และตอนนี้จะมีหัวข้อต่อเนื่องซึ่งเราจะพิจารณาไม่เพียง แต่เนื้อหาใหม่เท่านั้น แต่ยังฝึกการกระทำกับเมทริกซ์ด้วย

มีคุณสมบัติมากมายที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการกับเมทริกซ์ ในวิกิพีเดียเดียวกัน คุณสามารถชื่นชมลำดับกฎที่เกี่ยวข้องกันได้อย่างเป็นระเบียบ อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ คุณสมบัติหลายอย่างในแง่หนึ่งเรียกว่า “ตาย” เนื่องจากมีเพียงไม่กี่คุณสมบัติเท่านั้นที่ใช้ในการแก้ไขปัญหาจริง เป้าหมายของฉันคือการพิจารณาการประยุกต์ใช้คุณสมบัติในทางปฏิบัติ ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงและหากคุณต้องการทฤษฎีที่เข้มงวด โปรดใช้แหล่งข้อมูลอื่น

ลองดูข้อยกเว้นบางประการของกฎที่จำเป็นสำหรับการปฏิบัติงานภาคปฏิบัติ

ถ้าเมทริกซ์จตุรัสมีเมทริกซ์ผกผัน การคูณจะเป็นการสับเปลี่ยน:

เมทริกซ์เอกลักษณ์คือเมทริกซ์จตุรัสที่มี เส้นทแยงมุมหลักมีหน่วยอยู่ และองค์ประกอบที่เหลือมีค่าเท่ากับศูนย์ ตัวอย่างเช่น: ฯลฯ

ในกรณีนี้คุณสมบัติต่อไปนี้เป็นจริง: หากเมทริกซ์ที่กำหนดเองถูกคูณทางด้านซ้ายหรือขวาด้วยเมทริกซ์ประจำตัวที่มีขนาดที่เหมาะสมผลลัพธ์จะเป็นเมทริกซ์ดั้งเดิม:

อย่างที่คุณเห็น การสับเปลี่ยนของการคูณเมทริกซ์ก็เกิดขึ้นที่นี่เช่นกัน

ลองหาเมทริกซ์มาบ้าง สมมุติว่า เมทริกซ์จากปัญหาที่แล้ว: .

ผู้สนใจสามารถตรวจสอบและมั่นใจได้ว่า:

เมทริกซ์หน่วยสำหรับเมทริกซ์เป็นแบบอะนาล็อกของหน่วยตัวเลขสำหรับตัวเลข ซึ่งเห็นได้ชัดเจนเป็นพิเศษจากตัวอย่างที่เพิ่งกล่าวถึงไป

สำหรับเมทริกซ์และจำนวนจริงจะมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

นั่นคือปัจจัยเชิงตัวเลขสามารถ (และควร) เลื่อนไปข้างหน้าเพื่อที่จะ "ไม่รบกวน" กับการคูณเมทริกซ์

บันทึก : โดยทั่วไปแล้ว สูตรของคุณสมบัติไม่สมบูรณ์ - สามารถวาง "แลมบ์ดา" ไว้ที่ใดก็ได้ระหว่างเมทริกซ์ แม้ว่าจะอยู่ที่ส่วนท้ายก็ตาม กฎยังคงใช้ได้หากมีการคูณเมทริกซ์ตั้งแต่สามตัวขึ้นไป

ตัวอย่างที่ 4

คำนวณผลิตภัณฑ์

สารละลาย :

(1) ตามทรัพย์สิน ย้ายตัวประกอบตัวเลขไปข้างหน้า ไม่สามารถจัดเรียงเมทริกซ์ใหม่ได้!

(2) – (3) ทำการคูณเมทริกซ์

(4) ที่นี่คุณสามารถหารแต่ละตัวเลขด้วย 10 แต่แล้วเศษส่วนทศนิยมจะปรากฏในองค์ประกอบของเมทริกซ์ซึ่งไม่ดี อย่างไรก็ตาม เราสังเกตเห็นว่าตัวเลขทั้งหมดในเมทริกซ์หารด้วย 5 ลงตัว เราจึงคูณแต่ละองค์ประกอบด้วย

คำตอบ :

ปริศนาเล็ก ๆ น้อย ๆ ให้คุณแก้ด้วยตัวเอง:

ตัวอย่างที่ 5

คำนวณถ้า

คำตอบและคำตอบอยู่ท้ายบทเรียน

เทคนิคทางเทคนิคใดที่สำคัญเมื่อแก้ไขตัวอย่างดังกล่าว เรามาคิดเลขกันดีกว่า สุดท้ายนี้ .

แนบรถม้าอีกคันเข้ากับหัวรถจักร:

ก่อนอื่น ผลลัพธ์ของการคูณเมทริกซ์ 3 ตัวจะเป็นอย่างไร? แมวจะไม่ให้กำเนิดหนู หากการคูณเมทริกซ์เป็นไปได้ ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นเมทริกซ์ด้วย อืม ครูพีชคณิตของฉันไม่เห็นว่าฉันอธิบายความปิดของโครงสร้างพีชคณิตสัมพันธ์กับองค์ประกอบของมันอย่างไร =)

ผลคูณของเมทริกซ์ทั้งสามสามารถคำนวณได้สองวิธี:

1) ค้นหาแล้วคูณด้วยเมทริกซ์ “ce”: ;

2) หาก่อนแล้วจึงคูณ

ผลลัพธ์จะตรงกันอย่างแน่นอน และตามทฤษฎีแล้วคุณสมบัตินี้เรียกว่าการเชื่อมโยงของการคูณเมทริกซ์:

ตัวอย่างที่ 6

คูณเมทริกซ์ได้สองวิธี

อัลกอริธึมการแก้ปัญหามีสองขั้นตอน: เราจะหาผลคูณของเมทริกซ์สองตัว จากนั้นเราจะหาผลคูณของเมทริกซ์สองตัวอีกครั้ง

1) ใช้สูตร

การกระทำที่หนึ่ง:

องก์ที่สอง:

2) ใช้สูตร

การกระทำที่หนึ่ง:

องก์ที่สอง:

คำตอบ :

วิธีแก้ปัญหาแรกคือเป็นวิธีที่คุ้นเคยและเป็นมาตรฐานมากกว่า โดยที่ "ทุกอย่างดูเหมือนจะเป็นระเบียบ" โดยวิธีการเกี่ยวกับการสั่งซื้อ ในงานที่กำลังพิจารณา ภาพลวงตามักเกิดขึ้นว่าเรากำลังพูดถึงการเรียงสับเปลี่ยนเมทริกซ์บางประเภท พวกเขาไม่ได้อยู่ที่นี่ ฉันขอเตือนคุณอีกครั้งว่าในกรณีทั่วไป เป็นไปไม่ได้ที่จะจัดเรียงเมทริกซ์ใหม่ ดังนั้น ในย่อหน้าที่สอง ในขั้นตอนที่สอง เราจะทำการคูณ แต่ไม่ว่าในกรณีใด ให้ทำ . สำหรับตัวเลขธรรมดา ตัวเลขดังกล่าวจะใช้ได้ แต่สำหรับเมทริกซ์จะใช้ไม่ได้

คุณสมบัติของการคูณแบบเชื่อมโยงเป็นจริงไม่เพียงแต่สำหรับกำลังสองเท่านั้น แต่ยังสำหรับเมทริกซ์ใดๆ ก็ตามด้วย ตราบใดที่พวกมันถูกคูณ:

ตัวอย่างที่ 7

ค้นหาผลคูณของเมทริกซ์สามตัว

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง ในโซลูชันตัวอย่าง การคำนวณจะดำเนินการในสองวิธี ได้แก่ วิเคราะห์ว่าเส้นทางใดทำกำไรได้มากกว่าและสั้นกว่า

คุณสมบัติการเชื่อมโยงของการคูณเมทริกซ์ยังใช้กับปัจจัยจำนวนมากขึ้นด้วย

ตอนนี้ถึงเวลากลับไปสู่พลังของเมทริกซ์แล้ว กำลังพิจารณาเมทริกซ์กำลังสองตั้งแต่เริ่มต้นและคำถามในวาระการประชุมคือ:

การดำเนินการเหล่านี้ยังกำหนดไว้สำหรับเมทริกซ์จตุรัสเท่านั้น หากต้องการยกกำลังสามของเมทริกซ์จตุรัส คุณต้องคำนวณผลคูณ:

อันที่จริง นี่เป็นกรณีพิเศษของการคูณเมทริกซ์สามตัว ตามคุณสมบัติการเชื่อมโยงของการคูณเมทริกซ์: และเมทริกซ์ที่คูณด้วยตัวมันเองจะได้กำลังสองของเมทริกซ์:

ดังนั้นเราจึงได้สูตรการทำงาน:

นั่นคือ งานจะดำเนินการในสองขั้นตอน: ขั้นแรก เมทริกซ์จะต้องถูกยกกำลังสอง จากนั้นเมทริกซ์ผลลัพธ์จะต้องคูณด้วยเมทริกซ์

ตัวอย่างที่ 8

สร้างเมทริกซ์ให้เป็นลูกบาศก์

นี่เป็นปัญหาเล็กๆ น้อยๆ ที่ต้องแก้ไขด้วยตัวเอง

การเพิ่มเมทริกซ์เป็นยกกำลังสี่นั้นดำเนินการด้วยวิธีธรรมชาติ:

การใช้การเชื่อมโยงของการคูณเมทริกซ์ทำให้เราได้สูตรการทำงานสองสูตร ประการแรก: – นี่คือผลคูณของเมทริกซ์สามตัว

1) . กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราพบก่อน แล้วคูณด้วย "เป็น" - เราได้ลูกบาศก์และสุดท้ายเราก็ทำการคูณอีกครั้ง - จะมีกำลังที่สี่

2) แต่มีวิธีแก้ไขที่สั้นกว่าหนึ่งขั้นตอน: . นั่นคือในขั้นตอนแรกเราจะพบสี่เหลี่ยมจัตุรัสและทำการคูณโดยไม่ต้องผ่านลูกบาศก์

งานเพิ่มเติมสำหรับตัวอย่างที่ 8:

ยกเมทริกซ์ยกกำลังสี่

ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น สามารถทำได้สองวิธี:

1) เนื่องจากทราบลูกบาศก์แล้ว เราจึงทำการคูณ

2) อย่างไรก็ตาม ถ้าตามเงื่อนไขของปัญหา จำเป็นต้องสร้างเมทริกซ์ ยกกำลังที่สี่เท่านั้นจากนั้นจะเป็นประโยชน์ที่จะย่อเส้นทางให้สั้นลง - ค้นหากำลังสองของเมทริกซ์และใช้สูตร

ทั้งวิธีแก้ปัญหาและคำตอบอยู่ท้ายบทเรียน

ในทำนองเดียวกันเมทริกซ์จะเพิ่มขึ้นเป็นกำลังที่ห้าและสูงกว่า จากประสบการณ์จริงบอกได้เลยว่าบางครั้งผมเจอตัวอย่างการยกกำลัง 4 แต่ผมจำอะไรเกี่ยวกับยกกำลัง 5 ไม่ได้เลย แต่ในกรณีนี้ ฉันจะให้อัลกอริทึมที่เหมาะสมที่สุด:

1) ค้นหา ;
2) ค้นหา ;
3) เพิ่มเมทริกซ์เป็นกำลังที่ห้า: .

บางทีสิ่งเหล่านี้อาจเป็นคุณสมบัติพื้นฐานทั้งหมดของการดำเนินการเมทริกซ์ที่อาจมีประโยชน์ในการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติ

ในส่วนที่สองของบทเรียน คาดว่าจะมีฝูงชนที่มีสีสันไม่แพ้กัน

เรามาทำซ้ำสำนวนโรงเรียนปกติด้วยตัวเลขกัน นิพจน์ตัวเลขประกอบด้วยตัวเลข สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ และวงเล็บ ตัวอย่างเช่น - เมื่อคำนวณ จะใช้ลำดับความสำคัญทางพีชคณิตที่คุ้นเคย: อันดับแรก วงเล็บจากนั้นจึงดำเนินการ การยกกำลัง/การรูต, แล้ว การคูณ/การหารและสุดท้ายแต่ไม่ท้ายสุด- การบวก/การลบ.

หากนิพจน์ตัวเลขสมเหตุสมผล ผลลัพธ์ของการประเมินจะเป็นตัวเลข เช่น:

นิพจน์เมทริกซ์ทำงานในลักษณะเดียวกัน! โดยมีความแตกต่างตรงที่ตัวละครหลักเป็นเมทริกซ์ บวกกับบางอย่างที่เฉพาะเจาะจง การดำเนินการเมทริกซ์เช่น การเคลื่อนย้ายและการหาค่าผกผันของเมทริกซ์

ลองพิจารณาดู การแสดงออกของเมทริกซ์ , โดยที่เมทริกซ์บางตัว ในนิพจน์เมทริกซ์นี้ การดำเนินการสามพจน์และการบวก/การลบจะดำเนินการครั้งสุดท้าย

ในเทอมแรก คุณต้องเปลี่ยนเมทริกซ์ "be" ก่อน: จากนั้นทำการคูณและป้อน "two" ลงในเมทริกซ์ผลลัพธ์ โปรดทราบว่าการดำเนินการย้ายมีลำดับความสำคัญสูงกว่าการคูณ วงเล็บเช่นเดียวกับในนิพจน์ตัวเลขให้เปลี่ยนลำดับของการกระทำ: - ที่นี่การคูณจะดำเนินการก่อนจากนั้นเมทริกซ์ผลลัพธ์จะถูกย้ายและคูณด้วย 2

ในเทอมที่สอง การคูณเมทริกซ์จะดำเนินการก่อน และหาเมทริกซ์ผกผันจากผลคูณ หากคุณลบวงเล็บ: คุณต้องหาเมทริกซ์ผกผันก่อนแล้วจึงคูณเมทริกซ์: การค้นหาค่าผกผันของเมทริกซ์ยังมีความสำคัญมากกว่าการคูณอีกด้วย

ด้วยเทอมที่สาม ทุกอย่างชัดเจน: เรายกเมทริกซ์เป็นลูกบาศก์แล้วป้อน "ห้า" ลงในเมทริกซ์ผลลัพธ์

หากนิพจน์เมทริกซ์สมเหตุสมผล ผลลัพธ์ของการประเมินก็คือเมทริกซ์

งานทั้งหมดจะมาจากการทดสอบจริง และเราจะเริ่มต้นด้วยสิ่งที่ง่ายที่สุด:

ตัวอย่างที่ 9

กำหนดเมทริกซ์ - หา:

วิธีแก้ไข: ลำดับของการกระทำชัดเจน คูณขั้นแรกแล้วจึงบวก

ไม่สามารถทำการบวกได้เนื่องจากเมทริกซ์มีขนาดต่างกัน

อย่าแปลกใจ เห็นได้ชัดว่ามักเสนอการกระทำที่เป็นไปไม่ได้ในงานประเภทนี้

ลองคำนวณนิพจน์ที่สอง:

ทุกอย่างเรียบร้อยดีที่นี่

คำตอบ: ไม่สามารถดำเนินการได้ .

พีชคณิตเชิงเส้นสำหรับหุ่น

หากต้องการศึกษาพีชคณิตเชิงเส้นคุณสามารถอ่านและเจาะลึกหนังสือ "เมทริกซ์และปัจจัยกำหนด" โดย I. V. Belousov อย่างไรก็ตาม มันถูกเขียนด้วยภาษาคณิตศาสตร์ที่เข้มงวดและแห้งแล้ง ซึ่งเป็นเรื่องยากสำหรับผู้ที่มีสติปัญญาระดับปานกลางในการรับรู้ ดังนั้นฉันจึงเล่าเรื่องส่วนที่เข้าใจยากที่สุดของหนังสือเล่มนี้อีกครั้ง โดยพยายามนำเสนอเนื้อหาให้ชัดเจนที่สุดเท่าที่จะทำได้ โดยใช้ภาพวาดให้มากที่สุด ฉันได้ละเว้นการพิสูจน์ทฤษฎีบท จริงๆ แล้วฉันไม่ได้เจาะลึกพวกเขาด้วยตัวเอง ฉันเชื่อคุณเบลูซอฟ! เมื่อพิจารณาจากผลงานของเขา เขาเป็นนักคณิตศาสตร์ที่มีความสามารถและชาญฉลาด คุณสามารถดาวน์โหลดหนังสือของเขาได้ที่ http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Belousov2006ru.pdf หากคุณกำลังจะเจาะลึกงานของฉัน คุณต้องทำเช่นนี้ เพราะฉันมักจะอ้างถึง Belousov

เริ่มต้นด้วยคำจำกัดความ เมทริกซ์คืออะไร? นี่คือตารางสี่เหลี่ยมที่ประกอบด้วยตัวเลข ฟังก์ชัน หรือนิพจน์พีชคณิต เหตุใดจึงจำเป็นต้องมีเมทริกซ์? ช่วยอำนวยความสะดวกในการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนอย่างมาก เมทริกซ์สามารถมีแถวและคอลัมน์ได้ (รูปที่ 1)

แถวและคอลัมน์จะมีหมายเลขกำกับโดยเริ่มจากด้านซ้าย

จากด้านบน (รูปที่ 1-1) เมื่อพวกเขาพูดว่า: เมทริกซ์ขนาด m n (หรือ m คูณ n) พวกมันหมายถึง m จำนวนแถว และ n จำนวนคอลัมน์ ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์ในรูปที่ 1-1 คือ 4 คูณ 3 ไม่ใช่ 3 คูณ 4

ดูรูปที่. 1-3, มีเมทริกซ์อะไรบ้าง. หากเมทริกซ์ประกอบด้วยหนึ่งแถว จะเรียกว่าเมทริกซ์แถว และหากเมทริกซ์ประกอบด้วยหนึ่งคอลัมน์ จะเรียกว่าเมทริกซ์คอลัมน์ เมทริกซ์เรียกว่ากำลังสองของลำดับ n หากจำนวนแถวเท่ากับจำนวนคอลัมน์และเท่ากับ n ถ้าองค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์เป็นศูนย์ มันก็จะเป็นเมทริกซ์ศูนย์ เมทริกซ์จตุรัสเรียกว่าเส้นทแยงมุมหากองค์ประกอบทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ ยกเว้นองค์ประกอบที่อยู่บนเส้นทแยงมุมหลัก

ฉันจะอธิบายทันทีว่าเส้นทแยงมุมหลักคืออะไร หมายเลขแถวและคอลัมน์เหมือนกัน มันไปจากซ้ายไปขวาจากบนลงล่าง (รูปที่ 3) องค์ประกอบจะเรียกว่าเส้นทแยงมุมหากอยู่บนเส้นทแยงมุมหลัก หากองค์ประกอบในแนวทแยงทั้งหมดเท่ากับหนึ่ง (และส่วนที่เหลือเท่ากับศูนย์) เมทริกซ์จะเรียกว่าเอกลักษณ์ เมทริกซ์ A และ B สองตัวที่มีขนาดเท่ากันจะถือว่าเท่ากันถ้าองค์ประกอบทั้งหมดเท่ากัน

ผลคูณของเมทริกซ์กับจำนวน x คือเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากัน เพื่อให้ได้ผลิตภัณฑ์นี้ คุณต้องคูณแต่ละองค์ประกอบด้วยตัวเลขนี้ (รูปที่ 4) เพื่อให้ได้ผลรวมของเมทริกซ์สองตัวที่มีขนาดเท่ากัน คุณจะต้องเพิ่มองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องกัน (รูปที่ 4) เพื่อให้ได้ความแตกต่าง A - B ของเมทริกซ์สองตัวที่มีขนาดเท่ากัน คุณต้องคูณเมทริกซ์ B ด้วย -1 และเพิ่มเมทริกซ์ผลลัพธ์ด้วยเมทริกซ์ A (รูปที่ 4) สำหรับการดำเนินการกับเมทริกซ์ คุณสมบัติต่อไปนี้ใช้ได้: A+B=B+A (คุณสมบัติการสับเปลี่ยน)

(A + B)+C = A+(B + C) (คุณสมบัติการเชื่อมโยง) พูดง่ายๆ ก็คือ การเปลี่ยนตำแหน่งของเงื่อนไขไม่ทำให้ผลรวมเปลี่ยนแปลง คุณสมบัติต่อไปนี้ใช้กับการดำเนินการกับเมทริกซ์และตัวเลข:

(แสดงตัวเลขด้วยตัวอักษร x และ y และเมทริกซ์ด้วยตัวอักษร A และ B) x(yA)=(xy)A

คุณสมบัติเหล่านี้คล้ายกับคุณสมบัติที่ใช้กับการดำเนินการกับตัวเลข ดู

ตัวอย่างในรูปที่ 5 ดูตัวอย่างที่ 2.4 - 2.6 จาก Belousov ในหน้า 9 ด้วย

การคูณของเมทริกซ์สองตัวถูกกำหนดไว้ก็ต่อเมื่อ (แปลเป็นภาษารัสเซีย: เมทริกซ์สามารถคูณได้ก็ต่อเมื่อ) เมื่อจำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์แรกในผลคูณเท่ากับจำนวนแถวของวินาที (รูปที่ 7 ด้านบน วงเล็บสีน้ำเงิน) เพื่อช่วยให้คุณจำ: หมายเลข 1 เป็นเหมือนคอลัมน์มากกว่า ผลลัพธ์ของการคูณคือเมทริกซ์ขนาด (ดูรูปที่ 6) เพื่อให้ง่ายต่อการจดจำว่าต้องคูณอะไร ฉันเสนออัลกอริทึมต่อไปนี้: ดูที่รูปที่ 7 คูณเมทริกซ์ A ด้วยเมทริกซ์ B

เมทริกซ์ A สองคอลัมน์

เมทริกซ์ B มีสองแถว - คุณสามารถคูณได้

1) มาจัดการกับคอลัมน์แรกของเมทริกซ์ B (คอลัมน์เดียวที่มี) เราเขียนคอลัมน์นี้เป็นบรรทัด (transpose

คอลัมน์เกี่ยวกับการขนย้ายด้านล่าง)

2) คัดลอกบรรทัดนี้เพื่อให้ได้เมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากับเมทริกซ์ A

3) คูณองค์ประกอบของเมทริกซ์นี้ด้วยองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์ A

4) เราเพิ่มผลิตภัณฑ์ผลลัพธ์ในแต่ละแถวและรับเมทริกซ์ผลิตภัณฑ์สองแถวและหนึ่งคอลัมน์

รูปที่ 7-1 แสดงตัวอย่างการคูณเมทริกซ์ที่มีขนาดใหญ่กว่า

1) ในที่นี้เมทริกซ์แรกมีสามคอลัมน์ ซึ่งหมายความว่าเมทริกซ์ที่สองต้องมีสามแถว อัลกอริทึมจะเหมือนกับในตัวอย่างก่อนหน้านี้ทุกประการ เฉพาะที่นี่เท่านั้นที่มีสามคำในแต่ละบรรทัด ไม่ใช่สองคำ

2) ที่นี่เมทริกซ์ที่สองมีสองคอลัมน์ ขั้นแรก เราทำอัลกอริธึมกับคอลัมน์แรก จากนั้นคอลัมน์ที่สอง และเราจะได้เมทริกซ์ "สองคูณสอง"

3) ที่นี่คอลัมน์ของเมทริกซ์ที่สองประกอบด้วยองค์ประกอบเดียว คอลัมน์จะไม่เปลี่ยนแปลงเนื่องจากการขนย้าย และไม่จำเป็นต้องบวกอะไรอีก เนื่องจากเมทริกซ์แรกมีเพียงคอลัมน์เดียวเท่านั้น เราทำอัลกอริธึมสามครั้งและได้เมทริกซ์ขนาดสามคูณสาม

คุณสมบัติต่อไปนี้เกิดขึ้น:

1. ถ้าผลรวม B + C และผลิตภัณฑ์ AB มีอยู่ ดังนั้น A (B + C) = AB + AC

2. หากมีผลิตภัณฑ์ AB แล้ว x (AB) = (xA) B = A (xB)

3. หากมีผลิตภัณฑ์ AB และ BC แล้ว A (BC) = (AB) C

หากมีผลิตภัณฑ์เมทริกซ์ AB อยู่แล้ว ผลิตภัณฑ์เมทริกซ์ BA อาจไม่มีอยู่ แม้ว่าผลิตภัณฑ์ AB และ BA มีอยู่ แต่ก็อาจกลายเป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดต่างกันได้

ทั้งสองผลิตภัณฑ์ AB และ BA มีอยู่และเป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากันเฉพาะในกรณีของเมทริกซ์จัตุรัส A และ B ในลำดับเดียวกัน อย่างไรก็ตาม แม้ในกรณีนี้ AB อาจไม่เท่ากับ BA

การเพิ่มเมทริกซ์ให้เป็นกำลังนั้นเหมาะสมสำหรับเมทริกซ์จตุรัสเท่านั้น (ลองคิดดูว่าเพราะเหตุใด) จากนั้นเลขจำนวนเต็มบวก m ของเมทริกซ์ A คือผลคูณของเมทริกซ์ m เท่ากับ A เช่นเดียวกับตัวเลข ในระดับศูนย์ของเมทริกซ์จตุรัส A เราหมายถึงเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่มีลำดับเดียวกันกับ A หากคุณลืมไปแล้วว่าเมทริกซ์เอกลักษณ์คืออะไร ให้ดูที่รูป 3.

เช่นเดียวกับตัวเลข ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ยังคงอยู่:

A mA k=A m+k (A m)k=A mk

ดูตัวอย่างจาก Belousov ในหน้า 20

การย้ายคือการแปลงเมทริกซ์ A เป็นเมทริกซ์ AT

โดยที่แถวของเมทริกซ์ A ถูกเขียนลงในคอลัมน์ AT ในขณะที่ยังคงรักษาลำดับไว้ (รูปที่ 8) คุณสามารถพูดได้อีกทางหนึ่ง:

คอลัมน์ของเมทริกซ์ A ถูกเขียนลงในแถวของเมทริกซ์ AT โดยคงลำดับไว้ สังเกตว่าการขนย้ายเปลี่ยนขนาดของเมทริกซ์ ซึ่งก็คือจำนวนแถวและคอลัมน์ได้อย่างไร โปรดทราบว่าองค์ประกอบในแถวแรก คอลัมน์แรก และแถวสุดท้าย คอลัมน์สุดท้ายยังคงอยู่ที่เดิม

คุณสมบัติต่อไปนี้คงอยู่: (AT )T =A (transpose

เมทริกซ์สองครั้ง - คุณจะได้เมทริกซ์เดียวกัน)

(xA)T =xAT (โดย x เราหมายถึงตัวเลข โดย A แน่นอนว่าเป็นเมทริกซ์) (ถ้าคุณต้องการคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลขและทรานสโพส คุณสามารถคูณก่อนแล้วจึงทรานสโพส หรือกลับกัน )

(A+B)T = AT +BT (AB)T =BT AT

รูปที่ 9 ด้านซ้ายบน แสดงเมทริกซ์แบบสมมาตร องค์ประกอบที่มีความสมมาตรสัมพันธ์กับเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากัน และตอนนี้คำจำกัดความ: เมทริกซ์จัตุรัส

A เรียกว่าสมมาตรถ้า AT = A นั่นคือเมทริกซ์สมมาตรจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการย้าย โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมทริกซ์แนวทแยงใด ๆ ที่มีความสมมาตร (เมทริกซ์ดังกล่าวแสดงในรูปที่ 2)

ตอนนี้ดูที่เมทริกซ์แอนติสมมาตร (รูปที่ 9 ด้านล่าง) มันแตกต่างจากสมมาตรอย่างไร? โปรดทราบว่าองค์ประกอบในแนวทแยงทั้งหมดเป็นศูนย์ เมทริกซ์ต้านสมมาตรมีองค์ประกอบในแนวทแยงทั้งหมดเท่ากับศูนย์ คิดว่าทำไม? คำจำกัดความ: เรียกว่าเมทริกซ์จตุรัส A

ต่อต้านสมมาตรถ้า AT = -A ให้เราทราบคุณสมบัติบางประการของการดำเนินการเกี่ยวกับสมมาตรและแอนติสมมาตร

เมทริกซ์ 1. ถ้า A และ B เป็นเมทริกซ์สมมาตร (แอนติสมมาตร) แล้ว A + B จะเป็นเมทริกซ์สมมาตร (แอนติสมมาตร)

2. ถ้า A เป็นเมทริกซ์สมมาตร (ต้านสมมาตร) แล้ว xA ก็เป็นเมทริกซ์สมมาตร (ต้านสมมาตร) เช่นกัน (อันที่จริง หากคุณคูณเมทริกซ์จากรูปที่ 9 ด้วยจำนวนหนึ่ง ความสมมาตรก็จะยังคงอยู่)

3. ผลคูณ AB ของเมทริกซ์สมมาตรสองตัวหรือเมทริกซ์ต้านสมมาตรสองตัว A และ B คือเมทริกซ์สมมาตรสำหรับ AB = BA และเมทริกซ์ต้านสมมาตรสำหรับ AB = -BA

4. ถ้า A เป็นเมทริกซ์สมมาตร แล้ว A m (m = 1, 2, 3, ...) จะเป็นเมทริกซ์สมมาตร ถ้าก

เมทริกซ์แอนติสมมาตร จากนั้น Am (m = 1, 2, 3, ...) เป็นเมทริกซ์สมมาตรสำหรับเลขคู่ m และแอนติสมมาตรสำหรับเลขคี่

5. เมทริกซ์จตุรัส A สามารถแสดงเป็นผลรวมของเมทริกซ์สองตัวได้ (ลองเรียกเมทริกซ์เหล่านี้ว่า A(s) และ A(a) )

A=A (วิ)+A (ก)

ในเดือนกรกฎาคม 2020 NASA ออกเดินทางสู่ดาวอังคาร ยานอวกาศจะส่งไปดาวอังคาร สื่ออิเล็กทรอนิกส์พร้อมชื่อผู้เข้าร่วมการสำรวจทั้งหมดที่ลงทะเบียนไว้

หากโพสต์นี้แก้ปัญหาของคุณได้หรือคุณเพียงแค่ชอบ ให้แชร์ลิงก์ไปยังเพื่อน ๆ ของคุณบนโซเชียลเน็ตเวิร์ก

หนึ่งในตัวเลือกโค้ดเหล่านี้จำเป็นต้องคัดลอกและวางลงในโค้ดของหน้าเว็บของคุณ โดยควรอยู่ระหว่างแท็กและหรืออยู่หลังแท็ก ตามตัวเลือกแรก MathJax จะโหลดเร็วขึ้นและทำให้หน้าช้าลง แต่ตัวเลือกที่สองจะตรวจสอบและโหลด MathJax เวอร์ชันล่าสุดโดยอัตโนมัติ หากคุณใส่รหัสแรก จะต้องได้รับการอัปเดตเป็นระยะ หากคุณใส่โค้ดที่สอง หน้าเว็บจะโหลดช้าลง แต่คุณไม่จำเป็นต้องติดตามการอัปเดต MathJax อย่างต่อเนื่อง

วิธีที่ง่ายที่สุดในการเชื่อมต่อ MathJax คือใน Blogger หรือ WordPress: ในแผงควบคุมไซต์ ให้เพิ่มวิดเจ็ตที่ออกแบบมาเพื่อแทรกโค้ด JavaScript บุคคลที่สาม คัดลอกโค้ดดาวน์โหลดเวอร์ชันแรกหรือเวอร์ชันที่สองที่แสดงด้านบนลงไป และวางวิดเจ็ตไว้ใกล้ยิ่งขึ้น ไปที่จุดเริ่มต้นของเทมเพลต (โดยวิธีนี้ไม่จำเป็นเลย เนื่องจากสคริปต์ MathJax ถูกโหลดแบบอะซิงโครนัส) แค่นั้นแหละ. ตอนนี้เรียนรู้ไวยากรณ์มาร์กอัปของ MathML, LaTeX และ ASCIIMathML แล้วคุณก็พร้อมที่จะแทรกสูตรทางคณิตศาสตร์ลงในหน้าเว็บของเว็บไซต์ของคุณแล้ว

วันส่งท้ายปีเก่าอีกครั้ง... อากาศหนาวจัดและเกล็ดหิมะบนกระจกหน้าต่าง... ทั้งหมดนี้ทำให้ฉันต้องเขียนอีกครั้งเกี่ยวกับ... เศษส่วน และสิ่งที่ Wolfram Alpha รู้เกี่ยวกับมัน มีบทความที่น่าสนใจในหัวข้อนี้ ซึ่งมีตัวอย่างโครงสร้างแฟร็กทัลสองมิติ ที่นี่เราจะดูเพิ่มเติม ตัวอย่างที่ซับซ้อนเศษส่วนสามมิติ

เศษส่วนสามารถแสดงด้วยสายตา (อธิบาย) เป็นรูปทรงเรขาคณิตหรือร่างกาย (ซึ่งหมายความว่าทั้งสองเป็นเซตในกรณีนี้คือเซตของจุด) โดยมีรายละเอียดที่มีรูปร่างเหมือนกับรูปต้นฉบับ คือเป็นโครงสร้างคล้ายตัวเอง เมื่อพิจารณารายละเอียด ซึ่งเมื่อขยายใหญ่เราจะเห็นรูปทรงเดียวกันกับเมื่อไม่มีการขยาย ในขณะที่ในกรณีของรูปทรงเรขาคณิตธรรมดา (ไม่ใช่เศษส่วน) เมื่อขยายออก เราจะเห็นรายละเอียดที่มีรูปร่างเรียบง่ายกว่ารูปร่างดั้งเดิม ตัวอย่างเช่น เมื่อใช้กำลังขยายที่สูงเพียงพอ ส่วนหนึ่งของวงรีจะดูเหมือนส่วนของเส้นตรง สิ่งนี้จะไม่เกิดขึ้นกับแฟร็กทัล: เมื่อมีการเพิ่มขึ้น เราจะเห็นรูปร่างที่ซับซ้อนเหมือนเดิมอีกครั้ง ซึ่งจะเกิดขึ้นซ้ำแล้วซ้ำอีกทุกครั้งที่เพิ่มขึ้น

เบอนัวต์ แมนเดลโบรต์ ผู้ก่อตั้งวิทยาศาสตร์แห่งแฟร็กทัลเขียนไว้ในบทความของเขาเรื่องแฟร็กทัลและศิลปะในนามของวิทยาศาสตร์ว่า “แฟร็กทัลเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่มีรายละเอียดที่ซับซ้อนพอๆ กับในรูปแบบโดยรวม นั่นคือ หากเป็นส่วนหนึ่งของแฟร็กทัล จะถูกขยายให้ใหญ่ขึ้น โดยจะปรากฏเป็นภาพรวม อย่างแน่นอน หรืออาจจะมีรูปร่างผิดปกติเล็กน้อยก็ได้”

ควรสังเกตว่าการดำเนินการนี้สามารถทำได้เท่านั้น เมทริกซ์จตุรัส- จำนวนแถวและคอลัมน์ที่เท่ากันเป็นสิ่งที่จำเป็นสำหรับการเพิ่มเมทริกซ์ยกกำลัง ในระหว่างการคำนวณเมทริกซ์จะถูกคูณด้วยตัวมันเองตามจำนวนครั้งที่ต้องการ

ที่ให้ไว้ เครื่องคิดเลขออนไลน์ได้รับการออกแบบมาเพื่อดำเนินการยกเมทริกซ์ให้เป็นกำลัง ด้วยการใช้งานคุณไม่เพียง แต่จะรับมือกับงานนี้ได้อย่างรวดเร็ว แต่ยังได้แนวคิดที่ชัดเจนและละเอียดเกี่ยวกับความคืบหน้าของการคำนวณอีกด้วย สิ่งนี้จะช่วยรวมเนื้อหาที่ได้รับทางทฤษฎีได้ดีขึ้น เมื่อเห็นอัลกอริธึมการคำนวณโดยละเอียดต่อหน้าคุณ คุณจะเข้าใจรายละเอียดปลีกย่อยทั้งหมดได้ดีขึ้น และต่อมาสามารถหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดในการคำนวณด้วยตนเองได้ นอกจากนี้ การตรวจสอบการคำนวณของคุณซ้ำอีกครั้งไม่ใช่เรื่องเสียหาย และวิธีที่ดีที่สุดคือทำได้ที่นี่

ในการยกระดับเมทริกซ์เป็นพาวเวอร์ออนไลน์ คุณจะต้องมีซีรีย์ การกระทำง่ายๆ- ก่อนอื่น ให้ระบุขนาดเมทริกซ์โดยคลิกที่ไอคอน "+" หรือ "-" ทางด้านซ้าย จากนั้นป้อนตัวเลขในช่องเมทริกซ์ คุณต้องระบุกำลังที่เมทริกซ์ถูกยกขึ้นด้วย จากนั้นสิ่งที่คุณต้องทำคือคลิกที่ปุ่ม "คำนวณ" ที่ด้านล่างของช่อง ผลลัพธ์ที่ได้จะเชื่อถือได้และแม่นยำหากคุณป้อนค่าทั้งหมดอย่างระมัดระวังและถูกต้อง นอกจากนี้ คุณยังจะได้รับใบรับรองผลการเรียนโดยละเอียดของโซลูชันอีกด้วย