Ідентифікація систем ЛА

Формування моделей на основі результатів спостережень та дослідження їх властивостей – ось, по суті, основний зміст науки. Моделі ("гіпотези", "закони природи", "парадигми" тощо) можуть бути більш менш формалізованими, але всі мають ту головну особливість, що пов'язують спостереження в якусь загальну картину. Розв'язання задачі побудови математичних моделей динамічних систем за даними спостережень за їхньою поведінкою становить предмет теорії ідентифікації, яка стає елементом загальної наукової методології. А оскільки ми "оточені" динамічними системами, методи ідентифікації систем мають широкі програми. Мета цього розділу у тому. щоб дати мінімальне уявлення про наявні методи ідентифікації, їх обґрунтування, властивості та застосування.

Динамічні системи

Говорячи нестрого, система - це об'єкт, у якому відбувається взаємодія між різнотипними змінними і формуються сигнали, що спостерігаються.

Цікаві нас сигнали зазвичай називають вихідними сигналами. Всі інші сигнали називають вхідними сигналами і обуреннями, причому обурення можуть бути розбиті на два класи: вимірювані безпосередньо і доступні лише непрямої оцінки впливу, що надається ними на вихідний сигнал.

Рис 3.2 Рух судна у горизонтальній Рис. 3.3 Система динаміки кермового

площині (δ-команда на кермо, управління (δ- вхідний сигнал, ψ-вихідний)

ψ- курсовий кут) сигнал, υ-невимірювана перешкода)

Мал. 3.4. Вхідно-вихідні дані для системи кермової динаміки судна (інтервал між вимірами -10с.)

приклад Динаміка керування судном.

Рух судна відбувається під дією тягової сили гвинта і залежить від положення кермів, сили та напрямки вітру та хвиль. рис. 3.2. Як підпроблему можна розглянути приватне завдання про залежність курсу судна (напрямок руху носової частини) від положення керма при постійному тяговому зусиллі. Ця система зображена на рис. 3.3. Записи даних спостережень показано на рис. 3.4. Тривалість інтервалу спостережень становила 25 хв, виміри здійснювалися кожні 10 с.

Процедура ідентифікації системи. Три основні компоненти

Конструювання моделей за даними спостережень включає три основні компоненти.

1. Дані.

2. Безліч моделей-кандидатів.

3. Правило оцінки ступеня відповідності досліджуваної моделі даним спостережень
Прокоментуємо кожен із цих компонентів.

1. Дані спостережень.Вхідно-вихідні дані іноді реєструються в процесі проведення цілеспрямованих ідентифікаційних експериментів, коли користувач може визначити перелік і моменти вимірювання сигналів, причому деякі вхідні сигнали можуть бути керованими. Завдання планування експерименту
тов, таким чином, полягає в тому, щоб, враховуючи можливі обмеження,
вибрати максимально інформативні дані про сигнали системи. У деяких слу-
чаях користувач може бути позбавлений можливості впливати на хід експерименту та
повинен спиратися на дані нормальної експлуатації.

2. Безліч моделей.Безліч моделей-кандидатів встановлюється посеред-
ством фіксації тієї групи моделей, у межах якої ми збираємося шукати
найбільш підходящу. Безсумнівно, це найважливіша і водночас найбільш
важка частина процедури ідентифікації. Саме на цьому етапі знання формаль-
них властивостей моделей необхідно поєднати з апріорним знанням, інженерним
мистецтвом та інтуїцією. Безліч моделей іноді стає результатом ретельного
ного моделювання, після чого на основі законів фізики та інших достовірних
знань формується модель, що включає фізичні параметри з ще не визначено-
ними значеннями. Інша можливість полягає в тому, щоб без будь-якого фізичного характеру.
кого обґрунтування використовувати стандартні лінійні моделі. Безліч таких
моделей, у яких параметри розглядаються насамперед як варіюються
засоби підстроювання моделей до наявних даних і не відображають фізики процесу,
називається чорний ящик.Багато моделей з параметрами, що настроюються,
що допускають фізичну інтерпретацію, називають сірими ящиками.

3. Визначення на основі даних спостережень "найкращої" моделі множини.
Ця частина є власне метод ідентифікації.Оцінка якості моделі пов'язана,
як правило, з вивченням поведінки моделей у процесі їх використання для вос-
твори даних вимірів.

Підтвердження моделі. В результаті здійснення всіх трьох етапів процедури ідентифікації ми отримуємо, хоча б у неявній формі, конкретну модель: одну з множини, причому таку, яка відповідно до обраного критерію найкраще відтворює дані спостережень.

Залишається перевірити, "досить хороша" модель, тобто. чи виконує модель своє призначення. Такі перевірки відомі під назвою процедур підтвердження моделі.До них відносяться різні процедури оцінювання відповідності моделей даних спостережень, апріорної інформації та поставленої прикладної мети. Незадовільна поведінка моделі щодо кожного з цих компонентів змушує нас відмовлятися від моделі, тоді як хороше її функціонування створює певний ступінь довіри до моделі. Модель ніколи не можна вважати остаточним та справжнім описом системи. Її швидше можна розглядати як спосіб досить хорошого опису тих аспектів поведінки системи, які становлять найбільший інтерес.

Контур ідентифікації системи. Процедура ідентифікації системи породжує таку природну логіку: (1) зібрати дані; (2) вибрати безліч

моделей; (3) вибрати найкращу в цій множині модель. Однак цілком

Мал. 3.5. Контур ідентифікації системи

ймовірно, що перша з так знайдених моделей не витримає перевірки на етапі підтвердження. Тоді потрібно повернутися та переглянути різні кроки процедури. Існує кілька причин недосконалості моделей:

Чисельний метод не дозволяє знайти найкращу за вибраним критерієм моделі;

Критерій обраний невдало;

Безліч моделей виявилося неповноцінним у тому сенсі, що в цьому багато-
наче взагалі немає "досить хорошого" опису системи;

Безліч даних спостережень не було достатньо інформативним для того,
щоб забезпечити вибір добрих моделей.

По суті, головним у додатках ідентифікації є ітеративне ре-
шення всіх цих питань, особливо третього, на основі апріорної інформації та
результатів попередніх спроб. рис. 3.5.

Параметрична ідентифікація об'єктів.

При побудові моделей складних технічних систем простота математичного опису іноді має менше значення, ніж універсальність моделі та її адекватність в усіх умовах експлуатації об'єкта.

В умовах реального експерименту, коли апріорна інформація про досліджувану систему, що протікають у ній процесах і діючих обуреннях часто недостатня для обґрунтування вибору алгоритму ідентифікації і типу моделі, що формується, доцільно вирішувати завдання в класі лінійних моделей з використанням «грубих» алгоритмів оцінювання.

Застосування алгоритмів ідентифікації, заснованому на методі найменших квадратів, в порівнянні з іншими, накладає мінімальні обмеження і дозволяє отримувати надійні оцінки в різних умовах.

Опис лінійних систем.

Оскільки обробка сигналів у обчислювальній машині проводиться дискретно, то доцільним є опис лінійних систем та сигналів на основі Z- Перетворення. При цьому безперервні процеси та відгук системи дискретезуються з тактовим кроком T 0. (Див. рис 3.6).

k = t/T 0

Перехід до дискретного часу k=t/T 0дозволяє описувати поведінку лінійної системи за допомогою різницевого рівняння.

Використовуючи поняття Z- Оператора, де , Досить просто представляється безперервна ланка.

Загальний вигляд:

або (назад) в області часу:

Назад в області часу:

Диференціальне рівняння системи:

Де τ – чисте запізнення.

Передатна функція, отже, має вигляд:

Дещо з теорії

Ця система диференціальних рівнянь характеризується своїми параметрами. У нашому випадку це a, b, cі d. Вони можуть бути як статичними, так і динамічними.

Що означають ці коефіцієнти?

Стосовно реальних фізичних динамічних систем ці коефіцієнти диференціального рівняння мають конкретну фізичну прив'язку. Наприклад, у системі орієнтації та стабілізації космічного апарату дані коефіцієнти можуть грати різну роль: коефіцієнт статичної стійкості КА, коефіцієнт ефективності бортового управління, коефіцієнт здатності змінювати траєкторію тощо. Докладніше.

Завдання спостереження та вимірювання

Для того, щоб система була ідентифікована, вона повинна бути спостерігається. Тобто ранг матриці спостереження повинен дорівнювати порядку системи. Детальніше про спостереження.

Спостереження процесів, які у об'єкті, відбувається так:

• у- Вектор спостережуваних параметрів;
• H- матриця зв'язку параметрів стану та спостережуваних параметрів;

Детальніше про вектори та матриці

Динамічну систему, яку ми описували вище, можна представити у векторно-матричній формі:
де:

- завадна складова.

Як бачимо похибка виміру може бути як адитивної (у першому випадку), і мультиплікативної (у другому)

Завдання ідентифікації

Видно, що параметри дорівнюють b = 1, c = 0.0225і d = -0.3. Параметр aнам невідомий. Спробуємо оцінити його за допомогою методу найменших квадратів.

Завдання полягає в наступному: за наявними вибірковими даними спостережень за вихідними сигналами з інтервалом дискретизації Δtпотрібно оцінити значення параметра, що забезпечує мінімум величини функціоналу нев'язки між модельними та фактичними даними.

Де - нев'язка, визначена як різницю між виходом об'єкта, що досліджується, і реакцією, обчисленою за математичною моделлю об'єкта.

Нев'язка складається з неточностей структури моделі, похибок вимірювань та неврахованих взаємодій середовища та об'єкта. Однак, незалежно від природи помилок, що виникають, метод найменших квадратівмінімізує суму квадратичної нев'язки для дискретних значень. В принципі, МНК не вимагає жодної апріорної інформації про перешкоду. Але для того, щоб отримані оцінки мали бажані властивості, будемо припускати, що перешкода є випадковим процесом типу білого шуму.

Оцінка за методом найменших квадратів, що мінімізує критерій J, знаходиться з умови існування мінімуму функціоналу:

Важливою властивістю оцінок МНК є існування лише одного локального мінімуму, що збігається з глобальним. Тому оцінка є єдиною. Її значення визначається за умови екстремуму функціоналу J:

Тобто необхідно від функціоналу взяти похідну по aта прирівняти її до нуля.

Звертаю увагу, що – це «виміряні» значення фазових координат і (або), а – це фазові координати та (або) обчислені за математичною моделлю об'єкта. Але в моделі об'єкта, представленої у вигляді системи диференціальних рівнянь, і не виражені у явному вигляді. Для того, щоб позбавитися цього безумства необхідно вирішити цю систему диференціальних рівнянь із заданими початковими умовами.

Вирішувати можна як «вручну», так і використовуючи програмне забезпечення. Нижче буде показано рішення у MatLab. У результаті повинна вийде система рівнянь алгебри для кожного моменту часу :

Де взяти ці «виміряні» значення фазових координат?

Взагалі, ці значення беруться з експерименту. Але оскільки ми жодного експерименту не проводили, то візьмемо ці значення з чисельного розв'язання нашої системи диференціальних рівнянь методом Рунге-Кутта 4-5 порядку. Виберемо параметр

Рішення знайдемо вбудованими функціями пакету MatLab. Докладніше. Рішення даним методом показано нижче.

% позначимо тип змінних
syms x(t) y(t) a
% вирішимо систему за заданих початкових умов
S = dsolve (diff (x) = = a * x + 1 * y, "x (0) = 20", diff (y) = = 0.0225 * x - 0.3 * y, "y (0) = 20") ;
% виберемо рішення першої фазової координати, оскільки саме у його рівнянні
% міститься шуканий параметр а
x(t) = S.x;
% знайдемо приватну похідну першого рівняння за параметром а (в
% відповідно до методу МНК)
f = diff (x (t), "a");
% тепер трохи спростимо вираз, що вийшов
S1 = simplify (f);
% задаємо змінної t масив значень T
t=T;
% знайдемо вирази, що містять параметр для кожного моменту часу
SS=eval(S1);
% тепер у циклі, підставляючи у кожен вираз значення «вимірюваної»
% першої фазової координати, визначимо параметр а для кожного моменту
% часу T. Значення "виміряної" фазової координати беремо з рішення СДУ
% шляхом Рунге-Кутта четвертого порядку
for i=2:81
SSS(i)=solve(SS(i)==X(i,1),a);
end
ist=zeros(length(T),1);
ist(1: length(T))=-0.7;
figure; plot(T,SSS,"b--",T,ist,"r-");
legend ("оцінка параметра а", "справжнє значення");
grid on;

На графіку синій пунктирнийлінією позначено оцінку параметра , а червоний суцільнийлінією позначено безпосередньо "справжнє" значення параметра моделі. Ми бачимо, що приблизно на 3,5 секунд процес стабілізується. Невелика розбіжність оцінки параметра і «справжнього» значення викликано помилками під час вирішення системи диференціальних рівнянь методом Рунге-Кутта.

Параметрична ідентифікація лінійних об'єктів

Мета лекції:

Вивчити методи параметричної ідентифікації лінійних об'єктів (статичні та динамічні детерміновані об'єкти).

Розглядаємо лінійні об'єкти чи об'єкти, які з достатньою мірою наближення можна прийняти за лінійні. У параметричному випадку модель визначається набором параметрів, які необхідно оцінити у процесі ідентифікації. Щоб зрозуміти процедуру мінімізації функціоналу нев'язки, розглянемо спочатку статичний детермінований випадок.

14.1 Статичні детерміновані лінійні моделі

Модель лінійного об'єкта з n входами та m виходами має єдину структуру та описується системою лінійних рівнянь алгебри

Ідентифікуються m(n+1) коефіцієнтів c ij i =1,..., m; j = 0, ..., n.

У векторному вигляді ця система має вигляд

де X = (x 1 , x 2, ,…, x n ) - Вхід; Y = (y 1 , y 2, ,…, y n ) - Вихід; C0 = (c10, …, cm0);

Інформація про об'єкт можна подати у вигляді (X j , Y j k ), k =1,…,m, .

Ідентифікуються C 0 та C.

Розглянемо випадок n>1, m=1. Випадок m>1 зводиться до m-кратного повторення даного випадку.

Отже, або

(n+1) невідомих коефіцієнта підлягають оцінці на основі інформації (X j , Y j ), j =1,…,N, де X j =(x 1 j , x 2 j , …, x nj) - j-е стан входу, Y j – реакція цей вхід.

Звичайний підхід до вирішення цього завдання - прирівнювання виходів об'єкта та моделі

, (14.1)

Отримали N рівнянь із (n+1) невідомими (систему рівнянь ідентифікації). Ця система має єдине рішення, якщо ранг матриці

(14.2)

Це можливо, якщо знайдено (n+1) лінійно-незалежних рядків цієї матриці. Тому з Nпар слід вибрати (n+1) лінійно-незалежний рядок:

У цьому випадку рішення (14.1) визначає точне значення параметрів, що ідентифікуються (якщо об'єкт дійсно лінійний).

Однак у цьому методі не використовується вся вихідна інформація. Використовуємо її. Введемо нев'язку:

де - локальна нев'язка (На i-тої парі).

Завдання оцінки параметрів З тепер можна як завдання мінімізації невязки (14.3), тобто звести до системи лінійних алгебраїчних рівнянь:

(14.4)

Визначник цієї системи не дорівнює нулю, якщо ранг (14.2) дорівнює (n+1).

Рішення систем (14.1) та (14.4) збігаються. Навіщо використовувати цей складніший метод, тим більше, що (14.1) вимагає лише (n+1)точку? Навіщо інші N - (n + 1) точок? Якщо об'єкт дійсно детермінований і лінійний, ці точки не потрібні і другий спосіб не варто застосовувати. Однак, можливо, що об'єкт майже лінійний. Тоді за двома точками виходить дуже груба модель. Другий спосіб хіба що «спрямляє» об'єкт.

Якщо ж ранг системи (14.4) менший (n+1)? У цьому випадку:

1. Повторити виміри (можливо, спочатку стану системи були недостатньо різноманітні). Якщо знову не вийде, змінити структуру моделі.

2. Зменшити кількість параметрів, що ідентифікуються, тобто виключити розгляд одного з входів, наприклад, того, який мало змінюється. І доти, доки ранг (14.2) не збігається з її розмірністю .

Спектральні методи ідентифікації ґрунтуються на використанні апарату матричних операторів. Ці методи є подальшим розвитком частотних методів і ґрунтуються на розкладанні сигналів об'єкта за ортонормованими функціями, не обов'язково гармонійними. Результатом ідентифікації є визначення ядра інтегрального рівняння об'єкта, яке в найпростішому випадку лінійних одновимірних систем збігається з функцією ваги. Тому ці методи також можна віднести до непараметричних методів ідентифікації.

Спектральні методи можуть застосовуватися для ідентифікації нестаціонарних систем, параметри яких, зокрема ядро ​​інтегрального рівняння, змінюються в часі.

Параметрична ідентифікація

Параметрична ідентифікація моделей об'єктів дозволяє одразу знаходити значення коефіцієнтів моделі об'єкта за вимірюваними значеннями керованого y та керуючого u сигналів об'єкта. При цьому передбачається, що структура та порядок моделі об'єкта вже відомий. Вимірювані значення y та u подаються у вигляді часового ряду, тому в результаті ідентифікації оцінюються параметри АРСС- моделі об'єкта або параметри його дискретної передавальної функції. Знаючи коефіцієнти АРСС- моделі та її структуру можна перейти до безперервних структурованих моделей та моделей у просторі станів.

У задачах параметричної ідентифікації використовуються моделі об'єкта з шумом вимірювань, що задаються передатними функціями та структурою. Вважаючи порядки моделей заданими, завданням параметричної ідентифікації стохастичної системи вважається визначення оцінок коефіцієнтів поліномів моделі A, B, C та D за результатами вимірювань входу u(t)та виходу y(t). Властивості одержуваних оцінок (можність, несмещенность і ефективність) залежить від показників зовнішніх обурень і методу ідентифікації, у своїй істотну роль грає вигляд закону розподілу зовнішніх обурень.

p align="justify"> Важливою перевагою методів параметричної ідентифікації є можливість використання рекурентних алгоритмів, що дозволяють проводити поточну ідентифікацію в реальному часі при номінальних режимах роботи об'єкта. Ці переваги визначили широке використання методів параметричної ідентифікації задач управління та автоматизації. До таких методів належать: метод найменших квадратів, метод максимальної правдоподібності та метод стохастичної апроксимації.

«Моделювання систем»

1 Методи параметричної ідентифікації об'єктів керування.

2. Методи структурної ідентифікації об'єктів управління.

3 Методи математичної обробки експериментальної інформації (регресійний аналіз).

4 Методи планування експерименту (повний факторний експеримент).

5 Аналітичний метод побудови математичних моделей на основі миттєвих балансів потоків речовин та енергії.

1 Методи параметричної ідентифікації об'єктів керування.

структурнуі параметричнуідентифікацію.

На етапі параметричної ідентифікації виконується експериментальна перевірка моделі.

Мета параметричної ідентифікації: уточнення (підстроювання) внутрішніх параметрів, коли структурною ідентифікацією не вдається досягти необхідної адекватності моделі реальному об'єкту.

Використовують критерії: модульний, квадратичний, показовий, мінімаксний, зважений. Завдання зводиться до оцінки сумарної нев'язки, яка є основним критерієм, у ньому проводиться ідентифікація моделі.

Якщо відносна квадратична нев'язка вбирається у 5% від суми квадратів експериментальних значень вихідного параметра об'єкта, модель вважається адекватної.

Методи параметричної ідентифікації

Методи розрізняють залежно від моделі.

Моделі бувають:

1. Статичні та динамічні.

2. Детерміновані та стохастичні.

3. Лінійні та нелінійні.

4. Безперервні та дискретні.

Ідентифікація поділяється:

1. Активні та пасивні методи.

2. Безперервні та дискретні.

Параметрична ідентифікація для статичної детермінованої моделіy = F(x)

Модель об'єкта лінійна, має n входів, m виходів та структуру, що описується системою рівнянь, яка у векторній формі має вигляд:

Y = B 0 + BX.

Припустимо, модель має кілька входів та один вихід, містить число k = n+ 1 невідомих параметрів.

Розглянемо неадаптивний кроковий метод стосовно вирішення цього завдання. Суть методу: прирівнюються виходи об'єкта та моделі в кожному з nдосвідів, в результаті виходить система з Nрівнянь ідентифікації з n+1 невідомими, яка має однозначне рішення, якщо ранг матриці дорівнює n+ 1..

Ця умова може бути порушена, якщо ряд факторів у деяких дослідах виявляться стабілізованими, наприклад, за умовою технології. Тоді збільшують кількість дослідів, активно втручаються у роботу об'єкта, або знижують кількість ідентифікаційних параметрів.

Як критерій ідентифікації використовується сумарна нев'язка моделі та об'єкта.

Розглянемо адаптивний кроковий спосіб. Суть методу: значення параметрів моделі зв'язуються на двох наступних кроках:

де J- Алгоритм адаптації.

Як такий алгоритм часто використовують метод якнайшвидшого спуску.

Переваги методу: можливість використання поточної інформації.

Нестача: виникають проблеми збіжності процесу адаптації.

Параметрична ідентифікація нелінійних моделей

Структуру нелінійної моделі припускають у вигляді суми лінійних та нелінійних частин. У зв'язку з цим алгоритм аналогічний лінійному, лише необхідно врахувати нелінійність моделі.

Об'єкт відбивається як функції F(X, B) з невідомими параметрами B.

Невідома функція об'єкту F 0 (X) представлена ​​у вигляді відомої функції з невідомими параметрами Y = F(X, B). Щоб визначити невідомі параметри B, прирівнюють стан моделі та об'єкта для кожного зі спостережень. Рішення зводиться до завдання мінімізації сумарної нев'язки:

2. Методи структурної ідентифікації об'єктів управління.

Ідентифікація об'єктів - побудова оптимальних математичних моделей щодо реалізації їх вхідних та вихідних параметрів.

Завдання ідентифікації: кількісна оцінка рівня ідентичності моделі реальному об'єкту.

Залежно від апріорної (початкової) інформації про об'єкт розрізняють структурнуі параметричнуідентифікацію.

Предметом структурної ідентифікації є визначення виду функції Yтеор зв'язуючої вхідні змінні Х. Структурна ідентифікація включає: постановку завдання; вибір структури моделі та її математичний опис; Вивчення моделі.

Завдання розкриття структури об'єкта: 1) виділення об'єкта із середовища; 2) ранжування входів та виходів об'єкта за ступенем їх впливу на кінцевий цільовий показник; 3) визначення раціонального числа входів та виходів об'єкта, що враховуються в моделі; 4) визначення характеру зв'язку між входом та виходом моделі об'єкта.

1) Виділення об'єкта із середовища визначається цілями, котрим будується модель. Модель будується так, щоб вона мала мінімум зв'язків із зовнішнім середовищем. Залежно від інформації про об'єкт здійснюють перехід до складнішої форми об'єкта. Далі відбувається розширення об'єкта за рахунок приєднання частини середовища і цей процес повторюється до тих пір, поки ефективно досягатися мети управління.