อนุญาต วีสเปซเวกเตอร์เหนือสนาม ร, ส- ระบบเวกเตอร์จาก วี.

คำจำกัดความ 1. พื้นฐานของระบบเวกเตอร์ สระบบย่อยอิสระเชิงเส้นที่ได้รับคำสั่งดังกล่าวเรียกว่า บี 1, บี 2, ..., บี รระบบ ส, เวกเตอร์ใดๆ ของระบบ สผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ บี 1, บี 2, ..., บี ร.

คำจำกัดความ 2 อันดับของระบบเวกเตอร์ สคือจำนวนเวกเตอร์พื้นฐานของระบบ ส- มีการระบุอันดับของระบบเวกเตอร์ สเครื่องหมาย ร= อันดับ ส.

ถ้า S = ( 0 ) จากนั้นระบบก็ไม่มีพื้นฐานและถือว่าอันดับนั้น ส= 0.

ตัวอย่างที่ 1ให้ระบบเวกเตอร์ได้รับ ก 1 = (1,2), ก 2 = (2,3), ก 3 = (3,5), ก 4 = (1.3) เวกเตอร์ ก 1 , ก 2 เป็นพื้นฐานของระบบนี้ เนื่องจากมีความเป็นอิสระเชิงเส้น (ดูตัวอย่างที่ 3.1) และ ก 3 = ก 1 + ก 2 , ก 4 = 3ก 1 - ก 2. อันดับของระบบเวกเตอร์นี้คือสอง

ทฤษฎีบท 1(ทฤษฎีบทบนฐาน) ให้ส- ระบบสิ้นสุดเวกเตอร์จาก V, ส ≠{0 }. แล้วข้อความนั้นก็เป็นจริง

1 ° ระบบย่อยอิสระเชิงเส้นใดๆ ของระบบ S สามารถขยายเป็นพื้นฐานได้

2 ° System S มีพื้นฐาน

2 ° ฐานสองฐานใดๆ ของระบบ S มีจำนวนเวกเตอร์เท่ากัน กล่าวคือ อันดับของระบบไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกฐาน

4 ° ถ้า ร= อันดับ ส, แล้วเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น r ใดๆ จะสร้างพื้นฐานของระบบ S

5 ° ถ้า ร= อันดับ ส, จากนั้นเวกเตอร์ k > r ใดๆ ของระบบ S จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง

6 ° เวกเตอร์ใดๆ ก€ S แสดงเป็นเส้นตรงโดยเฉพาะผ่านเวกเตอร์พื้นฐาน เช่น ถ้า บี 1, บี 2, ..., บี R เป็นพื้นฐานของระบบ S ดังนั้น

ก = ก1 บี 1 + ก2 บี 2 +...+ กรบี ร; ก1 , ก2 , ..., กเอ็นยูโรปา(1)

และนี่เป็นเพียงการนำเสนอเท่านั้น.

เนื่องจากพื้นฐาน 5° สิ่งนี้ ระบบย่อยอิสระเชิงเส้นตรงสูงสุดระบบ สและอันดับของระบบ สจำนวนเวกเตอร์ในระบบย่อยดังกล่าว

การแสดงเวกเตอร์ ก ในรูปแบบ (1) เรียกว่า โดยการแยกเวกเตอร์ออกเป็นเวกเตอร์พื้นฐานและตัวเลข a1, a2 , ..., ar ถูกเรียกว่า พิกัดเวกเตอร์ ก บนพื้นฐานนี้

การพิสูจน์. 1° ปล่อย บี 1, บี 2, ..., บี เค- ระบบย่อยอิสระเชิงเส้นของระบบ ส- ถ้าแต่ละเวกเตอร์ของระบบ สแสดงเป็นเส้นตรงผ่านเวกเตอร์ของระบบย่อยของเรา จากนั้นตามคำจำกัดความ มันเป็นพื้นฐานของระบบ ส.

หากมีเวกเตอร์อยู่ในระบบ สซึ่งไม่ได้แสดงเป็นเส้นตรงในรูปของเวกเตอร์ บี 1, บี 2, ..., บี เคแล้วเราแทนมันด้วย บี เค+1. แล้วระบบ บี 1, บี 2, ..., บี เค, บี เค+1 - เป็นอิสระเชิงเส้น ถ้าแต่ละเวกเตอร์ของระบบ สแสดงเป็นเส้นตรงผ่านเวกเตอร์ของระบบย่อยนี้ จากนั้นตามคำจำกัดความ มันเป็นพื้นฐานของระบบ ส.

หากมีเวกเตอร์อยู่ในระบบ สซึ่งไม่ได้แสดงออกเป็นเส้นตรงผ่าน บี 1, บี 2, ..., บี เค, บี เค+1 จากนั้นลองให้เหตุผลอีกครั้ง ดำเนินกระบวนการนี้ต่อไปเราก็จะมาถึงพื้นฐานของระบบ สหรือเพิ่มจำนวนเวกเตอร์ในระบบอิสระเชิงเส้นทีละหนึ่ง เนื่องจากในระบบ สจำนวนเวกเตอร์ที่มีจำกัด ดังนั้นทางเลือกที่สองไม่สามารถดำเนินต่อไปได้อย่างไม่มีกำหนด และในบางขั้นตอนเราก็จะได้พื้นฐานของระบบ ส.

2° ปล่อย สระบบจำกัดของเวกเตอร์และ ส ≠{0 - แล้วในระบบ. สมีเวกเตอร์อยู่ บี 1 ≠ 0 ซึ่งสร้างระบบย่อยที่เป็นอิสระเชิงเส้นของระบบ ส- ตามส่วนแรกสามารถเสริมพื้นฐานของระบบได้ ส- ดังนั้นระบบ สมีพื้นฐาน

3° ให้เราถือว่าระบบ สมีสองฐาน:

บี 1, บี 2, ..., บี ร , (2)

ค 1, ค 2, ..., ค ส , (3)

ตามคำจำกัดความของพื้นฐาน ระบบเวกเตอร์ (2) เป็นอิสระเชิงเส้นและ (2) Н ส- นอกจากนี้ ตามคำนิยามของพื้นฐาน เวกเตอร์แต่ละตัวของระบบ (2) คือการรวมกันเชิงเส้นของเวกเตอร์ของระบบ (3) จากนั้นตามทฤษฎีบทหลักเกี่ยวกับระบบเวกเตอร์สองระบบ ร £ ส- เช่นเดียวกันก็พิสูจน์ได้ว่า ส £ ร- จากความไม่เท่าเทียมกันทั้งสองนี้จึงตามมา ร = ส.

4° ปล่อย ร= อันดับ ส, ก 1, ก 2, ..., ก ร- ระบบย่อยอิสระเชิงเส้น ส- ให้เราแสดงให้เห็นว่ามันเป็นพื้นฐานของระบบ ส- ถ้าไม่ใช่พื้นฐานก็ใช้ส่วนแรกเสริมเป็นฐานได้แล้วเราก็จะได้ฐาน ก 1, ก 2, ..., ก ร, ก ร+1,..., ก ร+ตที่มีมากกว่า ร

5° ถ้า เคเวกเตอร์ ก 1, ก 2, ..., ก เค (เค > ร) ระบบ ส- มีความเป็นอิสระเชิงเส้น จากนั้นจากส่วนแรกระบบเวกเตอร์นี้สามารถเสริมเข้ากับฐานและเราได้ฐาน ก 1, ก 2, ..., ก เค, ก เค+1,..., ก เค+ตที่มีมากกว่า รเวกเตอร์ สิ่งนี้ขัดแย้งกับสิ่งที่พิสูจน์แล้วในส่วนที่สาม

6° ปล่อย บี 1, บี 2, ..., บี รพื้นฐานของระบบ ส- ตามนิยามของฐาน เวกเตอร์ใดๆ ก € สมีการรวมกันเชิงเส้นของเวกเตอร์พื้นฐาน:

ก = ก1 บี 1 + a2 บี 2 +...+ ถึงแล้ว บี ร.

ในการพิสูจน์เอกลักษณ์ของการเป็นตัวแทนดังกล่าว ให้เราสมมติสิ่งที่ตรงกันข้ามว่ามีการเป็นตัวแทนอีกแบบหนึ่ง:

ก = ข1 บี 1 + ข2 บี 2 +...+ br บี ร.

การลบเทอมความเท่าเทียมกันด้วยเทอมที่เราพบ

0 = (ก1 - ข1) บี 1 + (ก2 - ข2) บี 2 +...+ (อาร์ - บรา) บี ร.

ตั้งแต่พื้นฐาน บี 1, บี 2, ..., บี รระบบอิสระเชิงเส้น จากนั้นสัมประสิทธิ์ทั้งหมด ai - bi =0; ฉัน = 1, 2, ..., ร- ดังนั้น ไอ = ไบ; ฉัน = 1, 2, ..., รและมีเอกลักษณ์ที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว

คำนิยาม. ระบบองค์ประกอบ x..., xch พื้นที่เชิงเส้น V เรียกว่าขึ้นอยู่กับเชิงเส้นหากมีตัวเลข a",..., otq ซึ่งไม่เท่ากับศูนย์ทั้งหมดและเช่นนั้น หากความเท่าเทียมกัน (1) เป็นไปตาม a] = ... = aq = 0 เท่านั้น แล้วระบบของ องค์ประกอบ xj,. .., x9 เรียกว่าเป็นอิสระเชิงเส้น ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง ทฤษฎีบท 1 ระบบขององค์ประกอบ X\,..., xq (q ^ 2) จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง ก็ต่อเมื่อองค์ประกอบอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบสามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นขององค์ประกอบอื่นๆ ได้ก่อนอื่นให้เราสมมติว่าระบบขององค์ประกอบ xx..., xq เป็นแบบเชิงเส้นตรง เพื่อความแน่นอน เราถือว่าในความเท่าเทียมกัน (1) ค่าสัมประสิทธิ์ a9 ไม่ใช่ศูนย์ การโอนพจน์ทั้งหมดยกเว้นอันสุดท้ายไปทางด้านขวา หลังจากหารด้วย otq FO เราจะได้ว่าองค์ประกอบ xq เป็นผลรวมเชิงเส้นขององค์ประกอบ xi,..., xq: ในทางกลับกัน หากองค์ประกอบใดองค์ประกอบหนึ่งเท่ากับเส้นตรง การรวมกันของส่วนอื่น ๆ จากนั้นเลื่อนไปทางด้านซ้ายเราจะได้ชุดค่าผสมเชิงเส้นซึ่งมีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นศูนย์ (-1 Ф 0) ซึ่งหมายความว่าระบบขององค์ประกอบ Xi,_____ xq นั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง ทฤษฎีบท 2 ปล่อยให้ระบบขององค์ประกอบ X|,...,X9 เป็นอิสระเชิงเส้น และ y = a\X\ + .+ aqxq จากนั้นค่าสัมประสิทธิ์ ori,...,aq จะถูกกำหนดจากองค์ประกอบ y ในลักษณะเฉพาะ ม. ปล่อยให้แล้ว การพึ่งพาเชิงเส้น องค์ประกอบ X|,..., xq จะเป็นไปตามนั้น a( และ ดังนั้น จึงเป็นทฤษฎีบท 3 ระบบขององค์ประกอบที่มีระบบย่อยที่ขึ้นต่อเชิงเส้นจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง " ให้องค์ประกอบ q แรกของระบบ xx..., xq , xg+l, ... , xm ขึ้นอยู่เชิงเส้นตรง จากนั้นจะมีการรวมกันเชิงเส้นขององค์ประกอบเหล่านี้ โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์ของ "..., aq ไม่เท่ากับศูนย์ทั้งหมด โดยการเพิ่มองค์ประกอบ,..., xm ด้วย ปัจจัยที่เป็นศูนย์ เราได้มาจากค่าเชิงเส้นตรง การรวมกันของรูปที่ 5 ไม่ใช่ค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเท่ากับศูนย์ ตัวอย่าง: เวกเตอร์จาก Vj จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรงเท่านั้น (รูปที่ 5) ใน |,..., e″ ของปริภูมิเชิงเส้น V เรียกว่าพื้นฐานของปริภูมิเชิงเส้นนี้ ถ้าองค์ประกอบใน |,..., en มีความเป็นอิสระเชิงเส้น และแต่ละองค์ประกอบของ V สามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นได้ ลำดับที่นี่หมายความว่าแต่ละองค์ประกอบถูกกำหนดหมายเลข (ลำดับ) จากระบบหนึ่งที่มี n องค์ประกอบเราสามารถสร้างระบบที่เรียงลำดับได้ ตัวอย่าง ให้ a.b.c เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ coplanar สามตัวจาก Vj (รูปที่ 6) ). เลขฐานสามลำดับนั้นเป็นฐานที่ต่างกัน ให้ c = (b! ... en) เป็นพื้นฐานของปริภูมิ V จากนั้นสำหรับองค์ประกอบ x ใดๆ ของ V จะมีชุดตัวเลข..., C เช่นนั้น โดยอาศัยทฤษฎีบท 2, ตัวเลข,..., C - พิกัดขององค์ประกอบ x ในฐาน c - ถูกกำหนดโดยไม่ซ้ำกัน เรามาดูกันว่าเกิดอะไรขึ้นกับพิกัดขององค์ประกอบระหว่างการกระทำที่ง่ายที่สุด ให้ และ สำหรับจำนวนใดๆ a ดังนั้นเมื่อเพิ่มองค์ประกอบ พิกัดที่เกี่ยวข้องจะถูกเพิ่ม และเมื่อคูณองค์ประกอบด้วยตัวเลข พิกัดทั้งหมดจะถูกคูณด้วยตัวเลขนี้ มักจะสะดวกในการเขียนพิกัดองค์ประกอบเป็นคอลัมน์ ตัวอย่างเช่น n คือคอลัมน์พิกัดขององค์ประกอบในรูปแบบ c ให้เราขยายระบบตามอำเภอใจขององค์ประกอบ X|,..., x ตามพื้นฐาน c และพิจารณาคอลัมน์พิกัดขององค์ประกอบ X|,..., x9 ในพื้นฐานนี้: ทฤษฎีบท 4 ระบบขององค์ประกอบ x\,...,xq นั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรงและต่อเมื่อระบบของคอลัมน์พิกัดของมันในบางพื้นฐานนั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรงเท่านั้น * ปล่อยให้ค่าสัมประสิทธิ์ A* อย่างน้อยหนึ่งค่าแตกต่างจากศูนย์ มาเขียนรายละเอียดเพิ่มเติมกันดีกว่า จากที่นี่ เนื่องจากเอกลักษณ์ของการสลายตัวขององค์ประกอบตามพื้นฐาน จึงเป็นไปตามนั้น การพึ่งพาเชิงเส้น พื้นฐาน การเปลี่ยนแปลงมิติของพื้นฐาน ดังนั้น การรวมกันเชิงเส้นของคอลัมน์พิกัดขององค์ประกอบ xt, .., xq เท่ากับคอลัมน์ศูนย์ (โดยมีค่าสัมประสิทธิ์ A|,..., A?) เท่ากัน ซึ่งหมายความว่าระบบของคอลัมน์พิกัดนั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง หากเป็นไปตามความเท่าเทียมกัน (2) จากนั้นให้ดำเนินการหาเหตุผลในลำดับย้อนกลับเราจะได้สูตร (1) ดังนั้น การหายไปของค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่เล็กน้อย (อย่างน้อยหนึ่งค่าสัมประสิทธิ์ไม่เป็นศูนย์) การรวมกันเชิงเส้นขององค์ประกอบของปริภูมิเชิงเส้นจึงเทียบเท่ากับข้อเท็จจริงที่ว่าการรวมกันเชิงเส้นที่ไม่เล็กน้อยของคอลัมน์พิกัด (ที่มีค่าสัมประสิทธิ์เดียวกัน) เท่ากับศูนย์ คอลัมน์. ทฤษฎีบท 5 ให้ฐาน c ของปริภูมิเชิงเส้น V ประกอบด้วยองค์ประกอบ n ตัว จากนั้นระบบใดๆ ขององค์ประกอบ m โดยที่ m > n จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง หรือที่เหมือนกัน * ตามทฤษฎีบทที่ 3 ก็เพียงพอแล้วที่จะพิจารณากรณี ให้ Xj,..., xn+| - องค์ประกอบตามอำเภอใจของปริภูมิ V ให้เราขยายแต่ละองค์ประกอบตามพื้นฐาน c และเขียนพิกัดขององค์ประกอบ.......... ในรูปแบบของเมทริกซ์โดยอุทิศคอลัมน์ให้กับพิกัดของ องค์ประกอบ. เราได้รับเมทริกซ์จำนวน n แถวและ +1 คอลัมน์ - เนื่องจากความจริงที่ว่าอันดับของเมทริกซ์ K ไม่เกินจำนวน n ของแถว คอลัมน์ของเมทริกซ์ K (มี n + 1 ในนั้น) จึงเป็นเส้นตรง ขึ้นอยู่กับ. และเนื่องจากสิ่งเหล่านี้เป็นคอลัมน์พิกัดขององค์ประกอบ ดังนั้นตามทฤษฎีบทที่ 4 ระบบขององค์ประกอบ X|.....x„+| ยังขึ้นอยู่กับเชิงเส้นอีกด้วย ผลที่ตามมา ฐานทั้งหมดของสเปซเชิงเส้น V ประกอบด้วยองค์ประกอบจำนวนเท่ากัน มิติพื้นฐาน การแทนที่ฐานจากที่ใด จาก - มิติของปริภูมิเชิงเส้นนี้เท่ากับจำนวนองค์ประกอบของ FSR เช่น n - g โดยที่ r คืออันดับของเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์ของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน an คือจำนวนที่ไม่ทราบ ตัวอย่างที่ 3 มิติของปริภูมิเชิงเส้น Mn ของพหุนามที่มีดีกรีไม่สูงกว่า n เท่ากับ n + 1 4 เนื่องจากทุกพหุนาม /*(() ของดีกรีที่ไม่สูงกว่า n มีรูปแบบ จึงเพียงพอที่จะแสดงค่า ความเป็นอิสระเชิงเส้นขององค์ประกอบใน |. = พิจารณาความเท่าเทียมกันโดยที่ t เป็นค่าใดก็ได้ สมมติว่า t = 0 เราจะได้ว่า «о = 0 5 Zak.750 ให้เราแยกความแตกต่างระหว่างความเท่าเทียมกัน (3) เทียบกับ t: ตำแหน่ง t = 0 อีกครั้ง เราได้รับสิ่งนั้น 0| = 0 ดำเนินการตามกระบวนการนี้ต่อไป เราตรวจสอบอย่างต่อเนื่องว่า оо = “ ... = а„ =0 ซึ่งหมายความว่าระบบขององค์ประกอบ θ = 1,... ,еn4) = *n เป็นอิสระเชิงเส้น ดังนั้นมิติที่ต้องการคือ n + 1 ข้อตกลง นอกจากนี้ในบทนี้ เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น ให้สันนิษฐานว่ามิติของปริภูมิเชิงเส้น V เท่ากัน เป็นที่แน่ชัดว่าถ้า W เป็นสับสเปซเชิงเส้นของปริภูมิ n มิติ V แล้วให้หรี่ W ^ n ลงไป เป็นพื้นฐานของปริภูมิ V เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่า , ว่าตัวเรือเชิงเส้นมีมิติ k ตามนิยาม ทฤษฎีบท b (เมื่อเสร็จสิ้นฐาน) ปล่อยให้ระบบองค์ประกอบของปริภูมิเชิงเส้น V ของมิติ n เป็นอิสระเชิงเส้น และ k จากนั้นในปริภูมิ V จะมีองค์ประกอบ a*+1,... ซึ่งระบบ a″ เป็นพื้นฐานของ V. M กำหนดให้ b เป็นองค์ประกอบใดๆ ของสเปซเชิงเส้น V ถ้าระบบขึ้นอยู่กับเชิงเส้น ดังนั้น ^เนื่องจากในการรวมกันเชิงเส้นที่ไม่ไม่สำคัญ สัมประสิทธิ์เนื่องจากความเป็นอิสระเชิงเส้นของระบบ a หากสามารถเขียนส่วนขยายของรูปแบบ (4) ได้ สำหรับองค์ประกอบ b ใดๆ ของปริภูมิ V ดังนั้นระบบดั้งเดิม a|,..., a* จะเป็นพื้นฐานตามคำจำกัดความ แต่เนื่องจากเงื่อนไขนี้จึงเป็นไปไม่ได้ ดังนั้นจึงต้องมีองค์ประกอบ a*+i € V ที่ทำให้ระบบสมบูรณ์ ai,..., ab,a*+| จะเป็นเส้นตรงแต่เป็นอิสระ ถ้า k + 1 = n ดังนั้นระบบนี้จะเป็นพื้นฐานของปริภูมิ V ถ้า k + 1 ดังนั้นสำหรับระบบ ควรให้เหตุผลก่อนหน้านี้ซ้ำ ด้วยวิธีนี้ ระบบองค์ประกอบใดๆ ก็ตามที่เป็นอิสระเชิงเส้นสามารถทำให้เสร็จสมบูรณ์ได้จนถึงพื้นฐานของปริภูมิ V ทั้งหมด ตัวอย่าง ทำให้ระบบของเวกเตอร์สองตัว a| สมบูรณ์ = (1,2,0,1), aj = (-1,1.1,0) ของปริภูมิ R4 ไปจนถึงฐานของปริภูมินี้ M ลองหาเวกเตอร์ aj = (ในปริภูมิ R4 แล้วแสดงว่าระบบของเวกเตอร์ ai.aj.aj, a4 เป็นพื้นฐานของ R4 อันดับของเมทริกซ์ซึ่งมีแถวเป็นพิกัดของเวกเตอร์ aag, az, A4 เท่ากับสี่ ซึ่งหมายความว่าแถวของเมทริกซ์ A และเวกเตอร์ที่ เอจี az, a^ มีความเป็นอิสระเชิงเส้น > แนวทางที่คล้ายกันนี้ใช้ในกรณีทั่วไป: เพื่อเสริมระบบองค์ประกอบอิสระเชิงเส้นให้กับพื้นฐานของปริภูมิ เมทริกซ์ การพึ่งพาเชิงเส้น มิติพื้นฐาน การแทนที่ฐานด้วยการแปลงแถวระดับประถมศึกษาจะลดลงเป็นรูปแบบสี่เหลี่ยมคางหมู จากนั้นเสริมด้วย n - k แถวของแบบฟอร์มเพื่อให้อันดับของเมทริกซ์ผลลัพธ์เท่ากับ n ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง ทฤษฎีบท 7 อนุญาต เป็นสเปซย่อยเชิงเส้นของสเปซเชิงเส้น V จากนั้น การเปลี่ยนแปลงของฐาน ให้เป็นฐานของสเปซเชิงเส้น V ขอให้เราขยายองค์ประกอบของฐาน c ไปเป็นฐาน c เรามีความสัมพันธ์เหล่านี้เขียนได้สะดวกในรูปแบบเมทริกซ์ เมทริกซ์เรียกว่าเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงจากพื้นฐาน c ถึงพื้นฐาน c คุณสมบัติของเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลง การพิสูจน์คุณสมบัตินี้ขัดแย้งกัน det S = 0 หมายถึงเชิงเส้น การพึ่งพาคอลัมน์ของเมทริกซ์ S คอลัมน์เหล่านี้เป็นคอลัมน์พิกัดขององค์ประกอบ" ,... "e"n ในพื้นฐาน c ดังนั้น (และเนื่องจากทฤษฎีบท 4) องค์ประกอบ e"และ..., e"n จะต้องขึ้นอยู่กับเชิงเส้น ส่วนหลังขัดแย้งกับข้อเท็จจริงที่ว่า c" เป็นฐาน ซึ่งหมายความว่าสมมติฐาน det S = 0 ไม่ถูกต้อง 2. ถ้า..., และ... เป็นพิกัดขององค์ประกอบ x ในฐาน c และ c" ตามลำดับ ดังนั้น _ แทนที่พวกมันในสูตรด้วยนิพจน์ (1) เราจะได้สิ่งนั้น ดังนั้น เนื่องจากมีเอกลักษณ์เฉพาะตัว ของการสลายตัวขององค์ประกอบบนพื้นฐาน เรามี I ต่อไปที่การบันทึกเมทริกซ์ของความเท่าเทียมกันที่พบ เรามั่นใจในความถูกต้องของคุณสมบัติ 2 3. S-1 คือเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงจากพื้นฐาน c" ถึงพื้นฐาน c

ความเป็นอิสระเชิงเส้น

ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน

มันถูกเรียกว่ามิติจำกัดถ้ามันมีระบบสร้างเวกเตอร์ที่มีขอบเขตจำกัด

ความคิดเห็น เราจะศึกษาเฉพาะปริภูมิเวกเตอร์ที่มีมิติจำกัดเท่านั้น แม้ว่าเราจะรู้ค่อนข้างมากเกี่ยวกับพื้นฐานของปริภูมิมิติจำกัด แต่เราไม่แน่ใจว่าปริภูมิดังกล่าวมีอยู่จริง ผลลัพธ์ที่ได้รับก่อนหน้านี้ทั้งหมดได้รับภายใต้สมมติฐานว่ามีพื้นฐานอยู่ ต่อไปนี้จะปิดคำถามนี้

ทฤษฎีบท. (เกี่ยวกับการดำรงอยู่ของพื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัด)

สเปซเวกเตอร์มิติจำกัดใดๆ จะต้องมีพื้นฐาน

การพิสูจน์. โดยเงื่อนไข มีระบบการสร้างอันจำกัดของปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดที่กำหนด V:

ให้เราทราบทันทีว่าหากระบบการสร้างเวกเตอร์ว่างเปล่านั่นคือ ไม่มีเวกเตอร์ใด ๆ ดังนั้นตามคำจำกัดความจะถือว่าปริภูมิเวกเตอร์นี้เป็นศูนย์นั่นคือ - ในกรณีนี้ ตามนิยาม จะถือว่าฐานของสเปซเวกเตอร์ว่างเป็นฐานว่าง และตามนิยาม จะถือว่าเท่ากับศูนย์ หากระบบนี้เป็นอิสระ ทุกอย่างก็ได้รับการพิสูจน์แล้ว เพราะ ระบบเวกเตอร์ที่สร้างและเป็นอิสระเชิงเส้นของปริภูมิเวกเตอร์เป็นพื้นฐานของมันเวกเตอร์นั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้น จากนั้นเวกเตอร์ตัวหนึ่งของระบบนี้จะถูกแสดงเชิงเส้นตรงในรูปของเวกเตอร์ที่เหลือและสามารถลบออกจากระบบได้ และระบบเวกเตอร์ที่เหลือจะยังคงถูกสร้างขึ้น

ลองกำหนดหมายเลขใหม่ให้กับระบบเวกเตอร์ที่เหลือ: . จากนั้นให้เหตุผลซ้ำ

ถ้าระบบนี้มีความเป็นอิสระเชิงเส้น มันก็จะเป็นพื้นฐาน ถ้าไม่เช่นนั้น ก็จะมีเวกเตอร์ในระบบนี้อีกครั้งที่สามารถลบออกได้ และระบบที่เหลือจะถูกสร้างขึ้น

ด้วยการทำซ้ำขั้นตอนนี้ เราไม่สามารถเหลือระบบเวกเตอร์ที่ว่างเปล่าได้ เพราะ ในกรณีที่รุนแรงที่สุด เราจะมาถึงระบบกำเนิดของเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์หนึ่งตัว ซึ่งเป็นอิสระเชิงเส้นและเป็นพื้นฐาน ดังนั้น ในบางขั้นตอน เราก็มาถึงระบบเวกเตอร์ที่สร้างและเป็นอิสระเชิงเส้น กล่าวคือ ไปที่ฐาน ฯลฯ

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

เล็มมา (บนระบบเวกเตอร์ในปริภูมิเวกเตอร์ n มิติ)

อนุญาต . แล้ว:

1. ระบบใดๆ จากเวกเตอร์จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง

2. ระบบเวกเตอร์ที่เป็นอิสระเชิงเส้นใดๆ ถือเป็นพื้นฐานของมัน

การพิสูจน์. 1) ตามเงื่อนไขของบทแทรก จำนวนเวกเตอร์ในฐานจะเท่ากัน และฐานคือระบบการสร้าง ดังนั้น จำนวนเวกเตอร์ในระบบอิสระเชิงเส้นใดๆ จะต้องไม่เกิน เช่น ระบบใดๆ ที่มีเวกเตอร์จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง

2). ดังต่อจากสิ่งที่เพิ่งได้รับการพิสูจน์ ระบบเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นใดๆ ของปริภูมิเวกเตอร์นี้มีค่าสูงสุด และด้วยเหตุนี้จึงเป็นพื้นฐาน

บทแทรกได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบท (ในการเสริมเข้ากับพื้นฐาน) ระบบเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นใดๆ ในปริภูมิเวกเตอร์สามารถเสริมเข้ากับพื้นฐานของปริภูมินี้ได้

การพิสูจน์. ปล่อยให้มีปริภูมิเวกเตอร์ขนาด n และระบบเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นบางระบบ แล้ว .

ถ้า ตามบทแทรกก่อนหน้า ระบบนี้เป็นพื้นฐานและไม่มีอะไรจะพิสูจน์ได้

ถ้า แล้วระบบนี้ไม่ใช่ระบบอิสระสูงสุด (ไม่เช่นนั้นมันจะเป็นพื้นฐาน ซึ่งเป็นไปไม่ได้ เพราะ ) ดังนั้นจึงมีเวกเตอร์ดังกล่าวที่ระบบ – เป็นอิสระเชิงเส้น

ถ้าตอนนี้ระบบ เป็นพื้นฐาน

หากเป็นเช่นนั้น ทุกอย่างจะเกิดขึ้นซ้ำรอยเดิม กระบวนการเติมเงินในระบบไม่สามารถดำเนินต่อไปได้เรื่อยๆ เพราะ ในแต่ละขั้นตอน เราจะได้ระบบเวกเตอร์อวกาศที่เป็นอิสระเชิงเส้น และตามบทแทรกก่อนหน้า จำนวนเวกเตอร์ในระบบดังกล่าวต้องไม่เกินขนาดของปริภูมิ ดังนั้นเมื่อถึงขั้นตอนหนึ่งเราก็จะมาถึงพื้นฐานของพื้นที่นี้เป็นต้น

คำนิยาม. พื้นฐาน

สเปซเวกเตอร์คอลัมน์เลขคณิตที่มีความสูง n เรียกว่า canonical หรือ natural