Lasă V spațiu vectorial deasupra câmpului R, S- sistem de vectori din V.

Definiția 1. Baza sistemului vectorial S un astfel de subsistem ordonat liniar independent este numit B 1, B 2, ..., B R sisteme S, că orice vector al sistemului S combinație liniară de vectori B 1, B 2, ..., B R.

Definiția 2. Rangul sistemului vectorial S este numărul de vectori de bază ai sistemului S. Este indicat rangul sistemului vectorial S simbol R= rang S.

Dacă S = ( 0 ), atunci sistemul nu are nicio bază și se presupune că acel rang S= 0.

Exemplul 1. Să fie dat un sistem de vectori O 1 = (1,2), O 2 = (2,3), O 3 = (3,5), O 4 = (1,3). Vector O 1 , O 2 formează baza acestui sistem, deoarece sunt liniar independente (vezi exemplul 3.1) și O 3 = O 1 + O 2 , O 4 = 3O 1 - O 2. Rangul acestui sistem vectorial este doi.

Teorema 1(teorema pe baze). Fie S - sistem final vectori din V, S ≠{0 }. Atunci afirmațiile sunt adevărate.

1 ° Orice subsistem liniar independent al sistemului S poate fi extins la o bază.

2 ° Sistemul S are o bază.

2 ° Oricare două baze ale sistemului S conțin același număr de vectori, adică rangul sistemului nu depinde de alegerea bazei.

4 ° Dacă R= rang S, atunci orice r vectori liniar independenți formează baza sistemului S.

5 ° Dacă R= rang S, Atunci orice k > r vectori ai sistemului S sunt dependenti liniar.

6 ° Orice vector O€ S este exprimat liniar în mod unic prin vectorii de bază, adică dacă B 1, B 2, ..., B R este baza sistemului S, atunci

O = O1 B 1 + O2 B 2 +...+ ORB R; O1 , O2 , ..., ON€P,(1)

Și aceasta este singura reprezentare.

Datorită bazei de 5°, aceasta Subsistem independent maxim liniar sisteme S, și rangul sistemului S numărul de vectori dintr-un astfel de subsistem.

Reprezentare vectorială O în forma (1) se numeşte Prin descompunerea unui vector în vectori de bază, iar numerele a1, a2 , ..., se numesc ar Coordonatele vectoriale O Pe această bază.

Dovada. 1° Lăsați B 1, B 2, ..., B K- subsistem liniar independent al sistemului S. Dacă fiecare vector al sistemului S Exprimat liniar prin vectorii subsistemului nostru, apoi, prin definiție, este baza sistemului S.

Dacă există un vector în sistem S, care nu este exprimat liniar în termeni de vectori B 1, B 2, ..., B K, apoi îl notăm prin B K+1. Apoi sistemele B 1, B 2, ..., B K, B K+1 - liniar independent. Dacă fiecare vector al sistemului S Exprimat liniar prin vectorii acestui subsistem, atunci prin definiție este baza sistemului S.

Dacă există un vector în sistem S, care nu se exprimă liniar prin B 1, B 2, ..., B K, B K+1, apoi să repetăm ​​raționamentul. Continuând acest proces, vom ajunge fie la baza sistemului S, sau măriți numărul de vectori dintr-un sistem liniar independent cu unul. Din moment ce în sistem S număr finit de vectori, atunci a doua alternativă nu poate continua la nesfârșit și la un pas obținem baza sistemului S.

2° Lăsați S sistem finit de vectori și S ≠{0 ). Apoi în sistem S există un vector B 1 ≠ 0, care formează un subsistem liniar independent al sistemului S. Conform primei părți, poate fi completat la baza sistemului S. Astfel sistemul S are o bază.

3° Să presupunem că sistemul S are doua baze:

B 1, B 2, ..., B R , (2)

C 1, C 2, ..., C S , (3)

Prin definiția bazei, sistemul de vectori (2) este liniar independent și (2) Н S. În plus, prin definiția bazei, fiecare vector al sistemului (2) este o combinație liniară de vectori ai sistemului (3). Apoi, prin teorema principală despre două sisteme de vectori R £ S. În mod similar, se dovedește că S £ R. Din aceste două inegalități rezultă R = S.

4° Lăsați R= rang S, O 1, O 2, ..., O R- subsistem liniar independent S. Să arătăm că aceasta este baza sistemelor S. Dacă nu este o bază, atunci folosind prima parte poate fi completată la o bază și obținem o bază O 1, O 2, ..., O R, O R+1,..., O R+T conţinând mai mult decât R

5° Dacă K vectori O 1, O 2, ..., O K (K > R) sisteme S- sunt independenți liniar, apoi din prima parte acest sistem de vectori poate fi completat la o bază și obținem o bază O 1, O 2, ..., O K, O K+1,..., O K+T conţinând mai mult decât R vectori. Acest lucru contrazice ceea ce a fost dovedit în partea a treia.

6° Lăsați B 1, B 2, ..., B R baza de sistem S. Prin definiția unei baze, orice vector O € S există o combinație liniară de vectori de bază:

O = a1 B 1 + a2 B 2 +...+ ar B R.

Pentru a demonstra unicitatea unei astfel de reprezentări, să presupunem contrariul, că există o altă reprezentare:

O = b1 B 1 + b2 B 2 +...+ br B R.

Scăzând egalitățile termen cu termen găsim

0 = (a1 - b1) B 1 + (a2 - b2) B 2 +...+ (ar - br) B R.

De la baza B 1, B 2, ..., B R sistem liniar independent, atunci toți coeficienții ai - bi =0; eu = 1, 2, ..., R. Prin urmare, ai = bi; eu = 1, 2, ..., R iar unicitatea este dovedită.

Definiţie. Sistem de elemente x..., xch spațiu liniar V se numește dependent liniar dacă există numere a",..., otq, nu toate egale cu zero și astfel încât Dacă egalitatea (1) este îndeplinită numai pentru a] = ... = aq = 0, atunci sistemul de elementele xj, .., x9 se numesc liniar independente. Următoarele afirmații sunt adevărate. Teorema 1. Un sistem de elemente X\,..., xq (q ^ 2) este dependent liniar dacă și numai dacă cel puțin unul dintre elementele sale poate fi reprezentat ca o combinație liniară a celorlalte. Să presupunem mai întâi că sistemul de elemente xx..., xq este dependent liniar. Pentru certitudine, presupunem că în egalitatea (1) coeficientul a9 este diferit de zero. Transferând toți termenii cu excepția ultimului în partea dreaptă, după împărțirea la otq FO obținem că elementul xq este o combinație liniară a elementelor xi,..., xq: În schimb, dacă unul dintre elemente este egal cu un liniar combinație a celorlalte, apoi, deplasându-l în partea stângă, obținem o combinație liniară în care există coeficienți nenuli (-1 Ф 0). Aceasta înseamnă că sistemul de elemente Xi,_____ xq este dependent liniar. Teorema 2. Fie sistemul de elemente X|,...,X9 liniar independent și y = a\X\ + .+ aqxq. Apoi se determină coeficienții ori,...,aq din elementul y într-un mod unic. m Lasă Atunci Dependență liniară elementele X|,..., xq rezultă că a( și, prin urmare, o teoremă 3. Un sistem de elemente care conține un subsistem dependent liniar este dependent liniar. " Fie primele q elemente ale sistemului xx..., xq , xg+l, ... , xm sunt dependente liniar Apoi există o combinație liniară a acestor elemente astfel încât nu toți coeficienții lui "..., aq sunt egali cu zero. Prin adăugarea elementelor,..., xm cu. factori zero, obținem că în combinațiile liniare din Fig. 5 nu sunt toți coeficienți egali cu zero. Exemplu: Vectorii din Vj sunt dependenți liniar dacă și numai dacă sunt coplanari (Fig. 5). în |,..., e„ al unui spațiu liniar V se numește baza acestui spațiu liniar dacă elementele din |,..., en sunt liniar independente și fiecare element al lui V poate fi reprezentat ca o combinație liniară. Ordinea lor înseamnă că fiecărui element i se atribuie un anumit număr (ordinal) Dintr-un sistem de n elemente se pot construi n sisteme ordonate. ). Atunci triplele ordonate sunt baze diferite Fie c = (b! ... en) o bază a spațiului V. Atunci pentru orice element x din V există o mulțime de numere..., C astfel încât În virtutea teoremei. 2, numere,..., C - coordonatele elementului x din baza c - sunt determinate în mod unic. Să vedem ce se întâmplă cu coordonatele elementelor în timpul celor mai simple acțiuni. Fie și pentru orice număr a Astfel, la adăugarea elementelor, se adună coordonatele corespunzătoare ale acestora, iar la înmulțirea unui element cu un număr, toate coordonatele acestuia se înmulțesc cu acest număr. Este adesea convenabil să scrieți coordonatele elementului ca o coloană. De exemplu, n este coloana de coordonate a unui element din baza c. Să extindem un sistem arbitrar de elemente X|,..., x, conform bazei c, și să considerăm coloanele de coordonate ale elementelor X|,..., x9 în această bază: Teorema 4. Sistemul de elemente x\,...,xq este dependent liniar atunci și numai atunci când sistemul coloanelor lor de coordonate într-o anumită bază este dependent liniar. * Fie ca cel puțin unul dintre coeficienții A* să fie diferit de zero. Să scriem acest lucru mai detaliat De aici, datorită unicității descompunerii elementului de-a lungul bazei, rezultă că dependența liniară Dimensiunea de bază Schimbarea bazei Astfel, combinația liniară a coloanelor de coordonate ale elementelor xt,. .., xq este egal cu coloana zero (cu aceiași coeficienți A|,..., A?). Aceasta înseamnă că sistemul de coloane de coordonate este dependent liniar. Dacă egalitatea (2) este satisfăcută, atunci, efectuând raționamentul în ordine inversă, obținem formula (1). Astfel, dispariția unei combinații liniare netriviale (cel puțin unul dintre coeficienți este diferit de zero) de elemente ale unui spațiu liniar este echivalentă cu faptul că combinația liniară netrivială a coloanelor lor de coordonate (cu aceiași coeficienți) este egală cu zero. coloană. Teorema 5. Fie baza c a unui spațiu liniar V format din n elemente. Atunci orice sistem de m elemente, unde m > n, este dependent liniar. sau, care este la fel, * Prin Teorema 3, este suficient să luăm în considerare cazul Fie Xj,..., xn+| - elemente arbitrare ale spațiului V. Să extindem fiecare element după baza c și să scriem coordonatele elementelor........... sub formă de matrice, consacrând o coloană coordonatele element. Obținem o matrice de n rânduri și +1 coloane - Datorită faptului că rangul matricei K nu depășește numărul n de rânduri ale acesteia, coloanele matricei K (sunt n + 1 dintre ele) sunt liniar dependente. Și întrucât acestea sunt coloane de elemente de coordonate, atunci conform teoremei 4 sistemul de elemente X|.....x„+| este, de asemenea, dependent liniar. Consecinţă. Toate bazele spațiului liniar V constau din același număr de elemente. Dimensiunea bazei Înlocuirea bazei de unde. Din . Dimensiunea acestui spațiu liniar este egală cu numărul de elemente ale FSR, i.e. n - g unde r este rangul matricei de coeficienți a unui sistem omogen, an este numărul de necunoscute. Exemplul 3. Dimensiunea spațiului liniar Mn al polinoamelor de grad nu mai mare decât n este egală cu n + 1. 4 Deoarece fiecare polinom /*(() de grad nu mai mare decât n are forma, este suficient să se arate independența liniară a elementelor din |. Considerăm egalitatea în care t este arbitrară, se obține că «о = 0. 5 Zak.750 Să diferențiem egalitatea (3) cu t: 0. din nou, obținem ACEA 0| = 0. Continuând acest proces, verificăm în mod constant că оо = „I = ... = а„ =0. Aceasta înseamnă că sistemul de elemente θ = 1,... ,еn4) = *n este liniar independent. Prin urmare, dimensiunea necesară este n + 1. Acord. În continuare în acest capitol, dacă nu se specifică altfel, se presupune că dimensiunea spațiului liniar V este egală. Este clar că dacă W este un subspațiu al unui spațiu liniar n-dimensional V, atunci dim W ^ n Să arătăm că într-un spațiu liniar n-dimensional V există subspații liniare de orice dimensiune k ^ n să fie baza spațiului V. Este ușor să se verifice că carcasa liniară are dimensiunea k Prin definiție, teorema b (la completarea bazei). Fie un sistem de elemente ale unui spațiu liniar V de dimensiune n liniar independent și k Atunci în spațiul V există elemente a*+1,..., astfel încât sistemul a„ este o bază a lui V. M. Fie b un element arbitrar al spațiului liniar V. Dacă sistemul este dependent liniar, atunci ^din moment ce într-o combinație liniară netrivială coeficientul datorat independenței liniare a sistemului a Dacă s-ar putea scrie o expansiune a formei (4) pentru orice element b al spațiului V, atunci sistemul original a|,..., a* ar fi o bază conform definiției. Dar din cauza condițiilor, acest lucru este imposibil. Prin urmare, trebuie să existe un element a*+i € V astfel încât sistemul completat ai,..., ab,a*+| va fi liniară, dar independentă. Dacă k + 1 = n, atunci acest sistem este baza spațiului V. Dacă k + 1, atunci pentru sistemul a ar trebui repetat raționamentul anterior. În acest fel, orice sistem liniar independent de elemente poate fi completat la baza întregului spațiu V. Exemplu. Completează un sistem de doi vectori a| = (1,2,0,1), aj = (-1,1.1,0) a spațiului R4 la baza acestui spațiu. M Să luăm vectorii aj = (în spațiul R4 și să arătăm că sistemul de vectori ai.aj.aj, a4 stă la baza lui R4. Rangul matricei ale cărei rânduri sunt coordonatele vectorilor aag, az, A4 este egal cu patru Aceasta înseamnă că rândurile matricei A și, prin urmare, vectorii la. ag. az, a^ sunt liniar independente. > O abordare similară este utilizată în cazul general: pentru a completa sistemul de elemente liniar independente la baza spațiului, matricea Dependență liniară Dimensiunea de bază Înlocuirea bazei cu transformări elementare de rând se reduce la o formă trapezoidală și apoi se completează cu n - k rânduri ale formei astfel încât rangul matricei rezultate este egal cu n Următoarea afirmație este adevărată. Teorema 7. Fie subspații liniare ale unui spațiu liniar V. Atunci. Schimbarea bazei Fie bazele spațiului liniar V. Să extindem elementele bazei c în baza c. Avem aceste relații sunt scrise convenabil în formă de matrice. Matricea se numește matrice de tranziție de la baza c la baza c Proprietățile matricei de tranziție dependența coloanelor matricei S. Aceste coloane sunt coloanele de coordonate ale elementului." ,... "e"n în baza c. Prin urmare (și datorită Teoremei 4) elementele e"și..., e"n trebuie să fie dependent liniar. Acesta din urmă contrazice faptul că c" este o bază. Aceasta înseamnă că ipoteza că det S = 0 este incorectă. 2. Daca..., si..., sunt coordonatele elementului x in bazele c si respectiv c", atunci _ Inlocuindu-le in formula cu expresiile (1), obtinem ca. Prin urmare, datorita unicitatii de descompunere a elementului în bază, avem I Trecând la înregistrarea matriceală a egalităților găsite, suntem convinși de validitatea proprietății 2. 3. S-1 este matricea de tranziție de la baza c" la baza c.

independență liniară

sistem omogen

Se numește dimensional finit dacă are un sistem generator finit de vectori.

Comentariu. Vom studia doar spații vectoriale cu dimensiuni finite. În ciuda faptului că știm deja destul de multe despre baza unui spațiu vectorial cu dimensiuni finite, nu suntem deloc siguri că un astfel de spațiu există. Toate rezultatele obținute anterior au fost obținute în ipoteza că baza există. Următoarele închide această întrebare.

Teorema. (Pe existența unei baze a unui spațiu vectorial cu dimensiuni finite.)

Orice spațiu vectorial cu dimensiuni finite are o bază.

Dovada. Prin condiție, există un sistem generator finit al unui spațiu vectorial de dimensiuni finite dat V: .

Să observăm imediat că, dacă sistemul generator de vectori este gol, i.e. nu conține niciun vector, atunci prin definiție se presupune că acest spațiu vectorial este zero, adică. . În acest caz, prin definiție, se presupune că baza spațiului vectorial nul este baza goală și, prin definiție, se presupune că este egală cu zero. Dacă acest sistem este independent, atunci totul este dovedit, pentru că un sistem liniar independent și generator de vectori ai unui spațiu vectorial este baza acestuia. vectorii este dependent liniar, atunci unul dintre vectorii acestui sistem este exprimat liniar în termenii celor rămași și poate fi îndepărtat din sistem, iar sistemul de vectori rămas va fi în continuare generator.

Să renumerăm sistemul de vectori rămas: . Raționamentul se repetă apoi.

Dacă acest sistem este liniar independent, atunci este o bază. Dacă nu, atunci din nou va exista un vector în acest sistem care poate fi eliminat, iar sistemul rămas va fi generator.

Repetând acest proces, nu putem rămâne cu un sistem gol de vectori, deoarece în cel mai extrem caz vom ajunge la un sistem generator de un vector diferit de zero, care este liniar independent și, prin urmare, o bază. Prin urmare, la un pas ajungem la un sistem liniar independent și generator de vectori, adică. la bază etc.

Teorema a fost demonstrată.

Lema. (Despre sistemele de vectori din spațiul vectorial n-dimensional.)

Lasă . Apoi:

1. Orice sistem dintr-un vector este dependent liniar.

2. Orice sistem liniar independent de vectori este baza acestuia.

Dovada. 1). Conform condițiilor lemei, numărul de vectori din bază este egal și baza este un sistem generator, prin urmare numărul de vectori din orice sistem liniar independent nu poate depăși , i.e. orice sistem care conține un vector este dependent liniar.

2). După cum rezultă din ceea ce tocmai a fost demonstrat, orice sistem liniar independent de vectori ai acestui spațiu vectorial este maxim și, prin urmare, o bază.

Lema este dovedită.

Teoremă (Cu privire la complementarea unei baze.) Orice sistem liniar independent de vectori dintr-un spațiu vectorial poate fi completat la o bază a acestui spațiu.

Dovada. Să fie un spațiu vectorial de dimensiunea n și un sistem liniar independent al vectorilor săi. Apoi .

Dacă , atunci conform lemei anterioare, acest sistem este o bază și nu există nimic de demonstrat.

Dacă , atunci acest sistem nu este un sistem independent maxim (altfel ar fi o bază, ceea ce este imposibil, deoarece ). În consecință, există un vector astfel încât sistemul – liniar independent.

Dacă, acum, atunci sistemul este o bază.

Dacă da, totul se repetă. Procesul de completare a sistemului nu poate continua la infinit, deoarece la fiecare pas se obtine un sistem liniar independent de vectori spatiali, iar conform lemei anterioare, numarul de vectori dintr-un astfel de sistem nu poate depasi dimensiunea spatiului. În consecință, la un pas vom ajunge la baza acestui spațiu., etc.

Definiţie. Bază

un spațiu vectorial de coloană aritmetică de înălțime n se numește canonic sau natural.