ต่อไปนี้เราจะพูดถึงการดำเนินการกับเมทริกซ์ที่เริ่มต้นในส่วนแรกต่อไป และดูตัวอย่างบางส่วนที่จำเป็นต้องใช้การดำเนินการหลายอย่างพร้อมกัน

ให้ k เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ สำหรับเมทริกซ์จัตุรัสใดๆ $A_(n\times n)$ เรามี: $$ A^k=\underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(k \; times) $$

ในกรณีนี้ เราถือว่า $A^0=E$ โดยที่ $E$ คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ของลำดับที่เกี่ยวข้อง

ตัวอย่างหมายเลข 4

รับเมทริกซ์ $ A=\left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)$ ค้นหาเมทริกซ์ $A^2$ และ $A^6$

ตามคำจำกัดความ $A^2=A\cdot A$ คือ เพื่อหา $A^2$ เราแค่ต้องคูณเมทริกซ์ $A$ ด้วยตัวมันเอง การดำเนินการของการคูณเมทริกซ์ได้กล่าวถึงไปแล้วในส่วนแรกของหัวข้อ ดังนั้นเราจะเขียนกระบวนการแก้ปัญหาโดยไม่มีคำอธิบายโดยละเอียดในที่นี้:

$$ A^2=A\cdot A=\left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) 1\cdot 1+2\cdot (-1) & 1\cdot 2 +2\cdot (-3) \\ -1\cdot 1+(-3)\cdot (-1) & -1\cdot 2+(-3)\cdot (-3) \end(อาร์เรย์) \right )= \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right) -

ในการค้นหาเมทริกซ์ $A^6$ เรามีสองทางเลือก ตัวเลือกที่หนึ่ง: เป็นเรื่องเล็กน้อยที่จะคูณ $A^2$ ด้วยเมทริกซ์ $A$ ต่อไป:

$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A. $$

อย่างไรก็ตาม คุณสามารถใช้เส้นทางที่ง่ายกว่าเล็กน้อย โดยใช้คุณสมบัติการเชื่อมโยงของการคูณเมทริกซ์ ใส่วงเล็บในนิพจน์สำหรับ $A^6$:

$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A=A^2\cdot (A\cdot A)\cdot (A\cdot A)=A^2\cdot A^2 \cดอท A^2 -

หากการแก้วิธีแรกต้องใช้การคูณสี่ครั้ง วิธีที่สองก็ต้องใช้เพียงสองการดำเนินการเท่านั้น ดังนั้น เรามาดูวิธีที่สองกัน:

$$ A^6=A^2\cdot A^2\cdot A^2=\left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)\ cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cc) -1\cdot (-1)+(-4)\cdot 2 & -1\cdot (-4 )+(-4)\cdot 7 \\ 2\cdot (-1)+7\cdot 2 & 2\cdot (-4)+7\cdot 7 \end(array) \right)\cdot \left(\ เริ่มต้น(อาร์เรย์) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) -7 & -24 \\ 12 & 41 \end( array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ซีซี ) -7\cdot(-1)+(-24)\cdot 2 & -7\cdot (-4)+(-24)\cdot 7 \\ 12\cdot (-1)+41\cdot 2 & 12 \cdot (-4)+41\cdot 7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \end(array) \right) -

คำตอบ: $A^2=\left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)$, $A^6=\left(\begin(array) (ซีซี) -41 & -140 \\ 70 & 239 \end(array) \right)$

ตัวอย่างหมายเลข 5

กำหนดเมทริกซ์ $ A=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \end(array) \right)$, $ B=\left(\begin(array) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \end (อาร์เรย์) \right)$, $ C=\left(\begin(array) (ccc) -5 & -20 & 13 \\ 10 & 12 & 9 \\ 3 & -15 & 8 \end(array) \ ขวา)$. ค้นหาเมทริกซ์ $D=2AB-3C^T+7E$

เราเริ่มคำนวณเมทริกซ์ $D$ โดยการค้นหาผลลัพธ์ของผลิตภัณฑ์ $AB$ เมทริกซ์ $A$ และ $B$ สามารถคูณได้ เนื่องจากจำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์ $A$ เท่ากับจำนวนแถวของเมทริกซ์ $B$ ลองแสดงว่า $F=AB$ ในกรณีนี้ เมทริกซ์ $F$ จะมีสามคอลัมน์และสามแถว กล่าวคือ จะเป็นกำลังสอง (หากข้อสรุปนี้ดูไม่ชัดเจน โปรดดูคำอธิบายการคูณเมทริกซ์ในส่วนแรกของหัวข้อนี้) มาหาเมทริกซ์ $F$ โดยการคำนวณองค์ประกอบทั้งหมด:

$$ F=A\cdot B=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \ สิ้นสุด(อาร์เรย์) \right)\cdot \left(\begin(อาร์เรย์) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \ สิ้นสุด (อาร์เรย์) \right)\\ \begin(ชิด) & f_(11)=1\cdot (-9)+0\cdot 2+(-1)\cdot 0+2\cdot 1=-7; \\ & f_(12)=1\cdot 1+0\cdot (-1)+(-1)\cdot (-2)+2\cdot 5=13; \\ & f_(13)=1\cdot 0+0\cdot 4+(-1)\cdot 3+2\cdot 0=-3;\\ \\ & f_(21)=3\cdot (-9 )+(-2)\cdot 2+5\cdot 0+0\cdot 1=-31;\\ & f_(22)=3\cdot 1+(-2)\cdot (-1)+5\cdot (-2)+0\cdot 5=-5;\\ & f_(23)=3\cdot 0+(-2)\cdot 4+5\cdot 3+0\cdot 0=7;\\ \\ & f_(31)=-1\cdot (-9)+4\cdot 2+(-3)\cdot 0+6\cdot 1=23; \\ & f_(32)=-1\cdot 1+4\cdot (-1)+(-3)\cdot (-2)+6\cdot 5=31;\\ & f_(33)=-1 \cdot 0+4\cdot 4+(-3)\cdot 3+6\cdot 0=7 \end(ชิด) $$

ดังนั้น $F=\left(\begin(array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(array) \right)$ ไปต่อกันดีกว่า เมทริกซ์ $C^T$ เป็นเมทริกซ์แบบย้ายสำหรับเมทริกซ์ $C$ เช่น $ C^T=\left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \right) $. สำหรับเมทริกซ์ $E$ มันคือเมทริกซ์เอกลักษณ์ ในกรณีนี้ลำดับของเมทริกซ์นี้คือสามนั่นคือ $E=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right)$.

โดยหลักการแล้วเราสามารถดำเนินการต่อไปทีละขั้นตอนได้ แต่ควรพิจารณาการแสดงออกที่เหลือโดยรวมโดยไม่ถูกรบกวนจากการกระทำเสริม อันที่จริง เราเหลือเพียงการดำเนินการของการคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลข เช่นเดียวกับการดำเนินการของการบวกและการลบ

$$ D=2AB-3C^T+7E=2\cdot \left(\begin(อาร์เรย์) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \ สิ้นสุด(อาร์เรย์) \right)-3\cdot \left(\begin(อาร์เรย์) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(อาร์เรย์) \ right)+7\cdot \left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right) $$

ลองคูณเมทริกซ์ทางด้านขวาของค่าเท่ากันด้วยตัวเลขที่ตรงกัน (เช่น 2, 3 และ 7):

$$ 2\cdot \left(\begin(array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(array) \right)-3\ cdot \left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \right)+7\cdot \left(\ เริ่มต้น(อาร์เรย์) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) - 14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end(array) \right)-\left(\begin(array) (ccc) -15 & 13 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(อาร์เรย์) \right)+\left(\begin(array) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end(array) \right) $$

มาทำตามขั้นตอนสุดท้ายกัน: การลบและการบวก:

$$ \left(\begin(array) (ccc) -14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end(array) \right)-\left(\begin (อาร์เรย์) (ccc) -15 & 30 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(array) \right)+\left(\begin(array) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end(อาร์เรย์) \right)=\\ =\left(\begin(array) (ccc) -14-(-15)+7 & 26-30+0 & -6-9+0 \\ -62-(-60)+0 & -10-36+7 & 14-(-45)+0 \\ 46-39+0 & 62-27 +0 & 14-24+7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(อาร์เรย์) \right) -

แก้ไขปัญหาแล้ว $D=\left(\begin(array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(array) \right)$ .

คำตอบ: $D=\left(\begin(array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(array) \right)$.

ตัวอย่างหมายเลข 6

ให้ $f(x)=2x^2+3x-9$ และเมทริกซ์ $ A=\left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right) $ จงหาค่าของ $f(A)$

ถ้า $f(x)=2x^2+3x-9$ แล้ว $f(A)$ จะถูกเข้าใจว่าเป็นเมทริกซ์:

$$ ฉ(A)=2A^2+3A-9E. -

นี่คือวิธีการกำหนดพหุนามจากเมทริกซ์ ดังนั้น เราจำเป็นต้องแทนที่เมทริกซ์ $A$ ลงในนิพจน์สำหรับ $f(A)$ และได้ผลลัพธ์ เนื่องจากได้มีการพูดคุยถึงการดำเนินการทั้งหมดอย่างละเอียดก่อนหน้านี้ ฉันจึงจะให้วิธีแก้ปัญหาในที่นี้ หากกระบวนการดำเนินการ $A^2=A\cdot A$ ไม่ชัดเจนสำหรับคุณ ฉันขอแนะนำให้คุณดูคำอธิบายของการคูณเมทริกซ์ในส่วนแรกของหัวข้อนี้

$$ f(A)=2A^2+3A-9E=2A\cdot A+3A-9E=2 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(อาร์เรย์) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)-9\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right)=\\ =2 \left( \begin(array) (cc) (-3)\cdot(-3)+1\cdot 5 & (-3)\cdot 1+1\cdot 0 \\ 5\cdot(-3)+0\cdot 5 & 5\cdot 1+0\cdot 0 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)-9 \left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right)=\\ =2 \left(\begin(array) (cc) 14 & -3 \\ - 15 & 5 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)-9\left(\begin(array) ) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 28 & -6 \\ -30 & 10 \end(array) \right) +\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 15 & 0 \end(array) \right)-\left(\begin(array) (cc) 9 & 0 \\ 0 & 9 \ end(array) \right)=\left(\begin(array) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(array) \right) -

คำตอบ: $f(A)=\left(\begin(array) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(array) \right)$.

พีชคณิตเชิงเส้นสำหรับหุ่น

หากต้องการศึกษาพีชคณิตเชิงเส้นคุณสามารถอ่านและเจาะลึกหนังสือ "เมทริกซ์และปัจจัยกำหนด" โดย I. V. Belousov อย่างไรก็ตาม มันถูกเขียนด้วยภาษาคณิตศาสตร์ที่เข้มงวดและแห้งแล้ง ซึ่งเป็นเรื่องยากสำหรับผู้ที่มีสติปัญญาระดับปานกลางในการรับรู้ ดังนั้นฉันจึงเล่าเรื่องส่วนที่เข้าใจยากที่สุดของหนังสือเล่มนี้อีกครั้ง โดยพยายามนำเสนอเนื้อหาให้ชัดเจนที่สุดเท่าที่จะทำได้ โดยใช้ภาพวาดให้มากที่สุด ฉันได้ละเว้นการพิสูจน์ทฤษฎีบท จริงๆ แล้วฉันไม่ได้เจาะลึกพวกเขาด้วยตัวเอง ฉันเชื่อคุณเบลูซอฟ! เมื่อพิจารณาจากผลงานของเขา เขาเป็นนักคณิตศาสตร์ที่มีความสามารถและชาญฉลาด คุณสามารถดาวน์โหลดหนังสือของเขาได้ที่ http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Belousov2006ru.pdf หากคุณกำลังจะเจาะลึกงานของฉัน คุณต้องทำเช่นนี้ เพราะฉันมักจะอ้างถึง Belousov

เริ่มต้นด้วยคำจำกัดความ เมทริกซ์คืออะไร? นี่คือตารางสี่เหลี่ยมที่ประกอบด้วยตัวเลข ฟังก์ชัน หรือนิพจน์พีชคณิต เหตุใดจึงจำเป็นต้องมีเมทริกซ์? ช่วยอำนวยความสะดวกในการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนอย่างมาก เมทริกซ์สามารถมีแถวและคอลัมน์ได้ (รูปที่ 1)

แถวและคอลัมน์จะมีหมายเลขกำกับโดยเริ่มจากด้านซ้าย

จากด้านบน (รูปที่ 1-1) เมื่อพวกเขาพูดว่า: เมทริกซ์ขนาด m n (หรือ m คูณ n) พวกมันหมายถึง m จำนวนแถว และ n จำนวนคอลัมน์ ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์ในรูปที่ 1-1 คือ 4 คูณ 3 ไม่ใช่ 3 คูณ 4

ดูรูปที่. 1-3, มีเมทริกซ์อะไรบ้าง. หากเมทริกซ์ประกอบด้วยหนึ่งแถว จะเรียกว่าเมทริกซ์แถว และหากเมทริกซ์ประกอบด้วยหนึ่งคอลัมน์ จะเรียกว่าเมทริกซ์คอลัมน์ เมทริกซ์เรียกว่ากำลังสองของลำดับ n หากจำนวนแถวเท่ากับจำนวนคอลัมน์และเท่ากับ n ถ้าองค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์เป็นศูนย์ มันก็จะเป็นเมทริกซ์ศูนย์ เมทริกซ์จตุรัสเรียกว่าเส้นทแยงมุมหากองค์ประกอบทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ ยกเว้นองค์ประกอบที่อยู่บนเส้นทแยงมุมหลัก

ฉันจะอธิบายทันทีว่าเส้นทแยงมุมหลักคืออะไร หมายเลขแถวและคอลัมน์เหมือนกัน มันไปจากซ้ายไปขวาจากบนลงล่าง (รูปที่ 3) องค์ประกอบจะเรียกว่าเส้นทแยงมุมหากอยู่บนเส้นทแยงมุมหลัก หากองค์ประกอบในแนวทแยงทั้งหมดเท่ากับหนึ่ง (และส่วนที่เหลือเท่ากับศูนย์) เมทริกซ์จะเรียกว่าเอกลักษณ์ เมทริกซ์ A และ B สองตัวที่มีขนาดเท่ากันจะถือว่าเท่ากันถ้าองค์ประกอบทั้งหมดเท่ากัน

ผลคูณของเมทริกซ์กับจำนวน x คือเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากัน เพื่อให้ได้ผลิตภัณฑ์นี้ คุณต้องคูณแต่ละองค์ประกอบด้วยตัวเลขนี้ (รูปที่ 4) เพื่อให้ได้ผลรวมของเมทริกซ์สองตัวที่มีขนาดเท่ากัน คุณจะต้องเพิ่มองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องกัน (รูปที่ 4) เพื่อให้ได้ความแตกต่าง A - B ของเมทริกซ์สองตัวที่มีขนาดเท่ากัน คุณต้องคูณเมทริกซ์ B ด้วย -1 และเพิ่มเมทริกซ์ผลลัพธ์ด้วยเมทริกซ์ A (รูปที่ 4) สำหรับการดำเนินการกับเมทริกซ์ คุณสมบัติต่อไปนี้ใช้ได้: A+B=B+A (คุณสมบัติการสับเปลี่ยน)

(A + B)+C = A+(B + C) (คุณสมบัติการเชื่อมโยง) พูดง่ายๆ ก็คือ การเปลี่ยนตำแหน่งของเงื่อนไขไม่ทำให้ผลรวมเปลี่ยนแปลง คุณสมบัติต่อไปนี้ใช้กับการดำเนินการกับเมทริกซ์และตัวเลข:

(แสดงตัวเลขด้วยตัวอักษร x และ y และเมทริกซ์ด้วยตัวอักษร A และ B) x(yA)=(xy)A

คุณสมบัติเหล่านี้คล้ายกับคุณสมบัติที่ใช้กับการดำเนินการกับตัวเลข ดู

ตัวอย่างในรูปที่ 5 ดูตัวอย่างที่ 2.4 - 2.6 จาก Belousov ในหน้า 9

การคูณของเมทริกซ์สองตัวถูกกำหนดไว้ก็ต่อเมื่อ (แปลเป็นภาษารัสเซีย: เมทริกซ์สามารถคูณได้ก็ต่อเมื่อ) เมื่อจำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์แรกในผลคูณเท่ากับจำนวนแถวของวินาที (รูปที่ 7 ด้านบน วงเล็บสีน้ำเงิน) เพื่อช่วยให้คุณจำ: หมายเลข 1 เป็นเหมือนคอลัมน์มากกว่า ผลลัพธ์ของการคูณคือเมทริกซ์ขนาด (ดูรูปที่ 6) เพื่อให้จำได้ง่ายขึ้นว่าต้องคูณอะไร ฉันเสนออัลกอริทึมต่อไปนี้: ดูที่รูปที่ 7 คูณเมทริกซ์ A ด้วยเมทริกซ์ B

เมทริกซ์ A สองคอลัมน์

เมทริกซ์ B มีสองแถว - คุณสามารถคูณได้

1) มาจัดการกับคอลัมน์แรกของเมทริกซ์ B (คอลัมน์เดียวที่มี) เราเขียนคอลัมน์นี้เป็นบรรทัด (transpose

คอลัมน์เกี่ยวกับการขนย้ายด้านล่าง)

2) คัดลอกบรรทัดนี้เพื่อให้ได้เมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากับเมทริกซ์ A

3) คูณองค์ประกอบของเมทริกซ์นี้ด้วยองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์ A

4) เราเพิ่มผลิตภัณฑ์ผลลัพธ์ในแต่ละแถวและรับเมทริกซ์ผลิตภัณฑ์สองแถวและหนึ่งคอลัมน์

รูปที่ 7-1 แสดงตัวอย่างการคูณเมทริกซ์ที่มีขนาดใหญ่กว่า

1) ในที่นี้เมทริกซ์แรกมีสามคอลัมน์ ซึ่งหมายความว่าเมทริกซ์ที่สองต้องมีสามแถว อัลกอริทึมจะเหมือนกับในตัวอย่างก่อนหน้านี้ทุกประการ เฉพาะที่นี่เท่านั้นที่มีสามคำในแต่ละบรรทัด ไม่ใช่สองคำ

2) ที่นี่เมทริกซ์ที่สองมีสองคอลัมน์ ขั้นแรก เราทำอัลกอริทึมกับคอลัมน์แรก จากนั้นคอลัมน์ที่สอง และเราจะได้เมทริกซ์ "สองคูณสอง"

3) ที่นี่คอลัมน์ของเมทริกซ์ที่สองประกอบด้วยองค์ประกอบเดียว คอลัมน์จะไม่เปลี่ยนแปลงเนื่องจากการขนย้าย และไม่จำเป็นต้องบวกอะไรอีก เนื่องจากเมทริกซ์แรกมีเพียงคอลัมน์เดียว เราทำอัลกอริธึมสามครั้งและได้เมทริกซ์ขนาดสามคูณสาม

คุณสมบัติต่อไปนี้เกิดขึ้น:

1. ถ้าผลรวม B + C และผลิตภัณฑ์ AB มีอยู่ ดังนั้น A (B + C) = AB + AC

2. หากมีผลิตภัณฑ์ AB แล้ว x (AB) = (xA) B = A (xB)

3. หากมีผลิตภัณฑ์ AB และ BC แล้ว A (BC) = (AB) C

หากมีผลิตภัณฑ์เมทริกซ์ AB อยู่แล้ว ผลิตภัณฑ์เมทริกซ์ BA อาจไม่มีอยู่ แม้ว่าผลิตภัณฑ์ AB และ BA มีอยู่ แต่ก็อาจกลายเป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดต่างกันได้

ทั้งสองผลิตภัณฑ์ AB และ BA มีอยู่และเป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากันเฉพาะในกรณีของเมทริกซ์จัตุรัส A และ B ในลำดับเดียวกัน อย่างไรก็ตาม แม้ในกรณีนี้ AB อาจไม่เท่ากับ BA

การเพิ่มเมทริกซ์ให้เป็นกำลังนั้นเหมาะสมสำหรับเมทริกซ์จตุรัสเท่านั้น (ลองคิดดูว่าเพราะเหตุใด) จากนั้นเลขจำนวนเต็มบวก m ของเมทริกซ์ A คือผลคูณของเมทริกซ์ m เท่ากับ A เช่นเดียวกับตัวเลข ในระดับศูนย์ของเมทริกซ์จตุรัส A เราหมายถึงเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่มีลำดับเดียวกันกับ A หากคุณลืมไปแล้วว่าเมทริกซ์เอกลักษณ์คืออะไร ให้ดูที่รูป 3.

เช่นเดียวกับตัวเลข ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ยังคงอยู่:

A mA k=A m+k (A m)k=A mk

ดูตัวอย่างจาก Belousov ในหน้า 20

การย้ายคือการแปลงเมทริกซ์ A เป็นเมทริกซ์ AT

โดยที่แถวของเมทริกซ์ A ถูกเขียนลงในคอลัมน์ AT ในขณะที่ยังคงรักษาลำดับไว้ (รูปที่ 8) คุณสามารถพูดได้อีกทางหนึ่ง:

คอลัมน์ของเมทริกซ์ A ถูกเขียนลงในแถวของเมทริกซ์ AT โดยคงลำดับไว้ สังเกตว่าการขนย้ายเปลี่ยนขนาดของเมทริกซ์ ซึ่งก็คือจำนวนแถวและคอลัมน์ได้อย่างไร โปรดทราบว่าองค์ประกอบในแถวแรก คอลัมน์แรก และแถวสุดท้าย คอลัมน์สุดท้ายยังคงอยู่ที่เดิม

คุณสมบัติต่อไปนี้คงอยู่: (AT )T =A (transpose

เมทริกซ์สองครั้ง - คุณจะได้เมทริกซ์เดียวกัน)

(xA)T =xAT (โดย x เราหมายถึงตัวเลข โดย A แน่นอนว่าเป็นเมทริกซ์) (ถ้าคุณต้องการคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลขและทรานสโพส คุณสามารถคูณก่อนแล้วจึงทรานสโพส หรือกลับกัน )

(A+B)T = AT +BT (AB)T =BT AT

รูปที่ 9 ด้านซ้ายบน แสดงเมทริกซ์แบบสมมาตร องค์ประกอบที่มีความสมมาตรสัมพันธ์กับเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากัน และตอนนี้คำจำกัดความ: เมทริกซ์จัตุรัส

A เรียกว่าสมมาตรถ้า AT = A นั่นคือเมทริกซ์สมมาตรจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการย้าย โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมทริกซ์แนวทแยงใด ๆ ที่มีความสมมาตร (เมทริกซ์ดังกล่าวแสดงในรูปที่ 2)

ตอนนี้ดูที่เมทริกซ์แอนติสมมาตร (รูปที่ 9 ด้านล่าง) มันแตกต่างจากสมมาตรอย่างไร? โปรดทราบว่าองค์ประกอบในแนวทแยงทั้งหมดเป็นศูนย์ เมทริกซ์ต้านสมมาตรมีองค์ประกอบในแนวทแยงทั้งหมดเท่ากับศูนย์ คิดว่าทำไม? คำจำกัดความ: เรียกว่าเมทริกซ์จตุรัส A

ต่อต้านสมมาตรถ้า AT = -A ให้เราทราบคุณสมบัติบางประการของการดำเนินการกับสมมาตรและแอนติสมมาตร

เมทริกซ์ 1. ถ้า A และ B เป็นเมทริกซ์สมมาตร (แอนติสมมาตร) แล้ว A + B จะเป็นเมทริกซ์สมมาตร (แอนติสมมาตร)

2. ถ้า A เป็นเมทริกซ์สมมาตร (ต้านสมมาตร) แล้ว xA ก็เป็นเมทริกซ์สมมาตร (ต้านสมมาตร) เช่นกัน (อันที่จริง หากคุณคูณเมทริกซ์จากรูปที่ 9 ด้วยจำนวนหนึ่ง ความสมมาตรก็จะยังคงอยู่)

3. ผลคูณ AB ของเมทริกซ์สมมาตรสองตัวหรือเมทริกซ์ต้านสมมาตรสองตัว A และ B คือเมทริกซ์สมมาตรสำหรับ AB = BA และเมทริกซ์ต้านสมมาตรสำหรับ AB = -BA

4. ถ้า A เป็นเมทริกซ์สมมาตร แล้ว A m (m = 1, 2, 3, ...) จะเป็นเมทริกซ์สมมาตร ถ้าก

เมทริกซ์แอนติสมมาตร จากนั้น Am (m = 1, 2, 3, ...) เป็นเมทริกซ์สมมาตรสำหรับเลขคู่ m และแอนติสมมาตรสำหรับเลขคี่

5. ฟรี เมทริกซ์จตุรัส A สามารถแสดงเป็นผลรวมของเมทริกซ์สองตัวได้ (ลองเรียกเมทริกซ์เหล่านี้ว่า A(s) และ A(a) )

A=A (วิ)+A (ก)

ในเดือนกรกฎาคม 2020 NASA ออกเดินทางสู่ดาวอังคาร ยานอวกาศจะส่งไปดาวอังคาร สื่ออิเล็กทรอนิกส์พร้อมชื่อผู้เข้าร่วมการสำรวจทั้งหมดที่ลงทะเบียนไว้

หากโพสต์นี้แก้ปัญหาของคุณได้หรือคุณเพียงแค่ชอบ ให้แชร์ลิงก์ไปยังเพื่อน ๆ ของคุณบนโซเชียลเน็ตเวิร์ก

หนึ่งในตัวเลือกโค้ดเหล่านี้จำเป็นต้องคัดลอกและวางลงในโค้ดของหน้าเว็บของคุณ โดยควรอยู่ระหว่างแท็กและหรืออยู่หลังแท็ก ตามตัวเลือกแรก MathJax จะโหลดเร็วขึ้นและทำให้หน้าช้าลงน้อยลง แต่ตัวเลือกที่สองจะตรวจสอบและโหลด MathJax เวอร์ชันล่าสุดโดยอัตโนมัติ หากคุณใส่รหัสแรก จะต้องได้รับการอัปเดตเป็นระยะ หากคุณใส่โค้ดที่สอง หน้าเว็บจะโหลดช้าลง แต่คุณไม่จำเป็นต้องติดตามการอัปเดต MathJax อย่างต่อเนื่อง

วิธีที่ง่ายที่สุดในการเชื่อมต่อ MathJax คือใน Blogger หรือ WordPress: ในแผงควบคุมไซต์ ให้เพิ่มวิดเจ็ตที่ออกแบบมาเพื่อแทรกโค้ด JavaScript บุคคลที่สาม คัดลอกโค้ดดาวน์โหลดเวอร์ชันแรกหรือเวอร์ชันที่สองที่แสดงด้านบนลงไป และวางวิดเจ็ตไว้ใกล้ยิ่งขึ้น ไปที่จุดเริ่มต้นของเทมเพลต (โดยวิธีนี้ไม่จำเป็นเลย เนื่องจากสคริปต์ MathJax ถูกโหลดแบบอะซิงโครนัส) นั่นคือทั้งหมดที่ ตอนนี้เรียนรู้ไวยากรณ์มาร์กอัปของ MathML, LaTeX และ ASCIIMathML แล้วคุณก็พร้อมที่จะแทรกสูตรทางคณิตศาสตร์ลงในหน้าเว็บของเว็บไซต์ของคุณแล้ว

วันส่งท้ายปีเก่าอีกครั้ง... อากาศหนาวจัดและเกล็ดหิมะบนกระจกหน้าต่าง... ทั้งหมดนี้ทำให้ฉันต้องเขียนอีกครั้งเกี่ยวกับ... เศษส่วน และสิ่งที่ Wolfram Alpha รู้เกี่ยวกับมัน มีบทความที่น่าสนใจในหัวข้อนี้ ซึ่งมีตัวอย่างโครงสร้างแฟร็กทัลสองมิติ ที่นี่เราจะดูเพิ่มเติม ตัวอย่างที่ซับซ้อนเศษส่วนสามมิติ

เศษส่วนสามารถแสดงด้วยสายตา (อธิบาย) เป็นรูปทรงเรขาคณิตหรือร่างกาย (ซึ่งหมายความว่าทั้งสองเป็นเซตในกรณีนี้คือเซตของจุด) โดยมีรายละเอียดที่มีรูปร่างเหมือนกับรูปต้นฉบับ คือเป็นโครงสร้างคล้ายตัวเอง เมื่อพิจารณารายละเอียด ซึ่งเมื่อขยายใหญ่เราจะเห็นรูปทรงเดียวกันกับเมื่อไม่มีการขยาย ในขณะที่ในกรณีของรูปทรงเรขาคณิตธรรมดา (ไม่ใช่เศษส่วน) เมื่อขยายออก เราจะเห็นรายละเอียดที่มีรูปร่างเรียบง่ายกว่ารูปร่างดั้งเดิม ตัวอย่างเช่น เมื่อใช้กำลังขยายที่สูงเพียงพอ ส่วนหนึ่งของวงรีจะดูเหมือนส่วนของเส้นตรง สิ่งนี้จะไม่เกิดขึ้นกับแฟร็กทัล: เมื่อมีการเพิ่มขึ้น เราจะเห็นรูปร่างที่ซับซ้อนเหมือนเดิมอีกครั้ง ซึ่งจะเกิดขึ้นซ้ำแล้วซ้ำอีกทุกครั้งที่เพิ่มขึ้น

เบอนัวต์ แมนเดลโบรต์ ผู้ก่อตั้งวิทยาศาสตร์แห่งแฟร็กทัลเขียนไว้ในบทความของเขาเรื่องแฟร็กทัลและศิลปะในนามของวิทยาศาสตร์ว่า “แฟร็กทัลเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่มีรายละเอียดที่ซับซ้อนพอๆ กับในรูปแบบโดยรวม นั่นคือ หากเป็นส่วนหนึ่งของแฟร็กทัล จะถูกขยายให้ใหญ่ขึ้น โดยจะปรากฏเป็นภาพรวม อย่างแน่นอน หรืออาจจะมีรูปร่างผิดปกติเล็กน้อยก็ได้”

และตอนนี้จะมีหัวข้อต่อเนื่องซึ่งเราจะพิจารณาไม่เพียง แต่เนื้อหาใหม่เท่านั้น แต่ยังต้องดำเนินการด้วย การดำเนินการกับเมทริกซ์.

มีคุณสมบัติมากมายที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการกับเมทริกซ์ ในวิกิพีเดียเดียวกัน คุณสามารถชื่นชมลำดับกฎที่เกี่ยวข้องกันได้อย่างเป็นระเบียบ อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ คุณสมบัติหลายอย่างในแง่หนึ่งเรียกว่า “ตาย” เนื่องจากมีเพียงไม่กี่คุณสมบัติเท่านั้นที่ใช้ในการแก้ไขปัญหาจริง เป้าหมายของฉันคือการพิจารณาการประยุกต์ใช้คุณสมบัติในทางปฏิบัติ ตัวอย่างเฉพาะและหากคุณต้องการทฤษฎีที่เข้มงวด โปรดใช้แหล่งข้อมูลอื่น

ลองดูข้อยกเว้นบางประการของกฎที่จำเป็นสำหรับการปฏิบัติงานภาคปฏิบัติ

ถ้าเมทริกซ์จตุรัสมี เมทริกซ์ผกผันแล้วการคูณจะเป็นการสับเปลี่ยน:

เมทริกซ์เอกลักษณ์คือเมทริกซ์จตุรัสที่มี เส้นทแยงมุมหลักมีหน่วยอยู่ และองค์ประกอบที่เหลือมีค่าเท่ากับศูนย์ ตัวอย่างเช่น: ฯลฯ

ในกรณีนี้คุณสมบัติต่อไปนี้เป็นจริง: หากเมทริกซ์ที่กำหนดเองถูกคูณทางด้านซ้ายหรือขวาด้วยเมทริกซ์ประจำตัวที่มีขนาดที่เหมาะสม ผลลัพธ์จะเป็นเมทริกซ์ดั้งเดิม:

อย่างที่คุณเห็น การสับเปลี่ยนของการคูณเมทริกซ์ก็เกิดขึ้นที่นี่เช่นกัน

ลองหาเมทริกซ์มาบ้าง สมมุติว่า เมทริกซ์จากปัญหาที่แล้ว: .

ผู้สนใจสามารถตรวจสอบและมั่นใจได้ว่า:

เมทริกซ์หน่วยสำหรับเมทริกซ์เป็นแบบอะนาล็อกของหน่วยตัวเลขสำหรับตัวเลข ซึ่งเห็นได้ชัดเจนเป็นพิเศษจากตัวอย่างที่เพิ่งกล่าวถึงไป

สำหรับเมทริกซ์และจำนวนจริงจะมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

นั่นคือปัจจัยเชิงตัวเลขสามารถ (และควร) เลื่อนไปข้างหน้าเพื่อที่จะ "ไม่รบกวน" กับการคูณเมทริกซ์

บันทึก : โดยทั่วไปแล้ว สูตรของคุณสมบัติไม่สมบูรณ์ - สามารถวาง "แลมบ์ดา" ไว้ที่ใดก็ได้ระหว่างเมทริกซ์ แม้ว่าจะอยู่ที่ส่วนท้ายก็ตาม กฎยังคงใช้ได้หากมีการคูณเมทริกซ์ตั้งแต่สามตัวขึ้นไป

ตัวอย่างที่ 4

คำนวณผลิตภัณฑ์

สารละลาย :

(1) ตามทรัพย์สิน ย้ายตัวประกอบตัวเลขไปข้างหน้า ไม่สามารถจัดเรียงเมทริกซ์ใหม่ได้!

(2) – (3) ทำการคูณเมทริกซ์

(4) ที่นี่คุณสามารถหารแต่ละตัวเลขด้วย 10 แต่เศษส่วนทศนิยมจะปรากฏในองค์ประกอบของเมทริกซ์ซึ่งไม่ดี อย่างไรก็ตาม เราสังเกตเห็นว่าตัวเลขทั้งหมดในเมทริกซ์หารด้วย 5 ลงตัว เราจึงคูณแต่ละองค์ประกอบด้วย

คำตอบ :

ปริศนาเล็ก ๆ น้อย ๆ ให้คุณแก้ด้วยตัวเอง:

ตัวอย่างที่ 5

คำนวณถ้า

คำตอบและคำตอบอยู่ท้ายบทเรียน

เทคนิคใดที่สำคัญเมื่อแก้ไขตัวอย่างดังกล่าว เรามาคิดเลขกันดีกว่า สุดท้ายนี้ .

แนบรถม้าอีกคันเข้ากับหัวรถจักร:

ก่อนอื่น ผลลัพธ์ของการคูณเมทริกซ์ 3 ตัวจะเป็นอย่างไร? แมวจะไม่ให้กำเนิดหนู หากการคูณเมทริกซ์เป็นไปได้ ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นเมทริกซ์ด้วย อืม ครูพีชคณิตของฉันไม่เห็นว่าฉันอธิบายความปิดของโครงสร้างพีชคณิตสัมพันธ์กับองค์ประกอบของมันอย่างไร =)

ผลคูณของเมทริกซ์ทั้งสามสามารถคำนวณได้สองวิธี:

1) ค้นหาแล้วคูณด้วยเมทริกซ์ “ce”: ;

2) หาก่อนแล้วจึงคูณ

ผลลัพธ์จะตรงกันอย่างแน่นอน และตามทฤษฎีแล้วคุณสมบัตินี้เรียกว่าการเชื่อมโยงของการคูณเมทริกซ์:

ตัวอย่างที่ 6

คูณเมทริกซ์ได้สองวิธี

อัลกอริธึมการแก้ปัญหามีสองขั้นตอน: เราจะหาผลคูณของเมทริกซ์สองตัว จากนั้นเราจะหาผลคูณของเมทริกซ์สองตัวอีกครั้ง

1) ใช้สูตร

การกระทำที่หนึ่ง:

องก์ที่สอง:

2) ใช้สูตร

การกระทำที่หนึ่ง:

องก์ที่สอง:

คำตอบ :

วิธีแก้ปัญหาแรกคือเป็นวิธีที่คุ้นเคยและเป็นมาตรฐานมากกว่า โดยที่ "ทุกอย่างดูเหมือนจะเป็นระเบียบ" โดยวิธีการเกี่ยวกับการสั่งซื้อ ในงานที่กำลังพิจารณา ภาพลวงตามักเกิดขึ้นว่าเรากำลังพูดถึงการเรียงสับเปลี่ยนเมทริกซ์บางประเภท พวกเขาไม่ได้อยู่ที่นี่ ฉันขอเตือนคุณอีกครั้งว่าในกรณีทั่วไป เป็นไปไม่ได้ที่จะจัดเรียงเมทริกซ์ใหม่ ดังนั้น ในย่อหน้าที่สอง ในขั้นตอนที่สอง เราจะทำการคูณ แต่ไม่ว่าในกรณีใด ให้ทำ . สำหรับตัวเลขธรรมดา ตัวเลขดังกล่าวจะใช้ได้ แต่สำหรับเมทริกซ์จะใช้ไม่ได้

คุณสมบัติของการคูณแบบเชื่อมโยงเป็นจริงไม่เพียงแต่สำหรับกำลังสองเท่านั้น แต่ยังสำหรับเมทริกซ์ใดๆ ก็ตามด้วย ตราบใดที่พวกมันถูกคูณ:

ตัวอย่างที่ 7

ค้นหาผลคูณของเมทริกซ์สามตัว

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง ในโซลูชันตัวอย่าง การคำนวณจะดำเนินการในสองวิธี ได้แก่ วิเคราะห์ว่าเส้นทางใดทำกำไรได้มากกว่าและสั้นกว่า

คุณสมบัติการเชื่อมโยงของการคูณเมทริกซ์ยังใช้กับปัจจัยจำนวนมากขึ้นด้วย

ตอนนี้เป็นเวลาที่จะกลับไปสู่พลังของเมทริกซ์ กำลังพิจารณาเมทริกซ์กำลังสองตั้งแต่เริ่มต้นและคำถามในวาระการประชุมคือ:

การดำเนินการเหล่านี้ยังกำหนดไว้สำหรับเมทริกซ์จตุรัสเท่านั้น หากต้องการยกกำลังสามของเมทริกซ์จตุรัส คุณต้องคำนวณผลคูณ:

อันที่จริง นี่เป็นกรณีพิเศษของการคูณเมทริกซ์สามตัว ตามคุณสมบัติการเชื่อมโยงของการคูณเมทริกซ์: และเมทริกซ์ที่คูณด้วยตัวมันเองจะได้กำลังสองของเมทริกซ์:

ดังนั้นเราจึงได้สูตรการทำงาน:

นั่นคือ งานจะดำเนินการในสองขั้นตอน: ขั้นแรก เมทริกซ์จะต้องถูกยกกำลังสอง จากนั้นเมทริกซ์ผลลัพธ์จะต้องคูณด้วยเมทริกซ์

ตัวอย่างที่ 8

สร้างเมทริกซ์ให้เป็นลูกบาศก์

นี่เป็นปัญหาเล็กๆ น้อยๆ ที่ต้องแก้ไขด้วยตัวเอง

การเพิ่มเมทริกซ์เป็นกำลังสี่นั้นดำเนินการในลักษณะธรรมชาติ:

การใช้การเชื่อมโยงของการคูณเมทริกซ์ทำให้เราได้สูตรการทำงานสองสูตร ประการแรก: – นี่คือผลคูณของเมทริกซ์สามตัว

1) . กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราพบก่อน แล้วคูณด้วย "เป็น" - เราได้ลูกบาศก์และสุดท้ายเราทำการคูณอีกครั้ง - จะมีกำลังที่สี่

2) แต่มีวิธีแก้ไขที่สั้นกว่าหนึ่งขั้นตอน: . นั่นคือในขั้นตอนแรกเราจะพบสี่เหลี่ยมจัตุรัสและทำการคูณผ่านลูกบาศก์

งานเพิ่มเติมสำหรับตัวอย่างที่ 8:

ยกเมทริกซ์ยกกำลังสี่

ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น สามารถทำได้สองวิธี:

1) เนื่องจากทราบลูกบาศก์แล้ว เราจึงทำการคูณ

2) อย่างไรก็ตาม ถ้าตามเงื่อนไขของปัญหา จำเป็นต้องสร้างเมทริกซ์ ยกกำลังที่สี่เท่านั้นจากนั้นจะเป็นประโยชน์ที่จะย่อเส้นทางให้สั้นลง - ค้นหากำลังสองของเมทริกซ์และใช้สูตร

ทั้งวิธีแก้ปัญหาและคำตอบอยู่ท้ายบทเรียน

ในทำนองเดียวกันเมทริกซ์จะถูกยกให้เป็นกำลังที่ห้าและสูงกว่า จากประสบการณ์จริงบอกได้เลยว่าบางครั้งผมเจอตัวอย่างการยกกำลัง 4 แต่ผมจำอะไรเกี่ยวกับยกกำลัง 5 ไม่ได้เลย แต่ในกรณีนี้ ฉันจะให้อัลกอริทึมที่เหมาะสมที่สุด:

1) ค้นหา ;
2) ค้นหา ;
3) เพิ่มเมทริกซ์เป็นกำลังที่ห้า: .

บางทีนี่อาจเป็นคุณสมบัติพื้นฐานทั้งหมดของการดำเนินการเมทริกซ์ที่อาจมีประโยชน์ในการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติ

ในส่วนที่สองของบทเรียน คาดว่าจะมีฝูงชนที่มีสีสันไม่แพ้กัน

ทำซ้ำสำนวนโรงเรียนปกติด้วยตัวเลข นิพจน์ตัวเลขประกอบด้วยตัวเลข สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ และวงเล็บ ตัวอย่างเช่น - เมื่อคำนวณ จะใช้ลำดับความสำคัญทางพีชคณิตที่คุ้นเคย: อันดับแรก วงเล็บจากนั้นจึงดำเนินการ การยกกำลัง/การรูต, แล้ว การคูณ/การหารและสุดท้ายแต่ไม่ท้ายสุด- การบวก/การลบ.

หากนิพจน์ตัวเลขสมเหตุสมผล ผลลัพธ์ของการประเมินจะเป็นตัวเลข เช่น:

นิพจน์เมทริกซ์ทำงานในลักษณะเดียวกัน! โดยมีความแตกต่างที่ตัวละครหลักเป็นเมทริกซ์ บวกกับความเฉพาะเจาะจงบางอย่าง การดำเนินการเมทริกซ์เช่น การเคลื่อนย้ายและการค้นหา เมทริกซ์ผกผัน.

พิจารณานิพจน์เมทริกซ์ , โดยที่เมทริกซ์บางตัว ในนิพจน์เมทริกซ์นี้ การดำเนินการสามพจน์และการบวก/การลบจะดำเนินการครั้งสุดท้าย

ในเทอมแรก คุณต้องเปลี่ยนเมทริกซ์ "be" ก่อน: จากนั้นทำการคูณและป้อน "two" ลงในเมทริกซ์ผลลัพธ์ โปรดทราบว่าการดำเนินการย้ายมีลำดับความสำคัญสูงกว่าการคูณ วงเล็บเช่นเดียวกับนิพจน์ตัวเลขเปลี่ยนลำดับของการกระทำ: - ที่นี่การคูณจะดำเนินการก่อนจากนั้นเมทริกซ์ผลลัพธ์จะถูกย้ายและคูณด้วย 2

ในเทอมที่สอง การคูณเมทริกซ์จะดำเนินการก่อน และหาเมทริกซ์ผกผันจากผลคูณ หากคุณลบวงเล็บ: คุณต้องหาเมทริกซ์ผกผันก่อนแล้วจึงคูณเมทริกซ์: การค้นหาค่าผกผันของเมทริกซ์ยังมีความสำคัญมากกว่าการคูณอีกด้วย

ด้วยเทอมที่สาม ทุกอย่างชัดเจน: เรายกเมทริกซ์เป็นลูกบาศก์แล้วป้อน "ห้า" ลงในเมทริกซ์ผลลัพธ์

หากนิพจน์เมทริกซ์สมเหตุสมผล ผลลัพธ์ของการประเมินก็คือเมทริกซ์

งานทั้งหมดจะมาจากการทดสอบจริง และเราจะเริ่มต้นด้วยสิ่งที่ง่ายที่สุด:

ตัวอย่างที่ 9

กำหนดเมทริกซ์ - หา:

วิธีแก้ไข: ลำดับของการกระทำชัดเจน คูณขั้นแรกแล้วจึงบวก

ไม่สามารถทำการบวกได้เนื่องจากเมทริกซ์มีขนาดต่างกัน

อย่าแปลกใจ เห็นได้ชัดว่ามักเสนอการกระทำที่เป็นไปไม่ได้ในงานประเภทนี้

ลองคำนวณนิพจน์ที่สอง:

ทุกอย่างเรียบร้อยดีที่นี่

คำตอบ: ไม่สามารถดำเนินการได้ .