และตอนนี้จะมีหัวข้อต่อเนื่องซึ่งเราจะพิจารณาไม่เพียง แต่เนื้อหาใหม่เท่านั้น แต่ยังฝึกการกระทำกับเมทริกซ์ด้วย

มีคุณสมบัติมากมายที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการกับเมทริกซ์ ในวิกิพีเดียเดียวกัน คุณสามารถชื่นชมลำดับกฎที่เกี่ยวข้องกันได้อย่างเป็นระเบียบ อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ คุณสมบัติหลายอย่างในแง่หนึ่งเรียกว่า “ตาย” เนื่องจากมีเพียงไม่กี่คุณสมบัติเท่านั้นที่ใช้ในการแก้ไขปัญหาจริง เป้าหมายของฉันคือการดูการประยุกต์ใช้คุณสมบัติในทางปฏิบัติด้วยตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง และหากคุณต้องการทฤษฎีที่เข้มงวด โปรดใช้แหล่งข้อมูลอื่น

ลองดูข้อยกเว้นบางประการของกฎที่จำเป็นสำหรับการปฏิบัติงานภาคปฏิบัติ

ถ้าเมทริกซ์จตุรัสมีเมทริกซ์ผกผัน การคูณจะเป็นการสับเปลี่ยน:

เมทริกซ์เอกลักษณ์คือเมทริกซ์จตุรัสที่มี เส้นทแยงมุมหลักมีหน่วยอยู่ และองค์ประกอบที่เหลือมีค่าเท่ากับศูนย์ ตัวอย่างเช่น: ฯลฯ

ในกรณีนี้คุณสมบัติต่อไปนี้เป็นจริง: หากเมทริกซ์ที่กำหนดเองถูกคูณทางด้านซ้ายหรือขวาด้วยเมทริกซ์ประจำตัวที่มีขนาดที่เหมาะสมผลลัพธ์จะเป็นเมทริกซ์ดั้งเดิม:

อย่างที่คุณเห็น การสับเปลี่ยนของการคูณเมทริกซ์ก็เกิดขึ้นที่นี่เช่นกัน

ลองหาเมทริกซ์มาบ้าง สมมุติว่า เมทริกซ์จากปัญหาที่แล้ว: .

ผู้สนใจสามารถตรวจสอบและมั่นใจได้ว่า:

เมทริกซ์หน่วยสำหรับเมทริกซ์เป็นแบบอะนาล็อกของหน่วยตัวเลขสำหรับตัวเลข ซึ่งเห็นได้ชัดเจนเป็นพิเศษจากตัวอย่างที่เพิ่งกล่าวถึงไป

สำหรับเมทริกซ์และจำนวนจริงจะมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

นั่นคือปัจจัยเชิงตัวเลขสามารถ (และควร) เลื่อนไปข้างหน้าเพื่อที่จะ "ไม่รบกวน" กับการคูณเมทริกซ์

บันทึก : โดยทั่วไปแล้ว สูตรของคุณสมบัติไม่สมบูรณ์ - สามารถวาง "แลมบ์ดา" ไว้ที่ใดก็ได้ระหว่างเมทริกซ์ แม้ว่าจะอยู่ที่ส่วนท้ายก็ตาม กฎยังคงใช้ได้หากมีการคูณเมทริกซ์ตั้งแต่สามตัวขึ้นไป

ตัวอย่างที่ 4

คำนวณผลิตภัณฑ์

สารละลาย :

(1) ตามทรัพย์สิน ย้ายตัวประกอบตัวเลขไปข้างหน้า ไม่สามารถจัดเรียงเมทริกซ์ใหม่ได้!

(2) – (3) ทำการคูณเมทริกซ์

(4) ที่นี่คุณสามารถหารแต่ละตัวเลขด้วย 10 แต่เศษส่วนทศนิยมจะปรากฏในองค์ประกอบของเมทริกซ์ซึ่งไม่ดี อย่างไรก็ตาม เราสังเกตเห็นว่าตัวเลขทั้งหมดในเมทริกซ์หารด้วย 5 ลงตัว เราจึงคูณแต่ละองค์ประกอบด้วย

คำตอบ :

ปริศนาเล็ก ๆ น้อย ๆ ให้คุณแก้ด้วยตัวเอง:

ตัวอย่างที่ 5

คำนวณถ้า

คำตอบและคำตอบอยู่ท้ายบทเรียน

เทคนิคทางเทคนิคใดที่สำคัญเมื่อแก้ไขตัวอย่างดังกล่าว เรามาคิดเลขกันดีกว่า สุดท้ายนี้ .

แนบรถม้าอีกคันเข้ากับหัวรถจักร:

ก่อนอื่น ผลลัพธ์ของการคูณเมทริกซ์ 3 ตัวจะเป็นอย่างไร? แมวจะไม่ให้กำเนิดหนู หากการคูณเมทริกซ์เป็นไปได้ ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นเมทริกซ์ด้วย อืม ครูพีชคณิตของฉันไม่เห็นว่าฉันอธิบายความปิดของโครงสร้างพีชคณิตสัมพันธ์กับองค์ประกอบของมันอย่างไร =)

ผลคูณของเมทริกซ์ทั้งสามสามารถคำนวณได้สองวิธี:

1) ค้นหาแล้วคูณด้วยเมทริกซ์ “ce”: ;

2) หาก่อนแล้วจึงคูณ

ผลลัพธ์จะตรงกันอย่างแน่นอน และตามทฤษฎีแล้วคุณสมบัตินี้เรียกว่าการเชื่อมโยงของการคูณเมทริกซ์:

ตัวอย่างที่ 6

คูณเมทริกซ์ได้สองวิธี

อัลกอริธึมการแก้ปัญหามีสองขั้นตอน: เราจะหาผลคูณของเมทริกซ์สองตัว จากนั้นเราจะหาผลคูณของเมทริกซ์สองตัวอีกครั้ง

1) ใช้สูตร

การกระทำที่หนึ่ง:

องก์ที่สอง:

2) ใช้สูตร

การกระทำที่หนึ่ง:

องก์ที่สอง:

คำตอบ :

วิธีแก้ปัญหาแรกคือเป็นวิธีที่คุ้นเคยและเป็นมาตรฐานมากกว่า โดยที่ "ทุกอย่างดูเหมือนจะเป็นระเบียบ" โดยวิธีการเกี่ยวกับการสั่งซื้อ ในงานที่กำลังพิจารณา ภาพลวงตามักเกิดขึ้นว่าเรากำลังพูดถึงการเรียงสับเปลี่ยนเมทริกซ์บางประเภท พวกเขาไม่ได้อยู่ที่นี่ ฉันขอเตือนคุณอีกครั้งว่าในกรณีทั่วไป เป็นไปไม่ได้ที่จะจัดเรียงเมทริกซ์ใหม่ ดังนั้น ในย่อหน้าที่สอง ในขั้นตอนที่สอง เราจะทำการคูณ แต่ไม่ว่าในกรณีใด ให้ทำ . สำหรับตัวเลขธรรมดา ตัวเลขดังกล่าวจะใช้ได้ แต่สำหรับเมทริกซ์จะใช้ไม่ได้

คุณสมบัติของการคูณแบบเชื่อมโยงเป็นจริงไม่เพียงแต่สำหรับกำลังสองเท่านั้น แต่ยังสำหรับเมทริกซ์ใดๆ ก็ตามด้วย ตราบใดที่พวกมันถูกคูณ:

ตัวอย่างที่ 7

ค้นหาผลคูณของเมทริกซ์สามตัว

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง ในโซลูชันตัวอย่าง การคำนวณจะดำเนินการในสองวิธี ได้แก่ วิเคราะห์ว่าเส้นทางใดทำกำไรได้มากกว่าและสั้นกว่า

คุณสมบัติการเชื่อมโยงของการคูณเมทริกซ์ยังใช้กับปัจจัยจำนวนมากขึ้นด้วย

ตอนนี้ถึงเวลากลับไปสู่พลังของเมทริกซ์แล้ว กำลังพิจารณาเมทริกซ์กำลังสองตั้งแต่เริ่มต้นและคำถามในวาระการประชุมคือ:

การดำเนินการเหล่านี้ยังกำหนดไว้สำหรับเมทริกซ์จตุรัสเท่านั้น หากต้องการยกกำลังสามของเมทริกซ์จตุรัส คุณต้องคำนวณผลคูณ:

อันที่จริง นี่เป็นกรณีพิเศษของการคูณเมทริกซ์สามตัว ตามคุณสมบัติการเชื่อมโยงของการคูณเมทริกซ์: และเมทริกซ์ที่คูณด้วยตัวมันเองจะได้กำลังสองของเมทริกซ์:

ดังนั้นเราจึงได้สูตรการทำงาน:

นั่นคือ งานจะดำเนินการในสองขั้นตอน: ขั้นแรก เมทริกซ์จะต้องถูกยกกำลังสอง จากนั้นเมทริกซ์ผลลัพธ์จะต้องคูณด้วยเมทริกซ์

ตัวอย่างที่ 8

สร้างเมทริกซ์ให้เป็นลูกบาศก์

นี่เป็นปัญหาเล็กๆ น้อยๆ ที่ต้องแก้ไขด้วยตัวเอง

การเพิ่มเมทริกซ์เป็นยกกำลังสี่นั้นดำเนินการด้วยวิธีธรรมชาติ:

การใช้การเชื่อมโยงของการคูณเมทริกซ์ทำให้เราได้สูตรการทำงานสองสูตร ประการแรก: – นี่คือผลคูณของเมทริกซ์สามตัว

1) . กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราพบก่อน แล้วคูณด้วย "เป็น" - เราได้ลูกบาศก์และสุดท้ายเราก็ทำการคูณอีกครั้ง - จะมีกำลังที่สี่

2) แต่มีวิธีแก้ไขที่สั้นกว่าหนึ่งขั้นตอน: . นั่นคือในขั้นตอนแรกเราจะพบสี่เหลี่ยมจัตุรัสและทำการคูณโดยไม่ต้องผ่านลูกบาศก์

งานเพิ่มเติมสำหรับตัวอย่างที่ 8:

ยกเมทริกซ์ยกกำลังสี่

ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น สามารถทำได้สองวิธี:

1) เนื่องจากทราบลูกบาศก์แล้ว เราจึงทำการคูณ

2) อย่างไรก็ตาม ถ้าตามเงื่อนไขของปัญหา จำเป็นต้องสร้างเมทริกซ์ ยกกำลังที่สี่เท่านั้นจากนั้นจะเป็นประโยชน์ที่จะย่อเส้นทางให้สั้นลง - ค้นหากำลังสองของเมทริกซ์และใช้สูตร

ทั้งวิธีแก้ปัญหาและคำตอบอยู่ท้ายบทเรียน

ในทำนองเดียวกันเมทริกซ์จะเพิ่มขึ้นเป็นกำลังที่ห้าและสูงกว่า จากประสบการณ์จริงบอกได้เลยว่าบางครั้งผมเจอตัวอย่างการยกกำลัง 4 แต่ผมจำอะไรเกี่ยวกับยกกำลัง 5 ไม่ได้เลย แต่ในกรณีนี้ ฉันจะให้อัลกอริทึมที่เหมาะสมที่สุด:

1) ค้นหา ;
2) ค้นหา ;
3) เพิ่มเมทริกซ์เป็นกำลังที่ห้า: .

บางทีสิ่งเหล่านี้อาจเป็นคุณสมบัติพื้นฐานทั้งหมดของการดำเนินการเมทริกซ์ที่อาจมีประโยชน์ในการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติ

ในส่วนที่สองของบทเรียน คาดว่าจะมีฝูงชนที่มีสีสันไม่แพ้กัน

เรามาทำซ้ำสำนวนโรงเรียนปกติด้วยตัวเลขกัน นิพจน์ตัวเลขประกอบด้วยตัวเลข สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ และวงเล็บ ตัวอย่างเช่น - เมื่อคำนวณ จะใช้ลำดับความสำคัญทางพีชคณิตที่คุ้นเคย: อันดับแรก วงเล็บจากนั้นจึงดำเนินการ การยกกำลัง/การรูต, แล้ว การคูณ/การหารและสุดท้ายแต่ไม่ท้ายสุด- การบวก/การลบ.

หากนิพจน์ตัวเลขสมเหตุสมผล ผลลัพธ์ของการประเมินจะเป็นตัวเลข เช่น:

นิพจน์เมทริกซ์ทำงานในลักษณะเดียวกัน! โดยมีความแตกต่างตรงที่ตัวละครหลักเป็นเมทริกซ์ บวกกับการดำเนินการเมทริกซ์เฉพาะบางอย่าง เช่น การทรานสโพสและการหาค่าผกผันของเมทริกซ์

พิจารณานิพจน์เมทริกซ์ , โดยที่เมทริกซ์บางตัว ในนิพจน์เมทริกซ์นี้ การดำเนินการสามพจน์และการบวก/การลบจะดำเนินการครั้งสุดท้าย

ในเทอมแรก คุณต้องเปลี่ยนเมทริกซ์ "be" ก่อน: จากนั้นทำการคูณและป้อน "two" ลงในเมทริกซ์ผลลัพธ์ โปรดทราบว่าการดำเนินการย้ายมีลำดับความสำคัญสูงกว่าการคูณ วงเล็บเช่นเดียวกับในนิพจน์ตัวเลขให้เปลี่ยนลำดับของการกระทำ: - ที่นี่การคูณจะดำเนินการก่อนจากนั้นเมทริกซ์ผลลัพธ์จะถูกย้ายและคูณด้วย 2

ในเทอมที่สอง การคูณเมทริกซ์จะดำเนินการก่อน และหาเมทริกซ์ผกผันจากผลคูณ หากคุณลบวงเล็บ: คุณต้องหาเมทริกซ์ผกผันก่อนแล้วจึงคูณเมทริกซ์: การค้นหาค่าผกผันของเมทริกซ์ยังมีความสำคัญมากกว่าการคูณอีกด้วย

ด้วยเทอมที่สาม ทุกอย่างชัดเจน: เรายกเมทริกซ์เป็นลูกบาศก์แล้วป้อน "ห้า" ลงในเมทริกซ์ผลลัพธ์

หากนิพจน์เมทริกซ์สมเหตุสมผล ผลลัพธ์ของการประเมินก็คือเมทริกซ์

งานทั้งหมดจะมาจากการทดสอบจริง และเราจะเริ่มต้นด้วยสิ่งที่ง่ายที่สุด:

ตัวอย่างที่ 9

กำหนดเมทริกซ์ - หา:

วิธีแก้ไข: ลำดับของการกระทำชัดเจน คูณขั้นแรกแล้วจึงบวก

ไม่สามารถทำการบวกได้เนื่องจากเมทริกซ์มีขนาดต่างกัน

อย่าแปลกใจ เห็นได้ชัดว่ามักเสนอการกระทำที่เป็นไปไม่ได้ในงานประเภทนี้

ลองคำนวณนิพจน์ที่สอง:

ทุกอย่างเรียบร้อยดีที่นี่

คำตอบ: ไม่สามารถดำเนินการได้ .

เมทริกซ์ A -1 เรียกว่าเมทริกซ์ผกผันเทียบกับเมทริกซ์ A ถ้า A*A -1 = E โดยที่ E คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ของลำดับที่ n เมทริกซ์ผกผันจะมีได้เฉพาะกับเมทริกซ์จัตุรัสเท่านั้น

วัตถุประสงค์ของการบริการ เมื่อใช้บริการออนไลน์ คุณจะพบการเสริมพีชคณิต เมทริกซ์ทรานสโพสเอต เมทริกซ์พันธมิตร และเมทริกซ์ผกผัน การตัดสินใจจะดำเนินการโดยตรงบนเว็บไซต์ (ออนไลน์) และไม่มีค่าใช้จ่าย ผลการคำนวณจะแสดงในรายงานในรูปแบบ Word และ Excel (เช่น สามารถตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาได้) ดูตัวอย่างการออกแบบ

คำแนะนำ. เพื่อให้ได้วิธีแก้ปัญหา จำเป็นต้องระบุขนาดของเมทริกซ์ ถัดไป กรอกเมทริกซ์ A ในกล่องโต้ตอบใหม่

ดูเพิ่มเติมที่เมทริกซ์ผกผันโดยใช้วิธี Jordano-Gauss

ตัวอย่างหมายเลข 1 ลองเขียนเมทริกซ์ในรูปแบบ: