Передача сигналів реальними каналами зв'язку завжди супроводжується змінами (перетвореннями) цих сигналів, у результаті прийняті сигнали від переданих. Відмінності ці обумовлені, насамперед, лінійними та нелінійними перетвореннями вхідних сигналів, а також наявністю адитивних шумів у каналі, що існують найчастіше незалежно від переданих сигналів. З точки зору передачі інформації по каналу, важливим є підрозділ перетворень сигналу на оборотні та незворотні. Як буде показано (див. § 4.2), оборотні перетворення не спричиняють втрати інформації. При незворотних перетвореннях втрати інформації є неминучими. Для оборотних перетворень сигналу часто використовують термін "спотворення", а незворотні перетворення називають перешкодами (адитивними та не адитивними).

Прикладом найпростішого детермінованого оборотного перетворення вхідного сигналу X(t), яке не змінює його форму, служить

Y(t) = kX(t-τ). (3.1)

В даному випадку вихідний сигнал каналу Y(t) відрізняється від вхідного лише відомим масштабом k, який легко компенсується відповідним посиленням або ослабленням сигналу та постійною затримкою в часі τ. Вона найчастіше невелика. Фактично, лише за зв'язку в масштабах космосу чи за дуже великому числі реактивних елементів лінії зв'язку затримка може бути відчутною * .

* (Тут йдеться про затримку в самій лінії зв'язку, а не про затримки в демодуляторі та декодері, які можуть бути значними і іноді лімітують можливість підвищення стійкості до перешкод.)

Якщо вхідний сигнал X (t) в (3.1) вузькосмуговий, його зручно подати у квазігармонійній формі (2.68): X(t) = A(t)cos× X [ω 0 t+Φ(t)], де A(t ) і Φ(t) -повільно змінюються функції. Тому при досить малій затримці т можна в першому наближенні вважати A (t-τ) ≈ A(t) і Φ(t-τ)≈Φ(t), а вихідний сигнал (3.1) записати наступним чином:

Y(t) = kA(t-τ) cos[ω 0 (t-τ) + Φ(t-τ) ≈ kА (t) cos[ω 0 t+Φ(t)-θ К ], (3.2)

де θ К = 0 τ - фазовий зсув у каналі. Таким чином, при вузькосмуговому сигналі мала затримка зводиться до деякого зсуву фази.

У реальних каналах зв'язку, навіть коли можна знехтувати адитивним шумом, перетворення сигналів мають складний характер і зазвичай призводять до відмінності форми вихідного сигналу від вхідного.

Дослідження перетворень випадкових процесів при їх проходженні через динамічні системи (як з регулярними, так і з параметрами, що випадково змінюються) пов'язане з вирішенням завдань двох типів:

визначення кореляційної функції (енергетичного спектру) відгуку Y(t) на виході динамічної системи, заданої своїми характеристиками даної кореляційної функції (або енергетичного спектра) вхідного впливу X(t);

визначення багатомірного розподілу відгуку Y(t) на виході заданої динамічної системи багатомірного розподілу вхідного впливу X (t).

Друга із зазначених завдань є більш загальною. З її розв'язання, очевидно, може бути отримано рішення і першої задачі. Однак надалі в основному обмежимося коротким розглядом першого завдання і лише вкажемо можливі шляхирозв'язання другого, більш складного завдання.

Проходження випадкових сигналів через детерміновані лінійні ланцюги. Як відомо, лінійний ланцюг з постійними параметрами характеризується своєю імпульсною реакцією g(t) або її перетворенням Фур'є-передавальною функцією k(iω). Якщо, наприклад, на вхід ланцюга надходить центрований процес X(t), процес Y(t) на виході визначається інтегралом Дюамеля *

У ланцюгу, що фізично реалізується, при t

* (Тут і надалі інтегрування випадкових процесів розуміється у середньоквадратичному значенні [див. ф-лу (2.8)].)

Знайдемо функцію кореляції центрованого вихідного процесу Y(t):

де θ 1 = t 1 - 1 θ 2 = t 2 - 2 ; B X (θ 1 -θ 2) – функція кореляції вхідного сигналу.

Нехай вхідний процес стаціонарний. Тоді B X (θ 1 - θ 2) = B (θ), де θ = θ 2 -θ 1 . Введемо також позначення t 2 -t 1 = τ, t 1 - θ 1 = τ 1 . Тоді t 2 -θ 2 = + 1 -θ і

де використана "тимчасова функція кореляції" (ВФК) від невипадкової імпульсної реакції

В даному випадку β = τ – θ.

З (3.4) видно, що при стаціонарному вхідному процесі та вихідний процес виявляється стаціонарним, так як B Y (t 1 t + τ) не залежить від t 1 . Тому можна записати

Отримана рівність є аналогом інтеграла Дюамеля для кореляційних функцій. Таким чином, ФК вихідного процесу є інтегральною згорткою ФК вхідного процесу та ВФК імпульсної реакції ланцюга.

Зауважимо, що ВФК імпульсної реакції пов'язана з перетворенням Фур'є з квадратом модуля передавальної функції |k(iω)| 2 або амплітудно-частотної характеристики (АЧХ) ланцюга. Справді,

З теорії перетворення Фур'є відомо, що перетворення Фур'є від згортки двох функцій дорівнює добутку перетворень Фур'є від цих функцій. Застосувавши це (3.5), отримаємо просте співвідношення між спектральними щільностями стаціонарних процесів на вході і на виході лінійного ланцюга з постійною передатною функцією k (iω):

G Y (J) = G X (f) | k (i2πf) | 2 (3.7)

З (3.5) і (3.7) випливає, що ФК та ​​спектр процесу на виході ланцюга повністю визначаються ФК або спектром процесу на вході та АЧХ ланцюга, тобто не залежать ні від розподілу ймовірностей вхідного процесу, ні від фазо-частотної характеристики ланцюга .

Розглянемо приклад проходження випадкових процесів через детерміновані лінійні системи - проходження білого шуму з енергетичним спектром N 0 через послідовний коливальний контур з параметрами R, L, С. Якщо вихідна напруга знімається з ємності, комплексний коефіцієнт передачі контуру

Резонансна частота

У сфері малих розладів |k(ω)| 2 = ω 2 0 /(4[β 2 + (ω-ω 0) 2 ]), β = R/(2L), і згідно (3.7) енергетичний спектр на виході

G Y (ω) = N 0 ω 2 0 /(4[β 2 + (ω - ω 0) 2 ]).

Кореляційна функція на виході

При подачі сигналу X(t) на детермінований лінійний ланцюг з змінними параметрамивихідний сигнал Y(t). як відомо, можна висловити інтегралом згортки:

де g(t, τ) - функція двох змінних, що визначає реакцію системи в момент t на δ-імпульс, поданий на вхід у момент t-τ.

представляє передатну функцію лінійного ланцюга зі змінними параметрами, яка, природно, є функцією як частоти, а й часу.

Оскільки у ланцюгу, що фізично реалізується, відгук не може виникнути раніше впливу, то g(t, τ)=0 при τ

Завдання знаходження розподілу ймовірностей відгуку лінійної системипри довільному випадковому вплив виявляється у випадку дуже складної, навіть якщо обмежитися перебуванням одномірного розподілу. Зазначимо, однак, що якщо на вхід лінійної детермінованої системи подано гаусівський процес, то і процес на виході виявляється гауссівським, що випливає з відомих властивостей нормального розподілу, що залишається нормальним за будь-яких лінійних перетвореннях. Якщо процес на вході не гаусівський, то при проходженні лінійної системи його розподіл ймовірностей змінюється іноді дуже суттєво.

Зазначимо загальну властивість, властиву лінійним системам. Якщо смуга частот F, займана вхідним сигналом X(t), набагато ширше смуги пропускання даної лінійної системи, то розподіл вихідного процесу має тенденцію наближатися до нормального. Це можна грубо пояснити, з (3.8). Вузька смуга пропускання означає, що тривалість імпульсної реакції g(t, τ) як функції τ велика порівняно з інтервалом кореляції вхідного процесу X(t). Тому переріз вихідного процесу Y(t) у будь-який момент t визначається інтегралом (3.8), в підінтегральну функцію якого з досить великою вагою входить багато некорельованих між собою перерізів процесу X(t). Розподіл ймовірностей такого інтеграла згідно з центральною граничною теоремою має бути близьким до нормального, тим ближчим є чим відношення ширини спектра вхідного сигналу до смуги пропускання ланцюга. У граничному випадку, якщо на вхід ланцюга впливає білий шум, у якого ширина спектра нескінченна, а ланцюг має обмежену смугу пропускання, то вихідний процес буде гаусівським.

Проходження випадкових вузькосмугових сигналів через лінійні смугові ланцюги. Як зазначалося в § 2.4, щодо вузькосмугові процеси (тобто такі, у яких ширина спектра значно вже середньої частоти) зручно представляти у квазігармонійній формі (2.68). Якщо середня частота ? е. їх спектри займають область частот нижчих, ніж спектр самого сигналу. Таке уявлення у багатьох випадках, на етапах синтезу та аналізу систем передачі сигналів (повідомлень), дуже корисне. Так, для подання (2.72) на інтервалі Т поруч Котельникова знадобиться 2T(f 0 + F) відліків, для подання на тому ж інтервалі Т двох незалежних низькочастотних речових функцій A C (t) і A S (t) (або однієї комплексної функції A(t)), досить 4FT відліків, тобто приблизно f 0 /2F разів менше.

Зауважимо також, що при необхідності моделювати вузькосмугові сигнали та систему зв'язку з такими сигналами обчислювальній машиніабо при необхідності реалізації різних перетворень таких сигналів на основі сучасної мікроелектронної бази, виникають труднощі, найчастіше практично непереборні, через обмежену швидкодію цих машин або відповідних мікросхем. Природно, що значно простіше в цих випадках оперувати низькочастотними еквівалентами сигналів, якими є загальні.

Вираз для низькочастотного еквівалента x (t) вузькосмугового сигналу (2.72), що визначається з (2.70,а):

А Х (t) = X (t) ехр [-i 0 t]

має згідно (2.32) спектр по Фур'є

S? X (iω) = Sx.

Рисунок 3.1 ілюструє спектральні співвідношення для речового вузькосмугового сигналу X * (t) (рис. 3.1,а), аналітичного сигналу X (t) (рис. 3.1,6) та його низькочастотного еквівалента А? Х (t) (рис. 3.1, в).

* (Корисно нагадати, що спектр S X (iω) речовинного сигналу X(t) симетричний щодо початку координат, S * X (-iω) = S X (iω) (т. е. амплітудний спектр - парна функція частоти, а фазовий - непарна, або речова частина S X (iω) - парна функція частоти, а уявна - непарна).)

Основна частина реальних безперервних каналів зв'язку відноситься до лінійних та вузькосмугових, тому сигнали на їх виході можуть розглядатися як реакція на вузькосмуговий сигнал Х(t) смугового фільтраз передатною функцією k(iωt), модуль якої має рис. 3.1,а. Переваги подання сигналів за допомогою низькочастотного еквівалента (комплексної огинаючої) виникають внаслідок того, що смугову фільтрацію вузькосмугового сигналу можна інтерпретувати як фільтрацію комплексних низькочастотних сигналів комплексними низькочастотними фільтрами.

Розглянемо проходження вузькосмугового сигналу X(t) через вузькосмуговий канал (смуговий фільтр) з постійними параметрами та передавальною функцією k(iω) (рис. 3.2,а).

Вузькосмуговий вхідний сигнал (2.72)

Враховуючи попередню виноску, неважко показати, що спектр пов'язаної комплексної огинаючої A * X (t) = A C (t) - iA S (t) дорівнює S * X (-iω), де (iω) - спектр по Фур'є від A X ( t). Оскільки множенню функції часу на е ± ?

Аналогічно вважаючи, що середня частота вхідного сигналу 0 збігається з центральною частотою пропускання фільтра, можна уявити передатну функцію смугового фільтра (перетворення Фур'є імпульсної реакції фільтра g(t) *

де Γ -спектр Фур'є комплексного (аналітичного) сигналу ? (t) = g (t) + ig? (t) =? (t) e it? 0 утвореного з g (t). Величина Γ(iω) є спектральною характеристикою комплексної огинаючої γ̇(t) імпульсної реакції фільтра g(t), тобто низькочастотним еквівалентом вузькосмугового каналу.

* (Зазначимо, що функції Γ і Γ*[-i(ω+ω 0)], будучи за модулем симетричними щодо осі ординат для смугового фільтра не перекриваються, так як перша практично повністю лежить в області позитивних частот, а друга негативних. Аналогічне твердження справедливе і для функцій S і S * ? [-i (ω + ω 0)] вузькосмугового сигналу.)

Тепер знайдемо спектр сигналу Фур'є на виході каналу y(t). З одного боку, оскільки цей сигнал вузькосмуговий із середньою частотою спектра ω 0 можна аналогічно (3.11) записати

де S? y - спектр Фур'є комплексного (аналітичного) сигналу ?(t) = y(t) + i?(t) =? y e itω 0 , при цьому S? . З іншого боку, для лінійної системи з постійними параметрами спектральні характеристики сигналів на вході та виході пов'язані співвідношенням

Sy(iω) - Sx(iω)k(iω). (3.14)

Підставляючи в (3.14) співвідношення (3.11) і (3.12) та враховуючи виноску на стор. 78, отримуємо

З (3.13) та (3.15)

Як наслідок комплексна огинаюча сигналу на виході вузькосмугового каналу A y (t) виходить як згортка комплексної огинаючої вхідного сигналу A x (t) і комплексної огинаючої імпульсної реакції фільтра γ̇(t)

Якщо фільтр не спотворює, тобто Γ(iω) = γe -it 0 ω або ġ(t) = γδ(t-t 0), то, використовуючи фільтруючу властивість б-функції, з (3.17) отримаємо

Запишемо комплексні обгинальні через синфазні та квадратурні компоненти:

? X (t) = A X, C (t) + iA X, S (t);

γ̇(t) = γ C (t) + iγ S (t);

? y (t) = A Y, C (t) + iA Y, S (t), (3.18)

Тоді з (3.17)

У приватній галузі співвідношення (3.19) набуває вигляду:

Отже, смугова фільтрація з передавальною функцією k (iω) вузькосмугового

процесу x(t) еквівалентна низькочастотній фільтрації з передавальною функцією Γ(iω) комплексного низькочастотного процесу x (t) (див. рис. 3.2).

Процеси А Х,З і А Х,S можна отримати з x(t) у пристрої, функціональна схема якого представлена ​​на рис. 3.3,а. Дійсно, помножуючи x(t) на 2cos 0 t отримаємо

[A X, С (t) cos ω 0 t + A X, S (t) sin ω 0 t] 2 cos ω 0 t = A X, C (t) + A X, C (t) cos 2 ω 0 t + A X, S(t) sin 2ω 0 t, (3.21)

а ФНЧ пропустить тільки перший низькочастотний решта двох членів є високочастотними і будуть фільтром затримані. Аналогічно в другій галузі виділиться квадратурна складова A X, S (t).

Тепер розглянемо, як можна реалізувати комплексну низькочастотну фільтрацію (3.19) або (3.20) три допомоги реальних низькочастотних фільтрів (у такого фільтра відгук на речовий сигнал речовий або передатна функція задовольняє умові виноски на стор. 77), оперуючи квадратурними складовими. Це здійснюється згідно з (3.19) або (3.20) двоканальною фільтрацією речових низькочастотних синфазних та квадратурних компонентів (рис. 3.3,6).

Проходження випадкових сигналів через нелінійні ланцюги. Обмежимося розглядом лише безінерційних нелінійних систем з регулярними параметрами, у яких вхід та вихід пов'язані деякою нелінійною залежністю, яка називається характеристикою системи:

y(t) = φ, (3.22)

Співвідношенням (3.22) досить точно може бути охарактеризована робота ряду ланок реальних каналів зв'язку, наприклад входять до складу демодуляторів, обмежувачів, модуляторів тощо. Перетворення x(t)→y(t), як правило, однозначно, що не завжди можна сказати про зворотне перетворення y(t)→x(t) (наприклад, квадратичний ланцюг з характеристикою y = kx 2). В силу незастосовності суперпозиції до нелінійних систем розгляд складного впливу (наприклад, суми детермінованого та випадкового доданків) не можна звести до розгляду проходження кожної зі складових окремо.

При нелінійних перетвореннях виникає трансформація спектра вхідного впливу. Так, якщо на вхід нелінійної системи впливає суміш регулярного сигналу і адитивного шуму X(t) = u(t) + N(t) у вузькій смузі частот F c , що групується близько середньої частоти f 0 то в загальному випадку на виході будуть присутні складові комбінаційних частот трьох видів, що групуються близько частот nf 0 (n = 0, 1,...), продукти биття складових вхідного сигналу між собою (с×с), продукти биття складових вхідного шуму (ш×ш); продукти биття сигналу та шуму (с×ш). Розділити їх у виході системи зазвичай неможливо.

Якщо відомі характеристика y = φ(х) нелінійної системи та двовимірна функція розподілу вхідного впливу w(x 1 , х 2 , t 1 , t 2), основні статистичні характеристики вихідного процесу, в принципі, завжди можна визначити. Так, математичне очікуваннявідгуку

а його кореляційна функція

Зворотним перетворенням Фур'є можна знайти (3.24) і енергетичний спектр.

Використовуючи правила знаходження законів розподілу для функцій від випадкових величин (випадкових процесів), можна, в принципі, знаходити і розподіл вихідного процесу будь-якого порядку, якщо відомий розподіл вхідного процесу. Однак визначення ймовірнісних характеристик відгуку нелінійних систем (ланцюгів) навіть на стаціонарні вхідні впливи виявляється дуже громіздким і складним, незважаючи на те, що для вирішення цього завдання розроблено низку спеціальних прийомів. У багатьох випадках, особливо для вузькосмугових сигналів, ці розрахунки суттєво спрощуються при використанні квазігармонічного подання процесу.

Як приклад розглянемо проходження через квадратичний детектор суми гармонійного сигналу s(t) = U 0 cos ω 0 t і стаціонарного квазібілого вузькосмугового шуму n(t) = X cn(t) × X cos ω 0 t + X sn sin ω 0 t , де X cn (t), X sn (t) - не корельовані квадратурні гауссівські компоненти шуму, у яких m Х сп = m X sn = 0, X cn (τ) = X sn (τ) = В (τ ), а енергетичний спектр рівномірний та обмежений смугою частот F n

Припустимо, що у вході лінійної стаціонарної системи є коливання , що є деяку реалізацію випадкового процесу. Якщо ця реалізація зазначена заздалегідь, то жодної нової задачі не виникає - до сигналу слід відноситься як до детермінованої функції. Знаючи математичну модель системи, наприклад частотний коефіцієнт передачі, можна знайти вихідну реакцію.

Однак специфіка полягає в тому, що повні відомості про вхідний сигнал недоступні - ми маємо лише відомості про усереднені ймовірнісні характеристики випадкового процесу.

Мета - дослідити зв'язок між статистичними характеристиками процесів і, яка може бути знайдена на основі математичної моделі системи.

Введемо обмеження - розглядатимемо лише стаціонарні вхідні випадкові процеси. Математичне очікуванням миттєвих значень реалізацій завжди у часі (), тоді як функція кореляції залежить від величини- абсолютного зсуву між точками на осі часу.

Розглянемо окремо взяту реалізацію вхідного сигналу та представимо її у вигляді інтеграла Фур'є

де – спектральна щільність.

Вихідний сигнал системи буде знайдено, якщо відомий її частотний коефіцієнт передачі

(1)

Припущення стаціонарності процесу накладає умова: середнє значення спектральної щільності.

Виконуючи статистичне усереднення в обох частинах виразу (1), маємо

(2)

Для того, щоб обчислити функцію кореляції, необхідно мати значення вихідного сигналу в момент часу.

(3)

Т.к. функція речова, тому формула (3) не змінитися, якщо в її правій частині перейти до комплексно-сполучених величин

(4)

де; - Спектр потужності стаціонарного випадкового процесу. (Використовується фільтруюча властивість дельта-функції).

(6)

Спектр потужності вихідного випадкового сигналу пов'язаний із аналогічним спектром сигналу на вході співвідношенням

У прикладних завданнях часто доводиться мати справу з односторонніми спектрами і, які визначені лише за позитивних частот,

тому дисперсія вихідного сигналу

(9)

Часто доводиться розглядати вплив на лінійні частотно-виборчі ланцюги випадкових широкосмугових сигналів, утворених, наприклад, хаотичною послідовністю коротких імпульсів. Якщо ефективна ширина спектра вхідного випадкового процесу значно перевищує ширину смуги пропускання системи, то реальний випадковий процесможна замінити еквівалентним йому білим шумом з одностороннім спектром потужності , де деяка точка в межах смуги пропускання ланцюга.

Тоді формула (9) спроститься

В інженерних розрахунках лінійний частотно-виборчий ланцюг, що знаходиться під впливом випадкового широкосмугового сигналу, зручно характеризувати шумовою смугою пропускання . Вона визначається як смуга пропускання ідеального смугового фільтра з речовим коефіцієнтом передачі, що дорівнює максимуму модуля коефіцієнта передачі реального ланцюга. При збудженні ідеальної та реальної систем білим шумом зі спектром потужності дисперсії шумових сигналів на виходах обох ланцюгів повинні збігатися

(11)

Отже

(12)

Наприклад, для інтегруючого RC-ланцюга

;

Отже

При цьому .

Якщо вхідний випадковий процес нормальний (гаусов характер законів розподілу), то випадковий процес на виході матиме цю властивість незалежно від динамічних властивостей лінійної системи.

На підставі формули Дюамеля миттєве значення відгуку

є результат підсумовування попередніх значень вхідного сигналу помножених на зрушену імпульсну характеристику ланцюга.

У гол. 6 розглядалася передача різних сигналів через лінійні ланцюги із постійними параметрами. Зв'язок між вхідним та вихідним сигналами у таких ланцюгах визначався за допомогою передавальної функції (спектральний метод) або за допомогою імпульсної характеристики (метод інтеграла накладання).

Аналогічні співвідношення можна скласти і для лінійних ланцюгів із змінними параметрами. Вочевидь, що у подібних ланцюгах характер залежності між вхідним і вихідним сигналами у процесі передачі змінюється. Інакше кажучи, передавальна функція ланцюга залежить тільки від а й від часу; імпульсна характеристика також залежить від двох змінних: від інтервалу між моментом застосування одиничного імпульсу і моментом спостереження вихідного сигналу t (як і для ланцюга з постійними параметрами) і, крім того, положення інтервалу на осі часу. Тому для ланцюга із змінними параметрами імпульсну характеристику слід записувати у загальній формі

Якщо на вході чотириполюсника з імпульсною характеристикоюдіє довільний сигнал s(t) (рис. 10.2), то, ґрунтуючись на принципі суперпозиції, вихідний сигнал за аналогією з виразом (6.11) можна визначити за допомогою виразу

(10.12)

Постараємося тепер запровадити передатну функцію для ланцюга зі змінними параметрами. Для цього уявімо функцію у вигляді інтеграла Фур'є:

(10.13)

де - спектральна густина сигналу s(t).

Тоді вираз (10.13) переходить у наступне:

Мал. 10.2. Параметричний чотириполюсник

Позначивши внутрішній інтеграл через перепишемо останній вираз так:

(10.14)

З (10.14) випливає, що функцію, що визначається виразом

Розглянемо лінійну інерційну систему з відомою передавальною функцією або імпульсною реакцією. Нехай на вхід такої системи надходить стаціонарний випадковий процес із заданими характеристиками: щільністю ймовірності, кореляційною функцією чи енергетичним спектром. Визначимо характеристики процесу на виході системи:

Найпростіше можна знайти енергетичний спектр процесу на виході системи. Дійсно, окремі реалізації процесу на вході є детермінованими функціями, і до них застосовується апарат Фур'є. Нехай

усічена реалізація тривалості Т випадкового процесу на вході, а

Її спектральна густина. Спектральна щільність реалізації на виході лінійної системи дорівнюватиме

Енергетичний спектр процесу на виході згідно (1.3) визначатиметься виразом

тобто. дорівнюватиме енергетичному спектру процесу на вході, помноженому на квадрат амплітудно-частотної характеристики системи, і не залежатиме від фазочастотної характеристики.

Кореляційна функція процесу на виході лінійної системи може бути визначена як перетворення Фур'є від енергетичного спектра:

Отже, при дії випадкового стаціонарного процесу на Лінійну систему на виході виходить також стаціонарний випадковий процес з енергетичним спектром та кореляційною функцією, що визначаються виразами (2.3) та (2.4). Потужність процесу на виході системи дорівнюватиме

Як перший приклад розглянемо проходження білого шуму зі спектральною щільністю через ідеальний фільтр нижніх частот, для якого

Відповідно (2.3) енергетичний спектр процесу на виході матиме рівномірну в смузі частот спектральну щільність , а кореляційна функціявизначатиметься виразом

Потужність випадкового процесу на виході ідеального фільтра нижніх частот дорівнюватиме

Як другий приклад розглянемо проходження білого шуму через ідеальний смуговий фільтр, амплітудно-частотна характеристика якого для позитивних частот (рис. 1.6) визначається виразом:

Кореляційну функцію визначимо за допомогою косинус-перетворення Фур'є:

Графік кореляційної функції показано на рис. 1.7

Розглянуті приклади показові з тієї точки зору, що вони підтверджують встановлений § 3.3 зв'язок між кореляційними функціями низькочастотного і вузькосмугового високочастотного процесів з однаковою формою енергетичного спектра. Потужність процесу на виході ідеального смугового фільтра дорівнюватиме

Закон розподілу ймовірностей випадкового процесу на виході лінійної інерційної системи відрізняється від закону розподілу на вході, і визначення його є дуже складним завданням, за винятком двох окремих випадків, на яких тут зупинимося.

Якщо випадковий процес впливає на вузькосмугову лінійну систему, смуга пропускання якої набагато менша за його ширину спектра, то на виході системи має місце явище нормалізаціїзакону розподілу. Це полягає у тому, що закон розподілу на виході вузькосмугової системи прагне нормального незалежно від того, який розподіл має широкосмуговий випадковий процес на вході. Фізично це можна пояснити так.

Процес на виході інерційної системи в певний момент часу є суперпозицією окремих відгуків системи на хаотичні впливи вхідного процесу в різні моменти часу. Чим вже смуга пропускання системи та ширше спектр вхідного процесу, тим більшим числом елементарних відгуків утворюється вихідний процес. Відповідно до центральної граничної теореми теорії ймовірностей закон розподілу процесу, що становить суму великої кількості елементарних відгуків, прагнутиме нормального.

З наведених міркувань випливає другий окремий, але дуже важливий випадок. Якщо процес на вході лінійної системи має нормальний (гаусовий) розподіл, то він залишається нормальним і на виході системи. У цьому випадку змінюються лише кореляційна функція та енергетичний спектр процесу.

Мета роботи:

вивчення процесів проходження гармонійних сигналів та сигналів прямокутної форми через лінійні ланцюги, такі як диференціююча та інтегруюча ланцюга, послідовний та паралельний коливальні контури, трансформатор;

вивчення перехідних процесів у лінійних ланцюгах;

отримання досвіду роботи з вимірювальними приладами;

навчитися виконувати розрахунки RCL-ланцюгів, використовуючи символічний метод;

обробка та аналіз отриманих експериментальних даних.

Завдання:

виміряти амплітудно-частотні характеристики семи лінійних ланцюгів;

виміряти фазочастотні характеристики вище перелічених лінійних ланцюгів;

отримати та дослідити перехідні характеристики семи лінійних ланцюгів;

1 Лінійні ланцюги

У радіоелектроніці електричні ланцюги є сукупність з'єднаних схемних елементів, таких як резистори, конденсатори, котушки індуктивності, діоди, транзистори, операційні підсилювачі, джерела струму, джерела напруги та інші.

З'єднуються схемні елементи за допомогою дротів чи друкованих шин. Електричні ланцюги, складені з ідеалізованих елементів, класифікуються за низкою ознак:

За енергетичними особливостями:

активні (що містять джерела живлення);

пасивні ланцюги (не містять джерел струму та (або) напруги);

За топологічними особливостями:

планарні (плоскі);

непланарні;

розгалужені;

нерозгалужені;

прості (одно-, двоконтурні);

складні (багатоконтурні, багатовузлові);

За кількістю зовнішніх висновків:

двополюсники;

чотириполюсники;

багатополюсники;

Від частоти вимірювального поля:

ланцюга із зосередженими параметрами (у ланцюгах із зосередженими параметрами опором має тільки резистор, ємністю лише конденсатор, індуктивністю лише котушка індуктивності);

ланцюги з розподіленими параметрами (у ланцюгах з розподіленими параметрами навіть сполучні проводи мають ємність, провідність та індуктивність, які розподілені вздовж їх довжини; найбільш характерний такий підхід до ланцюгів в області надвисоких частот);

Від типу елементів:

лінійні ланцюги, якщо вони складаються з лінійних елементів, що ідеалізуються;

нелінійні ланцюги, якщо до складу ланцюга входить хоча б один нелінійний елемент;

У цьому роботі розглянуті пасивні ланцюга, які з трьох схемних елементів . Елементи
- Називають ідеалізованими схемними елементами. Струм, що протікає через такі елементи, є лінійною функцією від прикладеної напруги:

для резистора
:
;

для конденсатора :
;

для котушки індуктивності :

Тому ланцюги, що складаються з
елементів, називаються лінійними.

Строго кажучи, практично не все
елементи лінійні, але у багатьох випадках відхилення від лінійності невеликий і дійсний елемент можна сприймати як ідеалізований лінійний. Активний опір можна розглядати як лінійний елемент тільки в тому випадку, якщо поточний через нього струм настільки малий, що тепло, що виділяється, не призводить до помітної зміни величини його опору. Аналогічні міркування можна висловити щодо котушки індуктивності та конденсатора. Якщо параметри
ланцюги залишаються незмінними протягом часу, коли протікає електричний процес, що вивчається, то говорять про ланцюга з постійними параметрами.

Оскільки процеси в лінійних ланцюгах описуються лінійними рівняннями, до них застосовується принцип суперпозиції. Це означає, що результат дії в лінійному ланцюзі сигналу складної форми можна визначити як суму результатів дій сигналів більш простих, куди розкладається вихідний, складний сигнал.

Для аналізу лінійних ланцюгів використовується два методи: метод частотних характеристик та метод перехідних характеристик.