ส่วนเสริมพีชคณิต- แนวคิดเกี่ยวกับพีชคณิตเมทริกซ์ สัมพันธ์กับสมาชิก aij ของเมทริกซ์จตุรัส A ประกอบขึ้นโดยการคูณตัวรองขององค์ประกอบ aij ด้วย (1)i+j; เขียนแทนด้วย Аij: Aij=(1)i+jMij โดยที่ Mij เป็นผู้เยาว์ขององค์ประกอบ aij ของเมทริกซ์ A= กล่าวคือ ปัจจัยกำหนด...... พจนานุกรมเศรษฐศาสตร์-คณิตศาสตร์

ส่วนเสริมพีชคณิต- แนวคิดของพีชคณิตเมทริกซ์ สัมพันธ์กับสมาชิก aij ของเมทริกซ์จตุรัส A ประกอบขึ้นโดยการคูณตัวรองขององค์ประกอบ aij ด้วย (1)i+j; เขียนแทนด้วย Аij: Aij=(1)i+jMij โดยที่ Mij เป็นผู้เยาว์ขององค์ประกอบ aij ของเมทริกซ์ A= กล่าวคือ ดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์,... ... คู่มือนักแปลด้านเทคนิค

ดูศิลปะ กำหนด... สารานุกรมผู้ยิ่งใหญ่แห่งสหภาพโซเวียต

สำหรับ M รอง ตัวเลขเท่ากับโดยที่ M เป็นตัวรองของลำดับ k ซึ่งอยู่ในแถวที่มีตัวเลขและคอลัมน์ที่มีตัวเลขของเมทริกซ์จตุรัส A ของลำดับ n ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ลำดับ n k ที่ได้จากเมทริกซ์ A โดยการลบแถวและคอลัมน์ของไมเนอร์ M;... ... สารานุกรมคณิตศาสตร์

วิกิพจนานุกรมมีรายการสำหรับ "การบวก" การเติมอาจหมายถึง... วิกิพีเดีย

การดำเนินการทำให้เซตย่อยของเซต X สอดคล้องกับเซตย่อยอื่น ดังนั้นหากทราบ Mi N เซต X ก็สามารถกู้คืนได้ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง ขึ้นอยู่กับโครงสร้างที่เซต X มอบให้... ... สารานุกรมคณิตศาสตร์

หรือดีเทอร์มิแนนต์ในทางคณิตศาสตร์ การบันทึกตัวเลขในรูปแบบของตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัส ซึ่งสอดคล้องกับการวางตัวเลขอื่นไว้ (ค่าของดีเทอร์มิแนนต์) บ่อยครั้ง แนวคิดเรื่องดีเทอร์มิแนนต์หมายถึงทั้งความหมายของดีเทอร์มิแนนต์และรูปแบบของการบันทึก… … สารานุกรมถ่านหิน

สำหรับทฤษฎีบทจากทฤษฎีความน่าจะเป็น โปรดดูบทความทฤษฎีบทท้องถิ่นของมัวฟวร์-ลาปลาซ ทฤษฎีบทของลาปลาซเป็นหนึ่งในทฤษฎีบทของพีชคณิตเชิงเส้น ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Pierre Simon Laplace (1749 1827) ซึ่งให้เครดิตในการกำหนด ... ... Wikipedia

- (เมทริกซ์ Laplacian) หนึ่งในการแสดงกราฟโดยใช้เมทริกซ์ เมทริกซ์ Kirchhoff ใช้ในการนับต้นไม้ที่ทอดยาวของกราฟที่กำหนด (ทฤษฎีบทต้นไม้เมทริกซ์) และยังใช้ในทฤษฎีกราฟสเปกตรัมด้วย สารบัญ 1... ...วิกิพีเดีย

สมการคือความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ที่แสดงออกถึงความเท่าเทียมกันของนิพจน์พีชคณิตสองนิพจน์ หากความเท่าเทียมกันเป็นจริงสำหรับค่าที่ยอมรับได้ของสิ่งที่ไม่รู้จักที่รวมอยู่ในนั้น จะเรียกว่าตัวตน เช่น อัตราส่วนของแบบฟอร์ม... ... สารานุกรมถ่านหิน

หนังสือ

• คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง A. V. Chashkin 352 หน้า หนังสือเรียนประกอบด้วย 17 บทในส่วนหลักของคณิตศาสตร์แบบไม่ต่อเนื่อง ได้แก่ การวิเคราะห์เชิงผสม ทฤษฎีกราฟ ฟังก์ชันบูลีนความซับซ้อนในการคำนวณและทฤษฎีการเข้ารหัส ประกอบด้วย...

ตัวรองขององค์ประกอบใดๆ ของดีเทอร์มิแนนต์เรียกว่า ปัจจัยกำหนดที่สอง

ลำดับที่ได้รับโดยการลบแถวและคอลัมน์ที่มีองค์ประกอบนั้นออกจากปัจจัยที่กำหนดน้อยมากสำหรับองค์ประกอบ

สำหรับองค์ประกอบ:

ส่วนเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบใดๆ ของดีเทอร์มิแนนต์คือองค์ประกอบรองขององค์ประกอบนี้ที่นำมาด้วยตัวประกอบ โดยที่ i คือหมายเลขแถวขององค์ประกอบ j คือหมายเลขคอลัมน์ ดังนั้นส่วนเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบคือ:

ตัวอย่าง. ค้นหาการเสริมพีชคณิต สำหรับองค์ประกอบของดีเทอร์มิแนนต์

ทฤษฎีบท- ดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบของคอลัมน์หรือแถวใดๆ และการเสริมพีชคณิต

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้ถือเป็นปัจจัยกำหนด

การพิสูจน์ความเท่าเทียมกันเหล่านี้ประกอบด้วยการแทนที่การบวกพีชคณิตด้วยนิพจน์ผ่านองค์ประกอบของดีเทอร์มิแนนต์ และเราได้นิพจน์ (3) ขอแนะนำให้คุณทำเช่นนี้ด้วยตัวเอง การแทนที่ดีเทอร์มิแนนต์โดยใช้สูตรหนึ่งในหกสูตรนี้เรียกว่าการแบ่งดีเทอร์มิแนนต์ให้เป็นองค์ประกอบของคอลัมน์หรือแถวที่เกี่ยวข้อง การขยายเหล่านี้ใช้ในการคำนวณปัจจัยกำหนด

ตัวอย่าง.คำนวณดีเทอร์มิแนนต์โดยขยายเข้าไปในองค์ประกอบของคอลัมน์ที่สอง

การใช้ทฤษฎีบทในการขยายดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่สามไปเป็นองค์ประกอบของแถวหรือคอลัมน์ ทำให้สามารถพิสูจน์ความถูกต้องของคุณสมบัติ 1-8 สำหรับดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่สามได้ มีวัตถุประสงค์เพื่อตรวจสอบความถูกต้องของข้อความนี้ คุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์และทฤษฎีบทเกี่ยวกับการสลายตัวของดีเทอร์มิแนนต์เป็นองค์ประกอบของคอลัมน์หรือแถว ทำให้การคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ง่ายขึ้น

ตัวอย่าง- คำนวณปัจจัยกำหนด.

มาคำนวณกัน ตัวคูณทั่วไปองค์ประกอบ "2" ของแถวที่สอง ตามด้วยปัจจัยร่วมที่เหมือนกันขององค์ประกอบของคอลัมน์ที่สาม

มาเพิ่มองค์ประกอบของบรรทัดแรกเข้ากับองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของบรรทัดที่สอง จากนั้นจึงเพิ่มบรรทัดที่สาม

ให้เราขยายดีเทอร์มิแนนต์เข้าไปในองค์ประกอบของคอลัมน์แรก

ผู้เยาว์เมทริกซ์

ให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เมทริกซ์ลำดับที่ n ส่วนน้อยองค์ประกอบบางตัว aij เรียกว่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ลำดับที่ n ปัจจัยกำหนด(n - 1) - ลำดับที่ 3 ซึ่งได้มาจากลำดับเดิมโดยการขีดฆ่าแถวและคอลัมน์ที่จุดตัดขององค์ประกอบที่เลือก aij แสดงโดยมิจ.

ลองดูตัวอย่าง ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ 3 - ลำดับ:
ส่วนเสริมรองและพีชคณิต ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ 3 คือลำดับ จากนั้นตามคำจำกัดความ รองลงมา, รองลงมา M12 ซึ่งตรงกับองค์ประกอบ a12 จะเป็น ปัจจัยกำหนด:ขณะเดียวกันก็ได้รับความช่วยเหลือ ผู้เยาว์สามารถทำให้งานคำนวณง่ายขึ้น ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์- เราจำเป็นต้องกระจายมันออกไป ปัจจัยกำหนดเมทริกซ์ตามเส้นบางเส้นแล้ว ปัจจัยกำหนดจะเท่ากับผลรวมขององค์ประกอบทั้งหมดของบรรทัดนี้โดยผู้เยาว์ การสลายตัว ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ 3 - ลำดับของมันจะมีลักษณะดังนี้:

เครื่องหมายด้านหน้าผลิตภัณฑ์คือ (-1) n โดยที่ n = i + j

การบวกพีชคณิต:

ส่วนเสริมพีชคณิตองค์ประกอบ aij เรียกว่ามัน ส่วนน้อยโดยมีเครื่องหมาย “+” หากผลรวม (i + j) เป็นเลขคู่ และจะมีเครื่องหมาย “-” หากผลรวมนี้เป็นเลขคี่ แสดงโดยไอจ
อาย = (-1)i+j × มาย

จากนั้นเราก็สามารถจัดรูปแบบคุณสมบัติตามที่ระบุไว้ข้างต้นได้ ดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบของแถวใดแถวหนึ่ง (แถวหรือคอลัมน์) เมทริกซ์ให้สอดคล้องกัน การบวกพีชคณิต- ตัวอย่าง.

เรามาสนทนากันต่อเกี่ยวกับการกระทำกับเมทริกซ์กันดีกว่า กล่าวคือ ในระหว่างการศึกษาการบรรยายนี้ คุณจะได้เรียนรู้วิธีค้นหาเมทริกซ์ผกผัน เรียนรู้. แม้ว่าคณิตจะยากก็ตาม

เมทริกซ์ผกผันคืออะไร? ที่นี่เราสามารถวาดความคล้ายคลึงกับตัวเลขผกผันได้ เช่น ลองพิจารณาตัวเลขในแง่ดี 5 และจำนวนผกผัน ผลคูณของตัวเลขเหล่านี้มีค่าเท่ากับหนึ่ง: . ทุกอย่างคล้ายกับเมทริกซ์! ผลคูณของเมทริกซ์และเมทริกซ์ผกผันเท่ากับ – เมทริกซ์เอกลักษณ์ซึ่งเป็นเมทริกซ์อะนาล็อกของหน่วยตัวเลข อย่างไรก็ตาม สิ่งแรกอย่างแรก เรามาแก้ไขปัญหาเชิงปฏิบัติที่สำคัญกันก่อน กล่าวคือ เรียนรู้วิธีค้นหาเมทริกซ์ผกผันนี้

สิ่งที่คุณต้องรู้และสามารถทำได้เพื่อค้นหา เมทริกซ์ผกผัน- คุณต้องสามารถตัดสินใจได้ รอบคัดเลือก- คุณต้องเข้าใจว่ามันคืออะไร เมทริกซ์และสามารถดำเนินการบางอย่างกับพวกเขาได้

มีสองวิธีหลักในการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน:
โดยใช้ การบวกพีชคณิตและ โดยใช้การแปลงเบื้องต้น.

วันนี้เราจะศึกษาวิธีแรกที่ง่ายกว่านี้

เริ่มจากสิ่งที่แย่ที่สุดและเข้าใจยากที่สุด ลองพิจารณาดู สี่เหลี่ยมเมทริกซ์ เมทริกซ์ผกผันสามารถพบได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์อยู่ที่ไหน คือเมทริกซ์ทรานสโพสด์ของการเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์

แนวคิดของเมทริกซ์ผกผันมีอยู่เฉพาะสำหรับ เมทริกซ์จตุรัส , เมทริกซ์ "สองคูณสอง", "สามคูณสาม" ฯลฯ

การกำหนด: ดังที่คุณอาจสังเกตเห็นแล้วว่าเมทริกซ์ผกผันจะแสดงด้วยตัวยก

เริ่มจากกรณีที่ง่ายที่สุด - เมทริกซ์ขนาดสองคูณสอง แน่นอนว่าบ่อยครั้งที่สุดต้องใช้ "สามคูณสาม" แต่อย่างไรก็ตาม ฉันขอแนะนำอย่างยิ่งให้ศึกษางานที่ง่ายกว่าเพื่อที่จะเชี่ยวชาญ หลักการทั่วไปโซลูชั่น

ตัวอย่าง:

ค้นหาค่าผกผันของเมทริกซ์

มาตัดสินใจกัน สะดวกในการแจกแจงลำดับการกระทำทีละจุด

1) ขั้นแรกเราค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์.

หากคุณเข้าใจการกระทำนี้ไม่ดี โปรดอ่านเนื้อหา จะคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ได้อย่างไร?

สำคัญ!ถ้าดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์เท่ากับ ศูนย์– เมทริกซ์ผกผัน ไม่มีอยู่จริง.

ในตัวอย่างที่อยู่ระหว่างการพิจารณา ปรากฏว่า ซึ่งหมายความว่าทุกอย่างเป็นไปตามลำดับ

2) ค้นหาเมทริกซ์ของผู้เยาว์.

เพื่อแก้ปัญหาของเรา ไม่จำเป็นต้องรู้ว่าผู้เยาว์คืออะไร แต่แนะนำให้อ่านบทความนี้ วิธีการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์.

เมทริกซ์ของผู้เยาว์จะมีมิติเดียวกันกับเมทริกซ์ กล่าวคือ ในกรณีนี้
สิ่งเดียวที่ต้องทำคือหาตัวเลขสี่ตัวแล้วใส่แทนเครื่องหมายดอกจัน

ลองกลับไปที่เมทริกซ์ของเราอีกครั้ง
มาดูองค์ประกอบด้านซ้ายบนกันก่อน:

จะหาได้อย่างไร ส่วนน้อย?
และสิ่งนี้ทำได้ดังนี้: ขีดฆ่าแถวและคอลัมน์ที่มีองค์ประกอบนี้อยู่:

จำนวนที่เหลือคือ ส่วนน้อย ขององค์ประกอบนี้ ซึ่งเราเขียนไว้ในเมทริกซ์ของผู้เยาว์:

พิจารณาองค์ประกอบเมทริกซ์ต่อไปนี้:

ขีดฆ่าแถวและคอลัมน์ที่มีองค์ประกอบนี้ปรากฏขึ้นในใจ:

สิ่งที่เหลืออยู่คือองค์ประกอบรองขององค์ประกอบนี้ ซึ่งเราเขียนไว้ในเมทริกซ์ของเรา:

ในทำนองเดียวกัน เราพิจารณาองค์ประกอบของแถวที่สองและค้นหาผู้เยาว์:


พร้อม.

มันง่ายมาก ในเมทริกซ์ของผู้เยาว์ที่คุณต้องการ เปลี่ยนสัญญาณตัวเลขสองตัว:

นี่คือตัวเลขที่ฉันวงกลมไว้!

– เมทริกซ์ของการบวกพีชคณิตขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์

และเพียงแค่...

4) ค้นหาเมทริกซ์ที่ถูกย้ายของการบวกพีชคณิต.

– เมทริกซ์ขนย้ายของการเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์

5) คำตอบ.

จำสูตรของเราไว้
พบทุกสิ่งแล้ว!

ดังนั้นเมทริกซ์ผกผันคือ:

ปล่อยให้คำตอบเหมือนเดิมดีกว่า ไม่จำเป็นหารแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ด้วย 2 เนื่องจากผลลัพธ์จะเป็นตัวเลขเศษส่วน ความแตกต่างนี้จะกล่าวถึงในรายละเอียดเพิ่มเติมในบทความเดียวกัน การดำเนินการกับเมทริกซ์.

จะตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาได้อย่างไร?

คุณต้องทำการคูณเมทริกซ์หรือ

การตรวจสอบ:

ได้รับกล่าวถึงแล้ว เมทริกซ์เอกลักษณ์เป็นเมทริกซ์ที่มีหน่วยเป็น เส้นทแยงมุมหลักและเลขศูนย์ในที่อื่นๆ

ดังนั้นจึงพบเมทริกซ์ผกผันได้อย่างถูกต้อง

หากคุณดำเนินการ ผลลัพธ์จะเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ด้วย นี่เป็นหนึ่งในไม่กี่กรณีที่การคูณเมทริกซ์สามารถสับเปลี่ยนได้ ข้อมูลรายละเอียดสามารถพบได้ในบทความ คุณสมบัติของการดำเนินการกับเมทริกซ์ นิพจน์เมทริกซ์- โปรดทราบว่าในระหว่างการตรวจสอบ ค่าคงที่ (เศษส่วน) จะถูกยกไปข้างหน้าและประมวลผลที่ส่วนท้ายสุด - หลังจากการคูณเมทริกซ์ นี่เป็นเทคนิคมาตรฐาน

เรามาดูกรณีทั่วไปในทางปฏิบัติกันดีกว่า - เมทริกซ์สามคูณสาม:

ตัวอย่าง:

ค้นหาค่าผกผันของเมทริกซ์

อัลกอริธึมจะเหมือนกับกรณี "สองต่อสอง" ทุกประการ

เราค้นหาเมทริกซ์ผกผันโดยใช้สูตร: โดยที่ คือเมทริกซ์ที่ถูกย้ายของการเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์

1) ค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์.

ที่นี่ปัจจัยกำหนดจะถูกเปิดเผย ในบรรทัดแรก.

อย่าลืมสิ่งนั้นด้วย ซึ่งหมายความว่าทุกอย่างเรียบร้อยดี - มีเมทริกซ์ผกผันอยู่.

2) ค้นหาเมทริกซ์ของผู้เยาว์.

เมทริกซ์ของผู้เยาว์มีมิติ "สามคูณสาม" และเราต้องหาตัวเลขเก้าตัว

ฉันจะพิจารณาผู้เยาว์สองคนให้ละเอียดยิ่งขึ้น:

พิจารณาองค์ประกอบเมทริกซ์ต่อไปนี้:

ขีดฆ่าแถวและคอลัมน์ที่มีองค์ประกอบนี้อยู่:

เราเขียนตัวเลขสี่ตัวที่เหลือลงในดีเทอร์มิแนนต์ "สองต่อสอง"

ดีเทอร์มิแนนต์แบบ 2 คูณ 2 นี้ และ เป็นธาตุรองของธาตุนี้- จำเป็นต้องคำนวณ:


เพียงเท่านี้ พบผู้เยาว์แล้ว เราเขียนไว้ในเมทริกซ์ของผู้เยาว์:

ดังที่คุณคงเดาได้ คุณต้องคำนวณปัจจัยกำหนดแบบสองต่อสองเก้าตัว แน่นอนว่ากระบวนการนี้น่าเบื่อ แต่กรณีไม่รุนแรงที่สุดอาจแย่กว่านั้นก็ได้

เพื่อรวมเข้าด้วยกัน – ค้นหาผู้เยาว์อีกคนในรูปภาพ:

ลองคำนวณผู้เยาว์ที่เหลือด้วยตัวเอง

ผลลัพธ์สุดท้าย:
– เมทริกซ์ของผู้เยาว์ขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์

การที่ผู้เยาว์ทั้งหมดกลายเป็นแง่ลบนั้นเป็นเพียงอุบัติเหตุเท่านั้น

3) ค้นหาเมทริกซ์ของการบวกพีชคณิต.

ในเมทริกซ์ของผู้เยาว์มีความจำเป็น เปลี่ยนสัญญาณอย่างเคร่งครัดสำหรับองค์ประกอบดังต่อไปนี้:

ในกรณีนี้:

เราไม่ได้พิจารณาการค้นหาเมทริกซ์ผกผันสำหรับเมทริกซ์ "สี่คูณสี่" เนื่องจากมีเพียงครูที่มีนิสัยทารุณเมื่อเกิดตัณหาเท่านั้นที่สามารถมอบหมายงานดังกล่าวได้ (เพื่อให้นักเรียนคำนวณปัจจัยกำหนด "สี่คูณสี่" หนึ่งตัวและปัจจัยกำหนด "สามคูณสาม" 16 ตัว) ในทางปฏิบัติของฉันมีกรณีดังกล่าวเพียงกรณีเดียวและลูกค้าของการทดสอบจ่ายเงินค่อนข้างแพงสำหรับการทรมานของฉัน =)

ในหนังสือเรียนและคู่มือหลายเล่ม คุณสามารถพบแนวทางที่แตกต่างออกไปเล็กน้อยในการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน แต่ฉันแนะนำให้ใช้อัลกอริทึมการแก้ปัญหาที่อธิบายไว้ข้างต้น ทำไม เพราะโอกาสที่จะสับสนในการคำนวณและเครื่องหมายมีน้อยกว่ามาก

ภารกิจที่ 1

สำหรับปัจจัยที่กำหนด

ค้นหาส่วนเสริมย่อยและพีชคณิตขององค์ประกอบα 12, α 32 ปัจจัยคำนวณ : ก) แยกย่อยออกเป็นองค์ประกอบของแถวแรกและคอลัมน์ที่สอง b) ก่อนหน้านี้ได้รับศูนย์ในบรรทัดแรก

เราพบ:

ม.12=
= –8–16+6+12+4–16 = –18,

ม32=
= –12+12–12–8 = –20.

การเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบ a 12 และ 32 มีค่าเท่ากันตามลำดับ:

ก 12 = (–1) 1+2 ม 12 = –(–18) = 18,

ก 32 = (–1) 3+2 ม 32 = –(–20) = 20

ก) มาคำนวณดีเทอร์มิแนนต์โดยขยายเข้าไปในองค์ประกอบของแถวแรก:

ก 11 ก 11 + ก 12 ก 12 + ก 13 ก 13 + ก 14 ก 14 = –3
–2 +

1
= – 3(8 + 2 + 4 – 4) – 2(– 8 – 16 + 6 + 12 + 4 – 16) + (16 – 12 – – 4 + 32) = 38;

มาขยายดีเทอร์มิแนนต์เป็นองค์ประกอบของคอลัมน์ที่สอง:

= – 2 – 2
+ 1
= – 2(– 8 + 6 – 16 + + 12 + 4 – 16) – 2(12 + 6 – 6 – 16) + (– 6 + 16 – 12 – 4) = 38;

b) มาคำนวณกัน โดยก่อนหน้านี้ได้รับศูนย์ในบรรทัดแรก เราใช้คุณสมบัติที่สอดคล้องกันของดีเทอร์มิแนนต์ ลองคูณคอลัมน์ที่สามของดีเทอร์มิแนนต์ด้วย 3 แล้วบวกเข้ากับคอลัมน์แรก จากนั้นคูณด้วย –2 แล้วบวกเข้ากับคอลัมน์ที่สอง จากนั้นในบรรทัดแรก องค์ประกอบทั้งหมดยกเว้นหนึ่งรายการจะเป็นศูนย์ ให้เราแยกดีเทอร์มิแนนต์ที่ได้รับในลักษณะนี้ให้เป็นองค์ประกอบของแถวแรกแล้วคำนวณ:

= =
=
=
=

= – (– 56 + 18) = 38.

(ในดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่ 3 เราได้ศูนย์ในคอลัมน์แรกเนื่องจากคุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์เหมือนกับข้างบน) ◄

ภารกิจที่ 2

ให้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นแบบไม่เอกพันธ์เชิงเส้น

ตรวจสอบว่าระบบนี้เข้ากันได้หรือไม่ และหากเป็นเช่นนั้น ให้แก้ไข: ก) ใช้สูตรของแครมเมอร์ b) การใช้เมทริกซ์ผกผัน (วิธีเมทริกซ์) c) วิธีเกาส์เซียน

เราจะตรวจสอบความเข้ากันได้ของระบบนี้โดยใช้ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี เมื่อใช้การแปลงเบื้องต้น เราจะหาอันดับของเมทริกซ์

ก =

ระบบที่กำหนดและอันดับของเมทริกซ์ขยาย

ใน =

.

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณแถวแรกของเมทริกซ์ B ด้วย –2 แล้วบวกเข้ากับแถวที่สอง จากนั้นคูณแถวแรกด้วย –3 แล้วบวกเข้ากับคอลัมน์ที่สาม สลับคอลัมน์ที่สองและสาม เราได้รับ

ใน =

~

~
.

ดังนั้นอันดับ ก= อันดับ ใน= 3 (เช่น จำนวนสิ่งที่ไม่ทราบ) ซึ่งหมายความว่าระบบเดิมมีความสอดคล้องและมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว

ก) ตามสูตรของแครเมอร์

x= เอ็กซ์/ , ย = ใช่/ , ซ = ซ/ ,

=
= – 16;

x =
= 64;

ย =
= – 16;

z=
= 32,

เราพบ: x = 64/(– 16) = – 4, ย = – 16/(– 16) = 1, z = 32/(– 16)= – 2;

b) หากต้องการหาคำตอบของระบบโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน เราจะเขียนระบบสมการในรูปแบบเมทริกซ์ อา = - คำตอบของระบบในรูปเมทริกซ์จะมีรูปแบบ x = ก –1 . เมื่อใช้สูตร เราจะพบเมทริกซ์ผกผัน ก –1 (มีอยู่เพราะ = det ก = – 16 ≠ 0):

ก 11 =
= – 15, ก 21 = –
= 16, ก 31 =
= – 11,

ก 12 = –
= – 3, ก 22 =
= 0, ก 32 = –
= 1,

ก 13 =
= – 14, ก 23 = –
= 16, ก 33 =
= – 6,

ก –1 =

.

โซลูชันระบบ:

เอ็กซ์ = =
=
=

.

ดังนั้น, x = –4, ย = 1, z = –2;

c) มาแก้ระบบโดยใช้วิธีเกาส์เซียนกัน ยกเว้นกันเถอะ xจากสมการที่สองและสาม เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณสมการแรกด้วย 2 แล้วลบออกจากสมการที่สอง จากนั้นคูณสมการแรกด้วย 3 แล้วลบออกจากสมการที่สาม:

จากระบบผลลัพธ์ที่เราพบ x = – 4, ย = 1, z = –2. ◄

ภารกิจที่ 5

จุดยอดของปิรามิดอยู่ที่จุดต่างๆ ก(2; 3; 4), ข(4; 7; 3), ค(1; 2; 2)และ ง(– 2; 0; – 1)คำนวณ: ก) บริเวณใบหน้า เอบีซี- b) พื้นที่หน้าตัดที่ผ่านตรงกลางของกระดูกซี่โครง เอบี, เอ.ซี., ค.ศ- c) ปริมาตรของปิรามิด เอบีซีดี.

A) เป็นที่ทราบกันว่า S ABC =
- เราพบ:
= (2; 4; – 1) ,

= (– 1; – 1; – 2) ,

=
= – 9 ฉัน + 5 เจ + 2 เค.

ในที่สุดเราก็มี:

สเอบี =
=
;

b) จุดกึ่งกลางของซี่โครง เอบี, ดวงอาทิตย์และ กดีอยู่ที่จุด เค (3; 5; 3.5)

ม. (1.5; 2.5; 3)เอ็น (0; 1,5; 1,5) - ต่อไปเรามี:

ส ฆ่า =
,
= (– 1,5; – 2,5; – 0,5),
= (– 3; – 3,5; – 2),

=
= 3.25i – 1.5j – 2.25k,

ส ฆ่า =
=
;

ค) ตั้งแต่ วี งานฉลอง =
,
= (– 4; – 3; – 5),

=
= 11, ที่ วี = 11/6 . ◄

ปัญหาที่ 6

ความแข็งแกร่ง เอฟ = (2; 3;– 5) นำไปใช้กับจุด เอ(1; – 2; 2)- คำนวณ: ก) งานของกำลัง เอฟ ในกรณีที่จุดยื่นเคลื่อนเป็นเส้นตรงเคลื่อนออกจากตำแหน่ง กเพื่อวางตำแหน่ง ข(1; 4; 0)- b) โมดูลัสโมเมนต์ เอฟ สัมพันธ์กับประเด็น ใน.

ก) ตั้งแต่ เอ =เอฟ · ส , ส =
= (0; 6; – 2) ,

ที่ เอฟ · = 2·0 + 3·6 + (– 5)(– 2) = 28; ก = 28;

b) โมเมนต์แห่งพลัง ม =
,
= (0; – 6; 2) ,

=
= 24 ฉัน + 4 เจ + 12 เค .

เพราะฉะนั้น, =
= 4
. ◄

ภารกิจที่ 8

ยอดเขาที่รู้จัก โอ(0; 0),ก(– 2; 0) สี่เหลี่ยมด้านขนาน โอเอเอสดีและจุดตัดของเส้นทแยงมุม บี(2;–2)- เขียนสมการของด้านสี่เหลี่ยมด้านขนานลงไป.

สมการด้านข้าง โอเอคุณสามารถเขียนได้ทันที: ย = 0 - นอกจากนี้ตั้งแต่ประเด็น ในเป็นจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุม ค.ศ(รูปที่ 1) จากนั้นใช้สูตรแบ่งครึ่งส่วนก็สามารถคำนวณพิกัดของจุดยอดได้ ดี(x; ย) :

2 =
, –2 =
,

ที่ไหน x = 6 , ย = –4 .

ตอนนี้คุณสามารถหาสมการของด้านอื่นๆ ทั้งหมดได้แล้ว พิจารณาความเท่าเทียมของด้านข้าง โอเอ และ ซีดี, เราเขียนสมการของด้าน ซีดี: ย = –4 - สมการด้านข้าง โอ.ดี.รวบรวมจากสองจุดที่ทราบ:

=
,

ที่ไหน ย = – x, 2 x + 3 ย = 0 .

ในที่สุดเราก็พบสมการของด้าน เอ.ซี.เมื่อพิจารณาจากข้อเท็จจริงที่ว่ามันผ่านจุดที่ทราบแล้ว เอ (– 2; 0)ขนานกับเส้นที่รู้จัก โอ.ดี.:

ย – 0 = – (x + 2) หรือ 2 x + 3 ย + 4 = 0 . ◄

ภารกิจที่ 9

เมื่อพิจารณาจากจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม เอบีซี: ก(4; 3), บี(– 3; – 3), ค(2; 7) - หา:

ก) สมการด้านข้าง เอบี;

b) สมการความสูง ช;

c) สมการค่ามัธยฐาน เช้า.;

ง) จุด เอ็นสี่แยกมัธยฐาน เช้า.และความสูง ช;

e) สมการของเส้นที่ผ่านจุดยอด คขนานไปกับด้านข้าง เอบี;

e) ระยะทางจากจุด คเป็นเส้นตรง เอบี.

ก) การใช้สมการ เส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุดเราได้สมการของด้าน เอบี:

=
,

ที่ไหน 6(x – 4) = 7(ย – 3) หรือ 6 x – 7 ย – 3 = 0 ;

b) ตามสมการ

ย = เคเอ็กซ์ + ข (เค = ทีจี α ) ,

ความชันของเส้นตรง เอบี เค 1 =6/7 - โดยคำนึงถึง เงื่อนไขของการตั้งฉากของเส้น เอบีและ ชความลาดชันสูง ช เค 2 = –7/6 (เค 1∙ เค 2 = –1). โดยจุด ค(2; 7) และความลาดชัน เค 2 = –7/6 สร้างสมการความสูง ช: (ย – ย 0 = เค(x – x 0 ) )

ย – 7 = – (x – 2) หรือ 7 x + 6 ย – 56 = 0 ;

c) การใช้สูตรที่รู้จักเราค้นหาพิกัด x, ยกลาง มส่วน บี.ซี.:

x = (– 3 + 2)/2 = –1/2, ย = (– 3 + 7)/2 = 2.

ตอนนี้ทราบสองประเด็นแล้ว กและ มสร้างสมการค่ามัธยฐาน เช้า.:

=
หรือ 2 x – 9 ย + 19 = 0 ;

d) เพื่อค้นหาพิกัดของจุด เอ็นสี่แยกมัธยฐาน เช้า.และความสูง ชเขียนระบบสมการ

แก้ได้แล้วเราก็ได้ เอ็น (26/5; 49/15) ;

จ) เนื่องจากเส้นที่ผ่านจุดยอด คขนานไปกับด้านข้าง เอบีแล้วสัมประสิทธิ์เชิงมุมจะเท่ากัน เค 1 =6/7 - จากนั้นตามสมการ:

ย – ย 0 = เค(x – x 0 ) ตามจุด คและความลาดชัน เค 1 เขียนสมการของเส้นตรง ซีดี:

ย – 7 = (x – 2) หรือ 6 x – 7 ย + 37 = 0 ;

f) ระยะทางจากจุด คเป็นเส้นตรง เอบีคำนวณโดยใช้สูตรที่รู้จักกันดี:

ง = | ช| =

วิธีแก้ไขปัญหานี้มีแสดงไว้ในรูปที่ 1 2 ◄

ปัญหาที่ 10.

ให้สี่คะแนน ก 1 (4; 7; 8), อ 2 (– 1;13; 0), อ 3 (2; 4; 9), อ 4 (1; 8; 9) - สร้างสมการ:

ก) เครื่องบิน ก 1 ก 2 ก 3 - ข) ตรง ก 1 ก 2 ;

ค) ตรง ก 4 มตั้งฉากกับระนาบ ก 1 ก 2 ก 3 ;

ง) ตรง ก 4 เอ็นขนานไปกับเส้น ก 1 ก 2 .

คำนวณ:

e) ไซน์ของมุมระหว่างเส้นตรง ก 1 ก 4 และเครื่องบิน ก 1 ก 2 ก 3 ;

e) โคไซน์ของมุมระหว่างระนาบพิกัด เกี่ยวกับเอ็กซ์ซีและเครื่องบิน ก 1 ก 2 ก 3 .

ก) การใช้สูตร สมการระนาบจากสามจุด, เราเขียนสมการของระนาบ ก 1 ก 2 ก 3 :

ที่ไหน 6x – 7y – 9z + 97 = 0;

ข) การพิจารณา สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุด, สมการเส้นตรง ก 1 ก 2 สามารถเขียนเป็นแบบฟอร์มได้

=
=
;

ค) จาก เงื่อนไขของการตั้งฉากของเส้น ก 4 ม และเครื่องบิน ก 1 ก 2 ก 3 มันจะเป็นไปตามนั้นในฐานะเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง สคุณสามารถหาเวกเตอร์ปกติได้ n = (6; – 7; – 9) เครื่องบิน ก 1 ก 2 ก 3 - แล้วสมการของเส้นตรง ก 4 มโดยคำนึงถึง ตามบัญญัติสมการของเส้นตรงจะเขียนอยู่ในรูป

=
=
;

d) เนื่องจากเป็นเส้นตรง ก 4 เอ็นขนานไปกับเส้น ก 1 ก 2 แล้วเวกเตอร์ทิศทางของพวกมัน ส 1 และ ส 2 ถือว่าเหมือนกัน: ส 1 =ส 2 = (5; – 6; 8) - ดังนั้นสมการของเส้นตรง ก 4 เอ็นดูเหมือนว่า

=
=
;

d) ตามสูตรการหา ขนาดของมุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ

บาป φ =

ฉ) ตามสูตรการหา มุมระหว่างระนาบ

เพราะφ =
=
◄

ปัญหาที่ 11.

เขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดต่างๆ ม(4; 3; 1) และ

เอ็น(– 2; 0; – 1) ขนานกับเส้นที่ลากผ่านจุดต่างๆ ก(1; 1; – 1) และ

บี(– 3; 1; 0).

ตามสูตรครับ สมการของเส้นในอวกาศผ่านจุดสองจุดซึ่งเป็นสมการของเส้นตรง เอบีดูเหมือนว่า

=
=
.

หากเครื่องบินผ่านจุดใดจุดหนึ่ง ม(4; 3; 1) จากนั้นสมการของมันก็เขียนได้ในรูป ก(x – 4) + บี(ย – 3) + ค(z – 1) = 0 - เนื่องจากเครื่องบินลำนี้ก็ผ่านจุดนั้นด้วย เอ็น(– 2; 0; – 1) จากนั้นเงื่อนไขจะเป็นที่พอใจ

ก(– 2 – 4) + B(0 – 3) + C(– 1 – 1) = 0หรือ 6A + 3B + 2C = 0.

เนื่องจากระนาบที่ต้องการขนานกับเส้นที่พบ เอบีแล้วคำนึงถึงสูตร เงื่อนไขความขนานของเส้นตรงและระนาบเรามี:

–4A + 0B + 1C = 0หรือ 4A – ค = 0.

แก้ระบบ

เราพบว่า ค = 4 ก, บี = – ก- ลองแทนค่าที่ได้รับ กับและ บีเราก็จะได้สมการของระนาบที่ต้องการ

เอ(x – 4) – ก(y – 3) + 4A(z – 1) = 0.

เพราะ ก ≠ 0 จากนั้นสมการผลลัพธ์จะเท่ากับสมการ

3(x – 4) – 14(y – 3) + 12(z – 1) = 0. ◄

ปัญหาที่ 12.

ค้นหาพิกัด x 2 , ย 2 , z 2 คะแนน ม 2 , จุดสมมาตร ม 1 (6; – 4; – 2) สัมพันธ์กับเครื่องบิน x + ย + z – 3 = 0 .

ให้เราเขียนสมการพาราเมตริกของเส้นตรงลงไป ม 1 ม 2 ตั้งฉากกับระนาบนี้: x = 6 + ที, ย = – 4 + ที, z = – 2 + ที- เมื่อแก้ไขพวกมันพร้อมกับสมการของระนาบที่กำหนดแล้วเราจะพบ ที = 1 และด้วยเหตุนี้จึงเป็นประเด็น มจุดตัดของเส้นตรง ม 1 ม 2 ด้วยเครื่องบินลำนี้: ม (7; – 3; – 1) - ตั้งแต่จุด มเป็นจุดกึ่งกลางของส่วน ม 1 ม 2 แล้วความเท่าเทียมกันเป็นจริง; c) พาราโบลาที่มีไดเรกทริกซ์ b