ตัวกรองดิจิทัลที่เป็นไปได้ทางกายภาพทำงานแบบเรียลไทม์ ข้อมูลต่อไปนี้สามารถใช้เพื่อสร้างสัญญาณเอาท์พุตในช่วงเวลาที่ไม่ต่อเนื่อง i:

1. ค่าของสัญญาณเอาท์พุต ณ เวลาปัจจุบัน ตัวอย่างสัญญาณอินพุตที่ผ่านมาจำนวนหนึ่ง: x(i-1), x(i-2), x(i-m);

2. จำนวนตัวอย่างก่อนหน้าของสัญญาณเอาท์พุต: y(i-1), y(i-2), y(i-n)

จำนวนเต็ม m และ n กำหนดลำดับของตัวกรองดิจิทัล ตัวกรองจะถูกจัดประเภทขึ้นอยู่กับวิธีการใช้ข้อมูลเกี่ยวกับสถานะที่ผ่านมาของระบบ

ตัวกรอง FIR หรือตัวกรองแบบไม่เรียกซ้ำทำงานตามอัลกอริทึมต่อไปนี้

M – ลำดับตัวกรอง

ตัวกรองแบบไม่เรียกซ้ำจะทำการถ่วงน้ำหนักและรวมตัวอย่างก่อนหน้าของสัญญาณอินพุต ไม่ใช้ตัวอย่างผลลัพธ์ที่ผ่านมา

H(z) – ฟังก์ชั่นระบบ

ฟังก์ชันระบบมี m ศูนย์และหนึ่งขั้ว ที่ z=0

อัลกอริธึมการทำงานของตัวกรอง FIR แบบดิจิทัลแสดงในรูปที่ 45

องค์ประกอบหลักของตัวกรองคือบล็อกความล่าช้าของตัวอย่างค่า 1 ช่วงการสุ่มตัวอย่าง

บล็อกสเกลที่ทำการคูณแบบดิจิทัลด้วยปัจจัยการถ่วงน้ำหนัก จากเอาต์พุตของบล็อกมาตราส่วน สัญญาณจะเข้าสู่ตัวบวก ซึ่งเป็นที่ที่สัญญาณเอาท์พุตถูกคำนวณ

นี้ แผนภาพบล็อกไม่ใช่ระบบไฟฟ้า แต่ทำหน้าที่เป็นการแสดงกราฟิกของอัลกอริธึมการประมวลผลสัญญาณบนคอมพิวเตอร์ ข้อมูลเอาต์พุตและอินพุตสำหรับอัลกอริทึมดังกล่าวเป็นอาร์เรย์ของตัวเลข

ลองใช้การแปลง Z แบบผกผันกับฟังก์ชันระบบแล้วค้นหาการตอบสนองแบบอิมพัลส์:

(กรองการตอบสนองแรงกระตุ้น)

การตอบสนองแบบอิมพัลส์ของตัวกรอง FIR มีองค์ประกอบจำนวนจำกัด และตัวกรองจะเสถียรอยู่เสมอ

เราจะพบ การตอบสนองความถี่โดยดำเนินการทดแทน

T=1/fs – ช่วงเวลาการสุ่มตัวอย่าง

พิจารณาตัวกรองดิจิทัลที่ง่ายที่สุด - ตัวกรองที่มีพารามิเตอร์คงที่

สัญญาณอินพุตของตัวกรองดิจิทัลจะถูกป้อนในรูปแบบของลำดับค่าตัวเลขตามช่วงเวลา (รูปที่ 4.1, a) เมื่อได้รับค่าสัญญาณถัดไปในตัวกรองดิจิทัล ค่าถัดไปของสัญญาณเอาต์พุตจะถูกคำนวณ อัลกอริธึมการคำนวณสามารถมีความหลากหลายมาก ในระหว่างขั้นตอนการคำนวณ สามารถใช้ค่าสุดท้ายของสัญญาณอินพุตได้

ค่าก่อนหน้าของสัญญาณอินพุตและเอาต์พุต: สัญญาณเอาท์พุตของตัวกรองดิจิทัลยังเป็นลำดับของค่าตัวเลขตามช่วงเวลาของ ช่วงเวลานี้จะเท่ากันสำหรับอุปกรณ์ทั้งหมด การประมวลผลแบบดิจิตอลสัญญาณ

ข้าว. 4.1. สัญญาณที่อินพุตและเอาต์พุตของตัวกรองดิจิทัล

ดังนั้นหากสัญญาณง่าย ๆ ในรูปแบบของพัลส์เดียวถูกนำไปใช้กับอินพุตของตัวกรองดิจิทัล (รูปที่ 4.2, a)

จากนั้นที่เอาต์พุตเราจะได้สัญญาณในรูปแบบของลำดับค่าตัวเลขที่ไม่ต่อเนื่องตามช่วงเวลา

โดยการเปรียบเทียบกับวงจรแอนะล็อกทั่วไป เราจะเรียกสัญญาณตอบสนองนี้ว่าการตอบสนองแบบอิมพัลส์ของตัวกรอง (รูปที่ 4.2, b) ต่างจากการตอบสนองแบบอิมพัลส์ของวงจรแอนะล็อก ฟังก์ชันนี้ไม่มีมิติ

ข้าว. 4.2. หน่วยการตอบสนองแรงกระตุ้นและแรงกระตุ้นของตัวกรองดิจิทัล

ให้เราป้อนตัวกรองตามอำเภอใจให้กับอินพุต สัญญาณไม่ต่อเนื่องข้าว. 4.1,a) ซึ่งเป็นชุดของค่าที่ไม่ต่อเนื่องกัน

ภายใต้การกระทำขององค์ประกอบแรก ลำดับคูณด้วยจะเกิดขึ้นที่เอาต์พุตของตัวกรอง ลำดับจะถูกคูณด้วยและเลื่อนไปทางขวาด้วยจำนวน ฯลฯ ด้วยเหตุนี้ ผลลัพธ์ที่ได้จึงได้ ลำดับที่ไหน

ดังนั้นสัญญาณเอาท์พุตจึงถูกกำหนดให้เป็นการบิดแยกของสัญญาณอินพุตและการตอบสนองแบบอิมพัลส์ ในส่วนนี้ ตัวกรองดิจิทัลจะคล้ายกับวงจรทั่วไป โดยที่สัญญาณเอาท์พุตจะเท่ากับการบิดของสัญญาณอินพุตและการตอบสนองแบบอิมพัลส์

สูตร (4.1) เป็นอัลกอริธึมการกรองแบบดิจิทัล หากการตอบสนองแบบอิมพัลส์ของตัวกรองถูกอธิบายตามลำดับที่มีเงื่อนไขจำนวนจำกัด ตัวกรองนั้นสามารถนำไปใช้ในรูปแบบของวงจรที่แสดงในรูปที่ 1 4.3. ในที่นี้ตัวอักษรจะระบุองค์ประกอบของการหน่วงเวลาของสัญญาณ (ต่อเซลล์) - องค์ประกอบที่คูณสัญญาณด้วยค่าสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกัน

แผนภาพที่แสดงในรูปที่. 4.3 ไม่ใช่ แผนภาพไฟฟ้าตัวกรองดิจิตอล แผนภาพนี้แสดงถึง ภาพกราฟิกอัลกอริธึมการกรองแบบดิจิทัลและแสดงลำดับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ดำเนินการระหว่างการประมวลผลสัญญาณ

ข้าว. 4.3. วงจรกรองดิจิตอลแบบไม่เรียกซ้ำ

สำหรับตัวกรองดิจิทัลที่ประมวลผลสัญญาณในรูปแบบของลำดับตัวเลขเชิงนามธรรม แนวคิดเรื่อง "การหน่วงเวลา" นั้นไม่ถูกต้องทั้งหมด ดังนั้นองค์ประกอบที่หน่วงเวลาสัญญาณหนึ่งเซลล์มักจะถูกทำเครื่องหมายบนวงจรกรองดิจิทัลพร้อมสัญลักษณ์ที่บ่งบอกถึงการหน่วงเวลาของสัญญาณในภาษาของ -การเปลี่ยนแปลง ต่อไปนี้เราจะยึดตามสัญกรณ์นี้

กลับไปที่วงจรกรองดิจิตอลดังแสดงในรูปที่ 1 4.3 ตัวกรองดังกล่าวซึ่งใช้เฉพาะค่าของสัญญาณอินพุตในการคำนวณเรียกว่าแบบง่ายหรือแบบไม่เรียกซ้ำ

อัลกอริธึมตัวกรองแบบไม่เรียกซ้ำนั้นง่ายต่อการเขียนหากทราบการตอบสนองแบบอิมพัลส์ของตัวกรอง สำหรับ การปฏิบัติจริงอัลกอริธึมต้องการให้การตอบสนองแบบอิมพัลส์มีจำนวนคำศัพท์ที่จำกัด หากการตอบสนองแบบอิมพัลส์มีจำนวนคำศัพท์ไม่ จำกัด แต่ค่าจะลดลงอย่างรวดเร็วคุณสามารถ จำกัด ตัวเองให้อยู่ในจำนวนที่ จำกัด โดยละทิ้งคำศัพท์ที่มีค่าน้อย หากองค์ประกอบของการตอบสนองแบบอิมพัลส์ไม่ลดค่าลง อัลกอริธึมตัวกรองแบบไม่เรียกซ้ำจะกลายเป็นไม่สามารถรับรู้ได้

ข้าว. 4.4. -โซ่

ตัวอย่างเช่นให้พิจารณาตัวกรองดิจิทัลที่ง่ายที่สุดซึ่งคล้ายกับวงจร (รูปที่ 4.4) การตอบสนองแบบอิมพัลส์ของวงจรมีรูปแบบ

ในการเขียนการตอบสนองแบบอิมพัลส์ของตัวกรองดิจิทัลที่สอดคล้องกัน ควรแทนที่นิพจน์ด้วย อย่างไรก็ตาม การตอบสนองแบบอิมพัลส์ของวงจรจะมีมิติ และการตอบสนองแบบอิมพัลส์ของตัวกรองดิจิทัลจะต้องไม่มีมิติ ดังนั้นเราจึงละเว้นตัวคูณในนิพจน์ (4.2) และเขียนการตอบสนองแบบอิมพัลส์ของตัวกรองดิจิทัลในรูปแบบ

การตอบสนองแบบกระตุ้นนั้นประกอบด้วยพจน์จำนวนอนันต์ แต่ขนาดของพวกมันจะลดลงตามกฎเอ็กซ์โปเนนเชียล และเราสามารถจำกัดตัวเองอยู่แค่เงื่อนไข โดยเลือกเช่นนั้น

ตอนนี้เราสามารถเขียนนิพจน์สำหรับสัญญาณที่เอาต์พุตตัวกรองได้

นิพจน์นี้เป็นอัลกอริธึมตัวกรองดิจิทัลด้วย แผนภาพของตัวกรองนี้แสดงในรูปที่ 1 4.5.

วิธีที่สองในการวิเคราะห์กระบวนการในตัวกรองดิจิทัลนั้นคล้ายคลึงกับวิธีดำเนินการในการวิเคราะห์วงจรแอนะล็อกทั่วไป แทนที่จะใช้การแปลงลาปลาซเท่านั้น จะใช้ -การแปลง

ข้าว. 4.5. วงจรของตัวกรองดิจิทัลแบบไม่เรียกซ้ำคล้ายกับวงจร

เรามากำหนดพารามิเตอร์ตัวกรองดิจิทัลที่คล้ายกับฟังก์ชันการถ่ายโอนกัน วงจรไฟฟ้า- เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้การแปลงกับการตอบสนองแบบอิมพัลส์ของตัวกรองดิจิทัล:

ฟังก์ชันนี้เรียกว่าฟังก์ชันตัวกรองระบบ

ตามนิพจน์ (4.1) สัญญาณที่เอาต์พุตของตัวกรองดิจิทัลจะเท่ากับการบิดแยกของสัญญาณอินพุตและการตอบสนองแบบอิมพัลส์ของตัวกรอง เมื่อใช้ทฤษฎีบทการบิดกับนิพจน์นี้ เราได้มาว่าการแปลงสัญญาณเอาท์พุตเท่ากับการแปลงสัญญาณอินพุตคูณด้วยฟังก์ชันตัวกรองระบบ:

ดังนั้นฟังก์ชันระบบจึงมีบทบาทเป็นฟังก์ชันถ่ายโอนข้อมูลของตัวกรองดิจิทัล

ตัวอย่างเช่น ให้เราค้นหาฟังก์ชันระบบของตัวกรองดิจิทัลลำดับที่หนึ่งที่คล้ายกับ -circuit:

วิธีที่สามในการวิเคราะห์การส่งผ่านสัญญาณผ่านตัวกรองดิจิทัลนั้นคล้ายคลึงกับวิธีดั้งเดิมของสมการเชิงอนุพันธ์ ลองพิจารณาวิธีนี้โดยใช้กลุ่มการสั่งซื้อเป็นตัวอย่าง

ที่ง่ายที่สุด วงจรอนาล็อกลำดับที่ 1 คือ -วงจร (ดูรูปที่ 4.4) ซึ่งเป็นเส้นทางของสัญญาณซึ่งอธิบายโดยสมการเชิงอนุพันธ์

ให้เป็นวงจรแยกแทน สมการเชิงอนุพันธ์(4.8) ควรเขียนสมการความแตกต่างโดยระบุสัญญาณอินพุตและเอาต์พุตสำหรับช่วงเวลาที่ไม่ต่อเนื่องและแทนที่จะเป็นอนุพันธ์ควรปรากฏความแตกต่างของค่าสัญญาณที่อยู่ติดกัน สำหรับวงจรลำดับที่ 1 แบบแยก สมการผลต่างสามารถเขียนได้ในรูปแบบที่ค่อนข้างทั่วไป

ลองใช้การแปลงกับสมการกัน

โดยที่เราพบฟังก์ชันตัวกรองระบบ

สูตร (4.10) เป็นสำนวนที่ค่อนข้างทั่วไปสำหรับ ฟังก์ชั่นระบบฟิลเตอร์ดิจิตอลลำดับที่ 1 เมื่อมันเกิดขึ้นพร้อมกับนิพจน์ที่ได้รับก่อนหน้านี้ (4.7) สำหรับฟังก์ชันระบบของตัวกรองดิจิทัลที่เทียบเท่ากับ -วงจร

ให้เราค้นหาอัลกอริธึมการกรองดิจิทัลที่สอดคล้องกับฟังก์ชันระบบ (4.10) เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะแก้สมการ (4.9) เพื่อ

แผนภาพที่เทียบเท่าของอัลกอริธึมนี้แสดงไว้ในรูปที่ 1 4.6. เมื่อเปรียบเทียบกับตัวกรองแบบไม่เรียกซ้ำ (ดูรูปที่ 4.5) มีการเพิ่ม "ลูกโซ่" ชนิดหนึ่งไว้ที่นี่ ข้อเสนอแนะ"ซึ่งหมายถึงค่าสัญญาณเอาท์พุตจะถูกนำไปใช้ในภายหลัง

ข้าว. 4.6. วงจรของตัวกรองดิจิทัลแบบเรียกซ้ำคล้ายกับวงจร

การคำนวณ ตัวกรองประเภทนี้เรียกว่าแบบเรียกซ้ำ

อัลกอริทึม (4.11) สอดคล้องกับตัวกรองที่เทียบเท่ากับตัวกรองแบบไม่เรียกซ้ำที่พิจารณาก่อนหน้านี้โดยสมบูรณ์ แต่ในการกำหนดค่าหนึ่งค่าของสัญญาณเอาท์พุตโดยใช้อัลกอริธึมตัวกรองแบบไม่เรียกซ้ำ (4.4) จำเป็นต้องดำเนินการและเมื่อใช้อัลกอริธึมตัวกรองแบบเรียกซ้ำ (4.11) จำเป็นต้องมีการดำเนินการเพียงสองครั้งเท่านั้น นี่คือข้อได้เปรียบหลักของตัวกรองแบบเรียกซ้ำ นอกจากนี้ ตัวกรองแบบเรียกซ้ำยังช่วยให้การประมวลผลสัญญาณมีความแม่นยำสูงขึ้น เนื่องจากตัวกรองเหล่านี้ช่วยให้การดำเนินการตอบสนองอิมพัลส์ถูกต้องมากขึ้นโดยไม่ต้องละทิ้ง "ส่วนท้าย" ตัวกรองแบบเรียกซ้ำช่วยให้คุณสามารถใช้อัลกอริทึมที่ไม่สามารถนำมาใช้ได้เลยโดยใช้ตัวกรองที่ไม่เรียกซ้ำ ตัวอย่างเช่น ตัวกรองทำงานตามวงจรในรูป 4.6 โดยพื้นฐานแล้วเป็นตัวสะสม-รวมระบบในอุดมคติและมีการตอบสนองแบบอิมพัลส์ของตัวกรองรูปแบบ A ที่มีคุณสมบัติดังกล่าวไม่สามารถนำมาใช้ได้โดยใช้รูปแบบที่ไม่เกิดซ้ำ

ตัวอย่างที่พิจารณาแสดงให้เห็นว่าไม่มีประโยชน์ในการใช้อัลกอริธึมที่ไม่เรียกซ้ำเพื่อสร้างตัวกรองดิจิทัลที่มีการตอบสนองแบบอิมพัลส์ที่ยาว ในกรณีเหล่านี้ การใช้ตัวกรองแบบเรียกซ้ำจะเหมาะสมกว่า

ขอบเขตการใช้งานของอัลกอริธึมแบบไม่เรียกซ้ำคือการใช้ตัวกรองดิจิทัลพร้อมการตอบสนองแบบอิมพัลส์ที่มีคำศัพท์จำนวนน้อย ตัวอย่างคือตัวสร้างความแตกต่างที่ง่ายที่สุด โดยสัญญาณเอาท์พุตจะเท่ากับการเพิ่มขึ้นของสัญญาณอินพุต:

วงจรของตัวกรองดิจิทัลดังกล่าวจะแสดงในรูปที่ 1 4.7.

ข้าว. 4.7. วงจรของตัวสร้างความแตกต่างทางดิจิทัลที่ง่ายที่สุด

ให้เราพิจารณาตัวกรองดิจิทัลทั่วไปซึ่งอธิบายโดยสมการ

สมการนี้ถือได้ว่าเป็นสมการผลต่างของลำดับและเป็นอัลกอริธึมการกรองแบบดิจิทัลหากเขียนใหม่ต่างกัน กล่าวคือ

ข้าว. 4.8. วงจรกรองลำดับดิจิทัลแบบเรียกซ้ำ

อัลกอริทึม (4.13) สอดคล้องกับวงจรที่แสดงในรูปที่ 1 4.8. ให้เราค้นหาฟังก์ชั่นระบบของตัวกรองดังกล่าว เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้การแปลงกับสมการ:

นิพจน์ (4.14) ช่วยให้เราสามารถสร้างการเชื่อมต่อระหว่างความผันผวนขององค์ประกอบของวงจรตัวกรองและฟังก์ชันของระบบได้ ค่าสัมประสิทธิ์ในตัวเศษของฟังก์ชันระบบจะกำหนดค่าของสัมประสิทธิ์สำหรับ

(ในส่วนที่ไม่เกิดซ้ำของตัวกรอง) และค่าสัมประสิทธิ์ในตัวส่วนจะกำหนดส่วนที่เกิดซ้ำของตัวกรอง

ทุกอย่างเริ่มต้นเมื่อเพื่อนของเพื่อนของเพื่อนต้องการความช่วยเหลือเกี่ยวกับตัวกรองเดียวกันนี้ ตามวิถีของเจได ข่าวลือเกี่ยวกับเรื่องนี้มาถึงฉัน ฉันยกเลิกการสมัครรับความคิดเห็นในโพสต์ที่ลิงก์ ดูเหมือนว่าจะช่วยได้ ฉันหวังเช่นนั้น

เรื่องราวนี้ปลุกเร้าความทรงจำเกี่ยวกับเรื่องที่สามหรืออะไรประมาณนั้นในหัวฉัน ตอนที่ฉันรับ DSP และกระตุ้นให้ฉันเขียนบทความสำหรับทุกคนที่สนใจวิธีการทำงานของตัวกรองดิจิทัล แต่โดยธรรมชาติแล้วกลับรู้สึกหวาดกลัวกับตัวกรองดิจิทัล - สุดยอดสูตรและภาพวาดไซคีเดลิคใน (ฉันไม่ได้พูดถึงตำราเรียนอยู่แล้ว)

โดยทั่วไปจากประสบการณ์ของฉัน สถานการณ์ในหนังสือเรียนอธิบายได้ด้วยวลีที่รู้จักกันดีว่าบางครั้งคุณไม่สามารถมองเห็นป่าสำหรับต้นไม้ได้ และกล่าวคือ เมื่อพวกเขาเริ่มทำให้คุณกลัวทันทีด้วยการแปลงรูป Z และสูตรสำหรับการหารพหุนาม ซึ่งมักจะยาวกว่าสองกระดาน ความสนใจในหัวข้อนี้ก็จะหมดไปอย่างรวดเร็วมาก เราจะเริ่มต้นด้วยสิ่งง่ายๆ โชคดีที่จะเข้าใจสิ่งที่เกิดขึ้น ไม่จำเป็นต้องอธิบายสำนวนที่ซับซ้อนยาวๆ เลย

ก่อนอื่น แนวคิดพื้นฐานง่ายๆ บางประการ

1. การตอบสนองแบบแรงกระตุ้น

สมมติว่าเรามีกล่องที่มีสี่พิน เราไม่รู้ว่ามีอะไรอยู่ข้างใน แต่เรารู้แน่ว่าอาคารผู้โดยสารด้านซ้ายสองแห่งคือทางเข้า และอีกสองแห่งทางด้านขวาคือทางออก ลองใช้พัลส์สั้นมากที่มีแอมพลิจูดขนาดใหญ่มากกับมันแล้วดูว่าเกิดอะไรขึ้นที่เอาท์พุต ยังไม่ชัดเจนว่ามีอะไรอยู่ในจตุรัสนี้ เพราะไม่รู้จะอธิบายอย่างไร แต่อย่างน้อยเราก็จะได้เห็นอะไรบางอย่าง

ในที่นี้ต้องบอกว่าพัลส์ขนาดสั้น (โดยทั่วไปคือสั้นอนันต์) ที่มีแอมพลิจูดขนาดใหญ่ (โดยทั่วไปคืออนันต์) ในทางทฤษฎีเรียกว่าฟังก์ชันเดลต้า อย่างไรก็ตาม สิ่งที่ตลกก็คืออินทิกรัลของสิ่งนี้ ไม่มีที่สิ้นสุดฟังก์ชั่นมีค่าเท่ากับหนึ่ง นี่คือการทำให้เป็นมาตรฐาน

ดังนั้นสิ่งที่เราเห็นที่เอาต์พุตของเครือข่ายควอดริโพลซึ่งใช้ฟังก์ชันเดลต้ากับอินพุตเรียกว่า การตอบสนองแรงกระตุ้นสี่เหลี่ยมนี้ อย่างไรก็ตาม ในตอนนี้ยังไม่ชัดเจนว่าจะช่วยเราได้อย่างไร แต่ให้เราจำผลลัพธ์ที่ได้รับและไปยังแนวคิดที่น่าสนใจต่อไป

2. การบิดตัว

กล่าวโดยสรุป การบิดเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่มาจากการรวมผลคูณของฟังก์ชัน:

อย่างที่คุณเห็นมีเครื่องหมายดอกจันกำกับไว้ นอกจากนี้คุณยังสามารถเห็นได้ว่าในระหว่างการบิด ฟังก์ชันหนึ่งจะเรียงลำดับ "ไปข้างหน้า" และเราจะดำเนินการฟังก์ชันที่สอง "กลับไปด้านหน้า" แน่นอนว่าในกรณีที่ไม่ต่อเนื่องซึ่งมีคุณค่ามากกว่าสำหรับมนุษยชาติ การบิดงอก็เหมือนกับอินทิกรัลอื่น ๆ ที่จะเข้าสู่ผลรวม:

ดูเหมือนเป็นนามธรรมทางคณิตศาสตร์ที่น่าเบื่อ อย่างไรก็ตาม ในความเป็นจริง มัดอาจเป็นปรากฏการณ์ที่มีมนต์ขลังที่สุดในโลกนี้ รองลงมาคือความอัศจรรย์ต่อการเกิดของบุคคล สิ่งเดียวที่แตกต่างคือคนส่วนใหญ่จะรู้ว่าเด็กมาจากไหนอย่างน้อยที่สุดเมื่ออายุมากขึ้น สิบแปด ในขณะที่เกี่ยวกับสิ่งที่บิดเบี้ยวคืออะไรและเหตุใดมันจึงมีประโยชน์และน่าทึ่ง แต่ประชากรส่วนใหญ่ของโลกไม่มีความคิดเลยตลอดชีวิต

ดังนั้นพลังของการดำเนินการนี้อยู่ที่ว่าถ้า f เป็นสัญญาณอินพุตใด ๆ และ g คือการตอบสนองแบบอิมพัลส์ของเครือข่ายสี่พอร์ตผลลัพธ์ของการบิดของฟังก์ชันทั้งสองนี้จะคล้ายกับสิ่งที่เราจะทำ ได้รับโดยการส่งสัญญาณ f ผ่านเครือข่ายสี่พอร์ตนี้

นั่นคือการตอบสนองแบบอิมพัลส์นั้นเป็นคุณสมบัติที่สมบูรณ์ของเครือข่ายสี่พอร์ตที่เกี่ยวข้องกับเอฟเฟกต์อินพุตและการบิดสัญญาณอินพุตทำให้สามารถกู้คืนสัญญาณเอาต์พุตที่สอดคล้องกันได้

ในความคิดของฉัน นี่มันน่าทึ่งมาก!

3. ตัวกรอง

คุณสามารถทำสิ่งที่น่าสนใจได้มากมายด้วยการตอบสนองแบบกระตุ้นและการบิดตัว ตัวอย่างเช่น หากสัญญาณเป็นเสียง คุณสามารถจัดระเบียบเสียงก้อง เสียงสะท้อน คอรัส แฟลงเจอร์ และอื่นๆ อีกมากมาย คุณสามารถแยกแยะและบูรณาการ... โดยทั่วไป คุณสามารถสร้างอะไรก็ได้ สำหรับเราตอนนี้ สิ่งที่สำคัญที่สุดคือ แน่นอนว่า ตัวกรองสามารถหาได้อย่างง่ายดายโดยใช้การบิด

ตัวกรองดิจิทัลนั้นเป็นการบิดของสัญญาณอินพุตพร้อมการตอบสนองแบบอิมพัลส์ที่สอดคล้องกับตัวกรองที่ต้องการ

แต่แน่นอนว่าต้องได้รับการตอบสนองแบบกระตุ้น แน่นอนว่าเราได้คิดวิธีการวัดค่าข้างต้นแล้ว แต่ในงานดังกล่าวไม่มีเหตุผลในเรื่องนี้ - ถ้าเราประกอบตัวกรองแล้วทำไมต้องวัดอย่างอื่นเราสามารถใช้มันตามที่เป็นอยู่ได้ นอกจากนี้ ค่าที่สำคัญที่สุดของตัวกรองดิจิทัลก็คือ ตัวกรองสามารถมีลักษณะเฉพาะที่ไม่สามารถบรรลุได้ (หรือบรรลุได้ยาก) ในความเป็นจริง เช่น เฟสเชิงเส้น ตรงนี้ไม่มีวิธีวัดเลย คุณแค่ต้องนับ

4. การได้รับการตอบสนองแบบแรงกระตุ้น

สมมติว่าเราได้ตัดสินใจว่าเราต้องการอะไรจากตัวกรองและสร้างสมการที่อธิบายตัวกรองนั้น ถัดไป เพื่อค้นหาการตอบสนองแบบอิมพัลส์ คุณสามารถแทนที่ฟังก์ชันเดลต้าลงในสมการที่ได้รับแล้วได้ค่าที่ต้องการ ปัญหาเดียวคือต้องทำอย่างไร เนื่องจากฟังก์ชันเดลต้าตรงเวลา โอภูมิภาคนี้มอบให้โดยระบบอันชาญฉลาด และโดยทั่วไปแล้วจะมีอนันต์ทุกประเภท ดังนั้นในขั้นตอนนี้ทุกอย่างจึงกลายเป็นเรื่องยากมาก

นี่คือที่ที่พวกเขาจำได้ว่ามีสิ่งที่เรียกว่าการแปลงลาปลาซ โดยตัวมันเองมันไม่ใช่ลูกเกดหนึ่งปอนด์ เหตุผลเดียวที่ยอมรับได้ในวิศวกรรมวิทยุก็คือความจริงที่ว่าในพื้นที่ของการโต้แย้งว่าการเปลี่ยนแปลงนี้เป็นการเปลี่ยนแปลง บางสิ่งจะง่ายขึ้นจริงๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟังก์ชันเดลต้าแบบเดียวกันที่ทำให้เรามีปัญหาอย่างมากในโดเมนเวลานั้นสามารถแสดงออกมาได้อย่างง่ายดายมาก - มีเพียงฟังก์ชันเดียวเท่านั้น!

การแปลงรูป Z (หรือที่เรียกว่าการแปลงรูป Laurent) เป็นเวอร์ชันหนึ่งของการแปลงรูป Laplace สำหรับระบบแยก

นั่นคือโดยการใช้การแปลงลาปลาซ (หรือการแปลง Z ตามความจำเป็น) กับฟังก์ชันที่อธิบายตัวกรองที่ต้องการ โดยแทนที่ตัวกรองหนึ่งเป็นผลลัพธ์แล้วเปลี่ยนกลับ เราจะได้การตอบสนองแบบอิมพัลส์ ฟังดูง่ายใครๆ ก็ลองดูได้ ฉันจะไม่เสี่ยงเพราะดังที่ได้กล่าวไปแล้ว การแปลงลาปลาซเป็นสิ่งที่รุนแรง โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทางกลับกัน ปล่อยให้เป็นทางเลือกสุดท้ายแล้วเราจะมองหาเพิ่มเติม วิธีง่ายๆได้รับสิ่งที่คุณกำลังมองหา มีหลายคน

ประการแรก เราสามารถนึกถึงข้อเท็จจริงที่น่าทึ่งอีกประการหนึ่งของธรรมชาติได้ - คุณลักษณะของแอมพลิจูด-ความถี่และแรงกระตุ้นมีความสัมพันธ์ซึ่งกันและกันโดยการแปลงฟูริเยร์ที่ดีและคุ้นเคย ซึ่งหมายความว่าเราสามารถดึงการตอบสนองความถี่ใดๆ มาใช้กับรสนิยมของเรา นำการแปลงฟูริเยร์ผกผันจากนั้น (ไม่ว่าจะต่อเนื่องหรือแยกกัน) และรับการตอบสนองแบบอิมพัลส์ของระบบที่นำไปใช้ นี่มันน่าทึ่งมาก!

อย่างไรก็ตามเรื่องนี้จะไม่มีปัญหา ประการแรก การตอบสนองแบบกระตุ้นที่เราได้รับนั้นมีแนวโน้มว่าจะไม่มีที่สิ้นสุด (ฉันจะไม่อธิบายว่าเหตุใด นั่นคือวิธีการทำงานของโลก) ดังนั้น เราจะต้องตัดมันออกโดยสมัครใจ ณ จุดใดจุดหนึ่ง (ตั้งค่าให้เท่ากับศูนย์ เกินกว่าจุดนั้น) แต่สิ่งนี้จะไม่เกิดขึ้นเช่นนั้น - ผลที่ตามมาจากสิ่งนี้อย่างที่คาดไว้คือการบิดเบือนการตอบสนองความถี่ของตัวกรองที่คำนวณได้ - มันจะกลายเป็นคลื่นและจุดตัดความถี่จะเบลอ

เพื่อลดผลกระทบเหล่านี้ ฟังก์ชันหน้าต่างการปรับให้เรียบต่างๆ จะถูกนำไปใช้กับการตอบสนองของอิมพัลส์ที่สั้นลง เป็นผลให้การตอบสนองความถี่มักจะเบลอมากยิ่งขึ้น แต่การสั่นที่ไม่พึงประสงค์ (โดยเฉพาะในพาสแบนด์) จะหายไป

จริงๆ แล้ว หลังจากการประมวลผลดังกล่าว เราได้รับการตอบสนองแบบอิมพัลส์ที่ใช้งานได้ และสามารถสร้างตัวกรองดิจิทัลได้

วิธีการคำนวณที่สองนั้นง่ายกว่า - การตอบสนองแบบกระตุ้นของตัวกรองยอดนิยมนั้นแสดงออกมาในรูปแบบการวิเคราะห์มานานแล้วสำหรับเรา สิ่งที่เหลืออยู่คือการทดแทนค่าของคุณและใช้ฟังก์ชันหน้าต่างกับผลลัพธ์ตามที่คุณต้องการ คุณจึงไม่ต้องพิจารณาการแปลงใดๆ ด้วยซ้ำ

และแน่นอนว่า หากเป้าหมายคือการจำลองพฤติกรรมของวงจรใดวงจรหนึ่ง คุณสามารถรับการตอบสนองแบบอิมพัลส์ได้ในเครื่องจำลอง:

ที่นี่ฉันใช้พัลส์ 1,00500 โวลต์ (ใช่ 100.5 kV) ด้วยระยะเวลา 1 μs กับอินพุตของวงจร RC และได้รับการตอบสนองแบบอิมพัลส์ เป็นที่ชัดเจนว่าสิ่งนี้ไม่สามารถทำได้ในความเป็นจริง แต่ในเครื่องจำลองวิธีนี้อย่างที่คุณเห็นว่าใช้งานได้ดี

5. หมายเหตุ

สิ่งที่กล่าวไว้ข้างต้นเกี่ยวกับการลดการตอบสนองแรงกระตุ้นที่ใช้กับสิ่งที่เรียกว่าแน่นอน ตัวกรองการตอบสนองแรงกระตุ้นจำกัด (ตัวกรอง FIR/FIR) พวกมันมีคุณสมบัติที่มีคุณค่ามากมาย รวมถึงเฟสเชิงเส้น (ภายใต้เงื่อนไขบางประการสำหรับการสร้างการตอบสนองแบบอิมพัลส์) ซึ่งช่วยให้มั่นใจว่าไม่มีการบิดเบือนสัญญาณในระหว่างการกรอง รวมถึงความเสถียรที่สมบูรณ์ นอกจากนี้ยังมีตัวกรองการตอบสนองแบบอิมพัลส์ที่ไม่มีที่สิ้นสุด (ตัวกรอง IIR/IIR) มีการใช้ทรัพยากรน้อยกว่าในแง่ของการคำนวณ แต่ไม่มีข้อได้เปรียบที่ระบุไว้อีกต่อไป

ในบทความถัดไป ฉันหวังว่าจะดูตัวอย่างง่ายๆ ของการใช้งานตัวกรองดิจิทัลในทางปฏิบัติ