ฟังก์ชันวอลช์เป็นตระกูลของฟังก์ชันที่สร้างระบบมุมฉาก โดยรับค่าเพียง 1 และ −1 ตลอดทั้งขอบเขตคำจำกัดความ

โดยหลักการแล้ว ฟังก์ชันวอลช์สามารถแสดงในรูปแบบต่อเนื่องได้ แต่บ่อยครั้งที่ฟังก์ชันเหล่านี้ถูกกำหนดให้เป็นลำดับขององค์ประกอบที่ไม่ต่อเนื่องกัน กลุ่มของฟังก์ชัน Walsh ก่อให้เกิดเมทริกซ์ Hadamard

ฟังก์ชัน Walsh ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการสื่อสารทางวิทยุ โดยจะใช้เพื่อใช้การแบ่งรหัสหลายการเข้าถึง (CDMA) ตัวอย่างเช่นในมาตรฐานดังกล่าว การสื่อสารเคลื่อนที่เช่น IS-95, CDMA2000 หรือ UMTS

ระบบของฟังก์ชันวอลช์เป็นพื้นฐานออร์โธนอร์มอล และด้วยเหตุนี้ จึงทำให้สามารถขยายสัญญาณที่มีรูปร่างไม่แน่นอนไปเป็นอนุกรมฟูริเยร์ทั่วไปได้

การเปลี่ยนแปลงของวอลช์-ฮาดามาร์ด

เป็นกรณีพิเศษของการแปลงฟูริเยร์ทั่วไป ซึ่งพื้นฐานคือระบบของฟังก์ชันวอลช์

อนุกรมฟูริเยร์ทั่วไปแสดงโดยสูตร:

โดยที่นี่คือฟังก์ชันพื้นฐานตัวหนึ่ง และเป็นค่าสัมประสิทธิ์

การสลายตัวของสัญญาณเป็นฟังก์ชัน Walsh มีรูปแบบ:

ใน แบบฟอร์มไม่ต่อเนื่องจะได้เขียนสูตรดังนี้

ค่าสัมประสิทธิ์สามารถกำหนดได้โดยการดำเนินการผลคูณสเกลาร์ของสัญญาณที่สลายตัวและฟังก์ชันพื้นฐาน Walsh ที่เกี่ยวข้อง:

ควรคำนึงถึงลักษณะเป็นระยะของฟังก์ชันวอลช์ด้วย

9. การแก้ไข: การตีความสเปกตรัม, ตัวกรอง FIR สำหรับการแก้ไขพหุนามของลำดับที่ 0 และ 1; การใช้โครงสร้างโพลีเฟส

การประมาณค่าเป็นกระบวนการของตัวเลข การประมวลผลสัญญาณ ซึ่งนำไปสู่การก่อตัวของสัญญาณ y(nT) ที่มีความถี่สุ่มตัวอย่างเพิ่มขึ้นจากสัญญาณ x(vT')=x(vLT) ที่มีความถี่สุ่มตัวอย่างต่ำกว่าภายใต้ข้อจำกัดบางประการเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงทางเวลาและสเปกตรัมในสัญญาณดั้งเดิม

กระบวนการแก้ไข DSP มีสามประเภท:

1. การเพิ่มอัตราการสุ่มตัวอย่างจะดำเนินการตามแนวคิดทางคณิตศาสตร์ของการประมาณค่า 2. ด้วยความถี่ในการสุ่มตัวอย่างที่เพิ่มขึ้น ตัวอย่างดั้งเดิมของสัญญาณแยก x(vT’) จะหายไป อย่างไรก็ตาม ตัวอย่างของสัญญาณเอาท์พุต y(nT) ถือได้ว่าเป็นตัวอย่างของต้นฉบับสัญญาณอะนาล็อก

x(t) ซึ่งสัญญาณแยกดั้งเดิม x(vT’) ถูกสร้างขึ้นโดยการสุ่มตัวอย่างด้วยช่วง T’ ในกรณีนี้ รูปร่างของซองสัญญาณ x(vT') และ y(nT) (และสเปกตรัม) จะไม่เปลี่ยนแปลง

3. การเพิ่มความถี่ในการสุ่มตัวอย่างทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงรูปร่างของสัญญาณที่สอดแทรก แต่โมดูลสเปกตรัมไม่เปลี่ยนแปลง

D-sampler ที่มีช่วงการสุ่มตัวอย่าง T'=LT., ตัวอินเทอร์โพลาเตอร์ในอุดมคติของ AI จะเพิ่มความถี่ในการสุ่มตัวอย่าง เป็นจำนวนเต็ม L หลังจาก AI สัญญาณสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นผลมาจากการสุ่มตัวอย่างสัญญาณอะนาล็อกดั้งเดิม x(t) ด้วยช่วงการสุ่มตัวอย่าง T=T’/L , ระบบHφ-discrete พร้อมคุณสมบัติความถี่

กระบวนการแก้ไขความถี่ด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม L:

ก) สเปกตรัมของสัญญาณแอนะล็อกดั้งเดิม b) สเปกตรัมของสัญญาณตัวอย่างที่มีความถี่สุ่มตัวอย่าง fd c) สเปกตรัมของสัญญาณตัวอย่างที่มีความถี่สุ่มตัวอย่าง fд’=3fд

ที่. กระบวนการเพิ่มความถี่การสุ่มตัวอย่าง (การแก้ไข) - การเปลี่ยนสเปกตรัมจาก b) เป็น c) นั่นคือการระงับส่วนประกอบความถี่ "พิเศษ" ของสเปกตรัมดั้งเดิม

การเพิ่มความถี่สุ่มตัวอย่างของสัญญาณดั้งเดิมตามจำนวนครั้งที่ L ที่ต้องการดำเนินการโดยเครื่องขยายความถี่สุ่มตัวอย่าง (SRF)การใช้โครงสร้างหลายเฟสในการประมาณค่าโดยใช้ตัวกรอง FIR ลักษณะเฉพาะของโครงสร้างนี้คือแทนที่จะใช้ตัวกรองตัวเดียวที่ทำงานอยู่ความถี่สูง

การสุ่มตัวอย่างจะใช้ตัวกรองหลายตัวที่ทำงานที่ความถี่ต่ำ ตัวกรองโพลีเฟสคือชุดของตัวกรองขนาดเล็กที่ทำงานแบบขนาน โดยแต่ละตัวกรองจะประมวลผลเพียงชุดย่อยของตัวอย่างสัญญาณ (หากมีตัวกรองทั้งหมด N ตัว ตัวกรองแต่ละตัวจะประมวลผลตัวอย่างทุกตัวที่ N เท่านั้น) แผนภาพสมมูลของโครงสร้างโพลีเฟส:

สั่งซื้อเป็นศูนย์ เมื่อคำนวณตัวอย่างถัดไปของสัญญาณ y(nT) ด้วยช่วงเวลาการสุ่มตัวอย่าง T จะมีการใช้เพียงตัวอย่างเดียวของสัญญาณอินพุทอินเทอร์โพเลต x(vT') ที่มีช่วงเวลาการสุ่มตัวอย่าง T' เมื่อความถี่สุ่มตัวอย่างเพิ่มขึ้น L เท่า ตัวอย่างของสัญญาณ x(vT') จะถูกทำซ้ำ L ครั้งที่รอบสัญญาณนาฬิกา n=vL, vL+1, …,vL+L-1:

y(nT)=x(vT'), n=vL, vL+1, …,vL+L-1, v=0,1,2,...

กระบวนการแก้ไขแบบไม่มีลำดับจะแสดงในรูปต่อไปนี้ โดยที่ T3 คือความล่าช้าที่ตัวกรองนำมาใช้

ฟังก์ชั่นถ่ายโอนตัวกรอง

การใช้ตัวกรองที่เป็นเนื้อเดียวกัน:

สัญญาณอินพุต x(vT') ถูกเขียนไปยังรีจิสเตอร์ RG ด้วยความถี่ fд'=1/T' และสัญญาณ y(nT) จะถูกอ่านด้วยความถี่ fд=Lfд'=1/T ลำดับแรก (การประมาณค่าเชิงเส้น)- ให้สัญญาณ x(n)=cos(2πn∙0.125) ระหว่างกัน การนับผู้อ้างอิง ตัวอย่าง L-1 จะถูกแทรกเข้าไปในสัญญาณ (อัปแซมปลิง) มีการเขียนฟังก์ชันการถ่ายโอน

10. การทำลายล้าง: การตีความสเปกตรัม, ตัวกรอง FIR สำหรับการทำลายพหุนามลำดับที่ 0 และ 1; การใช้โครงสร้างโพลีเฟส การทำลายล้างเป็นกระบวนการลดความถี่ในการสุ่มตัวอย่างสัญญาณ

พิจารณาสัญญาณ x(t) โมดูลัสของสเปกตรัม a)

x(nT)-สัญญาณสุ่มตัวอย่างพร้อมช่วงสุ่มตัวอย่าง T, โมดูลัสของสเปกตรัมในกรณีแรก b) ใน d ที่สอง)

x(lambdaT)-สัญญาณสุ่มตัวอย่าง x(t) พร้อมช่วงการสุ่มตัวอย่าง T’=MT.(M=2) ซึ่งเป็นโมดูลสเปกตรัมในกรณีแรก c) ใน d ที่สอง)

กรณีที่ 1 เมื่อสุ่มตัวอย่างด้วยความถี่ wd1 เป็นไปตามเงื่อนไข wd1 2Mwmax (ในกรณีของเรา wd1 4wmax) สามารถคืนสัญญาณได้เนื่องจากสเปกตรัมไม่ทับซ้อนกัน

กรณีที่ 2 เมื่อสุ่มตัวอย่างด้วยความถี่ wd2 ไม่ตรงตามเงื่อนไข wd2 2Mwmax ไม่สามารถกู้คืนสัญญาณได้ เนื่องจากสเปกตรัมทับซ้อนกัน

ในการดำเนินการทำลายล้างด้วยจำนวนเต็มคูณ M จำเป็นที่ความถี่สุ่มตัวอย่าง wd ของสัญญาณ x(nT) ที่จะทำลายจะต้องเป็นไปตามเงื่อนไข wd 2Mwmax

การดำเนินการกำจัดจะดำเนินการโดยใช้คอมเพรสเซอร์อัตราตัวอย่าง (SFC) (ภาพด้านซ้าย) CCD คือสวิตช์ที่ปิด ณ ช่วงเวลา t=nMT=lambdaT' กล่าวคือ จากสัญญาณอินพุต x*(nT) ที่มีช่วงเวลาการสุ่มตัวอย่าง T จะมีการเก็บเฉพาะตัวอย่าง M-th แต่ละรายการเท่านั้นและสร้างสัญญาณ x(lambdaT' )= x*(lambdaMT ) โดยมีช่วงการสุ่มตัวอย่าง T=MT

การใช้โครงสร้างหลายเฟสในการทำลายล้างโดยใช้ตัวกรอง FIR โครงสร้างนี้มีสาขาการประมวลผลแบบขนาน M ซึ่งแต่ละสาขามีตัวกรองที่ทำงานที่ความถี่สุ่มตัวอย่าง "ต่ำ" (เอาต์พุต) สมการที่อธิบายโครงสร้างหลายเฟสของการทำลายล้าง:

โดยที่ M คือสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม

G เป็นจำนวนเต็ม r=0, 1,…,M-1

เหล่านั้น. ลำดับเอาต์พุต y(lambdaT') ของวงจรคือผลรวมของลำดับ M yk(lambdaMT'), k=0,1,…,M-1 ซึ่งแต่ละลำดับจะเป็นผลของการกรองลำดับ yk*( lambdaMT')=x(lambdaMT -kT) ฟิลเตอร์แยกที่มี PF Hk*(zM) และ การตอบสนองแรงกระตุ้น brk=brM+k และตัวอย่างของการตอบสนองแบบอิมพัลส์ของตัวกรอง k-th คือตัวอย่างของการตอบสนองแบบอิมพัลส์ bl ของตัวกรองต้นแบบที่นำมาผ่านตัวอย่าง M-1

การออกแบบตัวกรอง FIR สำหรับการทำลายพหุนามลำดับที่ 0 และ 1

วงจรลดอัตราการสุ่มตัวอย่าง

สั่งซื้อเป็นศูนย์ ตัวกรองที่เป็นเนื้อเดียวกันถูกใช้เป็นตัวกรอง ฟังก์ชันถ่ายโอนคือ:

การตอบสนองความถี่ของตัวกรองที่เป็นเนื้อเดียวกัน

เงื่อนไขที่เลือกลำดับตัวกรอง: N=k*M

ออเดอร์แรก. ฟิลเตอร์สามเหลี่ยมที่มี PF ถูกใช้เป็นฟิลเตอร์

พิสูจน์ว่าค่าสัมประสิทธิ์ของอนุกรม Kotelnikov ส(ที) นี่คือค่าสัญญาณในบางครั้ง ที=เอ็นทีง.

พิสูจน์ว่าฟังก์ชันตัวอย่าง sinc( ที-เอ็นที d) และบาป( ที-เอ็มที d) ตั้งฉากเมื่อ n¹ ม.

กำหนดความหนาแน่นสเปกตรัมของพัลส์ที่กำหนดโดยการแสดงออกเชิงวิเคราะห์ ส(ที)=บาป( ที-เอ็นทีง)

เหตุใดจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะมีฟังก์ชันที่อธิบายสัญญาณที่มีเวลาจำกัดและมีสเปกตรัมความถี่ที่จำกัด

9. การแสดงสัญญาณโดยฟังก์ชัน Walsh

ในปี 1923 นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน วอลช์ เจ.แอล. ได้แนะนำและศึกษาฟังก์ชันที่เป็นชื่อของเขา สัญญาณแยกตามฟังก์ชัน Walsh (WF) แสดงถึงระบบที่สมบูรณ์ของฟังก์ชันมุมฉากของประเภทคลื่นสี่เหลี่ยม ขอบเขตการใช้งานฟังก์ชัน Walsh ซึ่งค่อนข้างกว้างขวางในปัจจุบันกำลังขยายตัวอย่างต่อเนื่อง

ฟังก์ชั่นของ Walsh สามารถแสดงเป็นภาพกราฟิกได้หลายวิธี อย่างไรก็ตาม ในช่วงของคำจำกัดความ จะมีค่าเพียงสองค่าเท่านั้น: +1 และ –1 เมื่อใช้ FUs โดยปกติแล้วจะแนะนำเวลาที่ไร้มิติ

ในรูป รูปที่ 9.1 แสดงฟังก์ชัน Walsh 8 ฟังก์ชันแรก (คลื่นสี่เหลี่ยม) ในช่วงของค่าอาร์กิวเมนต์

ข้าว. 9.1. ฟังก์ชัน Walsh เรียงลำดับและกำหนดหมายเลขตามจำนวนการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายในช่วงเวลา

ได้รับการยอมรับการกำหนดวอล เค(q) เกี่ยวข้องกับการสะกดนามสกุลวอลช์ ดัชนี เคระบุจำนวนการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมาย (จำนวนการข้ามระดับศูนย์) โดยฟังก์ชันในช่วงการกำหนด จึงมีค่าเพียงครึ่งหนึ่ง เคหรือเรียกอีกอย่างว่าความถี่การสั่น wal เค(ถาม) ขอบเขตการดำรงอยู่ของ FU นั้นมีลักษณะตามขนาดของพื้นฐานโดยที่ n=1,2,3,.... ในรูป. ขนาดพื้นฐาน 9.1

ฟังก์ชัน Walsh เป็นไปตามปกติในช่วงเวลา:

ฟังก์ชัน Walsh มีคุณสมบัติการคูณ เช่น การคูณ FU สองตัวจะได้ FU อีกอันหนึ่ง

โดยที่การดำเนินการหมายถึงผลรวมระดับบิตแบบโมดูโล 2 ตามกฎ:

1Å1=0; 0Å0=0; 1Å0=1; 0Å1=1.

การคูณ FU ด้วยตัวมันเองจะทำให้ฟังก์ชันมีลำดับเป็นศูนย์ เนื่องจากผลลัพธ์จะเป็นผลคูณของแบบฟอร์มเท่านั้น ดังนั้น,

การคูณ FU ใดๆ ด้วยฟังก์ชันลำดับศูนย์ เช่น

ไม่เปลี่ยนฟังก์ชันแรก ในแง่นี้ FU มีบทบาทเป็นฟังก์ชัน "หน่วย"

โดยธรรมชาติแล้ว ระบบออร์โธนอร์มอลที่สมบูรณ์ของฟังก์ชันวอลช์ทำให้สามารถแสดงสัญญาณใดๆ จากซีรีส์วอลช์-ฟูริเยร์ได้

.

ขั้นตอนในการค้นหาแอมพลิจูดของ “ฮาร์โมนิคสี่เหลี่ยม” แต่ละตัวของซีรีส์ Walsh–Fourier นั้นง่ายมาก: ด้วยสัญญาณที่ทราบ ส(ที) สำหรับ เค- ค่าสัมประสิทธิ์ "ฮาร์มอนิก" นั้นถูกกำหนดโดยสูตร

.

ตัวอย่าง: ขยายฟังก์ชันเป็นซีรีส์ Walsh–Fourier ในช่วงเวลา จำกัด ไว้ที่แปดเงื่อนไขของการขยาย (พื้นฐาน)

ก้าวไปสู่เวลาที่ไร้มิติเราควรกำหนด เนื่องจากฟังก์ชันที่กำหนด ส(ที) เป็นเลขคี่เมื่อเทียบกับ และฟังก์ชัน Walsh ทั้งหมดที่มีดัชนีคู่ รวมถึงศูนย์หรือรูปคู่ด้วย 9.1 แล้วสินค้า โดยที่พวกมันจะเป็นฟังก์ชันคี่ ดังนั้นอินทิกรัลของผลิตภัณฑ์เหล่านี้จึงเท่ากับศูนย์: c 0 =c 2 =c 4 =c 6 =0

ทีนี้ลองคำนวณค่าสัมประสิทธิ์และ:

ค่าสัมประสิทธิ์คือ:

,

อยู่ที่ไหนแสดงและ .

ด้วยการคำนวณง่ายๆ คุณจะได้รับ

ดังนั้นการสลายตัวของการสั่นแบบไซนูซอยด์ ส(ที) บนพื้นฐานของฟังก์ชันวอลช์ด้วย เอ็น=8 มีองค์ประกอบสเปกตรัมที่ไม่เป็นศูนย์สององค์ประกอบที่มีแอมพลิจูดและ

.

ผลลัพธ์ของการประมาณสัญญาณ ฟังก์ชั่น Walsh ที่ถูกตัดทอนและสเปกตรัมของสัญญาณนี้บนพื้นฐานของฟังก์ชัน Walsh แสดงไว้ในรูปที่ 1 9.2, กและ ขตามลำดับ

ข้าว. 9.2. การแสดงสัญญาณโดยการขยายในมุมฉากของฟังก์ชันวอลช์

ค่าคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ยรากของการแสดงสัญญาณเป็นอนุกรมที่ถูกตัดทอนโดยใช้ฟังก์ชันวอลช์คือ

แน่นอนว่าการขยายไซนูซอยด์เป็นอนุกรมฟูริเยร์ในฟังก์ชันตรีโกณมิติจะช่วยให้มีความแม่นยำมากขึ้น รับประกันความแม่นยำร้อยเปอร์เซ็นต์ด้วยชุดข้อมูลที่มีคำศัพท์เพียงคำเดียว - แต่การขยายฟังก์ชันคดเคี้ยวเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เช่น wal 1 (q) ให้เป็นอนุกรมฟูริเยร์

เมื่อเก็บเพียงสองเทอมของอนุกรม จะให้ความแม่นยำที่แย่กว่ามากในแง่ของข้อผิดพลาดรูต-ค่าเฉลี่ย-กำลังสอง กล่าวคือ ดังนี้จาก โดยธรรมชาติแล้ว สเปกตรัมของฟังก์ชันสี่เหลี่ยมตามฟังก์ชันวอลช์จะมีส่วนประกอบเพียงชิ้นเดียวและแสดงถึงฟังก์ชันดั้งเดิมด้วยความแม่นยำอย่างแน่นอน

ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นถึงความจริงที่ว่าสำหรับสัญญาณแต่ละประเภทจะมีระบบพื้นฐานอยู่เสมอ การขยายเข้าไปจะทำให้การแสดงสัญญาณนี้มีขนาดเล็กที่สุดเพื่อความแม่นยำที่กำหนด (หรือการแสดงที่แม่นยำที่สุดสำหรับเงื่อนไขการขยายตามจำนวนที่กำหนด)

ฟังก์ชัน Walsh สร้างขึ้นอย่างเรียบง่ายโดยระบบสร้างและประมวลผลสัญญาณดิจิทัลโดยใช้ส่วนประกอบที่ทันสมัย

ฟังก์ชั่นพื้นฐาน

การเป็นตัวแทนทางคณิตศาสตร์

สเปกตรัมสัญญาณสามารถเขียนผ่านการแปลงฟูริเยร์ได้ (สามารถทำได้โดยไม่มีค่าสัมประสิทธิ์ 1 / 2 π (\รูปแบบการแสดงผล 1/(\sqrt (2\pi )))) ในรูปแบบ:

S (ω) = ∫ − ∞ + ∞ s (t) e − i ω t d t (\displaystyle S(\omega)=\int \limits _(-\infty )^(+\infty )s(t)e^ (-i\โอเมก้า t)dt), ที่ไหน ω (\displaystyle \โอเมก้า )- ความถี่เชิงมุมเท่ากัน 2 π f (\รูปแบบการแสดงผล 2\pi f).

สเปกตรัมสัญญาณเป็นปริมาณที่ซับซ้อนและแสดงเป็น: S (ω) = A (ω) e − i ϕ (ω) (\displaystyle S(\omega)=A(\omega)e^(-i\phi (\omega))), ที่ไหน A (ω) (\displaystyle A(\โอเมก้า))- สเปกตรัมแอมพลิจูดของสัญญาณ ϕ (ω) (\displaystyle \phi (\omega))- สเปกตรัมเฟสของสัญญาณ

หากอยู่ภายใต้สัญญาณ s (t) (\displaystyle s(t))เข้าใจ

ตามวิธีสเปกตรัมในการวิเคราะห์การผ่านของสัญญาณผ่านวงจรเชิงเส้นของวงจรใด ๆ สัญญาณสุ่ม ส(ต) สามารถแสดงเป็นผลรวมอนันต์ของสัญญาณเชิงกำหนดที่คล้ายกันเชิงวิเคราะห์เบื้องต้น:

(2.8)

โดยนำไปใช้กับอินพุตของวงจรเชิงเส้น (รูปที่ 1.14) ค่าสัมประสิทธิ์การส่งผ่านจะเท่ากับ , ระดับประถมศึกษา สัญญาณที่กำหนดคุณสามารถค้นหาการตอบสนองเบื้องต้นของวงจร ซึ่งก็คือสัญญาณที่เอาต์พุตของวงจร

รูปที่.2.3.เพื่อกำหนดสัญญาณที่เอาต์พุตของวงจรเชิงเส้น .

สัญญาณที่เอาต์พุตของวงจรเชิงเส้นมีค่าเท่ากับ

(2.9)

เนื่องจากหลักการของการซ้อนทับใช้ได้กับวงจรเชิงเส้น การตอบสนองที่ได้จะเท่ากับ:

(2.10)

ฟังก์ชันที่อธิบายสัญญาณเบื้องต้นเรียกว่าฟังก์ชันพื้นฐาน การแสดงสัญญาณตามฟังก์ชันพื้นฐานจะง่ายขึ้นหากเป็นแบบตั้งฉากและแบบตั้งฉาก

ชุดของฟังก์ชันเรียกว่ามุมฉาก , หากอยู่ในช่วงตั้งแต่ถึง

ที่ (2.11)

และออร์โธนอร์มอล , หากตรงตามเงื่อนไขทั้งหมด

. (2.12)

ความตั้งฉากของฟังก์ชันพื้นฐานที่ใช้แสดงสัญญาณดั้งเดิมรับประกันว่าสัญญาณสามารถแสดงได้ด้วยวิธีที่ไม่เหมือนใคร เงื่อนไขมุมตั้งฉากนั้นเป็นไปตามฟังก์ชันฮาร์มอนิกของหลายความถี่เช่นเดียวกับฟังก์ชันวอลช์ซึ่งในส่วนของการดำรงอยู่ของพวกเขาจากการรับเฉพาะค่าที่เท่ากับ 1 สัญญาณที่ไม่ต่อเนื่อง Barker และฟังก์ชั่นอื่น ๆ วิธีการวิเคราะห์สัญญาณสเปกตรัมนั้นใช้การแปลงฟูริเยร์และประกอบด้วยการแทนที่ ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนเวลาที่อธิบายสัญญาณด้วยผลรวมของจำนวนเฉพาะ สัญญาณฮาร์มอนิก, ขึ้นรูป สเปกตรัมความถี่สัญญาณนี้ นักฟิสิกส์และนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสชื่อดัง เจ.บี. ฟูริเยร์ (1768 - 1830) พิสูจน์ว่าการเปลี่ยนแปลงในเวลาของฟังก์ชันบางอย่างสามารถประมาณเป็นผลรวมอันจำกัดหรืออนันต์ของชุดการสั่นของฮาร์มอนิกที่มีแอมพลิจูด ความถี่ และเฟสเริ่มต้นต่างกัน ฟังก์ชั่นนี้อาจเป็นกระแสหรือแรงดันไฟฟ้าในวงจรไฟฟ้า

ก่อนอื่นให้เราพิจารณาการแสดงสัญญาณไฟฟ้าเป็นระยะ (รูปที่ 2.4) ซึ่งตรงตามเงื่อนไข

, (2.13)

โดยที่: - ระยะเวลาสัญญาณ; =1,2,3,….

ข้าว. 2.4.สัญญาณเป็นระยะ

ลองจินตนาการถึงสัญญาณนี้เป็นอนุกรมตรีโกณมิติอนันต์:

อนุกรมนี้เรียกว่าอนุกรมฟูริเยร์

สามารถเขียนอนุกรมฟูริเยร์ได้ในรูปแบบอื่น:

, (2.15)

ที่ไหน: - โมดูลแอมพลิจูดฮาร์มอนิก

— เฟสฮาร์มอนิก

— ความถี่วงกลม

— ค่าสัมประสิทธิ์ของส่วนประกอบโคไซน์ — สัมประสิทธิ์ของส่วนประกอบไซน์ซอยด์ — ค่าสัญญาณเฉลี่ยในช่วงเวลาหนึ่ง (องค์ประกอบคงที่) .

แต่ละเงื่อนไขของซีรีส์นี้เรียกว่าฮาร์โมนิกส์ . ตัวเลขคือเลขฮาร์มอนิก ชุดของค่าในอนุกรม (2.15) เรียกว่าสเปกตรัมแอมพลิจูด และชุดของค่าเรียกว่าสเปกตรัมเฟส

ด้านล่างในรูป รูปที่ 2.5 แสดงสเปกตรัมแอมพลิจูดและเฟสของสัญญาณเป็นระยะ ส่วนแนวตั้งของสเปกตรัมแอมพลิจูดแสดงถึงแอมพลิจูดฮาร์มอนิกและเรียกว่าเส้นสเปกตรัม

รูปที่ 2.5.สเปกตรัมแอมพลิจูดและเฟสของสัญญาณเป็นระยะ

ดังนั้นสเปกตรัมของสัญญาณคาบ – ปกครอง . สัญญาณแต่ละคาบจะมีแอมพลิจูดและสเปกตรัมเฟสที่กำหนดไว้อย่างดี

ผลรวมของอนุกรม (2.15) นั้นไม่มีที่สิ้นสุด แต่เมื่อเริ่มต้นจากจำนวนหนึ่ง แอมพลิจูดของฮาร์โมนิคมีขนาดเล็กมากจนสามารถละเลยได้ และสัญญาณคาบจริงในทางปฏิบัติจะแสดงด้วยฟังก์ชันที่มีสเปกตรัมจำกัด ช่วงความถี่ที่สอดคล้องกับสเปกตรัมที่จำกัดเรียกว่าความกว้างของสเปกตรัม

ถ้าฟังก์ชันที่อธิบายสัญญาณคาบเป็นเลขคู่ ผลรวมของอนุกรม (2.14) จะมีเฉพาะส่วนประกอบโคไซน์เท่านั้น ถ้าเป็นฟังก์ชันคี่ ผลรวมจะมีเพียงส่วนประกอบไซน์ซอยด์เท่านั้น

นอกจากนี้ยังเป็นไปได้ที่จะแสดงสัญญาณคาบในรูปแบบของอนุกรมฟูริเยร์ที่ซับซ้อน:

, (2.16)

— แอมพลิจูดสเปกตรัมที่ซับซ้อน ซึ่งมีข้อมูลเกี่ยวกับทั้งแอมพลิจูดและสเปกตรัมเฟส

หลังจากแทนค่า และ เราได้รับ:

(2.17)

หากเราแทนค่าผลลัพธ์เป็นอนุกรม (1.29) ค่านั้นจะกลายเป็นเอกลักษณ์ ดังนั้นเป็นระยะๆ สัญญาณไฟฟ้าสามารถระบุได้ด้วยฟังก์ชันของเวลาหรือตามแอมพลิจูดที่ซับซ้อนของสเปกตรัม

2.2.1. สเปกตรัมของลำดับคาบของพัลส์สี่เหลี่ยม

องค์ประกอบของสเปกตรัมของลำดับคาบของพัลส์สี่เหลี่ยมขึ้นอยู่กับอัตราส่วนของคาบลำดับต่อระยะเวลาพัลส์ เรียกว่ารอบหน้าที่ของพัลส์ สเปกตรัมจะไม่มีฮาร์โมนิคที่มีตัวเลขเป็นทวีคูณของรอบการทำงานของพัลส์ รอบการทำงานของพัลส์คือ รูปที่ 1.17 แสดงลำดับพัลส์สามลำดับที่มีรอบการทำงานต่างกันและสเปกตรัมที่สอดคล้องกัน สำหรับลำดับคาบ รอบหน้าที่คือ 2 สเปกตรัมไม่มีฮาร์โมนิก 2, 4, 6, 8 ฯลฯ สำหรับลำดับที่มีรอบหน้าที่เป็น 3, 3, 6 ฯลฯ จะไม่มีฮาร์โมนิคในสเปกตรัม สำหรับลำดับที่มีรอบการทำงานเป็น 4 สเปกตรัมจะไม่มีฮาร์โมนิกที่ 4, 8 ฯลฯ ในสเปกตรัมที่กำหนดทั้งหมด ช่วงเวลาระหว่างเส้นสเปกตรัมจะเท่ากับส่วนกลับของคาบลำดับ จุดบนแกนความถี่ที่สเปกตรัมเป็นศูนย์จะสัมพันธ์กับส่วนกลับของระยะเวลาของพัลส์ของลำดับคาบ

รูปที่.2.6. ลำดับคาบของพัลส์และสเปกตรัม

2.2.2. สเปกตรัมของสัญญาณที่ไม่ใช่คาบ

เมื่อพิจารณาสเปกตรัมของสัญญาณที่ไม่ใช่คาบ เราจะใช้การเปลี่ยนแปลงแบบจำกัดจากสัญญาณคาบเป็นสัญญาณที่ไม่ใช่คาบ โดยกำหนดคาบเป็นอนันต์

สำหรับสัญญาณเป็นระยะดังแสดงในรูปที่ 1 ก่อนหน้านี้ได้รับนิพจน์ 2.4 (2.17) สำหรับแอมพลิจูดที่ซับซ้อนของสเปกตรัม:

(2.18)

ให้เราแนะนำสัญกรณ์:

(2.19)

มาสร้างโมดูลสเปกตรัมกันเถอะ:

ข้าว. 2.7.โมดูลสเปกตรัมสัญญาณเป็นระยะ

ระยะห่างระหว่างเส้นสเปกตรัมคือ หากคุณเพิ่มระยะเวลา ช่วงเวลา w1 จะลดลง เมื่อช่วงเวลาระหว่างเส้นสเปกตรัม w1® dw ในกรณีนี้ ลำดับพัลส์ตามคาบจะเปลี่ยนเป็นพัลส์เดี่ยว และโมดูลัสสเปกตรัมมีแนวโน้มที่จะทำหน้าที่ต่อเนื่องของความถี่ อันเป็นผลมาจากการเปลี่ยนแปลงที่จำกัดจากสัญญาณคาบไปเป็นสัญญาณที่ไม่ใช่คาบ สเปกตรัมของเส้นจะลดลงเป็นสเปกตรัมต่อเนื่อง ดังแสดงในรูปที่ 1 2.8.

ข้าว. 2.8.สเปกตรัมของสัญญาณที่ไม่ใช่คาบ

ในกรณีนี้ แอมพลิจูดเชิงซ้อนจะเท่ากับ:

. (2.20)

โดยคำนึงถึงการผ่านไปจนถึงขีดจำกัดที่

(2.21)

ให้เราแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์เป็นอนุกรม (2.16) ในกรณีนี้ผลรวมจะถูกแปลงเป็นอินทิกรัลและสามารถแสดงค่าของความถี่แยกเป็นค่าของความถี่ปัจจุบันและสัญญาณที่ไม่ใช่คาบได้ในรูปแบบต่อไปนี้:

. (2.22)

นิพจน์นี้สอดคล้องกับการแปลงฟูริเยร์ผกผัน ขอบเขตของสเปกตรัมต่อเนื่องของพัลส์เดี่ยวเกิดขึ้นพร้อมกับขอบเขตของสเปกตรัมเส้นของฟังก์ชันคาบซึ่งแสดงถึงการทำซ้ำเป็นระยะของพัลส์นี้

อินทิกรัลฟูริเยร์ทำให้ฟังก์ชันที่ไม่ใช่คาบสามารถแสดงเป็นผลรวมของจำนวนอนันต์ของการแกว่งไซนัสซอยด์ด้วยแอมพลิจูดที่เล็กที่สุดและช่วงความถี่ที่เล็กที่สุด สเปกตรัมสัญญาณถูกกำหนดจากการแสดงออก

อินทิกรัลนี้สอดคล้องกับการแปลงฟูเรียร์โดยตรง

– สเปกตรัมที่ซับซ้อน ประกอบด้วยข้อมูลเกี่ยวกับทั้งสเปกตรัมแอมพลิจูดและสเปกตรัมเฟส

ดังนั้นสเปกตรัมของฟังก์ชันที่ไม่ใช่คาบจึงมีความต่อเนื่อง เราสามารถพูดได้ว่ามันมีความถี่ "ทั้งหมด" หากคุณตัดช่วงความถี่เล็กๆ ออกจากสเปกตรัมต่อเนื่อง ความถี่ของส่วนประกอบสเปกตรัมในพื้นที่นี้จะแตกต่างกันเพียงเล็กน้อยตามที่ต้องการ ดังนั้นจึงสามารถเพิ่มส่วนประกอบสเปกตรัมได้ราวกับว่าส่วนประกอบทั้งหมดมีความถี่เท่ากันและมีแอมพลิจูดที่ซับซ้อนเท่ากัน ความหนาแน่นของสเปกตรัมคืออัตราส่วนของแอมพลิจูดเชิงซ้อนของช่วงความถี่เล็กๆ ต่อค่าของช่วงเวลานี้

การวิเคราะห์สเปกตรัมของสัญญาณมีความสำคัญขั้นพื้นฐานในอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์ทางวิทยุ การรู้สเปกตรัมของสัญญาณช่วยให้คุณสามารถตัดสินใจได้อย่างชาญฉลาดเกี่ยวกับแบนด์วิดท์ของอุปกรณ์ที่ได้รับผลกระทบจากสัญญาณนั้น

2.2.3. สเปกตรัมของพัลส์วิดีโอสี่เหลี่ยมเดียว

ให้เราคำนวณสเปกตรัมของพัลส์สี่เหลี่ยมอันเดียวซึ่งมีแอมพลิจูดเท่ากับ อีและระยะเวลาคือ t ดังแสดงในรูปที่ 2.9.

ข้าว. 2.9.พัลส์สี่เหลี่ยมเดี่ยว

ตามนิพจน์ (2.24) สเปกตรัมของสัญญาณดังกล่าวจะเท่ากับ

=. (2.24)

เนื่องจาก = 0 เมื่อ ดังนั้นความถี่ที่สเปกตรัมหายไปจะเท่ากับ โดยที่ เค=1,2,3…

ในรูป รูปที่ 2.10 แสดงสเปกตรัมเชิงซ้อนของระยะเวลาพัลส์สี่เหลี่ยมเดี่ยว

รูปที่.2.10.สเปกตรัมของพัลส์สี่เหลี่ยมอันเดียว

ความหนาแน่นของสเปกตรัมเป็นตัวกำหนดการกระจายพลังงานในสเปกตรัมของพัลส์เดี่ยว โดยทั่วไปการกระจายพลังงานไม่สม่ำเสมอ การกระจายตัวแบบเอกพันธ์เป็นลักษณะของกระบวนการวุ่นวายที่เรียกว่า "สัญญาณรบกวนสีขาว"

ความหนาแน่นสเปกตรัมของพัลส์ที่ความถี่ศูนย์เท่ากับพื้นที่ของมัน ประมาณ 90% ของพลังงานของพัลส์สี่เหลี่ยมเดี่ยวจะกระจุกตัวอยู่ในสเปกตรัม ซึ่งความกว้างจะถูกกำหนดโดยการแสดงออก

ความสัมพันธ์ (1.41) กำหนดข้อกำหนดสำหรับแบนด์วิธของอุปกรณ์วิทยุ ในงานที่รูปร่างของสัญญาณมีความสำคัญรอง สามารถเลือกแบนด์วิดท์ของอุปกรณ์สำหรับสัญญาณนี้ได้เท่ากับความกว้างของกลีบสเปกตรัมแรก ในกรณีนี้ ยังไม่ทราบระดับความบิดเบี้ยวของรูปร่างสัญญาณ การเพิ่มแบนด์วิธเป็นสองเท่าจะช่วยเพิ่มพลังงานสัญญาณได้ 5% ในขณะเดียวกันก็เพิ่มระดับเสียงรบกวนไปพร้อมๆ กัน

ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานอธิบายโดย: - หมายเลขฮาร์มอนิก

ช่วงตั้งฉาก เมื่อทำให้เป็นมาตรฐานด้วยกำลัง ฟังก์ชันพื้นฐานคือ: Ω=2π\T

;

;
;
;

, A i - แอมพลิจูดของฮาร์โมนิก, Θ i - เฟส

;

2. การสลายตัวของสัญญาณและเสียงโดยฟังก์ชันวอลช์

ฟังก์ชัน Walsh ประกอบด้วยฟังก์ชัน Rademacher
,เค=1,2...;

sgn เป็นฟังก์ชันเครื่องหมาย

ช่วงเวลาแบ่งออกเป็น 2 k ช่วง ∆T ในนั้นฟังก์ชัน Rademacher รับค่า "+1" และ "–1" (F-I ยังคงมุมตั้งฉากไว้)wal 0 =1 – ฟังก์ชัน Walsh “0” ของลำดับที่ 1

การได้รับฟังก์ชัน wal ที่มีลำดับสูงกว่า (k=1,2,3...):

1) เขียนเลข k ในระบบไบนารี่ลงไป

รหัสโดยตรง

m คือจำนวนบิตโค้ดที่จำเป็นในการแสดงฟังก์ชัน Walsh ของลำดับ k γ i คือสัมประสิทธิ์การถ่วงน้ำหนักที่มีค่า 1 หรือ 0 (ขึ้นอยู่กับว่าบิตนี้ถูกนำมาพิจารณาหรือไม่ในระหว่างการรวม)

2) หมายเลข k จะถูกเข้ารหัสใหม่ตามกฎรหัสสีเทา รหัสชุดค่าผสมจะถูกเพิ่ม mod2 โดยมีชุดค่าผสมเดียวกันเลื่อนไปทางขวา 1 บิต ในกรณีนี้ บิตที่มีนัยสำคัญน้อยที่สุดจะถูกละทิ้งไป โค้ดที่ได้จะเรียกว่าโค้ด Walsh

3) การเป็นตัวแทนฉ. วอลช์ในซีรีส์ Rodomacher:

กฎข้อนี้แสดงว่า f วอลช์ได้มาจากการคูณฟังก์ชัน Rodomacher ในการรวมกันบางอย่างกับสัมประสิทธิ์ ข ผม . สำหรับ 4kf เราสร้างวอลช์:

ระบบนี้มีเอกลักษณ์เฉพาะด้วยการจัดเรียงฟังก์ชันจากน้อยไปหามาก

จำนวนตัวแปรเครื่องหมายในช่วงเวลา ในระบบนี้ด้วยซ้ำ

สัมพันธ์กับช่วงกลางของช่วงสลับกับช่วงคี่

จำนวนเครื่องหมายเปลี่ยนแปลงในช่วงเวลาสำหรับเลขคู่

เครื่องหมายเปลี่ยน m/2 และสำหรับคี่ (m+1)/2

-ฉ. วอลช์ในระบบตั้งฉาก

3. การแสดงสัญญาณและการรบกวนทางเรขาคณิต

วัตถุทางคณิตศาสตร์ A i เป็นองค์ประกอบของเซต A 1

หากการดำเนินการเชิงเส้นสามารถทำได้บนวัตถุ A i ดังนั้นเซต A 1 จะเป็นของปริภูมิเชิงเส้นและองค์ประกอบของมัน A i คือจุดของปริภูมินี้

อวกาศมีมิติใดๆ m

หากในช่องว่างดังกล่าว ระยะห่างระหว่างจุด A i และ A j ถูกกำหนด ช่องว่างนั้นจะเป็นหน่วยเมตริก และระยะห่างระหว่างจุดกำเนิดกับจุดใดๆ ถือเป็นบรรทัดฐาน และช่องว่างนั้นจะถูกทำให้เป็นมาตรฐาน จึงสามารถกำหนดบรรทัดฐานและระยะทางได้ ในพื้นที่บรรทัดฐานเชิงเส้น บรรทัดฐานจะถูกกำหนดไว้ในแบบฟอร์ม
และระยะทาง
-ปริภูมิ เรียกว่า Euclidean.ifn→∞ - ปริภูมิฮิลแบร์ตA i เป็นเวกเตอร์ ความยาวของมันคือบรรทัดฐาน

จากนั้นการแกว่ง U i (t) สามารถเชื่อมโยงกับจุด A i หรือเวกเตอร์ได้ ในปริภูมิ n มิติซึ่งมีมิติเท่ากับจำนวนองศาความอิสระของการสั่นสะเทือน u(t) ปล่อยให้การสั่น u a (t) และ u b (t) ถูกขยายในระบบฟังก์ชันตั้งฉาก φ i (t)
,
การแกว่งเหล่านี้จะสอดคล้องกับเวกเตอร์
พร้อมพิกัด
- ความยาวของพวกเขา

- โดยคำนึงถึงสภาวะของ orthogonality หรือค่อนข้าง orthonormality ความยาวและมาตรฐานเหมือนกัน

P a และ P b - กำลังการสั่นจำเพาะเฉลี่ย ความยาวของเวกเตอร์ในปริภูมิ n มิติถูกกำหนดโดยค่าประสิทธิผลของการสั่นสะเทือนที่สอดคล้องกัน

- กำหนดระดับความใกล้ชิด ระยะทางถือได้ว่าเป็นโมดูลัสของความแตกต่าง
ยิ่งค่านี้น้อยลง ความแตกต่างระหว่างการสั่นสะเทือนก็จะยิ่งน้อยลง

* - ค่าเฉลี่ยของผลิตภัณฑ์ของการแกว่ง
** - ปฏิสัมพันธ์ที่มีประสิทธิผลระหว่างการแกว่ง m/u u a และ u b
จากนั้นนิพจน์ * และ ** จะตรงกัน ifu a และ u b อยู่ในมุมฉาก =0.ถ้า U a =–U b แล้ว P ab = – P a = – P b . สัญญาณและเสียงสามารถแสดงเป็นเวกเตอร์ได้ ในการแสดงทางเรขาคณิตของสัญญาณที่เข้ารหัส พื้นที่มิติกว้างในเมตริกที่ไม่ใช่แบบยุคลิด ระยะทางในพื้นที่นี้ถูกกำหนดโดยอัลกอริธึม
,n คือจำนวนองค์ประกอบของการรวมกันของรหัสนี้ ax i และ y i คือค่าของบิตที่เกี่ยวข้อง แบบจำลองทางเรขาคณิตของตัวเลข n รหัสไบนารี่คือลูกบาศก์ขนาด n มิติที่มีขอบ = 1 ซึ่งแต่ละจุดยอดแสดงถึงหนึ่งในผลรวมที่เป็นไปได้ 000,001,010,100,101,110,011,111 ระยะทาง -. สัญญาณที่เข้ารหัสในรูปแบบของลูกบาศก์ n มิติ