ลักษณะที่สำคัญที่สุดของกระบวนการสุ่มแบบอยู่กับที่คือความหนาแน่นของสเปกตรัมพลังงาน ซึ่งอธิบายการกระจายของพลังงานเสียงเหนือสเปกตรัมความถี่ ขอให้เราพิจารณากระบวนการสุ่มแบบคงที่ ซึ่งสามารถแสดงด้วยลำดับสุ่มของแรงดันหรือพัลส์กระแสที่ตามมาซึ่งกันและกันในช่วงเวลาสุ่ม กระบวนการที่มีลำดับพัลส์แบบสุ่มนั้นไม่ใช่แบบคาบ อย่างไรก็ตาม เราสามารถพูดถึงสเปกตรัมของกระบวนการดังกล่าวได้ ซึ่งในกรณีนี้คือการกระจายสเปกตรัมของพลังงานเหนือความถี่

เพื่ออธิบายสัญญาณรบกวน จึงมีการนำแนวคิดเรื่องความหนาแน่นสเปกตรัมพลังงาน (PSD) ของสัญญาณรบกวนมาใช้ หรือเรียกอีกอย่างว่าในกรณีทั่วไปของความหนาแน่นสเปกตรัม (SP) ของสัญญาณรบกวน ซึ่งถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์:

ที่ไหน  ป(ฉ) - พลังเสียงเฉลี่ยตามเวลาในย่านความถี่ ฉที่ความถี่การวัด ฉ.

จากความสัมพันธ์ (2.10) ต่อไปนี้ ความถี่เสียงจะมีมิติ W/Hz โดยทั่วไป SP เป็นฟังก์ชันของความถี่ เรียกว่าการพึ่งพาสัญญาณรบกวน SP กับความถี่ สเปกตรัมพลังงานซึ่งนำข้อมูลเกี่ยวกับลักษณะไดนามิกของระบบ

หากกระบวนการสุ่มเป็นไปตามหลักการยศาสตร์ สเปกตรัมพลังงานของกระบวนการดังกล่าวสามารถพบได้จากการนำไปใช้งานเพียงครั้งเดียว ซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายในทางปฏิบัติ

เมื่อพิจารณาลักษณะสเปกตรัมของกระบวนการสุ่มแบบคงที่ มักจะจำเป็นต้องใช้แนวคิดเรื่องความกว้างของสเปกตรัมเสียง พื้นที่ใต้เส้นโค้งของสเปกตรัมพลังงานของกระบวนการสุ่ม ซึ่งสัมพันธ์กับความถี่เสียงที่ความถี่ลักษณะเฉพาะบางอย่าง ฉ 0 เรียกว่า ความกว้างของสเปกตรัมที่มีประสิทธิภาพซึ่งถูกกำหนดโดยสูตร:

(2.11)

ปริมาณนี้สามารถตีความได้ว่าเป็นความกว้างของสเปกตรัมพลังงานสม่ำเสมอของกระบวนการสุ่มในแถบความถี่
เทียบเท่าใน กำลังปานกลางกระบวนการที่อยู่ระหว่างการพิจารณา

พลังเสียง ปที่มีอยู่ในคลื่นความถี่ ฉ 1 …ฉ 2 เท่ากับ

(2.12)

ถ้าเกิดสัญญาณรบกวน SP ในย่านความถี่ ฉ 1 ...ฉ 2 คงที่และเท่ากัน ส 0 จากนั้นสำหรับพลังเสียงในย่านความถี่ที่กำหนดเราจะได้:
ที่ไหน ฉ=ฉ 2 -ฉ 1 – ย่านความถี่ที่ส่งผ่านวงจรหรืออุปกรณ์วัด

กรณีสำคัญของกระบวนการสุ่มที่อยู่นิ่งคือสัญญาณรบกวนสีขาว ซึ่งความหนาแน่นของสเปกตรัมไม่ได้ขึ้นอยู่กับความถี่ในช่วงความถี่ที่กว้าง (ในทางทฤษฎี ในช่วงความถี่ที่ไม่มีที่สิ้นสุด) สเปกตรัมพลังงานของเสียงสีขาวในช่วงความถี่ -∞< ฉ < +∞ ให้ไว้โดย:

= 2ส 0 = ค่าคงที่ (2.13)

โมเดลเสียงสีขาวอธิบายกระบวนการสุ่มโดยไม่มีหน่วยความจำ (โดยไม่มีผลที่ตามมา) เสียงสีขาวเกิดขึ้นในระบบที่มีองค์ประกอบที่เป็นเนื้อเดียวกันอย่างง่าย ๆ จำนวนมากและมีลักษณะเฉพาะด้วยการกระจายความกว้างของความผันผวนตามปกติ คุณสมบัติของเสียงสีขาวถูกกำหนดโดยสถิติของเหตุการณ์เดี่ยวที่เป็นอิสระ (เช่น การเคลื่อนที่ด้วยความร้อนของตัวพาประจุในตัวนำหรือเซมิคอนดักเตอร์) อย่างไรก็ตาม ไม่มีไวท์นอยส์ที่แท้จริงที่มีย่านความถี่อนันต์ เนื่องจากมีพลังงานที่ไม่มีที่สิ้นสุด

ในรูป 2.3. แสดงออสซิลโลแกรมทั่วไปของสัญญาณรบกวนสีขาว (ขึ้นอยู่กับค่าแรงดันไฟฟ้าทันทีตรงเวลา) (รูปที่ 2.3a) และฟังก์ชันการกระจายความน่าจะเป็นของค่าแรงดันไฟฟ้าทันที จซึ่งเป็นการแจกแจงแบบปกติ (รูปที่ 2.3b) พื้นที่แรเงาใต้เส้นโค้งสอดคล้องกับความน่าจะเป็นที่จะเกิดค่าแรงดันไฟฟ้าทันที จเกินมูลค่า จ 1 .

ข้าว. 2.3. ออสซิลโลแกรมสัญญาณรบกวนสีขาวทั่วไป (a) และฟังก์ชันการกระจายความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของค่าแอมพลิจูดของแรงดันเสียงรบกวนทันที (b)

ในทางปฏิบัติ เมื่อประเมินระดับเสียงขององค์ประกอบหรืออุปกรณ์ย่อยใดๆ มักจะวัดแรงดันเสียงรบกวน rms ในหน่วยของ B 2 หรือกระแส rms ในหน่วยของ A 2 ในกรณีนี้ สัญญาณรบกวน SP จะแสดงเป็นหน่วย V 2 / Hz หรือ A 2 / Hz และความหนาแน่นสเปกตรัมของความผันผวนของแรงดันไฟฟ้า ส คุณ (ฉ) หรือกระแส ส ฉัน (ฉ) คำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

(2.14)

ที่ไหน
และ – แรงดันและกระแสเสียงเฉลี่ยตามเวลาในย่านความถี่ ฉตามลำดับ แถบด้านบนหมายถึงค่าเฉลี่ยเมื่อเวลาผ่านไป

ในปัญหาเชิงปฏิบัติ เมื่อพิจารณาความผันผวนของปริมาณทางกายภาพต่างๆ จะมีการเสนอแนวคิดเรื่องความหนาแน่นสเปกตรัมทั่วไปของความผันผวน ในกรณีนี้ SP ของความผันผวน เช่น แนวต้าน รแสดงเป็นหน่วยโอห์ม 2 /Hz; ความผันผวนของการเหนี่ยวนำแม่เหล็กวัดในหน่วย T 2 /Hz และความผันผวนของความถี่ของออสซิลเลเตอร์ในตัววัดในหน่วย Hz 2 /Hz = Hz

เมื่อเปรียบเทียบระดับเสียงในเครือข่ายเชิงเส้นสองขั้วที่เป็นประเภทเดียวกัน จะสะดวกในการใช้ความหนาแน่นของสัญญาณรบกวนสเปกตรัมซึ่งกำหนดเป็น

=
, (2.15)

ที่ไหน คุณ– แรงดันไฟฟ้ากระแสตรงตกคร่อมเครือข่ายสองขั้วเชิงเส้น

ดังที่เห็นได้จากนิพจน์ (2.15) ความหนาแน่นสเปกตรัมสัมพัทธ์ของสัญญาณรบกวน ส(ฉ) แสดงเป็นหน่วย Hz -1

ปล่อยให้สัญญาณบางอย่างแสดงลักษณะการเปลี่ยนแปลงของแรงดันหรือกระแสเมื่อเวลาผ่านไป แล้ว จะกำหนดกำลังไฟฟ้าทันทีที่ปล่อยออกมาที่ความต้านทาน 1 โอห์ม

ดังนั้นกำลังสัญญาณเฉลี่ยในช่วงเวลาที่กำหนดคือ:

ถ้าสัญญาณเป็นคาบ ก็จะสามารถรับกำลังเฉลี่ยได้โดยการเฉลี่ยในช่วงการทำซ้ำสัญญาณหนึ่งช่วง ในกรณีของสัญญาณที่ไม่เป็นคาบของการรวมเข้าอย่างสมบูรณ์อย่างสมบูรณ์ ช่วงการรวมสามารถขยายไปยังแกนเวลาทั้งหมดได้:

สามารถสังเกตได้ว่ากำลังเฉลี่ยของสัญญาณที่ไม่ใช่คาบที่สามารถบูรณาการได้อย่างแน่นอนจะเป็นศูนย์เมื่อทำการเฉลี่ยในช่วงเวลาที่ไม่มีที่สิ้นสุด ในทำนองเดียวกัน พลังงานของสัญญาณคาบตลอดแกนเวลาทั้งหมดจะเท่ากับอนันต์

ดังนั้น เราสามารถระบุลักษณะของสัญญาณคาบที่ทำซ้ำบนแกนเวลาทั้งหมดด้วยกำลังเฉลี่ยที่มีจำกัด เนื่องจากพลังงานของพวกมันไม่มีที่สิ้นสุด สัญญาณที่ไม่ใช่คาบมีลักษณะเฉพาะคือพลังงานอันจำกัด เนื่องจากกำลังเฉลี่ยของสัญญาณที่ไม่เป็นคาบบนแกนเวลาทั้งหมดเป็นศูนย์

นิพจน์ (1)-(3) ก็ใช้ได้กับสัญญาณที่ซับซ้อนเช่นกัน ในกรณีนี้ กำลังไฟฟ้าชั่วขณะสามารถกำหนดได้เป็น

ผลคูณดอทของสัญญาณ สูตรเรย์ลีทั่วไป

ให้สัญญาณสองตัวและได้รับ ในกรณีทั่วไปที่ซับซ้อน ผลคูณสเกลาร์ของสัญญาณมีค่าเท่ากับ:

อินทิกรัล (4) ส่งคืนตัวเลขหนึ่งตัว (สเกลาร์) โดยทั่วไปแล้วจะซับซ้อน

โปรดทราบว่าผลคูณดอทของสัญญาณโดยตัวมันเองจะส่งคืนพลังงานของสัญญาณที่กำหนด:

จากนั้นผลิตภัณฑ์สเกลาร์ (4) สามารถตีความได้ว่าเป็นค่าของพลังงานร่วมกันของสัญญาณ และ เช่น ระดับของอิทธิพลซึ่งกันและกันของสัญญาณหนึ่งต่ออีกสัญญาณหนึ่ง หากสัญญาณสองตัวมีผลคูณสเกลาร์เป็นศูนย์ สัญญาณเหล่านั้นจะเรียกว่าตั้งฉาก

ให้เราแทนที่การแปลงฟูริเยร์ผกผันของความหนาแน่นสเปกตรัมใน (4) แล้ว:

ให้เราเปลี่ยนลำดับการรวมใน (6):

เราสามารถสรุปได้ว่า: ผลคูณสเกลาร์ของสัญญาณในโดเมนเวลา จนถึงปัจจัยหนึ่ง เท่ากับผลคูณสเกลาร์ของความหนาแน่นสเปกตรัมของสัญญาณเหล่านี้ นิพจน์ (7) เรียกว่าสูตรเรย์ลีทั่วไป

ความเท่าเทียมกันของ Parseval

ก่อนหน้านี้ เราได้พิจารณาความเท่าเทียมกันของ Parseval แล้ว ซึ่งเกี่ยวข้องกับกำลังเฉลี่ยของสัญญาณที่เป็นคาบ สำหรับสัญญาณที่ไม่ใช่คาบ เราสามารถรับพลังงานสัญญาณที่เท่ากันในเวลาและในโดเมนความถี่ได้ ในการทำเช่นนี้ เราจะแทนที่สูตร Rayleigh ทั่วไปและรับ:

หรือคำนึงถึง (4) ความเท่าเทียมกันของ Parseval:

ดังนั้นพลังงานสัญญาณในโดเมนเวลาและความถี่จึงเท่ากับปัจจัยหนึ่ง

ถ้าในนิพจน์ (7)-(9) เราใช้ความถี่ที่แสดงเป็นเฮิรตซ์แทน ความถี่วงจรวัดเป็นหน่วย rad/s จากนั้นแฟคเตอร์จะลดลง:

ความหนาแน่นสเปกตรัมพลังงานสัญญาณ

เมื่อพิจารณาถึงการเปลี่ยนแปลงที่จำกัดไปสู่การแปลงฟูริเยร์ ได้มีการนำแนวคิดเรื่องความหนาแน่นสเปกตรัมของสัญญาณมาใช้ และมีการให้การเปรียบเทียบเพื่ออธิบายแนวคิดเรื่องความหนาแน่นของสเปกตรัมและความแตกต่างจากสเปกตรัมของสัญญาณแบบคาบ

จากความเท่าเทียมกัน (9) เป็นไปตามที่พลังงานสัญญาณสามารถแสดงเป็นอินทิกรัลตลอดแกนความถี่ทั้งหมด:

จากนั้นใช้การเปรียบเทียบแบบเดียวกันกับในส่วนนี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งการเปรียบเทียบ (12) กับ เราสามารถสรุปได้ว่าความหนาแน่นของพลังงานสเปกตรัมของสัญญาณคืออะไร โดยการอินทิเกรตบนแกนทั้งหมด เราจะได้พลังงานทั้งหมดของสัญญาณ เช่นเดียวกับการอินทิเกรตความหนาแน่นของแกนตามความยาว เราก็จะได้มวลรวม ความหนาแน่นของพลังงานสเปกตรัมคือกำลังสองของการตอบสนองความถี่ของสัญญาณ นอกจากนี้ยังเป็นฟังก์ชันความถี่ที่ไม่เป็นลบอย่างแท้จริง ความหนาแน่นของพลังงานสเปกตรัมของสัญญาณวัดเป็นหน่วยจูลต่อเฮิรตซ์ (J/Hz) หรือวัตต์คูณสองวินาที (Ws)

มาจดบันทึกสำคัญกันดีกว่า ความหนาแน่นของพลังงานสเปกตรัมไม่สนใจการตอบสนองเฟสของสัญญาณ จากนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าความหนาแน่นของพลังงานสเปกตรัมเดียวกันสามารถสอดคล้องกับสัญญาณต่างๆ ที่มีการตอบสนองความถี่เดียวกันและลักษณะการตอบสนองของเฟสที่แตกต่างกัน

ความหนาแน่นของสเปกตรัมของสัญญาณมีลักษณะลดลงเมื่อเทียบกับความถี่ และในทางปฏิบัติ การวิเคราะห์พฤติกรรมของการลดความหนาแน่นของสเปกตรัมด้วยความถี่ที่เพิ่มขึ้นเป็นสิ่งสำคัญ อย่างไรก็ตาม การวิเคราะห์เชิงกราฟิกอาจทำได้ยากเนื่องจากความหนาแน่นของสเปกตรัมลดลงในอัตราที่สูงเมื่อเทียบกับความถี่ และในกรณีของความหนาแน่นของพลังงานสเปกตรัมก็จะยากขึ้นเป็นสองเท่า เนื่องจากการยกกำลังสองของการตอบสนองความถี่จะช่วยเร่งการลดลงเท่านั้น ดังนั้น การแสดงความหนาแน่นของพลังงานสเปกตรัมในระดับลอการิทึมซึ่งแสดงเป็นหน่วยเดซิเบล (dB) จึงแพร่หลายมากขึ้น:

ตามตัวอย่าง รูปที่ 1 แสดงความหนาแน่นพลังงานสเปกตรัมของพัลส์สี่เหลี่ยม สามเหลี่ยม เอ็กซ์โพเนนเชียลปลายคู่ และพัลส์เกาส์เซียนในสเกลเชิงเส้นและลอการิทึม

รูปที่ 1 ความหนาแน่นของพลังงานสเปกตรัมของสัญญาณบางสัญญาณ
a - ในระดับเชิงเส้น; b - ในระดับลอการิทึม

ดังที่เห็นได้จากรูปที่ 1a ความหนาแน่นของพลังงานสเปกตรัมของพัลส์ในระดับเชิงเส้นนั้นรวมกันในทางปฏิบัติและแยกแยะได้ยากมาก

สเกลลอการิทึมสำหรับแสดงความหนาแน่นของพลังงานสเปกตรัมนั้นสะดวกเมื่อเปรียบเทียบลักษณะของสัญญาณ หากพลังงานของสัญญาณทั้งสองต่างกัน 100 เท่า ดังนั้นในระดับลอการิทึม อัตราส่วนของพลังงานจะเท่ากับ 20 เดซิเบล หากพลังงานแตกต่างกัน 1,000,000 เท่า ดังนั้นในระดับลอการิทึม ค่านี้จะสอดคล้องกับ 60 เดซิเบล การเพิ่มพลังงานสัญญาณเป็นสองเท่าในระดับลอการิทึมสอดคล้องกับการเพิ่มขึ้นของ 3 เดซิเบล

ข้อสรุป

ในส่วนนี้ เราได้ตรวจสอบลักษณะพลังงานของสัญญาณแบบเป็นคาบและไม่เป็นคาบ เราได้แสดงให้เห็นว่าสัญญาณคาบมีพลังงานไม่สิ้นสุด แต่มีพลังงานเฉลี่ยมีจำกัด กำลังเฉลี่ยของสัญญาณที่ไม่ใช่คาบมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ และพลังงานของสัญญาณนั้นมีจำกัด

มีการแนะนำแนวคิดของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของสัญญาณและได้รับสูตรเรย์ลีทั่วไปที่เกี่ยวข้องกับผลิตภัณฑ์สเกลาร์ในโดเมนเวลาและความถี่

ความเท่าเทียมกันของพาร์เซวัลถูกกำหนดไว้สำหรับสัญญาณที่ไม่ใช่คาบ เป็นกรณีพิเศษของสูตรเรย์ลี

แนวคิดเรื่องความหนาแน่นของพลังงานสเปกตรัมเป็นโมดูลัสกำลังสองของความหนาแน่นสเปกตรัมสัญญาณถูกนำมาใช้ นอกจากนี้ยังพิจารณาการแสดงความหนาแน่นของพลังงานสเปกตรัมในระดับเชิงเส้นและลอการิทึมสำหรับสัญญาณต่างๆ อีกด้วย

ดูเพิ่มเติม

อ้างอิง

บาสคาคอฟ, S.I. มอสโก LENAND 2559 528 หน้า ไอ 978-5-9710-2464-4

Gonorovsky I.S. วงจรและสัญญาณวิทยุ มอสโก วิทยุโซเวียต 2520, 608 หน้า

บรรษัทการศึกษานานาชาติ

คณะวิทยาศาสตร์ประยุกต์

เชิงนามธรรม

ในหัวข้อ"สเปกตรัมความหนาแน่นของกำลังและความสัมพันธ์กับฟังก์ชันสหสัมพันธ์"

ตามระเบียบวินัย“ทฤษฎีการสื่อสารทางไฟฟ้า »

สมบูรณ์:นักเรียนกลุ่ม

FPN-REiT(z)-4S *

จูมาเกลดิน ดี

ตรวจสอบแล้ว:กลูโควา เอ็น.วี.

อัลมาตี, 2015

ฉันแนะนำ

II ส่วนหลัก

1. ความหนาแน่นของสเปกตรัมกำลัง

1.1 ตัวแปรสุ่ม

1.2 ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของฟังก์ชันของตัวแปรสุ่ม

2. กระบวนการสุ่ม

3. วิธีการหาความหนาแน่นสเปกตรัมกำลังโดย ฟังก์ชันสหสัมพันธ์

บทสรุปที่สาม

IV รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้แล้ว

การแนะนำ

ทฤษฎีความน่าจะเป็นพิจารณาตัวแปรสุ่มและคุณลักษณะของตัวแปรสุ่มใน "สถิตศาสตร์" ปัญหาในการอธิบายและศึกษาสัญญาณสุ่ม "ในพลวัต" ซึ่งเป็นภาพสะท้อนของปรากฏการณ์สุ่มที่พัฒนาไปตามกาลเวลาหรือตามตัวแปรอื่น ๆ ได้รับการแก้ไขโดยทฤษฎีกระบวนการสุ่ม

ตามกฎแล้ว เราจะใช้ตัวแปร “t” เป็นพิกัดสากลสำหรับการแจกแจงตัวแปรสุ่มเหนือตัวแปรอิสระ และถือว่ามันเป็นพิกัดเวลาเพื่อความสะดวกเท่านั้น การแจกแจงตัวแปรสุ่มในเวลา เช่นเดียวกับสัญญาณที่แสดงตัวแปรสุ่มในรูปแบบทางคณิตศาสตร์ มักเรียกว่ากระบวนการสุ่ม ในวรรณคดีทางเทคนิคคำว่า " สัญญาณสุ่ม" และ "กระบวนการสุ่ม" ใช้สลับกันได้

ในกระบวนการประมวลผลและวิเคราะห์ข้อมูลทางกายภาพและทางเทคนิค โดยปกติแล้วจะต้องจัดการกับสัญญาณสามประเภทที่อธิบายโดยวิธีทางสถิติ ประการแรก สัญญาณเหล่านี้เป็นสัญญาณข้อมูลที่สะท้อนถึงกระบวนการทางกายภาพที่มีความน่าจะเป็นในธรรมชาติ เช่น ตัวอย่างเช่น การกระทำของการลงทะเบียนอนุภาคของการแผ่รังสีไอออไนซ์ระหว่างการสลายตัวของนิวไคลด์กัมมันตรังสี ประการที่สอง สัญญาณข้อมูลที่ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์บางอย่างของกระบวนการทางกายภาพหรือวัตถุ ซึ่งไม่ทราบค่าล่วงหน้าและมักจะขึ้นอยู่กับการพิจารณาจากข้อมูล สัญญาณข้อมูล- และประการที่สามสิ่งเหล่านี้คือเสียงและการรบกวนซึ่งเปลี่ยนแปลงตามเวลาอย่างวุ่นวายซึ่งมาพร้อมกับสัญญาณข้อมูล แต่ตามกฎแล้วจะไม่ขึ้นอยู่กับค่าทางสถิติทั้งในค่านิยมและการเปลี่ยนแปลงเมื่อเวลาผ่านไป

ความหนาแน่นสเปกตรัมพลังงาน

ความหนาแน่นสเปกตรัมกำลังทำให้สามารถตัดสินคุณสมบัติความถี่ของกระบวนการสุ่มได้ โดยจะแสดงลักษณะความเข้มของมันที่ความถี่ต่างๆ หรืออีกนัยหนึ่งคือกำลังเฉลี่ยต่อหน่วยย่านความถี่

การกระจายกำลังเฉลี่ยข้ามความถี่เรียกว่าสเปกตรัมกำลัง อุปกรณ์ที่ใช้วัดสเปกตรัมพลังงานเรียกว่าเครื่องวิเคราะห์สเปกตรัม สเปกตรัมที่พบจากการวัดเรียกว่าสเปกตรัมของฮาร์ดแวร์

เครื่องวิเคราะห์สเปกตรัมทำงานตามวิธีการวัดต่อไปนี้:

· วิธีการกรอง

· วิธีการแปลงตามทฤษฎีบทวีเนอร์-ฮินเชน

· วิธีการแปลงฟูเรียร์

· วิธีการใช้ฟังก์ชันเครื่องหมาย

· วิธีการประยุกต์ฮาร์ดแวร์ของฟังก์ชันมุมฉาก

ลักษณะเฉพาะของการวัดสเปกตรัมพลังงานคือระยะเวลาที่สำคัญของการทดลอง บ่อยครั้งมันเกินระยะเวลาของการดำรงอยู่ของการดำเนินการ หรือเวลาที่ความคงที่ของกระบวนการภายใต้การศึกษายังคงอยู่ การประมาณสเปกตรัมกำลังไฟฟ้าที่ได้รับจากการนำกระบวนการตามหลักสรีรศาสตร์ที่อยู่กับที่ครั้งหนึ่งไปใช้นั้นไม่เป็นที่ยอมรับเสมอไป บ่อยครั้งที่จำเป็นต้องทำการวัดจำนวนมาก เนื่องจากจำเป็นต้องหาค่าเฉลี่ยของการรับรู้ทั้งในช่วงเวลาและโดยรวมทั้งหมด ในหลายกรณี การใช้งานกระบวนการสุ่มภายใต้การศึกษาจะถูกจดจำไว้ล่วงหน้า ซึ่งทำให้สามารถทำซ้ำการทดลองได้หลายครั้งโดยเปลี่ยนระยะเวลาของการวิเคราะห์ โดยใช้อัลกอริธึมและอุปกรณ์การประมวลผลที่แตกต่างกัน

ในกรณีของการบันทึกเบื้องต้นของการใช้งานกระบวนการสุ่ม ข้อผิดพลาดของฮาร์ดแวร์สามารถลดลงเป็นค่าได้เนื่องจากระยะเวลาที่จำกัดของการใช้งานและการไม่อยู่กับที่

การจดจำการใช้งานที่วิเคราะห์แล้วช่วยให้คุณเร่งการวิเคราะห์ฮาร์ดแวร์และทำให้เป็นอัตโนมัติได้

ตัวแปรสุ่ม

ตัวแปรสุ่มอธิบายตามกฎความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็นที่ปริมาณต่อเนื่อง เอ็กซ์เมื่อวัดแล้วจะตกอยู่ในช่วงเวลาใด x1<х <х 2 ถูกกำหนดโดยนิพจน์:

, ที่ไหน พี(เอ็กซ์)- ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น และ สำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง x ผม P(x = x i)=P ผม, ที่ไหน พี ฉัน- ความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกับระดับ i-th ของปริมาณ เอ็กซ์

การบรรยายครั้งที่ 7

ความหนาแน่นพลังงานสเปกตรัมของกระบวนการสุ่ม

เมื่อเราหมายถึงกระบวนการสุ่มซึ่งเป็นชุด (ชุด) ของการตระหนักรู้ จำเป็นต้องจำไว้ว่าการตระหนักรู้ที่มีรูปร่างต่างกันจะสอดคล้องกับคุณลักษณะทางสเปกตรัมที่แตกต่างกัน การหาค่าเฉลี่ยความหนาแน่นของสเปกตรัมที่ซับซ้อนในการใช้งานทั้งหมดจะทำให้สเปกตรัมของกระบวนการเป็นศูนย์ (โดยค่าเฉลี่ย = 0) เนื่องจากการสุ่มและความเป็นอิสระของเฟสของส่วนประกอบสเปกตรัมในการใช้งานที่แตกต่างกัน อย่างไรก็ตาม มีความเป็นไปได้ที่จะแนะนำแนวคิดเรื่องความหนาแน่นสเปกตรัมของกำลังสองเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม เนื่องจากค่าของกำลังสองเฉลี่ยไม่ได้ขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์เฟสของฮาร์โมนิกแบบสรุป ถ้าฟังก์ชันสุ่ม x(t) หมายถึงแรงดันไฟฟ้าหรือกระแสไฟฟ้า ค่าเฉลี่ยกำลังสองของฟังก์ชันนี้ถือได้ว่าเป็นกำลังเฉลี่ยที่ปล่อยออกมาในความต้านทาน 1 โอห์ม กำลังนี้กระจายไปตามความถี่ในย่านความถี่หนึ่ง ขึ้นอยู่กับกลไกการก่อตัวของกระบวนการสุ่ม ความหนาแน่นสเปกตรัมกำลังเฉลี่ยคือกำลังเฉลี่ยต่อเฮิรตซ์ที่ความถี่ที่กำหนด ω - ความหนาแน่นของสเปกตรัมที่แนะนำในลักษณะนี้ ส(ω) ต่อไปนี้เราจะเรียกว่าสเปกตรัมพลังงานของฟังก์ชัน x(ที) - ความหมายของชื่อนี้ถูกกำหนดโดยมิติของฟังก์ชัน ส(ω) ซึ่งเป็นอัตราส่วนของกำลังต่อย่านความถี่:

[ส(ω) ] = [ กำลัง/แบนด์วิธ ] = [กำลัง×เวลา] = [พลังงาน]

สเปกตรัมพลังงานสามารถพบได้หากทราบกลไกการก่อตัวของกระบวนการสุ่ม ในที่นี้เราจะจำกัดตัวเองให้อยู่แค่คำจำกัดความทั่วไปบางประการเท่านั้น

วิธีการคำนวณ PSD

ฟังก์ชันความหนาแน่นสเปกตรัมสามารถกำหนดได้ด้วยวิธีที่เทียบเท่ากันสามวิธี ซึ่งเราจะดูด้านล่าง:

การใช้ฟังก์ชันความแปรปรวนร่วม

การใช้การแปลงฟูริเยร์อันจำกัด

การใช้การกรอง การยกกำลังสอง และการหาค่าเฉลี่ย

การหาสเปกตรัมโดยใช้ฟังก์ชันสหสัมพันธ์

ในอดีต วิธีแรกในการกำหนดความหนาแน่นของสเปกตรัมปรากฏในคณิตศาสตร์ ประกอบด้วยการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันสหสัมพันธ์ที่คำนวณไว้ล่วงหน้า หลังจากลบค่าเฉลี่ยแล้ว การแปลงฟูริเยร์ (อนันต์) ดังกล่าวมักจะมีอยู่ แม้ว่าการแปลงฟูริเยร์ (อนันต์) ของกระบวนการดั้งเดิมจะไม่มีอยู่ก็ตาม วิธีการนี้ให้ความหนาแน่นสเปกตรัมสองด้านที่กำหนดไว้สำหรับความถี่ ฉจาก - ถึง + และแสดงแทน ส(ฉ) .

ให้มีฟังก์ชันสหสัมพันธ์และสหสัมพันธ์ข้าม รับ(ที), รี่(ที) และ ร็อกซี่(ที) - ให้เราสมมติด้วยว่าอินทิกรัลของค่าสัมบูรณ์นั้นมีขอบเขตจำกัด

ร( ง

ในทางปฏิบัติ เงื่อนไขเหล่านี้จะเป็นไปตามการใช้งานที่มีความยาวจำกัดเสมอ จากนั้นฟังก์ชัน PF ร(ที) มีอยู่และถูกกำหนดโดยสูตร

ส x (ฉ)=

ส (ฉ)= (1)

สxy(f)=

อินทิกรัลเหนือการตระหนักรู้อันจำกัดนั้นมีอยู่เสมอ ฟังก์ชั่น ส(ฉ) และ เอสวาย(ฉ) เรียกว่าฟังก์ชันของความหนาแน่นสเปกตรัมของกระบวนการ x(ที) และ ย(ที) ตามลำดับ หรือเพียงแค่ความหนาแน่นของสเปกตรัม และฟังก์ชัน เรียกว่าความหนาแน่นสเปกตรัมร่วมกันของกระบวนการทั้งสอง x(ที) และ ย(ที) .

ผกผัน PF จากสูตร (1) ให้

รับ(τ ) =

รี่(τ ) = (2)

ร็อกซี่(τ ) = df.

ความสัมพันธ์ (1) และ (2) เรียกว่าสูตร Wiener-Khinchin ซึ่งในยุค 30 ได้สร้างการเชื่อมโยงระหว่างฟังก์ชันสหสัมพันธ์และความหนาแน่นของสเปกตรัมผ่าน PF อย่างเป็นอิสระ เมื่อแก้ไขปัญหาเชิงปฏิบัติต้องยอมให้ ร(ที) และ ส(ฉ) การมีอยู่ของฟังก์ชันเดลต้า

จากคุณสมบัติสมมาตรของฟังก์ชันความแปรปรวนร่วมคงที่จะเป็นไปตามนี้

ส x (-ฉ)= ส x (ฉ)ก ส xy (-f) = ส x (f)

ดังนั้นความหนาแน่นของสเปกตรัม ส(ฉ) เป็นฟังก์ชันคู่จริง, a เอส เอ็กซ์(ฉ) – ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนจาก ฉ.

จากนั้นความสัมพันธ์ทางสเปกตรัมจาก (1) สามารถเปลี่ยนเป็นรูปแบบได้

การประมาณความหนาแน่นสเปกตรัมกำลังเป็นปัญหาที่รู้จักกันดีสำหรับกระบวนการสุ่ม ตัวอย่างของกระบวนการสุ่ม ได้แก่ สัญญาณรบกวน และสัญญาณที่นำข้อมูล โดยปกติแล้วคุณจะต้องค้นหาค่าประมาณที่เสถียรทางสถิติ การวิเคราะห์สัญญาณมีรายละเอียดครอบคลุมอยู่ในหลักสูตรการประมวลผลสัญญาณดิจิทัล ข้อมูลเบื้องต้นจะถูกนำเสนอใน

สำหรับสัญญาณที่ทราบคุณลักษณะทางสถิติ องค์ประกอบสเปกตรัมสามารถกำหนดได้จากช่วงที่จำกัดของสัญญาณนี้ หากไม่ทราบลักษณะทางสถิติของสัญญาณ จะสามารถรับค่าประมาณสเปกตรัมได้จากส่วนของสัญญาณเท่านั้น วิธีการที่แตกต่างกันใช้สมมติฐานที่แตกต่างกัน ดังนั้นจึงให้การประมาณค่าที่แตกต่างกัน

เมื่อเลือกค่าประมาณ จะถือว่าในกรณีทั่วไป สัญญาณที่กำลังวิเคราะห์เป็นกระบวนการสุ่ม และจำเป็นต้องเลือกการประมาณค่าที่เป็นกลางโดยมีการกระจายตัวต่ำ ซึ่งช่วยให้สามารถหาค่าเฉลี่ยสเปกตรัมของสัญญาณได้ อคติคือความแตกต่างระหว่างค่าประมาณเฉลี่ยและมูลค่าที่แท้จริงของปริมาณ ตัวประมาณค่าที่ไม่เอนเอียงคือตัวประมาณค่าที่ไม่มีอคติ การประมาณค่าที่มีความแปรปรวนต่ำจะจำกัดปริมาณที่ต้องการได้ดี เช่น ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นจะกระจุกตัวอยู่ที่ค่าเฉลี่ย ขอแนะนำให้ทำการประเมินอย่างสม่ำเสมอ เช่น การประมาณการที่มีแนวโน้มที่จะเป็นค่าจริงเมื่อขนาดตัวอย่างเพิ่มขึ้น (อคติและความแปรปรวนมีแนวโน้มเป็นศูนย์) มีการประมาณค่าแบบพารามิเตอร์ ซึ่งใช้เฉพาะข้อมูลเกี่ยวกับสัญญาณเท่านั้น และการประมาณแบบไม่มีพารามิเตอร์ ซึ่งใช้แบบจำลองทางสถิติของสัญญาณสุ่มและเลือกพารามิเตอร์ของแบบจำลองนี้

เมื่อประมาณค่ากระบวนการสุ่ม การใช้ฟังก์ชันสหสัมพันธ์เป็นเรื่องปกติ

สำหรับกระบวนการตามหลักการยศาสตร์ เป็นไปได้ที่จะกำหนดพารามิเตอร์ทางสถิติของกระบวนการโดยการหาค่าเฉลี่ยมากกว่าหนึ่งการใช้งาน

สำหรับ กระบวนการสุ่มแบบคงที่ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ R x (t) ขึ้นอยู่กับช่วงเวลาที่กำหนด ปริมาณนี้แสดงลักษณะความสัมพันธ์ระหว่างค่าของ x(t) คั่นด้วยช่วง t ยิ่ง R(t) ช้าลงเท่าใด ช่วงเวลาที่สังเกตความสัมพันธ์ทางสถิติระหว่างค่าของกระบวนการสุ่มก็จะยิ่งนานขึ้นเท่านั้น

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของ x(t) อยู่ที่ไหน

ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันสหสัมพันธ์ R(t) และความหนาแน่นสเปกตรัมกำลัง W(w) สำหรับกระบวนการสุ่มถูกกำหนดโดยทฤษฎีบท Wiener-Khinchin

สำหรับกระบวนการที่ไม่ต่อเนื่อง ทฤษฎีบท Wiener-Khinchin จะสร้างการเชื่อมโยงระหว่างสเปกตรัมของกระบวนการสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง W(w) และฟังก์ชันสหสัมพันธ์ R x (n)

W(w)= R x (n) ประสบการณ์(-j w n T)

ในการประมาณค่าพลังงานสัญญาณในโดเมนเวลาและความถี่ จะใช้ความเท่าเทียมกันของพาร์เซวัล

วิธีทั่วไปวิธีหนึ่งในการประมาณความหนาแน่นของสเปกตรัมคือการใช้วิธีปริมาแกรม

พีเรียโดแกรมในวิธีนี้ จะมีการดำเนินการแปลงฟูริเยร์แบบแยกสำหรับสัญญาณ x(n) ซึ่งระบุที่จุดตัวอย่างแยกความยาว N ตัวอย่างและการหาค่าเฉลี่ยทางสถิติ การคำนวณจริงของสเปกตรัม X(k) จะดำเนินการที่จุดความถี่ N จำนวนจำกัดเท่านั้น โดยจะใช้การแปลงฟูเรียร์แบบเร็ว (FFT) คำนวณความหนาแน่นของสเปกตรัมกำลังต่อตัวอย่าง:

P xx (X k)=|X(k)| 2 /N, X(k)= , k=0.1,…,N-1

เพื่อให้ได้ค่าประมาณที่เสถียรทางสถิติ ข้อมูลที่มีอยู่จะถูกแบ่งออกเป็นตัวอย่างที่ทับซ้อนกัน ตามด้วยค่าเฉลี่ยของสเปกตรัมที่ได้รับสำหรับแต่ละตัวอย่าง จำนวนตัวอย่างต่อตัวอย่าง N และการเปลี่ยนแปลงของจุดเริ่มต้นของตัวอย่างที่ตามมาแต่ละรายการสัมพันธ์กับจุดเริ่มต้นของ N t ก่อนหน้า ยิ่งจำนวนตัวอย่างในกลุ่มตัวอย่างน้อยลงเท่าใด ตัวอย่างก็จะยิ่งมากขึ้นและความแปรปรวนของการประมาณการก็จะน้อยลงเท่านั้น แต่เนื่องจากความยาวตัวอย่าง N สัมพันธ์กับความละเอียดความถี่ (2.4) ความยาวของตัวอย่างที่ลดลงจึงทำให้ความละเอียดความถี่ลดลง

ดังนั้นสัญญาณจึงถูกมองผ่านหน้าต่าง และข้อมูลที่ไม่อยู่ในหน้าต่างจะถือเป็นศูนย์ สัญญาณจำกัด x(n) ที่ประกอบด้วยตัวอย่าง N มักจะแสดงเป็นผลจากการคูณสัญญาณที่มีเวลาไม่สิ้นสุด (น)ไปที่หน้าต่างสี่เหลี่ยมที่มีความยาวจำกัด w R (n):

x(เอ็น) = (น)∙w R (n)

และสเปกตรัมต่อเนื่อง X N (f) ของสัญญาณที่สังเกตได้ x (n) ถูกกำหนดให้เป็นการบิดของภาพฟูริเยร์ X (f), W R (f) ของสัญญาณที่ไม่มีที่สิ้นสุดในเวลา (น)∙และหน้าต่างด้วย R (n)

X ยังไม่มีข้อความ (ฉ)=X(ฉ)*W R (ฉ)=

สเปกตรัมของหน้าต่างสี่เหลี่ยมต่อเนื่องกัน (สี่เหลี่ยม) มีรูปแบบของอินทิกรัลไซน์ sinc(x)=sin(x)/x ประกอบด้วยกลีบหลักและกลีบด้านข้างหลายกลีบ โดยกลีบที่ใหญ่ที่สุดจะอยู่ใต้จุดสูงสุดหลักประมาณ 13 dB (ดูรูปที่ 15)

ภาพฟูริเยร์ (สเปกตรัม) ของลำดับแบบไม่ต่อเนื่องที่ได้จากการสุ่มตัวอย่าง N-point ของหน้าต่างสี่เหลี่ยมต่อเนื่องจะแสดงในรูปที่ 32 สามารถคำนวณได้โดยการรวมไซน์อินทิกรัลที่ถูกเลื่อน (2.9) ซึ่งส่งผลให้ได้เคอร์เนลไดริชเลต์

ข้าว. 32. สเปกตรัมของหน้าต่างสี่เหลี่ยมแยก

ในขณะที่สัญญาณที่มีความยาวไม่สิ้นสุดจะรวมพลังของมันอย่างแม่นยำที่ความถี่แยก f k สัญญาณตัวอย่างคลื่นสี่เหลี่ยมจะมีสเปกตรัมพลังงานแบบกระจาย ยิ่งตัวอย่างสั้น สเปกตรัมก็จะยิ่งกระจายมากขึ้น

ในการวิเคราะห์สเปกตรัม ข้อมูลจะถูกถ่วงน้ำหนักโดยใช้ฟังก์ชันหน้าต่าง ซึ่งจะช่วยลดอิทธิพลของ "กลีบ" ด้านข้างต่อการประมาณสเปกตรัม

ในการตรวจจับฮาร์โมนิคสองตัว f 1 และ f 2 ที่มีความถี่ใกล้เคียงกัน จำเป็นที่สำหรับกรอบเวลา T ความกว้างของ "กลีบ" หลัก Df -3 data Df L =0 =1/T ซึ่งกำหนดไว้ที่ค่า -3 dB น้อยกว่าค่าความต่างของความถี่ที่ต้องการ

DF=ฉ 1 -f 2 > DF -3

ความกว้างของกรอบเวลา T สัมพันธ์กับความถี่ในการสุ่มตัวอย่าง fs และจำนวนตัวอย่างตามสูตร (2.4)

เครื่องมือวิเคราะห์ฮาร์มอนิก- สำหรับการศึกษาสัญญาณ จะสะดวกมากที่จะใช้แพ็คเกจ MATLAB โดยเฉพาะการประมวลผลสัญญาณแอปพลิเคชัน (กล่องเครื่องมือ)

พีเรียโดแกรมที่แก้ไขแล้วใช้ฟังก์ชันหน้าต่างที่ไม่ใช่สี่เหลี่ยมซึ่งจะลดเอฟเฟกต์ Gibbs ตัวอย่างคือการใช้หน้าต่าง Hamming แต่ในขณะเดียวกัน ความกว้างของกลีบหลักของสเปกโตรแกรมก็เพิ่มขึ้นประมาณสองเท่า หน้าต่าง Kaiser ได้รับการปรับให้เหมาะสมมากขึ้นเล็กน้อย การเพิ่มความกว้างของกลีบหลักเมื่อสร้างตัวกรองความถี่ต่ำผ่าน จะทำให้แถบการเปลี่ยนผ่านเพิ่มขึ้น (ระหว่างแถบผ่านและแถบหยุด)

ฟังก์ชั่นการให้คะแนนของเวลช์- วิธีการประกอบด้วยการแบ่งข้อมูลเวลาตามลำดับออกเป็นส่วนๆ (อาจทับซ้อนกัน) จากนั้นจึงประมวลผลแต่ละส่วน จากนั้นประมาณค่าสเปกตรัมโดยการหาค่าเฉลี่ยผลลัพธ์ของการประมวลผลส่วนต่างๆ สามารถใช้ฟังก์ชันหน้าต่างที่ไม่ใช่สี่เหลี่ยม เช่น หน้าต่าง Hamming เพื่อปรับปรุงการประมาณค่าได้ การเพิ่มจำนวนเซ็กเมนต์จะช่วยลดการกระจายตัว แต่ในขณะเดียวกันความละเอียดความถี่ของวิธีการก็ลดลง วิธีการนี้ให้ผลลัพธ์ที่ดีโดยให้สัญญาณที่มีประโยชน์เหนือสัญญาณรบกวนมากเกินไปเล็กน้อย และมักใช้ในทางปฏิบัติ

รูปที่ 33 แสดงการประมาณองค์ประกอบฮาร์มอนิกสำหรับข้อมูลที่มีสัญญาณที่เป็นประโยชน์ในย่านความถี่แคบและเสียงสีขาว โดยมีตัวอย่างที่แตกต่างกัน (N=100, N=67) และการใช้วิธีการที่แตกต่างกัน

ข้าว. 33. การประมาณค่าฮาร์โมนิกของสัญญาณสำหรับการแปลง FFT 1,024 จุด

วิธีการแบบพาราเมตริกใช้โมเดลการถดถอยอัตโนมัติ (AR) วิธีการสร้างแบบจำลองตัวกรองและใช้เพื่อประมาณสเปกตรัมสัญญาณ วิธีการทั้งหมดเมื่อมีเสียงรบกวนในสัญญาณ ให้การประมาณค่าแบบเอนเอียง วิธีการนี้มีไว้สำหรับการประมวลผลสัญญาณที่มีส่วนประกอบฮาร์มอนิกกับพื้นหลังของสัญญาณรบกวน ลำดับของวิธีการ (ตัวกรอง) ถูกตั้งค่าเป็นสองเท่าของจำนวนฮาร์โมนิกที่มีอยู่ในสัญญาณ มีการเสนอวิธีการแบบพาราเมตริกหลายวิธี

วิธี Burg ให้ความละเอียดความถี่สูงสำหรับตัวอย่างขนาดสั้น ด้วยลำดับตัวกรองขนาดใหญ่ พีคสเปกตรัมจะถูกแยกออก ตำแหน่งของพีคสเปกตรัมจะขึ้นอยู่กับเฟสฮาร์มอนิกเริ่มต้น

วิธีความแปรปรวนร่วมทำให้คุณสามารถประมาณสเปกตรัมของสัญญาณที่มีผลรวมของส่วนประกอบฮาร์มอนิกได้

วิธี Yule-Walker ให้ผลลัพธ์ที่ดีกับตัวอย่างขนาดยาว และไม่แนะนำสำหรับตัวอย่างขนาดสั้น

วิธีความสัมพันธ์- วิธี MISIC (การจำแนกสัญญาณหลายสัญญาณ) และ EV (เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ) ให้ผลลัพธ์ในรูปแบบของสเปกตรัมเทียม วิธีการนี้ขึ้นอยู่กับการวิเคราะห์เวกเตอร์ของเมทริกซ์สหสัมพันธ์ของสัญญาณ วิธีการเหล่านี้ให้ความละเอียดความถี่ที่ดีกว่าวิธีความสัมพันธ์อัตโนมัติเล็กน้อย