พิจารณาระนาบและระบบ อ็อกซี่ พิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนบนนั้น (สามารถพิจารณาระบบพิกัดอื่นได้)

จากเรขาคณิตวิเคราะห์ เรารู้ว่าสำหรับคู่ลำดับแต่ละคู่ (x, ย) คุณสามารถเปรียบเทียบจุดเดียวได้ ม เครื่องบินและในทางกลับกันไปยังแต่ละจุด ม เครื่องบินสอดคล้องกับตัวเลขคู่เดียว

ดังนั้น ในอนาคตเมื่อพูดถึงประเด็นหนึ่งๆ เรามักจะหมายถึงคู่ของตัวเลขที่ตรงกัน (x, ย) และในทางกลับกัน

คำจำกัดความ 1.2 ชุดคู่ของตัวเลข (x, ย) ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน เรียกว่า สี่เหลี่ยม (เปิด)

บนระนาบจะปรากฎเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (รูปที่ 1.2) โดยมีด้านขนานกับแกนพิกัดและมีศูนย์กลางอยู่ที่จุดนั้น ม 0 (x 0 ย 0 ) .

สี่เหลี่ยมมักจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ต่อไปนี้:

ให้เราแนะนำแนวคิดที่สำคัญสำหรับการอภิปรายเพิ่มเติม: ความใกล้เคียงของจุด

คำจำกัดความ 1.3 สี่เหลี่ยม δ -สภาพแวดล้อม ( ย่านเดลต้า ) คะแนน ม 0 (x 0 ย 0 ) เรียกว่าสี่เหลี่ยม

มีศูนย์กลางที่จุดหนึ่ง ม 0 และมีด้านยาวเท่ากัน 2δ .

คำจำกัดความ 1.4 หนังสือเวียน δ - พื้นที่ใกล้เคียงของจุด ม 0 (x 0 ย 0 ) เรียกว่ารัศมีวงกลม δ มีศูนย์กลางที่จุดหนึ่ง ม 0 นั่นคือชุดของคะแนน เอ็ม(เอ็กซ์วาย) ซึ่งมีพิกัดที่ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน:

คุณสามารถแนะนำแนวคิดของย่านใกล้เคียงและประเภทอื่นๆ ได้ แต่เพื่อจุดประสงค์ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ของปัญหาทางเทคนิค ส่วนใหญ่จะใช้เฉพาะย่านใกล้เคียงสี่เหลี่ยมและวงกลมเท่านั้น

ให้เราแนะนำแนวคิดต่อไปนี้เกี่ยวกับขีดจำกัดของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว

ให้ฟังก์ชัน z = ฉ (x, y) ที่กำหนดไว้ในบางพื้นที่ ζ และ ม 0 (x 0 ย 0 ) - จุดที่อยู่ด้านในหรือบริเวณขอบของบริเวณนี้

คำจำกัดความ 1.5จำนวนจำกัด ก เรียกว่า ขีดจำกัดของฟังก์ชัน f (x, y) ที่

ถ้าเป็นจำนวนบวกใดๆ ε คุณสามารถหาจำนวนบวกแบบนั้นได้ไหม δ ความไม่เท่าเทียมกันนั้น

ดำเนินการครบทุกจุดแล้ว ม(x,ย) จากภูมิภาค ζ แตกต่างจาก ม 0 (x 0 ย 0 ) ซึ่งมีพิกัดที่ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน:

ความหมายของคำจำกัดความนี้คือค่าของฟังก์ชัน ฉ (x, ย) แตกต่างเพียงเล็กน้อยตามต้องการจากเลข A ที่จุดใกล้เคียงที่เล็กพอควร ม 0 .

ในที่นี้คำจำกัดความจะขึ้นอยู่กับพื้นที่ใกล้เคียงเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ม 0 - เราสามารถพิจารณาย่านใกล้เคียงที่เป็นวงกลมได้ ม 0 แล้วมันก็จำเป็นที่จะต้องเรียกร้องความไม่เท่าเทียมกัน

ทุกจุด ม(x,ย) ภูมิภาค ζ แตกต่างจาก ม 0 และเป็นไปตามเงื่อนไข:

ระยะห่างระหว่างจุด ม และ ม 0 .

มีการใช้การกำหนดขีดจำกัดต่อไปนี้:

เมื่อพิจารณาจากคำจำกัดความของขีดจำกัดของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว เราสามารถขยายทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับขีดจำกัดของฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่งไปเป็นฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวได้

ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบทเกี่ยวกับขีดจำกัดของผลรวม ผลิตภัณฑ์ และผลหารของสองฟังก์ชัน

§3 ความต่อเนื่องของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว

ให้ฟังก์ชัน z = ฉ (x ,y) กำหนดไว้ที่จุด ม 0 (x 0 ย 0 ) และบริเวณโดยรอบ

คำจำกัดความ 1.6 ฟังก์ชันเรียกว่าต่อเนื่องที่จุดหนึ่ง ม 0 (x 0 ย 0 ) , ถ้า

ถ้าฟังก์ชั่น ฉ(x,y) อย่างต่อเนื่อง ณ จุดหนึ่ง ม 0 (x 0 ย 0 ) , ที่

เนื่องจาก

นั่นคือถ้าฟังก์ชั่น ฉ(x,y) อย่างต่อเนื่อง ณ จุดหนึ่ง ม 0 (x 0 ย 0 ) จากนั้นอาร์กิวเมนต์ที่เพิ่มขึ้นเล็กน้อยในภูมิภาคนี้สอดคล้องกับการเพิ่มขึ้นทีละน้อย ∆z ฟังก์ชั่น z .

การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน หากการเพิ่มขึ้นเล็กน้อยของอาร์กิวเมนต์สอดคล้องกับการเพิ่มขึ้นเล็กน้อยของฟังก์ชัน ฟังก์ชันนั้นจะต่อเนื่องกัน

ฟังก์ชันที่ต่อเนื่องทุกจุดในโดเมนเรียกว่าฟังก์ชันต่อเนื่องในโดเมน สำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องของตัวแปรสองตัว เช่นเดียวกับฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่งที่ต่อเนื่องกันในช่วงเวลาหนึ่ง ทฤษฎีบทพื้นฐานของไวเออร์ชตราสและโบลซาโน-คอชีนั้นใช้ได้

อ้างอิง: Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 - 1897) - นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน Bernard Bolzano (1781 - 1848) - นักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาชาวเช็ก Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) - นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ประธาน French Academy of Sciences (1844 - 1857)

ตัวอย่างที่ 1.4 ตรวจสอบความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

ฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดให้กับค่าทั้งหมดของตัวแปร x และ ย ยกเว้นที่จุดกำเนิดซึ่งตัวส่วนไปที่ศูนย์

พหุนาม x 2 +ย 2 มีความต่อเนื่องทุกที่ ดังนั้นรากที่สองของฟังก์ชันต่อเนื่องจึงเป็นค่าต่อเนื่อง

เศษส่วนจะต่อเนื่องกันทุกที่ ยกเว้นจุดที่ตัวส่วนเป็นศูนย์ นั่นคือ ฟังก์ชันที่กำลังพิจารณาจะต่อเนื่องกันบนระนาบพิกัดทั้งหมด โอ้โห ไม่รวมแหล่งกำเนิด

ตัวอย่างที่ 1.5 ตรวจสอบความต่อเนื่องของฟังก์ชัน z=tg(x,y) - แทนเจนต์ถูกกำหนดและต่อเนื่องสำหรับค่าจำกัดทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ ยกเว้นค่าเท่ากับจำนวนคี่ของปริมาณ พาย/2 , เช่น. ยกเว้นจุดที่

สำหรับทุกการแก้ไข "เค" สมการ (1.11) กำหนดไฮเปอร์โบลา ดังนั้นฟังก์ชันที่พิจารณาจึงเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง x และ y ไม่รวมจุดที่วางอยู่บนเส้นโค้ง (1.11)

แนวคิดเกี่ยวกับฟังก์ชันของตัวแปรสองหรือสามตัวที่กล่าวถึงข้างต้นสามารถสรุปได้ในกรณีของตัวแปร

คำนิยาม.การทำงาน ตัวแปร
เรียกว่าฟังก์ชัน โดเมนของคำจำกัดความ
ซึ่งเป็นของ
และช่วงของค่าคือแกนจริง

ฟังก์ชันดังกล่าวสำหรับตัวแปรแต่ละชุด
จาก
ตรงกับตัวเลขเอกพจน์ .

ต่อไปนี้เราจะพิจารณาฟังก์ชันต่างๆ เพื่อความชัดเจน
ตัวแปร แต่คำสั่งทั้งหมดที่สร้างขึ้นสำหรับฟังก์ชันดังกล่าวยังคงเป็นจริงสำหรับฟังก์ชันของตัวแปรจำนวนมาก

คำนิยาม.ตัวเลข เรียกว่าลิมิตของฟังก์ชัน

ตรงจุด
ถ้าสำหรับแต่ละ
มีจำนวนดังกล่าว
ว่าต่อหน้าทุกคน
จากบริเวณใกล้เคียง
ยกเว้นจุดนี้ ความไม่เท่าเทียมกันยังคงอยู่

.

ถ้าขีดจำกัดของฟังก์ชัน
ตรงจุด
เท่ากับ แล้วสิ่งนี้จะแสดงอยู่ในแบบฟอร์ม

.

คุณสมบัติของขีดจำกัดเกือบทั้งหมดที่เราพิจารณาไว้ก่อนหน้านี้สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งยังคงใช้ได้สำหรับขีดจำกัดของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว อย่างไรก็ตาม เราจะไม่จัดการกับการกำหนดขีดจำกัดดังกล่าวในทางปฏิบัติ

คำนิยาม.การทำงาน
เรียกว่าต่อเนื่อง ณ จุดหนึ่ง
หากตรงตามเงื่อนไขสามประการ:

1) มีอยู่

2) มีค่าฟังก์ชัน ณ จุดนั้น

3) ตัวเลขสองตัวนี้มีค่าเท่ากันคือ -

ในทางปฏิบัติ เราสามารถศึกษาความต่อเนื่องของฟังก์ชันได้โดยใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท.ฟังก์ชันพื้นฐานใดๆ
มีความต่อเนื่องที่จุดภายในทั้งหมด (เช่น ไม่มีขอบเขต) ของขอบเขตคำจำกัดความ

ตัวอย่าง.ลองหาจุดทั้งหมดที่มีฟังก์ชันนี้กัน

อย่างต่อเนื่อง

ตามที่ระบุไว้ข้างต้น ฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดไว้ในวงกลมปิด

.

จุดภายในของวงกลมนี้คือจุดที่ต้องการของความต่อเนื่องของฟังก์ชันเช่น การทำงาน
ต่อเนื่องเป็นวงกลมเปิด
.

คำจำกัดความของแนวคิดเรื่องความต่อเนื่อง ณ จุดขอบเขตของขอบเขตคำจำกัดความ
ฟังก์ชั่นต่างๆ เป็นไปได้ แต่เราจะไม่หารือเกี่ยวกับปัญหานี้ในหลักสูตร

1.3 การเพิ่มขึ้นบางส่วนและอนุพันธ์บางส่วน

ต่างจากฟังก์ชันของตัวแปรตัวเดียว ฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวมีการเพิ่มขึ้นที่แตกต่างกัน นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าการเคลื่อนไหวในเครื่องบิน
จากจุด
สามารถดำเนินการได้หลากหลายทิศทาง

คำนิยาม.เพิ่มขึ้นบางส่วนโดย ฟังก์ชั่น
ตรงจุด
เพิ่มขึ้นที่สอดคล้องกัน
เรียกว่าความแตกต่าง

การเพิ่มขึ้นนี้โดยพื้นฐานแล้วเป็นการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งตัว
ที่ได้จากฟังก์ชัน
ที่ค่าคงที่
.

ในทำนองเดียวกันโดยเพิ่มขึ้นบางส่วน ตรงจุด
ฟังก์ชั่น
เพิ่มขึ้นที่สอดคล้องกัน
เรียกว่าความแตกต่าง

การเพิ่มขึ้นนี้คำนวณเป็นค่าคงที่
.

ตัวอย่าง.อนุญาต

,
,
- ให้เราค้นหาส่วนเพิ่มบางส่วนของฟังก์ชันนี้โดย และโดย

ในตัวอย่างนี้มีค่าเท่ากับการเพิ่มอาร์กิวเมนต์
และ
การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันบางส่วนกลับกลายเป็นว่าแตกต่างออกไป เนื่องจากพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีด้านข้าง
และ
เมื่อเพิ่มด้านข้าง บน
เพิ่มขึ้นตามจำนวน
และด้วยด้านที่เพิ่มขึ้น บน
เพิ่มขึ้นโดย
(ดูรูปที่ 4)

จากข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวมีการเพิ่มขึ้นสองประเภท จึงสามารถกำหนดอนุพันธ์ได้สองประเภท

คำนิยาม- อนุพันธ์บางส่วนเทียบกับ ฟังก์ชั่น
ตรงจุด
เรียกว่าขีดจำกัดของอัตราส่วนการเพิ่มขึ้นบางส่วนด้วย ของฟังก์ชันนี้ ณ จุดที่กำหนดจนเพิ่มขึ้น
การโต้แย้ง เหล่านั้น.

. (1)

อนุพันธ์บางส่วนดังกล่าวจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ ,,,- ในกรณีหลังนี้ให้ใช้อักษรกลม” ” – “” หมายถึง คำว่า “ส่วนตัว”

ในทำนองเดียวกัน อนุพันธ์ย่อยเทียบกับ ตรงจุด
กำหนดโดยใช้ขีดจำกัด

. (2)

สัญลักษณ์อื่น ๆ สำหรับอนุพันธ์ย่อยนี้: ,,.

อนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชันจะพบได้ตามกฎที่ทราบกันดีอยู่แล้วสำหรับการสร้างความแตกต่างให้กับฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่ง ในขณะที่ตัวแปรทั้งหมดยกเว้นตัวที่ใช้สร้างความแตกต่างให้กับฟังก์ชันจะถือว่าคงที่ ดังนั้นเมื่อพบ. ตัวแปร จะถูกนำมาเป็นค่าคงที่และเมื่อพบแล้ว - คงที่ .

ตัวอย่าง.ลองหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันกัน
.

,
.

ตัวอย่าง.ลองหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันของตัวแปรสามตัวกัน

.

;
;
.

ฟังก์ชันอนุพันธ์บางส่วน
กำหนดลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันนี้ในกรณีที่ตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งได้รับการแก้ไข

ตัวอย่างทางเศรษฐศาสตร์

แนวคิดหลักของทฤษฎีการบริโภคคือฟังก์ชันอรรถประโยชน์
- ฟังก์ชันนี้แสดงถึงอรรถประโยชน์ของชุด
โดยที่ x คือปริมาณของผลิตภัณฑ์ X, y คือปริมาณของผลิตภัณฑ์ Y จากนั้นอนุพันธ์ย่อย
จะเรียกว่าอรรถประโยชน์ส่วนขอบของ x และ y ตามลำดับ อัตราการทดแทนส่วนเพิ่ม
สิ่งดีต่อสิ่งหนึ่งเท่ากับอัตราส่วนของสาธารณูปโภคส่วนเพิ่ม:

. (8)

ปัญหาที่ 1. ค้นหาอัตราส่วนเพิ่มของการทดแทน h คูณ y สำหรับฟังก์ชันอรรถประโยชน์ที่จุด A(3,12)

สารละลาย:ตามสูตร (8) ที่เราได้รับ

ความหมายทางเศรษฐกิจของอัตราการทดแทนส่วนเพิ่มอยู่ที่การพิสูจน์สูตร
, ที่ไหน -ราคาสินค้า X, - ราคาสินค้า U.

คำนิยาม.ถ้าฟังก์ชั่น
มีอนุพันธ์ย่อย ส่วนดิฟเฟอเรนเชียลย่อยคือนิพจน์

และ

ที่นี่
และ
.

ส่วนต่างบางส่วนคือส่วนต่างของฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งที่ได้มาจากฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว
คงที่ หรือ .

ตัวอย่างจากเศรษฐศาสตร์ ลองใช้ฟังก์ชันคอบบ์-ดักลาสเป็นตัวอย่าง

ขนาด - ผลิตภาพแรงงานโดยเฉลี่ยเนื่องจากนี่คือปริมาณของผลิตภัณฑ์ (ในแง่มูลค่า) ที่ผลิตโดยคนงานหนึ่งคน

ขนาด
- ผลผลิตทุนเฉลี่ย - จำนวนผลิตภัณฑ์ต่อเครื่อง

ขนาด
- อัตราส่วนเงินทุนต่อแรงงานโดยเฉลี่ย - ต้นทุนของเงินทุนต่อหน่วยทรัพยากรแรงงาน

ดังนั้นอนุพันธ์ย่อย
เรียกว่าผลิตภาพส่วนเพิ่มของแรงงานเพราะเท่ากับมูลค่าเพิ่มของผลผลิตที่เกิดจากคนงานเพิ่มเติมอีกหนึ่งคน

เช่นเดียวกัน,
- ผลิตภาพเงินทุนส่วนเพิ่ม

ในทางเศรษฐศาสตร์มักถามคำถาม: ผลผลิตจะเปลี่ยนไปกี่เปอร์เซ็นต์หากจำนวนคนงานเพิ่มขึ้น 1% หรือหากเงินทุนเพิ่มขึ้น 1%? คำตอบสำหรับคำถามดังกล่าวได้มาจากแนวคิดเรื่องความยืดหยุ่นของฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกับอาร์กิวเมนต์หรืออนุพันธ์เชิงสัมพันธ์ ค้นหาความยืดหยุ่นของผลผลิตเทียบกับแรงงาน
- แทนที่อนุพันธ์บางส่วนที่คำนวณข้างต้นเป็นตัวเศษ เราได้รับ
- ดังนั้นพารามิเตอร์ มีความหมายทางเศรษฐกิจที่ชัดเจน - เป็นความยืดหยุ่นของผลผลิตที่เกี่ยวข้องกับแรงงาน

พารามิเตอร์มีความหมายคล้ายกัน คือความยืดหยุ่นของผลผลิตข้ามกองทุน

6.1. ขีดจำกัดและความต่อเนื่องของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว

ร n – พื้นที่เมตริก:

สำหรับ ม 0 (x, x,…, x) และ ม(เอ็กซ์ 1 , เอ็กซ์ 2 , …, เอ็กซ์ n) ( ม 0 , ม) = .

n= 2: สำหรับ ม 0 (x 0 , ย 0), ม (x, ย) ( ม 0 , ม) =
.

บริเวณใกล้เคียงของจุด ม 0 คุณ  (ม 0) = – จุดภายในของรัศมีวงกลม โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ ม 0 .

6.1.1. ขีดจำกัดของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว ทำซ้ำขีดจำกัด

ฉ: ร n รจะได้รับในบริเวณใกล้เคียงจุดใดจุดหนึ่ง ม 0 ยกเว้นบางทีจุดนั้นเอง ม 0 .

คำนิยาม.ตัวเลข กเรียกว่า ขีด จำกัดฟังก์ชั่น

ฉ(x 1 , x 2 , …, x n) ณ จุดนั้น ม 0 ถ้า  >0  >0  ม (0 <  (ม 0 , ม ) <   | ฉ (ม ) – ก |<  ).

เอฟ แบบฟอร์มการบันทึก:

n = 2:

นี้ ขีด จำกัด สองเท่า.

ในภาษาของย่านใกล้เคียงของจุด:

>0  >0  ม (x , ย ) (ม  คุณ  (ม 0 )\ ม 0  ฉ (x , ย )  คุณ  (ก )).

(มอาจจะใกล้เข้ามาแล้ว ม 0 บนเส้นทางใดก็ได้)

ขีดจำกัดการทำซ้ำ:
และ
.

(มใกล้เข้ามา ม 0 แนวนอนและแนวตั้ง ตามลำดับ)

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างลิมิตสองเท่าและลิมิตซ้ำ

ถ้า  ขีดจำกัดสองเท่า
และขีดจำกัด
,
,

จากนั้น  ทำซ้ำขีดจำกัด
,
และเท่ากับสองเท่า

หมายเหตุ 1.ข้อความตรงกันข้ามไม่เป็นความจริง

ตัวอย่าง. ฉ (x, ย) =

,

.

อย่างไรก็ตามขีดจำกัดสองเท่า

=

ไม่มีอยู่เนื่องจากในย่านใกล้เคียงของจุด (0, 0) ฟังก์ชันยังรับค่า "ไกล" จากศูนย์ด้วยเช่นถ้า x = ย, ที่ ฉ (x, ย) = 0,5.

หมายเหตุ 2แม้ว่า กร: ฉ (x, ย) ก

เมื่อเคลื่อนย้าย มถึง ม 0 ตามเส้นตรงใดๆ อาจไม่มีขีดจำกัดสองเท่า

ตัวอย่าง.ฉ (x, ย) =
,ม 0 (0, 0). ม (x, ย)  ม 0 (0, 0)

สรุป: ไม่มีขีดจำกัด (สองเท่า)

ตัวอย่างการค้นหาขีดจำกัด

ฉ (x, ย) =
, ม 0 (0, 0).

ให้เราแสดงว่าเลข 0 คือลิมิตของฟังก์ชัน ณ จุดนั้น ม 0 .

=
,

 – ระยะห่างระหว่างจุด มและ ม 0 .(ใช้ความไม่เท่าเทียมกัน
,

ซึ่งตามมาจากความไม่เท่าเทียมกัน
)

ให้เราตั้งค่า  > 0 และให้  = 2<  

6.1.2. ความต่อเนื่องของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว

คำนิยาม. ฉ (x, ย ม 0 (x 0 , ย) มีความต่อเนื่อง ณ จุดนั้น คุณ  (ม 0) หากมีการกำหนดไว้ในบางส่วน
0) และ ม (0 < (ม 0 , ม) <   | ฉ (ม) – ฉ (ม 0)|< ).

,ท. จ.>0 >0 ความคิดเห็น มฟังก์ชันสามารถเปลี่ยนแปลงได้อย่างต่อเนื่องในบางทิศทางที่ผ่านจุดนั้น ม 0 .

6.1.3. คุณสมบัติของขีดจำกัดของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว คุณสมบัติของฟังก์ชันต่อเนื่องที่จุดหนึ่ง

0 และมีความไม่ต่อเนื่องตามทิศทางอื่นหรือเส้นทางที่มีรูปร่างต่างกัน หากเป็นเช่นนั้น มันก็จะไม่ต่อเนื่องกัน ณ จุดนั้น เกิดขึ้น;

ความเป็นเอกลักษณ์ของขีดจำกัด ม 0 , ฟังก์ชันที่มีขีดจำกัดจำกัด ณ จุดหนึ่งกั้นบริเวณแถวๆ นี้ - กำลังดำเนินการคุณสมบัติลำดับและพีชคณิต

ขีด จำกัด ทะลุขีดจำกัด.

รักษาสัญญาณที่เท่าเทียมกันและความไม่เท่าเทียมกันที่อ่อนแอ มถ้าฟังก์ชันต่อเนื่อง ณ จุดนั้น ฉ (ม 0 )  0 0 และ , ที่ฉ (ม ความหมายสัญญาณ) จะถูกเก็บรักษาไว้ คุณ  (ม 0).

ในบางส่วนผลรวม ผลิตภัณฑ์ ผลหาร (ตัวส่วน  0) ฟังก์ชันต่อเนื่องเช่นกัน, ฟังก์ชั่นต่อเนื่องฟังก์ชันที่ซับซ้อนต่อเนื่อง

ประกอบด้วยอันต่อเนื่องn 6.1.4. คุณสมบัติของฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซตขอบเขตปิดที่เชื่อมต่อกัน

= 1, 2 และ 3คำจำกัดความ 1. เซต  เรียกว่าสอดคล้องกัน

หากเมื่อรวมกับจุดสองจุดใดๆ แล้วมันจะมีเส้นโค้งต่อเนื่องเชื่อมระหว่างจุดทั้งสองด้วยคำจำกัดความ 2 ร nเรียกว่า ตั้ง  เข้าจำกัด
.

n = 1 

n = 2 

n = 3  .

ถ้ามันบรรจุอยู่ใน "ลูกบอล" บ้างตัวอย่าง.

ร 1 = รเชื่อมต่อชุดขอบเขตปิด : ส่วน [, ก];

รข 2: ส่วนเอบี กและ เส้นโค้งต่อเนื่องใดๆ ที่มีปลายอยู่ที่จุด;

ใน

เส้นโค้งต่อเนื่องแบบปิด
;

วงกลม ฉ: ร n  รคำจำกัดความ 3 ร nต่อเนื่องกันบนเซตปิดที่เชื่อมต่อกัน   ม 0 

.

ทฤษฎีบท., ถ้า มากมายค่านิยม

ฉ: ร n  รฟังก์ชั่นต่อเนื่อง [ บนชุดเชื่อมต่อที่มีขอบเขตปิดคือเซ็กเมนต์ , ม ] ม บนชุดเชื่อมต่อที่มีขอบเขตปิดคือเซ็กเมนต์ , ที่นี่- น้อยที่สุด ม , ก- ยิ่งใหญ่ที่สุด

ค่าของมัน ณ จุดของเซต ดังนั้น,ร n บนชุดการเชื่อมต่อที่มีขอบเขตปิดใดๆ