Când lucrați cu matrice, uneori trebuie să le transpuneți, adică să spuneți în cuvinte simple, întoarce-te. Desigur, puteți introduce datele manual, dar Excel oferă mai multe modalități de a face acest lucru mai ușor și mai rapid. Să le privim în detaliu.

Transpunerea matricei este procesul de schimbare a coloanelor și a rândurilor. ÎN programul Excel Există două posibilități pentru a efectua transpunerea: utilizarea funcției TRANSSPși cu ajutorul unui instrument insert special. Să ne uităm la fiecare dintre aceste opțiuni mai detaliat.

Metoda 1: operatorul TRANSPOSE

Funcţie TRANSSP aparţine categoriei operatorilor „Legături și matrice”. Particularitatea este că, ca și alte funcții care funcționează cu matrice, rezultatul de ieșire nu este conținutul celulei, ci o întreagă matrice de date. Sintaxa funcției este destul de simplă și arată astfel:

TRANSP(matrice)

Adică singurul argument al acestui operator este o referință la o matrice, în cazul nostru o matrice, care ar trebui transformată.

Să vedem cum poate fi aplicată această funcție folosind un exemplu cu o matrice reală.

1. Selectăm o celulă goală pe foaie, pe care intenționăm să o facem celula din stânga sus a matricei transformate. Apoi, faceți clic pe pictogramă „Inserare funcție”, care se află lângă bara de formule.



2. Lansare în curs Vrăjitorii de funcții. Deschide categoria din ea „Legături și matrice” sau „Lista alfabetică completă”. După ce a găsit numele „TRANS”, selectați-l și faceți clic pe butonul "BINE".



3. Se deschide fereastra cu argumente ale funcției TRANSSP. Singurul argument al acestui operator corespunde câmpului „Matrice”. Trebuie să introduceți coordonatele matricei care trebuie răsturnată. Pentru a face acest lucru, plasați cursorul în câmp și, ținând apăsat butonul stâng al mouse-ului, selectați întreaga gamă a matricei de pe foaie. După ce adresa zonei este afișată în fereastra de argumente, faceți clic pe butonul "BINE".



4. Dar, după cum vedem, în celula care este destinată să afișeze rezultatul, este afișată o valoare incorectă sub forma unei erori "#VALOARE!". Acest lucru se datorează modului în care lucrează operatorii de matrice. Pentru a corecta această eroare, selectați un interval de celule în care numărul de rânduri ar trebui să fie egal cu numărul de coloane din matricea originală, iar numărul de coloane să fie egal cu numărul de rânduri. O astfel de corespondență este foarte importantă pentru ca rezultatul să fie afișat corect. În acest caz, celula care conține expresia "#VALOARE!" ar trebui să fie celula din stânga sus a matricei selectate și din această celulă ar trebui să înceapă procedura de selecție ținând apăsat butonul stâng al mouse-ului. După ce ați făcut selecția, plasați cursorul în bara de formule imediat după expresia operatorului TRANSSP, care ar trebui să apară în el. După aceasta, pentru a efectua calculul, trebuie să apăsați butonul Intră, așa cum este obișnuit în formulele convenționale, și formați combinația Ctrl+Shift+Enter.



5. După aceste acțiuni, matricea a fost afișată așa cum aveam nevoie, adică sub formă transpusă. Dar mai este o problemă. Faptul este că acum noua matrice este o matrice legată de o formulă care nu poate fi schimbată. Când încercați să faceți orice modificare a conținutului matricei, va apărea o eroare. Unii utilizatori sunt destul de mulțumiți de această stare de fapt, deoarece nu intenționează să facă modificări ale matricei, dar alții au nevoie de o matrice cu care să poată lucra pe deplin.

   Pentru a decide această problemă, selectați întregul interval transpus. Trecerea la fila "Acasă" faceți clic pe pictogramă "Copie", care se află pe panglica din grup „Clipboard”. În loc de acțiunea specificată, după selectare, puteți seta o comandă rapidă standard de la tastatură pentru copiere Ctrl+C.



6. Apoi, fără a elimina selecția din intervalul transpus, faceți clic dreapta pe ea. În meniul contextual din grup „Insert Options” faceți clic pe pictogramă "Valori", care arată ca o pictogramă care înfățișează numere.

   

   În continuare, formula matricei TRANSSP va fi ștearsă și în celule va rămâne o singură valoare, cu care se poate lucra în același mod ca și cu matricea originală.

Metoda 2: Transpunerea matricei folosind Paste Special

În plus, o matrice poate fi transpusă folosind un singur element meniul contextual, care se numește „Inserați special”.

După actiuni specificate Doar matricea transformată va rămâne pe foaie.

Cu aceleași două metode discutate mai sus, puteți transpune nu numai matrice, ci și tabele cu drepturi depline în Excel. Procedura va fi aproape identică.

Așadar, am aflat că în Excel matricea poate fi transpusă, adică răsturnată prin schimbarea coloanelor și rândurilor, în două moduri. Prima opțiune implică utilizarea funcției TRANSSP, iar al doilea este Paste Special Tools. În general, rezultatul final obținut atunci când se utilizează ambele metode nu este diferit. Ambele metode funcționează în aproape orice situație. Deci, atunci când alegeți o opțiune de conversie, preferințele personale ale unui anumit utilizator ies în prim-plan. Adică, care dintre aceste metode este mai convenabilă pentru tine personal, folosește-o pe aceea.

Pentru a transpune o matrice, trebuie să scrieți rândurile matricei în coloane.

Dacă , atunci matricea transpusă

Dacă, atunci

Sarcina 1. Găsi

1. Determinanții matricilor pătrate.

Pentru matricele pătrate se introduce un număr numit determinant.

Pentru matrice de ordinul doi (dimensiunea ) determinantul este dat de formula:

De exemplu, pentru o matrice determinantul ei este

Exemplu . Calculați determinanții matricilor.

Pentru matricele pătrate de ordinul al treilea (dimensiunea ) există o regulă „triunghi”: în figură, linia punctată înseamnă înmulțirea numerelor prin care trece linia punctată. Primele trei numere trebuie adăugate, următoarele trei numere trebuie scăzute.

Exemplu. Calculați determinantul.

Pentru a da o definiție generală a unui determinant, este necesar să se introducă conceptul de minor și complement algebric.

Minor elementul matricei se numește determinant obținut prin tăierea - acel rând și - acea coloană.

Exemplu. Să găsim câteva minore ale matricei A.

Complement algebric elementul se numește număr.

Aceasta înseamnă că, dacă suma indicilor este pară, atunci ei nu sunt diferiți. Dacă suma indicilor este impară, atunci ei diferă doar prin semn.

Pentru exemplul anterior.

Determinant de matrice este suma produselor elementelor unui anumit șir

(coloană) pe ele adunări algebrice. Să luăm în considerare această definiție pe o matrice de ordinul trei.

Prima intrare se numește extinderea determinantului din primul rând, a doua este expansiunea din a doua coloană, iar ultima este expansiunea din al treilea rând. În total, astfel de extinderi pot fi scrise de șase ori.

Exemplu. Calculați determinantul folosind regula „triunghiului” și extinzându-l de-a lungul primului rând, apoi de-a lungul celei de-a treia coloane, apoi de-a lungul celui de-al doilea rând.

Să extindem determinantul de-a lungul primei linii:

Să extindem determinantul din a treia coloană:

Să extindem determinantul de-a lungul celei de-a doua linii:

Rețineți că cu cât sunt mai multe zerouri, cu atât calcule mai usoare. De exemplu, extinzând cu prima coloană, obținem

Printre proprietățile determinanților există o proprietate care vă permite să primiți zerouri și anume:

Dacă adăugați elemente dintr-un alt rând (coloană) la elementele unui anumit rând (coloană), înmulțite cu un număr diferit de zero, atunci determinantul nu se va schimba.

Să luăm același determinant și să obținem zerouri, de exemplu, în prima linie.

Determinanții ordinelor superioare sunt calculați în același mod.

Sarcina 2. Calculați determinantul de ordinul al patrulea:

1) răspândirea pe orice rând sau orice coloană

2) primind anterior zerouri

Primim un zero suplimentar, de exemplu, în a doua coloană. Pentru a face acest lucru, înmulțiți elementele din a doua linie cu -1 și adăugați-le la a patra linie:

1. Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare folosind metoda lui Cramer.

Vom arăta soluția unui sistem de ecuații algebrice liniare folosind metoda lui Cramer.

Sarcina 2. Rezolvați sistemul de ecuații.

Trebuie să calculăm patru determinanți. Primul se numește principal și constă din coeficienți pentru necunoscute:

Rețineți că dacă , sistemul nu poate fi rezolvat prin metoda lui Cramer.

Cei trei determinanți rămași sunt notați cu , , și se obțin prin înlocuirea coloanei corespunzătoare cu o coloană de laturi din dreapta.

Găsim. Pentru a face acest lucru, schimbați prima coloană din determinantul principal într-o coloană cu părțile din dreapta:

Găsim. Pentru a face acest lucru, schimbați a doua coloană din determinantul principal într-o coloană cu părțile din dreapta:

Găsim. Pentru a face acest lucru, schimbați a treia coloană din determinantul principal într-o coloană cu părțile din dreapta:

Găsim soluția sistemului folosind formulele lui Cramer: , ,

Astfel, soluția sistemului este , ,

Să facem o verificare; pentru a face acest lucru, vom înlocui soluția găsită în toate ecuațiile sistemului.

1. Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare folosind metoda matricei.

Dacă tu matrice pătrată determinantul nu este egal cu zero, există o matrice inversă astfel încât . Matricea se numește matrice de identitate și are forma

Matricea inversă se găsește prin formula:

Exemplu. Aflați inversul unei matrice

Mai întâi calculăm determinantul.

Găsirea complementelor algebrice:

Scriem matricea inversă:

Pentru a verifica calculele, trebuie să vă asigurați că .

Să fie dat sistemul ecuații liniare:

Să notăm

Atunci sistemul de ecuații poate fi scris sub formă de matrice ca și, prin urmare, . Formula rezultată se numește metoda matriceală de rezolvare a sistemului.

Sarcina 3. Rezolvați sistemul folosind metoda matricei.

Trebuie să scriem matricea sistemului, să îi găsim inversul și apoi să o înmulțim cu coloana laturilor din dreapta.

Am găsit deja matricea inversă în exemplul anterior, ceea ce înseamnă că putem găsi o soluție:

1. Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare folosind metoda Gauss.

Metoda lui Cramer și metoda matricei sunt folosite numai pentru sisteme pătratice (numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute), iar determinantul nu trebuie să fie egal cu zero. Dacă numărul de ecuații nu este egal cu numărul de necunoscute, sau determinantul sistemului este zero, se folosește metoda Gauss. Metoda Gaussiană poate fi folosită pentru a rezolva orice sistem.

Și să o înlocuim în prima ecuație:

Sarcina 5. Rezolvați un sistem de ecuații folosind metoda Gauss.

Pe baza matricei rezultate, restabilim sistemul:

Găsim o soluție:

Transpunerea unei matrice printr-un dat calculator online Nu vă va lua mult timp, dar va da rapid rezultate și vă va ajuta să înțelegeți mai bine procesul în sine.

Uneori, în calculele algebrice, este nevoie de a schimba rândurile și coloanele unei matrice. Această operație se numește transpunere matriceală. Rândurile în ordine devin coloane, iar matricea însăși devine transpusă. Există anumite reguli în aceste calcule și pentru a le înțelege și a vă familiariza vizual cu procesul, utilizați acest calculator online. Vă va ușura sarcina și vă va ajuta să înțelegeți mai bine teoria transpunerii matricei. Un avantaj semnificativ al acestui calculator este demonstrarea unei soluții extinse și detaliate. Astfel, utilizarea sa promovează o înțelegere mai profundă și mai informată a calculelor algebrice. În plus, cu ajutorul acestuia puteți verifica oricând cât de bine ați finalizat sarcina prin transpunerea manuală a matricelor.

Calculatorul este foarte ușor de utilizat. Pentru a găsi o matrice transpusă online, specificați dimensiunea matricei făcând clic pe pictogramele „+” sau „-” până când obțineți numărul dorit de coloane și rânduri. Apoi, introduceți numerele necesare în câmpuri. Mai jos este butonul „Calculați” - apăsând-l se afișează soluție gata făcută cu o descriere detaliată a algoritmului.

Matricea A -1 se numește matrice inversă față de matricea A dacă A*A -1 = E, unde E este matricea de identitate de ordinul al n-lea. O matrice inversă poate exista doar pentru matrice pătrată.

Scopul serviciului. Prin utilizarea a acestui serviciu online puteți găsi complemente algebrice, matrice transpusă A T, matrice aliată și matrice inversă. Decizia se realizează direct pe site (online) și este gratuită. Rezultatele calculului sunt prezentate într-un raport în format Word și în format Excel(adică este posibil să se verifice soluția). vezi exemplul de proiectare.

Instrucţiuni. Pentru a obține o soluție, este necesar să se precizeze dimensiunea matricei. Apoi, completați matricea A în noua casetă de dialog.

Vezi și Matrice inversă folosind metoda Jordano-Gauss

Algoritm pentru găsirea matricei inverse

1. Aflarea matricei transpuse A T .
2. Definiția complementelor algebrice. Înlocuiți fiecare element al matricei cu complementul său algebric.
3. Compilare matrice inversă din adunări algebrice: fiecare element al matricei rezultate este împărțit la determinantul matricei originale. Matricea rezultată este inversul matricei originale.

1. Determinați dacă matricea este pătrată. Dacă nu, atunci nu există o matrice inversă pentru aceasta.
2. Calculul determinantului matricei A. Dacă nu este egal cu zero, continuăm soluția, altfel matricea inversă nu există.
3. Definiția complementelor algebrice.
4. Completarea matricei de unire (mutuală, adjunctă) C .
5. Compilarea unei matrici inverse din adunări algebrice: fiecare element al matricei adiacente C este împărțit la determinantul matricei originale. Matricea rezultată este inversul matricei originale.
6. Ei fac o verificare: înmulțesc matricea originală și matricea rezultată. Rezultatul ar trebui să fie o matrice de identitate.

Exemplul nr. 1. Să scriem matricea sub forma: