พิจารณาฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว:

เนื่องจากตัวแปร $x$ และ $y$ มีความเป็นอิสระ สำหรับฟังก์ชันดังกล่าว เราจึงสามารถแนะนำแนวคิดของอนุพันธ์บางส่วนได้:

อนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชัน $f$ ที่จุด $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ เทียบกับตัวแปร $x$ คือ ขีด จำกัด

\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\เดลต้า x;((y)_(0)) \right))(\เดลต้า x)\]

ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถกำหนดอนุพันธ์บางส่วนที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร $y$ :

\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\เดลต้า y \right))(\เดลต้า y)\]

กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากต้องการค้นหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว คุณต้องแก้ไขตัวแปรอื่นๆ ทั้งหมดยกเว้นตัวแปรที่ต้องการ จากนั้นจึงหาอนุพันธ์สามัญที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรที่ต้องการ

สิ่งนี้นำไปสู่เทคนิคหลักในการคำนวณอนุพันธ์ดังกล่าว เพียงสมมติว่าตัวแปรทั้งหมดยกเว้นตัวแปรนี้เป็นค่าคงที่ จากนั้นจึงแยกความแตกต่างของฟังก์ชันตามที่คุณต้องการแยกความแตกต่างจากตัวแปร "ธรรมดา" ด้วยตัวแปรตัวเดียว ตัวอย่างเช่น:

$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2 )) \right))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ ไพรม์ ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(จัด)$

แน่นอนว่าอนุพันธ์บางส่วนที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรต่างๆ ให้คำตอบที่แตกต่างกัน ซึ่งเป็นเรื่องปกติ มันสำคัญกว่ามากที่จะต้องเข้าใจว่าเหตุใดในกรณีแรกเราจึงลบ $10y$ ออกจากใต้เครื่องหมายอนุพันธ์อย่างใจเย็น และในกรณีที่สองเราทำให้เทอมแรกเป็นศูนย์โดยสิ้นเชิง ทั้งหมดนี้เกิดขึ้นเนื่องจากความจริงที่ว่าตัวอักษรทั้งหมดยกเว้นตัวแปรที่ใช้สร้างความแตกต่างนั้นถือเป็นค่าคงที่: สามารถนำออกมา "เผา" ฯลฯ

"อนุพันธ์บางส่วน" คืออะไร?

วันนี้เราจะพูดถึงฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวและอนุพันธ์บางส่วนของตัวแปรเหล่านั้น ประการแรก ฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวคืออะไร? จนถึงตอนนี้ เราคุ้นเคยกับการพิจารณาฟังก์ชันเป็น $y\left(x \right)$ หรือ $t\left(x \right)$ หรือตัวแปรใดๆ และฟังก์ชันเดียวของฟังก์ชันนั้น ตอนนี้เราจะมีฟังก์ชันเดียว แต่มีตัวแปรหลายตัว เมื่อ $y$ และ $x$ เปลี่ยนแปลง ค่าของฟังก์ชันก็จะเปลี่ยนไป ตัวอย่างเช่น หาก $x$ เพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า ค่าของฟังก์ชันจะเปลี่ยน ในขณะที่หาก $x$ เปลี่ยนแปลง แต่ $y$ ไม่เปลี่ยนแปลง ค่าของฟังก์ชันจะเปลี่ยนในลักษณะเดียวกัน

แน่นอนว่าฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวสามารถแยกความแตกต่างได้เช่นเดียวกับฟังก์ชันของตัวแปรตัวเดียว อย่างไรก็ตาม เนื่องจากมีหลายตัวแปร จึงเป็นไปได้ที่จะแยกความแตกต่างตามตัวแปรที่ต่างกัน ในกรณีนี้ มีกฎเฉพาะเกิดขึ้นซึ่งไม่มีอยู่เมื่อแยกตัวแปรหนึ่งตัวแปร

ก่อนอื่น เมื่อเราคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันจากตัวแปรใดๆ เราจำเป็นต้องระบุว่าเรากำลังคำนวณอนุพันธ์ของตัวแปรใด ซึ่งเรียกว่าอนุพันธ์ย่อย ตัวอย่างเช่น เรามีฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว และเราสามารถคำนวณได้ทั้งในรูป $x$ และใน $y$ - อนุพันธ์ย่อยสองตัวของแต่ละตัวแปร

ประการที่สอง ทันทีที่เราแก้ไขตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งและเริ่มคำนวณอนุพันธ์ย่อยตามตัวแปรนั้น ตัวแปรอื่นๆ ทั้งหมดที่รวมอยู่ในฟังก์ชันนี้จะถือเป็นค่าคงที่ ตัวอย่างเช่น ใน $z\left(xy \right)$ ถ้าเราพิจารณาอนุพันธ์ย่อยด้วยความเคารพต่อ $x$ ดังนั้นเมื่อใดก็ตามที่เราเจอ $y$ เราจะถือว่ามันเป็นค่าคงที่และปฏิบัติต่อมันเช่นนั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อคำนวณอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ เราสามารถนำ $y$ ออกจากวงเล็บ (เรามีค่าคงที่) และเมื่อคำนวณอนุพันธ์ของผลรวม หากที่ไหนสักแห่งที่เราได้รับอนุพันธ์ของนิพจน์ที่มี $y$ และ ที่ไม่มี $x$ ดังนั้นอนุพันธ์ของนิพจน์นี้จะเท่ากับ "ศูนย์" ซึ่งเป็นอนุพันธ์ของค่าคงที่

เมื่อมองแวบแรกอาจดูเหมือนว่าฉันกำลังพูดถึงสิ่งที่ซับซ้อนและนักเรียนหลายคนสับสนในตอนแรก อย่างไรก็ตาม ไม่มีอะไรเหนือธรรมชาติในอนุพันธ์ย่อย และตอนนี้เราจะเห็นสิ่งนี้โดยใช้ตัวอย่างของปัญหาเฉพาะ

ปัญหาเกี่ยวกับรากและพหุนาม

ภารกิจที่ 1

เพื่อไม่ให้เป็นการเสียเวลาเรามาเริ่มกันตั้งแต่ต้นด้วยตัวอย่างที่จริงจัง

ก่อนอื่น ฉันขอเตือนคุณถึงสูตรนี้:

นี่คือค่าตารางมาตรฐานที่เราทราบจากหลักสูตรมาตรฐาน

ในกรณีนี้ อนุพันธ์ $z$ จะถูกคำนวณดังนี้:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)\]

ลองทำใหม่อีกครั้ง เนื่องจากรูทไม่ใช่ $x$ แต่เป็นนิพจน์อื่น ในกรณีนี้ $\frac(y)(x)$ จากนั้นเราจะใช้ค่าตารางมาตรฐานก่อน จากนั้น เนื่องจากรูทคือ ไม่ใช่ $x $ และอีกนิพจน์หนึ่ง เราต้องคูณอนุพันธ์ของเราด้วยนิพจน์นี้อีกตัวหนึ่งเทียบกับตัวแปรเดียวกัน ก่อนอื่นมาคำนวณสิ่งต่อไปนี้:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((y)"))_(x))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot x-y\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]

เรากลับมาที่การแสดงออกของเราและเขียน:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)\]

โดยพื้นฐานแล้วนั่นคือทั้งหมด อย่างไรก็ตามมันเป็นเรื่องผิดที่จะปล่อยไว้ในรูปแบบนี้: โครงสร้างดังกล่าวไม่สะดวกที่จะใช้สำหรับการคำนวณเพิ่มเติมดังนั้นเรามาเปลี่ยนกันสักหน่อย:

\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]

\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]

พบคำตอบแล้ว ตอนนี้เรามาจัดการกับ $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)\]

มาเขียนแยกกัน:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((y)"))_(y))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot x-y\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]

ตอนนี้เราเขียนลงไป:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]

\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]

ทุกอย่างเสร็จแล้ว

ปัญหาหมายเลข 2

ตัวอย่างนี้ทั้งเรียบง่ายและซับซ้อนกว่าตัวอย่างก่อนหน้า มันซับซ้อนกว่าเพราะมีการกระทำมากกว่า แต่มันง่ายกว่าเพราะไม่มีรูท และนอกจากนี้ ฟังก์ชันยังสมมาตรเมื่อเทียบกับ $x$ และ $y$ เช่น ถ้าเราสลับ $x$ และ $y$ สูตรจะไม่เปลี่ยนแปลง หมายเหตุนี้จะทำให้การคำนวณอนุพันธ์บางส่วนของเราง่ายขึ้น เช่น แค่นับหนึ่งอันก็เพียงพอแล้ว และอันที่สองก็แค่สลับ $x$ และ $y$

มาทำธุรกิจกันเถอะ:

\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy)(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \right ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \right)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\ไพรม์ ) )_(x))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]

มานับกัน:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]

อย่างไรก็ตาม นักเรียนหลายคนไม่เข้าใจสัญลักษณ์นี้ ดังนั้นลองเขียนดังนี้:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]

ดังนั้นเราจึงมั่นใจอีกครั้งถึงความเป็นสากลของอัลกอริธึมอนุพันธ์บางส่วน: ไม่ว่าเราจะคำนวณมันอย่างไร หากใช้กฎทั้งหมดอย่างถูกต้อง คำตอบก็จะเหมือนเดิม

ตอนนี้เรามาดูอนุพันธ์บางส่วนจากสูตรใหญ่ของเรากันดีกว่า:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=((\left((( x)^(2)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \right))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]

ลองแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ลงในสูตรของเราแล้วรับ:

\[\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ ขวา)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x))(((\ซ้าย (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\]

\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right)-xy\cdot 2x)(((\left((( x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\]

\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \right))(((\ ซ้าย(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \right))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2 )))\]

จากการนับ $x$ และในการคำนวณ $y$ จากนิพจน์เดียวกัน อย่าทำลำดับการกระทำเดียวกัน แต่ใช้ประโยชน์จากความสมมาตรของนิพจน์ดั้งเดิมของเรา - เราเพียงแค่แทนที่ $y$ ทั้งหมดในนิพจน์ดั้งเดิมของเราด้วย $x$ และในทางกลับกัน:

\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \right))((( \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]

เนื่องจากความสมมาตร เราจึงคำนวณนิพจน์นี้ได้เร็วกว่ามาก

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

สำหรับอนุพันธ์ย่อย สูตรมาตรฐานทั้งหมดที่เราใช้สำหรับอนุพันธ์สามัญใช้ได้ผล กล่าวคือ อนุพันธ์ของผลหาร อย่างไรก็ตามในเวลาเดียวกันมีคุณสมบัติเฉพาะเกิดขึ้น: หากเราพิจารณาอนุพันธ์บางส่วนของ $x$ จากนั้นเมื่อเราได้รับจาก $x$ เราจะพิจารณาว่ามันเป็นค่าคงที่และดังนั้นอนุพันธ์ของมันจะเท่ากับ "ศูนย์" .

เช่นเดียวกับในกรณีของอนุพันธ์ทั่วไป บางส่วน (เหมือนกัน) สามารถคำนวณได้หลายรายการ ในรูปแบบต่างๆ- ตัวอย่างเช่น โครงสร้างเดียวกันกับที่เราเพิ่งคำนวณสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\ไพรม์ ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]

ในทางกลับกัน คุณสามารถใช้สูตรจากผลรวมอนุพันธ์ได้ อย่างที่เรารู้ มันเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ ตัวอย่างเช่น ลองเขียนดังต่อไปนี้:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]

เมื่อทราบทั้งหมดนี้แล้ว เรามาลองใช้นิพจน์ที่จริงจังกว่านี้กัน เนื่องจากอนุพันธ์ย่อยจริงไม่ได้จำกัดอยู่เพียงพหุนามและรากเท่านั้น ยังมีตรีโกณมิติ ลอการิทึม และฟังก์ชันเลขชี้กำลังด้วย ทีนี้เรามาทำสิ่งนี้กันดีกว่า

ปัญหาเกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติและลอการิทึม

ภารกิจที่ 1

ให้เราเขียนสูตรมาตรฐานต่อไปนี้:

\[((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]

\[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]

ด้วยความรู้นี้เรามาลองแก้กัน:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\ซ้าย (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

ลองเขียนตัวแปรหนึ่งตัวแยกกัน:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y)\right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

กลับไปที่การออกแบบของเรา:

\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

เพียงเท่านี้ เราพบว่ามีราคา $x$ ตอนนี้มาคำนวณ $y$ กันดีกว่า:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\ซ้าย (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

อีกครั้ง ลองคำนวณหนึ่งนิพจน์:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \right)\]

เรากลับสู่นิพจน์ดั้งเดิมและดำเนินการแก้ไขปัญหาต่อไป:

\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]

ทุกอย่างเสร็จแล้ว

ปัญหาหมายเลข 2

มาเขียนสูตรที่เราต้องการ:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]

ทีนี้ลองนับ $x$:

\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\ไพรม์ ))_(x)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\]

พบในราคา $x$ เรานับด้วย $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \right))\ ]

ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

ดังนั้น ไม่ว่าเราจะหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันใดก็ตาม กฎก็ยังคงเหมือนเดิม ไม่ว่าเราจะทำงานกับตรีโกณมิติ ด้วยรากหรือลอการิทึมก็ตาม

กฎคลาสสิกสำหรับการทำงานกับอนุพันธ์มาตรฐานยังคงไม่เปลี่ยนแปลง กล่าวคือ อนุพันธ์ของผลรวมและผลต่าง ผลหารและฟังก์ชันเชิงซ้อน

สูตรสุดท้ายมักพบเมื่อแก้ไขปัญหาเกี่ยวกับอนุพันธ์บางส่วน เราพบพวกเขาเกือบทุกที่ ไม่เคยมีงานไหนที่เราไม่เจอเลย แต่ไม่ว่าเราจะใช้สูตรอะไร เรายังคงมีข้อกำหนดเพิ่มเติมอีกประการหนึ่ง กล่าวคือ ลักษณะเฉพาะของการทำงานกับอนุพันธ์บางส่วน เมื่อเราแก้ไขตัวแปรตัวหนึ่งแล้ว ตัวอื่นๆ ทั้งหมดจะเป็นค่าคงที่ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเราพิจารณาอนุพันธ์บางส่วนของนิพจน์ $\cos \frac(x)(y)$ เทียบกับ $y$ แล้ว $y$ จะเป็นตัวแปร และ $x$ ยังคงเป็นค่าคงที่ทุกที่ สิ่งเดียวกันทำงานในทางกลับกัน สามารถนำออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์ได้ และอนุพันธ์ของค่าคงที่นั้นจะเท่ากับ "ศูนย์"

ทั้งหมดนี้นำไปสู่ความจริงที่ว่าอนุพันธ์บางส่วนของนิพจน์เดียวกัน แต่เมื่อพิจารณาจากตัวแปรที่ต่างกัน อาจดูแตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง ตัวอย่างเช่น ลองดูที่นิพจน์ต่อไปนี้:

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]

ปัญหาเกี่ยวกับฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึม

ภารกิจที่ 1

ขั้นแรกให้เขียนสูตรต่อไปนี้:

\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]

เมื่อรู้ข้อเท็จจริงนี้แล้วลองคำนวณหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนกันดีกว่า ตอนนี้ผมจะแก้มันด้วยสองวิธีที่แตกต่างกัน สิ่งแรกและชัดเจนที่สุดคืออนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์:

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

มาแก้นิพจน์ต่อไปนี้แยกกัน:

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot y-x .((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot y-x\cdot 0)(((y)^(2))) =\frac(y)(((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]

เรากลับไปสู่การออกแบบดั้งเดิมของเราและดำเนินการแก้ไขปัญหาต่อไป:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left(1 +\frac(1)(y)\right)\]

ทุกอย่าง $x$ ถูกคำนวณแล้ว

อย่างไรก็ตาม ตามที่ผมสัญญาไว้ ตอนนี้เราจะพยายามคำนวณอนุพันธ์ย่อยที่เหมือนกันนี้ด้วยวิธีที่แตกต่างออกไป เมื่อต้องการทำเช่นนี้ โปรดทราบสิ่งต่อไปนี้:

\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]

มาเขียนแบบนี้:

\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \right)\]

เป็นผลให้เราได้รับคำตอบเดียวกันทุกประการ แต่จำนวนการคำนวณกลับน้อยลง ในการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะทราบว่าเมื่อใช้งานผลิตภัณฑ์ สามารถเพิ่มตัวบ่งชี้ได้

ทีนี้ลองนับด้วย $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(ป)=\]

\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

มาแก้สำนวนหนึ่งแยกกัน:

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot y-x \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)(((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]

มาแก้ไขการก่อสร้างดั้งเดิมของเราต่อไป:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]

แน่นอนว่า อนุพันธ์เดียวกันนี้สามารถคำนวณได้ด้วยวิธีที่สอง และคำตอบก็จะเหมือนเดิม

ปัญหาหมายเลข 2

ลองนับ $x$:

\[(((z)")_(x))=((\left(x \right))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \right )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\]

มาคำนวณหนึ่งนิพจน์แยกกัน:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)((( x)^(2))+y)\]

มาแก้ไขโครงสร้างเดิมต่อไป: $$

นี่คือคำตอบ

ยังคงค้นหาโดยการเปรียบเทียบโดยใช้ $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(x \right))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \right)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\]

และเช่นเคย เราจะคำนวณนิพจน์หนึ่งรายการแยกกัน:

\[((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \right) )^(\ไพรม์ ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]

เราดำเนินการแก้ไขการออกแบบพื้นฐานต่อไป:

ทุกอย่างได้รับการคำนวณแล้ว อย่างที่คุณเห็น คำตอบจะแตกต่างกันโดยสิ้นเชิง ขึ้นอยู่กับตัวแปรที่ใช้ในการสร้างความแตกต่าง

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

นี่เป็นตัวอย่างที่ชัดเจนของวิธีการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันเดียวกันในสองวิธีที่แตกต่างกัน ดูที่นี่:

\[((((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right)=( (\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\ ซ้าย(1+\frac(1)(y) \right)\]

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \right)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=(( จ)^(x+\frac(x)(y))).((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \right)\ ]

เมื่อเลือกเส้นทางที่แตกต่างกันปริมาณการคำนวณอาจแตกต่างกัน แต่คำตอบหากทำทุกอย่างถูกต้องจะเท่ากัน สิ่งนี้ใช้ได้กับอนุพันธ์ทั้งแบบคลาสสิคและแบบบางส่วน ในเวลาเดียวกัน ฉันขอเตือนคุณอีกครั้ง: ขึ้นอยู่กับตัวแปรที่อนุพันธ์นำมาด้วย เช่น ความแตกต่างคำตอบอาจแตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง ดู:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cดอท 2x\]

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cดอท 1\]

โดยสรุป เพื่อรวมเนื้อหาทั้งหมดนี้ เรามาลองคำนวณอีกสองตัวอย่างกัน

ปัญหาเกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติและฟังก์ชันที่มีตัวแปร 3 ตัว

ภารกิจที่ 1

ลองเขียนสูตรต่อไปนี้:

\[((\left(((a)^(x)) \right))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]

\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))=((e)^(x))\]

ตอนนี้เรามาแก้นิพจน์ของเรากัน:

\[(((z)")_(x))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(x)=((3 )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]

มาคำนวณการก่อสร้างต่อไปนี้แยกกัน:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ ซ้าย(\sin y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]

เรายังคงแก้ไขนิพจน์ดั้งเดิมต่อไป:

\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]

นี่คือการตอบสนองขั้นสุดท้ายของตัวแปรส่วนตัวบน $x$ ทีนี้ลองนับด้วย $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(y)=((3 )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]

มาแก้สำนวนหนึ่งแยกกัน:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ ซ้าย(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]

มาแก้ไขการก่อสร้างของเราจนจบ:

\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]

ปัญหาหมายเลข 2

เมื่อมองแวบแรก ตัวอย่างนี้อาจดูค่อนข้างซับซ้อนเนื่องจากมีตัวแปรสามตัว อันที่จริง นี่เป็นหนึ่งในงานที่ง่ายที่สุดในวิดีโอสอนวันนี้

ค้นหาโดย $x$:

\[(((t)")_(x))=((\left(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \right))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e) ^(z)) \right))^(\ไพรม์ ))_(x)=\]

\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y) )) \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]

ตอนนี้เรามาจัดการกับ $y$:

\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \right))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot ((e)^(z)) \right))^(\prime ))_(y)=\]

\[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\ซ้าย (y \right))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]

เราได้พบคำตอบแล้ว

ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่คือค้นหาโดย $z$:

\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \right))^(\ไพรม์ ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e )^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \right))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((อี)^(z))\]

เราได้คำนวณอนุพันธ์อันดับสามแล้ว ซึ่งช่วยแก้ปัญหาข้อที่สองได้สำเร็จ

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

อย่างที่คุณเห็น ไม่มีอะไรซับซ้อนในสองตัวอย่างนี้ สิ่งเดียวที่เรามั่นใจคือมีการใช้อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนบ่อยครั้ง และคำตอบก็ต่างกันขึ้นอยู่กับอนุพันธ์ย่อยที่เราคำนวณ

ในงานสุดท้าย เราถูกขอให้จัดการกับฟังก์ชันของตัวแปรสามตัวพร้อมกัน ไม่มีอะไรผิดปกติในเรื่องนี้ แต่ท้ายที่สุดแล้ว เราก็เชื่อมั่นว่าสิ่งเหล่านี้มีความแตกต่างกันอย่างมาก

ประเด็นสำคัญ

ประเด็นสุดท้ายจากวิดีโอบทช่วยสอนของวันนี้มีดังนี้:

1. อนุพันธ์บางส่วนได้รับการพิจารณาในลักษณะเดียวกับอนุพันธ์ทั่วไป แต่เพื่อที่จะคำนวณอนุพันธ์บางส่วนด้วยความเคารพต่อตัวแปรหนึ่งตัวแปรอื่น ๆ ทั้งหมดที่รวมอยู่ใน ฟังก์ชั่นนี้เราถือว่ามันเป็นค่าคงที่
2. เมื่อทำงานกับอนุพันธ์ย่อย เราใช้สูตรมาตรฐานเดียวกันกับอนุพันธ์ทั่วไป ได้แก่ ผลรวม ผลต่าง อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์และผลหาร และแน่นอนว่า อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน

แน่นอนว่าการดูบทเรียนวิดีโอนี้เพียงอย่างเดียวไม่เพียงพอที่จะเข้าใจหัวข้อนี้อย่างถ่องแท้ ดังนั้นตอนนี้บนเว็บไซต์ของฉันจึงมีปัญหามากมายสำหรับวิดีโอนี้ที่เน้นไปที่หัวข้อของวันนี้โดยเฉพาะ - เข้าไป ดาวน์โหลด แก้ไขปัญหาเหล่านี้และตรวจสอบคำตอบ . และหลังจากนี้คุณจะไม่มีปัญหากับอนุพันธ์บางส่วนทั้งในการสอบหรือในงานอิสระ แน่นอนว่านี่ไม่ใช่บทเรียนสุดท้ายในคณิตศาสตร์ชั้นสูง ดังนั้นเยี่ยมชมเว็บไซต์ของเรา เพิ่ม VKontakte สมัครสมาชิก YouTube ถูกใจและอยู่กับเรา!

อนุพันธ์บางส่วนถูกใช้ในปัญหาที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว กฎในการค้นหาจะเหมือนกับฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่งทุกประการ โดยมีข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งจะต้องถือเป็นค่าคงที่ (จำนวนคงที่) ในขณะที่หาความแตกต่าง

สูตร

อนุพันธ์บางส่วนสำหรับฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว $ z(x,y) $ เขียนในรูปแบบต่อไปนี้ $ z"_x, z"_y $ และพบได้โดยใช้สูตร:

ลำดับแรกอนุพันธ์ย่อยบางส่วน

$$ z"_x = \frac(\บางส่วน z)(\บางส่วน x) $$

$$ z"_y = \frac(\บางส่วน z)(\บางส่วน y) $$

อนุพันธ์ย่อยอันดับสอง

$$ z""_(xx) = \frac(\บางส่วน^2 z)(\บางส่วน x \บางส่วน x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\บางส่วน^2 z)(\บางส่วน y \บางส่วน y) $$

อนุพันธ์ผสม

$$ z""_(xy) = \frac(\บางส่วน^2 z)(\บางส่วน x \บางส่วน y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\บางส่วน^2 z)(\บางส่วน y \บางส่วน x) $$

อนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชันเชิงซ้อน

a) ให้ $ z (t) = f(x(t), y(t)) $ จากนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนจะถูกกำหนดโดยสูตร:

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\บางส่วน z)(\บางส่วน x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\บางส่วน z)(\บางส่วน y) \cdot \frac (dy)(dt)$$

b) ให้ $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $ จากนั้นสูตรจะพบอนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชัน:

$$ \frac(\partial z)(\partial u) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial u) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial u) $$

$$ \frac(\partial z)(\partial v) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial v) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial v) $$

อนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชันโดยนัย

ก) ให้ $ F(x,y(x)) = 0 $ จากนั้น $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$

b) ให้ $ F(x,y,z)=0 $ จากนั้น $$ z"_x = - \frac(F"_x)(F"_z); z"_y = - \frac(F"_y)( ฉ"_z) $$

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

มีการพิสูจน์สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน กรณีที่ฟังก์ชันที่ซับซ้อนขึ้นอยู่กับตัวแปรหนึ่งหรือสองตัวจะถูกพิจารณาโดยละเอียด ลักษณะทั่วไปเกิดขึ้นกับกรณีของตัวแปรจำนวนเท่าใดก็ได้ เนื้อหา ดูเพิ่มเติมที่: ตัวอย่างการใช้สูตรหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน สูตรพื้นฐาน ในที่นี้ เราจะแสดงที่มาของสูตรต่อไปนี้สำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน ถ้าอย่างนั้น . ถ้าอย่างนั้น . ถ้าอย่างนั้น . อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนจากตัวแปรตัวเดียว ให้ฟังก์ชันของตัวแปร x แสดงเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนในรูปแบบต่อไปนี้: , ซึ่งมีฟังก์ชั่นบางอย่าง ฟังก์ชันนี้สามารถหาอนุพันธ์ได้สำหรับค่าบางค่าของตัวแปร x ฟังก์ชันนี้สามารถหาอนุพันธ์ได้ตามค่าของตัวแปร (1) . จากนั้นฟังก์ชันเชิงซ้อน (คอมโพสิต) จะหาอนุพันธ์ได้ที่จุด x และอนุพันธ์ของมันถูกกำหนดโดยสูตร: ; . สูตร (1) สามารถเขียนได้ดังนี้: การพิสูจน์ ; . ให้เราแนะนำสัญกรณ์ต่อไปนี้ นี่คือฟังก์ชันของตัวแปร และ มีฟังก์ชันของตัวแปร และ ; . แต่เราจะละเว้นข้อโต้แย้งของฟังก์ชันเหล่านี้เพื่อไม่ให้การคำนวณเกะกะ . เนื่องจากฟังก์ชัน และ สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุด x และ ตามลำดับ จากนั้นที่จุดเหล่านี้จะมีอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ซึ่งมีขีดจำกัดดังต่อไปนี้: . พิจารณาฟังก์ชันต่อไปนี้: . เนื่องจากฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ ณ จุดนั้น จึงเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่จุดนั้น นั่นเป็นเหตุผล . พิจารณาฟังก์ชันต่อไปนี้: . ทีนี้เราหาอนุพันธ์ได้แล้ว . สูตรได้รับการพิสูจน์แล้ว ผลที่ตามมา ถ้าฟังก์ชันของตัวแปร x สามารถแสดงเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนของฟังก์ชันเชิงซ้อนได้ , จากนั้นอนุพันธ์ของมันจะถูกกำหนดโดยสูตร . ที่นี่ และมีฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บางอย่าง เพื่อพิสูจน์สูตรนี้ เราจะคำนวณอนุพันธ์ตามลำดับโดยใช้กฎในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน พิจารณาฟังก์ชันเชิงซ้อน . อนุพันธ์ของมัน . พิจารณาฟังก์ชั่นดั้งเดิม . อนุพันธ์ของมัน . อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนจากตัวแปรสองตัว ตอนนี้ให้ฟังก์ชันที่ซับซ้อนขึ้นอยู่กับตัวแปรหลายตัว ก่อนอื่นเรามาดูกันดีกว่า กรณีฟังก์ชันเชิงซ้อนของตัวแปรสองตัว. ให้ฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับตัวแปร x แสดงเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนของตัวแปรสองตัวในรูปแบบต่อไปนี้: , ที่ไหน และมีฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้สำหรับค่าบางค่าของตัวแปร x - ฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุด , (2) . สูตร (1) สามารถเขียนได้ดังนี้: จากนั้นฟังก์ชันเชิงซ้อนจะถูกกำหนดไว้ในบริเวณใกล้จุดหนึ่งและมีอนุพันธ์ซึ่งกำหนดโดยสูตร: ; . เนื่องจากฟังก์ชันและสามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุด พวกมันจึงถูกกำหนดไว้ในย่านหนึ่งของจุดนี้ ต่อเนื่องกัน ณ จุดนั้น และมีอนุพันธ์ของพวกมันอยู่ที่จุด ซึ่งเป็นขีดจำกัดต่อไปนี้: ; . ที่นี่ ; . เนื่องจากความต่อเนื่องของฟังก์ชันเหล่านี้ ณ จุดหนึ่ง เราจึงมี: (3) . เนื่องจากฟังก์ชันและสามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุด พวกมันจึงถูกกำหนดไว้ในย่านหนึ่งของจุดนี้ ต่อเนื่องกัน ณ จุดนั้น และมีอนุพันธ์ของพวกมันอยู่ที่จุด ซึ่งเป็นขีดจำกัดต่อไปนี้: เนื่องจากฟังก์ชันสามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดนั้น จึงถูกกำหนดไว้ในย่านหนึ่งของจุดนี้ และมีความต่อเนื่อง ณ จุดนี้ และการเพิ่มขึ้นสามารถเขียนได้ในรูปแบบต่อไปนี้: ; - การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันเมื่ออาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นตามค่าและ ; - อนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชันเกี่ยวกับตัวแปร และ . ; . สำหรับค่าคงที่ของ และ และ เป็นฟังก์ชันของตัวแปร และ . ; . พวกเขามีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ที่และ: . : . ตั้งแต่ และ จากนั้น . สูตรได้รับการพิสูจน์แล้ว เพิ่มฟังก์ชัน: มาทดแทนกัน (3): อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนจากตัวแปรหลายตัว ข้อสรุปข้างต้นสามารถสรุปได้ง่ายในกรณีที่จำนวนตัวแปรของฟังก์ชันที่ซับซ้อนมากกว่าสองเช่น ถ้า f คือ , ที่ไหน ฟังก์ชันของตัวแปรทั้งสาม , ที่ และมีฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้สำหรับค่าบางค่าของตัวแปร x (4) . - ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ของตัวแปร 3 ตัวที่จุด , , . ; ; , จากนั้น จากนิยามของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เราจะได้: ; ; . เพราะด้วยความต่อเนื่อง . ที่ เมื่อหาร (4) ด้วยและผ่านไปยังขีดจำกัด เราจะได้:. และสุดท้ายเรามาพิจารณากัน , ที่ไหน กรณีทั่วไปที่สุด - ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ของตัวแปร n ตัว ณ จุดหนึ่ง , , ... , . พิจารณาฟังก์ชันต่อไปนี้: . ดูเพิ่มเติมที่: ตัวอย่าง. ค้นหาว่าที่ไหน สารละลาย. ตามสูตร (1) เรามี: ตัวอย่าง. ค้นหาอนุพันธ์ย่อยและอนุพันธ์รวมถ้า . สารละลาย. - ตามสูตร (2) ที่เราได้รับ . 2°. กรณีของตัวแปรอิสระหลายตัว อนุญาต z = ฉ(x;y) -ฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว เอ็กซ์และ ใช่ซึ่งแต่ละอันเป็นฟังก์ชัน ตัวแปรอิสระ เสื้อ: x = x(t), y = y(t)ในกรณีนี้คือฟังก์ชัน z=f(x(t);y(t))เป็น ฟังก์ชันที่ซับซ้อนของตัวแปรอิสระตัวเดียว เสื้อ;ตัวแปร x และ y เป็นตัวแปรระดับกลาง ทฤษฎีบท- ถ้า z == ฉ(x; ญ) -แยกแยะได้ ณ จุดหนึ่ง ม(x;y) ดการทำงาน และ x = x(เสื้อ)และ ที่ =ใช่(t) -ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ของตัวแปรอิสระ เสื้อ แล้วอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน ซี(ที) == ฉ(x(t);y(t))คำนวณโดยสูตร (3) กรณีพิเศษ: z = ฉ(x; ย)โดยที่ y = ใช่(x)เหล่านั้น. ซี = ฉ(x;y(x)) -ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนของสิ่งหนึ่ง ตัวแปรอิสระ เอ็กซ์กรณีนี้ลดลงไปเป็นกรณีก่อนหน้าและบทบาทของตัวแปร ทีเล่น เอ็กซ์ตามสูตร (3) เรามี: . สูตรสุดท้ายเรียกว่า สูตรอนุพันธ์รวม กรณีทั่วไป: z = ฉ(x;y)ที่ไหน x = x(u;v), y=y(u;v)แล้ว z = f(x(u;v);y(u;v)) -ซับซ้อน ฟังก์ชันของตัวแปรอิสระ และและ โวลต์อนุพันธ์ย่อยสามารถพบได้ โดยใช้สูตร (3) ดังนี้ ได้รับการแก้ไขแล้ว วีแทนที่มัน อนุพันธ์ย่อยที่สอดคล้องกัน ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน (z) เทียบกับตัวแปรอิสระแต่ละตัว (และและ โวลต์) เท่ากับผลรวมของผลคูณของอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันนี้ (z) เทียบกับค่าตัวกลาง ตัวแปร (x และ y)อนุพันธ์ของพวกมันเทียบกับตัวแปรอิสระที่สอดคล้องกัน (คุณและวี) ในทุกกรณีที่พิจารณา สูตรนี้ใช้ได้ (คุณสมบัติไม่แปรเปลี่ยนของผลต่างรวม) ตัวอย่าง. ค้นหาและถ้า z= ฉ(x,y) โดยที่ x=uv,

1° กรณีของตัวแปรอิสระตัวหนึ่ง- ถ้า z=f(x,y) เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ x และ y ซึ่งในทางกลับกันเป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ของตัวแปรอิสระ ที: ตามด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร

ตัวอย่าง. ค้นหาว่าที่ไหน

สารละลาย. ตามสูตร (1) เรามี:

ตัวอย่าง. ค้นหาอนุพันธ์ย่อยและอนุพันธ์รวมถ้า .

สารละลาย. -

ตามสูตร (2) ที่เราได้รับ .

2°. กรณีของตัวแปรอิสระหลายตัว

อนุญาต ซี =ฉ (เอ็กซ์ ;ญ) -ฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว เอ็กซ์และ ใช่ซึ่งแต่ละอันเป็นฟังก์ชันของตัวแปรอิสระ เสื้อ : x =เอ็กซ์(เสื้อ ) ย =ใช่ (เสื้อ)ในกรณีนี้คือฟังก์ชัน ซี =ฉ (เอ็กซ์(เสื้อ);ใช่ (เสื้อ ))เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนของตัวแปรอิสระตัวหนึ่ง เสื้อ;ตัวแปร x และ y เป็นตัวแปรระดับกลาง

ทฤษฎีบท- ถ้า z == ฉ(เอ็กซ์ ; ญ) -แยกแยะได้ ณ จุดหนึ่ง ม(x;ย)ดีฟังก์ชั่นและ x=เอ็กซ์(เสื้อ)และ ที่ =ใช่ (ที) -ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ของตัวแปรอิสระ เสื้อแล้วอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน ซี (เสื้อ) == ฉ(เอ็กซ์(เสื้อ);ใช่ (เสื้อ ))คำนวณโดยสูตร

กรณีพิเศษ:z = ฉ (เอ็กซ์ ; ใช่)โดยที่ y = ใช่(x)เหล่านั้น. ซี = ฉ (เอ็กซ์ ;ใช่ (x )) -ฟังก์ชันที่ซับซ้อนของตัวแปรอิสระตัวเดียว เอ็กซ์กรณีนี้ลดลงไปเป็นกรณีก่อนหน้าและบทบาทของตัวแปร ทีเล่น เอ็กซ์ตามสูตร (3) เรามี:

.

สูตรสุดท้ายเรียกว่า สูตรอนุพันธ์รวม

กรณีทั่วไป:z = ฉ (เอ็กซ์ ;ใช่)ที่ไหน x=เอ็กซ์(คุณ ;วี)ย =ใช่ (คุณ ;โวลต์)แล้ว z = ฉ (เอ็กซ์(คุณ ;โวลต์);ใช่ (คุณ ;โวลต์)) -ฟังก์ชันที่ซับซ้อนของตัวแปรอิสระ และและ โวลต์อนุพันธ์ย่อยหาได้โดยใช้สูตร (3) ดังนี้ ได้รับการแก้ไขแล้ว วีเราแทนที่มัน อนุพันธ์บางส่วนที่สอดคล้องกัน

ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน (z) เทียบกับตัวแปรอิสระแต่ละตัว (และและ โวลต์)เท่ากับผลรวมของผลคูณของอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันนี้ (z) เทียบกับตัวแปรกลาง (x และ y)อนุพันธ์ของพวกมันเทียบกับตัวแปรอิสระที่สอดคล้องกัน (คุณและวี)

ในทุกกรณีที่พิจารณา สูตรนี้ใช้ได้

(คุณสมบัติไม่แปรเปลี่ยนของผลต่างรวม)

ตัวอย่าง. ค้นหาและถ้า z = ฉ(x ,y ) โดยที่ x =uv ,

สารละลาย. การใช้สูตร (4) และ (5) เราได้รับ:

ตัวอย่าง. แสดงว่าฟังก์ชันเป็นไปตามสมการ .

สารละลาย. ฟังก์ชันนี้ขึ้นอยู่กับ x และ y ผ่านอาร์กิวเมนต์ตัวกลาง ดังนั้น

เมื่อแทนอนุพันธ์ย่อยทางด้านซ้ายของสมการ เราจะได้:

นั่นคือฟังก์ชัน z เป็นไปตามสมการนี้

อนุพันธ์ในทิศทางที่กำหนดและการไล่ระดับสีของฟังก์ชัน

1° อนุพันธ์ของฟังก์ชันในทิศทางที่กำหนด. อนุพันธ์ฟังก์ชัน z= ฉ(x,y) ในทิศทางนี้เรียกว่า , โดยที่ และ คือค่าของฟังก์ชันที่จุด และ . หากฟังก์ชัน z สามารถหาอนุพันธ์ได้ แสดงว่าสูตรนั้นใช้ได้

มุมระหว่างทิศทางอยู่ที่ไหน ลและแกนพิกัดที่สอดคล้องกัน อนุพันธ์ในทิศทางที่กำหนดจะแสดงลักษณะเฉพาะของอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันในทิศทางนั้น

ตัวอย่าง. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน z = 2x 2 - 3 2 ที่จุด P (1; 0) ในทิศทางที่ทำมุม 120° กับแกน OX

สารละลาย. มาหาอนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชันนี้และค่าที่จุด P