculoasă poate apărea la diferite valori ale tensiunilor principale, în funcție de relațiile dintre ele. În acest caz, se introduce o ipoteză despre influența predominantă a unuia sau altuia factor asupra rezistenței materialului. Valoarea limită a factorului care determină rezistența se constată pe baza unor experimente simple (tensionare, compresiune, torsiune).

Ipoteza aleasă în acest fel se numește teoria mecanică a rezistenței.

Să luăm în considerare teoriile clasice ale puterii.

Tensiunea este o măsură numerică a distribuției forțelor interne de-a lungul unui plan de secțiune transversală. Este utilizat în studiul și determinarea forțelor interne ale oricărei structuri.

Să selectăm o zonă din planul secțiunii  O; de-a lungul acestei zone va acţiona o forţă internă  R.

Mărimea raportului  R/ O= p mier se numește tensiunea medie la locație  O. Tensiunea adevărată într-un punct O o vom obține prin țintire  O la zero:

Tensiunile normale apar atunci când particulele dintr-un material tind să se îndepărteze unele de altele sau, dimpotrivă, să se apropie. Tensiunile tangenţiale sunt asociate cu deplasarea particulelor de-a lungul planului secţiunii luate în considerare.

Este evident că
. Efortul tangențial, la rândul său, poate fi extins de-a lungul direcțiilor axei xŞi y (τ z X , τ z la). Dimensiunea tensiunii este N/m 2 (Pa).

Sub acțiunea forțelor externe, odată cu apariția tensiunilor, are loc o modificare a volumului corpului și a formei acestuia, adică corpul este deformat. În acest caz, se face o distincție între stările inițiale (nedeformate) și finale (deformate) ale corpului.

16. Legea împerecherii tensiunilor tangențiale

Kasat. tensiune pe 2 reciproc perpendiculare. zonă îndreptate spre sau departe de margine și egale ca mărime

17. Conceptul de deformații. Măsurarea deformării liniare, transversale și unghiulare

Deformare – numită. mișcarea reciprocă a punctelor sau secțiunilor unui corp în comparație cu pozițiile corpului pe care le ocupau înainte de aplicarea forțelor externe

Există: elastice și plastice

a) deformare liniară

măsura fenomenului este alungirea relativă a epsilului =l1-l/l

b) transversal def

măsura fenomenelor îngustarea relativă a cursei epsil=|b1-b|/b

18. Ipoteza secțiunilor plane

Principalele ipoteze(presupune): ipoteza despre non-presiunea fibrelor longitudinale: fibrele paralele cu axa grinzii sufera deformare la tractiune-compresiune si nu exercita presiune unele asupra altora in directie transversala; ipoteza secțiunii plane: O secțiune a unei grinzi care este plată înainte de deformare rămâne plată și normală față de axa curbă a grinzii după deformare. În cazul îndoirii plane, în general, există factori interni de putere: forța longitudinală N, forța transversală Q și momentul încovoietor M. N>0, dacă forța longitudinală este de tracțiune; la M>0, fibrele de deasupra fasciculului sunt comprimate iar fibrele de pe fund sunt întinse. .

Se numește stratul în care nu există extensii strat neutru(axă, linie). Pentru N=0 și Q=0, avem cazul îndoire pură. Tensiuni normale:
, este raza de curbură a stratului neutru, y este distanța de la o anumită fibră la stratul neutru.

19.Legea lui Hooke (1670). Semnificația fizică a cantităților incluse în acesta

El a stabilit relația dintre stres, întindere și deformare longitudinală.
unde E este coeficientul de proporționalitate (modulul de elasticitate al materialului).

Modulul elastic caracterizează rigiditatea materialului, adică. capacitatea de a rezista la deformare. (cu cât E mai mare, cu atât materialul este mai puțin la tracțiune)

Energia potențială de deformare:

Forțele externe aplicate unui corp elastic efectuează lucru. Să-l notăm cu A. Ca urmare a acestei lucrări, se acumulează energia potențială a corpului deformat U. În plus, munca merge să confere viteză masei corpului, adică. se transformă în energie cinetică K. Bilanțul energetic are forma A = U + K.

Voltaj se numește intensitatea acțiunii forțelor interne într-un punct al corpului, adică stresul este forța internă pe unitate de suprafață. Prin natura sa, tensiunea apare pe suprafețele interne de contact dintre părțile corpului. Tensiunea, precum și intensitatea sarcinii de suprafață exterioară, sunt exprimate în unități de forță per unitate de suprafață: Pa = N/m 2 (MPa = 10 6 N/m 2, kgf/cm 2 = 98.066 Pa ≈ 10 5 Pa , tf/m2 etc.).

Să selectăm o zonă mică ∆A. Să notăm forța internă care acționează asupra ei ca ∆\vec(R). Tensiunea medie totală pe acest site este \vec(р) = ∆\vec(R)/∆A. Să găsim limita acestui raport la ∆A \to 0. Aceasta va fi tensiunea completă pe această zonă (punct) a corpului.

\textstyle \vec(p) = \lim_(\Delta A \to 0) (\Delta\vec(R)\over \Delta A)

Tensiunea totală \vec p, ca și rezultanta forțelor interne aplicate pe o zonă elementară, este o mărime vectorială și poate fi descompusă în două componente: perpendiculară pe aria luată în considerare - efort normal σ nși tangentă la amplasament – ​​efort tangențial \tau_n. Aici n– normal cu zona selectată.

Efortul de forfecare, la rândul său, poate fi descompus în două componente paralele cu axele de coordonate x, y, asociat cu secțiunea transversală – \tau_(nx), \tau_(ny). În denumirea tensiunii de forfecare, primul indice indică normala locului, al doilea indice indică direcția efortului de forfecare.

$$\vec(p) = \left[\matrix(\sigma _n \\ \tau _(nx) \\ \tau _(nx)) \right]$$

Rețineți că în viitor ne vom ocupa în principal nu de solicitarea totală \vec p, ci de componentele sale σ_x,\tau _(xy), \tau _(xz) . În general, pe amplasament pot apărea două tipuri de tensiuni: σ normală și tangențială τ .

Tensor de stres

Componentele tensiunii de-a lungul a trei fețe perpendiculare ale elementului formează un sistem de tensiuni descris de o matrice specială - tensor de stres

$$ T _\sigma = \left[\matrix(
\sigma _x & \tau _(yx) & \tau _(zx) \\
\tau _(xy) & \sigma _y & \tau _(zy) \\ \tau _(xz) & \tau _(yz) & \sigma _z
)\dreapta]$$

Aici prima coloană reprezintă componentele tensiunii la locuri,
normală pe axa x, a doua și a treia – pe axa y și, respectiv, z.

La rotirea axelor de coordonate care coincid cu normalele fețelor selectate
element, componentele tensiunii se modifică. Prin rotirea elementului selectat în jurul axelor de coordonate, puteți găsi o astfel de poziție a elementului la care toate eforturile de forfecare pe marginile elementului sunt egale cu zero.

Se numește aria pe care eforturile de forfecare sunt zero platforma principală .

Se numește tensiunea normală la locul principal stresul principal

Se numește normalul zonei principale axa principală a tensiunii .

În fiecare punct, pot fi desenate trei platforme principale reciproc perpendiculare.

La rotirea axelor de coordonate, componentele tensiunii se modifică, dar starea de efort-deformare a corpului (SSS) nu se modifică.

Forțele interne sunt rezultatul aducerii forțelor interne aplicate zonelor elementare în centrul secțiunii transversale. Efortul este o măsură care caracterizează distribuția forțelor interne pe o secțiune.

Să presupunem că știm tensiunea în fiecare zonă elementară. Apoi putem scrie:

Forța longitudinală pe șantier dA: dN = σ z dA
Forța tăietoare de-a lungul axei x: dQ x = \tau (zx) dA
Forța tăietoare de-a lungul axei y: dQ y = \tau (zy) dA
Momente elementare în jurul axelor x, y, z: $$\begin(array)(lcr) dM _x = σ _z dA \cdot y \\ dM _y = σ _z dA \cdot x \\ dM _z = dM _k = \ tau _(zy) dA \cdot x - \tau _(zx) dA \cdot y \end(array)$$

După ce am realizat integrarea pe suprafața secțiunii transversale, obținem:

Adică, fiecare forță internă este rezultatul total al acțiunii tensiunilor pe întreaga secțiune transversală a corpului.

S-a presupus: grinda are o secțiune transversală dreptunghiulară (Fig. 7.11), așadar

;;;

unde y este distanța de la punctul în care se determină efortul de forfecare până la axa neutră x.

Înlocuind aceste formule în formula Zhuravsky, obținem:

Tensiunea de forfecare variază de-a lungul înălțimii secțiunii transversale conform legii unei parabole pătratice (vezi Fig. 7.11).

La (pentru punctele cele mai îndepărtate de axa neutră).

Pentru punctele situate pe axa neutră (la ), .

Diagrame ale tensiunilor tangențiale ale unei secțiuni I

O trăsătură caracteristică a unei secțiuni în I: o schimbare bruscă a lățimii secțiunii transversale (), unde flanșa se conectează la perete.

Să determinăm efortul de forfecare într-un anumit punct K (fig. 7.12) prin trasarea unei secțiuni prin el, a cărei lățime este egală cu grosimea peretelui: .

Să luăm în considerare partea de tăiere superioară a secțiunii transversale (umbrită în Fig. 7.12), al cărei moment de inerție static în raport cu x este egal cu suma momentelor statice de inerție ale flanșei și partea umbrită a peretele:

Diagrama efortului de forfecare pentru o secțiune în I este prezentată în Fig. 7.12, b.

Tensiunile tangenţiale care apar în punctele flanşei sunt calculate utilizând formula Zhuravsky este interzis, deoarece derivarea sa a folosit ipoteza că distribuția tensiunilor tangențiale este uniformă pe lățimea secțiunii transversale, ceea ce este valabil numai dacă lățimea secțiunii este mică. Cu toate acestea, este evident că tensiunile de forfecare sunt mici și nu au niciun efect practic asupra rezistenței grinzii. Diagrama efortului de forfecare pentru o secțiune în I este prezentată cu o linie întreruptă (vezi Fig. 7.12, b).

Formula pentru efortul de forfecare în punctul L (unde flanșa se conectează la perete):

Cele mai mari solicitări de forfecare apar în punctele situate pe axa neutră x.

Diagrame ale tensiunilor tangențiale ale unei secțiuni circulare

A construi Diagrame ale tensiunilor tangențiale ale unei secțiuni circulare hai să aflăm direcția efort de forfecare în timpul îndoirii, care se ridică la un punct pe conturul secțiunii transversale a tijei.

Să considerăm o secțiune transversală arbitrară a tijei (Fig. 7.13, a).

Să presupunem: la un punct al conturului K, efortul tangenţial în timpul îndoirii este direcţionat arbitrar în raport cu conturul. Să descompunăm efortul de forfecare în două componente și , direcționate, respectiv, de-a lungul normalei și tangențiale la contur. Dacă există tensiuni tangenţiale, atunci conform legii de împerechere a tensiunilor tangenţiale pe suprafaţa tijei ar trebui să existe o solicitare tangenţială egală în timpul îndoirii. Deoarece suprafața tijei este liberă de forțe externe paralele cu axa z a grinzii, efortul de forfecare pe suprafața tijei și, prin urmare, .

Astfel, într-un punct de pe conturul secțiunii transversale, a cărui suprafață nu este încărcată cu forțe longitudinale, efortul de forfecare în timpul îndoirii este direcționat tangențial la contur.

Să arătăm că la vârful unghiului de secțiune transversală al tijei, efortul de forfecare este zero (Fig. 7.13, b).

Să presupunem că o efort de forfecare are loc la vârful unghiului (în punctul M). Să-l descompunem în componente ale tensiunii tangenţiale şi . De

Anterior, pentru simplitate și claritate, am considerat o riglă obișnuită din lemn ca o grindă, ceea ce a făcut posibilă, cu ipoteze cunoscute, derivarea ecuațiilor și formulelor de bază pentru calcularea capacității portante a grinzii. Datorită acestor ecuații, am construit diagrame ale forțelor tăietoare „Q” și diagrame ale momentelor încovoietoare „M”.

Figura 149.2.1. Diagrame ale forțelor transversale și ale momentelor încovoietoare care acționează în secțiunile transversale ale unei grinzi sub o sarcină concentrată.

Ceea ce în cele din urmă a făcut posibilă determinarea destul de simplă și clară a valorii momentului încovoietor maxim și, în consecință, a valorii tensiunilor normale maxime de tracțiune și compresiune care apar în secțiunea transversală cea mai încărcată a grinzii.

În plus, cunoscând rezistența de proiectare a materialului fasciculului (valorile rezistenței de proiectare sunt efectuate în SNiP-urile corespunzătoare), puteți determina destul de ușor momentul de rezistență al secțiunii transversale și apoi alți parametri ai grinzii, înălțime și lățime, dacă grinda are secțiune dreptunghiulară, diametru, dacă grinda are secțiune circulară, se numără în funcție de sortiment, dacă grinda este din profil metalic laminat la cald.

Acest calcul de rezistență este un calcul pentru primul grup de stări limită și vă permite să determinați sarcina maximă admisă pe care o poate suporta structura calculată. Depășirea sarcinii maxime admise va duce la defecțiuni structurale. Cum exact se va prăbuși structura nu este de interes pentru noi în acest caz, deoarece acest site nu este dedicat problemelor de cercetare teoretică și practică a stărilor limită ale materialelor, ci doar unor metode de calcul a celor mai comune structuri de construcție.

De regulă, calculele de inginerie ale structurilor care vor fi utilizate în sute de tone și zeci de metri cubi sunt efectuate astfel încât să se obțină structura maximă încărcată. Prin urmare, astfel de calcule sunt destul de complexe și implică diferite tipuri de coeficienți care iau în considerare durata de viață a structurii, natura sarcinilor, ciclicitatea, sarcinile dinamice, eterogenitatea materialului utilizat etc. - zeci. Acest lucru este logic, deoarece, cu producția brută, fiecare procent duce în cele din urmă la economii tangibile. În construcția privată, efectuată o singură dată, rezistența structurii, chiar și cu o marjă dublă, este mult mai importantă decât posibilele economii de materiale și, prin urmare, calculele pentru construcția privată de înălțime joasă pot fi simplificate pe cât posibil, folosind doar un factor de corecție γ = 1,6÷2, dacă este înmulțit cu valorile tensiunii acestui factor, sau γ = 0,5÷0,7, dacă valoarea rezistenței calculate este înmulțită cu acest coeficient. Cu toate acestea, chiar și astfel de calcule simple nu se limitează la asta.

Orice grindă care are o lungime semnificativ mai mare decât înălțimea secțiunii transversale, care este o tijă, se va deforma sub influența sarcinilor. Rezultatele deformării sunt deplasarea axei centrale a fasciculului de-a lungul axei la raportat la axa X , cu alte cuvinte, deformarea, precum și rotația secțiunilor transversale ale grinzii în raport cu planul secțiunii transversale. Și aceleași deviații și unghiuri de rotație, indiferent de suporturile pe care le are grinda și ce sarcini acţionează asupra ei, pot fi, de asemenea, determinate. Pentru a determina unghiul maxim de rotație și deformarea maximă, diagramele corespunzătoare sunt, de asemenea, construite pentru a determina care secțiune transversală se va deplasa cel mai mult ca urmare a deformarii și care va fi înclinată cel mai mult.

Figura 174.5.6. Diagrama unghiurilor de rotație sub acțiunea unei sarcini concentrate în mijlocul grinzii

Diagrama de deformare nu este prezentată aici, dar destul de ciudat, aceasta este cea mai simplă diagramă care arată poziția axei care trece prin secțiunile transversale ale grinzii ca urmare a deformării, iar această diagramă poate fi observată cu ochii tăi pe orice grindă îndoită sau orice altă structură. Cunoscând modulul de elasticitate al materialului grinzii și momentul de inerție al secțiunii transversale, determinarea deformației maxime nu este, de asemenea, foarte dificilă. Rezolvarea acestor probleme poate fi simplificata pe cat posibil prin scheme de calcul pentru grinzi, pentru care se dau formule corespunzatoare in functie de natura suporturilor si de tipul de incarcare.

Acest calcul al deformațiilor este un calcul bazat pe stările limită ale celui de-al doilea grup și arată destul de clar cu ce cantitate se va îndoi fasciculul. Acest lucru poate fi important nu numai din cauza limitărilor tehnologice, de exemplu pentru grinzile macaralei, ci și din motive estetice. De exemplu, atunci când tavanul, sau mai degrabă plafonul, deși destul de puternic, se îndoaie vizibil, atunci acest lucru nu este foarte plăcut. Valorile maxime admise de deformare pentru diferite structuri ale clădirii sunt date în SNiP 2.01.07-85 „Încărcări și impacturi” (în versiunea sa actualizată). Cu toate acestea, atunci când faceți calcule pentru dvs., nimeni nu interzice utilizarea unor valori de deformare și mai mici.

Aici cititorul poate avea o întrebare complet rezonabilă: de ce a fost necesar să se construiască o diagramă a tensiunii tangențiale „Q” dacă această diagramă nu este implicată în niciun calcul. Ei bine, este timpul să răspundem la această întrebare.

Faptul este că calculul diferitelor tipuri de grinzi, în special a celor cu secțiune transversală dreptunghiulară constantă situată orizontal, pentru rezistența sub acțiunea tensiunilor tangențiale este foarte rar decisiv, spre deosebire de calculele de mai sus. Cu toate acestea, este încă necesar să știm ce sunt tensiunile de forfecare și cum afectează acestea funcționarea structurii, chiar dacă foarte simplificată.

După cum reiese din definiție, tensiunile tangenţiale acționează în planul secțiunii transversale, ca și cum ar atinge secțiunea transversală, motiv pentru care sunt numite tangenţiale. Determinarea valorii tensiunilor tangențiale este simplă la prima vedere: este suficient să împărțim valoarea forței tăietoare (pentru aceasta avem nevoie de diagrama „Q”) la aria secțiunii transversale (în exemplul pe care îl luăm în considerare, forfecarea). fortele actioneaza numai de-a lungul axei la și atunci asta ne va fi suficient, vom avea întotdeauna timp să complicăm orice calcul):

T= Q/F = Q/(bh) (270.1)

Ca rezultat, putem construi o diagramă a tensiunilor tangențiale" τ „(în plus față de tensiunile normale „σ”) de următoarea formă:

Figura 270.1. Diagrama preliminară a tensiunilor tangențiale " τ "

Cu toate acestea, o astfel de diagramă a tensiunilor tangențiale ar fi valabilă pentru un material abstract care are elasticitate liniară de-a lungul axei la , și absolut rigid de-a lungul axei z , în urma căreia nu există o redistribuire a tensiunilor în secțiunea transversală a unui astfel de material și există un singur tip de deformare în raport cu axa la . În realitate, orice corp care are proprietăți izotrope, sub influența sarcinilor, încearcă să-și mențină volumul și, prin urmare, secțiunea pe care o luăm în considerare încearcă să-și mențină aria. Un bun exemplu este atunci când stai pe o minge, înălțimea acesteia scade sub influența greutății tale, dar lățimea crește. În plus, acest proces nu este liniar. Dacă tăiați un cub sau paralelipiped din aluat și apoi apăsați pe el, marginile laterale vor deveni convexe, un proces similar are loc în timpul testelor de compresie de laborator pe mostre de metal sau alte materiale.

Printre altele, aceasta înseamnă, de asemenea, că eforturile de forfecare acționează de-a lungul axei la , provoacă apariția unor tensiuni tangențiale de-a lungul axei z și diagrama tensiunilor tangențiale de-a lungul axei z va arăta mai clar modificarea tensiunilor tăietoare în raport cu înălțimea grinzii. În acest caz, forma diagramei va semăna cu fața laterală a unui cub de aluat aplatizat, iar zona diagramei, desigur, nu se va schimba. Aceste. valorile diagramei tensiunii de forfecare în partea de jos și în partea superioară a secțiunii transversale vor fi egale cu zero, iar valoarea maximă (pentru o secțiune dreptunghiulară) va fi la mijlocul înălțimii secțiunii și este clar mai mare decât Q/F. Pe baza condiției de egalitate a ariilor diagramelor, valoarea maximă a diagramei tensiunilor tangențiale nu poate fi mai mare de 2Q/F și chiar și atunci numai dacă diagrama este formată din două triunghiuri, iar în acest caz valoarea maximă este înălțimea triunghiurilor. Cu toate acestea, așa cum am aflat deja, diagrama în aparență amintește mai mult de o parte a unui cerc sau a unei parabole, adică. valoarea tensiunii maxime de forfecare va fi de aproximativ 1,5Q/F:

Figura 270.2. Diagrama efortului de forfecare mai precis.

Linia gri arată diagrama tensiunilor tangenţiale pe care am adoptat-o ​​anterior, dar acum tensiunile tangenţiale sunt direcţionate de-a lungul axei z .

Din punct de vedere matematic, modificarea tensiunilor tăietoare în funcție de înălțimea secțiunii poate fi exprimată prin modificarea momentului static al părții tăiate a secțiunii, ținând cont de modificarea lățimii secțiunii, deoarece grinzile nu au întotdeauna o secțiune transversală dreptunghiulară. Ca rezultat, formula pentru determinarea tensiunilor de forfecare (derivarea formulei nu este dată aici) are următoarea formă:

T= Q y S z ots /bI z(270,2) - formula Prof. D. I. Zhuravsky

Unde Qy- valoarea forței tăietoare în secțiunea transversală luată în considerare se determină din diagrama „Q”.

S z ots- momentul static al porțiunii tăiate a secțiunii la înălțimea considerată față de ax z . Este definită ca aria părții tăiate înmulțită cu distanța dintre centrul de greutate al întregii secțiuni și centrul de greutate al părții tăiate a secțiunii. De exemplu, în partea de jos a secțiunii transversale, de exemplu. la înălțimea h=0, aria părții tăiate a secțiunii va fi, de asemenea, egală cu 0 și, prin urmare, eforturile de forfecare care acționează de-a lungul lățimii b a secțiunii transversale vor fi, de asemenea, egale cu zero. Pentru o secțiune care trece prin centrul de greutate al secțiunii transversale, i.e. cu o înălțime a părții tăiate a secțiunii egală cu h/2, momentul static va fi (bh/2)(h/4) = bh 2 /8. Când înălțimea secțiunii tăiate este egală cu înălțimea secțiunii transversale, momentul static va fi egal cu zero, deoarece centrul de greutate al părții tăiate a secțiunii în acest caz va coincide cu centrul de greutate al secțiunii.

b- latimea sectiunii transversale la inaltimea considerata a sectiunii transversale. Pentru grinzile cu secțiune transversală dreptunghiulară, lățimea secțiunii este constantă, dar există grinzi rotunde, secțiuni în T, grinzi în I și orice altă secțiune. Mai mult decât atât, determinarea tensiunilor tangenţiale este folosită cel mai adesea la calcularea grinzilor cu secţiune transversală nedreptunghiulară, deoarece atunci când o secţiune trece de la flanşe la un perete, apare un salt semnificativ al tensiunilor tangenţiale din cauza unei modificări a lăţimii secţiunii. , iar trecerea de la flanșe la perete are loc de obicei la o astfel de înălțime unde tensiunile normale sunt destul de mari și acest lucru este luat în considerare de calculul corespunzător.

Iz- momentul de inerție al secțiunii transversale față de ax z . În acest caz, singura valoare mai mult sau mai puțin constantă. Pentru o secțiune transversală dreptunghiulară, momentul de inerție este bh 3 /12.

Astfel, conform formulei (270.2), valoarea maximă a tensiunilor tangențiale va fi:

T= 12Qbh 2 /(8b 2 h 3) = 1,5Q/F (270.3)

Geometria ne-a dat același rezultat.

Și încă un lucru. Pentru materialele cu proprietăți anizotrope pronunțate, de exemplu lemnul, este necesară testarea rezistenței prin forfecare. Faptul este că rezistența la compresiune a lemnului de-a lungul bobului și rezistența la compresiune a lemnului peste bob sunt lucruri complet diferite. Prin urmare, verificarea se efectuează pentru secțiuni transversale în care eforturile de forfecare sunt maxime, de regulă, acestea sunt secțiuni pe suporturile grinzii (cu o sarcină uniform distribuită). În acest caz, valoarea obținută a tensiunilor tangențiale este comparată cu valoarea rezistenței calculate a lemnului la compresiune sau strivire peste fibre - R c90.

Cu toate acestea, există o altă abordare a problemei determinării tensiunilor tangențiale: sub influența sarcinilor, grinda este deformată, în timp ce tensiunile maxime normale de compresiune și tracțiune apar chiar în partea de jos și în partea superioară a secțiunii transversale a grinzii. , care poate fi văzut din diagrama „σ” din Fig. 270.1 .

În acest caz, între fibrele unui material atât de eterogen precum lemnul, precum și între straturi ale oricărui alt material, apar tensiuni tangenţiale, îndreptate acum de-a lungul axei. X , adică de-a lungul aceleiași axe ca tensiunile normale de compresiune și forfecare rezultate din acțiunea unui moment încovoietor.

Acest lucru se întâmplă deoarece fiecare strat luat în considerare suferă sarcini normale de valori diferite și, ca urmare a aceleiași redistribuiri a tensiunilor, apar tensiuni tangenţiale. Aceste tensiuni de forfecare par să încerce să împartă fasciculul în straturi separate, fiecare dintre acestea va acționa ca un fascicul separat.

Diferența de capacitate portantă între straturile individuale și o grindă solidă este evidentă. De exemplu, dacă luați un pachet de hârtie de cel puțin 500 de coli, atunci îndoirea unui astfel de pachet este o bucată de tort, dar dacă lipiți toate foile, de exemplu. straturi ale grinzii între ele, atunci vom obține o grindă solidă și va fi mult mai dificil să o îndoiți. Dar între foile lipite vor apărea aceleași tensiuni tangenţiale, relativ vorbind, normale. Cu toate acestea, valoarea tensiunilor tangențiale normale este determinată în același mod și aceeași forță transversală, determinată din diagrama „Q”, este implicată în calcule. Dar nu partea tăiată a secțiunii este luată în considerare, ci partea tăiată a secțiunii în consecință, momentul static poate fi desemnat - S z sk. În acest caz, valoarea obținută a tensiunilor tangențiale este comparată cu valoarea rezistenței calculate a lemnului la așchiere de-a lungul fibrelor - R ck.

Adevărat, sensuri R c90Şi R ck pentru lemn au aceeași valoare, dar cu toate acestea, se disting tensiunile tangenţiale din acţiunea forţelor transversale şi din deformaţii ca urmare a deformarii (deoarece două zone de tensiuni principale sunt considerate perpendiculare una pe cealaltă), iar direcţia de acţiune a tensiunilor tangenţiale este importantă la determinarea stres total în punctul corpului studiat.

Totuși, toate acestea nu sunt altceva decât concepte generale despre tensiuni tangențiale. În materialele reale, procesul de redistribuire a tensiunilor este mult mai complex, totul deoarece chiar și metalul poate fi clasificat ca materiale izotrope mai degrabă condiționat. Cu toate acestea, aceste întrebări sunt luate în considerare de o disciplină științifică separată - teoria elasticității. Când se calculează structuri de construcție care sunt tije - grinzi sau plăci - plăci de dimensiunea unei încăperi, este foarte posibil să se folosească formula (270.2), derivată din prevederi generale teoria liniară elasticitate. Atunci când se calculează corpuri masive, ar trebui utilizate metode ale teoriei elasticității neliniare.