มาทำความคุ้นเคยกับแนวคิดของการซ้อน (หรือการวางตำแหน่ง) ของฟังก์ชันซึ่งประกอบด้วยการแทนที่ฟังก์ชันจากอาร์กิวเมนต์อื่นแทนที่จะเป็นอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันที่กำหนด ตัวอย่างเช่น การซ้อนทับของฟังก์ชันจะให้ฟังก์ชัน และฟังก์ชันก็จะได้รับในทำนองเดียวกัน

โดยทั่วไป สมมติว่าฟังก์ชันถูกกำหนดไว้ในโดเมนหนึ่งและฟังก์ชันถูกกำหนดไว้ในโดเมนและค่าของฟังก์ชันนั้นทั้งหมดมีอยู่ในโดเมน ดังนั้นตัวแปร z อย่างที่พวกเขาพูดผ่าน y นั้นเป็นฟังก์ชันของตัวมันเอง

เมื่อพิจารณาค่าที่กำหนดก่อนอื่นพวกเขาจะค้นหาค่า y ที่สอดคล้องกับค่านั้น (ตามกฎที่มีเครื่องหมาย) จากนั้นตั้งค่าที่สอดคล้องกัน y (ตามกฎ

โดดเด่นด้วยเครื่องหมาย ค่าของมันจะถือว่าสอดคล้องกับ x ที่เลือก ได้รับฟังก์ชันจากฟังก์ชันหรือ ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนและเป็นผลจากการทับซ้อนของฟังก์ชัน

สมมติฐานที่ว่าค่าของฟังก์ชันไม่เกินขอบเขตของขอบเขต Y ที่กำหนดฟังก์ชันนั้นมีความสำคัญมาก: หากละเว้นก็อาจส่งผลให้เกิดความไร้สาระได้ ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเราสามารถพิจารณาเฉพาะค่า x เหล่านั้นเท่านั้น ซึ่งไม่เช่นนั้นนิพจน์จะไม่สมเหตุสมผล

เราพิจารณาว่าการเน้นย้ำในที่นี้ว่าการจำแนกลักษณะของฟังก์ชันเชิงซ้อนนั้นมีประโยชน์ไม่เกี่ยวข้องกับธรรมชาติของการพึ่งพาฟังก์ชันของ z บน x แต่เฉพาะกับวิธีระบุการพึ่งพานี้เท่านั้น ตัวอย่างเช่น ให้ for y เข้าสำหรับ then

ที่นี่ฟังก์ชันถูกระบุว่าเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อน

เมื่อเข้าใจแนวคิดเรื่องการซ้อนทับของฟังก์ชันอย่างสมบูรณ์แล้ว เราก็สามารถอธิบายลักษณะฟังก์ชันที่ง่ายที่สุดของคลาสฟังก์ชันที่ศึกษาในการวิเคราะห์ได้อย่างแม่นยำ ประการแรกคือฟังก์ชันพื้นฐานที่ระบุไว้ข้างต้น จากนั้นทั้งหมดที่ได้รับจากฟังก์ชันเหล่านั้น โดยใช้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์สี่รายการและการซ้อนทับ และใช้จำนวนจำกัดต่อเนื่องกัน กล่าวกันว่าแสดงออกผ่านระดับประถมศึกษาในรูปแบบสุดท้าย บางครั้งพวกเขาก็เรียกว่าระดับประถมศึกษา

ต่อจากนั้นเมื่อเชี่ยวชาญเครื่องมือวิเคราะห์ที่ซับซ้อนมากขึ้น (อนุกรมอนันต์, อินทิกรัล) เราจะทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันอื่น ๆ ที่มีบทบาทสำคัญในการวิเคราะห์ด้วย แต่ไปไกลกว่าคลาสของฟังก์ชันพื้นฐานแล้ว

ให้มีชุดบ้าง. เคซึ่งประกอบด้วยจำนวนจำกัด ฟังก์ชันบูลีน- การทับซ้อนของฟังก์ชันจากชุดนี้คือฟังก์ชันใหม่ที่ได้รับจากการดำเนินการสองรายการในจำนวนจำกัด

คุณสามารถเปลี่ยนชื่อตัวแปรใด ๆ ที่รวมอยู่ในฟังก์ชันได้ เค;

แทนที่จะใส่ตัวแปรใดๆ คุณสามารถใส่ฟังก์ชันจากเซตได้ เคหรือการทับซ้อนที่เกิดขึ้นก่อนหน้านี้

การซ้อนเรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันเชิงซ้อน

ตัวอย่าง 7. 1. หากได้รับหนึ่งฟังก์ชัน เอ็กซ์|ย(Schaeffer stroke) แล้วการซ้อนทับโดยเฉพาะจะมีฟังก์ชันดังต่อไปนี้ x|x,x|(x|y),x|(ใช่|z) ฯลฯ

โดยปิดชุดฟังก์ชันจาก เคเรียกว่าเซตของการทับซ้อนทั้งหมด คลาสฟังก์ชัน เคเรียกว่า ปิดหากการปิดเกิดขึ้นพร้อมกับตัวมันเอง

เรียกว่าชุดของฟังก์ชัน สมบูรณ์หากการปิดเกิดขึ้นพร้อมกับฟังก์ชันลอจิคัลทั้งหมด กล่าวอีกนัยหนึ่ง ชุดที่สมบูรณ์คือชุดของฟังก์ชันดังกล่าวซึ่งสามารถแสดงฟังก์ชันบูลีนอื่นๆ ทั้งหมดได้

ชุดฟังก์ชันที่สมบูรณ์แบบไม่ซ้ำซ้อนเรียกว่าพื้นฐาน(“ไม่ซ้ำซ้อน” หมายความว่าหากฟังก์ชันบางอย่างถูกลบออกจากชุด ชุดนี้จะไม่สมบูรณ์อีกต่อไป)

ตัวอย่าง 7.2. การสันธาน การแตกแยก และการปฏิเสธเป็นชุดที่สมบูรณ์ (เรามั่นใจในสิ่งนี้ในบทที่ 5) แต่ไม่ใช่พื้นฐาน เนื่องจากชุดนี้ซ้ำซ้อน เนื่องจากการใช้กฎของ De Morgan เราสามารถลบคำร่วมหรือการแยกส่วนออกได้ ฟังก์ชันใดๆ สามารถแสดงเป็นพหุนาม Zhegalkin ได้ (ส่วนที่ 6) เห็นได้ชัดว่าฟังก์ชันร่วม การบวกโมดูโล 2 และค่าคงที่ 0 และ 1 เป็นเซตที่สมบูรณ์ แต่ฟังก์ชันทั้งสี่นี้ไม่ใช่พื้นฐานเช่นกัน เนื่องจาก 1+1=0 ดังนั้นค่าคงที่ 0 จึงสามารถแยกออกจากค่าสมบูรณ์ได้ set (สำหรับการสร้างพหุนาม จำเป็นต้องมีค่าคงที่ของ Zhegalkin 0 เนื่องจากนิพจน์ “1+1” ไม่ใช่พหุนาม Zhegalkin)

จะเห็นได้ง่ายว่าวิธีหนึ่งในการตรวจสอบความสมบูรณ์ของชุดบางชุด ถึงคือการตรวจสอบว่าฟังก์ชันของอีกเซตหนึ่งแสดงผ่านฟังก์ชันจากเซตนี้ (คุณสามารถตรวจสอบได้ผ่านฟังก์ชันจาก ถึงเราสามารถแสดงการเชื่อมโยงและการปฏิเสธหรือการแยกและการปฏิเสธได้

มีฟังก์ชันต่างๆ ที่ฟังก์ชันดังกล่าวเป็นฟังก์ชันพื้นฐาน (ในที่นี้ก็เพียงพอที่จะตรวจสอบความสมบูรณ์เท่านั้น การไม่ซ้ำซ้อนจะเห็นได้ชัด) ฟังก์ชันดังกล่าวเรียกว่าฟังก์ชันเชฟเฟอร์ ชื่อนี้เกิดจากการที่จังหวะ Schaeffer เป็นพื้นฐาน โปรดจำไว้ว่ามีการกำหนดจังหวะ Schaeffer ตารางต่อไปนี้ความจริง:

เนื่องจากเห็นได้ชัดว่า กล่าวคือ การปฏิเสธเป็นการซ้อนทับของจังหวะ Schaeffer และการแยกออกจากกัน จังหวะ Schaeffer ก็เป็นพื้นฐานเช่นกัน ในทำนองเดียวกัน ลูกศร Peirce ก็เป็นฟังก์ชัน Scheffer (นักเรียนสามารถตรวจสอบได้ด้วยตนเอง) สำหรับฟังก์ชันที่มีตัวแปรตั้งแต่ 3 ตัวขึ้นไป จะมีฟังก์ชัน Sheffer จำนวนมาก (แน่นอนว่า การแสดงฟังก์ชันบูลีนอื่นๆ ผ่านฟังก์ชัน Sheffer ของตัวแปรจำนวนมากนั้นเป็นเรื่องยาก ดังนั้นจึงไม่ค่อยมีใครใช้ในเทคโนโลยี)

โปรดทราบว่าอุปกรณ์คอมพิวเตอร์ส่วนใหญ่มักจะใช้ฟังก์ชันครบชุด (มักอยู่บนฐาน) หากอุปกรณ์อยู่บนพื้นฐานของการเชื่อมโยง การแยกและการปฏิเสธ ปัญหาในการลด DNF ให้เหลือน้อยที่สุดก็มีความสำคัญสำหรับอุปกรณ์เหล่านี้ หากอุปกรณ์ใช้ฟังก์ชันอื่น จะมีประโยชน์ที่จะสามารถย่อขนาดนิพจน์โดยใช้อัลกอริทึมให้เหลือน้อยที่สุดผ่านฟังก์ชันเหล่านี้ได้

ตอนนี้เรามาดูการชี้แจงความสมบูรณ์ของชุดฟังก์ชันเฉพาะกันดีกว่า เพื่อที่จะทำสิ่งนี้ เราจะแสดงรายการฟังก์ชันที่สำคัญที่สุด 5 คลาส:

• ต 0 คือเซตของทั้งหมดนั้น ฟังก์ชันลอจิคัลซึ่งรับค่า 0 บนชุดศูนย์ ( ต 0 คือคลาสฟังก์ชัน การเก็บรักษา 0);
• ต 1 คือเซตของฟังก์ชันลอจิคัลทั้งหมดที่รับค่า 1 บนชุดหน่วย ( ต 1 คือคลาสฟังก์ชัน หน่วยอนุรักษ์) (โปรดทราบว่าจำนวนฟังก์ชันจาก nตัวแปรที่อยู่ในคลาส T 0 และ T 1 เท่ากับ 2 2n-1)
• ล- ระดับ เชิงเส้นฟังก์ชั่นเช่น ฟังก์ชั่นที่พหุนาม Zhegalkin มีเพียงตัวแปรระดับแรกเท่านั้น
• ม- ระดับ ซ้ำซากจำเจฟังก์ชั่น ให้เราอธิบายคลาสของฟังก์ชันเหล่านี้โดยละเอียดยิ่งขึ้น ให้มี 2 ชุด. nตัวแปร: s1 = (x 1, x 2,..., xn)

ส 1 = ( เอ็กซ์ 1 , เอ็กซ์ 2 , … , เอ็กซ์เอ็น) และส 2 = (ย 1 , ย 2, … , ใช่พี). เราจะบอกว่าเซตs 1 น้อยกว่าเซต s 2 (s 1 £ s 2 ) ถ้าทั้งหมด x ฉัน £ ฉันแน่นอนว่าไม่ใช่ทุกชุดจากnตัวแปรสามารถเปรียบเทียบกันได้ (เช่น เมื่อน= 2 เซต (0,1) และ (1,0) เทียบกันไม่ได้) ฟังก์ชั่นจากnตัวแปรถูกเรียกว่าซ้ำซากจำเจ, หากชุดที่เล็กกว่าจะใช้ค่าน้อยกว่าหรือเท่ากัน แน่นอนว่า อสมการเหล่านี้ควรทดสอบกับเซตที่เทียบเคียงได้เท่านั้น เห็นได้ชัดว่าเซตที่ไม่มีใครเทียบได้คือเซตที่มีพิกัดบางประเภท (0,1) ในชุดหนึ่งและ (1,0) ในอีกชุดหนึ่งในตำแหน่งที่สอดคล้องกัน (ในทางคณิตศาสตร์แยก ฟังก์ชันโมโนโทนก็เหมือนกับ "ฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจ" ”, ฟังก์ชั่น “การลดลงแบบซ้ำซากจำเจ” จะไม่ได้รับการพิจารณาที่นี่)

ตัวอย่าง. ในตารางต่อไปนี้จะมีฟังก์ชันต่างๆ ฉ 1 ,ฉ 2 คือฟังก์ชันโมโนโทน และฟังก์ชัน ฉ 3 ,ฉ 4 - เลขที่.

ลำดับธรรมชาติของตัวแปรรับประกันได้ว่าหากชุดบางชุดมีขนาดเล็กกว่าอีกชุดหนึ่ง ก็จำเป็นต้องอยู่ในตารางความจริง สูงกว่าชุด "ใหญ่" นั่นเป็นเหตุผล ถ้าอยู่ในตารางความจริง()มีเลขศูนย์อยู่ด้านบน,แล้วก็หน่วย,ดังนั้นฟังก์ชันนี้จึงเป็นแบบโมโนโทนิคอย่างแน่นอน.อย่างไรก็ตาม การผกผันเป็นไปได้ กล่าวคือ การกลับรายการเกิดขึ้นก่อนศูนย์บางตัว, แต่ฟังก์ชั่นยังคงซ้ำซากจำเจ(ในกรณีนี้ ชุดที่สอดคล้องกับศูนย์ "บน" และ "ล่าง" ควรเป็น หาที่เปรียบมิได้; เราสามารถตรวจสอบได้ว่าฟังก์ชันที่กำหนดโดยตารางความจริง ด้วยลำดับธรรมชาติของเซตของตัวแปร(00010101) เป็นแบบโมโนโทนิก);

ทฤษฎีบท .คลาสฟังก์ชัน T 0 ,ต 1 ,ล,ม,ส ปิดแล้ว.

ข้อความนี้ตามโดยตรงจากคำจำกัดความของคลาสเหล่านี้เอง เช่นเดียวกับจากคำจำกัดความของความปิด

ในทฤษฎีของฟังก์ชันบูลีน ทฤษฎีบทโพสต์ต่อไปนี้มีความสำคัญมาก

ทฤษฎีบทของโพสต์ .เพื่อให้ชุดฟังก์ชัน K บางชุดสมบูรณ์ จำเป็นและเพียงพอที่จะรวมฟังก์ชันที่ไม่ได้อยู่ในแต่ละคลาส T 0 ,ต 1 ,ล,ม,ส.

โปรดทราบว่า อะไร ความจำเป็น นี้ งบ ชัดเจน ดังนั้น ยังไง ถ้า นั่นคือทั้งหมดที่ ฟังก์ชั่น จาก การสรรหาบุคลากร ถึงรวมอยู่ด้วย วี หนึ่ง จาก อยู่ในรายการ ชั้นเรียน, ที่ และ ทั้งหมด การซ้อนทับ, ก วิธี, และ ไฟฟ้าลัดวงจร การสรรหาบุคลากร รวมอยู่ด้วย จะ วี นี้ ระดับ และ ระดับ ถึงไม่ สามารถ เป็น เต็ม.

ความเพียงพอ นี้ งบ ได้รับการพิสูจน์แล้ว เพียงพอ ยาก, นั่นเป็นเหตุผล ไม่แสดงที่นี่

จากทฤษฎีบทนี้มีวิธีที่ค่อนข้างง่ายในการกำหนดความสมบูรณ์ของชุดฟังก์ชันบางชุด สำหรับแต่ละฟังก์ชันเหล่านี้ จะพิจารณาความเป็นสมาชิกในคลาสที่ระบุไว้ข้างต้น ผลลัพธ์จะถูกป้อนเข้าสู่สิ่งที่เรียกว่า โพสต์โต๊ะ(ในตัวอย่างของเรา ตารางนี้รวบรวมไว้สำหรับ 4 ฟังก์ชัน และเครื่องหมาย "+" ระบุว่าฟังก์ชันนั้นอยู่ในคลาสที่เกี่ยวข้อง เครื่องหมาย "-" หมายความว่าฟังก์ชันนั้นไม่รวมอยู่ในนั้น)

ตามทฤษฎีบทของ Post ชุดฟังก์ชันจะเสร็จสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อมีเครื่องหมายลบอย่างน้อยหนึ่งตัวในแต่ละคอลัมน์ของตาราง Post ดังนั้นจากตารางด้านบนจึงสรุปว่าฟังก์ชันทั้ง 4 อย่างนี้ประกอบกันเป็นเซตที่สมบูรณ์ แต่ฟังก์ชันเหล่านี้ไม่ใช่ฟังก์ชันพื้นฐาน จากฟังก์ชันเหล่านี้ คุณสามารถสร้างฐานได้ 2 ฐาน: ฉ 3 ,ฉ 1 และ ฉ 3 ,ฉ 2. ชุดสมบูรณ์คือชุดใด ๆ ที่มีพื้นฐานอยู่บ้าง

ตามมาจากตารางของ Post โดยตรงว่าจำนวนฟังก์ชันพื้นฐานต้องไม่เกิน 5 ไม่ใช่เรื่องยากที่จะพิสูจน์ว่าจริงๆ แล้วจำนวนนี้น้อยกว่าหรือเท่ากับ 4

ในชุมชนวิทยาศาสตร์ เรื่องตลกที่เป็นที่รู้จักกันอย่างแพร่หลายในหัวข้อนี้คือ "ความไม่เชิงเส้น" เปรียบเทียบกับ "ไม่ใช่ช้าง" - สิ่งมีชีวิตทั้งหมดที่ไม่ใช่ "ช้าง" ถือเป็น "ไม่ใช่ช้าง" ความคล้ายคลึงกันก็คือระบบและปรากฏการณ์ส่วนใหญ่ในโลกรอบตัวเรานั้นไม่เชิงเส้น โดยมีข้อยกเว้นบางประการ ตรงกันข้าม ในโรงเรียนเราถูกสอนให้คิดแบบ "เชิงเส้น" ซึ่งถือว่าแย่มากในแง่ของความพร้อมในการรับรู้ความไม่เชิงเส้นที่แพร่หลายของจักรวาล ไม่ว่าจะเป็นด้านกายภาพ ชีววิทยา จิตวิทยา หรือสังคม ความไม่เชิงเส้นมุ่งความสนใจไปที่ปัญหาหลักอย่างหนึ่งในการรับรู้โลกรอบข้างในตัวเอง เนื่องจากผลกระทบในมวลรวมนั้นไม่ได้สัดส่วนกับสาเหตุ สาเหตุสองประการเมื่อโต้ตอบกันนั้นไม่ได้เป็นการบวก กล่าวคือ ผลกระทบมีความซับซ้อนมากกว่า การซ้อนทับอย่างง่าย หน้าที่ของสาเหตุ นั่นคือ ผลที่เกิดจากการมีอยู่และอิทธิพลของสาเหตุสองประการที่กระทำพร้อม ๆ กัน ไม่ใช่ผลรวมของผลลัพธ์ที่ได้รับเมื่อมีแต่ละสาเหตุแยกกัน ในกรณีที่ไม่มีสาเหตุอื่น  

คำจำกัดความ 9. หากในช่วงเวลาหนึ่ง X มีการกำหนดฟังก์ชัน z-φ(lz) พร้อมชุดของค่า Z และฟังก์ชัน y =/(z) ถูกกำหนดไว้บนชุด Z ดังนั้นฟังก์ชัน y คือ ฟังก์ชันที่ซับซ้อนของ x (หรือการซ้อนทับของฟังก์ชัน) และตัวแปร z - ตัวแปรกลางของฟังก์ชันที่ซับซ้อน  

การควบคุมสามารถแสดงเป็นการซ้อนทับของฟังก์ชันการจัดการแบบคลาสสิกสามฟังก์ชัน ได้แก่ การบัญชี การควบคุม และการวิเคราะห์ (ย้อนหลัง) การควบคุมในฐานะฟังก์ชันการจัดการแบบรวมทำให้ไม่เพียงแต่สามารถเตรียมการตัดสินใจเท่านั้น แต่ยังช่วยให้มั่นใจในการควบคุมการดำเนินการโดยใช้เครื่องมือการจัดการที่เหมาะสมอีกด้วย  

ดังที่ทราบกันดีว่า /50/ ฟังก์ชันเวลาใดๆ สามารถแสดงเป็นการซ้อน (เซต) ของฟังก์ชันฮาร์มอนิกอย่างง่ายที่มีคาบ แอมพลิจูด และเฟสต่างกัน โดยทั่วไป P(t) = f(t)  

เฉพาะกาลหรือ การตอบสนองแรงกระตุ้นกำหนดโดยการทดลอง เมื่อใช้โดยใช้วิธีการซ้อนทับ โมเดลที่เลือกของอิทธิพลอินพุตจะถูกแยกย่อยเป็น "ฟังก์ชันของเวลา" เบื้องต้น จากนั้นจึงสรุปการตอบสนองต่อสิ่งเหล่านั้น การดำเนินการหลังบางครั้งเรียกว่าการบิด และอินทิกรัลในนิพจน์ ( 24) ... (29) เป็นอินทิกรัลแบบบิด จาก พวกเขาเลือกอันที่มีอินทิกรัลง่ายกว่า  

ทฤษฎีบทนี้จะลดปัญหาสุดขั้วแบบมีเงื่อนไขให้เหลือเพียงการซ้อนทับของปัญหาสุดขั้วแบบไม่มีเงื่อนไข จริงๆ แล้ว ให้เรานิยามฟังก์ชัน R (g)  

การซ้อนทับ ((>(f(x)) โดยที่ y(y) คือฟังก์ชันนูนที่ไม่ลดลงของตัวแปรหนึ่งตัว /(x) คือฟังก์ชันนูน คือฟังก์ชันนูน  

ตัวอย่างที่ 3.28 กลับไปที่ตัวอย่างที่ 3.27 ในรูป รูปที่ 3.24 แสดงผลลัพธ์ของการซ้อนทับของฟังก์ชันสมาชิกสองตัวที่สอดคล้องกับปริมาณที่มีอยู่ในตัวอย่างนี้ในรูปแบบของเส้นโค้งประประ เมื่อใช้ระดับจุดตัดที่ 0.7 จะได้ช่วงฟัซซี่บนแกน x ตอนนี้เราสามารถพูดได้ว่าผู้มอบหมายงานควรคาดหวังการเปลี่ยนแปลงแผน  

อีกวิธีหนึ่งในการกำหนดฟังก์ชัน F แตกต่างจากวิธีการซ้อนทับ คือ เมื่อตัวระบุปริมาณใดๆ ถูกนำไปใช้กับตัวระบุปริมาณอื่น การเปลี่ยนแปลงแบบโมโนโทนิกบางอย่างของฟังก์ชันสมาชิกดั้งเดิมจะเกิดขึ้น ซึ่งเกิดจากการยืดและเลื่อนค่าสูงสุดของฟังก์ชันในฟังก์ชันเดียว ทิศทางหรืออย่างอื่น  

ตัวอย่างที่ 3.29 ในรูป รูปที่ 3.25 แสดงผลลัพธ์สองรายการที่ได้รับโดยใช้การซ้อนทับและการเลื่อนแบบยืด สำหรับกรณีที่ XA และ X สอดคล้องกับปริมาณบ่อยครั้ง ความแตกต่างน่าจะเป็นว่าการซ้อนทับจะแยกค่าเหล่านั้นที่เกิดขึ้นบ่อยครั้งในฟังก์ชันการเป็นสมาชิก ในกรณีของการเลื่อนและยืด เราสามารถตีความผลลัพธ์ได้ว่าเป็นการปรากฏของตัวปริมาณใหม่ที่มีค่าบ่อยครั้ง ซึ่งสามารถประมาณตามค่าได้บ่อยครั้งมาก หากต้องการ  

แสดงว่าการซ้อนทับของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดและฟังก์ชันอรรถประโยชน์ที่แสดงถึงความสัมพันธ์ของการตั้งค่า > ยังเป็นฟังก์ชันอรรถประโยชน์ที่แสดงถึงความสัมพันธ์ของการตั้งค่านั้นด้วย ฟังก์ชันใดต่อไปนี้สามารถทำหน้าที่ในการแปลงเช่นนี้ได้  

ความสัมพันธ์ลำดับแรก (2) ไม่มีอะไรมากไปกว่าบันทึกของกฎซึ่งแต่ละฟังก์ชัน F(x) ที่อยู่ในตระกูลของฟังก์ชันต่อเนื่องอย่างแน่นอนที่ไม่ลดลงซ้ำซากจำเจจะสัมพันธ์กับฟังก์ชันต่อเนื่องเพียงฟังก์ชันเดียว w(j) กฎนี้เป็นเส้นตรงเช่น หลักการของการซ้อนทับนั้นเป็นจริงสำหรับเขา  

การพิสูจน์. ถ้าการแม็ป F มีความต่อเนื่อง ฟังก์ชัน M0 จะต่อเนื่องกันโดยเป็นการซ้อนทับของฟังก์ชันต่อเนื่อง เพื่อพิสูจน์ส่วนที่สองของข้อความ ให้พิจารณาฟังก์ชัน  

ฟังก์ชันที่ซับซ้อน (การซ้อนทับ)  

วิธีการแปลงฟังก์ชันยังเกี่ยวข้องกับการใช้แนวทางการศึกษาสำนึกด้วย ตัวอย่างเช่น การใช้การแปลงลอการิทึมเป็นตัวดำเนินการ B และ C นำไปสู่เกณฑ์ข้อมูลสำหรับการสร้างแบบจำลองที่สามารถระบุตัวได้และการใช้ เครื่องมืออันทรงพลังทฤษฎีสารสนเทศ ให้ตัวดำเนินการ B แทนการซ้อนทับของตัวดำเนินการคูณด้วยฟังก์ชัน (.) และเลื่อนด้วยฟังก์ชัน K0() ตัวดำเนินการ C คือตัวดำเนินการ  

ที่นี่เราจะสรุปผลลัพธ์ของการแก้ปัญหาเชิงแปรผันจำนวนหนึ่ง (1)-(3) พวกเขาได้รับการแก้ไขโดยวิธีการเรียงลำดับเชิงเส้น (19-21) ย้อนกลับไปในปี 1962-1963 เมื่อเทคโนโลยีของวิธีนี้เพิ่งเริ่มเป็นรูปเป็นร่างและกำลังถูกทดสอบ ดังนั้นเราจะเน้นเพียงรายละเอียดบางส่วนเท่านั้น ก่อนอื่น เราทราบว่าฟังก์ชัน C และ C2 ได้รับการระบุด้วยนิพจน์ที่ค่อนข้างซับซ้อน ซึ่งเป็นการซ้อนทับของฟังก์ชันเสริม รวมถึงฟังก์ชันที่ระบุในตารางด้วย ดังนั้นเมื่อแก้ระบบคอนจูเกต φ = -fx โดยใช้ฟังก์ชันที่ระบุในตาราง โดยทั่วไปแล้วตารางดังกล่าวจะมีค่าจำนวนเล็กน้อยสำหรับชุดโหนดในช่วงของการเปลี่ยนแปลงในอาร์กิวเมนต์อิสระและระหว่างนั้นฟังก์ชันจะถูกประมาณค่าเชิงเส้นเนื่องจากการใช้วิธีการแก้ไขที่แม่นยำยิ่งขึ้นนั้นไม่สมเหตุสมผลเนื่องจาก ความไม่ถูกต้องของค่าตารางเอง (ตามกฎแล้วตารางจะระบุการพึ่งพาการทำงานของลักษณะการทดลอง) อย่างไรก็ตาม เพื่อจุดประสงค์ของเรา เราต้องการฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ /(x, u) ดังนั้นเราจึงควรเลือกใช้วิธีที่ราบรื่นในการทำให้ฟังก์ชันที่ระบุในตารางสมบูรณ์ (เช่น การใช้เส้นโค้ง)  

ให้ตอนนี้ (DA และ (q) เป็นฟังก์ชันตามอำเภอใจที่สอดคล้องกับค่าบางค่าของตัวระบุความถี่ รูปที่ 3.23 แสดงเส้นโค้ง 1 humped สองเส้นที่สอดคล้องกับฟังก์ชันเหล่านี้ ผลลัพธ์ของการซ้อนทับคือเส้นโค้ง 2 humped แสดงโดย เส้นประ ความหมายของมันคืออะไรถ้าเช่น (ใช่มีน้อยมากและ (d - บ่อยครั้ง  

ข้อดีของวิธีการหา F นี้คือในระหว่างการแปลงแบบโมโนโทนิก รูปแบบของฟังก์ชันสมาชิกจะไม่เปลี่ยนแปลงอย่างมาก ความเป็นเอกภาพหรือความซ้ำซ้อนของมันยังคงอยู่ และการเปลี่ยนจากฟังก์ชันประเภทใหม่ (2.16) มีรูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมู จากนั้นการซ้อนทับเชิงเส้น (2.15) จะเป็นจำนวนฟัซซี่สี่เหลี่ยมคางหมู (ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ง่ายเมื่อใช้กฎการคำนวณเซ็กเมนต์) และเราสามารถลดการดำเนินการที่มีฟังก์ชันสมาชิกเป็นการดำเนินการที่มีจุดยอดได้ หากเราแสดงตัวเลขสี่เหลี่ยมคางหมู (2.16) เป็น (ab a2, az, a4) โดยที่ a สอดคล้องกับ abscissa ของจุดยอดของสี่เหลี่ยมคางหมูแล้ว  

การซ้อนทับของฟังก์ชัน

การซ้อนทับของฟังก์ชัน f1, ..., fm คือฟังก์ชัน f ที่ได้รับจากการแทนฟังก์ชันเหล่านี้เข้ากันและเปลี่ยนชื่อตัวแปร

ให้มีการแมปสองรายการ และยิ่งไปกว่านั้นคือเซตที่ไม่ว่าง จากนั้นการซ้อนหรือองค์ประกอบของฟังก์ชันก็คือฟังก์ชันที่กำหนดโดยความเท่าเทียมกันสำหรับทุก ๆ

โดเมนของคำจำกัดความของการซ้อนทับคือเซต

ฟังก์ชันนี้เรียกว่าฟังก์ชันด้านนอกและด้านในสำหรับการซ้อนทับ

ฟังก์ชันที่นำเสนอเป็นองค์ประกอบของฟังก์ชันที่ "ง่ายกว่า" เรียกว่าฟังก์ชันที่ซับซ้อน

ตัวอย่างของการใช้การซ้อนทับ ได้แก่ การแก้ระบบสมการด้วยการทดแทน การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ค้นหาค่าของนิพจน์พีชคณิตโดยการแทนที่ค่าของตัวแปรที่ระบุลงไป

ฟังก์ชันที่เกิดซ้ำ

การเรียกซ้ำเป็นวิธีการในการกำหนดฟังก์ชันซึ่งค่าของฟังก์ชันที่กำหนดไว้สำหรับค่าอาร์กิวเมนต์โดยพลการจะแสดงในลักษณะที่ทราบผ่านค่าของฟังก์ชันที่กำหนดสำหรับค่าอาร์กิวเมนต์ที่เล็กกว่า

ฟังก์ชันเรียกซ้ำเบื้องต้น

คำจำกัดความของแนวคิดของฟังก์ชันเรียกซ้ำดั้งเดิมคือการอุปนัย ประกอบด้วยการระบุคลาสของฟังก์ชันการเรียกซ้ำแบบดั้งเดิมขั้นพื้นฐานและตัวดำเนินการสองตัว (การซ้อนและการเรียกซ้ำแบบดั้งเดิม) ที่อนุญาตให้คุณสร้างฟังก์ชันการเรียกซ้ำแบบดั้งเดิมใหม่โดยอิงจากฟังก์ชันที่มีอยู่

ฟังก์ชันแบบเรียกซ้ำพื้นฐานพื้นฐานประกอบด้วยฟังก์ชันสามประเภทต่อไปนี้:

ศูนย์ ฟังก์ชัน--ฟังก์ชันไม่มีข้อโต้แย้ง กลับมาเสมอ 0 .

ฟังก์ชันการสืบทอดของตัวแปรตัวหนึ่งที่เชื่อมโยงจำนวนธรรมชาติใดๆ กับจำนวนธรรมชาติที่ตามมาทันที

ฟังก์ชันโดยที่จากตัวแปร n ตัว จับคู่ชุดของจำนวนธรรมชาติที่เรียงลำดับกับตัวเลขจากชุดนี้

ตัวดำเนินการทดแทนและตัวดำเนินการเรียกซ้ำดั้งเดิมมีการกำหนดไว้ดังนี้:

ตัวดำเนินการซ้อนทับ (บางครั้งตัวดำเนินการทดแทน) อนุญาต เป็นฟังก์ชันของตัวแปร m และให้ เป็นชุดของฟังก์ชันที่เรียงลำดับ โดยแต่ละตัวมีตัวแปร จากนั้นผลลัพธ์ของการซ้อนทับของฟังก์ชันเข้ากับฟังก์ชันก็คือฟังก์ชันของตัวแปรที่เชื่อมโยงตัวเลขกับชุดของจำนวนธรรมชาติที่เรียงลำดับใดๆ

ตัวดำเนินการเรียกซ้ำดั้งเดิม อนุญาต เป็นฟังก์ชันของตัวแปร n ตัว และให้ เป็นฟังก์ชันของตัวแปร จากนั้นผลลัพธ์ของการใช้ตัวดำเนินการเรียกซ้ำดั้งเดิมกับคู่ของฟังก์ชันจะเรียกว่าฟังก์ชันของตัวแปรในแบบฟอร์ม

ใน คำจำกัดความนี้ตัวแปรสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นตัวนับการวนซ้ำ -- ในฐานะฟังก์ชันเริ่มต้นที่จุดเริ่มต้นของกระบวนการวนซ้ำที่สร้างลำดับหนึ่งของฟังก์ชันตัวแปรที่เริ่มต้นด้วย และ -- ในฐานะตัวดำเนินการที่รับตัวแปรป้อนหมายเลขขั้นตอนการวนซ้ำ ฟังก์ชันในขั้นตอนการวนซ้ำที่กำหนด และส่งกลับฟังก์ชันในขั้นตอนการวนซ้ำขั้นตอนถัดไป

ชุดของฟังก์ชันแบบเรียกซ้ำดั้งเดิมเป็นชุดขั้นต่ำที่ประกอบด้วยฟังก์ชันพื้นฐานทั้งหมด และถูกปิดภายใต้การทดแทนที่ระบุและตัวดำเนินการเรียกซ้ำแบบดั้งเดิม

ในแง่การเขียนโปรแกรมที่จำเป็น ฟังก์ชันแบบเรียกซ้ำดั้งเดิมจะสอดคล้องกับบล็อกโปรแกรมที่ใช้เฉพาะการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เท่านั้น เช่นเดียวกับ ตัวดำเนินการแบบมีเงื่อนไขและตัวดำเนินการลูปทางคณิตศาสตร์ (ตัวดำเนินการลูปซึ่งทราบจำนวนการวนซ้ำที่จุดเริ่มต้นของลูป) หากโปรแกรมเมอร์เริ่มใช้งานโอเปอเรเตอร์ ในขณะที่วนซ้ำโดยไม่ทราบจำนวนการวนซ้ำล่วงหน้า และตามหลักการแล้ว อาจเป็นอนันต์ได้ จากนั้นจึงเข้าสู่คลาสของฟังก์ชันแบบเรียกซ้ำบางส่วน

ให้เราชี้ให้เห็นฟังก์ชันเลขคณิตที่รู้จักกันดีจำนวนหนึ่งซึ่งเป็นการเรียกซ้ำแบบดั้งเดิม

ฟังก์ชันการบวกจำนวนธรรมชาติสองตัว () ถือได้ว่าเป็นฟังก์ชันเรียกซ้ำดั้งเดิมของตัวแปรสองตัว ซึ่งได้มาจากการใช้ตัวดำเนินการเรียกซ้ำดั้งเดิมกับฟังก์ชัน และตัวที่สองได้มาจากการแทนที่ฟังก์ชันหลักเป็นฟังก์ชันหลัก:

การคูณจำนวนธรรมชาติสองตัวถือได้ว่าเป็นฟังก์ชันเรียกซ้ำดั้งเดิมของตัวแปรสองตัว ซึ่งได้มาจากการใช้ตัวดำเนินการเรียกซ้ำดั้งเดิมกับฟังก์ชัน และตัวที่สองได้มาจากการแทนที่ฟังก์ชันพื้นฐานและเข้าไปในฟังก์ชันบวก:

ผลต่างสมมาตร (ค่าสัมบูรณ์ของผลต่าง) ของจำนวนธรรมชาติสองตัว () ถือได้ว่าเป็นฟังก์ชันการเรียกซ้ำดั้งเดิมของตัวแปรสองตัว ซึ่งได้มาจากการใช้การทดแทนและการเรียกซ้ำดั้งเดิมต่อไปนี้:

ให้มี 2 ฟังก์ชั่น:

: A→B และ g: D→F

ให้โดเมนของคำจำกัดความ D ของฟังก์ชัน g รวมอยู่ในโดเมนของค่าของฟังก์ชัน f (DB) จากนั้นเราก็สามารถกำหนดได้ คุณลักษณะใหม่ – การทับซ้อน (องค์ประกอบ, ฟังก์ชันที่ซับซ้อน)ฟังก์ชั่น f และ g: z= ก( (x)).

ตัวอย่าง.ฉ(x)=x 2 , ก(x)=อี x . f:R→R, g:R→R .

(g(x))=e 2x , ก.((x))=.

คำนิยาม

ให้มีสองฟังก์ชัน องค์ประกอบของพวกเขาคือฟังก์ชันที่กำหนดโดยความเท่าเทียมกัน:

คุณสมบัติองค์ประกอบ

องค์ประกอบมีความเชื่อมโยง:

ถ้า เอฟ= รหัส เอ็กซ์- การทำแผนที่เหมือนกันกับ เอ็กซ์นั่นคือ

.

ถ้า ช= รหัส ย- การทำแผนที่เหมือนกันกับ ยนั่นคือ

.

คุณสมบัติเพิ่มเติม

เซตนับได้และนับไม่ได้

ชุดจำกัดสองชุดประกอบด้วยองค์ประกอบจำนวนเท่ากัน หากสามารถกำหนดความสอดคล้องแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างชุดเหล่านี้ได้ จำนวนองค์ประกอบของเซตจำกัดคือจำนวนเชิงการนับของเซต

สำหรับเซตอนันต์ เราสามารถสร้างความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเซตทั้งหมดกับส่วนของเซตนั้นได้

เซตอนันต์ที่ง่ายที่สุดคือเซต N

คำนิยาม.เซต A และ B เรียกว่า เทียบเท่า(AB) ถ้าสามารถสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างกัน

หากเซตจำกัดสองเซตเท่ากัน เซตนั้นจะประกอบด้วยสมาชิกจำนวนเท่ากัน

หากเซต A และ B ที่เทียบเท่ากันเป็นชุดโดยอำเภอใจ แสดงว่า A และ B มีความเหมือนกัน พลัง- (กำลัง = ความเท่าเทียมกัน)

สำหรับเซตจำกัด แนวคิดเรื่องจำนวนนับสอดคล้องกับแนวคิดเรื่องจำนวนองค์ประกอบของเซต

คำนิยาม.ชุดนี้มีชื่อว่า นับได้หากเป็นไปได้ที่จะสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างมันกับเซตของจำนวนธรรมชาติ (นั่นคือ เซตนับได้เป็นอนันต์ เทียบเท่ากับเซต N)

(นั่นคือ องค์ประกอบทั้งหมดของเซตนับได้สามารถกำหนดหมายเลขได้)

คุณสมบัติของความสัมพันธ์เชิงอำนาจที่เท่ากัน

1) AA - การสะท้อนกลับ

2) AB แล้วก็ BA – สมมาตร

3) AB และ BC จากนั้น AC ก็คือการเคลื่อนที่

ตัวอย่าง.

1) n→2n, 2,4,6,… - แม้กระทั่งโดยธรรมชาติ

2) n→2n-1, 1,3,5,… - วัตถุธรรมชาติที่แปลก

คุณสมบัติของเซตนับได้.

1. เซตย่อยที่ไม่มีที่สิ้นสุดของเซตนับได้สามารถนับได้

การพิสูจน์- เพราะ A นับได้ จากนั้น A: x 1, x 2,... - แมป A กับ N

ВА, В: →1,→2,… - กำหนดแต่ละองค์ประกอบของ B ให้เป็นจำนวนธรรมชาติ เช่น แมป B กับ N ดังนั้น B จึงสามารถนับได้ ฯลฯ

2. การรวมกันของระบบจำกัด (นับได้) ของเซตนับได้สามารถนับได้

ตัวอย่าง.

1. เซตของจำนวนเต็ม Z สามารถนับได้ เพราะว่า เซต Z สามารถแสดงเป็นการรวมกันของเซตนับได้ A และ B โดยที่ A: 0,1,2,.. และ B: -1,-2,-3,...

2. มากมาย สั่งคู่ ((m,n): m,nZ) (เช่น (1,3)≠(3,1))

3 (!) - เซตของจำนวนตรรกยะสามารถนับได้

ถาม=. เราสามารถสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเซตของเศษส่วนลดไม่ได้ Q และเซตของคู่อันดับ:

ที่. เซต Q เทียบเท่ากับเซต ((p,q))((m,n))

เซต ((m,n)) – เซตของคู่ที่เรียงลำดับทั้งหมด – สามารถนับได้ ดังนั้น เซต ((p,q)) จึงสามารถนับได้ ดังนั้น Q จึงสามารถนับได้

คำนิยาม.จำนวนอตรรกยะคือทศนิยมอนันต์ตามอำเภอใจ ไม่ใช่เป็นระยะเศษส่วนเช่น  0 , 1  2 …

เซตของเศษส่วนทศนิยมทั้งหมดจะรวมกันเป็นเซต ตัวเลขจริง (จริง)

เซตของจำนวนอตรรกยะนับไม่ได้

ทฤษฎีบท 1- เซตของจำนวนจริงจากช่วง (0,1) เป็นเซตที่นับไม่ได้

การพิสูจน์- สมมติว่าตรงกันข้ามคือ ว่าตัวเลขทั้งหมดในช่วง (0,1) สามารถกำหนดหมายเลขได้ จากนั้น เมื่อเขียนตัวเลขเหล่านี้ในรูปของเศษส่วนทศนิยมอนันต์ เราจะได้ลำดับ:

x 1 =0,ก 11 ถึง 12 ...ก 1n ...

x 2 =0,ก 21 ก 22 …ก 2n …

…………………..

xn =0,มี 1 ถึง 2 …มี …

……………………

ตอนนี้ให้เราพิจารณาจำนวนจริง x=0,b 1 b 2 …bn… โดยที่ b 1 เป็นจำนวนใดๆ ที่แตกต่างจาก 11 (0 และ 9) b 2 เป็นจำนวนใดๆ ที่แตกต่างจาก 22 (0 และ 9) ) ,…, bn - ตัวเลขใดๆ ที่แตกต่างจาก nn, (0 และ 9)

ที่. x(0,1) แต่ xx i (i=1,…,n) เพราะว่า มิฉะนั้น b i =a ii เรามาถึงความขัดแย้งแล้ว ฯลฯ

ทฤษฎีบท 2ช่วงใดๆ ของแกนจริงถือเป็นเซตที่นับไม่ได้

ทฤษฎีบท 3เซตของจำนวนจริงนับไม่ได้

เซตใดๆ ที่เทียบเท่ากับเซตของจำนวนจริงว่ากันว่าเป็นเซตนั้น พลังต่อเนื่อง(ความต่อเนื่องในภาษาละติน – ต่อเนื่อง, ต่อเนื่อง)

ตัวอย่าง- ให้เราแสดงว่าช่วงนั้นมีพลังของความต่อเนื่อง

ฟังก์ชัน y=tg x: →R แสดงช่วงเวลาบนเส้นจำนวนทั้งหมด (กราฟ)