A teraz bude pokračovať téma, v ktorej zvážime nielen nový materiál, ale aj vypracujeme akcie s matricami.

Existuje pomerne veľa vlastností, ktoré sa týkajú operácií s maticami, na tej istej Wikipédii môžete obdivovať usporiadané poradie príslušných pravidiel. V praxi je však veľa vlastností v určitom zmysle „mŕtvych“, pretože len niekoľko z nich sa používa pri riešení skutočných problémov. Mojím cieľom je pozrieť sa na praktickú aplikáciu vlastností na konkrétnych príkladoch a ak potrebujete rigoróznu teóriu, použite iný zdroj informácií.

Pozrime sa na niektoré výnimky z pravidla, ktoré budú potrebné na splnenie praktických úloh.

Ak má štvorcová matica inverznú maticu, ich násobenie je komutatívne:

Matica identity je štvorcová matica, ktorej hlavná uhlopriečka jednotky sú umiestnené a zvyšné prvky sa rovnajú nule. Napríklad: atď.

V tomto prípade platí nasledujúca vlastnosť: ak je ľubovoľná matica vynásobená vľavo alebo vpravo maticou identity vhodnej veľkosti, výsledkom bude pôvodná matica:

Ako vidíte, prebieha tu aj komutácia násobenia matíc.

Zoberme si nejakú maticu, povedzme, maticu z predchádzajúceho problému: .

Záujemcovia si môžu skontrolovať a uistiť sa, že:

Jednotková matica pre matice je analógom numerickej jednotky pre čísla, čo je zrejmé najmä z práve diskutovaných príkladov.

Pre matice a reálne čísla platí nasledujúca vlastnosť:

To znamená, že číselný faktor sa môže (a mal by) posunúť dopredu, aby „nezasahoval“ do násobiacich matíc.

Poznámka : všeobecne povedané, formulácia vlastnosti je neúplná - „lambda“ môže byť umiestnená kdekoľvek medzi maticami, dokonca aj na konci. Pravidlo zostáva v platnosti, ak sa násobia tri alebo viac matíc.

Príklad 4

Vypočítajte produkt

Riešenie :

(1) Podľa majetku posunúť číselný faktor dopredu. Samotné matrice nie je možné preskupovať!

(2) – (3) Vykonajte maticové násobenie.

(4) Tu môžete vydeliť každé číslo 10, ale potom sa medzi prvkami matice objavia desatinné zlomky, čo nie je dobré. Všimli sme si však, že všetky čísla v matici sú deliteľné 5, takže každý prvok vynásobíme .

odpoveď:

Malá šaráda, ktorú musíte vyriešiť sami:

Príklad 5

Vypočítajte, ak

Riešenie a odpoveď sú na konci lekcie.

Aká technika je dôležitá pri riešení takýchto príkladov? Poďme zistiť čísla posledný zo všetkých .

K lokomotíve pripojíme ďalší vozeň:

V prvom rade, ČO by malo byť výsledkom vynásobenia troch matíc? Mačka neporodí myš. Ak je násobenie matice možné, výsledkom bude tiež matica. Hmmm, môj učiteľ algebry nevidí, ako vysvetľujem uzavretosť algebraickej štruktúry vo vzťahu k jej prvkom =)

Súčin troch matíc možno vypočítať dvoma spôsobmi:

1) nájdite a potom vynásobte maticou „ce“: ;

2) buď najskôr nájdite a potom vynásobte.

Výsledky sa určite zhodujú a teoreticky sa táto vlastnosť nazýva asociativita násobenia matíc:

Príklad 6

Vynásobte matice dvoma spôsobmi

Algoritmus riešenia je dvojkrokový: nájdeme súčin dvoch matíc, potom opäť nájdeme súčin dvoch matíc.

1) Použite vzorec

Akcia jedna:

Druhé dejstvo:

2) Použite vzorec

Akcia jedna:

Druhé dejstvo:

odpoveď:

Prvé riešenie je, samozrejme, známejšie a štandardnejšie, kde „všetko vyzerá byť v poriadku“. Mimochodom, čo sa týka objednávky. V uvažovanej úlohe často vzniká ilúzia, že hovoríme o akýchsi permutáciách matíc. Nie sú tu. Znovu pripomínam, že vo všeobecnom prípade je NEMOŽNÉ ZMENIŤ MATRIKY. Takže v druhom odseku v druhom kroku vykonáme násobenie, ale v žiadnom prípade nerobte . S obyčajnými číslami by takéto číslo fungovalo, ale s maticami nie.

Vlastnosť asociatívneho násobenia platí nielen pre štvorcové, ale aj pre ľubovoľné matice - pokiaľ sú násobené:

Príklad 7

Nájdite súčin troch matíc

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Vo vzorovom riešení sa výpočty vykonávajú dvoma spôsobmi;

Asociatívna vlastnosť násobenia matíc platí aj pre väčší počet faktorov.

Teraz je čas vrátiť sa k silám matíc. Štvorec matice sa zvažuje na samom začiatku a na programe je otázka:

Tieto operácie sú tiež definované len pre štvorcové matice. Na kocku štvorcovej matice musíte vypočítať súčin:

V skutočnosti ide o špeciálny prípad násobenia troch matíc podľa asociatívnej vlastnosti násobenia matíc: . A matica vynásobená sama osebe je druhou mocninou matice:

Tak dostaneme pracovný vzorec:

To znamená, že úloha sa vykonáva v dvoch krokoch: najprv sa musí matica odmocniť a potom sa musí výsledná matica vynásobiť maticou.

Príklad 8

Zostavte maticu do kocky.

Toto je malý problém, ktorý musíte vyriešiť sami.

Zvýšenie matice na štvrtú mocninu sa vykonáva prirodzeným spôsobom:

Pomocou asociativity násobenia matíc odvodíme dva pracovné vzorce. Po prvé: – toto je súčin troch matíc.

1). Inými slovami, najprv nájdeme , potom to vynásobíme „be“ - dostaneme kocku a nakoniec vykonáme násobenie znova - bude štvrtá mocnina.

2) Existuje však riešenie o krok kratšie: . To znamená, že v prvom kroku nájdeme štvorec a obídeme kocku a vykonáme násobenie

Dodatočná úloha pre príklad 8:

Zdvihnite maticu na štvrtú mocninu.

Ako už bolo uvedené, možno to urobiť dvoma spôsobmi:

1) Keďže kocka je známa, vykonáme násobenie.

2) Ak je však podľa podmienok úlohy potrebné zostaviť maticu len do štvrtej mocniny, potom je výhodné cestu skrátiť - nájsť druhú mocninu matice a použiť vzorec.

Obe riešenia aj odpoveď sú na konci lekcie.

Podobne je matica povýšená na piatu a vyššiu mocninu. Z praktických skúseností môžem povedať, že niekedy sa stretávam s príkladmi zvyšovania na 4. mocninu, ale na piatu si nič nepamätám. Ale pre každý prípad uvediem optimálny algoritmus:

1) nájsť;
2) nájsť;
3) zdvihnite maticu na piatu mocninu: .

To sú snáď všetky základné vlastnosti maticových operácií, ktoré môžu byť užitočné pri praktických problémoch.

V druhej časti lekcie sa očakáva rovnako pestrý dav.

Zopakujme si zaužívané školské výrazy s číslami. Číselný výraz pozostáva z čísel, matematických symbolov a zátvoriek, napríklad: . Pri výpočte platí známa algebraická priorita: po prvé, zátvorkách, potom vykonaný umocnenie/zakorenenie, Potom násobenie/delenie a v neposlednom rade - sčítanie/odčítanie.

Ak má číselný výraz zmysel, výsledkom jeho vyhodnotenia je číslo, napríklad:

Maticové výrazy fungujú takmer rovnako! S tým rozdielom, že hlavnými postavami sú matrice. Plus niektoré špecifické maticové operácie, ako je transpozícia a nájdenie inverznej matice.

Zvážte maticový výraz , kde su nejake matrice. V tomto maticovom výraze sa ako posledné vykonajú tri členy a operácie sčítania/odčítania.

V prvom termíne musíte najskôr transponovať maticu „be“: , potom vykonať násobenie a zadať „dve“ do výslednej matice. Všimnite si, že operácia transponovania má vyššiu prioritu ako násobenie. Zátvorky, rovnako ako v číselných výrazoch, menia poradie akcií: - tu sa najskôr vykoná násobenie, potom sa výsledná matica transponuje a vynásobí 2.

V druhom termíne sa najskôr vykoná násobenie matice a inverzná matica sa nájde z produktu. Ak odstránite zátvorky: , musíte najprv nájsť inverznú maticu a potom vynásobiť matice: . Nájdenie inverznej matice má tiež prednosť pred násobením.

S tretím výrazom je všetko zrejmé: maticu zdvihneme do kocky a do výslednej matice zadáme „päťku“.

Ak má maticový výraz zmysel, tak výsledkom jeho vyhodnotenia je matica.

Všetky úlohy budú zo skutočných testov a začneme tým najjednoduchším:

Príklad 9

Dané matice . Nájsť:

Riešenie: poradie akcií je zrejmé, najprv sa vykoná násobenie, potom sčítanie.

Sčítanie nie je možné vykonať, pretože matice majú rôznu veľkosť.

Nebuďte prekvapení, v úlohách tohto typu sa často navrhujú nemožné akcie.

Skúsme vypočítať druhý výraz:

Všetko je tu v poriadku.

Odpoveď: akciu nie je možné vykonať, .

Matica A -1 sa nazýva inverzná matica vzhľadom na maticu A, ak A*A -1 = E, kde E je matica identity n-tého rádu. Inverzná matica môže existovať len pre štvorcové matice.

Účel služby. Pomocou tejto služby online môžete nájsť algebraické doplnky, transponovanú maticu A T, spojenú maticu a inverznú maticu. Rozhodnutie sa vykonáva priamo na webovej stránke (online) a je bezplatné. Výsledky výpočtu sú prezentované v správe vo formáte Word a Excel (t. j. je možné skontrolovať riešenie). pozri príklad dizajnu.

Inštrukcie. Na získanie riešenia je potrebné špecifikovať rozmer matice. Ďalej vyplňte maticu A v novom dialógovom okne.

Pozri tiež Inverzná matica pomocou Jordano-Gaussovej metódy

Príklad č.1. Maticu napíšeme v tvare: