พิจารณาเมทริกซ์ A ขนาด mxn ใดๆ ก็ได้ โดยไม่จำเป็นต้องเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส

อันดับเมทริกซ์

แนวคิดของอันดับเมทริกซ์เกี่ยวข้องกับแนวคิด การพึ่งพาเชิงเส้น(ความเป็นอิสระ) ของแถว (คอลัมน์) ของเมทริกซ์ ลองพิจารณาแนวคิดนี้สำหรับสตริง สำหรับคอลัมน์ - ในทำนองเดียวกัน

ให้เราแสดงถึงท่อระบายน้ำของเมทริกซ์ A:

อี 1 =(ก 11,ก 12,…,ก 1n); e 2 =(a 21,a 22,…,a 2n);…, e m =(a m1,a m2,…,a mn)

e k =e s ถ้า kj =a sj , j=1,2,…,n

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในแถวเมทริกซ์ (การบวก การคูณด้วยตัวเลข) ถูกนำมาใช้เป็นการดำเนินการที่ดำเนินการโดยองค์ประกอบตามองค์ประกอบ: แลม k =(แลม k1 ,แลม k2 ,…,แลม kn);

e k +е s =[(a k1 +a s1),(a k2 +a s2),…,(a kn +a sn)]

สาย e เรียกว่า การรวมกันเชิงเส้นแถว e 1, e 2,…, e k ถ้ามันเท่ากับผลรวมของผลคูณของเส้นเหล่านี้ด้วยจำนวนจริงตามอำเภอใจ:

e=แลมบ์ดา 1 อี 1 +แลมบ์ 2 อี 2 +…+แล้ค อีเค

บรรทัด e 1, e 2,…, em m ถูกเรียกว่า ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นหากมีจำนวนจริง แลมบ์ดา 1 ,แลมบ์ 2 ,…,แลมม ไม่เท่ากับศูนย์ทั้งหมด ดังนั้นผลรวมเชิงเส้นของสตริงเหล่านี้จะเท่ากับสตริงศูนย์: แลมบ์ดา 1 อี 1 +แลม 2 อี 2 +…+แลม ฉัน อี ม = 0 ,ที่ไหน 0 =(0,0,…,0) (1)

หากผลรวมเชิงเส้นเท่ากับศูนย์ถ้าหากสัมประสิทธิ์ทั้งหมด แลม i เท่ากับศูนย์ (แลมบ์ดา 1 =แลมบ์ดา 2 =...=แลมม =0) ดังนั้นแถว e 1, e 2,..., ฉันถูกเรียกว่า เป็นอิสระเชิงเส้น

ทฤษฎีบท 1- เพื่อให้สตริง e 1 , e 2 ,…, em m เป็นอิสระเชิงเส้น จำเป็นและเพียงพอที่สตริงใดสตริงหนึ่งจะเป็นผลรวมเชิงเส้นของสตริงที่เหลือ

การพิสูจน์. ความจำเป็น- ปล่อยให้สตริง e 1, e 2,…, em m เป็นอิสระเชิงเส้น ขอให้เพื่อความแน่นอน (1) แลมบ์ ≠0 ดังนั้น

ที่. สตริง e m คือผลรวมเชิงเส้นของสตริงที่เหลือ ฯลฯ

ความเพียงพอ- ให้สตริงตัวใดตัวหนึ่ง เช่น em m เป็นผลรวมเชิงเส้นของสตริงที่เหลือ จากนั้นจะมีตัวเลขที่มีความเท่าเทียมกันซึ่งสามารถเขียนใหม่ในรูปแบบได้

โดยที่อย่างน้อย 1 สัมประสิทธิ์ (-1) ไม่เท่ากับศูนย์ เหล่านั้น. แถวนั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง ฯลฯ

คำนิยาม. ลำดับที่ k รองเมทริกซ์ A ที่มีขนาด mxn เรียกว่าปัจจัยกำหนดลำดับที่ k โดยมีองค์ประกอบอยู่ที่จุดตัดของแถว k ใดๆ และคอลัมน์ k ใดๆ ของเมทริกซ์ A (k≤min(m,n)) -

ตัวอย่าง., ผู้เยาว์ลำดับที่ 1: =, =;

ผู้เยาว์ลำดับที่ 2: , ลำดับที่ 3

เมทริกซ์ลำดับที่ 3 มีรายย่อยลำดับที่ 1 จำนวน 9 ราย รายย่อยลำดับที่ 2 จำนวน 9 ราย และรายย่อยลำดับที่ 3 จำนวน 1 ราย (ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นี้)

คำนิยาม. อันดับของเมทริกซ์ Aคือลำดับสูงสุดของตัวรองที่ไม่ใช่ศูนย์ของเมทริกซ์นี้ การกำหนด - rg A หรือ r(A)

คุณสมบัติอันดับเมทริกซ์.

1) อันดับของเมทริกซ์ A nxm ไม่เกินขนาดที่เล็กกว่านั่นคือ

r(A)≤นาที(m,n)

2) r(A)=0 เมื่อองค์ประกอบเมทริกซ์ทั้งหมดเท่ากับ 0 เช่น ก=0.

3) สำหรับ เมทริกซ์จตุรัสและลำดับที่ n r(A)=n เมื่อ A ไม่เสื่อมสภาพ

(อันดับของเมทริกซ์แนวทแยงเท่ากับจำนวนองค์ประกอบในแนวทแยงที่ไม่เป็นศูนย์)

4) หากอันดับของเมทริกซ์เท่ากับ r แสดงว่าเมทริกซ์มีลำดับรองอย่างน้อยหนึ่งลำดับ r ที่ไม่เท่ากับศูนย์และผู้รองที่มีลำดับสูงกว่าทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์

ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ถือเป็นอันดับของเมทริกซ์:

2) r(A+B)≤r(A)+r(B); 3) r(AB)≤นาที(r(A),r(B));

3) r(A+B)≥│r(A)-r(B)│; 4) r(อัตตา)=r(A);

5) r(AB)=r(A) ถ้า B เป็นเมทริกซ์จตุรัสที่ไม่เป็นเอกพจน์

6) r(AB)≥r(A)+r(B)-n โดยที่ n คือจำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์ A หรือแถวของเมทริกซ์ B

คำนิยาม.เรียกลำดับรองที่ไม่เป็นศูนย์ r(A) ผู้เยาว์ขั้นพื้นฐาน- (เมทริกซ์ A อาจมีผู้เยาว์ที่เป็นพื้นฐานหลายรายการ) แถวและคอลัมน์ที่จุดตัดซึ่งมีพื้นฐานรองเรียกว่าตามลำดับ สายฐานและ คอลัมน์ฐาน.

ทฤษฎีบท 2 (เกี่ยวกับพื้นฐานรอง)แถวด้านล่าง (คอลัมน์) มีความเป็นอิสระเชิงเส้น แถวใดๆ (คอลัมน์ใดก็ได้) ของเมทริกซ์ A คือผลรวมเชิงเส้นของแถวพื้นฐาน (คอลัมน์)

การพิสูจน์- (สำหรับสตริง) หากแถวพื้นฐานขึ้นอยู่กับเชิงเส้น ดังนั้นตามทฤษฎีบท (1) หนึ่งในแถวเหล่านี้จะเป็นผลรวมเชิงเส้นของแถวพื้นฐานอื่น ๆ จากนั้นคุณสามารถลบค่ารวมเชิงเส้นที่ระบุออกจากแถวนี้ได้โดยไม่ต้องเปลี่ยนค่าของรองพื้นฐาน และได้แถวศูนย์ ซึ่งขัดแย้งกับข้อเท็จจริงที่ว่าฐานรองนั้นแตกต่างจากศูนย์ ที่. แถวพื้นฐานมีความเป็นอิสระเชิงเส้น

ขอให้เราพิสูจน์ว่าแถวใดๆ ของเมทริกซ์ A คือผลรวมเชิงเส้นของแถวฐาน เพราะ ด้วยการเปลี่ยนแปลงแถว (คอลัมน์) โดยพลการ ดีเทอร์มิแนนต์จะรักษาคุณสมบัติของการเท่ากับศูนย์ จากนั้นโดยไม่สูญเสียลักษณะทั่วไป เราสามารถสรุปได้ว่าฐานรองอยู่ที่มุมซ้ายบนของเมทริกซ์

ก=,เหล่านั้น. อยู่ที่แถวแรกและคอลัมน์แรก ให้ 1£j£n, 1£i£m ให้เราแสดงว่าดีเทอร์มิแนนต์ของลำดับ (r+1)

ถ้า j£r หรือ i£r แล้วดีเทอร์มิแนนต์นี้จะเท่ากับศูนย์ เพราะ จะมีสองคอลัมน์ที่เหมือนกันหรือสองแถวที่เหมือนกัน

ถ้า j>r และ i>r แล้วดีเทอร์มิแนนต์นี้เป็นลำดับรองของเมทริกซ์ A (r+1) เนื่องจาก อันดับของเมทริกซ์เท่ากับ r ซึ่งหมายความว่าลำดับรองใด ๆ ที่สูงกว่าจะเท่ากับ 0

เราได้ขยายตามองค์ประกอบของคอลัมน์สุดท้าย (เพิ่ม)

a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a rj A rj +a ij A ij =0 โดยที่สุดท้าย ส่วนเสริมพีชคณิต A ij เกิดขึ้นพร้อมกับฐานรอง M r ดังนั้น A ij = M r ≠0

การหารความเท่าเทียมกันสุดท้ายด้วย A ij เราสามารถแสดงองค์ประกอบ a ij เป็นการรวมกันเชิงเส้นได้: โดยที่

ให้เราแก้ไขค่าของ i (i>r) และค้นหาว่าสำหรับองค์ประกอบ j (j=1,2,…,n) ใดๆ เส้นที่ i e ฉัน แสดงเป็นเส้นตรงผ่านองค์ประกอบของเส้น e 1, e 2,…, e r, เช่น เส้นที่ iคือผลรวมเชิงเส้นของสตริงพื้นฐาน: ฯลฯ

ทฤษฎีบท 3 (เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับดีเทอร์มิแนนต์ที่จะเท่ากับศูนย์)เพื่อให้ปัจจัยลำดับที่ n D เท่ากับศูนย์ จำเป็นและเพียงพอที่แถว (คอลัมน์) ของมันจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง

พิสูจน์ (หน้า 40). ความจำเป็น- หากปัจจัยลำดับที่ n D เท่ากับศูนย์แสดงว่าเมทริกซ์รองของเมทริกซ์นั้นมีลำดับ r

ดังนั้นแถวหนึ่งจึงเป็นผลรวมเชิงเส้นของแถวอื่นๆ จากนั้นตามทฤษฎีบทที่ 1 แถวของดีเทอร์มิแนนต์จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง

ความเพียงพอ- หากแถว D มีความสัมพันธ์เชิงเส้นตรง ดังนั้นตามทฤษฎีบทที่ 1 หนึ่งแถว A i จะเป็นผลรวมเชิงเส้นของแถวที่เหลือ การลบชุดค่าผสมเชิงเส้นที่ระบุออกจากสตริง A i โดยไม่เปลี่ยนค่าของ D เราจะได้สตริงเป็นศูนย์ ดังนั้นตามคุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ D=0 ฯลฯ

ทฤษฎีบท 4ในระหว่างการแปลงเบื้องต้น อันดับของเมทริกซ์จะไม่เปลี่ยนแปลง

การพิสูจน์- ดังที่แสดงไว้เมื่อพิจารณาคุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ เมื่อทำการแปลงเมทริกซ์กำลังสอง ดีเทอร์มิแนนต์ของพวกมันจะไม่เปลี่ยนแปลง หรือคูณด้วยจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์ หรือเปลี่ยนเครื่องหมาย ในกรณีนี้ ลำดับสูงสุดของผู้เยาว์ที่ไม่ใช่ศูนย์ของเมทริกซ์ดั้งเดิมจะยังคงอยู่ เช่น อันดับของเมทริกซ์ไม่เปลี่ยนแปลง ฯลฯ

ถ้า r(A)=r(B) แล้ว A และ B เป็น เทียบเท่า: A~B

ทฤษฎีบท 5เมื่อใช้การแปลงเบื้องต้น คุณสามารถลดเมทริกซ์เป็นได้ มุมมองขั้นบันไดเมทริกซ์เรียกว่า ถ้ามีรูปแบบดังนี้

A= โดยที่ ii ≠0, i=1,2,…,r; r≤k

เงื่อนไข r≤k สามารถทำได้โดยการเปลี่ยนตำแหน่ง

ทฤษฎีบท 6อันดับของเมทริกซ์ระดับนั้นเท่ากับจำนวนแถวที่ไม่ใช่ศูนย์ .

เหล่านั้น. อันดับของเมทริกซ์ขั้นตอนเท่ากับ r เพราะ มีลำดับย่อยที่ไม่ใช่ศูนย์ r:

แต่ละแถวของเมทริกซ์ A เขียนแทนด้วย e i = (a i 1 a i 2 …, a in) (ตัวอย่างเช่น
e 1 = (a 11 a 12 ..., a 1 n), e 2 = (a 21 a 22 ..., 2 n) เป็นต้น) แต่ละรายการเป็นเมทริกซ์แถวที่สามารถคูณด้วยตัวเลขหรือบวกกับอีกแถวหนึ่งได้ตามกฎทั่วไปสำหรับการทำงานกับเมทริกซ์

การรวมกันเชิงเส้นเส้น e l , e 2 ,...e k เรียกว่าผลรวมของผลคูณของเส้นเหล่านี้ด้วยจำนวนจริงใดๆ:
e = l l e l + l 2 e 2 +...+ l k e k โดยที่ l l, l 2,..., l k เป็นตัวเลขใดๆ (สัมประสิทธิ์ของผลรวมเชิงเส้น)

แถวของเมทริกซ์ e l , e 2 ,...e m ถูกเรียก ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นถ้ามีตัวเลข l l , l 2 ,..., l m ที่ไม่เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน ดังนั้นผลรวมเชิงเส้นของแถวของเมทริกซ์จะเท่ากับแถวศูนย์:
l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0 โดยที่ 0 = (0 0...0)

ความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างแถวของเมทริกซ์หมายความว่าอย่างน้อยหนึ่งแถวของเมทริกซ์เป็นผลรวมเชิงเส้นของแถวอื่นๆ แน่นอนเพื่อความแน่นอนให้สัมประสิทธิ์สุดท้าย l m ¹ 0 จากนั้นเมื่อหารทั้งสองข้างของความเท่าเทียมกันด้วย l m เราจะได้นิพจน์สำหรับบรรทัดสุดท้ายเป็นการรวมกันเชิงเส้นของบรรทัดที่เหลือ:
อี ม = (ล. ม. /ล. ม.)อี l + (ล. 2 /ล. ม.)e 2 +...+ (ล. ม.-1 /ล. ม.)อี ม.1 .

หากผลรวมเชิงเส้นของแถวมีค่าเท่ากับศูนย์ ถ้าหากค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเท่ากับศูนย์เท่านั้น เช่น l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0 Û l k = 0 "k จากนั้นเส้นจะถูกเรียก เป็นอิสระเชิงเส้น.

ทฤษฎีบทอันดับเมทริกซ์- อันดับของเมทริกซ์เท่ากับจำนวนสูงสุดของแถวหรือคอลัมน์อิสระเชิงเส้นซึ่งสามารถแสดงแถวหรือคอลัมน์อื่น ๆ ทั้งหมดเป็นเส้นตรงได้

ลองพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้กัน กำหนดให้เมทริกซ์ A ขนาด m xn มีอันดับ r (r(A) £ min (m; n)) ดังนั้นจึงมีลำดับ r รองที่ไม่เป็นศูนย์ เราจะเรียกผู้เยาว์ทุกคน ขั้นพื้นฐาน- ปล่อยให้เป็นเรื่องรองให้ชัดเจน

บรรทัดของผู้เยาว์นี้จะถูกเรียกเช่นกัน ขั้นพื้นฐาน.

ให้เราพิสูจน์ว่าแถวของเมทริกซ์ e l , e 2 ,...e r มีความเป็นอิสระเชิงเส้น สมมติว่าตรงกันข้ามคือ หนึ่งในแถวเหล่านี้ เช่น r-th เป็นผลรวมเชิงเส้นของแถวอื่นๆ: e r = l l e l + l 2 e 2 +...+ l r-1 e r-1 = 0 จากนั้น ถ้าเราลบ องค์ประกอบของแถวที่ r แถวที่ 1 คูณด้วย l l องค์ประกอบของแถวที่ 2 คูณด้วย l 2 ฯลฯ ในที่สุด องค์ประกอบของแถวที่ (r-1) คูณด้วย l r-1 แล้วตามด้วย r-th แถวจะกลายเป็นศูนย์ ในกรณีนี้ ตามคุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ ดีเทอร์มิแนนต์ข้างต้นไม่ควรเปลี่ยนแปลง และในขณะเดียวกันก็ควรมีค่าเท่ากับศูนย์ ได้รับความขัดแย้งและพิสูจน์ความเป็นอิสระเชิงเส้นของแถว

ตอนนี้เราพิสูจน์ได้ว่าแถว (r+1) ใดๆ ของเมทริกซ์นั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง กล่าวคือ สตริงใดๆ สามารถแสดงในรูปของสตริงพื้นฐานได้

เรามาเสริมผู้เยาว์ที่พิจารณาก่อนหน้านี้ด้วยอีกหนึ่งแถว (i-th) และอีกหนึ่งคอลัมน์ (j-th) เป็นผลให้เราได้รับลำดับรองของ (r+1) ซึ่งตามคำจำกัดความของอันดับจะเท่ากับศูนย์

โดยที่ตัวเลขบางตัว (ตัวเลขเหล่านี้บางส่วนหรือทั้งหมดอาจเท่ากับศูนย์) ซึ่งหมายความว่ามีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้ระหว่างองค์ประกอบของคอลัมน์:

จาก (3.3.1) เป็นไปตามนั้น

หากความเท่าเทียมกัน (3.3.3) เป็นจริงก็ต่อเมื่อ แถวนั้นจะถูกเรียกว่าเป็นอิสระเชิงเส้น ความสัมพันธ์ (3.3.2) แสดงว่าหากแถวใดแถวหนึ่งแสดงเป็นเส้นตรงในรูปของแถวอื่นๆ แถวนั้นก็จะขึ้นต่อกันเป็นเส้นตรง

มันง่ายที่จะเห็นการกลับกัน: ถ้าสตริงนั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้น ก็จะมีสตริงที่เป็นผลรวมเชิงเส้นของสตริงอื่นๆ

สมมุติว่าใน (3.3.3) แล้ว .

คำนิยาม. ให้ระบุลำดับรองลำดับที่ r ที่แน่นอนในเมทริกซ์ A และปล่อยให้ลำดับรองลำดับที่ (r+1) ของเมทริกซ์เดียวกันมีลำดับรองทั้งหมด เราจะบอกว่าในกรณีนี้ผู้เยาว์มีพรมแดนติดกับผู้เยาว์ (หรือกำลังมีพรมแดนสำหรับ )

ตอนนี้เราจะพิสูจน์บทแทรกที่สำคัญ

เล็มมาเกี่ยวกับผู้เยาว์ที่มีพรมแดนติด หากลำดับรอง r ของเมทริกซ์ A= แตกต่างจากศูนย์ และลำดับรองทั้งหมดที่ล้อมรอบเมทริกซ์นั้นมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นแถว (คอลัมน์) ใดๆ ของเมทริกซ์ A จะเป็นผลรวมเชิงเส้นของแถว (คอลัมน์) ของมันที่ประกอบกันเป็น

การพิสูจน์. โดยไม่สูญเสียเหตุผลทั่วไป เราจะถือว่าอันดับรองที่ไม่เป็นศูนย์ของลำดับที่ r อยู่ที่มุมซ้ายบนของเมทริกซ์ A =:

.

สำหรับ k แถวแรกของเมทริกซ์ A คำสั่งของบทแทรกนั้นชัดเจน: ก็เพียงพอที่จะรวมแถวเดียวกันที่มีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากับหนึ่งและส่วนที่เหลือ - โดยมีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากับศูนย์ก็เพียงพอแล้ว

ตอนนี้ให้เราพิสูจน์ว่าแถวที่เหลือของเมทริกซ์ A ถูกเขียนเป็นเส้นตรงผ่าน k แถวแรก เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราสร้างลำดับรองของ (r+1) โดยการเพิ่มบรรทัด kth () ให้กับลำดับรองและ ลคอลัมน์ที่ ():

.

ผลรองที่ได้จะเท่ากับศูนย์สำหรับ k และ l ทั้งหมด ถ้า จะเท่ากับศูนย์เนื่องจากมีคอลัมน์ที่เหมือนกันสองคอลัมน์ ถ้า แล้วผลรองที่ได้จะเป็นขอบรองของ และ ดังนั้น จึงเท่ากับศูนย์ตามเงื่อนไขของบทแทรก

มาขยายส่วนย่อยตามองค์ประกอบของส่วนสุดท้ายกัน ลคอลัมน์ที่:

สมมติว่าเราได้รับ:

(3.3.6)

นิพจน์ (3.3.6) หมายความว่าแถวที่ k ของเมทริกซ์ A ถูกแสดงเป็นเส้นตรงผ่านแถว r แรก

เนื่องจากเมื่อเมทริกซ์ถูกย้ายค่าของผู้เยาว์จะไม่เปลี่ยนแปลง (เนื่องจากคุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์) ดังนั้นทุกสิ่งที่พิสูจน์แล้วก็เป็นจริงสำหรับคอลัมน์เช่นกัน ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ข้อพิสูจน์ I. แถว (คอลัมน์) ของเมทริกซ์คือผลรวมเชิงเส้นของแถวพื้นฐาน (คอลัมน์) แท้จริงแล้ว ฐานรองของเมทริกซ์นั้นไม่เป็นศูนย์ และผู้รองทั้งหมดที่อยู่ติดกับเมทริกซ์จะเท่ากับศูนย์

ข้อพิสูจน์ II. ดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่ n จะเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อมีแถว (คอลัมน์) ที่ขึ้นต่อเชิงเส้นเท่านั้น ความเพียงพอของการพึ่งพาเชิงเส้นของแถว (คอลัมน์) สำหรับดีเทอร์มิแนนต์ให้เท่ากับศูนย์ได้รับการพิสูจน์ก่อนหน้านี้ว่าเป็นคุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์

มาพิสูจน์ความจำเป็นกัน ขอให้เราได้รับเมทริกซ์จตุรัสลำดับที่ n ซึ่งมีเพียงค่ารองเท่านั้นที่เป็นศูนย์ ตามมาว่าอันดับของเมทริกซ์นี้น้อยกว่า n นั่นคือ มีอย่างน้อยหนึ่งแถวที่เป็นผลรวมเชิงเส้นของแถวพื้นฐานของเมทริกซ์นี้

ให้เราพิสูจน์ทฤษฎีบทอื่นเกี่ยวกับอันดับของเมทริกซ์กัน

ทฤษฎีบท.จำนวนสูงสุดของแถวอิสระเชิงเส้นของเมทริกซ์เท่ากับจำนวนสูงสุดของคอลัมน์อิสระเชิงเส้นและเท่ากับอันดับของเมทริกซ์นี้

การพิสูจน์. ให้อันดับของเมทริกซ์ A= เท่ากับ r แล้วแถวฐาน k ใดๆ ของมันเป็นอิสระเชิงเส้น ไม่เช่นนั้น ฐานรองจะเท่ากับศูนย์ ในทางกลับกัน แถวใดๆ r+1 ขึ้นไปจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง ในทางกลับกัน เราอาจพบลำดับรองที่มากกว่า r ซึ่งไม่เป็นศูนย์ตามข้อพิสูจน์ที่ 2 ของบทแทรกก่อนหน้า อย่างหลังขัดแย้งกับความจริงที่ว่าลำดับสูงสุดของผู้เยาว์ที่ไม่เป็นศูนย์คือ r ทุกอย่างที่พิสูจน์แล้วสำหรับแถวก็เป็นจริงสำหรับคอลัมน์เช่นกัน

โดยสรุป เราจะสรุปวิธีการอื่นในการค้นหาอันดับของเมทริกซ์ อันดับของเมทริกซ์สามารถกำหนดได้โดยการค้นหาอันดับรองของลำดับสูงสุดที่แตกต่างจากศูนย์

เมื่อดูเผินๆ จะต้องคำนวณเมทริกซ์รองที่มีขอบเขตจำกัด แต่อาจมีจำนวนมากมาก

อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีบทต่อไปนี้อนุญาตให้แนะนำการลดความซับซ้อนที่สำคัญในเรื่องนี้

ทฤษฎีบท.ถ้าค่ารองของเมทริกซ์ A ไม่เป็นศูนย์ และผู้เยาว์ทั้งหมดที่ล้อมรอบมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นอันดับของเมทริกซ์จะเท่ากับ r

การพิสูจน์. ก็เพียงพอแล้วที่จะแสดงให้เห็นว่าระบบย่อยใดๆ ของแถวเมทริกซ์สำหรับ S>r จะขึ้นอยู่กับเงื่อนไขของทฤษฎีบท (ซึ่งจะตามมาว่า r คือจำนวนสูงสุดของแถวเมทริกซ์อิสระเชิงเส้น หรือลำดับรองใดๆ ที่มากกว่า k มีค่าเท่ากับศูนย์)

สมมติว่าตรงกันข้าม ปล่อยให้แถวเป็นอิสระเชิงเส้น ตามบทแทรกเกี่ยวกับขอบเขตผู้เยาว์ แต่ละรายการจะแสดงเป็นเส้นตรงผ่านบรรทัดที่มีผู้เยาว์ และเนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่าพวกเขาแตกต่างจากศูนย์ จึงเป็นอิสระเชิงเส้น:

พิจารณาผลรวมเชิงเส้นต่อไปนี้:

หรือ

เราได้รับโดยใช้ (3.3.7) และ (3.3.8)

,

ซึ่งขัดแย้งกับความเป็นอิสระของแถวเชิงเส้น

ด้วยเหตุนี้ สมมติฐานของเราจึงไม่ถูกต้อง ดังนั้น แถว S>r ใดๆ ภายใต้เงื่อนไขของทฤษฎีบทจึงขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ลองพิจารณากฎสำหรับการคำนวณอันดับของเมทริกซ์ - วิธีการกำหนดขอบเขตผู้เยาว์ตามทฤษฎีบทนี้

เมื่อคำนวณอันดับของเมทริกซ์ เราควรย้ายจากลำดับรองที่มีลำดับต่ำกว่าไปยังลำดับรองที่สูงกว่า หากพบผู้เยาว์ในลำดับที่ r ซึ่งแตกต่างจากศูนย์แล้ว จำเป็นต้องคำนวณเฉพาะผู้เยาว์ในลำดับ (r+1) ที่อยู่ติดกับผู้เยาว์ หากมีค่าเท่ากับศูนย์อันดับของเมทริกซ์จะเท่ากับ r วิธีนี้ยังใช้ถ้าเราไม่เพียงแต่คำนวณอันดับของเมทริกซ์เท่านั้น แต่ยังกำหนดด้วยว่าคอลัมน์ (แถว) ใดที่ประกอบขึ้นเป็นฐานรองของเมทริกซ์ด้วย

ตัวอย่าง. คำนวณอันดับของเมทริกซ์โดยใช้วิธีกำหนดขอบเขตผู้เยาว์

สารละลาย. ตัวรองลำดับที่สอง ซึ่งอยู่ที่มุมซ้ายบนของเมทริกซ์ A ไม่ใช่ศูนย์:

.

อย่างไรก็ตาม ผู้เยาว์ลำดับที่สามทั้งหมดที่มีขอบเขตเท่ากับศูนย์:

;	;
;	;
;	.

ดังนั้น อันดับของเมทริกซ์ A จึงเท่ากับ 2:

แถวที่หนึ่งและที่สอง คอลัมน์ที่หนึ่งและที่สองในเมทริกซ์นี้เป็นพื้นฐาน แถวและคอลัมน์ที่เหลือเป็นชุดค่าผสมเชิงเส้น อันที่จริง ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้ถือเป็นสตริง:

โดยสรุป เราสังเกตความถูกต้องของคุณสมบัติต่อไปนี้:

1) อันดับผลคูณของเมทริกซ์ไม่มากกว่าอันดับของแต่ละปัจจัย

2) อันดับผลคูณของเมทริกซ์ A ใดๆ ทางด้านขวาหรือซ้ายโดยเมทริกซ์จตุรัสที่ไม่เป็นเอกพจน์ Q เท่ากับอันดับของเมทริกซ์ A

เมทริกซ์พหุนาม

คำนิยาม. เมทริกซ์พหุนามหรือ -matrix เป็นเมทริกซ์สี่เหลี่ยมที่มีองค์ประกอบเป็นพหุนามในตัวแปรเดียวที่มีค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลข

การแปลงเบื้องต้นสามารถทำได้บน -เมทริกซ์ ซึ่งรวมถึง:

จัดเรียงสองแถวใหม่ (คอลัมน์);

การคูณแถว (คอลัมน์) ด้วยตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์

บวกหนึ่งแถว (คอลัมน์) อีกแถวหนึ่ง (คอลัมน์) คูณด้วยพหุนามใดๆ

เมทริกซ์สองตัวที่มีขนาดเท่ากันกล่าวกันว่าเทียบเท่ากัน: หากใครสามารถเปลี่ยนจากเมทริกซ์ไปใช้การแปลงเบื้องต้นในจำนวนจำกัดได้

ตัวอย่าง. พิสูจน์ความเท่าเทียมกันของเมทริกซ์

,

.

1. สลับคอลัมน์แรกและคอลัมน์ที่สองในเมทริกซ์:

.

2. จากบรรทัดที่สอง ลบบรรทัดแรก คูณด้วย ():

.

3. คูณบรรทัดที่สองด้วย (–1) แล้วสังเกตว่า

.

4. ลบคอลัมน์แรกออกจากคอลัมน์ที่สอง คูณด้วย เราจะได้

.

ชุดของเมทริกซ์ทั้งหมดที่มีขนาดที่กำหนดจะถูกแบ่งออกเป็นคลาสที่ไม่ต่อเนื่องกันของเมทริกซ์ที่เทียบเท่ากัน เมทริกซ์ที่เทียบเท่ากันจะก่อตัวเป็นคลาสหนึ่ง และเมทริกซ์ที่ไม่เท่ากันจะก่อตัวเป็นอีกคลาสหนึ่ง

เมทริกซ์ที่เทียบเท่าแต่ละคลาสจะมีลักษณะเฉพาะด้วยเมทริกซ์มาตรฐานหรือเมทริกซ์ปกติของมิติที่กำหนด

คำนิยาม. เมทริกซ์ขนาดบัญญัติหรือปกติของมิติคือเมทริกซ์ที่มีเส้นทแยงมุมหลักประกอบด้วยพหุนาม โดยที่ p คือค่าที่น้อยกว่าของตัวเลข m และ n ( ) และพหุนามที่ไม่เท่ากับศูนย์จะมีสัมประสิทธิ์นำหน้าเท่ากับ 1 และพหุนามที่ตามมาแต่ละตัวจะถูกหารด้วยพหุนามก่อนหน้า องค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่นอกเส้นทแยงมุมหลักคือ 0

จากคำจำกัดความจะตามมาว่าหากในบรรดาพหุนามมีพหุนามที่มีดีกรีเป็นศูนย์ ก็แสดงว่าพวกมันอยู่ที่จุดเริ่มต้นของเส้นทแยงมุมหลัก หากมีศูนย์ ก็จะอยู่ที่ปลายเส้นทแยงมุมหลัก

เมทริกซ์ของตัวอย่างก่อนหน้านี้เป็นแบบบัญญัติ เมทริกซ์

ยังเป็นที่ยอมรับ

-เมทริกซ์แต่ละคลาสมี -เมทริกซ์ตามรูปแบบบัญญัติที่แตกต่างกัน เช่น ทุกเมทริกซ์จะเทียบเท่ากับเมทริกซ์มาตรฐานเฉพาะซึ่งเรียกว่ารูปแบบมาตรฐานหรือรูปแบบปกติของเมทริกซ์นั้น

พหุนามที่อยู่บนเส้นทแยงมุมหลักของรูปแบบมาตรฐานของเมทริกซ์ที่กำหนดเรียกว่าปัจจัยไม่แปรเปลี่ยนของเมทริกซ์นี้

วิธีหนึ่งในการคำนวณปัจจัยไม่แปรเปลี่ยนคือการลดเมทริกซ์ที่กำหนดให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน

ดังนั้น สำหรับเมทริกซ์ของตัวอย่างที่แล้ว ปัจจัยคงที่คือ

จากที่กล่าวมาข้างต้น การมีอยู่ของตัวประกอบที่ไม่แปรเปลี่ยนชุดเดียวกันนั้นเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการสมมูลของ -เมทริกซ์

การลดเมทริกซ์ให้เป็นรูปแบบมาตรฐานจะลดลงเพื่อกำหนดปัจจัยที่ไม่แปรเปลี่ยน

, ; ,

โดยที่ r คืออันดับของเมทริกซ์ - ตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของตัวรองอันดับที่ k โดยมีค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าเท่ากับ 1

ตัวอย่าง. ให้กำหนด -เมทริกซ์

.

สารละลาย. แน่นอนว่าตัวหารร่วมมากของลำดับแรกคือ -

มากำหนดผู้เยาว์ลำดับที่สองกัน:

,

ฯลฯ

ข้อมูลเหล่านี้เพียงพอที่จะสรุปได้: ดังนั้น .

เรากำหนด

,

เพราะฉะนั้น, .

ดังนั้นรูปแบบบัญญัติของเมทริกซ์นี้จึงเป็นเมทริกซ์ต่อไปนี้:

.

พหุนามเมทริกซ์คือการแสดงออกของรูปแบบ

ตัวแปรอยู่ที่ไหน - เมทริกซ์จตุรัสของลำดับ n พร้อมองค์ประกอบตัวเลข

ถ้า แล้ว S เรียกว่าดีกรีของพหุนามเมทริกซ์ ส่วน n คือลำดับของเมทริกซ์พหุนาม

เมทริกซ์กำลังสองใดๆ สามารถแสดงเป็นพหุนามเมทริกซ์ได้ เห็นได้ชัดว่าข้อความที่ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน กล่าวคือ พหุนามเมทริกซ์ใดๆ สามารถแสดงเป็นเมทริกซ์จตุรัสได้

ความถูกต้องของข้อความเหล่านี้เป็นไปตามคุณสมบัติของการดำเนินการกับเมทริกซ์อย่างชัดเจน ลองดูตัวอย่างต่อไปนี้:

ตัวอย่าง. แทนเมทริกซ์พหุนาม

ในรูปพหุนามเมทริกซ์ดังนี้

.

ตัวอย่าง. พหุนามเมทริกซ์

สามารถแสดงเป็นเมทริกซ์พหุนามต่อไปนี้ ( -matrix)

.

ความสามารถในการสับเปลี่ยนระหว่างเมทริกซ์พหุนามและเมทริกซ์พหุนามมีบทบาทสำคัญในเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ของวิธีการวิเคราะห์ปัจจัยและองค์ประกอบ

พหุนามเมทริกซ์ในลำดับเดียวกันสามารถบวก ลบ และคูณได้ในลักษณะเดียวกับพหุนามสามัญที่มีค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลข อย่างไรก็ตาม ควรจำไว้ว่าการคูณพหุนามเมทริกซ์ โดยทั่วไปแล้ว ไม่ใช่การสับเปลี่ยน เนื่องจาก การคูณเมทริกซ์ไม่ใช่การสับเปลี่ยน

พหุนามเมทริกซ์สองตัวจะเท่ากันถ้าค่าสัมประสิทธิ์เท่ากัน กล่าวคือ เมทริกซ์ที่สอดคล้องกันสำหรับกำลังเท่ากันของตัวแปร

ผลรวม (ผลต่าง) ของพหุนามเมทริกซ์สองตัวคือพหุนามเมทริกซ์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์สำหรับแต่ละระดับของตัวแปรเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของสัมประสิทธิ์สำหรับระดับเดียวกันในพหุนามและ

ในการคูณพหุนามเมทริกซ์ด้วยพหุนามเมทริกซ์ คุณต้องคูณแต่ละพจน์ของพหุนามเมทริกซ์ด้วยแต่ละพจน์ของพหุนามเมทริกซ์ เพิ่มผลลัพธ์ที่ได้และนำพจน์ที่คล้ายกันมา

ระดับของพหุนามเมทริกซ์คือผลคูณที่น้อยกว่าหรือเท่ากับผลรวมของระดับของตัวประกอบ

การดำเนินการกับเมทริกซ์พหุนามสามารถดำเนินการได้โดยใช้การดำเนินการกับเมทริกซ์ที่สอดคล้องกัน

ในการเพิ่ม (ลบ) พหุนามเมทริกซ์ ก็เพียงพอที่จะบวก (ลบ) เมทริกซ์ที่สอดคล้องกัน เช่นเดียวกับการคูณ -เมทริกซ์ของผลคูณของเมทริกซ์พหุนาม เท่ากับผลคูณของ -เมทริกซ์ของปัจจัย

ในทางกลับกันและสามารถเขียนในรูปแบบได้

โดยที่ B 0 เป็นเมทริกซ์ที่ไม่เป็นเอกพจน์

เมื่อหารด้วยจะมีความฉลาดทางขวาเฉพาะและเศษเหลือทางขวา

โดยที่ดีกรีของ R 1 น้อยกว่าดีกรี หรือ (การหารโดยไม่มีเศษ) เช่นเดียวกับผลหารซ้ายและเศษเหลือหากและเท่านั้น หาก สั่งซื้อที่ไหน

ความเป็นอิสระเชิงเส้นของแถวเมทริกซ์

เมื่อพิจารณาจากเมทริกซ์ขนาด

เรามาแสดงแถวของเมทริกซ์ดังนี้:

ทั้งสองบรรทัดเรียกว่า เท่ากัน ถ้าองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องเท่ากัน -

ให้เราแนะนำการดำเนินการของการคูณสตริงด้วยตัวเลขและเพิ่มสตริงเป็นการดำเนินการที่ดำเนินการทีละองค์ประกอบ:

คำนิยาม.แถวเรียกว่าผลรวมเชิงเส้นของแถวเมทริกซ์ ถ้ามันเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของแถวเหล่านี้ด้วยจำนวนจริงใดๆ (ตัวเลขใดๆ):

คำนิยาม.แถวของเมทริกซ์เรียกว่า ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น หากมีตัวเลขที่ไม่เท่ากับศูนย์พร้อมกัน ดังนั้นผลรวมเชิงเส้นของแถวเมทริกซ์จะเท่ากับแถวศูนย์:

ที่ไหน . (1.1)

การพึ่งพาเชิงเส้นของแถวเมทริกซ์หมายความว่าอย่างน้อย 1 แถวของเมทริกซ์เป็นผลรวมเชิงเส้นของส่วนที่เหลือ

คำนิยาม.ถ้าผลรวมเชิงเส้นของแถว (1.1) เท่ากับศูนย์ ถ้าหากค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเป็น แล้วแถวนั้นจะถูกเรียก เป็นอิสระเชิงเส้น .

ทฤษฎีบทอันดับเมทริกซ์. อันดับของเมทริกซ์เท่ากับจำนวนสูงสุดของแถวหรือคอลัมน์อิสระเชิงเส้นซึ่งแถวอื่น ๆ ทั้งหมด (คอลัมน์) จะแสดงเป็นเส้นตรง

ทฤษฎีบทมีบทบาทสำคัญในการวิเคราะห์เมทริกซ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการศึกษาระบบสมการเชิงเส้น

6, 13,14,15,16. เวกเตอร์ การดำเนินการกับเวกเตอร์ (บวก ลบ คูณด้วยตัวเลข)n -มิติเวกเตอร์ แนวคิดของปริภูมิเวกเตอร์และพื้นฐานของมัน

เวกเตอร์เป็นส่วนที่มีทิศทางซึ่งมีจุดเริ่มต้น กและจุดสิ้นสุด ใน(ซึ่งสามารถเคลื่อนขนานไปกับตัวมันเองได้)

เวกเตอร์สามารถกำหนดได้ด้วยอักษรตัวใหญ่ 2 ตัวหรืออักษรตัวพิมพ์เล็กหนึ่งตัวพร้อมเส้นหรือลูกศร

ความยาว (หรือโมดูล) เวกเตอร์คือตัวเลขเท่ากับความยาวของส่วน AB ที่เป็นตัวแทนของเวกเตอร์

เรียกเวกเตอร์ที่อยู่ในเส้นเดียวกันหรือเส้นคู่ขนาน คอลลิเนียร์ .

หากจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ตรงกัน () แสดงว่าเวกเตอร์นั้นถูกเรียก ศูนย์ และแสดงแทน = . ความยาวของเวกเตอร์ศูนย์คือศูนย์:

1) ผลคูณของเวกเตอร์และตัวเลข:

จะมีเวกเตอร์ที่มีความยาวซึ่งมีทิศทางตรงกับทิศทางของเวกเตอร์ if และตรงข้ามกับมัน ถ้า .

2) เวกเตอร์ตรงข้าม - เรียกว่าผลคูณของเวกเตอร์ - และตัวเลข (-1) เช่น -

3) ผลรวมของเวกเตอร์สองตัว และเรียกว่าเวกเตอร์ ซึ่งจุดเริ่มต้นตรงกับจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ และจุดสิ้นสุดด้วยจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ โดยมีเงื่อนไขว่าจุดเริ่มต้นตรงกับจุดสิ้นสุด (กฎของสามเหลี่ยม) ผลรวมของเวกเตอร์หลายตัวถูกกำหนดในลักษณะเดียวกัน

4) ผลต่างของเวกเตอร์สองตัว และเรียกว่าผลรวมของเวกเตอร์และเวกเตอร์ - ซึ่งอยู่ตรงข้ามกัน

สินค้าดอท

คำนิยาม: ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวคือตัวเลขเท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้และโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้:

เวกเตอร์และปริภูมิเวกเตอร์ n มิติ

คำนิยาม- เวกเตอร์ n มิติคือคอลเล็กชันแบบเรียงลำดับ n จำนวนจริงที่เขียนอยู่ในรูป x = (x 1,x 2,…,xn), ที่ไหน x ฉัน – ฉัน -องค์ประกอบที่หนึ่งของเวกเตอร์ เอ็กซ์.

แนวคิดของเวกเตอร์ n มิติถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในเศรษฐศาสตร์ ตัวอย่างเช่น ชุดของสินค้าบางชุดสามารถกำหนดลักษณะเฉพาะของเวกเตอร์ได้ x = (x 1,x 2,…,xn)และราคาที่สอดคล้องกัน y = (y 1,y 2,…,y n)

- เวกเตอร์ n มิติสองตัวเท่ากัน ถ้าหากส่วนประกอบที่เกี่ยวข้องเท่ากันนั่นคือ x=yถ้า x ฉัน= ย ฉัน, ฉัน = 1,2,…,n.

- ผลรวมของเวกเตอร์สองตัว ขนาดเดียวกัน nเรียกว่าเวกเตอร์ z = x + yซึ่งมีส่วนประกอบเท่ากับผลรวมของส่วนประกอบที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์ผลรวม เช่น z ฉัน= x ฉัน+ ย ฉัน, ผม = 1,2,…, n.

- ผลคูณของเวกเตอร์ x และจำนวนจริง เรียกว่าเวกเตอร์ซึ่งมีส่วนประกอบเท่ากับผลคูณของส่วนประกอบที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์นั่นคือ - ฉัน= 1,2,…,n.

การดำเนินการเชิงเส้นบนเวกเตอร์ใดๆ เป็นไปตามคุณสมบัติต่อไปนี้:

1) - ทรัพย์สินสับเปลี่ยน (สับเปลี่ยน) ของผลรวม;

2) - คุณสมบัติเชื่อมโยง (รวมกัน) ของผลรวม;

3) - คุณสมบัติการเชื่อมโยงที่เกี่ยวข้องกับปัจจัยเชิงตัวเลข

4) - คุณสมบัติการกระจาย (การกระจาย) ที่สัมพันธ์กับผลรวมของเวกเตอร์;

5) - คุณสมบัติการกระจายด้วยความเคารพต่อผลรวมของปัจจัยตัวเลข

6) มีเวกเตอร์เป็นศูนย์ซึ่งสำหรับเวกเตอร์ใดๆ (บทบาทพิเศษของเวกเตอร์ศูนย์)

7) สำหรับเวกเตอร์ใดๆ จะมีเวกเตอร์ที่อยู่ตรงข้ามในลักษณะที่ ;

8) สำหรับเวกเตอร์ใดๆ (บทบาทพิเศษของตัวประกอบตัวเลข 1)

คำนิยาม- เซตของเวกเตอร์ที่มีส่วนประกอบจริง ซึ่งมีการกำหนดการดำเนินการของการบวกเวกเตอร์และการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลขที่เป็นไปตามคุณสมบัติแปดประการข้างต้น (ถือเป็นสัจพจน์) เรียกว่า สถานะเวกเตอร์ .

มิติและพื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์

คำนิยาม- เรียกว่าปริภูมิเชิงเส้น n มิติ ถ้ามันมีอยู่จริง nเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น และเวกเตอร์ใดๆ ก็ตามที่ขึ้นต่อกันอยู่แล้ว กล่าวอีกนัยหนึ่ง มิติของพื้นที่ คือจำนวนเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นสูงสุดที่มีอยู่ ตัวเลข n เรียกว่ามิติของปริภูมิและเขียนแทนด้วย

เซตของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น n ตัวในปริภูมิ n มิติเรียกว่า พื้นฐาน .

7. เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะและค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ สมการคุณลักษณะของเมทริกซ์

คำนิยาม- เวกเตอร์นี้เรียกว่า eigenvector ตัวดำเนินการเชิงเส้นหากมีตัวเลขที่:

เบอร์นี้เรียกว่าเหมาะสม ค่าตัวดำเนินการ (เมทริกซ์ ก) ซึ่งสอดคล้องกับเวกเตอร์

สามารถเขียนได้ในรูปเมทริกซ์:

เมทริกซ์คอลัมน์ของพิกัดเวกเตอร์อยู่ที่ไหนหรือในรูปแบบขยาย:

มาเขียนระบบใหม่เพื่อให้มีศูนย์ทางด้านขวา:

หรือในรูปแบบเมทริกซ์: . ระบบเอกพันธ์ที่ได้จะมีสารละลายเป็นศูนย์เสมอ สำหรับการมีอยู่ของสารละลายที่ไม่เป็นศูนย์ ปัจจัยกำหนดของระบบมีความจำเป็นและเพียงพอ:

ดีเทอร์มิแนนต์เป็นพหุนาม nระดับที่สัมพันธ์กับ. พหุนามนี้เรียกว่า พหุนามลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการ หรือเมทริกซ์ A และสมการที่ได้คือ สมการคุณลักษณะของตัวดำเนินการ หรือเมทริกซ์ A

ตัวอย่าง:

ค้นหาค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการเชิงเส้นที่กำหนดโดยเมทริกซ์

วิธีแก้ปัญหา: เราเขียนสมการคุณลักษณะ หรือ โดยเหตุใดค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการเชิงเส้น

เราพบเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะแก้สมการเมทริกซ์:

หรือ หรือ จากที่เราพบ: หรือ

หรือ .

ให้เราสมมติว่า เราได้มาว่าเวกเตอร์ ในกรณีใดๆ ก็ตาม เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีค่าลักษณะเฉพาะ

ในทำนองเดียวกัน เวกเตอร์

8. ระบบ nสมการเชิงเส้นด้วย nตัวแปร (มุมมองทั่วไป) รูปแบบเมทริกซ์ของการบันทึกระบบดังกล่าว โซลูชันระบบ (คำจำกัดความ) ระบบสมการเชิงเส้นที่สอดคล้องและเข้ากันไม่ได้ ทั้งแบบแน่นอนและไม่แน่นอน

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยไม่ทราบค่า

ระบบสมการเชิงเส้นมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในเศรษฐศาสตร์

ระบบสมการเชิงเส้นพร้อมตัวแปรมีรูปแบบ:

,

โดยที่ () เป็นตัวเลขที่กำหนดเองที่ถูกเรียก ค่าสัมประสิทธิ์สำหรับตัวแปร และ เงื่อนไขสมการอิสระ ตามลำดับ

รายการโดยย่อ: ()

คำนิยาม.คำตอบของระบบคือชุดของค่าดังกล่าวเมื่อมีการทดแทนซึ่งแต่ละสมการของระบบจะกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริง

1) เรียกว่าระบบสมการ ข้อต่อ ถ้ามีอย่างน้อยหนึ่งวิธี และ ไม่ใช่ข้อต่อหากไม่มีวิธีแก้ไข

2) เรียกว่าระบบสมการพร้อมกัน แน่ใจ ถ้ามีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ และ ไม่แน่นอน ถ้ามีมากกว่าหนึ่งวิธี

3) เรียกว่าระบบสมการสองระบบ เทียบเท่า (เทียบเท่า) ถ้ามีชุดโซลูชันเดียวกัน (เช่น โซลูชันเดียว)

ลองเขียนระบบในรูปแบบเมทริกซ์:

เรามาแสดงว่า: , ที่ไหน

ก– เมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์สำหรับตัวแปรหรือเมทริกซ์ของระบบ เอ็กซ์ – เมทริกซ์คอลัมน์ของตัวแปร ใน – เมทริกซ์คอลัมน์ของสมาชิกอิสระ

เพราะ จำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์เท่ากับจำนวนแถวของเมทริกซ์ ดังนั้นผลคูณของมันคือ:

มีเมทริกซ์แบบคอลัมน์ องค์ประกอบของเมทริกซ์ผลลัพธ์คือส่วนด้านซ้ายของระบบเริ่มต้น จากคำจำกัดความของความเท่าเทียมกันของเมทริกซ์ ระบบเริ่มต้นสามารถเขียนได้ในรูปแบบ:

ทฤษฎีบทของแครเมอร์. อนุญาต เป็นตัวกำหนดของเมทริกซ์ของระบบ และให้ เป็นตัวกำหนดของเมทริกซ์ที่ได้จากเมทริกซ์โดยการแทนที่คอลัมน์ที่ th ด้วยคอลัมน์ที่มีเงื่อนไขอิสระ จากนั้น ถ้า จากนั้นระบบจะมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะซึ่งกำหนดโดยสูตร:

สูตรแครเมอร์

ตัวอย่าง. แก้ระบบสมการโดยใช้สูตรของแครมเมอร์

สารละลาย- ตัวกำหนดเมทริกซ์ของระบบ ดังนั้นระบบจึงมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว ให้เราคำนวณ ที่ได้จากการแทนที่คอลัมน์แรก ที่สอง และสามด้วยคอลัมน์ที่มีเงื่อนไขอิสระ ตามลำดับ:

ตามสูตรของแครเมอร์:

9. วิธีเกาส์ในการแก้ระบบn สมการเชิงเส้นด้วย nตัวแปร แนวคิดของวิธีจอร์แดน-เกาส์

วิธีเกาส์ - วิธีการกำจัดตัวแปรตามลำดับ

วิธีเกาส์ประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่า เมื่อใช้การแปลงแถวเบื้องต้นและการเรียงสับเปลี่ยนคอลัมน์ ระบบสมการจะลดลงเป็นระบบที่เทียบเท่ากันของรูปแบบขั้นตอน (หรือสามเหลี่ยม) ซึ่งตัวแปรอื่นๆ ทั้งหมดจะพบตามลำดับ โดยเริ่มจาก (หรือรูปสามเหลี่ยม) สุดท้าย ตามจำนวน) ตัวแปร

สะดวกในการทำการแปลงแบบเกาส์เซียนไม่ใช่ด้วยสมการ แต่ด้วยเมทริกซ์แบบขยายของสัมประสิทธิ์ซึ่งได้มาจากการกำหนดคอลัมน์คำศัพท์อิสระให้กับเมทริกซ์:

.

ควรสังเกตว่าวิธีเกาส์สามารถแก้ระบบสมการในรูปแบบใดก็ได้ .

ตัวอย่าง. ใช้วิธีเกาส์เซียนเพื่อแก้ระบบ:

ให้เราเขียนเมทริกซ์ขยายของระบบลงไป.

ขั้นตอนที่ 1 . ลองสลับบรรทัดแรกและบรรทัดที่สองเพื่อให้เท่ากับ 1

ขั้นตอนที่ 2 ลองคูณองค์ประกอบของแถวแรกด้วย (–2) และ (–1) แล้วบวกเข้ากับองค์ประกอบของแถวที่สองและสามเพื่อให้เลขศูนย์ปรากฏใต้องค์ประกอบในคอลัมน์แรก -

สำหรับระบบสมการเชิงเส้นพร้อมกัน ทฤษฎีบทต่อไปนี้เป็นจริง:

ทฤษฎีบท 1หากอันดับของเมทริกซ์ของระบบร่วมเท่ากับจำนวนตัวแปรนั่นคือ แล้วระบบก็มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว

ทฤษฎีบท 2ถ้าอันดับของเมทริกซ์ของระบบร่วมน้อยกว่าจำนวนตัวแปร เช่น ดังนั้นระบบจึงไม่แน่นอนและมีคำตอบจำนวนอนันต์

คำนิยาม.รากฐานรองของเมทริกซ์คือผู้เยาว์ที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งมีลำดับเท่ากับอันดับของเมทริกซ์

คำนิยาม.สิ่งแปลกปลอมที่มีค่าสัมประสิทธิ์รวมอยู่ในสัญกรณ์ของผู้เยาว์พื้นฐานเรียกว่าพื้นฐาน (หรือพื้นฐาน) สิ่งแปลกปลอมที่เหลือเรียกว่าฟรี (หรือไม่ใช่พื้นฐาน)

การแก้ระบบสมการในกรณีนี้หมายถึงการแสดงออก และ (เนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ไม่เท่ากับศูนย์) จากนั้น และ เป็นสิ่งที่ไม่ทราบค่า

ให้เราแสดงตัวแปรพื้นฐานในรูปของตัวแปรอิสระ

จากแถวที่สองของเมทริกซ์ผลลัพธ์ เราแสดงตัวแปร:

จากบรรทัดแรกเราแสดง: ,

คำตอบทั่วไปของระบบสมการ: , .