พิจารณาเมทริกซ์ A ขนาด mxn ใดๆ ก็ได้ โดยไม่จำเป็นต้องเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส

อันดับเมทริกซ์

แนวคิดของอันดับเมทริกซ์เกี่ยวข้องกับแนวคิด การพึ่งพาเชิงเส้น(ความเป็นอิสระ) ของแถว (คอลัมน์) ของเมทริกซ์ ลองพิจารณาแนวคิดนี้สำหรับสตริง สำหรับคอลัมน์ - ในทำนองเดียวกัน

ให้เราแสดงถึงท่อระบายน้ำของเมทริกซ์ A:

อี 1 =(ก 11,ก 12,…,ก 1n); e 2 =(a 21,a 22,…,a 2n);…, e m =(a m1,a m2,…,a mn)

e k =e s ถ้า kj =a sj , j=1,2,…,n

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในแถวเมทริกซ์ (การบวก การคูณด้วยตัวเลข) ถูกนำมาใช้เป็นการดำเนินการที่ดำเนินการโดยองค์ประกอบตามองค์ประกอบ: แลม k =(แลม k1 ,แลม k2 ,…,แลม kn);

e k +е s =[(a k1 +a s1),(a k2 +a s2),…,(a kn +a sn)]

สาย e เรียกว่า การรวมกันเชิงเส้นแถว e 1, e 2,…, e k ถ้ามันเท่ากับผลรวมของผลคูณของเส้นเหล่านี้ด้วยจำนวนจริงตามอำเภอใจ:

e=แลมบ์ดา 1 อี 1 +แลมบ์ 2 อี 2 +…+แล้ค อีเค

บรรทัด e 1, e 2,…, em m ถูกเรียกว่า ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นหากมีจำนวนจริง แลมบ์ดา 1 ,แลมบ์ 2 ,…,แลมม ไม่เท่ากับศูนย์ทั้งหมด ดังนั้นผลรวมเชิงเส้นของสตริงเหล่านี้จะเท่ากับสตริงศูนย์: แลมบ์ดา 1 อี 1 +แลม 2 อี 2 +…+แลม ฉัน อี ม = 0 ,ที่ไหน 0 =(0,0,…,0) (1)

หากผลรวมเชิงเส้นเท่ากับศูนย์ถ้าหากสัมประสิทธิ์ทั้งหมด แลม i เท่ากับศูนย์ (แลมบ์ดา 1 =แลมบ์ดา 2 =...=แลมม =0) ดังนั้นแถว e 1, e 2,..., ฉันถูกเรียกว่า เป็นอิสระเชิงเส้น

ทฤษฎีบท 1- เพื่อให้สตริง e 1 , e 2 ,…, em m เป็นอิสระเชิงเส้น จำเป็นและเพียงพอที่สตริงใดสตริงหนึ่งจะเป็นผลรวมเชิงเส้นของสตริงที่เหลือ

การพิสูจน์. ความจำเป็น- ปล่อยให้สตริง e 1, e 2,…, e m เป็นอิสระเชิงเส้น ขอให้เพื่อความแน่นอน (1) แลมบ์ ≠0 ดังนั้น

ที่. สตริง e m คือผลรวมเชิงเส้นของสตริงที่เหลือ ฯลฯ

ความเพียงพอ- ให้สตริงตัวใดตัวหนึ่ง เช่น em m เป็นผลรวมเชิงเส้นของสตริงที่เหลือ จากนั้นจะมีตัวเลขที่มีความเท่าเทียมกันซึ่งสามารถเขียนใหม่ในรูปแบบได้

โดยที่อย่างน้อย 1 สัมประสิทธิ์ (-1) ไม่เท่ากับศูนย์ เหล่านั้น. แถวนั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง ฯลฯ

คำนิยาม. ลำดับที่ k รองเมทริกซ์ A ที่มีขนาด mxn เรียกว่าปัจจัยกำหนดลำดับที่ k โดยมีองค์ประกอบอยู่ที่จุดตัดของแถว k ใดๆ และคอลัมน์ k ใดๆ ของเมทริกซ์ A (k≤min(m,n)) -

ตัวอย่าง., ผู้เยาว์ลำดับที่ 1: =, =;

ผู้เยาว์ลำดับที่ 2: , ลำดับที่ 3

เมทริกซ์ลำดับที่ 3 มีรายย่อยลำดับที่ 1 จำนวน 9 ราย รายย่อยลำดับที่ 2 จำนวน 9 ราย และรายย่อยลำดับที่ 3 จำนวน 1 ราย (ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นี้)

คำนิยาม. อันดับของเมทริกซ์ Aคือลำดับสูงสุดของตัวรองที่ไม่ใช่ศูนย์ของเมทริกซ์นี้ การกำหนด - rg A หรือ r(A)

คุณสมบัติอันดับเมทริกซ์.

1) อันดับของเมทริกซ์ A nxm ไม่เกินขนาดที่เล็กกว่านั่นคือ

r(A)≤นาที(m,n)

2) r(A)=0 เมื่อองค์ประกอบเมทริกซ์ทั้งหมดเท่ากับ 0 เช่น ก=0.

3) สำหรับ เมทริกซ์จตุรัสและลำดับที่ n r(A)=n เมื่อ A ไม่เสื่อมสภาพ

(อันดับของเมทริกซ์แนวทแยงเท่ากับจำนวนองค์ประกอบในแนวทแยงที่ไม่เป็นศูนย์)

4) หากอันดับของเมทริกซ์เท่ากับ r แสดงว่าเมทริกซ์มีลำดับรองอย่างน้อยหนึ่งลำดับ r ที่ไม่เท่ากับศูนย์และผู้รองที่มีลำดับสูงกว่าทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์

ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ถือเป็นอันดับของเมทริกซ์:

2) r(A+B)≤r(A)+r(B); 3) r(AB)≤นาที(r(A),r(B));

3) r(A+B)≥│r(A)-r(B)│; 4) r(อัตตา)=r(A);

5) r(AB)=r(A) ถ้า B เป็นเมทริกซ์จตุรัสที่ไม่เป็นเอกพจน์

6) r(AB)≥r(A)+r(B)-n โดยที่ n คือจำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์ A หรือแถวของเมทริกซ์ B

คำนิยาม.เรียกลำดับรองที่ไม่เป็นศูนย์ r(A) ผู้เยาว์ขั้นพื้นฐาน- (เมทริกซ์ A อาจมีผู้เยาว์ที่เป็นพื้นฐานหลายรายการ) แถวและคอลัมน์ที่จุดตัดซึ่งมีพื้นฐานรองเรียกว่าตามลำดับ สายฐานและ คอลัมน์ฐาน.

ทฤษฎีบท 2 (เกี่ยวกับพื้นฐานรอง)แถวด้านล่าง (คอลัมน์) มีความเป็นอิสระเชิงเส้น แถวใดๆ (คอลัมน์ใดก็ได้) ของเมทริกซ์ A คือผลรวมเชิงเส้นของแถวพื้นฐาน (คอลัมน์)

การพิสูจน์- (สำหรับสตริง) หากแถวพื้นฐานขึ้นอยู่กับเชิงเส้น ดังนั้นตามทฤษฎีบท (1) หนึ่งในแถวเหล่านี้จะเป็นผลรวมเชิงเส้นของแถวพื้นฐานอื่น ๆ จากนั้นคุณสามารถลบค่ารวมเชิงเส้นที่ระบุออกจากแถวนี้ได้โดยไม่ต้องเปลี่ยนค่าของรองพื้นฐาน และได้แถวศูนย์ ซึ่งขัดแย้งกับข้อเท็จจริงที่ว่าฐานรองนั้นแตกต่างจากศูนย์ ที่. แถวพื้นฐานมีความเป็นอิสระเชิงเส้น

ขอให้เราพิสูจน์ว่าแถวใดๆ ของเมทริกซ์ A คือผลรวมเชิงเส้นของแถวฐาน เพราะ ด้วยการเปลี่ยนแปลงแถว (คอลัมน์) โดยพลการ ดีเทอร์มิแนนต์จะรักษาคุณสมบัติของการเท่ากับศูนย์ จากนั้นโดยไม่สูญเสียลักษณะทั่วไป เราสามารถสรุปได้ว่าฐานรองอยู่ที่มุมซ้ายบนของเมทริกซ์

ก=,เหล่านั้น. อยู่ที่แถวแรกและคอลัมน์แรก ให้ 1£j£n, 1£i£m ให้เราแสดงว่าดีเทอร์มิแนนต์ของลำดับ (r+1)

ถ้า j£r หรือ i£r แล้วดีเทอร์มิแนนต์นี้จะเท่ากับศูนย์ เพราะ จะมีสองคอลัมน์ที่เหมือนกันหรือสองแถวที่เหมือนกัน

ถ้า j>r และ i>r แล้วดีเทอร์มิแนนต์นี้เป็นลำดับรองของเมทริกซ์ A (r+1) เนื่องจาก อันดับของเมทริกซ์เท่ากับ r ซึ่งหมายความว่าลำดับรองใด ๆ ที่สูงกว่าจะเท่ากับ 0

เราได้ขยายตามองค์ประกอบของคอลัมน์สุดท้าย (เพิ่ม)

a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a rj A rj +a ij A ij =0 โดยที่สุดท้าย ส่วนเสริมพีชคณิต A ij เกิดขึ้นพร้อมกับฐานรอง M r ดังนั้น A ij = M r ≠0

การหารความเท่าเทียมกันสุดท้ายด้วย A ij เราสามารถแสดงองค์ประกอบ a ij เป็นการรวมกันเชิงเส้นได้: โดยที่

ให้เราแก้ไขค่าของ i (i>r) และค้นหาว่าสำหรับองค์ประกอบ j (j=1,2,…,n) ใดๆ เส้นที่ i e ฉัน แสดงเป็นเส้นตรงผ่านองค์ประกอบของเส้น e 1, e 2,…, e r, เช่น เส้นที่ iคือผลรวมเชิงเส้นของสตริงพื้นฐาน: ฯลฯ

ทฤษฎีบท 3 (เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับดีเทอร์มิแนนต์ที่จะเท่ากับศูนย์)เพื่อให้ปัจจัยลำดับที่ n D เท่ากับศูนย์ จำเป็นและเพียงพอที่แถว (คอลัมน์) ของมันจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง

พิสูจน์ (หน้า 40). ความจำเป็น- หากปัจจัยลำดับที่ n D เท่ากับศูนย์แสดงว่าเมทริกซ์รองของเมทริกซ์นั้นมีลำดับ r

ดังนั้นแถวหนึ่งจึงเป็นผลรวมเชิงเส้นของแถวอื่นๆ จากนั้นตามทฤษฎีบทที่ 1 แถวของดีเทอร์มิแนนต์จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง

ความเพียงพอ- หากแถว D มีความสัมพันธ์เชิงเส้นตรง ดังนั้นตามทฤษฎีบทที่ 1 หนึ่งแถว A i จะเป็นผลรวมเชิงเส้นของแถวที่เหลือ การลบชุดค่าผสมเชิงเส้นที่ระบุออกจากสตริง A i โดยไม่เปลี่ยนค่าของ D เราจะได้สตริงเป็นศูนย์ ดังนั้นตามคุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ D=0 ฯลฯ

ทฤษฎีบท 4ในระหว่างการแปลงเบื้องต้น อันดับของเมทริกซ์จะไม่เปลี่ยนแปลง

การพิสูจน์- ดังที่แสดงไว้เมื่อพิจารณาคุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ เมื่อทำการแปลงเมทริกซ์กำลังสอง ดีเทอร์มิแนนต์ของพวกมันจะไม่เปลี่ยนแปลง หรือคูณด้วยจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์ หรือเปลี่ยนเครื่องหมาย ในกรณีนี้ ลำดับสูงสุดของผู้เยาว์ที่ไม่ใช่ศูนย์ของเมทริกซ์ดั้งเดิมจะยังคงอยู่ เช่น อันดับของเมทริกซ์ไม่เปลี่ยนแปลง ฯลฯ

ถ้า r(A)=r(B) แล้ว A และ B เป็น เทียบเท่า: A~B

ทฤษฎีบท 5เมื่อใช้การแปลงเบื้องต้น คุณสามารถลดเมทริกซ์เป็นได้ มุมมองขั้นบันไดเมทริกซ์เรียกว่า ถ้ามีรูปแบบดังนี้

A= โดยที่ ii ≠0, i=1,2,…,r; r≤k

เงื่อนไข r≤k สามารถทำได้โดยการเปลี่ยนตำแหน่ง

ทฤษฎีบท 6อันดับของเมทริกซ์ระดับนั้นเท่ากับจำนวนแถวที่ไม่ใช่ศูนย์ .

เหล่านั้น. อันดับของเมทริกซ์ขั้นตอนเท่ากับ r เพราะ มีลำดับย่อยที่ไม่ใช่ศูนย์ r:

แนวคิดเรื่องอันดับเมทริกซ์มีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับแนวคิดเรื่องการพึ่งพาเชิงเส้น (ความเป็นอิสระ) ของแถวหรือคอลัมน์ ในอนาคตเราจะนำเสนอเนื้อหาสำหรับแถว สำหรับคอลัมน์ การนำเสนอจะคล้ายกัน

ในเมทริกซ์ กเรามาแสดงเส้นของมันดังนี้:

เมทริกซ์สองแถวเรียกว่าเท่ากันหากองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องเท่ากัน: , ถ้า , .

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในแถวเมทริกซ์ (การคูณแถวด้วยตัวเลข การเพิ่มแถว) ถูกนำมาใช้เป็นการดำเนินการที่ดำเนินการทีละองค์ประกอบ:

เส้น จเรียกว่าผลรวมเชิงเส้นของสตริง..., เมทริกซ์ถ้ามันเท่ากับผลรวมของผลคูณของแถวเหล่านี้ด้วยจำนวนจริงตามอำเภอใจ:

แถวของเมทริกซ์เรียกว่า ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นหากมีตัวเลขที่ไม่เท่ากับศูนย์พร้อมกัน ดังนั้นผลรวมเชิงเส้นของแถวเมทริกซ์จะเท่ากับแถวศูนย์:

, =(0,0,...,0). (3.3)

ทฤษฎีบท 3.3แถวของเมทริกซ์จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรงหากอย่างน้อยหนึ่งแถวของเมทริกซ์เป็นผลรวมเชิงเส้นของแถวอื่นๆ

□ อันที่จริง ให้นิยามในสูตร (3.3) แล้วกัน

ดังนั้นแถวจึงเป็นการรวมเชิงเส้นของแถวที่เหลือ

หากผลรวมเชิงเส้นของแถว (3.3) เท่ากับศูนย์ ถ้าหากสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเท่ากับศูนย์ แถวนั้นจะถูกเรียกว่าเป็นอิสระเชิงเส้น

ทฤษฎีบท 3.4(ประมาณอันดับของเมทริกซ์) อันดับของเมทริกซ์เท่ากับจำนวนสูงสุดของแถวหรือคอลัมน์อิสระเชิงเส้นซึ่งแถวอื่น ๆ ทั้งหมด (คอลัมน์) จะแสดงเป็นเส้นตรง

□ ปล่อยให้เมทริกซ์ กไซส์ m n มีอันดับ ร(รนาที). ซึ่งหมายความว่ามีผู้เยาว์ที่ไม่เป็นศูนย์ ร-ลำดับที่ รายย่อยที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ รลำดับที่ 3 จะเรียกว่าฐานรอง

เพื่อความชัดเจน ให้พื้นฐานรองเป็น ผู้เยาว์นำหน้าหรือมุม จากนั้นแถวของเมทริกซ์จะเป็นอิสระเชิงเส้น สมมติว่าตรงกันข้าม นั่นคือ หนึ่งในสตริงเหล่านี้ เป็นการรวมเชิงเส้นของสตริงอื่นๆ ลบออกจากองค์ประกอบ ร- ของแถวที่ 1 องค์ประกอบของแถวที่ 1 คูณด้วย ตามด้วยองค์ประกอบของแถวที่ 2 คูณด้วย , ... และองค์ประกอบ ( ร- 1) - แถวที่ 2 คูณด้วย . จากคุณสมบัติ 8 ด้วยการแปลงเมทริกซ์ดังกล่าว ดีเทอร์มีแนนต์ D จะไม่เปลี่ยนแปลง แต่เนื่องจาก ร- แถวนี้จะมีเพียงศูนย์เท่านั้น ดังนั้น D = 0 จึงขัดแย้งกัน ดังนั้น สมมติฐานของเราที่ว่าแถวของเมทริกซ์ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นจึงไม่ถูกต้อง

มาเรียกสายกันเถอะ ขั้นพื้นฐาน- ให้เราแสดงว่าแถวใดๆ (r+1) ของเมทริกซ์นั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง กล่าวคือ สตริงใดๆ จะแสดงในรูปของสตริงพื้นฐาน

ลองพิจารณาผู้เยาว์ (r +1) ของลำดับแรก ซึ่งได้มาจากการเสริมผู้เยาว์ที่เป็นปัญหาด้วยองค์ประกอบของแถวอื่น ฉันและคอลัมน์ เจ- รายย่อยนี้เป็นศูนย์เนื่องจากอันดับของเมทริกซ์คือ รดังนั้นลำดับรองที่สูงกว่าใดๆ จะเป็นศูนย์

เราได้ขยายตามองค์ประกอบของคอลัมน์สุดท้าย (เพิ่ม)

โดยที่โมดูลัสของการเสริมพีชคณิตสุดท้ายเกิดขึ้นพร้อมกับฐานรอง ดีและแตกต่างจากศูนย์นั่นคือ 0.

3. Voevodin V.V., Kuznetsov Yu.A. เมทริกซ์และการคำนวณ - M.: Nauka, 1984.-320p

4. อิลยิน วี.เอ., พอซเนียค อี.จี. พีชคณิตเชิงเส้น - อ.: “วิทยาศาสตร์”, 2521. - 304 น.

โปรดทราบว่าแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์ถือได้ว่าเป็นเวกเตอร์ทางคณิตศาสตร์ของมิติ มและ nตามลำดับ ดังนั้นเมทริกซ์ขนาดจึงสามารถตีความได้ว่าเป็นเซต ม n-มิติหรือ n มเวกเตอร์เลขคณิตมิติ โดยการเปรียบเทียบกับเวกเตอร์เรขาคณิต เราแนะนำแนวคิดของการพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระเชิงเส้นของแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์

4.8.1. คำนิยาม. เส้น
เรียกว่า การรวมเชิงเส้นของสตริงด้วยอัตราต่อรอง
หากองค์ประกอบทั้งหมดของบรรทัดนี้มีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

,
.

4.8.2. คำนิยาม.

สตริง
ถูกเรียกว่า ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นหากมีการรวมกันเชิงเส้นที่ไม่สำคัญเท่ากับแถวศูนย์นั่นคือ มีตัวเลขที่ไม่เท่ากับศูนย์ทั้งหมด

,
.

4.8.3. คำนิยาม.

สตริง
ถูกเรียกว่า เป็นอิสระเชิงเส้นหากเพียงผลรวมเชิงเส้นเล็กน้อยเท่านั้นที่เท่ากับแถวศูนย์นั่นคือ

,

4.8.4. ทฤษฎีบท. (เกณฑ์สำหรับการพึ่งพาเชิงเส้นของแถวเมทริกซ์)

เพื่อให้แถวต่างๆ ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น จำเป็นและเพียงพอที่อย่างน้อยหนึ่งแถวจะเป็นผลรวมเชิงเส้นของแถวอื่นๆ

การพิสูจน์:

ความจำเป็น.ปล่อยให้เส้น
เป็นอิสระเชิงเส้น จากนั้นจะมีการรวมกันเชิงเส้นที่ไม่สำคัญของพวกมันเท่ากับแถวศูนย์:

.

โดยไม่สูญเสียลักษณะทั่วไป สมมติว่าค่าสัมประสิทธิ์แรกของผลรวมเชิงเส้นไม่เป็นศูนย์ (ไม่เช่นนั้น แถวต่างๆ ก็สามารถกำหนดหมายเลขใหม่ได้) หารอัตราส่วนนี้ด้วย เราได้รับ

,

นั่นคือแถวแรกเป็นผลรวมเชิงเส้นของแถวอื่นๆ

ความเพียงพอยกตัวอย่างบรรทัดใดบรรทัดหนึ่งว่า ก็คือผลรวมเชิงเส้นของตัวอื่นๆ แล้ว

นั่นคือ มีการรวมสตริงเชิงเส้นที่ไม่สำคัญ
เท่ากับสตริงศูนย์:

ซึ่งหมายถึงเส้น
เป็นแบบพึ่งพาเชิงเส้น ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

ความคิดเห็น

คำจำกัดความและข้อความที่คล้ายกันสามารถกำหนดให้กับคอลัมน์ของเมทริกซ์ได้

§4.9 อันดับเมทริกซ์

4.9.1. คำนิยาม. ส่วนน้อยคำสั่ง เมทริกซ์ ขนาด
เรียกว่าตัวกำหนดลำดับ โดยมีธาตุอยู่บริเวณจุดตัดกันบางส่วน เส้นและ คอลัมน์

4.9.2. คำนิยาม. คำสั่งซื้อย่อยที่ไม่เป็นศูนย์ เมทริกซ์ ขนาด
เรียกว่า ขั้นพื้นฐาน ส่วนน้อยถ้าเมทริกซ์รองทุกตัวอยู่ในลำดับ
มีค่าเท่ากับศูนย์

ความคิดเห็น เมทริกซ์สามารถมีตัวรองที่เป็นพื้นฐานได้หลายตัว แน่นอนว่าทั้งหมดจะอยู่ในลำดับเดียวกัน เมทริกซ์ก็เป็นไปได้เช่นกัน ขนาด
คำสั่งย่อย แตกต่างจากศูนย์ และผู้เยาว์มีระเบียบ
ไม่มีอยู่จริงนั่นคือ
.

4.9.3. คำนิยาม. แถว (คอลัมน์) ที่เป็นฐานรองเรียกว่า ขั้นพื้นฐานแถว (คอลัมน์)

4.9.4. คำนิยาม. อันดับของเมทริกซ์เรียกว่าลำดับของฐานรอง อันดับเมทริกซ์ แสดงโดย
หรือ
.

ความคิดเห็น

โปรดทราบว่าเนื่องจากความเท่าเทียมกันของแถวและคอลัมน์ของดีเทอร์มิแนนต์ อันดับของเมทริกซ์จึงไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อถูกย้าย

4.9.5. ทฤษฎีบท. (ค่าคงที่ของอันดับเมทริกซ์ภายใต้การแปลงเบื้องต้น)

อันดับของเมทริกซ์จะไม่เปลี่ยนแปลงระหว่างการแปลงเบื้องต้น

ไม่มีข้อพิสูจน์

4.9.6. ทฤษฎีบท. (เกี่ยวกับผู้เยาว์ขั้นพื้นฐาน)

แถวด้านล่าง (คอลัมน์) มีความเป็นอิสระเชิงเส้นตรง แถว (คอลัมน์) ใดๆ ของเมทริกซ์สามารถแสดงเป็นชุดค่าผสมเชิงเส้นของแถวพื้นฐาน (คอลัมน์) ได้

การพิสูจน์:

เรามาพิสูจน์สตริงกันดีกว่า การพิสูจน์คำสั่งสำหรับคอลัมน์สามารถดำเนินการได้โดยการเปรียบเทียบ

ให้อันดับของเมทริกซ์ ขนาด
เท่ากับ , ก
− ผู้เยาว์ขั้นพื้นฐาน โดยไม่สูญเสียลักษณะทั่วไป เราถือว่าฐานรองอยู่ที่มุมซ้ายบน (ไม่เช่นนั้น เมทริกซ์สามารถลดลงเป็นรูปแบบนี้ได้โดยใช้การแปลงเบื้องต้น):

.

ก่อนอื่นให้เราพิสูจน์ความเป็นอิสระเชิงเส้นของแถวฐานก่อน เราจะดำเนินการพิสูจน์โดยขัดแย้งกัน ให้เราสมมติว่าแถวพื้นฐานนั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง จากนั้น ตามทฤษฎีบท 4.8.4 หนึ่งในสตริงสามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของสตริงพื้นฐานที่เหลือได้ ดังนั้น หากเราลบชุดค่าผสมเชิงเส้นที่ระบุออกจากแถวนี้ เราจะได้แถวศูนย์ ซึ่งหมายความว่าค่ารอง
เท่ากับศูนย์ ซึ่งขัดแย้งกับคำจำกัดความของฐานรอง ดังนั้นเราจึงได้รับความขัดแย้ง ดังนั้นจึงพิสูจน์ความเป็นอิสระเชิงเส้นของแถวพื้นฐานแล้ว

ตอนนี้ให้เราพิสูจน์ว่าทุกแถวของเมทริกซ์สามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของแถวพื้นฐานได้ หากเป็นหมายเลขบรรทัดที่เป็นปัญหา ตั้งแต่ 1 ถึง รเห็นได้ชัดว่าสามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นโดยมีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากับ 1 สำหรับเส้นตรง และค่าสัมประสิทธิ์เป็นศูนย์สำหรับแถวที่เหลือ ให้เราแสดงว่าถ้าเป็นหมายเลขบรรทัด จาก
ถึง
ซึ่งสามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของสตริงพื้นฐานได้ พิจารณาเมทริกซ์ไมเนอร์
ได้จากพื้นฐานไมเนอร์
เพิ่มบรรทัด และคอลัมน์ตามใจชอบ
:

ให้เราแสดงให้เห็นว่าผู้เยาว์รายนี้
จาก
ถึง
และสำหรับหมายเลขคอลัมน์ใดๆ ตั้งแต่ 1 ถึง .

แน่นอนถ้าเป็นหมายเลขคอลัมน์ ตั้งแต่ 1 ถึง รจากนั้นเราก็มีดีเทอร์มิแนนต์ที่มีคอลัมน์สองคอลัมน์เหมือนกัน ซึ่งเห็นได้ชัดว่าเท่ากับศูนย์ หากเป็นหมายเลขคอลัมน์ จาก ร+1 ถึง และหมายเลขบรรทัด จาก
ถึง
, ที่
เป็นเมทริกซ์รองของเมทริกซ์ดั้งเดิมที่มีลำดับสูงกว่าเมทริกซ์รองพื้นฐาน ซึ่งหมายความว่ามีค่าเท่ากับศูนย์จากคำจำกัดความของฐานรอง ดังนั้นผู้เยาว์จึงได้รับการพิสูจน์ว่า
เป็นศูนย์สำหรับหมายเลขบรรทัดใดๆ จาก
ถึง
และสำหรับหมายเลขคอลัมน์ใดๆ ตั้งแต่ 1 ถึง - เมื่อขยายออกไปในคอลัมน์สุดท้าย เราจะได้:

ที่นี่
− การบวกพีชคณิตที่สอดคล้องกัน โปรดทราบว่า
เนื่องจากฉะนั้น
เป็นผู้เยาว์ขั้นพื้นฐาน ดังนั้นองค์ประกอบของเส้น เคสามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของแถวพื้นฐานโดยมีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ขึ้นกับหมายเลขคอลัมน์ :

ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์แล้วว่าแถวใดแถวหนึ่งของเมทริกซ์สามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของแถวพื้นฐานได้ ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

บรรยายครั้งที่ 13

4.9.7. ทฤษฎีบท. (อันดับของเมทริกซ์จตุรัสที่ไม่เป็นเอกพจน์)

เพื่อให้เมทริกซ์จตุรัสไม่เป็นเอกพจน์ ลำดับของเมทริกซ์จึงจำเป็นและเพียงพอเท่ากับขนาดของเมทริกซ์นี้

การพิสูจน์:

ความจำเป็น.ปล่อยให้เมทริกซ์กำลังสอง ขนาด nก็ไม่เสื่อมเสียแล้ว
ดังนั้นดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จึงเป็นพื้นฐานรอง เช่น

ความเพียงพออนุญาต
ดังนั้นลำดับของฐานรองจะเท่ากับขนาดของเมทริกซ์ ดังนั้น ฐานรองจึงเป็นดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ , เช่น.
ตามคำจำกัดความของผู้เยาว์ขั้นพื้นฐาน

ผลที่ตามมา

เพื่อให้เมทริกซ์จตุรัสไม่เป็นเอกพจน์ จำเป็นอย่างยิ่งและเพียงพอที่แถวของเมทริกซ์จะเป็นอิสระเชิงเส้น

การพิสูจน์:

ความจำเป็น.เนื่องจากเมทริกซ์จตุรัสไม่ใช่เอกพจน์ อันดับของเมทริกซ์จึงเท่ากับขนาดของเมทริกซ์
นั่นคือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นั้นเป็นพื้นฐานรอง ดังนั้น ตามทฤษฎีบท 4.9.6 บนพื้นฐานรอง แถวของเมทริกซ์จึงมีความเป็นอิสระเชิงเส้น

ความเพียงพอเนื่องจากแถวทั้งหมดของเมทริกซ์มีความเป็นอิสระเชิงเส้น อันดับของเมทริกซ์จึงต้องไม่น้อยกว่าขนาดของเมทริกซ์ ซึ่งหมายถึง
ดังนั้นตามทฤษฎีบท 4.9.7 ก่อนหน้า เมทริกซ์ ไม่เสื่อมโทรม

4.9.8. วิธีการกำหนดขอบเขตผู้เยาว์ในการค้นหาอันดับของเมทริกซ์

โปรดทราบว่าส่วนหนึ่งของวิธีนี้มีการอธิบายไว้โดยปริยายในการพิสูจน์ทฤษฎีบทย่อยพื้นฐานแล้ว

4.9.8.1. คำนิยาม. ส่วนน้อย
เรียกว่า มีพรมแดนติดสัมพันธ์กับผู้เยาว์
หากได้รับจากผู้เยาว์
โดยการเพิ่มหนึ่งแถวใหม่และหนึ่งคอลัมน์ใหม่ให้กับเมทริกซ์ดั้งเดิม

4.9.8.2. ขั้นตอนการค้นหาอันดับของเมทริกซ์โดยใช้วิธี bordering minors

เราพบเมทริกซ์รองในปัจจุบันที่แตกต่างจากศูนย์

เราคำนวณผู้เยาว์ทั้งหมดที่อยู่ติดกับมัน

หากทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ ผู้เยาว์ในปัจจุบันจะเป็นฐานหนึ่งและอันดับของเมทริกซ์จะเท่ากับลำดับของผู้เยาว์ในปัจจุบัน

หากในบรรดาผู้เยาว์ที่อยู่ติดกันมีอย่างน้อยหนึ่งตัวที่ไม่เป็นศูนย์ จะถือว่าเป็นปัจจุบันและขั้นตอนจะดำเนินต่อไป

โดยใช้วิธีการกำหนดขอบเขตผู้เยาว์ เราจะค้นหาอันดับของเมทริกซ์

.

ง่ายต่อการระบุลำดับรองอันดับสองที่ไม่เป็นศูนย์ในปัจจุบัน เช่น

.

เราคำนวณผู้เยาว์ที่อยู่ติดกับมัน:

ผลที่ตามมา เนื่องจากผู้เยาว์ที่มีขอบเขตทั้งหมดของลำดับที่สามมีค่าเท่ากับศูนย์ จากนั้นจึงเป็นผู้เยาว์
เป็นพื้นฐานนั่นคือ

ความคิดเห็น จากตัวอย่างที่พิจารณา เห็นได้ชัดว่าวิธีนี้ใช้แรงงานคนค่อนข้างมาก ดังนั้นในทางปฏิบัติจึงมักใช้วิธีการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นมากกว่าซึ่งจะกล่าวถึงด้านล่าง

4.9.9. การค้นหาอันดับของเมทริกซ์โดยใช้วิธีการแปลงเบื้องต้น

ตามทฤษฎีบท 4.9.5 อาจแย้งได้ว่าอันดับของเมทริกซ์ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงเบื้องต้น (นั่นคือ อันดับของเมทริกซ์ที่เท่ากันจะเท่ากัน) ดังนั้นอันดับของเมทริกซ์จึงเท่ากับอันดับของเมทริกซ์ขั้นตอนที่ได้รับจากเมทริกซ์ดั้งเดิมโดยการแปลงเบื้องต้น อันดับของเมทริกซ์ขั้นตอนนั้นเห็นได้ชัดว่าเท่ากับจำนวนแถวที่ไม่ใช่ศูนย์

เรามากำหนดอันดับของเมทริกซ์กันดีกว่า

โดยวิธีการแปลงเบื้องต้น

มานำเสนอเมทริกซ์กัน เพื่อดูขั้นตอน:

จำนวนแถวที่ไม่ใช่ศูนย์ของเมทริกซ์ระดับผลลัพธ์คือสามดังนั้น

4.9.10. อันดับของระบบเวกเตอร์ปริภูมิเชิงเส้น

พิจารณาระบบเวกเตอร์
พื้นที่เชิงเส้นบางส่วน - ถ้ามันขึ้นอยู่กับเชิงเส้นก็สามารถแยกแยะระบบย่อยอิสระเชิงเส้นได้

4.9.10.1. คำนิยาม. อันดับของระบบเวกเตอร์
พื้นที่เชิงเส้น เรียกว่าจำนวนเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นสูงสุดของระบบนี้ อันดับระบบเวกเตอร์
แสดงว่าเป็น
.

ความคิดเห็น หากระบบเวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้น อันดับของระบบจะเท่ากับจำนวนเวกเตอร์ในระบบ

ให้เรากำหนดทฤษฎีบทที่แสดงความเชื่อมโยงระหว่างแนวคิดเรื่องอันดับของระบบเวกเตอร์ในปริภูมิเชิงเส้นและอันดับของเมทริกซ์

4.9.10.2. ทฤษฎีบท. (อันดับของระบบเวกเตอร์ในปริภูมิเชิงเส้น)

อันดับของระบบเวกเตอร์ในปริภูมิเชิงเส้นเท่ากับอันดับของเมทริกซ์ซึ่งมีคอลัมน์หรือแถวเป็นพิกัดของเวกเตอร์ในบางพื้นฐานของปริภูมิเชิงเส้น

ไม่มีข้อพิสูจน์

ผลที่ตามมา

เพื่อให้ระบบเวกเตอร์ในปริภูมิเชิงเส้นเป็นอิสระเชิงเส้น จำเป็นและเพียงพอที่อันดับของเมทริกซ์ คอลัมน์หรือแถวที่เป็นพิกัดของเวกเตอร์ในบางพื้นฐาน จะเท่ากับจำนวน ของเวกเตอร์ในระบบ

หลักฐานก็ชัดเจน

4.9.10.3. ทฤษฎีบท (ในมิติของเปลือกเชิงเส้น)

มิติของเวกเตอร์ตัวเรือเชิงเส้น
พื้นที่เชิงเส้น เท่ากับอันดับของระบบเวกเตอร์นี้:

ไม่มีข้อพิสูจน์

พีชคณิตเชิงเส้น

ทฤษฎีคราบ

1. เมทริกซ์ การดำเนินการกับเมทริกซ์ เมทริกซ์ผกผัน สมการเมทริกซ์และคำตอบ

เมทริกซ์– ตารางสี่เหลี่ยมที่มีตัวเลขเรียงกันเรียงตามลำดับ ขนาด m*n (เรียงเป็นแถว) องค์ประกอบของเมทริกซ์ถูกกำหนดโดยที่ i คือหมายเลขแถว aj คือหมายเลขคอลัมน์

ส่วนที่เพิ่มเข้าไป (การลบ)เมทริกซ์ถูกกำหนดไว้สำหรับเมทริกซ์มิติเดียวเท่านั้น ผลรวม (ผลต่าง) ของเมทริกซ์คือเมทริกซ์ที่มีองค์ประกอบตามลำดับคือผลรวม (ผลต่าง) ขององค์ประกอบของเมทริกซ์ดั้งเดิม

การคูณ (การหาร)ต่อหมายเลข– การคูณ (การหาร) ของแต่ละองค์ประกอบเมทริกซ์ด้วยจำนวนนี้

การคูณเมทริกซ์ถูกกำหนดไว้สำหรับเมทริกซ์เท่านั้น จำนวนคอลัมน์ของคอลัมน์แรกจะเท่ากับจำนวนแถวของคอลัมน์ที่สอง

การคูณเมทริกซ์– เมทริกซ์องค์ประกอบที่กำหนดโดยสูตร:

เมทริกซ์ทรานสโพส– เมทริกซ์ B ดังกล่าว แถว (คอลัมน์) ซึ่งเป็นคอลัมน์ (แถว) ในเมทริกซ์ A ดั้งเดิม กำหนด

เมทริกซ์ผกผัน

สมการเมทริกซ์– สมการในรูปแบบ A*X=B เป็นผลคูณของเมทริกซ์ คำตอบของสมการนี้คือเมทริกซ์ X ซึ่งพบได้โดยใช้กฎ:

1. การพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระของคอลัมน์ (แถว) ของเมทริกซ์ เกณฑ์การพึ่งพาเชิงเส้น เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการพึ่งพาเชิงเส้นของคอลัมน์เมทริกซ์ (แถว)

เรียกว่าระบบแถว (คอลัมน์) เป็นอิสระเชิงเส้นถ้าผลรวมเชิงเส้นไม่สำคัญ (ความเท่าเทียมกันคงไว้เฉพาะสำหรับ a1...n=0) โดยที่ A1...n คือคอลัมน์ (แถว) aa1...n คือสัมประสิทธิ์การขยาย

เกณฑ์: เพื่อให้ระบบของเวกเตอร์เป็นอิสระเชิงเส้น จำเป็นและเพียงพอที่เวกเตอร์ของระบบอย่างน้อยหนึ่งตัวจะแสดงเป็นเส้นตรงผ่านเวกเตอร์ที่เหลืออยู่ของระบบ

สภาพที่เพียงพอ:

1. ปัจจัยกำหนดเมทริกซ์และคุณสมบัติของพวกมัน

เมทริกซ์ดีเทอร์มิแนนต์ (ดีเทอร์มิแนนต์)– ตัวเลขสำหรับเมทริกซ์จตุรัส A สามารถคำนวณได้จากองค์ประกอบของเมทริกซ์โดยใช้สูตร:

โดยที่ คือส่วนย่อยเพิ่มเติมขององค์ประกอบ

คุณสมบัติ:

1. เมทริกซ์ผกผัน อัลกอริทึมสำหรับการคำนวณเมทริกซ์ผกผัน

เมทริกซ์ผกผัน– เมทริกซ์จตุรัส X ซึ่งเมื่อรวมกับเมทริกซ์จตุรัส A ที่มีลำดับเดียวกัน จะเป็นไปตามเงื่อนไข โดยที่ E คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่มีลำดับเดียวกันกับ A เมทริกซ์จตุรัสใดๆ ที่มีดีเทอร์มีแนนต์ไม่เท่ากับศูนย์จะมีเมทริกซ์ผกผัน 1 ตัว พบว่าใช้วิธีการแปลงเบื้องต้นและใช้สูตร:

แนวคิดเรื่องอันดับเมทริกซ์ ทฤษฎีบทบนพื้นฐานรอง เกณฑ์สำหรับดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ให้เท่ากับศูนย์

การแปลงเบื้องต้นของเมทริกซ์การคำนวณอันดับโดยใช้วิธีการแปลงเบื้องต้น การคำนวณเมทริกซ์ผกผันโดยใช้วิธีการแปลงเบื้องต้น

อันดับเมทริกซ์ –ลำดับพื้นฐานรอง (rg A)

พื้นฐานรอง –อันดับรอง r ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้น อันดับรองทั้งหมด r+1 และสูงกว่าจะเท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่จริง

ทฤษฎีบทรองพื้นฐาน -ในเมทริกซ์ A ที่กำหนดเอง แต่ละคอลัมน์ (แถว) คือผลรวมเชิงเส้นของคอลัมน์ (แถว) ซึ่งมีฐานรองอยู่

การพิสูจน์: ปล่อยให้ฐานรองในเมทริกซ์ A ของมิติ m*n อยู่ในแถว r แรกและคอลัมน์ r แรก ให้เราพิจารณาดีเทอร์มิแนนต์ซึ่งได้มาจากการกำหนดองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของแถวที่ s และคอลัมน์ที่ k ให้กับฐานรองของเมทริกซ์ A โปรดทราบว่าสำหรับคุณใดๆ ดีเทอร์มีแนนต์นี้จะเท่ากับศูนย์ ถ้า หรือ ดังนั้นดีเทอร์มิแนนต์ D จะมีแถวที่เหมือนกันสองแถวหรือคอลัมน์ที่เหมือนกันสองคอลัมน์ ถ้าเป็นเช่นนั้น ดีเทอร์มีแนนต์ D จะเท่ากับศูนย์ เนื่องจากมันเป็นลำดับรองของ (r+แล)-ro เมื่อขยายดีเทอร์มิแนนต์ไปตามแถวสุดท้าย เราจะได้: โดยที่ส่วนเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบของแถวสุดท้ายอยู่ที่ไหน โปรดทราบว่าเนื่องจากนี่คือผู้เยาว์ขั้นพื้นฐาน ดังนั้นที่ไหน

การเขียนความเสมอภาคสุดท้ายสำหรับ เราได้, เช่น. คอลัมน์ที่ k (สำหรับค่าใดๆ) คือผลรวมเชิงเส้นของคอลัมน์ของฐานรอง ซึ่งเป็นสิ่งที่เราจำเป็นต้องพิสูจน์เกณฑ์ ง

และเอตเอ=0:

– ดีเทอร์มิแนนต์จะเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อแถว (คอลัมน์) ของมันขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรงเท่านั้น

การเปลี่ยนแปลงเบื้องต้น

1) การคูณสตริงด้วยตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์

2) การเพิ่มองค์ประกอบของบรรทัดหนึ่งองค์ประกอบของอีกบรรทัดหนึ่ง

3) การจัดเรียงสตริงใหม่

4) ขีดฆ่าแถวใดแถวหนึ่ง (คอลัมน์) ที่เหมือนกัน 5) การขนย้าย;

การคำนวณอันดับ –จากทฤษฎีบทย่อยพื้นฐาน อันดับของเมทริกซ์ A เท่ากับจำนวนแถวอิสระเชิงเส้นสูงสุด (คอลัมน์ในเมทริกซ์) ดังนั้น หน้าที่ของการแปลงเบื้องต้นคือการค้นหาแถว (คอลัมน์อิสระเชิงเส้นทั้งหมด)

สมการนี้หมายความว่าเมทริกซ์การแปลง T คือเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ ดังนั้นแล้ว

แนวคิดของการพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระเชิงเส้นถูกกำหนดให้เท่ากันสำหรับแถวและคอลัมน์ ดังนั้น คุณสมบัติที่เกี่ยวข้องกับแนวคิดเหล่านี้ที่จัดทำขึ้นสำหรับคอลัมน์จึงใช้ได้กับแถวด้วยเช่นกัน

1. หากระบบคอลัมน์มีคอลัมน์เป็นศูนย์ ระบบจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง

2. หากระบบคอลัมน์มีสองคอลัมน์เท่ากัน ระบบจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง

3. หากระบบคอลัมน์มีสองคอลัมน์ตามสัดส่วน ระบบจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง

4. ระบบของคอลัมน์จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรงก็ต่อเมื่อคอลัมน์อย่างน้อยหนึ่งคอลัมน์เป็นผลรวมเชิงเส้นของคอลัมน์อื่นๆ

5. คอลัมน์ใดๆ ที่รวมอยู่ในระบบอิสระเชิงเส้นจะสร้างระบบย่อยอิสระเชิงเส้น

6. ระบบคอลัมน์ที่มีระบบย่อยที่ขึ้นต่อเชิงเส้นจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง

7. หากระบบของคอลัมน์มีความเป็นอิสระเชิงเส้นและหลังจากเพิ่มคอลัมน์เข้าไปแล้ว ระบบของคอลัมน์นั้นกลับกลายเป็นว่าขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง จากนั้นคอลัมน์นั้นก็สามารถแยกย่อยออกเป็นคอลัมน์ได้และยิ่งไปกว่านั้นด้วยวิธีที่ไม่เหมือนใครนั่นคือ สามารถหาค่าสัมประสิทธิ์การขยายตัวได้ไม่ซ้ำกัน

ให้เราพิสูจน์คุณสมบัติสุดท้ายเช่น เนื่องจากระบบของคอลัมน์เป็นแบบเชิงเส้น จึงมีตัวเลขที่ไม่เท่ากับ 0 ทั้งหมด

ในความเท่าเทียมกันนี้ ที่จริงแล้วถ้าอย่างนั้น

ซึ่งหมายความว่าการรวมคอลัมน์เชิงเส้นแบบธรรมดาจะเท่ากับคอลัมน์ศูนย์ ซึ่งขัดแย้งกับความเป็นอิสระเชิงเส้นของระบบ ดังนั้นแล้วนั่นคือ คอลัมน์คือการรวมกันเชิงเส้นของคอลัมน์ มันยังคงแสดงให้เห็นเอกลักษณ์ของการเป็นตัวแทนดังกล่าว สมมติว่าตรงกันข้าม ให้มีการขยายสองรายการ และ และค่าสัมประสิทธิ์ของการขยายบางส่วนไม่เท่ากันตามลำดับ (เช่น ) แล้วจากความเท่าเทียมกัน

เราได้รับ (\alpha_1-\beta_1)A_1+\ldots+(\alpha_k-\beta_k)A_k=o

ตามลำดับ ผลรวมเชิงเส้นของคอลัมน์จะเท่ากับคอลัมน์ศูนย์ เนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดไม่เท่ากับศูนย์ (อย่างน้อย) การรวมกันนี้จึงไม่ไม่สำคัญ ซึ่งขัดแย้งกับเงื่อนไขของความเป็นอิสระเชิงเส้นของคอลัมน์ ความขัดแย้งที่เกิดขึ้นเป็นการยืนยันความเป็นเอกลักษณ์ของการขยายตัว

ตัวอย่างที่ 3.2พิสูจน์ว่าคอลัมน์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองคอลัมน์และมีความสัมพันธ์เชิงเส้นตรงก็ต่อเมื่อคอลัมน์เหล่านี้เป็นสัดส่วนเท่านั้น กล่าวคือ -

สารละลาย.ที่จริงแล้ว ถ้าคอลัมน์ต่างๆ ขึ้นกับเชิงเส้นตรง ก็จะมีตัวเลขที่ไม่เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน เช่นนั้น และในความเท่าเทียมกันนี้ อันที่จริง สมมติว่า เราได้รับความขัดแย้ง เนื่องจากคอลัมน์นั้นไม่เป็นศูนย์เช่นกัน วิธี, . ดังนั้นจึงมีจำนวนดังกล่าวว่า ความต้องการได้รับการพิสูจน์แล้ว

ในทางกลับกัน ถ้า แล้ว เราได้รับการรวมคอลัมน์เชิงเส้นแบบไม่สำคัญซึ่งเท่ากับคอลัมน์ศูนย์ ซึ่งหมายความว่าคอลัมน์ต่างๆ จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง

ตัวอย่างที่ 3.3พิจารณาระบบทุกชนิดที่เกิดจากคอลัมน์

ตรวจสอบแต่ละระบบสำหรับการพึ่งพาเชิงเส้น
สารละลาย. ลองพิจารณาห้าระบบที่แต่ละระบบมีหนึ่งคอลัมน์ ตามวรรค 1 ของหมายเหตุ 3.1: ระบบมีความเป็นอิสระเชิงเส้น และระบบที่ประกอบด้วยคอลัมน์ศูนย์หนึ่งคอลัมน์จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง

ลองพิจารณาระบบที่มีสองคอลัมน์:

– แต่ละระบบจากทั้งสี่ระบบนั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง เนื่องจากมีคอลัมน์เป็นศูนย์ (คุณสมบัติ 1)

– ระบบขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง เนื่องจากคอลัมน์เป็นสัดส่วน (คุณสมบัติ 3): ;

– แต่ละระบบจากทั้งห้าระบบมีความเป็นอิสระเชิงเส้น เนื่องจากคอลัมน์เหล่านี้ไม่สมส่วน (ดูข้อความในตัวอย่างที่ 3.2)

พิจารณาระบบที่มีสามคอลัมน์:

– แต่ละระบบในหกระบบนั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง เนื่องจากมีคอลัมน์เป็นศูนย์ (คุณสมบัติ 1)

– ระบบต่างๆ ขึ้นต่อกันเป็นเส้นตรง เนื่องจากมีระบบย่อยที่ขึ้นต่อกันเป็นเส้นตรง (คุณสมบัติ 6)

– ระบบและขึ้นอยู่กับเชิงเส้น เนื่องจากคอลัมน์สุดท้ายแสดงเป็นเส้นตรงผ่านส่วนที่เหลือ (คุณสมบัติ 4): และ ตามลำดับ

ในที่สุด ระบบของสี่หรือห้าคอลัมน์จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง (ตามคุณสมบัติ 6)

อันดับเมทริกซ์

ในส่วนนี้ เราจะพิจารณาคุณลักษณะเชิงตัวเลขที่สำคัญอีกประการหนึ่งของเมทริกซ์ ซึ่งสัมพันธ์กับขอบเขตที่แถว (คอลัมน์) ของเมทริกซ์ต้องพึ่งพาซึ่งกันและกัน

คำนิยาม 14.10ปล่อยให้เมทริกซ์ที่มีขนาดและตัวเลขไม่เกินตัวเลขที่เล็กที่สุดและได้รับ: - ลองสุ่มเลือกแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์ (หมายเลขแถวอาจแตกต่างจากหมายเลขคอลัมน์) ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยองค์ประกอบที่จุดตัดของแถวและคอลัมน์ที่เลือกเรียกว่าเมทริกซ์ลำดับรอง

ตัวอย่างที่ 14.9อนุญาต .

รองลำดับที่หนึ่งคือองค์ประกอบใดๆ ของเมทริกซ์ ดังนั้น 2, , เป็นผู้เยาว์ลำดับที่หนึ่ง

ผู้เยาว์ลำดับที่สอง:

1. เอาแถว 1, 2, คอลัมน์ 1, 2, เราได้ค่ารอง ;

2. เอาแถว 1, 3, คอลัมน์ 2, 4, เราได้ค่ารอง ;

3. เอาแถว 2, 3, คอลัมน์ 1, 4, เราได้ค่ารอง

ผู้เยาว์ลำดับที่สาม:

แถวที่นี่สามารถเลือกได้ทางเดียวเท่านั้น

1. เอาคอลัมน์ 1, 3, 4 เราได้ค่ารอง ;

2. เอาคอลัมน์ 1, 2, 3 เราได้ค่ารอง .

ข้อเสนอที่ 14.23 ถ้าเมทริกซ์รองทั้งหมดของเมทริกซ์ลำดับมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นเมทริกซ์รองทั้งหมดของลำดับ ถ้ามีก็จะเท่ากับศูนย์ด้วย

การพิสูจน์- ลองใช้คำสั่งย่อยตามอำเภอใจ นี่คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ลำดับ เรามาแยกมันตามบรรทัดแรกกันดีกว่า จากนั้นในแต่ละเทอมของการขยายตัว ปัจจัยหนึ่งจะเป็นลำดับรองของเมทริกซ์ดั้งเดิม ตามเงื่อนไข ผู้เยาว์ลำดับจะเท่ากับศูนย์ ดังนั้นลำดับรองจะเท่ากับศูนย์

คำนิยาม 14.11อันดับของเมทริกซ์คือลำดับที่ใหญ่ที่สุดของเมทริกซ์รองที่ไม่ใช่ศูนย์ อันดับของเมทริกซ์ศูนย์ถือเป็นศูนย์

ไม่มีการกำหนดมาตรฐานเดียวสำหรับอันดับเมทริกซ์ หลังจากตำราเรียนเราจะแสดงมัน

ตัวอย่าง 14.10เมทริกซ์ของตัวอย่างที่ 14.9 มีอันดับ 3 เนื่องจากมีอันดับรองอันดับสามนอกเหนือจากศูนย์ แต่ไม่มีอันดับรองอันดับสี่

อันดับเมทริกซ์ มีค่าเท่ากับ 1 เนื่องจากมีรายย่อยลำดับที่หนึ่งที่ไม่ใช่ศูนย์ (องค์ประกอบเมทริกซ์) และผู้เยาว์ลำดับที่สองทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์

อันดับของเมทริกซ์จตุรัสที่ไม่ใช่เอกพจน์ของลำดับจะเท่ากับ เนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นั้นเป็นค่ารองของลำดับและไม่เป็นศูนย์สำหรับเมทริกซ์ที่ไม่ใช่เอกพจน์

ข้อเสนอที่ 14.24 เมื่อเมทริกซ์ถูกย้าย อันดับของเมทริกซ์จะไม่เปลี่ยนแปลง นั่นคือ .

การพิสูจน์- เมทริกซ์ทรานสโพสด์รองของเมทริกซ์ดั้งเดิมจะเป็นเมทริกซ์รองทรานสโพสด์ และในทางกลับกัน เมทริกซ์รองใดๆ จะเป็นเมทริกซ์รองทรานสโพสด์ของเมทริกซ์ดั้งเดิม เมื่อทำการขนย้าย ดีเทอร์มิแนนต์ (รอง) จะไม่เปลี่ยนแปลง (ข้อเสนอ 14.6) ดังนั้น หากลำดับรองทั้งหมดในเมทริกซ์เดิมมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น หากลำดับรองในลำดับเดียวกันในเมทริกซ์จะเท่ากับศูนย์ด้วย ถ้าลำดับรองในเมทริกซ์ดั้งเดิมแตกต่างจากศูนย์ ก็จะมีลำดับรองในลำดับเดียวกันที่แตกต่างจากศูนย์ เพราะฉะนั้น, .

คำนิยาม 14.12ให้อันดับของเมทริกซ์เป็น จากนั้นลำดับรองใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ จะถูกเรียกว่าฐานรอง

ตัวอย่าง 14.11อนุญาต - ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์เป็นศูนย์เนื่องจากแถวที่สามเท่ากับผลรวมของสองตัวแรก ลำดับรองที่สองซึ่งอยู่ในสองแถวแรกและสองคอลัมน์แรกมีค่าเท่ากับ - ดังนั้นอันดับของเมทริกซ์คือสองและผู้รองที่พิจารณานั้นเป็นพื้นฐาน

ผู้เยาว์ขั้นพื้นฐานยังเป็นผู้เยาว์ที่อยู่ในแถวที่หนึ่งและสามคอลัมน์ที่หนึ่งและสาม: - ผู้เยาว์จะเป็นพื้นฐานในแถวที่สองและสาม คอลัมน์ที่หนึ่งและสาม: .

ตัวรองในแถวแรกและแถวที่สองและคอลัมน์ที่สองและสามจะเป็นศูนย์ ดังนั้นจึงจะไม่ใช่ฐาน ผู้อ่านสามารถตรวจสอบได้อย่างอิสระว่าผู้เยาว์ลำดับที่สองคนใดจะเป็นขั้นพื้นฐานและคนใดจะไม่เป็นพื้นฐาน

เนื่องจากคอลัมน์ (แถว) ของเมทริกซ์สามารถบวก คูณด้วยตัวเลข และจัดรูปแบบการรวมเชิงเส้นได้ จึงเป็นไปได้ที่จะแนะนำคำจำกัดความของการพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระเชิงเส้นของระบบคอลัมน์ (แถว) ของเมทริกซ์ คำจำกัดความเหล่านี้คล้ายกับคำจำกัดความเดียวกัน 10.14, 10.15 สำหรับเวกเตอร์

คำนิยาม 14.13ระบบของคอลัมน์ (แถว) เรียกว่าขึ้นอยู่กับเชิงเส้นหากมีชุดของสัมประสิทธิ์ดังกล่าวอย่างน้อยหนึ่งชุดที่แตกต่างจากศูนย์ซึ่งการรวมเชิงเส้นของคอลัมน์ (แถว) ด้วยค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้จะเท่ากับศูนย์

คำนิยาม 14.14ระบบของคอลัมน์ (แถว) เป็นอิสระเชิงเส้น หากความเท่ากันกับศูนย์ของผลรวมเชิงเส้นของคอลัมน์ (แถว) เหล่านี้บอกเป็นนัยว่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของผลรวมเชิงเส้นนี้เท่ากับศูนย์

ข้อเสนอที่ต่อไปนี้คล้ายกับข้อเสนอ 10.6 ก็เป็นจริงเช่นกัน

ประโยค 14.25 ระบบของคอลัมน์ (แถว) จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรงก็ต่อเมื่อคอลัมน์ใดคอลัมน์หนึ่ง (แถวใดแถวหนึ่ง) เป็นผลรวมเชิงเส้นของคอลัมน์อื่น (แถว) ของระบบนี้

ให้เรากำหนดทฤษฎีบทที่เรียกว่า ทฤษฎีบทพื้นฐาน.

ทฤษฎีบท 14.2 คอลัมน์เมทริกซ์ใดๆ คือการรวมกันเชิงเส้นของคอลัมน์ที่ผ่านฐานรอง

การพิสูจน์สามารถพบได้ในหนังสือเรียนพีชคณิตเชิงเส้น เช่น ใน

ข้อเสนอที่ 14.26 อันดับของเมทริกซ์เท่ากับจำนวนคอลัมน์สูงสุดที่สร้างระบบอิสระเชิงเส้น

การพิสูจน์- ให้อันดับของเมทริกซ์เป็น ลองใช้คอลัมน์ที่ผ่านฐานรองกัน สมมติว่าคอลัมน์เหล่านี้สร้างระบบที่ขึ้นต่อเชิงเส้น จากนั้นคอลัมน์หนึ่งก็คือผลรวมเชิงเส้นของคอลัมน์อื่นๆ ดังนั้น โดยพื้นฐานแล้ว คอลัมน์หนึ่งจะเป็นผลรวมเชิงเส้นของคอลัมน์อื่นๆ ตามข้อเสนอ 14.15 และ 14.18 พื้นฐานรองนี้จะต้องเท่ากับศูนย์ ซึ่งขัดแย้งกับคำจำกัดความของพื้นฐานรอง ดังนั้น ข้อสันนิษฐานที่ว่าคอลัมน์ที่ผ่านฐานรองนั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้นจึงไม่เป็นจริง ดังนั้น จำนวนคอลัมน์สูงสุดที่สร้างระบบอิสระเชิงเส้นจะมากกว่าหรือเท่ากับ

ให้เราสมมติว่าคอลัมน์ต่างๆ เป็นระบบที่เป็นอิสระเชิงเส้น ลองสร้างเมทริกซ์ออกมากัน เมทริกซ์ไมเนอร์ทั้งหมดคือเมทริกซ์ไมเนอร์ ดังนั้น ฐานรองของเมทริกซ์จึงมีลำดับไม่มากกว่า ตามทฤษฎีบทรองพื้นฐาน คอลัมน์ที่ไม่ผ่านฐานรองของเมทริกซ์คือการรวมกันเชิงเส้นของคอลัมน์ที่ผ่านฐานรองรอง นั่นคือ คอลัมน์เมทริกซ์สร้างระบบที่ขึ้นกับเชิงเส้นตรง ซึ่งตรงกันข้ามกับการเลือกคอลัมน์ที่สร้างเมทริกซ์ ดังนั้น จำนวนคอลัมน์สูงสุดที่สร้างระบบอิสระเชิงเส้นต้องไม่มากกว่า ซึ่งหมายความว่าเท่ากับสิ่งที่ระบุไว้

ข้อเสนอที่ 14.27 อันดับของเมทริกซ์เท่ากับจำนวนแถวสูงสุดที่สร้างระบบอิสระเชิงเส้น

การพิสูจน์- ตามข้อเสนอ 14.24 ตำแหน่งของเมทริกซ์จะไม่เปลี่ยนแปลงระหว่างการขนย้าย แถวของเมทริกซ์กลายเป็นคอลัมน์ จำนวนคอลัมน์ใหม่ของเมทริกซ์ขนย้าย (แถวเดิมของต้นฉบับ) ที่สร้างระบบอิสระเชิงเส้นสูงสุดจะเท่ากับอันดับของเมทริกซ์

ข้อเสนอที่ 14.28 หากดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์เป็นศูนย์ ดังนั้นคอลัมน์ใดคอลัมน์หนึ่ง (หนึ่งในแถว) จะเป็นผลรวมเชิงเส้นของคอลัมน์ที่เหลือ (แถว)

การพิสูจน์- ให้ลำดับเมทริกซ์เท่ากับ ดีเทอร์มิแนนต์เป็นเพียงเมทริกซ์รองของเมทริกซ์จตุรัสที่มีลำดับ เนื่องจากมันเท่ากับศูนย์ ดังนั้น . ด้วยเหตุนี้ ระบบของคอลัมน์ (แถว) จึงขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง กล่าวคือ คอลัมน์ใดคอลัมน์หนึ่ง (แถวใดแถวหนึ่ง) เป็นผลรวมเชิงเส้นของคอลัมน์อื่นๆ

ผลลัพธ์ของข้อเสนอ 14.15, 14.18 และ 14.28 ให้ทฤษฎีบทดังต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 14.3 ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จะเท่ากับศูนย์หากคอลัมน์ใดคอลัมน์หนึ่ง (หนึ่งในแถว) เป็นการรวมเชิงเส้นของคอลัมน์ที่เหลือ (แถว)

การค้นหาอันดับของเมทริกซ์โดยการคำนวณตัวรองทั้งหมดนั้นต้องใช้การคำนวณมากเกินไป (ผู้อ่านอาจตรวจสอบว่ามีผู้เยาว์ลำดับที่ 36 ในเมทริกซ์จตุรัสลำดับที่สี่) ดังนั้นจึงใช้อัลกอริธึมอื่นเพื่อค้นหาอันดับ เพื่ออธิบายสิ่งนี้ จำเป็นต้องมีข้อมูลเพิ่มเติมจำนวนหนึ่ง

คำนิยาม 14.15ให้เราเรียกการกระทำต่อไปนี้ว่าเป็นการแปลงเมทริกซ์เบื้องต้น:

1) การจัดเรียงแถวหรือคอลัมน์ใหม่
2) การคูณแถวหรือคอลัมน์ด้วยตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์
3) เพิ่มแถวอื่นคูณด้วยตัวเลขลงในแถวใดแถวหนึ่งหรือเพิ่มคอลัมน์อื่นคูณด้วยตัวเลขลงในคอลัมน์ใดคอลัมน์หนึ่ง

ข้อเสนอที่ 14.29 ในระหว่างการแปลงเบื้องต้น อันดับของเมทริกซ์จะไม่เปลี่ยนแปลง

การพิสูจน์- ให้อันดับของเมทริกซ์เท่ากับ , - เมทริกซ์ที่เกิดจากการดำเนินการแปลงเบื้องต้น

ลองพิจารณาการเรียงสับเปลี่ยนของสตริง อนุญาต เป็นตัวรองของเมทริกซ์ จากนั้นเมทริกซ์ก็มีตัวรองที่เหมือนกันหรือแตกต่างจากเมทริกซ์โดยการจัดเรียงแถวใหม่ และในทางกลับกัน เมทริกซ์รองใดๆ สามารถเชื่อมโยงกับเมทริกซ์รองที่ตรงกันหรือแตกต่างไปจากเมทริกซ์นั้นในลำดับแถวได้ ดังนั้น จากข้อเท็จจริงที่ว่าลำดับรองทั้งหมดในเมทริกซ์มีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น ในเมทริกซ์ลำดับรองทั้งหมดของลำดับนี้ก็เท่ากับศูนย์เช่นกัน และเนื่องจากเมทริกซ์มีลำดับรอง แตกต่างจากศูนย์ ดังนั้นเมทริกซ์จึงมีลำดับรองด้วย แตกต่างจากศูนย์ นั่นก็คือ

ลองคูณสตริงด้วยตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ รายย่อยจากเมทริกซ์สอดคล้องกับรายย่อยจากเมทริกซ์ที่ตรงกันหรือแตกต่างจากเมทริกซ์ในแถวเดียวเท่านั้น ซึ่งได้มาจากแถวรองโดยการคูณด้วยตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ ในกรณีหลังนี้. ในทุกกรณี และ เท่ากับศูนย์ หรือในเวลาเดียวกันก็แตกต่างจากศูนย์ เพราะฉะนั้น, .