ความสอดคล้อง G ระหว่างชุด กและ ในเรียกว่าเซตย่อย ถ้าอย่างนั้นพวกเขาก็พูดอย่างนั้น ข

สอดคล้องกัน ก.เซตขององค์ประกอบที่เกี่ยวข้องทั้งหมด

เรียกว่า ทางองค์ประกอบก เซตของทั้งหมดที่องค์ประกอบสอดคล้องนั้นเรียกว่า

ต้นแบบองค์ประกอบ ข.

หลายคู่ (ข,ก)เช่นนั้นเรียกว่าผกผัน

ต่อ ชและถูกกำหนดไว้ แนวคิดเรื่องภาพและต้นแบบสำหรับ

"G และเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกัน

ตัวอย่าง. 1) มาวางไว้ให้สอดคล้องกับจำนวนธรรมชาติกันดีกว่า n

เซตของจำนวนจริง - รูปภาพของหมายเลข 5

จะมีช่วงพักครึ่ง

(หมายถึงจำนวนเต็มที่มากที่สุด น้อยกว่าหรือเท่ากับ เอ็กซ์- ต้นแบบของเลข 5 ในจดหมายฉบับนี้คือเซตอนันต์: ครึ่งช่วง

ในแง่ของการปิด เราสามารถให้คำจำกัดความอื่นๆ ของการปิดและความสมบูรณ์ได้ (เทียบเท่ากับคำเดิม):

K เป็นคลาสปิด ถ้า K = [K];

K เป็นระบบที่สมบูรณ์ถ้า [K] = P 2

ตัวอย่าง.

* (0), (1) - ชั้นเรียนปิด

* ชุดฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่งเป็นคลาสปิด

* - ปิดชั้นเรียน

* คลาส (1, x+y) ไม่ใช่คลาสปิด

มาดูคลาสปิดที่สำคัญที่สุดบางส่วนกัน

1. ที 0- คลาสของฟังก์ชันที่รักษา 0

ให้เราแสดงด้วย T 0 คลาสของฟังก์ชันทั้งหมดของพีชคณิตของตรรกะ f(x 1 , x 2 , ... , x n) รักษาค่าคงที่ 0 นั่นคือฟังก์ชันที่ f(0, ... , 0 ) = 0

ง่ายที่จะเห็นว่ามีฟังก์ชันที่เป็นของ T 0 และฟังก์ชันที่ไม่อยู่ในคลาสนี้:

0, x, xy, xÚy, x+y О T 0 ;

จากข้อเท็จจริงที่ว่า Ï T 0 ตามหลังมา เช่น ไม่สามารถแสดงผ่านการแยกตัวและการร่วมได้

เนื่องจากตารางสำหรับฟังก์ชัน f จากคลาส T 0 มีค่า 0 ในบรรทัดแรกดังนั้นสำหรับฟังก์ชันจาก T 0 คุณสามารถตั้งค่าที่กำหนดเองได้เฉพาะกับค่าตัวแปร 2 n - 1 ชุดเท่านั้นนั่นคือ

,

โดยที่ชุดของฟังก์ชันที่รักษา 0 และขึ้นอยู่กับตัวแปร n ตัว

ให้เราแสดงว่า T 0 เป็นคลาสปิด เนื่องจาก xÎT 0 ดังนั้นเพื่อพิสูจน์ความปิดก็เพียงพอที่จะแสดงความปิดด้วยความเคารพต่อการดำเนินการของการซ้อนทับ เนื่องจากการดำเนินการของการเปลี่ยนแปลงตัวแปรเป็นกรณีพิเศษของการซ้อนทับด้วยฟังก์ชัน x

อนุญาต . งั้นก็เพียงพอที่จะแสดงให้เห็นว่า อย่างหลังตามมาจากห่วงโซ่แห่งความเท่าเทียม

2. ที 1- คลาสของฟังก์ชันการรักษา 1

ให้เราแสดงด้วย T 1 คลาสของฟังก์ชันทั้งหมดของพีชคณิตของตรรกะ f(x 1, x 2, ... , x n) รักษาค่าคงที่ 1 นั่นคือฟังก์ชันที่ f(1, ... , 1 ) = 1.

ง่ายที่จะเห็นว่ามีฟังก์ชันที่เป็นของ T 1 และฟังก์ชันที่ไม่อยู่ในคลาสนี้:

1, x, xy, xÚy, xoy О T 1 ;

0, , x+y Ï T 1 .

จากข้อเท็จจริงที่ว่า x + y Ï T 0 เป็นไปตามนั้น เช่น x + y ไม่สามารถแสดงในรูปของการแตกแยกและการเชื่อม

ผลลัพธ์เกี่ยวกับคลาส T 0 จะถูกถ่ายโอนไปยังคลาส T 1 เล็กน้อย ดังนั้นเราจึงมี:

T 1 - คลาสปิด;

.

3.ล- คลาสของฟังก์ชันเชิงเส้น

ให้เราแสดงด้วย L คลาสของฟังก์ชันทั้งหมดของพีชคณิตของตรรกะ f(x 1 , x 2 , ... , xn) ที่เป็นเส้นตรง:

มันง่ายที่จะเห็นว่ามีฟังก์ชั่นที่เป็นของ L และฟังก์ชั่นที่ไม่อยู่ในคลาสนี้:

0, 1, x, x+y, x 1 º x 2 = x 1 + x 2 + 1, = x+1 О L;

ให้เราพิสูจน์ตัวอย่างว่า xÚy Ï L .

สมมติว่าตรงกันข้าม เราจะค้นหานิพจน์สำหรับ xÚy ในรูปแบบของฟังก์ชันเชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์ไม่ระบุ:

สำหรับ x = y = 0 เรามี a=0

สำหรับ x = 1, y = 0 เรามี b = 1

สำหรับ x = 0, y = 1 เรามี g = 1

แต่สำหรับ x = 1, y = 1 เรามี 1v 1 ¹ 1 + 1 ซึ่งพิสูจน์ความไม่เชิงเส้นของฟังก์ชัน xy

การพิสูจน์ความปิดของคลาสของฟังก์ชันเชิงเส้นนั้นค่อนข้างชัดเจน

เนื่องจากฟังก์ชันเชิงเส้นถูกกำหนดโดยไม่ซ้ำกันโดยการระบุค่า n+1 ของสัมประสิทธิ์ a 0 , ... , a n จำนวนฟังก์ชันเชิงเส้นในคลาส L (n) ของฟังก์ชันขึ้นอยู่กับตัวแปร n เท่ากับ 2 n+1 .

.

4. ส- คลาสของฟังก์ชันคู่ด้วยตนเอง

คำจำกัดความของคลาสของฟังก์ชันคู่ในตัวนั้นขึ้นอยู่กับการใช้สิ่งที่เรียกว่าหลักการความเป็นคู่และฟังก์ชันคู่

ฟังก์ชันที่กำหนดโดยความเท่าเทียมกันเรียกว่า คู่กับฟังก์ชัน .

แน่นอนว่าตารางสำหรับฟังก์ชันคู่ (ที่มีการเรียงลำดับมาตรฐานของชุดของค่าตัวแปร) ได้มาจากตารางสำหรับฟังก์ชันดั้งเดิมโดยการกลับค่าคอลัมน์ของค่าฟังก์ชัน (นั่นคือ แทนที่ 0 ด้วย 1 และ 1 ด้วย 0) และพลิกมัน

มันง่ายที่จะเห็นว่า

(x 1 Ú x 2)* = x 1 Ù x 2 ,

(x 1 Ù x 2)* = x 1 Ú x 2 .

ตามคำนิยามที่ว่า (f*)* = f กล่าวคือ ฟังก์ชัน f มีค่าเป็นสองเท่ากับ f*

ให้ฟังก์ชันแสดงโดยใช้การซ้อนทับผ่านฟังก์ชันอื่นๆ คำถามคือจะสร้างสูตรที่ใช้ได้อย่างไร ? ให้เราแสดงด้วย = (x 1, ..., x n) สัญลักษณ์ตัวแปรต่างๆ ทั้งหมดที่พบในเซต

ทฤษฎีบท 2.6หากได้รับฟังก์ชัน j จากการซ้อนทับของฟังก์ชัน f, f 1, f 2, ..., f m นั่นคือ

ฟังก์ชันคู่กับการซ้อนทับคือการซ้อนทับของฟังก์ชันคู่

การพิสูจน์.

j*(x 1 ,...,xn) = ` f(`x 1 ,...,`x n) =

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว ð

หลักการของความเป็นคู่เป็นไปตามทฤษฎีบท: ถ้าสูตร A ทราบถึงฟังก์ชัน f(x 1 , ... , x n) ดังนั้นสูตรที่ได้จาก A โดยการแทนที่ฟังก์ชันที่รวมอยู่ในสูตรด้วยฟังก์ชันคู่ของสูตรจะตระหนักถึงฟังก์ชันคู่ f *(x 1 , ... , xn).

ให้เราแสดงด้วย S คลาสของฟังก์ชันคู่ด้วยตนเองทั้งหมดจาก P 2:

ส = (ฉ | ฉ* = ฉ )

มันง่ายที่จะเห็นว่ามีฟังก์ชั่นที่เป็นของ S และฟังก์ชั่นที่ไม่อยู่ในคลาสนี้:

0, 1, xy, xÚy Ï S .

ตัวอย่างเล็กๆ น้อยๆ ของฟังก์ชัน self-dual คือฟังก์ชัน

ชั่วโมง(x, y, z) = xy Ú xz Ú ​​​​yz;

เรามีทฤษฎีบทเกี่ยวกับฟังก์ชันสองเท่ากับการทับซ้อน

h*(x, y, z)= (x Ú y)Ù(x Ú z) Ù (y Ù z) = x y Ú x z Ú y z; ชั่วโมง = ชั่วโมง* ; เอช โอ ส.

สำหรับฟังก์ชั่น self-dual ตัวตนจะคงอยู่

ในชุด และ ซึ่งเราจะเรียกว่าตรงกันข้าม ฟังก์ชัน self-dual รับค่าที่ตรงกันข้าม ตามมาว่าฟังก์ชัน self-dual นั้นถูกกำหนดโดยค่าของมันในครึ่งแรกของแถวของตารางมาตรฐาน ดังนั้นจำนวนฟังก์ชัน self-dual ในคลาส S (n) ของฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับตัวแปร n ตัวจะเท่ากับ:

.

ตอนนี้ให้เราพิสูจน์ว่าคลาส S ปิดแล้ว เนื่องจาก xÎS ดังนั้น เพื่อพิสูจน์ความปิด ก็เพียงพอที่จะแสดงความปิดด้วยความเคารพต่อการดำเนินการของการซ้อนทับ เนื่องจากการดำเนินการของการเปลี่ยนแปลงตัวแปรเป็นกรณีพิเศษของการซ้อนทับด้วยฟังก์ชัน x อนุญาต . งั้นก็เพียงพอที่จะแสดงให้เห็นว่า หลังได้รับการติดตั้งโดยตรง:

5. ม- คลาสของฟังก์ชันโมโนโทนิก

ก่อนที่จะกำหนดแนวคิดของฟังก์ชันโมโนโทนิกในพีชคณิตของตรรกะ จำเป็นต้องแนะนำความสัมพันธ์ในการเรียงลำดับชุดของชุดตัวแปรก่อน

เขาว่ากันว่าเซตต้องมาก่อนเซต (หรือ “ไม่เกิน” หรือ “น้อยกว่าหรือเท่ากับ”) และใช้สัญลักษณ์ถ้า a i £ b i for all i = 1, ... , n ถ้า และ เราจะบอกว่าเซตอยู่ข้างหน้าเซตอย่างเคร่งครัด (หรือ “น้อยกว่าอย่างเคร่งครัด” หรือ “น้อยกว่า” เซต) และใช้สัญลักษณ์ เซตและถูกเรียกว่าเทียบเคียงได้ถ้าอย่างใดอย่างหนึ่ง หรือ ในกรณีที่ไม่มีความสัมพันธ์ใด ๆ เกิดขึ้น เซตและถูกเรียกว่าหาที่เปรียบมิได้ ตัวอย่างเช่น (0, 1, 0, 1) £ (1, 1, 0, 1) แต่เซต (0, 1, 1, 0) และ (1, 0, 1, 0) ไม่สามารถเปรียบเทียบได้ ดังนั้น ความสัมพันธ์ £ (มักเรียกว่าความสัมพันธ์ที่มาก่อน) จึงเป็นลำดับบางส่วนของเซต B n ด้านล่างนี้เป็นไดอะแกรมของชุดที่เรียงลำดับบางส่วน B 2, B 3 และ B 4

ความสัมพันธ์ตามลำดับบางส่วนที่แนะนำเป็นแนวคิดที่สำคัญอย่างยิ่งซึ่งไปไกลเกินกว่าขอบเขตของหลักสูตรของเรา

ตอนนี้เรามีโอกาสที่จะกำหนดแนวคิดของฟังก์ชันโมโนโทนิก

ฟังก์ชันพีชคณิตเชิงตรรกะเรียกว่า ซ้ำซากจำเจถ้าสำหรับสองชุดใดๆ และ เช่นนั้น ความไม่เท่าเทียมกันยังคงอยู่ - เซตของฟังก์ชันโมโนโทนทั้งหมดของพีชคณิตของลอจิกเขียนแทนด้วย M และเซตของฟังก์ชันโมโนโทนทั้งหมดที่ขึ้นอยู่กับตัวแปร n จะแสดงด้วย M(n)

มันง่ายที่จะเห็นว่ามีฟังก์ชั่นที่เป็นของ M และฟังก์ชั่นที่ไม่อยู่ในคลาสนี้:

0, 1, x, xy, xÚy О M;

x+y, x®y, xoy Ï M

ให้เราแสดงว่าคลาสของฟังก์ชันโมโนโทน M เป็นคลาสปิด เนื่องจาก xОМ ดังนั้น เพื่อพิสูจน์ความปิด ก็เพียงพอที่จะแสดงความปิดด้วยความเคารพต่อการดำเนินการของการซ้อนทับ เนื่องจากการดำเนินการของการเปลี่ยนแปลงตัวแปรเป็นกรณีพิเศษของการซ้อนทับด้วยฟังก์ชัน x

อนุญาต . งั้นก็เพียงพอที่จะแสดงให้เห็นว่า

อนุญาต ชุดของตัวแปรตามลำดับฟังก์ชัน j, f 1 , ... , f m และชุดของตัวแปรของฟังก์ชัน j ประกอบด้วยตัวแปรเหล่านั้นและเฉพาะตัวแปรเหล่านั้นที่ปรากฏในฟังก์ชัน f 1 , ... , f m . ให้ และ เป็นค่าสองชุดของตัวแปร และ ชุดเหล่านี้กำหนดชุด ค่าตัวแปร เช่นนั้น - เนื่องจากความน่าเบื่อของฟังก์ชัน f 1 , ... , f m

และเนื่องจากความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชัน f

จากที่นี่เราได้รับ

จำนวนฟังก์ชันโมโนโทนิกที่ขึ้นอยู่กับตัวแปร n ตัวนั้นไม่เป็นที่ทราบแน่ชัด สามารถรับขอบเขตล่างได้อย่างง่ายดาย:

โดยที่ - คือส่วนจำนวนเต็มของ n/2

ปรากฎว่าค่าประมาณข้างต้นสูงเกินไป:

การปรับปรุงการประมาณการเหล่านี้เป็นงานที่สำคัญและน่าสนใจของการวิจัยสมัยใหม่

เกณฑ์ความสมบูรณ์

ตอนนี้เราสามารถกำหนดและพิสูจน์เกณฑ์ความสมบูรณ์ได้ (ทฤษฎีบทของโพสต์) ซึ่งกำหนดเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความสมบูรณ์ของระบบฟังก์ชัน ให้เรานำการกำหนดและการพิสูจน์เกณฑ์ความครบถ้วนด้วยบทแทรกที่จำเป็นหลายรายการซึ่งมีความสนใจโดยอิสระ

เลมม่า 2.7บทแทรกเกี่ยวกับฟังก์ชันที่ไม่ใช่ตัวเองคู่

ถ้า f(x 1 , ... , x n)Ï S สามารถรับค่าคงที่ได้โดยการแทนที่ฟังก์ชัน x และ `x

การพิสูจน์- เนื่องจากfÏSจึงมีชุดค่าของตัวแปร
=(a 1 ,...,a n) แบบนั้น

f(`a 1 ,...,`a n) = f(a 1 ,...,a n)

ลองแทนที่อาร์กิวเมนต์ในฟังก์ชัน f:

x i ถูกแทนที่ด้วย ,

นั่นคือลองพิจารณาฟังก์ชันดู

ดังนั้นเราจึงได้ค่าคงที่ (แม้ว่าจะไม่ทราบว่าเป็นค่าคงที่ใด: 0 หรือ 1) ð

เลมมา 2.8บทแทรกเกี่ยวกับฟังก์ชันที่ไม่ซ้ำซาก

หากฟังก์ชัน f(x 1 ,...,xn) ไม่ใช่แบบโมโนโทนิก f(x 1 ,...,x n) Ï M ดังนั้นจึงสามารถหาค่าการปฏิเสธได้โดยการเปลี่ยนตัวแปรและแทนที่ค่าคงที่ 0 และ 1.

การพิสูจน์- เนื่องจาก f(x 1 ,...,x n) Ï M ดังนั้นจึงมีชุดของค่าของตัวแปร , เช่นนั้น และอย่างน้อยหนึ่งค่า i, a i< b i . Выполним следующую замену переменных функции f:

x ฉันจะถูกแทนที่ด้วย

หลังจากการทดแทนดังกล่าว เราจะได้ฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งตัว j(x) ซึ่งเรามี:

ซึ่งหมายความว่า j(x)=`x บทแทรกได้รับการพิสูจน์แล้ว ð

เลมมา 2.9.บทแทรกเกี่ยวกับฟังก์ชันไม่เชิงเส้น

ถ้า f(x 1 ,...,x n) Ï L จากนั้นโดยการแทนที่ค่าคงที่ 0, 1 และใช้ฟังก์ชัน `x เราจะได้รับฟังก์ชัน x 1 &x 2 .

การพิสูจน์- ให้เราแสดง f เป็น DNF (เช่น DNF ที่สมบูรณ์แบบ) และใช้ความสัมพันธ์:

ตัวอย่าง- ให้เรายกตัวอย่างการประยุกต์ใช้การแปลงเหล่านี้สองตัวอย่าง

ดังนั้น ฟังก์ชันที่เขียนในรูปแบบปกติที่ไม่ต่อเนื่อง หลังจากใช้ความสัมพันธ์ที่ระบุ วงเล็บเปิด และการแปลงพีชคณิตอย่างง่าย จะกลายเป็นพหุนาม mod 2 (พหุนาม Zhegalkin):

โดยที่ 0 เป็นค่าคงที่ และ A i เป็นค่าร่วมของตัวแปรบางตัวจากตัวเลข x 1,..., x n, i = 1, 2, ..., r

หากการรวม A i แต่ละอันประกอบด้วยตัวแปรเพียงตัวเดียว f จะเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น ซึ่งขัดแย้งกับเงื่อนไขของบทแทรก

ดังนั้น ในพหุนาม Zhegalkin สำหรับฟังก์ชัน f จึงมีคำที่มีตัวประกอบอย่างน้อยสองตัว โดยไม่สูญเสียความเป็นทั่วไป เราสามารถสรุปได้ว่าในบรรดาปัจจัยเหล่านี้ มีตัวแปร x 1 และ x 2 จากนั้นพหุนามสามารถแปลงได้ดังนี้:

ฉ = x 1 x 2 ฉ 1 (x 3 ,..., x n) + x 1 ฉ 2 (x 3 ,..., x n) + x 2 ฉ 3 (x 3 ,..., x n) + ฉ 4 (x 3 ,..., xn)

โดยที่ f 1 (x 3 ,..., x n) ¹ 0 (ไม่เช่นนั้นพหุนามจะไม่รวมส่วนร่วมที่มีส่วนร่วม x 1 x 2)

ให้ (a 3 ,...,a n) เป็นเช่นนั้น f 1 (a 3 ,...,a n) = 1 จากนั้น

j(x 1 ,x 2) = f(x 1 ,x 2 , a 3 ,...,a n) = x 1 x 2 +ขวาน 1 +bx 2 +g ,

โดยที่ a, b, g เป็นค่าคงที่เท่ากับ 0 หรือ 1

ลองใช้การดำเนินการปฏิเสธที่เรามีและพิจารณาฟังก์ชัน y(x 1 ,x 2) ที่ได้รับจาก j(x 1 ,x 2) ดังนี้:

y(x 1 ,x 2) = j(x 1 +b, x 2 +a)+ab+g

เห็นได้ชัดว่า

y(x 1 ,x 2) =(x 1 +b)(x 2 +a)+a(x 1 +b)+b(x 2 +a)+g+ab+g = x 1 x 2

เพราะฉะนั้น,

y(x 1 ,x 2) = x 1 x 2 .

บทแทรกได้รับการพิสูจน์อย่างสมบูรณ์แล้ว ð

บทแทรก 2.10บทแทรกหลักของเกณฑ์ความครบถ้วน

ถ้าคลาส F=( f ) ของฟังก์ชันพีชคณิตเชิงตรรกะมีฟังก์ชันที่ไม่รักษาเอกภาพ ไม่คงไว้ 0 เป็นฟังก์ชันที่ไม่ใช่ self-dual และไม่ใช่ monotonic:

จากนั้นจากฟังก์ชันของระบบนี้ โดยการดำเนินการของการซ้อนทับและการแทนที่ตัวแปร เราสามารถรับค่าคงที่ 0, 1 และฟังก์ชันได้

การพิสูจน์- ลองพิจารณาฟังก์ชันดู แล้ว

.

มีสองกรณีที่เป็นไปได้ของการพิจารณาในภายหลัง ซึ่งระบุไว้ในการนำเสนอต่อไปนี้เป็น 1) และ 2)

1) ฟังก์ชันบนชุดหน่วยรับค่า 0:

.

เราจะแทนที่ทุกอย่าง ฟังก์ชั่นตัวแปรตัวแปร x แล้วฟังก์ชัน

นั่นก็เพราะว่า

และ .

ลองใช้ฟังก์ชันที่ไม่ใช่ตัวเองคู่กัน เนื่องจากเราได้รับฟังก์ชันนี้แล้ว ดังนั้นด้วยบทแทรกของฟังก์ชันที่ไม่ใช่ตัวคู่ (บทแทรก 2.7. ) คุณจะได้รับค่าคงที่จาก ค่าคงที่ที่สองสามารถรับได้จากค่าแรกโดยใช้ฟังก์ชัน ดังนั้นในกรณีแรกที่พิจารณา จะได้ค่าคงที่และการปฏิเสธ - กรณีที่สอง และบทแทรกหลักของเกณฑ์ความครบถ้วน ได้รับการพิสูจน์อย่างสมบูรณ์แล้ว ð

ทฤษฎีบท 2.11เกณฑ์สำหรับความสมบูรณ์ของระบบฟังก์ชันในพีชคณิตตรรกศาสตร์ (ทฤษฎีบทโพสต์)

เพื่อให้ระบบฟังก์ชัน F = (f i) สมบูรณ์ จำเป็นและเพียงพอที่ไม่ได้อยู่ในคลาสปิดใดคลาสหนึ่งในห้าคลาส T 0, T 1, L, S, M นั่นคือสำหรับ แต่ละคลาส T 0 , T 1 , L , S, M ใน F มีอย่างน้อยหนึ่งฟังก์ชันที่ไม่อยู่ในคลาสนี้

ความจำเป็น- ให้ F เป็นระบบที่สมบูรณ์ สมมติว่า F มีอยู่ในคลาสใดคลาสหนึ่งที่ระบุ ให้เราเขียนแทนด้วย K นั่นคือ F Í K การรวมครั้งสุดท้ายเป็นไปไม่ได้ เนื่องจาก K เป็นคลาสปิดที่ไม่ใช่ระบบที่สมบูรณ์

ความเพียงพอ- ปล่อยให้ระบบฟังก์ชั่นทั้งหมด F = (f i ) ไม่ได้อยู่ในคลาสปิดใด ๆ จากห้าคลาส T 0 , T 1 , L , S , M ให้เราทำหน้าที่ต่อไปนี้ใน F:

จากนั้นขึ้นอยู่กับบทแทรกหลัก (บทแทรก 2.10 ) จากฟังก์ชันที่ไม่รักษา 0 ฟังก์ชันที่ไม่รักษา 1 ฟังก์ชันที่ไม่ใช่ self-dual และ non-monotonic เราสามารถรับค่าคงที่ 0, 1 และฟังก์ชันการปฏิเสธ:

.

ขึ้นอยู่กับบทแทรกในฟังก์ชันไม่เชิงเส้น (บทแทรก 2.9 ) จากค่าคงที่ การปฏิเสธ และฟังก์ชันไม่เชิงเส้น เราสามารถหาค่าร่วมได้:

.

ระบบฟังก์ชั่น - ระบบที่สมบูรณ์ตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับความเป็นไปได้ในการนำเสนอฟังก์ชันใด ๆ ของพีชคณิตของตรรกะในรูปแบบของรูปแบบปกติที่แยกส่วนที่สมบูรณ์แบบ (โปรดทราบว่าการแยกส่วนสามารถแสดงได้ผ่านการร่วมและการปฏิเสธในรูปแบบ ).

ทฤษฎีบทนี้ได้รับการพิสูจน์อย่างสมบูรณ์แล้ว ð

ตัวอย่าง.

1. ให้เราแสดงว่าฟังก์ชัน f(x,y) = x|y ก่อให้เกิดระบบที่สมบูรณ์ มาสร้างตารางค่าของฟังก์ชันx½yกัน:

f(0,0) = 1 ดังนั้น x | ใช่แล้ว 0

f(1,1) = 0 ดังนั้น x | คุณ 1

f(0,0) = 1, f(1,1) = 0 ดังนั้น x | คุณเอ็ม

f(0,1) = f(1,0) = 1, - บนเซตตรงข้าม x | คุณยอมรับ ค่าเดียวกันดังนั้น x | ใช่

สุดท้ายความไม่เชิงเส้นของฟังก์ชันหมายถึงอะไร?
x | ย.

ตามเกณฑ์ความครบถ้วน เราสามารถระบุได้ว่า f(x,y) = x | y สร้างระบบที่สมบูรณ์ ð

2. ให้เราแสดงว่าระบบการทำงาน ก่อให้เกิดระบบที่สมบูรณ์

จริงหรือ, .

ดังนั้น ในบรรดาฟังก์ชันของระบบของเรา เราพบ: ฟังก์ชันที่ไม่รักษา 0, ฟังก์ชันที่ไม่รักษา 1, ฟังก์ชันที่ไม่ใช่ตัวเองคู่, ไม่ใช่แบบโมโนโทนิกและไม่เป็นเชิงเส้น โดยพิจารณาจากเกณฑ์ความสมบูรณ์แล้วสามารถโต้แย้งได้ว่าระบบการทำงาน ก่อให้เกิดระบบที่สมบูรณ์ ð

ดังนั้นเราจึงมั่นใจว่าเกณฑ์ความสมบูรณ์ให้เชิงสร้างสรรค์และ วิธีที่มีประสิทธิภาพชี้แจงความสมบูรณ์ของระบบการทำงานของพีชคณิตตรรกศาสตร์

ให้เรากำหนดข้อพิสูจน์สามข้อจากเกณฑ์ความสมบูรณ์

ข้อพิสูจน์ 1- ฟังก์ชัน K คลาสปิดใดๆ ของพีชคณิตลอจิกที่ไม่ตรงกับชุดฟังก์ชันทั้งหมดของพีชคณิตลอจิก (K¹P 2) มีอยู่ในคลาสปิดที่สร้างขึ้นอย่างน้อยหนึ่งคลาส

คำนิยาม.คลาสปิด K เรียกว่า เต็มก่อนถ้า K ไม่สมบูรณ์และสำหรับฟังก์ชันใดๆ fÏ K คลาส K È (f) จะเสร็จสมบูรณ์

จากคำจำกัดความ เป็นไปตามที่คลาสที่กรอกไว้ล่วงหน้าถูกปิด

ข้อพิสูจน์ 2.ในพีชคณิตของตรรกะมีเพียงห้าคลาสที่สำเร็จแล้วเท่านั้น ได้แก่ T 0, T 1, L, M, S

เพื่อพิสูจน์ข้อพิสูจน์ คุณเพียงแค่ต้องตรวจสอบว่าไม่มีคลาสเหล่านี้อยู่ในคลาสอื่น ซึ่งได้รับการยืนยันแล้ว เช่น ตารางต่อไปนี้ฟังก์ชั่นที่อยู่ในคลาสที่แตกต่างกัน:

ข้อพิสูจน์ 3.จากระบบฟังก์ชันที่สมบูรณ์ใดๆ สามารถแยกแยะระบบย่อยที่สมบูรณ์ซึ่งมีฟังก์ชันไม่เกินสี่ฟังก์ชันได้

จากการพิสูจน์เกณฑ์ความสมบูรณ์ จะสามารถแยกแยะฟังก์ชันได้ไม่เกินห้าฟังก์ชัน จากการพิสูจน์บทแทรกหลัก (Lemma 2.10 ) ตามนั้น ไม่เป็นตัวของตัวเองหรือไม่รักษาความสามัคคีและไม่ซ้ำซากจำเจ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีฟังก์ชันไม่เกินสี่ฟังก์ชัน

สร้างฟังก์ชัน

เราขอเสนอบริการสร้างกราฟฟังก์ชันออนไลน์แก่คุณ ซึ่งสิทธิ์ทั้งหมดเป็นของบริษัท เดสมอส- ใช้คอลัมน์ด้านซ้ายเพื่อเข้าสู่ฟังก์ชัน คุณสามารถป้อนด้วยตนเองหรือใช้แป้นพิมพ์เสมือนที่ด้านล่างของหน้าต่าง หากต้องการขยายหน้าต่างด้วยกราฟ คุณสามารถซ่อนทั้งคอลัมน์ด้านซ้ายและแป้นพิมพ์เสมือนได้

ประโยชน์ของการสร้างแผนภูมิออนไลน์

• การแสดงฟังก์ชั่นที่ป้อนด้วยสายตา
• การสร้างกราฟที่ซับซ้อนมาก
• การสร้างกราฟที่ระบุโดยปริยาย (เช่น วงรี x^2/9+y^2/16=1)
• ความสามารถในการบันทึกแผนภูมิและรับลิงก์ไปยังแผนภูมิเหล่านั้นซึ่งทุกคนบนอินเทอร์เน็ตสามารถใช้ได้
• การควบคุมมาตราส่วน, สีของเส้น
• ความเป็นไปได้ของการวาดกราฟตามจุดโดยใช้ค่าคงที่
• การพล็อตกราฟฟังก์ชันหลายกราฟพร้อมกัน
• การลงจุดในพิกัดเชิงขั้ว (ใช้ r และ θ(\theta))

กับเราการสร้างแผนภูมิที่มีความซับซ้อนหลากหลายทางออนไลน์เป็นเรื่องง่าย การก่อสร้างเสร็จสิ้นทันที บริการนี้เป็นที่ต้องการสำหรับการค้นหาจุดตัดกันของฟังก์ชันเพื่อแสดงกราฟสำหรับการเคลื่อนที่ต่อไป เอกสารเวิร์ดเพื่อเป็นภาพประกอบในการแก้ปัญหา เพื่อวิเคราะห์คุณลักษณะเชิงพฤติกรรมของกราฟฟังก์ชัน เบราว์เซอร์ที่เหมาะสมที่สุดสำหรับการทำงานกับแผนภูมิในหน้านี้ของเว็บไซต์คือ กูเกิลโครม- ไม่รับประกันการทำงานที่ถูกต้องเมื่อใช้เบราว์เซอร์อื่น

หัวข้อ: “ฟังก์ชั่น: แนวคิด, วิธีการมอบหมาย, ลักษณะสำคัญ ฟังก์ชันผกผัน การทับซ้อนของฟังก์ชัน”

บทบรรยายของบทเรียน:

“ศึกษาบางสิ่งบางอย่างและไม่คิดถึงมัน

เรียนรู้ - ไร้ประโยชน์อย่างแน่นอน

คิดสิ่งใดสิ่งหนึ่งโดยไม่ได้ศึกษามัน

หัวข้อความคิดเบื้องต้น -

ขงจื๊อ

วัตถุประสงค์และวัตถุประสงค์ทางจิตวิทยาและการสอนของบทเรียน:

1) เป้าหมายการศึกษาทั่วไป (เชิงบรรทัดฐาน): ทบทวนความหมายและคุณสมบัติของฟังก์ชันกับนักเรียน แนะนำแนวคิดของการซ้อนของฟังก์ชัน

2) วัตถุประสงค์ของการพัฒนาทางคณิตศาสตร์ของนักเรียน: การใช้สื่อการศึกษาและคณิตศาสตร์ที่ไม่ได้มาตรฐานเพื่อพัฒนาประสบการณ์ทางจิตของนักเรียนต่อไป โครงสร้างการรับรู้ที่มีความหมายของความฉลาดทางคณิตศาสตร์ของพวกเขา รวมถึงความสามารถในการคิดเชิงตรรกะนิรนัยและอุปนัย การคิดเชิงวิเคราะห์และสังเคราะห์ การคิดแบบพลิกกลับได้ การคิดเชิงพีชคณิตและการเป็นรูปเป็นร่าง ความหมายทั่วไปและการสรุปอย่างเป็นรูปธรรม เพื่อการไตร่ตรองและความเป็นอิสระในฐานะความสามารถทางอภิปัญญาของนักเรียน เพื่อพัฒนาวัฒนธรรมการพูดและวาจาเป็นกลไกทางจิตวิทยาของความฉลาดทางการศึกษาและคณิตศาสตร์ต่อไป

3) งานด้านการศึกษา: เพื่อศึกษาต่อส่วนบุคคลในนักเรียนที่มีความสนใจทางปัญญาในวิชาคณิตศาสตร์ ความรับผิดชอบ ความสำนึกในหน้าที่ ความเป็นอิสระทางวิชาการ ความสามารถในการสื่อสารในการร่วมมือกับกลุ่ม ครู เพื่อนร่วมชั้น ความสามารถแบบอัตโนมัติสำหรับกิจกรรมทางการศึกษาและคณิตศาสตร์ที่แข่งขันได้ โดยมุ่งมั่นเพื่อให้ได้ผลลัพธ์สูงและสูงสุด (แรงจูงใจของ acmeic)

ประเภทบทเรียน: การเรียนรู้เนื้อหาใหม่ ตามเกณฑ์ของเนื้อหาทางคณิตศาสตร์ชั้นนำ - บทเรียนเชิงปฏิบัติ ตามเกณฑ์ประเภทของการโต้ตอบข้อมูลระหว่างนักเรียนกับครู - บทเรียนแห่งความร่วมมือ

อุปกรณ์การเรียน:

1. วรรณกรรมเพื่อการศึกษา:

1) คุดรยาฟต์เซฟ การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์: หนังสือเรียน. สำหรับมหาวิทยาลัยและนักศึกษามหาวิทยาลัย ใน 3 เล่ม ต. 3 – ฉบับที่ 2 แก้ไขใหม่ และเพิ่มเติม – ม.: สูงกว่า. โรงเรียน พ.ศ. 2532 – 352 น. : ป่วย.

2) ปัญหาและแบบฝึกหัด Demidovich ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ – ฉบับที่ 9 – อ.: สำนักพิมพ์ “เนากา”, 2520.

2. ภาพประกอบ.

ความคืบหน้าของบทเรียน.

1. การประกาศหัวข้อและเป้าหมายการศึกษาหลักของบทเรียน กระตุ้นความรู้สึกถึงหน้าที่ ความรับผิดชอบ และความสนใจทางปัญญาของนักเรียนในการเตรียมตัวสำหรับภาคเรียน

2. การทำซ้ำเนื้อหาตามคำถาม

ก) กำหนดฟังก์ชัน

แนวคิดทางคณิตศาสตร์พื้นฐานประการหนึ่งคือแนวคิดเรื่องฟังก์ชัน แนวคิดของฟังก์ชันเกี่ยวข้องกับการสร้างความสัมพันธ์ระหว่างองค์ประกอบของสองชุด

ให้ชุดที่ไม่ว่างเปล่าสองชุดและได้รับ การจับคู่ f ที่จับคู่แต่ละองค์ประกอบด้วยองค์ประกอบเดียวเท่านั้นที่เรียกว่า การทำงาน และเขียนว่า y = f(x) พวกเขายังบอกว่าฟังก์ชัน f แสดง มากมายต่อหลาย ๆ

https://pandia.ru/text/79/018/images/image003_18.gif" width="63" height="27">.gif" width="59" height="26"> เรียกว่า ชุดของความหมายฟังก์ชัน f และเขียนแทนด้วย E(f)

b) ฟังก์ชันตัวเลข กราฟฟังก์ชัน วิธีการระบุฟังก์ชัน

ปล่อยให้ฟังก์ชันได้รับ

ถ้าองค์ประกอบของเซตและเป็นจำนวนจริง ฟังก์ชัน f จะถูกเรียก ฟังก์ชันตัวเลข - ตัวแปร x เรียกว่า การโต้แย้งหรือตัวแปรอิสระ และ y – การทำงานหรือ ตัวแปรตาม(จาก x) เกี่ยวกับปริมาณ x และ y เอง เรียกว่าเข้า การพึ่งพาการทำงาน.

กราฟฟังก์ชัน y = f(x) คือเซตของจุดทุกจุดของระนาบ Oxy โดยที่แต่ละจุด x คือค่าของอาร์กิวเมนต์ และ y คือค่าที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน

ในการระบุฟังก์ชัน y = f(x) จำเป็นต้องระบุกฎที่อนุญาตให้รู้ x ค้นหาค่าที่สอดคล้องกันของ y

วิธีระบุฟังก์ชันที่พบบ่อยที่สุดสามวิธี ได้แก่ การวิเคราะห์ ตาราง และกราฟิก

วิธีการวิเคราะห์: ฟังก์ชันถูกระบุเป็นสูตรหรือสมการตั้งแต่หนึ่งสูตรขึ้นไป

ตัวอย่างเช่น:

หากไม่ได้ระบุโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน y = f(x) จะถือว่ามันเกิดขึ้นพร้อมกับชุดของค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ที่สูตรที่เกี่ยวข้องเหมาะสม

วิธีการวิเคราะห์การระบุฟังก์ชันเป็นวิธีการที่ทันสมัยที่สุด เนื่องจากมีวิธีการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์มาด้วย ซึ่งทำให้สามารถศึกษาฟังก์ชัน y = f(x) ได้อย่างเต็มที่

วิธีกราฟิก: ตั้งค่ากราฟของฟังก์ชัน

ข้อดีของงานกราฟิกคือความชัดเจน ข้อเสียคือความไม่ถูกต้อง

วิธีการแบบตาราง: ฟังก์ชันถูกระบุโดยตารางของชุดค่าอาร์กิวเมนต์และค่าฟังก์ชันที่เกี่ยวข้อง ตัวอย่างเช่น ตารางค่าที่รู้จักกันดี ฟังก์ชันตรีโกณมิติ, ตารางลอการิทึม

c) ลักษณะสำคัญของฟังก์ชัน

1. เรียกฟังก์ชัน y = f(x) ซึ่งกำหนดบนเซต D สม่ำเสมอ หากตรงตามเงื่อนไขและ f(-x) = f(x) แปลก หากตรงตามเงื่อนไขและ f(-x) = -f(x)

กราฟของฟังก์ชันคู่มีความสมมาตรเกี่ยวกับแกน Oy และฟังก์ชันคี่มีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด ตัวอย่างเช่น – ฟังก์ชันคู่; และ y = sinx, https://pandia.ru/text/79/018/images/image014_3.gif" width="73" height="29"> – ฟังก์ชั่นของรูปแบบทั่วไป เช่น ไม่เป็นคู่หรือคี่

2. กำหนดให้ฟังก์ชัน y = f(x) บนเซต D แล้วปล่อยให้ หากค่าใด ๆ ของข้อโต้แย้งความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: จากนั้นจึงเรียกใช้ฟังก์ชัน เพิ่มขึ้น ในชุด; ถ้า จากนั้นจึงเรียกใช้ฟังก์ชัน ไม่ลดลง บน https://pandia.ru/text/79/018/images/image021_1.gif" width="117" height="28 src=">จากนั้นจึงเรียกใช้ฟังก์ชัน ลดลง บน ; - ไม่เพิ่มขึ้น .

ฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้น ไม่เพิ่มขึ้น ลดลงและไม่ลดลงในชุด https://pandia.ru/text/79/018/images/image023_0.gif" width="13" height="13">ค่า D (x +T)D และความเท่าเทียมกัน f(x+T) = f(x) ถือ

ในการพล็อตกราฟของฟังก์ชันคาบของคาบ T ก็เพียงพอแล้วที่จะพล็อตกราฟบนส่วนใดๆ ที่มีความยาว T และดำเนินการต่อเป็นระยะตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด

ให้เราทราบคุณสมบัติหลักของฟังก์ชันคาบ

1) ผลรวมพีชคณิตของฟังก์ชันคาบที่มีคาบ T เท่ากันคือฟังก์ชันคาบที่มีคาบ T

2) ถ้าฟังก์ชัน f(x) มีจุด T แสดงว่าฟังก์ชัน f(ax) มีจุด T/a

d) ฟังก์ชันผกผัน

กำหนดให้ฟังก์ชัน y = f(x) มีโดเมนคำจำกัดความ D และชุดของค่า E..gif" width="48" height="22"> จากนั้นฟังก์ชัน x = z(y) ด้วยโดเมนคำจำกัดความ E และชุดของค่า D ถูกกำหนดไว้ ฟังก์ชันดังกล่าวเรียกว่า z(y) ย้อนกลับ ไปยังฟังก์ชัน f(x) และเขียนในรูปแบบต่อไปนี้: - ฟังก์ชัน y = f(x) และ x = z(y) กล่าวกันว่าเป็นการผกผันซึ่งกันและกัน หากต้องการค้นหาฟังก์ชัน x = z(y) ผกผันกับฟังก์ชัน y = f(x) ก็เพียงพอที่จะแก้สมการ f(x) = y สำหรับ x

ตัวอย่าง:

1. สำหรับฟังก์ชัน y = 2x ฟังก์ชันผกผันคือฟังก์ชัน x = ½ y;

2. สำหรับฟังก์ชั่น ฟังก์ชันผกผันคือฟังก์ชัน

จากนิยามของฟังก์ชันผกผัน ฟังก์ชัน y = f(x) จะมีค่าผกผันก็ต่อเมื่อ f(x) ระบุความสอดคล้องแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเซต D และ E ซึ่งจะตามมาว่าค่าใดๆ ก็ตาม ฟังก์ชันโมโนโทนิกอย่างเคร่งครัดมีการผกผัน - ยิ่งไปกว่านั้น หากฟังก์ชันเพิ่มขึ้น (ลดลง) ฟังก์ชันผกผันก็จะเพิ่มขึ้น (ลดลง) ด้วย

3. ศึกษาเนื้อหาใหม่

ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน

ให้ฟังก์ชัน y = f(u) ถูกกำหนดบนเซต D และฟังก์ชัน u = z(x) บนเซต และสำหรับค่าที่สอดคล้องกัน - จากนั้นฟังก์ชัน u = f(z(x)) ถูกกำหนดบนเซต ซึ่งเรียกว่า ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน จาก x (หรือ การซ้อนทับ ฟังก์ชั่นที่ระบุหรือ ฟังก์ชั่นจากฟังก์ชั่น ).

ตัวแปร u = z(x) ถูกเรียก อาร์กิวเมนต์ระดับกลางฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน

ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน y = sin2x เป็นการซ้อนทับของฟังก์ชัน 2 ฟังก์ชัน y = sinu และ u = 2x ฟังก์ชันที่ซับซ้อนสามารถมีอาร์กิวเมนต์ระดับกลางได้หลายตัว

4. แก้ตัวอย่างหลายตัวอย่างที่กระดาน

5. บทสรุปของบทเรียน

1) ผลลัพธ์ทางทฤษฎีและประยุกต์ บทเรียนเชิงปฏิบัติ- การประเมินระดับประสบการณ์ทางจิตของนักเรียนที่แตกต่างกัน ระดับความเชี่ยวชาญในหัวข้อ ความสามารถ คุณภาพของคำพูดทางคณิตศาสตร์ทั้งทางวาจาและลายลักษณ์อักษร ระดับความคิดสร้างสรรค์แสดงให้เห็น; ระดับความเป็นอิสระและการสะท้อนกลับ ระดับของความคิดริเริ่ม ความสนใจทางปัญญาในวิธีคิดทางคณิตศาสตร์แต่ละวิธี ระดับความร่วมมือ การแข่งขันทางปัญญา ความปรารถนาสำหรับกิจกรรมทางการศึกษาและคณิตศาสตร์ในระดับสูง ฯลฯ

2) ประกาศผลการเรียนที่มีเหตุผล, คะแนนบทเรียน