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Es wird ein Beweis der Formel für die Ableitung einer komplexen Funktion gegeben. Fälle, in denen eine komplexe Funktion von einer oder zwei Variablen abhängt, werden im Detail betrachtet. Es erfolgt eine Verallgemeinerung auf den Fall einer beliebigen Anzahl von Variablen. Inhalt Siehe auch: Beispiele für die Verwendung der Formel für die Ableitung einer komplexen Funktion Grundformeln Hier stellen wir die Ableitung der folgenden Formeln für die Ableitung einer komplexen Funktion bereit.
Wenn, dann
.
Wenn, dann
.
Wenn, dann
.
Ableitung einer komplexen Funktion von einer Variablen Eine Funktion der Variablen x sei als komplexe Funktion in der folgenden Form dargestellt:
,
wo es einige Funktionen gibt. Die Funktion ist für einen bestimmten Wert der Variablen x differenzierbar.
Die Funktion ist am Wert der Variablen differenzierbar.
(1)
.
Dann ist die komplexe (zusammengesetzte) Funktion am Punkt x differenzierbar und ihre Ableitung wird durch die Formel bestimmt:
;
.
Formel (1) kann auch wie folgt geschrieben werden: Nachweisen
;
.
Lassen Sie uns die folgende Notation einführen. Hier gibt es eine Funktion der Variablen und, es gibt eine Funktion der Variablen und.
;
.
Wir werden jedoch die Argumente dieser Funktionen weglassen, um die Berechnungen nicht zu überladen.
.
Da die Funktionen und an den Punkten x bzw. differenzierbar sind, gibt es an diesen Punkten Ableitungen dieser Funktionen, die folgende Grenzen haben:
.
Betrachten Sie die folgende Funktion:
.
Da die Funktion an diesem Punkt eine differenzierbare Funktion ist, ist sie an diesem Punkt stetig. Deshalb
.
Betrachten Sie die folgende Funktion:
.
Jetzt finden wir die Ableitung.
.
Die Formel ist bewiesen. Folge Wenn eine Funktion einer Variablen x als komplexe Funktion einer komplexen Funktion dargestellt werden kann
,
dann wird seine Ableitung durch die Formel bestimmt
.
Hier und da gibt es einige differenzierbare Funktionen. Um diese Formel zu beweisen, berechnen wir nacheinander die Ableitung unter Verwendung der Regel zum Differenzieren einer komplexen Funktion.
Betrachten Sie die komplexe Funktion
.
Seine Ableitung
.
Betrachten Sie die ursprüngliche Funktion
.
Seine Ableitung
.
Ableitung einer komplexen Funktion aus zwei Variablen Lassen Sie nun die komplexe Funktion von mehreren Variablen abhängen. Schauen wir uns zunächst an Fall einer komplexen Funktion zweier Variablen. Eine von der Variablen x abhängige Funktion sei als komplexe Funktion zweier Variablen in der folgenden Form dargestellt:
,
Wo
und es gibt differenzierbare Funktionen für einen Wert der Variablen x;
- eine Funktion zweier Variablen, differenzierbar im Punkt , .
(2)
.
Formel (1) kann auch wie folgt geschrieben werden: Dann ist die komplexe Funktion in einer bestimmten Umgebung des Punktes definiert und hat eine Ableitung, die durch die Formel bestimmt wird:
;
.
Da die Funktionen und an dem Punkt differenzierbar sind, werden sie in einer bestimmten Umgebung dieses Punktes definiert, sind an dem Punkt stetig und ihre Ableitungen existieren an dem Punkt, was den folgenden Grenzen entspricht:
;
.
Hier
;
.
Aufgrund der Kontinuität dieser Funktionen an einem Punkt haben wir:
(3)
.
Da die Funktionen und an dem Punkt differenzierbar sind, werden sie in einer bestimmten Umgebung dieses Punktes definiert, sind an dem Punkt stetig und ihre Ableitungen existieren an dem Punkt, was den folgenden Grenzen entspricht:
Da die Funktion an diesem Punkt differenzierbar ist, ist sie in einer bestimmten Umgebung dieses Punktes definiert, an diesem Punkt stetig und ihr Inkrement kann in der folgenden Form geschrieben werden:
;
- Inkrementieren einer Funktion, wenn ihre Argumente um Werte erhöht werden und ;
- partielle Ableitungen der Funktion nach den Variablen und .
;
.
Für feste Werte von und sind und Funktionen der Variablen und.
;
.
Sie neigen dazu, bei und auf Null zu gehen:
.
:
.
Seit und , dann
.
Die Formel ist bewiesen. Funktionsinkrement: Ersetzen wir (3): Ableitung einer komplexen Funktion aus mehreren Variablen Die obige Schlussfolgerung lässt sich leicht auf den Fall verallgemeinern, dass die Anzahl der Variablen einer komplexen Funktion mehr als zwei beträgt. Wenn zum Beispiel f ist
,
Wo
Funktion von drei Variablen
, Das
, und es gibt differenzierbare Funktionen für einen Wert der Variablen x;
(4)
.
- differenzierbare Funktion von drei Variablen am Punkt , , .
;
;
,
Aus der Definition der Differenzierbarkeit der Funktion ergibt sich dann:
;
;
.
Denn aufgrund der Kontinuität
.
Das Wenn wir (4) durch dividieren und zum Grenzwert gehen, erhalten wir:.
Und zum Schluss lassen Sie uns darüber nachdenken
,
Wo
der allgemeinste Fall
- differenzierbare Funktion von n Variablen an einem Punkt
,
,
... , .
Betrachten Sie die folgende Funktion:
.
Siehe auch: Beispiel. Finden Sie, ob, wo.
Lösung. Nach Formel (1) gilt:
Beispiel. Finden Sie die partielle Ableitung und die Gesamtableitung, wenn  .
Lösung. .
Basierend auf Formel (2) erhalten wir  .
2°.
Der Fall mehrerer unabhängiger Variablen.
Lassen z = f(x;y) - Funktion zweier Variablen X Und ja, Jedes davon ist eine Funktion
unabhängige Variable t: x = x(t), y = y(t). In diesem Fall die Funktion z=f(x(t);y(t)) Ist
komplexe Funktion einer unabhängigen Variablen T; Variablen x und y sind Zwischenvariablen.
Satz. Wenn z == F(X; y) - an einem Punkt differenzierbar M(x;y) D Funktion
Und x = x(t) Und bei =y(t) - differenzierbare Funktionen der unabhängigen Variablen T,
dann die Ableitung einer komplexen Funktion z(t) == F(x(t);y(t)) nach der Formel berechnet
|
|  | (3)
|
Sonderfall: z = f(x; y), wobei y = y(x), diese. z = f(x;y(x)) - komplexe Funktion von einem
unabhängige Variable X. Dieser Fall reduziert sich auf den vorherigen Fall und die Rolle der Variablen
T spielt X. Nach Formel (3) gilt:
 .
Die letzte Formel heißt Gesamtableitungsformeln.
Allgemeiner Fall: z = f(x;y), Wo x = x(u;v), y=y(u;v). Dann ist z = f(x(u;v);y(u;v)) - Komplex
Funktion unabhängiger Variablen Und Und v. Seine partiellen Ableitungen können gefunden werden
unter Verwendung der Formel (3) wie folgt. Nachdem ich es behoben habe v, Ersetzen Sie es,
entsprechende partielle Ableitungen
Somit ist die Ableitung der komplexen Funktion (z) nach jeder unabhängigen Variablen (Und Und v)
ist gleich der Summe der Produkte partieller Ableitungen dieser Funktion (z) in Bezug auf ihr Zwischenprodukt
Variablen (x und y) zu ihren Ableitungen in Bezug auf die entsprechende unabhängige Variable (u und v).
In allen betrachteten Fällen ist die Formel gültig
(Invarianzeigenschaft eines totalen Differentials).
Beispiel. Finden Sie und wenn z= F(x,y), wobei x=uv, . |
Betrachten Sie eine Funktion aus zwei Variablen:
Da die Variablen $x$ und $y$ unabhängig sind, können wir für eine solche Funktion das Konzept der partiellen Ableitung einführen:
Die partielle Ableitung der Funktion $f$ am Punkt $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ in Bezug auf die Variable $x$ ist die Grenze
\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Delta x;((y)_(0)) \right))(\Delta x)\]
Ebenso können Sie die partielle Ableitung nach der Variablen $y$ definieren:
\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Delta y \right))(\Delta y)\]
Mit anderen Worten: Um die partielle Ableitung einer Funktion mehrerer Variablen zu finden, müssen Sie alle anderen Variablen außer der gewünschten Variablen festlegen und dann die gewöhnliche Ableitung nach dieser gewünschten Variablen ermitteln.
Dies führt zur Haupttechnik zur Berechnung solcher Ableitungen: Gehen Sie einfach davon aus, dass alle Variablen außer dieser eine Konstante sind, und differenzieren Sie dann die Funktion so, wie Sie eine „normale“ Funktion differenzieren würden – mit einer Variablen. Zum Beispiel:
$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2 )) \right))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ prime ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(align)$
Offensichtlich liefern partielle Ableitungen nach verschiedenen Variablen unterschiedliche Antworten – das ist normal. Es ist viel wichtiger zu verstehen, warum wir beispielsweise im ersten Fall ruhig 10y$ unter dem Ableitungszeichen entfernt haben und im zweiten Fall den ersten Term vollständig auf Null gesetzt haben. All dies geschieht aufgrund der Tatsache, dass alle Buchstaben mit Ausnahme der Variablen, anhand derer differenziert wird, als Konstanten betrachtet werden: Sie können herausgenommen, „verbrannt“ usw. werden.
Was ist „partielle Ableitung“?
Heute werden wir über Funktionen mehrerer Variablen und partielle Ableitungen davon sprechen. Was ist zunächst eine Funktion mehrerer Variablen? Bisher sind wir es gewohnt, eine Funktion als $y\left(x \right)$ oder $t\left(x \right)$ oder eine beliebige Variable und eine einzelne Funktion davon zu betrachten. Jetzt haben wir eine Funktion, aber mehrere Variablen. Wenn sich $y$ und $x$ ändern, ändert sich auch der Wert der Funktion. Wenn sich beispielsweise $x$ verdoppelt, ändert sich der Wert der Funktion, und wenn sich $x$ ändert, $y$ sich jedoch nicht ändert, ändert sich der Wert der Funktion auf die gleiche Weise.
Natürlich kann eine Funktion mehrerer Variablen ebenso wie eine Funktion einer Variablen differenziert werden. Da es jedoch mehrere Variablen gibt, ist eine Differenzierung nach verschiedenen Variablen möglich. In diesem Fall ergeben sich spezifische Regeln, die bei der Differenzierung einer Variablen nicht existierten.
Wenn wir die Ableitung einer Funktion von einer beliebigen Variablen berechnen, müssen wir zunächst angeben, für welche Variable wir die Ableitung berechnen – dies wird als partielle Ableitung bezeichnet. Zum Beispiel haben wir eine Funktion aus zwei Variablen und können sie sowohl in $x$ als auch in $y$ berechnen – zwei partielle Ableitungen jeder Variablen.
Zweitens gelten alle anderen in dieser Funktion enthaltenen Variablen als Konstanten, sobald wir eine der Variablen festgelegt haben und beginnen, die partielle Ableitung nach ihr zu berechnen. Wenn wir beispielsweise in $z\left(xy \right)$ die partielle Ableitung nach $x$ betrachten, dann betrachten wir es überall dort, wo wir auf $y$ stoßen, als Konstante und behandeln es als solche. Insbesondere können wir bei der Berechnung der Ableitung eines Produkts $y$ aus Klammern herausnehmen (wir haben eine Konstante) und bei der Berechnung der Ableitung einer Summe, wenn wir irgendwo eine Ableitung eines Ausdrucks erhalten, der $y$ und enthält nicht $x$ enthält, dann ist die Ableitung dieses Ausdrucks gleich „Null“ als Ableitung einer Konstante.
Auf den ersten Blick scheint es, als würde ich über etwas Kompliziertes sprechen, und viele Schüler sind zunächst verwirrt. Partielle Ableitungen haben jedoch nichts Übernatürliches, und das werden wir nun am Beispiel konkreter Probleme sehen.
Probleme mit Radikalen und Polynomen
Aufgabe Nr. 1
Um keine Zeit zu verschwenden, beginnen wir ganz am Anfang mit seriösen Beispielen.
Lassen Sie mich zunächst an diese Formel erinnern:
Dies ist der Standard-Tabellenwert, den wir aus dem Standardkurs kennen.
In diesem Fall wird die Ableitung $z$ wie folgt berechnet:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)\]
Machen wir es noch einmal, da die Wurzel nicht $x$ ist, sondern ein anderer Ausdruck, in diesem Fall $\frac(y)(x)$, dann verwenden wir zuerst den Standardtabellenwert und dann, da die Wurzel ist nicht $x $, sondern ein anderer Ausdruck, müssen wir unsere Ableitung mit einem anderen dieses Ausdrucks in Bezug auf dieselbe Variable multiplizieren. Berechnen wir zunächst Folgendes:
\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((y)")_(x))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot x-y\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]
Wir kehren zu unserem Ausdruck zurück und schreiben:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)\]
Im Grunde ist das alles. Es ist jedoch falsch, es in dieser Form zu belassen: Eine solche Konstruktion ist für weitere Berechnungen unpraktisch, also wandeln wir sie ein wenig um:
\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]
\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]
Die Antwort ist gefunden. Kommen wir nun zu $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)\]
Schreiben wir es separat auf:
\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((y)"))_(y))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot x-y\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]
Nun schreiben wir auf:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]
\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]
Alles ist erledigt.
Problem Nr. 2
Dieses Beispiel ist sowohl einfacher als auch komplexer als das vorherige. Es ist komplizierter, weil es mehr Aktionen gibt, aber einfacher, weil es keine Wurzel gibt und außerdem die Funktion symmetrisch in Bezug auf $x$ und $y$ ist, d. h. Wenn wir $x$ und $y$ vertauschen, ändert sich die Formel nicht. Diese Bemerkung wird unsere Berechnung der partiellen Ableitung weiter vereinfachen, d. h. Es reicht aus, einen davon zu zählen und im zweiten einfach $x$ und $y$ zu vertauschen.
Kommen wir zur Sache:
\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy)(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \right ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \right)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ) )_(x))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]
Zählen wir:
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]
Allerdings verstehen viele Schüler diese Notation nicht, also schreiben wir es so:
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]
Somit sind wir einmal mehr von der Universalität des partiellen Ableitungsalgorithmus überzeugt: Egal wie wir sie berechnen, wenn alle Regeln richtig angewendet werden, wird die Antwort dieselbe sein.
Schauen wir uns nun eine weitere partielle Ableitung unserer großen Formel an:
\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=((\left((( x)^(2)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \right))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]
Setzen wir die resultierenden Ausdrücke in unsere Formel ein und erhalten:
\[\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ rechts)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x))(((\left (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\]
\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right)-xy\cdot 2x)(((\left((( x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\]
\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \right))(((\ left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \right))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2 )))\]
Basierend auf gezählten $x$. Und um $y$ aus demselben Ausdruck zu berechnen, führen wir nicht dieselbe Abfolge von Aktionen aus, sondern nutzen die Symmetrie unseres ursprünglichen Ausdrucks – wir ersetzen einfach alle $y$ in unserem ursprünglichen Ausdruck durch $x$ und umgekehrt:
\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \right))((( \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]
Aufgrund der Symmetrie haben wir diesen Ausdruck viel schneller berechnet.
Nuancen der Lösung
Für partielle Ableitungen funktionieren alle Standardformeln, die wir für gewöhnliche verwenden, nämlich die Ableitung des Quotienten. Gleichzeitig ergeben sich jedoch Besonderheiten: Wenn wir die partielle Ableitung von $x$ betrachten, betrachten wir sie, wenn wir sie aus $x$ erhalten, als Konstante, und daher ist ihre Ableitung gleich „Null“. .
Wie bei gewöhnlichen Derivaten kann der Teil (derselbe) durch mehrere berechnet werden auf verschiedene Weise. Dieselbe Konstruktion, die wir gerade berechnet haben, kann beispielsweise wie folgt umgeschrieben werden:
\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]
Gleichzeitig können Sie andererseits die Formel aus der Ableitungssumme verwenden. Wie wir wissen, ist es gleich der Summe der Ableitungen. Schreiben wir zum Beispiel Folgendes:
\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]
Wenn wir das alles wissen, versuchen wir nun, mit ernsteren Ausdrücken zu arbeiten, da reelle partielle Ableitungen nicht nur auf Polynome und Wurzeln beschränkt sind: Es gibt auch Trigonometrie, Logarithmen und die Exponentialfunktion. Jetzt machen wir das.
Probleme mit trigonometrischen Funktionen und Logarithmen
Aufgabe Nr. 1
Schreiben wir die folgenden Standardformeln:
\[((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]
\[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]
Mit diesem Wissen bewaffnet, versuchen wir Folgendes zu lösen:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]
Schreiben wir eine Variable separat auf:
\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y)\right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Kehren wir zu unserem Design zurück:
\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Das war's, wir haben es für $x$ gefunden, jetzt machen wir die Berechnungen für $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]
Berechnen wir noch einmal einen Ausdruck:
\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \right)\]
Wir kehren zum ursprünglichen Ausdruck zurück und setzen die Lösung fort:
\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Alles ist erledigt.
Problem Nr. 2
Schreiben wir die Formel auf, die wir brauchen:
\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]
Jetzt zählen wir mit $x$:
\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=\]
\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\]
Gefunden für $x$. Wir zählen nach $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=\]
\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \right))\ ]
Das Problem ist gelöst.
Nuancen der Lösung
Unabhängig davon, welche Funktion wir partiell ableiten, bleiben die Regeln dieselben, unabhängig davon, ob wir mit Trigonometrie, mit Wurzeln oder mit Logarithmen arbeiten.
Die klassischen Regeln für die Arbeit mit Standardableitungen bleiben unverändert, nämlich die Ableitung einer Summe und einer Differenz, eines Quotienten und einer komplexen Funktion.
Die letzte Formel findet man am häufigsten bei der Lösung von Problemen mit partiellen Ableitungen. Wir treffen sie fast überall. Es gab noch nie eine einzige Aufgabe, bei der wir nicht darauf gestoßen sind. Aber egal welche Formel wir verwenden, es kommt noch eine weitere Anforderung hinzu, nämlich die Besonderheit der Arbeit mit partiellen Ableitungen. Sobald wir eine Variable festlegen, sind alle anderen Konstanten. Wenn wir insbesondere die partielle Ableitung des Ausdrucks $\cos \frac(x)(y)$ nach $y$ betrachten, dann ist $y$ die Variable und $x$ bleibt überall eine Konstante. Das Gleiche funktioniert auch umgekehrt. Es kann aus dem Vorzeichen der Ableitung entnommen werden, und die Ableitung der Konstante selbst ist gleich „Null“.
All dies führt dazu, dass partielle Ableitungen desselben Ausdrucks, jedoch in Bezug auf unterschiedliche Variablen, völlig unterschiedlich aussehen können. Schauen wir uns zum Beispiel die folgenden Ausdrücke an:
\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]
\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]
Probleme mit Exponentialfunktionen und Logarithmen
Aufgabe Nr. 1
Schreiben wir zunächst die folgende Formel:
\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]
Wenn wir diese Tatsache sowie die Ableitung einer komplexen Funktion kennen, versuchen wir zu berechnen. Ich werde es jetzt auf zwei verschiedene Arten lösen. Das erste und offensichtlichste ist die Ableitung des Produkts:
\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]
Lassen Sie uns den folgenden Ausdruck separat lösen:
\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot y-x .((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot y-x\cdot 0)(((y)^(2))) =\frac(y)(((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]
Wir kehren zu unserem ursprünglichen Design zurück und fahren mit der Lösung fort:
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left(1 +\frac(1)(y)\right)\]
Alles, $x$ wird berechnet.
Allerdings werden wir nun, wie versprochen, versuchen, dieselbe partielle Ableitung auf andere Weise zu berechnen. Beachten Sie dazu Folgendes:
\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]
Schreiben wir es so:
\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \right)\]
Als Ergebnis erhielten wir genau die gleiche Antwort, allerdings fiel der Rechenaufwand geringer aus. Dazu genügte der Hinweis, dass bei der Durchführung des Produkts Indikatoren hinzugefügt werden können.
Jetzt zählen wir mit $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(y)=\]
\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]
Lassen Sie uns einen Ausdruck separat lösen:
\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot y-x \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)(((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]
Fahren wir mit der Lösung unserer ursprünglichen Konstruktion fort:
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]
Natürlich könnte dieselbe Ableitung auch auf die zweite Art berechnet werden, und die Antwort wäre dieselbe.
Problem Nr. 2
Zählen wir mit $x$:
\[(((z)")_(x))=((\left(x \right))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \right )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\]
Berechnen wir einen Ausdruck separat:
\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)((( x)^(2))+y)\]
Fahren wir mit der Lösung der ursprünglichen Konstruktion fort: $$
Das ist die Antwort.
Es bleibt noch, analog mit $y$ zu finden:
\[(((z)")_(y))=((\left(x \right))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \right)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\]
Wie immer berechnen wir einen Ausdruck separat:
\[((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \right) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]
Wir lösen weiterhin das grundlegende Design:
Alles ist berechnet. Wie Sie sehen, fallen die Antworten völlig unterschiedlich aus, je nachdem, welche Variable zur Differenzierung herangezogen wird.
Nuancen der Lösung
Hier ist ein eindrucksvolles Beispiel dafür, wie die Ableitung derselben Funktion auf zwei verschiedene Arten berechnet werden kann. Schauen Sie hier:
\[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right)=( (\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\ left(1+\frac(1)(y) \right)\]
\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \right)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \right)\ ]
Bei der Auswahl unterschiedlicher Pfade kann die Anzahl der Berechnungen unterschiedlich sein, aber die Antwort wird, wenn alles richtig gemacht wird, dieselbe sein. Dies gilt sowohl für klassische als auch für partielle Ableitungen. Gleichzeitig erinnere ich Sie noch einmal daran: Je nachdem, welche Variable die Ableitung nimmt, d.h. Differenzierung kann die Antwort völlig anders ausfallen. Sehen:
\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 2x\]
\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 1\]
Um all dieses Material zu konsolidieren, versuchen wir abschließend, zwei weitere Beispiele zu berechnen.
Probleme mit trigonometrischen Funktionen und Funktionen mit drei Variablen
Aufgabe Nr. 1
Schreiben wir die folgenden Formeln auf:
\[((\left(((a)^(x)) \right))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]
\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))=((e)^(x))\]
Lösen wir nun unseren Ausdruck:
\[(((z)")_(x))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(x)=((3 )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]
Berechnen wir separat die folgende Konstruktion:
\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]
Wir lösen weiterhin den ursprünglichen Ausdruck:
\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]
Dies ist die endgültige Antwort der privaten Variablen auf $x$. Jetzt zählen wir mit $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(y)=((3 )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]
Lassen Sie uns einen Ausdruck separat lösen:
\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]
Lösen wir unsere Konstruktion bis zum Ende:
\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]
Problem Nr. 2
Auf den ersten Blick mag dieses Beispiel recht kompliziert erscheinen, da es drei Variablen gibt. Tatsächlich ist dies eine der einfachsten Aufgaben im heutigen Video-Tutorial.
Suchen nach $x$:
\[(((t)")_(x))=((\left(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \right))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e) ^(z)) \right))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y )) \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]
Kommen wir nun zu $y$:
\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \right))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot ((e)^(z)) \right))^(\prime ))_(y)=\]
\[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\left (y \right))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]
Wir haben die Antwort gefunden.
Jetzt müssen Sie nur noch nach $z$ suchen:
\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e )^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \right))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]
Wir haben die dritte Ableitung berechnet, die die Lösung des zweiten Problems vervollständigt.
Nuancen der Lösung
Wie Sie sehen, gibt es in diesen beiden Beispielen nichts Kompliziertes. Das Einzige, wovon wir überzeugt sind, ist, dass die Ableitung einer komplexen Funktion häufig verwendet wird und wir je nachdem, welche partielle Ableitung wir berechnen, unterschiedliche Antworten erhalten.
In der letzten Aufgabe wurden wir gebeten, uns mit einer Funktion von drei Variablen gleichzeitig zu befassen. Daran ist nichts auszusetzen, aber am Ende waren wir überzeugt, dass sie sich alle deutlich voneinander unterscheiden.
Wichtige Punkte
Die letzten Erkenntnisse aus dem heutigen Video-Tutorial lauten wie folgt:
- Partielle Ableitungen werden auf die gleiche Weise wie gewöhnliche Ableitungen betrachtet, aber um die partielle Ableitung nach einer Variablen zu berechnen, müssen alle anderen Variablen einbezogen werden diese Funktion, wir nehmen sie als Konstanten an.
- Bei der Arbeit mit partiellen Ableitungen verwenden wir die gleichen Standardformeln wie bei gewöhnlichen Ableitungen: Summe, Differenz, Ableitung von Produkt und Quotient und natürlich Ableitung einer komplexen Funktion.
Natürlich reicht es nicht aus, sich diese Videolektion allein anzuschauen, um dieses Thema vollständig zu verstehen. Deshalb gibt es auf meiner Website derzeit eine Reihe von Aufgaben zu diesem Video, die speziell dem heutigen Thema gewidmet sind – gehen Sie rein, laden Sie diese Aufgaben herunter, lösen Sie sie und überprüfen Sie die Antwort . Und danach haben Sie weder in Prüfungen noch im selbstständigen Arbeiten Probleme mit partiellen Ableitungen. Natürlich ist dies nicht die letzte Lektion in höherer Mathematik, also besuchen Sie unsere Website, fügen Sie VKontakte hinzu, abonnieren Sie YouTube, liken Sie und bleiben Sie bei uns!
Partielle Ableitungen werden bei Problemen verwendet, bei denen es um Funktionen mehrerer Variablen geht. Die Regeln zum Finden sind genau die gleichen wie für Funktionen einer Variablen, mit dem einzigen Unterschied, dass eine der Variablen zum Zeitpunkt der Differenzierung als Konstante (konstante Zahl) betrachtet werden muss.
Formel
Partielle Ableitungen für eine Funktion zweier Variablen $ z(x,y) $ werden in der folgenden Form $ z"_x, z"_y $ geschrieben und mithilfe der Formeln ermittelt:
Partielle Ableitungen erster Ordnung
$$ z"_x = \frac(\partial z)(\partial x) $$
$$ z"_y = \frac(\partial z)(\partial y) $$
Partielle Ableitungen zweiter Ordnung
$$ z""_(xx) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial x) $$
$$ z""_(yy) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial y) $$
Gemischtes Derivat
$$ z""_(xy) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y) $$
$$ z""_(yx) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial x) $$
Partielle Ableitung einer komplexen Funktion
a) Sei $ z (t) = f(x(t), y(t)) $, dann wird die Ableitung einer komplexen Funktion durch die Formel bestimmt:
$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\partial z)(\partial y) \cdot \frac (dy)(dt)$$
b) Sei $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, dann werden die partiellen Ableitungen der Funktion durch die Formel ermittelt:
$$ \frac(\partial z)(\partial u) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial u) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial u) $$
$$ \frac(\partial z)(\partial v) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial v) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial v) $$
Partielle Ableitungen einer impliziten Funktion
a) Sei $ F(x,y(x)) = 0 $, dann $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$
b) Sei $ F(x,y,z)=0 $, dann $$ z"_x = - \frac(F"_x)(F"_z); z"_y = - \frac(F"_y)( F"_z) $$
Beispiele für Lösungen
| Beispiel 1 |
| Finden Sie partielle Ableitungen erster Ordnung $ z (x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10 $ |
| Lösung |
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Um die partielle Ableitung nach $ x $ zu finden, betrachten wir $ y $ als einen konstanten Wert (Zahl):
$$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$
Um die partielle Ableitung einer Funktion nach $y$ zu finden, definieren wir $y$ durch eine Konstante:
$$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$
Wenn Sie Ihr Problem nicht lösen können, dann senden Sie es an uns. Wir bieten eine detaillierte Lösung. Sie können den Fortschritt der Berechnung einsehen und Informationen erhalten. Dies wird Ihnen helfen, Ihre Note rechtzeitig von Ihrem Lehrer zu erhalten!
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| Antwort |
| $$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$ |
| Beispiel 2 |
| Finden Sie die partiellen Ableitungen der Funktion zweiter Ordnung $ z = e^(xy) $ |
| Lösung |
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Zuerst müssen Sie die Ableitungen erster Ordnung finden, und wenn Sie sie kennen, können Sie dann die Ableitungen zweiter Ordnung finden.
Sei $y$ eine Konstante:
$$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = ye^(xy) $$
Setzen wir nun $ x $ auf einen konstanten Wert:
$$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$
Wenn wir die ersten Ableitungen kennen, finden wir auf ähnliche Weise die zweite.
Setze $y$ auf eine Konstante:
$$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ye^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + ye^(xy)\cdot (xy)"_x = y^2e^(xy) $$
Wir setzen $ x $ auf eine Konstante:
$$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy) $$
Jetzt muss nur noch die gemischte Ableitung gefunden werden. Sie können $ z"_x $ durch $ y $ differenzieren, und Sie können $ z"_y $ durch $ x $ differenzieren, da nach dem Satz $ z""_(xy) = z""_(yx) $ ist
$$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ye^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = ye^(xy)\cdot (xy)"_y = yxe^(xy) $$
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| Antwort |
| $$ z"_x = ye^(xy); z"_y = xe^(xy); z""_(xy) = yxe^(xy) $$ |
| Beispiel 4 |
| Sei $ 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ die implizite Funktion $ F(x,y,z) = 0 $. Finden Sie partielle Ableitungen erster Ordnung. |
| Lösung |
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Wir schreiben die Funktion im Format: $ F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ und finden die Ableitungen:
$$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$
$$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$
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| Antwort |
| $$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$ |
1° 1°. Der Fall einer unabhängigen Variablen. Wenn z=f(x,y) eine differenzierbare Funktion der Argumente x und y ist, die wiederum differenzierbare Funktionen der unabhängigen Variablen sind T: , dann die Ableitung der komplexen Funktion  kann mit der Formel berechnet werden
Beispiel. Finden Sie, ob, wo.
Lösung. Nach Formel (1) gilt:
Beispiel. Finden Sie die partielle Ableitung und die Gesamtableitung, wenn  .
Lösung. .
Basierend auf Formel (2) erhalten wir  .
2°.
Der Fall mehrerer unabhängiger Variablen.
Lassen z =F (X ;y) - Funktion zweier Variablen X Und ja, Jedes davon ist eine Funktion der unabhängigen Variablen t : x =X(t), y =y (T). In diesem Fall die Funktion z =F (X(T);y (T )) ist eine komplexe Funktion einer unabhängigen Variablen T; Variablen x und y sind Zwischenvariablen.
Satz. Wenn z == F(X ; y) - an einem Punkt differenzierbar M(x;y)D Funktion und x =X(T) Und bei =y (T) - differenzierbare Funktionen der unabhängigen Variablen T, dann die Ableitung einer komplexen Funktion z (T) == F(X(T);y (T )) nach der Formel berechnet
Sonderfall:z = F (X ; y), wobei y = y(x), diese. z = F (X ;y (X )) - komplexe Funktion einer unabhängigen Variablen X. Dieser Fall reduziert sich auf den vorherigen Fall und die Rolle der Variablen T spielt X. Nach Formel (3) gilt:
 .
Die letzte Formel heißt Gesamtableitungsformeln.
Allgemeiner Fall:z = F (X ;y ), Wo x =X(du;v),y=y (du;v). Dann ist z = F (X(du;v);y (du;v)) - komplexe Funktion unabhängiger Variablen Und Und v. Seine partiellen Ableitungen können mithilfe der Formel (3) wie folgt ermittelt werden. Nachdem ich es behoben habe v, wir ersetzen darin die entsprechenden partiellen Ableitungen
Somit ist die Ableitung der komplexen Funktion (z) nach jeder unabhängigen Variablen (Und Und v) ist gleich der Summe der Produkte partieller Ableitungen dieser Funktion (z) in Bezug auf ihre Zwischenvariablen (x und y) zu ihren Ableitungen in Bezug auf die entsprechende unabhängige Variable (u und v).
In allen betrachteten Fällen ist die Formel gültig
(Invarianzeigenschaft eines totalen Differentials).
Beispiel. Finden Sie und wenn z = F(x ,y ), wobei x =uv , .
Lösung. Unter Anwendung der Formeln (4) und (5) erhalten wir:
Beispiel. Zeigen Sie, dass die Funktion die Gleichung erfüllt  .
Lösung. Die Funktion hängt also über ein Zwischenargument von x und y ab
Wenn wir partielle Ableitungen auf der linken Seite der Gleichung einsetzen, erhalten wir:
Das heißt, die Funktion z erfüllt diese Gleichung.
Ableitung in eine gegebene Richtung und Steigung der Funktion
1°. Ableitung einer Funktion in eine bestimmte Richtung. Derivat Funktionen z= F(x,y) in diese Richtung angerufen  , wo und sind die Werte der Funktion an Punkten und . Wenn die Funktion z differenzierbar ist, dann ist die Formel gültig
Wo sind die Winkel zwischen den Richtungen? l und die entsprechenden Koordinatenachsen. Die Ableitung in eine bestimmte Richtung charakterisiert die Änderungsrate einer Funktion in dieser Richtung.
Beispiel. Finden Sie die Ableitung der Funktion z = 2x 2 - 3 2 am Punkt P (1; 0) in der Richtung, die mit der OX-Achse einen Winkel von 120° bildet.
Lösung. Finden wir die partiellen Ableitungen dieser Funktion und ihre Werte am Punkt P. |
