Corespondența G între mulțimi OŞi ÎN numit submult. Dacă, atunci ei spun asta b

corespunde O. Ansamblul tuturor elementelor corespondente

Chemat mod elementul a. Se numește mulțimea tuturor cărora le corespunde elementul

prototip element b.

Multe cupluri (b, a) astfel că se numește inversă

către G si este desemnat . Conceptele de imagine și prototip pentru

„G și sunt reciproc inverse.

Exemple. 1) Să-l punem în corespondență cu un număr natural n

set de numere reale . Imaginea cu numărul 5

va fi o jumătate de interval

(aceasta înseamnă cel mai mare număr întreg, mai mic sau egal cu X). Prototipul numărului 5 din această corespondență este o mulțime infinită: jumătate de interval.

În ceea ce privește închiderea, putem da și alte definiții ale închiderii și completității (echivalente cu cele originale):

K este o clasă închisă dacă K = [K];

K este un sistem complet dacă [K] = P 2 .

Exemple.

* (0), (1) - clase închise.

* Un set de funcții ale unei variabile este o clasă închisă.

* - clasă închisă.

* Clasa (1, x+y) nu este o clasă închisă.

Să ne uităm la unele dintre cele mai importante clase închise.

1. T 0- clasa de funcții care păstrează 0.

Să notăm cu T 0 clasa tuturor funcțiilor algebrei logicii f(x 1 , x 2 , ... , x n) păstrând constanta 0, adică funcții pentru care f(0, ... , 0 ) = 0.

Este ușor de observat că există funcții care aparțin lui T 0 și funcții care nu aparțin acestei clase:

0, x, xy, xÚy, x+y О T 0 ;

Din faptul că Ï T 0 rezultă, de exemplu, că nu se poate exprima prin disjuncţie şi conjuncţie.

Deoarece tabelul pentru funcția f din clasa T 0 conține valoarea 0 în prima linie, atunci pentru funcțiile din T 0 puteți seta valori arbitrare numai pe 2 n - 1 set de valori variabile, adică

,

unde este mulțimea de funcții care păstrează 0 și depind de n variabile.

Să arătăm că T 0 este o clasă închisă. Deoarece xÎT 0 , atunci pentru a justifica închiderea este suficient să se arate închiderea față de operația de suprapunere, întrucât operația de modificare a variabilelor este un caz special de suprapunere cu funcția x.

Lasă . Atunci este suficient să arătăm că . Acesta din urmă decurge din lanțul egalităților

2. T 1- clasa de funcții care păstrează 1.

Să notăm cu T 1 clasa tuturor funcțiilor algebrei logicii f(x 1, x 2, ... , x n) păstrând constanta 1, adică funcții pentru care f(1, ... , 1 ) = 1.

Este ușor de observat că există funcții care aparțin lui T 1 și funcții care nu aparțin acestei clase:

1, x, xy, xÚy, xºy О T 1 ;

0, , x+y Ï T 1 .

Din faptul că x + y Ï T 0 rezultă, de exemplu, că x + y nu poate fi exprimat în termeni de disjuncție și conjuncție.

Rezultatele despre clasa T 0 sunt transferate trivial în clasa T 1 . Astfel avem:

T 1 - clasa inchisa;

.

3.L- clasa de funcţii liniare.

Să notăm cu L clasa tuturor funcțiilor algebrei logice f(x 1 , x 2 , ... , x n) care sunt liniare:

Este ușor de observat că există funcții care aparțin lui L și funcții care nu aparțin acestei clase:

0, 1, x, x+y, x 1 º x 2 = x 1 + x 2 + 1, = x+1 О L;

Să demonstrăm, de exemplu, că xÚy Ï L .

Să presupunem contrariul. Vom căuta o expresie pentru xÚy sub forma unei funcții liniare cu coeficienți nedeterminați:

Pentru x = y = 0 avem a=0,

pentru x = 1, y = 0 avem b = 1,

pentru x = 0, y = 1 avem g = 1,

dar atunci pentru x = 1, y = 1 avem 1v 1 ¹ 1 + 1, ceea ce demonstrează neliniaritatea funcției xy.

Dovada închiderii clasei de funcții liniare este destul de evidentă.

Deoarece o funcție liniară este determinată în mod unic prin specificarea valorilor n+1 ale coeficientului a 0 , ... , a n , numărul de funcții liniare din clasa L (n) de funcții în funcție de n variabile este egal cu 2 n+1.

.

4. S- clasa de funcții auto-duale.

Definirea clasei de funcții auto-duale se bazează pe utilizarea așa-numitului principiu al dualității și al funcțiilor duale.

Funcția definită de egalitate este numită dual cu funcția .

Evident, tabelul pentru funcția duală (cu ordonarea standard a seturilor de valori variabile) se obține din tabelul pentru funcția originală prin inversarea (adică înlocuirea 0 cu 1 și 1 cu 0) coloanei de valori ale funcției și răsturnând-o.

Este ușor să vezi asta

(x 1 Ú x 2)* = x 1 Ù x 2 ,

(x 1 Ù x 2)* = x 1 Ú x 2 .

Din definiție rezultă că (f*)* = f, adică funcția f este duală cu f*.

Fie ca o funcție să fie exprimată folosind suprapunerea prin alte funcții. Întrebarea este cum să construim o formulă care să implementeze? Să notăm cu = (x 1, ..., x n) toate simbolurile variabile diferite găsite în mulțimi.

Teorema 2.6. Dacă funcția j se obține ca o suprapunere a funcțiilor f, f 1, f 2, ..., f m, adică

o funcție duală la o suprapunere este o suprapunere de funcții duale.

Dovada.

j*(x 1 ,...,x n) = ` f(`x 1 ,...,`x n) =

Teorema a fost demonstrată. ð

Principiul dualității rezultă din teoremă: dacă o formulă A realizează funcția f(x 1 , ... , x n), atunci formula obținută din A prin înlocuirea funcțiilor incluse în ea cu cele duale ale acestora realizează funcția duală f *(x 1 , ... , xn).

Să notăm cu S clasa tuturor funcțiilor autoduale din P 2:

S = (f | f* = f )

Este ușor de observat că există funcții care aparțin lui S și funcții care nu aparțin acestei clase:

0, 1, xy, xÚy Ï S .

Un exemplu mai puțin trivial de funcție auto-duală este funcția

h(x, y, z) = xy Ú xz Ú ​​​​yz;

Folosind teorema funcției duale la suprapunere, avem

h*(x, y, z)= (x Ú y)Ù(x Ú z) Ù (y Ù z) = x y Ú x z Ú y z; h = h* ; h О S.

Pentru o funcție auto-duală, identitatea este valabilă

deci pe seturi și , pe care o vom numi opus, funcția auto-duală ia valori opuse. Rezultă că funcția auto-duală este complet determinată de valorile sale din prima jumătate a rândurilor tabelului standard. Prin urmare, numărul de funcții auto-duale din clasa S (n) de funcții în funcție de n variabile este egal cu:

.

Să demonstrăm acum că clasa S este închisă. Deoarece xÎS , atunci pentru a justifica închiderea este suficient să arătăm închiderea față de operația de suprapunere, întrucât operația de modificare a variabilelor este un caz special de suprapunere cu funcția x. Lasă . Atunci este suficient să arătăm că . Acesta din urmă este instalat direct:

5. M- clasa funcţiilor monotone.

Înainte de a defini conceptul de funcție monotonă în algebra logicii, este necesar să se introducă o relație de ordonare asupra mulțimii de mulțimi ale variabilelor sale.

Ei spun că setul vine înaintea setului (sau „nu mai mult decât”, sau „mai mic decât sau egal cu”) și utilizați notația dacă a i £ b i pentru tot i = 1, ... , n. Dacă și , atunci vom spune că mulțimea precede cu strictețe mulțimea (sau „strict mai puțin”, sau „mai puțin decât” mulțimea) și vom folosi notația . Seturile și se numesc comparabile dacă fie , fie . În cazul în care nici una dintre aceste relații nu este valabilă, mulțimile și sunt numite incomparabile. De exemplu, (0, 1, 0, 1) £ (1, 1, 0, 1), dar mulțimile (0, 1, 1, 0) și (1, 0, 1, 0) sunt incomparabile. Astfel, relația £ (numită adesea relație de precedență) este o ordine parțială pe mulțimea B n. Mai jos sunt diagrame ale mulțimilor parțial ordonate B 2, B 3 și B 4.

Relația de ordine parțială introdusă este un concept extrem de important care depășește cu mult domeniul de aplicare al cursului nostru.

Acum avem ocazia să definim conceptul de funcție monotonă.

Funcția algebră logică este numită monoton, dacă pentru oricare două mulțimi și , astfel încât , inegalitatea este valabilă . Mulțimea tuturor funcțiilor monotone ale algebrei logicii este notată cu M, iar mulțimea tuturor funcțiilor monotone care depind de n variabile este notă cu M(n).

Este ușor de observat că există funcții care aparțin lui M și funcții care nu aparțin acestei clase:

0, 1, x, xy, xÚy О M;

x+y, x®y, xºy Ï M .

Să arătăm că clasa funcțiilor monotone M este o clasă închisă. Deoarece xОМ, atunci pentru a justifica închiderea este suficient să arăți închiderea față de operația de suprapunere, deoarece operația de modificare a variabilelor este un caz special de suprapunere cu funcția x.

Lasă . Atunci este suficient să arătăm că .

Fie mulțimi de variabile, respectiv, funcții j, f 1 , ... , f m , iar mulțimea de variabile a funcției j este formată din acele și numai acele variabile care apar în funcțiile f 1 , ... , f m . Fie și două seturi de valori ale variabilei și . Aceste seturi definesc seturile valori variabile , astfel încât . Datorită monotonității funcțiilor f 1 , ... , f m

iar datorită monotonității funcției f

De aici ajungem

Numărul de funcții monotone în funcție de n variabile nu este cunoscut cu exactitate. Limita inferioară poate fi obținută cu ușurință:

unde - este partea întreagă a lui n/2.

De asemenea, pur și simplu se dovedește că estimarea de mai sus este prea mare:

Rafinarea acestor estimări este o sarcină importantă și interesantă a cercetării moderne.

Criteriul de completitudine

Acum suntem capabili să formulăm și să dovedim un criteriu de completitudine (teorema lui Post), care determină condițiile necesare și suficiente pentru completitudinea unui sistem de funcții. Să prefațăm formularea și demonstrarea criteriului de completitudine cu câteva leme necesare care au interes independent.

Lema 2.7. Lema despre funcția non-duală.

Dacă f(x 1 , ... , x n)Ï S , atunci se poate obține o constantă din acesta prin înlocuirea funcțiilor x și `x.

Dovada. Din moment ce fÏS, atunci există un set de valori ale variabilelor
=(a 1 ,...,a n) astfel încât

f(`a 1 ,...,`a n) = f(a 1 ,...,a n)

Să înlocuim argumentele din funcția f:

x i este înlocuit cu ,

adică să punem și să luăm în considerare funcția

Astfel, am obținut o constantă (deși nu se știe ce constantă este: 0 sau 1). ð

Lema 2.8. Lema despre funcția nemonotonă.

Dacă funcția f(x 1 ,...,x n) este nemonotonă, f(x 1 ,...,x n) Ï M, atunci se poate obține o negație din ea prin schimbarea variabilelor și înlocuirea constantelor 0 și 1.

Dovada. Deoarece f(x 1 ,...,x n) Ï M, atunci există seturi de valori ale variabilelor sale, , , astfel încât , și pentru cel puțin o valoare i, a i< b i . Выполним следующую замену переменных функции f:

x i va fi înlocuit cu

După o astfel de înlocuire obținem o funcție a unei variabile j(x), pentru care avem:

Aceasta înseamnă că j(x)=`x. Lema este dovedită. ð

Lema 2.9. Lema despre funcția neliniară.

Dacă f(x 1 ,...,x n) Ï L , atunci din acesta prin substituirea constantelor 0, 1 și folosind funcția `x putem obține funcția x 1 &x 2 .

Dovada. Să reprezentăm f ca un DNF (de exemplu, un DNF perfect) și să folosim relațiile:

Exemplu. Să dăm două exemple de aplicare a acestor transformări.

Astfel, o funcție scrisă în formă normală disjunctivă, după aplicarea relațiilor indicate, deschiderea parantezelor și transformărilor algebrice simple, devine un polinom mod 2 (polinomul Zhegalkin):

unde A 0 este o constantă, iar A i este o conjuncție a unor variabile din numărul x 1,..., x n, i = 1, 2, ..., r.

Dacă fiecare conjuncție A i constă dintr-o singură variabilă, atunci f este o funcție liniară, care contrazice condiția lemei.

În consecință, în polinomul Zhegalkin pentru funcția f există un termen care conține cel puțin doi factori. Fără pierderea generalității, putem presupune că printre acești factori există variabile x 1 și x 2. Atunci polinomul poate fi transformat astfel:

f = x 1 x 2 f 1 (x 3 ,..., x n) + x 1 f 2 (x 3 ,..., x n) + x 2 f 3 (x 3 ,..., x n) + f 4 (x 3 ,..., x n),

unde f 1 (x 3 ,..., x n) ¹ 0 (altfel polinomul nu include o conjuncție care conține conjuncția x 1 x 2).

Fie (a 3 ,...,a n) astfel încât f 1 (a 3 ,...,a n) = 1. Atunci

j(x 1 ,x 2) = f(x 1 ,x 2 , a 3 ,...,a n) = x 1 x 2 +ax 1 +bx 2 +g ,

unde a, b, g sunt constante egale cu 0 sau 1.

Să folosim operația de negație pe care o avem și să considerăm funcția y(x 1 ,x 2) obținută din j(x 1 ,x 2) după cum urmează:

y(x 1 ,x 2) = j(x 1 +b, x 2 +a)+ab+g.

Este evident că

y(x 1 ,x 2) =(x 1 +b)(x 2 +a)+a(x 1 +b)+b(x 2 +a)+g+ab+g = x 1 x 2.

Prin urmare,

y(x 1 ,x 2) = x 1 x 2 .

Lema este complet dovedită. ð

Lema 2.10. Lema principală a criteriului de completitudine.

Dacă clasa F=( f ) a funcțiilor de algebră logică conține funcții care nu păstrează unitatea, nu păstrează 0, sunt non-auto-duale și nemonotone:

apoi din functiile acestui sistem, prin operatii de suprapunere si inlocuire de variabile, se pot obtine constantele 0, 1 si functia.

Dovada. Să luăm în considerare funcția. Apoi

.

Există două cazuri posibile de considerații ulterioare, desemnate în prezentarea următoare ca 1) și 2).

1). Funcția de pe setul de unități ia valoarea 0:

.

Vom înlocui totul funcții variabile variabila x. Apoi funcția

există, pentru că

Şi .

Să luăm o funcție non-duală. Deoarece am obținut deja funcția, atunci prin lema pe o funcție non-duală (lema 2.7. ) puteți obține o constantă de la. A doua constantă poate fi obținută de la prima folosind funcția. Deci, în primul caz considerat, se obțin constante și negație. . Cel de-al doilea caz, și odată cu el lema principală a criteriului de completitudine, sunt complet dovedite. ð

Teorema 2.11. Un criteriu pentru completitudinea sistemelor de funcții în algebra logicii (teorema lui Post).

Pentru ca sistemul de funcții F = (f i) să fie complet, este necesar și suficient ca acesta să nu fie cuprins în întregime în nici una dintre cele cinci clase închise T 0, T 1, L, S, M, adică pt. fiecare dintre clasele T 0 , T 1 , L , S, M în F există cel puţin o funcţie care nu aparţine acestei clase.

Necesitate. Fie F un sistem complet. Să presupunem că F este conținut într-una din clasele indicate, să o notăm cu K, adică. F Í K. Ultima includere este imposibilă, deoarece K este o clasă închisă care nu este un sistem complet.

Adecvarea. Fie întregul sistem de funcții F = (f i ) să nu fie conținut în nici una din cele cinci clase închise T 0 , T 1 , L , S , M . Să luăm următoarele funcții în F:

Apoi, pe baza lemei principale (lema 2.10 ) dintr-o funcție care nu păstrează 0, o funcție care nu păstrează 1, funcții non-duale și nemonotone, se pot obține constantele 0, 1 și funcția de negație:

.

Pe baza lemei funcțiilor neliniare (lema 2.9 ) din constante, negație și o funcție neliniară putem obține conjuncția:

.

Sistem de funcții - un sistem complet conform teoremei despre posibilitatea de a reprezenta orice funcție a algebrei logicii sub forma unei forme normale disjunctive perfecte (de remarcat că disjuncția poate fi exprimată prin conjuncție și negație sub forma ).

Teorema este complet demonstrată. ð

Exemple.

1. Să arătăm că funcția f(x,y) = x|y formează un sistem complet. Să construim un tabel de valori ale funcției x½y:

f(0,0) = 1, deci x | yÏT 0 .

f(1,1) = 0, deci x | yÏT 1 .

f(0,0) = 1, f(1,1) = 0, deci x | mie.

f(0,1) = f(1,0) = 1, - pe multimi opuse x | y acceptă aceleasi valori, prin urmare x | da.

În sfârșit, ce înseamnă neliniaritatea funcției?
x | y.

Pe baza criteriului de completitudine, putem afirma că f(x,y) = x | y formează un sistem complet. ð

2. Să arătăm că sistemul de funcții formează un sistem complet.

Într-adevăr, .

Astfel, printre funcțiile sistemului nostru am găsit: o funcție care nu păstrează 0, o funcție care nu păstrează 1, funcții non-autoduale, nemonotone și neliniare. Pe baza criteriului de completitudine, se poate susține că sistemul de funcții formează un sistem complet. ð

Astfel, suntem convinși că criteriul de completitudine dă un aspect constructiv și mod eficient clarificarea completității sistemelor de funcții ale algebrei logicii.

Să formulăm acum trei corolare din criteriul de completitudine.

Corolarul 1. Orice clasă închisă K de funcții ale algebrei logicii care nu coincide cu întregul set de funcții al algebrei logicii (K¹P 2) este conținută în cel puțin una dintre clasele închise construite.

Definiţie. Se numește clasa închisă K pre-plin, dacă K este incomplet și pentru orice funcție fÏ K clasa K È (f) este completă.

Din definiție rezultă că clasa precompletă este închisă.

Corolarul 2.În algebra logicii există doar cinci clase precomplete și anume: T 0, T 1, L, M, S.

Pentru a demonstra corolarul, trebuie doar să verificați dacă niciuna dintre aceste clase nu este conținută în cealaltă, ceea ce este confirmat, de exemplu, următorul tabel functii apartinand unor clase diferite:

Corolarul 3. Din orice sistem complet de funcții este posibil să se distingă un subsistem complet care conține nu mai mult de patru funcții.

Din demonstrarea criteriului de completitudine rezultă că nu se pot distinge mai mult de cinci funcții. Din demonstrarea lemei principale (Lema 2.10 ) rezultă că fie nu este auto-dual, fie nu păstrează unitatea și nu este monoton. Prin urmare, nu sunt necesare mai mult de patru funcții.

Funcția de construire

Oferim atentiei dumneavoastra un serviciu de realizare online a graficelor de functii, toate drepturile la care apartin companiei Desmos. Utilizați coloana din stânga pentru a introduce funcții. Puteți introduce manual sau folosind tastatura virtuală din partea de jos a ferestrei. Pentru a mări fereastra cu graficul, puteți ascunde atât coloana din stânga, cât și tastatura virtuală.

Beneficiile graficelor online

• Afișarea vizuală a funcțiilor introduse
• Construirea de grafice foarte complexe
• Construcția graficelor specificate implicit (de exemplu, elipsa x^2/9+y^2/16=1)
• Posibilitatea de a salva diagrame și de a primi un link către ele, care devine disponibil pentru toată lumea pe Internet
• Controlul scalei, culoarea liniei
• Posibilitatea de a trasa grafice pe puncte, folosind constante
• Trasarea mai multor grafice de funcții simultan
• Trasarea în coordonate polare (utilizați r și θ(\theta))

Cu noi este ușor să construiți grafice de complexitate variată online. Construcția se face instantaneu. Serviciul este solicitat pentru a găsi puncte de intersecție a funcțiilor, pentru a reprezenta grafice pentru deplasarea lor ulterioară în document Word ca ilustrații la rezolvarea problemelor, pentru a analiza caracteristicile comportamentale ale graficelor de funcții. Browserul optim pentru lucrul cu diagrame de pe această pagină a site-ului este Google Chrome. Funcționarea corectă nu este garantată atunci când utilizați alte browsere.

Tema: „Funcția: concept, metode de atribuire, caracteristici principale. Funcția inversă. Suprapunerea funcțiilor.”

Epigraful lecției:

„Studiați ceva și nu vă gândiți la el

învăţat – absolut inutil.

Să te gândești la ceva fără să-l studiezi

subiect preliminar de gândire -

Confucius.

Scopul și obiectivele psihologice și pedagogice ale lecției:

1) Scop educativ general (normativ).: Revedeți împreună cu elevii definiția și proprietățile unei funcții. Introduceți conceptul de suprapunere a funcțiilor.

2) Obiectivele dezvoltării matematice a elevilor: utilizarea materialelor educaționale și matematice non-standard pentru a continua dezvoltarea experienței mentale a elevilor, a structurii cognitive semnificative a inteligenței lor matematice, inclusiv abilitățile de gândire logico-deductivă și inductivă, analitică și sintetică reversibilă, gândire algebrică și figurativ-grafică , generalizare și concretizare semnificativă, la reflecție și independență ca abilitate metacognitivă a elevilor; să continue dezvoltarea unei culturi a vorbirii scrise și orale ca mecanisme psihologice ale inteligenței educaționale și matematice.

3) Sarcini educaționale: să continue educația personală a elevilor de interes cognitiv pentru matematică, responsabilitate, simț al datoriei, independență academică, capacitate comunicativă de a coopera cu grupul, profesorul, colegii de clasă; abilitate autogogică pentru activitate educațională și matematică competitivă, luptă pentru rezultate înalte și cele mai înalte (motiv acmeic).

Tipul de lecție: învățarea de material nou; după criteriul conducerii conținutului matematic - o lecție practică; după criteriul tipului de interacţiune informaţională dintre elevi şi profesor – o lecţie de cooperare.

Echipament pentru lecție:

1. Literatură educațională:

1) Kudryavtsev analiză matematică: Manual. pentru universități și studenți. În 3 volume T. 3. – Ed. a II-a, revăzută. si suplimentare – M.: Mai sus. şcoală, 1989. – 352 p. : bolnav.

2) Probleme și exerciții Demidovich de analiză matematică. – Ed. a 9-a. – M.: Editura „Nauka”, 1977.

2. Ilustrații.

Progresul lecției.

1. Anunțarea temei și a scopului educațional principal al lecției; stimularea simțului datoriei, responsabilității și interesului cognitiv al elevilor în pregătirea pentru sesiune.

2.Repetarea materialului pe bază de întrebări.

a) Definiți o funcție.

Unul dintre conceptele matematice de bază este conceptul de funcție. Conceptul de funcție este asociat cu stabilirea unei relații între elementele a două mulțimi.

Fie două seturi nevide și să fie date. Este numită o potrivire f care potrivește fiecare element cu un singur element funcţie și scrie y = f(x). Ei mai spun că funcția f afișează multi peste multi.

https://pandia.ru/text/79/018/images/image003_18.gif" width="63" height="27">.gif" width="59" height="26"> se numește set de sensuri funcția f și se notează cu E(f).

b) Funcţii numerice. Graficul funcției. Metode de specificare a funcțiilor.

Să fie dată funcția.

Dacă elementele mulțimilor și sunt numere reale, atunci se numește funcția f functie numerica . Se numește variabila x argument sau variabilă independentă și y – funcţie sau variabilă dependentă(din x). În ceea ce privește cantitățile x și y înseși, se spune că se află în dependenta functionala.

Graficul funcției y = f(x) este mulțimea tuturor punctelor planului Oxy, pentru fiecare dintre ele x este valoarea argumentului și y este valoarea corespunzătoare a funcției.

Pentru a specifica funcția y = f(x), este necesar să se precizeze o regulă care să permită, cunoscând x, să se găsească valoarea corespunzătoare a lui y.

Cele mai comune trei moduri de a specifica o funcție sunt: ​​analitică, tabelară și grafică.

Metoda analitica: O funcție este specificată ca una sau mai multe formule sau ecuații.

De exemplu:

Dacă domeniul de definire al funcției y = f(x) nu este specificat, atunci se presupune că aceasta coincide cu setul tuturor valorilor argumentului pentru care formula corespunzătoare are sens.

Metoda analitică de specificare a unei funcții este cea mai avansată, deoarece este însoțită de metode de analiză matematică care fac posibilă studierea completă a funcției y = f(x).

Metoda grafică: Setează graficul funcției.

Avantajul unei sarcini grafice este claritatea sa, dezavantajul este inexactitatea sa.

Metoda tabelară: O funcție este specificată de un tabel cu o serie de valori ale argumentelor și valorile funcției corespunzătoare. De exemplu, binecunoscutele tabele de valori funcții trigonometrice, tabele logaritmice.

c) Principalele caracteristici ale funcției.

1. Se numește funcția y = f(x), definită pe mulțimea D chiar , dacă sunt îndeplinite condițiile și f(-x) = f(x); ciudat , dacă sunt îndeplinite condițiile și f(-x) = -f(x).

Graficul unei funcții pare este simetric față de axa Oy, iar o funcție impară este simetrică față de origine. De exemplu, – chiar funcții; și y = sinx, https://pandia.ru/text/79/018/images/image014_3.gif" width="73" height="29"> – funcții de formă generală, adică nici par, nici impar.

2. Fie definită funcția y = f(x) pe mulțimea D și fie . Dacă pentru oricare dintre valorile argumentelor urmează următoarea inegalitate: , atunci funcția este apelată crescând pe platou; Dacă , atunci funcția este apelată nescădere pe https://pandia.ru/text/79/018/images/image021_1.gif" width="117" height="28 src=">apoi funcția este apelată. în scădere pe ; - necrescătoare .

Funcții de creștere, necreștere, descreștere și nedescrescătoare pe set https://pandia.ru/text/79/018/images/image023_0.gif" width="13" height="13">Valoare D (x +T)D și egalitatea f(x+T) = f(x) este valabilă.

Pentru a reprezenta un grafic al unei funcții periodice a perioadei T, este suficient să îl reprezentați pe orice segment de lungime T și să îl continuați periodic pe întregul domeniu de definiție.

Să notăm principalele proprietăți ale unei funcții periodice.

1) Suma algebrică a funcțiilor periodice cu aceeași perioadă T este o funcție periodică cu perioada T.

2) Dacă funcția f(x) are perioada T, atunci funcția f(ax) are perioada T/a.

d) Funcția inversă.

Fie dată o funcție y = f(x) cu un domeniu de definiție D și un set de valori E..gif" width="48" height="22">, apoi o funcție x = z(y) cu un domeniu de definiție E și un set de valori D este definită O astfel de funcție z(y) se numește verso la funcția f(x) și se scrie sub următoarea formă: . Funcțiile y = f(x) și x = z(y) se spune că sunt reciproc inverse. Pentru a găsi funcția x = z(y), inversă funcției y = f(x), este suficient să rezolvăm ecuația f(x) = y pentru x.

Exemple:

1. Pentru funcția y = 2x funcția inversă este funcția x = ½ y;

2. Pentru funcție funcția inversă este funcția .

Din definiția unei funcții inverse rezultă că funcția y = f(x) are inversă dacă și numai dacă f(x) specifică o corespondență unu-la-unu între mulțimile D și E. Rezultă că orice o funcţie strict monotonă are inversă . Mai mult, dacă o funcție crește (descrește), atunci și funcția inversă crește (descrește).

3. Studierea materialelor noi.

Funcție complexă.

Fie definită funcția y = f(u) pe mulțimea D, iar funcția u = z(x) pe mulțime și pentru valoarea corespunzătoare . Atunci funcția u = f(z(x)) este definită pe mulțime, care este numită functie complexa din x (sau suprapunere funcții specificate sau funcţie din funcţie ).

Se numește variabila u = z(x). argument intermediar functie complexa.

De exemplu, funcția y = sin2x este o suprapunere a două funcții y = sinu și u = 2x. O funcție complexă poate avea mai multe argumente intermediare.

4. Rezolvarea mai multor exemple la tablă.

5. Încheierea lecției.

1) rezultate teoretice și aplicate lectie practica; evaluarea diferențiată a nivelului de experiență mentală a elevilor; nivelul lor de stăpânire a temei, competența, calitatea vorbirii matematice orale și scrise; nivelul de creativitate demonstrat; nivelul de independență și reflecție; nivel de inițiativă, interes cognitiv pentru metodele individuale de gândire matematică; niveluri de cooperare, competiție intelectuală, dorință pentru niveluri înalte de activitate educațională și matematică etc.;

2) anunțarea notelor motivate, punctele de lecție.