Matrizen und Determinanten

Vorlesung 1. Matrizen

1. Das Konzept einer Matrix. Arten von Matrizen

2. Matrixalgebra

Vorlesung 2. Determinanten

1. Determinanten einer quadratischen Matrix und ihre Eigenschaften

2. Laplace- und Aufhebungssätze

Vorlesung 3. Inverse Matrix

1. Das Konzept einer inversen Matrix. Eindeutigkeit der inversen Matrix

2. Algorithmus zur Konstruktion der inversen Matrix. Eigenschaften einer inversen Matrix

4. Probleme und Übungen

4.1. Matrizen und Operationen auf ihnen

4.2. Determinanten

4.3. Inverse Matrix

5. Individuelle Aufgaben

Literatur

VORTRAG 1. Matrizen

Planen

1. Das Konzept einer Matrix. Arten von Matrizen.

2. Matrixalgebra.

Schlüsselkonzepte

Diagonale Matrix.

Identitätsmatrix.

Nullmatrix.

Symmetrische Matrix.

Matrixkonsistenz.

Umsetzung.

Dreiecksmatrix.

1. KONZEPT DER MATRIX. Arten von Matrizen

Rechteckiger Tisch

bestehend aus m Zeilen und n Spalten, deren Elemente reelle Zahlen sind, wobei ich– Zeilennummer, J- Die Nummer der Spalte, an deren Schnittpunkt dieses Element steht, wird als numerisch bezeichnet Matrix Bestelle m´n und bezeichne .

Betrachten wir die wichtigsten Arten von Matrizen:

1. Sei m = n, dann Matrix A – Quadrat eine Matrix mit der Ordnung n:

A = .

Elemente bilden die Hauptdiagonale, Elemente eine Seitendiagonale bilden.

Diagonale , wenn alle seine Elemente, außer vielleicht die Elemente der Hauptdiagonale, gleich Null sind:

A = = diag ( ).

Man nennt eine diagonale und damit quadratische Matrix einzel , wenn alle Elemente der Hauptdiagonale gleich 1 sind:

E = = diag (1, 1, 1,…,1).

Beachten Sie, dass die Identitätsmatrix das Matrixanalogon von Eins in der Menge der reellen Zahlen ist, und wir betonen auch, dass die Identitätsmatrix nur für quadratische Matrizen definiert ist.

Hier sind Beispiele für Identitätsmatrizen:

Quadratische Matrizen

A = , B =

werden oberes bzw. unteres Dreieck genannt.

2 . Sei m = 1, dann ist Matrix A eine Zeilenmatrix, die die Form hat:

3 . Sei n=1, dann ist Matrix A eine Spaltenmatrix, die die Form hat:

4 .Eine Nullmatrix ist eine Matrix der Ordnung m´n, deren Elemente alle gleich 0 sind:

Beachten Sie, dass die Nullmatrix eine quadratische Matrix, eine Zeilenmatrix oder eine Spaltenmatrix sein kann. Die Nullmatrix ist das Matrixanalogon der Null in der Menge der reellen Zahlen.

5 . Die Matrix heißt transponiert zu einer Matrix und wird bezeichnet, wenn ihre Spalten die entsprechenden nummerierten Zeilen der Matrix sind.

Beispiel . Sei = , dann = .

Beachten Sie, dass, wenn Matrix A die Ordnung m´n hat, die transponierte Matrix die Ordnung n´m hat.

6 . Matrix A heißt symmetrisch , wenn A=A, und schiefsymmetrisch , wenn A = –A.

Beispiel . Untersuchen Sie die Symmetrie der Matrizen A und B.

Dann = , daher ist Matrix A symmetrisch, da A = A.

 = , dann = , daher ist die Matrix  schiefsymmetrisch, da  = – Â.

Beachten Sie, dass symmetrische und schiefsymmetrische Matrizen immer quadratisch sind. Auf der Hauptdiagonale einer symmetrischen Matrix können beliebige Elemente erscheinen, und identische Elemente müssen symmetrisch relativ zur Hauptdiagonale erscheinen, also =. Die Hauptdiagonale einer schiefsymmetrischen Matrix enthält immer Nullen und symmetrisch zur Hauptdiagonale = – .

2. ALGEBRA DER Matrizen

Schauen wir uns die Operationen an Matrizen an, stellen aber zunächst einige neue Konzepte vor.

Zwei Matrizen A und B heißen Matrizen gleicher Ordnung, wenn sie die gleiche Anzahl an Zeilen und die gleiche Anzahl an Spalten haben.

Beispiel. und sind Matrizen der gleichen Ordnung 2´3;

Und sind Matrizen unterschiedlicher Ordnung, da 2´3≠3´2.

Die Konzepte „mehr“ und „weniger“ sind für Matrizen nicht definiert.

Die Matrizen A und B heißen gleich, wenn sie die gleiche Ordnung m´n und = haben, wobei 1, 2, 3, …, m und j = 1, 2, 3, …, n.

Eine Matrix mit einer Zahl multiplizieren.

Die Multiplikation der Matrix A mit der Zahl λ führt zur Multiplikation jedes Elements der Matrix mit der Zahl λ:

λA = , λR.

Aus diese Definition Daraus folgt, dass der gemeinsame Faktor aller Matrixelemente aus dem Matrixzeichen entnommen werden kann.

Beispiel.

Sei Matrix A =, dann ist 5A= =.

Sei Matrix B = = = 5.

Eigenschaften der Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl :

2) (λμ)А = λ(μА) = μ(λА), wobei λ,μ R;

3) (λA) = λA;

Summe (Differenz) von Matrizen .

Die Summe (Differenz) wird nur für Matrizen gleicher Ordnung m´n ermittelt.

Die Summe (Differenz) zweier Matrizen A und B der Ordnung m´n ist eine Matrix C derselben Ordnung, wobei = ± ( 1, 2, 3, …, M ,

J= 1, 2, 3, …, n.).

Mit anderen Worten: Matrix C besteht aus Elementen, die der Summe (Differenz) der entsprechenden Elemente der Matrizen A und B entsprechen.

Beispiel . Finden Sie die Summe und Differenz der Matrizen A und B.

dann =+= =,

=–==.

Wenn = , = , dann existiert A ± B nicht, da die Matrizen unterschiedlicher Ordnung sind.

Aus den obigen Definitionen folgt Eigenschaften Matrixsummen:

1) Kommutativität A+B=B+A;

2) Assoziativität (A+B)+C=A+(B+C);

3) Distributivität zur Multiplikation mit der Zahl λR: λ(A+B) = λA+λB;

4) 0+A=A, wobei 0 eine Nullmatrix ist;

5) A+(–A)=0, wobei (–A) die Matrix gegenüber Matrix A ist;

6) (A+B)= A+B.

Produkt von Matrizen.

Die Produktoperation ist nicht für alle Matrizen definiert, sondern nur für übereinstimmende.

Es werden die Matrizen A und B aufgerufen vereinbart , wenn die Anzahl der Spalten der Matrix A gleich der Anzahl der Zeilen der Matrix B ist. Wenn also , , m≠k, dann sind die Matrizen A und B konsistent, da n = n, und in umgekehrter Reihenfolge die Matrizen B und A sind inkonsistent, da m ≠ k. Quadratische Matrizen sind konsistent, wenn sie die gleiche Ordnung n haben und sowohl A und B als auch B und A konsistent sind. Wenn a, dann sind die Matrizen A und B sowie die Matrizen B und A konsistent, da n = n, m = m.

Das Produkt zweier übereinstimmender Matrizen und

A= , V=

heißt eine Matrix C der Ordnung m´k:

=∙, dessen Elemente nach der Formel berechnet werden:

(1, 2, 3, …, m, j=1, 2, 3, …, k),

das heißt, das Element der i-ten Zeile und der j-ten Spalte der Matrix C ist gleich der Summe der Produkte aller Elemente der i-ten Zeile der Matrix A mit den entsprechenden Elementen der j-ten Spalte von Matrix B.

Beispiel . Finden Sie das Produkt der Matrizen A und B.

∙===.

Das Produkt der Matrizen BA∙A existiert nicht, da die Matrizen B und A nicht konsistent sind: Matrix B hat die Ordnung 2´2 und Matrix A hat die Ordnung 3´2.

Lassen Sie uns überlegen Eigenschaften Produkte von Matrizen:

1 ) Nichtkommutativität: AB ≠ BA, auch wenn A und B sowie B und A konsistent sind. Wenn AB = BA, dann heißen die Matrizen A und B kommutierend (die Matrizen A und B sind in diesem Fall notwendigerweise quadratisch).

Beispiel 1 . = , = ;

==;

==.

Es ist offensichtlich, dass ≠ .

Beispiel 2 . = , = ;

= = =;

= = = .

Abschluss: ≠, obwohl die Matrizen von gleicher Ordnung sind.

2 ) Für alle quadratischen Matrizen kommutiert die Identitätsmatrix E in jede Matrix A derselben Ordnung, und als Ergebnis erhalten wir dieselbe Matrix A, d. h. AE = EA = A.

Beispiel .

===;

===.

3 ) A·0 = 0·A = 0.

4 ) Das Produkt zweier Matrizen kann gleich Null sein, während die Matrizen A und B ungleich Null sein können.

Beispiel .

= ==.

5 ) Assoziativität ABC=A(BC)=(AB)C:

· (·

Beispiel .

Wir haben Matrizen, , ;

dann Aּ(BּC) = (·

(AּB)ּC=

===

==.

Wir haben also anhand eines Beispiels gezeigt, dass Aּ(BּC) = (AּB)ּC.

6 ) Distributivität bezüglich der Addition:

(A+B)∙C = AC + BC, A∙(B + C) = AB + AC.

7) (A∙B) = B∙A.

Beispiel.

, =.

Dann AB =∙==

=(A∙B)= =

IN ∙A =∙ = ==.

Daher, ( A∙B)= IN A .

8 ) λ(AּB) = (λA)ּ B = Aּ (λB), λ,R.

Lassen Sie uns überlegen typische Beispiele Um Operationen an Matrizen durchzuführen, müssen Sie die Summe, Differenz und das Produkt (falls vorhanden) zweier Matrizen A und B ermitteln.

Beispiel 1 .

, .

Lösung.

1) + = = =;

2) – ===;

3) Das Produkt existiert nicht, da die Matrizen A und B inkonsistent sind. Das Produkt existiert jedoch aus demselben Grund nicht.

Beispiel 2 .

Lösung.

1) Die Summe der Matrizen sowie deren Differenz existieren nicht, da die ursprünglichen Matrizen unterschiedliche Ordnungen haben: Matrix A hat die Ordnung 2´3 und Matrix B hat die Ordnung 3´1;

2) Da die Matrizen A und B konsistent sind, existiert das Produkt der Matrizen A und B:

·=·= =,

das Produkt der Matrizen ВּА existiert nicht, da die Matrizen und inkonsistent sind.

Beispiel 3.

Lösung.

1) Die Summe der Matrizen sowie ihre Differenz existieren nicht, da die ursprünglichen Matrizen unterschiedliche Ordnungen haben: Matrix A hat die Ordnung 3´2 und Matrix B hat die Ordnung 2´3;

2) Das Produkt beider Matrizen AּB und BּA existiert, da die Matrizen konsistent sind, das Ergebnis solcher Produkte jedoch Matrizen unterschiedlicher Ordnung sein werden: ·=, ·=.

= = ;

·=·= =

In diesem Fall ist AB ≠ BA.

Beispiel 4 .

Lösung.

1) +===,

2) –= ==;

3) Produkt als Matrizen A ּ IN, Also IN ּ A, existiert, weil die Matrizen konsistent sind:

·==·= =;

·==·= =

=≠, das heißt, die Matrizen A und B sind nicht kommutierend.

Beispiel 5 .

Lösung.

1) +===,

2) –===;

3) Das Produkt beider Matrizen AּB und BּA existiert, da die Matrizen konsistent sind:

·==·= =;

·==·= =

АּВ=ВּА, d. h. diese Matrizen pendeln.

VORTRAG 2. DETERMINANTEN

Planen

1. Determinanten einer quadratischen Matrix und ihre Eigenschaften.

2. Laplace- und Aufhebungssätze.

Schlüsselkonzepte

Algebraisches Komplement eines Determinantenelements.

Nebenelement der Determinante.

Determinante zweiter Ordnung.

Determinante dritter Ordnung.

Beliebige Reihenfolge bestimmend.

Satz von Laplace.

Aufhebungssatz.

1. BESTIMMUNGEN EINER QUADRATISCHEN MATRIX UND IHRE EIGENSCHAFTEN

Sei A eine quadratische Matrix der Ordnung n:

A= .

Jeder solchen Matrix kann eine einzelne reelle Zahl zugeordnet werden, die als Determinante der Matrix bezeichnet und bezeichnet wird

Det A= Δ= .

Beachten Sie, dass die Determinante nur für existiert Quadrat Matrizen

Betrachten wir die Regeln zur Berechnung von Determinanten und deren Eigenschaften für quadratische Matrizen zweiter und dritter Ordnung, die wir der Kürze halber Determinanten zweiter bzw. dritter Ordnung nennen.

Determinante zweiter Ordnung Matrix ist eine Zahl, die durch die Regel bestimmt wird:

Das heißt, die Determinante zweiter Ordnung ist eine Zahl, die dem Produkt der Elemente der Hauptdiagonale minus dem Produkt der Elemente der Nebendiagonale entspricht.

Beispiel .

Dann == 4 3 – (–1) 2=12 + 2 = 14.

Es ist zu beachten, dass zur Bezeichnung von Matrizen runde oder eckige Klammern verwendet werden und für die Determinante - vertikale Linien. Eine Matrix ist eine Zahlentabelle und eine Determinante ist eine Zahl.

Aus der Definition einer Determinante zweiter Ordnung folgt dies Eigenschaften :

1. Die Determinante ändert sich nicht, wenn alle ihre Zeilen durch die entsprechenden Spalten ersetzt werden:

2. Das Vorzeichen der Determinante ändert sich ins Gegenteil, wenn die Zeilen (Spalten) der Determinante neu angeordnet werden:

3. Der gemeinsame Faktor aller Elemente der Zeile (Spalte) der Determinante kann aus dem Vorzeichen der Determinante entnommen werden:

4. Wenn alle Elemente einer bestimmten Zeile (Spalte) einer Determinante gleich Null sind, dann ist die Determinante gleich Null.

5. Die Determinante ist gleich Null, wenn die entsprechenden Elemente ihrer Zeilen (Spalten) proportional sind:

6. Wenn die Elemente einer Zeile (Spalte) einer Determinante gleich der Summe zweier Terme sind, dann ist eine solche Determinante gleich der Summe zweier Determinanten:

=+, =+.

7. Der Wert der Determinante ändert sich nicht, wenn die entsprechenden Elemente einer anderen Zeile (Spalte) zu den Elementen ihrer Zeile (Spalte) addiert (subtrahiert) und mit derselben Zahl multipliziert werden:

=+=,

da =0 durch Eigenschaft 5.

Im Folgenden betrachten wir die übrigen Eigenschaften der Determinanten.

Lassen Sie uns das Konzept einer Determinante dritter Ordnung einführen: Determinante der Terz Befehl einer quadratischen Matrix ist die Zahl

Δ == det A= =

=++– – – ,

Das heißt, jeder Term in Formel (2) ist ein Produkt der Elemente der Determinante, von denen jeweils eins und nur eines aus jeder Zeile und jeder Spalte entnommen wird. Um sich zu merken, welche Produkte in Formel (2) mit einem Pluszeichen und welche mit einem Minuszeichen eingenommen werden sollten, ist es hilfreich, die Dreiecksregel (Sarrus-Regel) zu kennen:

Beispiel . Determinante berechnen

==

Es ist zu beachten, dass die oben diskutierten Eigenschaften der Determinante zweiter Ordnung unverändert auf den Fall von Determinanten beliebiger Ordnung, einschließlich der dritten, übertragen werden.

2. Laplace- und Aufhebungstheoreme

Betrachten wir zwei weitere sehr wichtige Eigenschaften von Determinanten.

Lassen Sie uns die Konzepte des Moll- und algebraischen Komplements vorstellen.

Nebenelement der Determinante ist eine Determinante, die aus der ursprünglichen Determinante durch Durchstreichen der Zeile und Spalte, zu der sie gehört, erhalten wird dieses Element. Das Moll eines Elements wird mit bezeichnet.

Beispiel . = .

Dann zum Beispiel = , = .

Algebraische Addition eines Elements Die Determinante wird als ihr Moll bezeichnet, zusammen mit dem Vorzeichen. Wir bezeichnen das algebraische Komplement, also =.

Zum Beispiel:

= , === –,

Kehren wir zur Formel (2) zurück. Wenn wir die Elemente gruppieren und den gemeinsamen Faktor aus den Klammern entfernen, erhalten wir:

=(– ) +( – ) +(–)=

Die Gleichheiten werden auf ähnliche Weise bewiesen:

1, 2, 3; (3)

Formeln (3) werden aufgerufen Erweiterungsformeln Determinante durch Elemente der i-ten Zeile (j-te Spalte) oder Laplace-Formeln für eine Determinante dritter Ordnung.

Also bekommen wir achte Eigenschaft der Determinante :

Satz von Laplace . Die Determinante ist gleich der Summe aller Produkte der Elemente einer beliebigen Zeile (Spalte) mit den entsprechenden algebraischen Komplementen der Elemente dieser Zeile (Spalte).

Beachten Sie, dass diese Eigenschaft einer Determinante nichts anderes ist als die Definition einer Determinante beliebiger Ordnung. In der Praxis wird es zur Berechnung der Determinante jeder Ordnung verwendet. In der Regel stellen sie vor der Berechnung der Determinante anhand der Eigenschaften 1–7 sicher, dass in jeder Zeile (Spalte) alle Elemente außer einem gleich Null sind, und ordnen sie dann entsprechend den Elementen der Zeile (Spalte) an ).

Beispiel . Determinante berechnen

== (subtrahiere die erste von der zweiten Zeile) =

== (subtrahiere die erste von der dritten Zeile)=

== (wir erweitern die Determinante in die Elemente der Terz

Zeilen) = 1ּ = (subtrahiere die erste Spalte von der zweiten Spalte) = = 1998ּ0 – 1ּ2 = –2.

Beispiel .

Betrachten wir eine Determinante vierter Ordnung. Um es zu berechnen, verwenden wir den Satz von Laplace, d. h. die Zerlegung in die Elemente einer Zeile (Spalte).

== (da die zweite Spalte drei Nullelemente enthält, erweitern wir die Determinante in die Elemente der zweiten Spalte)= ​​=3ּ= (von der zweiten Zeile subtrahieren wir die erste, multipliziert mit 3, und von der dritten Zeile wir subtrahiere den ersten, multipliziert mit 2) =

3ּ = (wir erweitern die Determinante in die Elemente der ersten Spalte) = 3ּ1ּ =

Neunte Eigenschaft die Determinante heißt Aufhebungssatz :

die Summe aller Produkte der Elemente einer Zeile (Spalte) der Determinante mit den entsprechenden algebraischen Komplementen der Elemente einer anderen Zeile (Spalte) ist gleich Null, das heißt

++ = 0,

Beispiel .

= = (in Elemente der dritten Zeile zerlegen)=

0ּ+0ּ+ּ = –2.

Aber für dasselbe Beispiel: 0ּ+0ּ+1ּ=

0ּ +0ּ+1ּ = 0.

Wenn die Determinante einer Ordnung eine Dreiecksform hat

=, dann ist es gleich dem Produkt der Elemente auf der Diagonale:

=ּּ…ּ. (4)

Beispiel. Berechnen Sie die Determinante.

=

Manchmal ist es bei der Berechnung der Determinante mithilfe elementarer Transformationen möglich, sie auf zu reduzieren Dreiecksansicht, danach wird Formel (4) angewendet.

Die Determinante des Produkts zweier quadratischer Matrizen ist gleich dem Produkt der Determinanten dieser quadratischen Matrizen: .

VORTRAG 3. INVERSE MATRIX

Planen

1. Das Konzept einer inversen Matrix. Eindeutigkeit der inversen Matrix.

2. Algorithmus zur Konstruktion der inversen Matrix.

Eigenschaften einer inversen Matrix.

Schlüsselkonzepte

Inverse Matrix.

Adjungierte Matrix.

1. DAS KONZEPT DER INVERSEN MATRIX.

EINZIGARTIGKEIT DER INVERSEN MATRIX

In der Zahlentheorie definieren sie zusammen mit einer Zahl die ihr gegenüberstehende Zahl () so, dass und die ihr gegenüberstehende Zahl so, dass . Für die Zahl 5 wäre beispielsweise das Gegenteil der Fall

(– 5), und die Umkehrung wird sein. Ebenso haben wir in der Matrixtheorie bereits das Konzept einer Gegenmatrix eingeführt, ihre Bezeichnung (– A). Inverse Matrix denn eine quadratische Matrix A der Ordnung n heißt Matrix, wenn die Gleichungen erfüllt sind

Wo E– Identitätsmatrix der Ordnung n.

Beachten wir sofort, dass die inverse Matrix nur für quadratische nicht singuläre Matrizen existiert.

Die quadratische Matrix heißt nicht entartet (nicht singulär) wenn detA ≠ 0. Wenn detA = 0, dann heißt die Matrix A degenerieren (besonders).

Beachten Sie, dass die nicht singuläre Matrix A eindeutig ist inverse Matrix. Beweisen wir diese Aussage.

Sei für die Matrix A Es gibt also zwei inverse Matrizen

Dann =ּ=ּ() =

Q.E.D.

Finden wir die Determinante der inversen Matrix. Da die Determinante des Produkts zweier Matrizen A und B gleicher Ordnung gleich dem Produkt der Determinanten dieser Matrizen ist, ist also das Produkt zweier nicht entarteter Matrizen AB eine nicht entartete Matrix.

Wir schließen daraus, dass die Determinante der inversen Matrix die Umkehrung der Determinante der ursprünglichen Matrix ist.

2. ALGORITHMUS ZUR KONSTRUKTION DER INVERSEN MATRIX.

EIGENSCHAFTEN DER INVERSEN MATRIX

Zeigen wir, dass es für die Matrix A eine inverse Matrix gibt, wenn sie nicht singulär ist, und konstruieren wir sie.

Lassen Sie uns eine Matrix algebraischer Komplemente von Elementen der Matrix A zusammenstellen:

Wenn wir es umsetzen, erhalten wir das sogenannte beigefügt Matrix:

.

Lassen Sie uns das Produkt finden ּ. Unter Berücksichtigung des Satzes von Laplace und des Aufhebungssatzes:

ּ = =

=.

Wir kommen zu dem Schluss:

Algorithmus zur Konstruktion einer inversen Matrix.

1) Berechnen Sie die Determinante der Matrix A. Wenn die Determinante Null ist, gibt es keine inverse Matrix.

2) Wenn die Determinante der Matrix ungleich Null ist, dann bilden Sie sie aus den algebraischen Komplementen der entsprechenden Elemente der Matrix A Matrix.

3) Durch Transponieren der Matrix erhalten Sie die adjungierte Matrix.

4) Erstellen Sie mithilfe der Formel (2) eine inverse Matrix.

5) Überprüfen Sie die Berechnungen anhand der Formel (1).

Beispiel . Finden Sie die inverse Matrix.

A). Sei A=. Da Matrix A zwei identische Zeilen hat, ist die Determinante der Matrix gleich Null. Daher ist die Matrix singulär und es gibt keine inverse Matrix dafür.

B). Lassen A =.

Berechnen wir die Determinante der Matrix

die inverse Matrix existiert.

Lassen Sie uns eine Matrix algebraischer Additionen erstellen

= = ;

Wenn wir die Matrix transponieren, erhalten wir die adjungierte Matrix

Mit Formel (2) finden wir die inverse Matrix

==.

Lassen Sie uns die Genauigkeit der Berechnungen überprüfen

= = .

Daher ist die konstruierte inverse Matrix korrekt.

Eigenschaften einer inversen Matrix

1. ;

2. ;

3. .

4. AUFGABEN UND ÜBUNGEN

4.1 Matrizen und Operationen auf ihnen

1. Finden Sie die Summe, Differenz und das Produkt zweier Matrizen A und B.

A) , ;

B) , ;

V) , ;

G) , ;

D) , ;

e) , ;

Und) , ;

H) , ;

Und) , .

2. Beweisen Sie, dass die Matrizen A und B kommutieren.

A) , ; B) , .

3. Gegeben sind die Matrizen A, B und C. Zeigen Sie, dass (AB)·C=A·(BC).

A) , , ;

B) , , .

4. Berechnen Sie (3A – 2B) C, wenn

, , .

5. Finden Sie heraus, ob

A) ; B) .

6. Finden Sie die Matrix X, wenn 3A+2X=B, wobei

, .

7. Finden Sie ABC, wenn

A) , , ;

B) , , .

ANTWORTEN ZUM THEMA „MATRIZEN UND AKTIONEN AUF IHNEN“

1. a) , ;

b) die Produkte AB und BA existieren nicht;

V) , ;

G) , ;

e) Summen, Differenzen und Produkte von VA-Matrizen existieren nicht, ;

e) , ;

g) Matrixprodukte existieren nicht;

H) , ;

Und) , .

2. a) ; B) .

3. a) ; B) .

4. .

5. a) ; B) .

6. .

7. a) ; B) .

4.2 Determinanten

1. Berechnen Sie Determinanten

A) ; B) ; V) ; G) ; D) ; e) ;

Und) ; H) .

3. Berechnen Sie mithilfe der Dreiecksregel die Determinanten

A) ; B) ; V) ; G) .

4. Berechnen Sie die Determinanten von Beispiel 2 mithilfe des Satzes von Laplace.

5. Berechnen Sie die Determinanten, nachdem Sie sie zuvor vereinfacht haben:

A) ; B) ; V) ;

G) ; D) ; e) ;

Und) .

6. Berechnen Sie die Determinante, indem Sie sie auf die Dreiecksform reduzieren

.

7. Seien die Matrizen A und B gegeben :

, .

ANTWORTEN ZUM THEMA „QUALIFIKANTEN“

1. a) 10; b) 1; c) 25; d) 16; e) 0; e) –3; g) -6; h) 1.

2. a) –25; b) 168; c) 21; d) 12.

3. a) –25; b) 168; c) 21; d) 12.

4. a) 2; b) 0; c) 0; d) 70; e) 18; e) –66; g) -36.

4.3 Inverse Matrix

1. Finden Sie die inverse Matrix:

A) ; B) ; V) ; G) ;

D) ; e) ; Und) ; H) ;

Und) ; Zu) ; l) ;

M) ; N) .

2. Suchen Sie die inverse Matrix und prüfen Sie, ob die Bedingung erfüllt ist:

A) ; B) .

3. Beweisen Sie Gleichheit :

A) , ; B) ,.

4. Beweisen Sie Gleichheit :

A) ; B) .

ANTWORTEN ZUM THEMA „INVERSE MATRIX“

1. a) ; B) ; V) ; G) ;

D) ; e) ; Und) ;

H) ; Und) ;

Zu) ; l) ;

M) ; N) .

2. a) ; B) .

2. a) , , =;

B) , ,

=.

5. a) , ,

, ;

B) , ,

, .

5. EINZELNE AUFGABEN

1. Berechnen Sie die Determinante durch Erweiterung

a) in der i-ten Zeile;

b) entlang der j-ten Spalte.

1.1. ; 1.2. ; 1.3. ;

i=2, j=3. i=4, j=1. i=3, j=2.

1.4. ; 1.5. ; 1.6. ;

i=3, j=3. i=1, j=4. i=2, j=2.

1.7. ; 1.8. ; 1.9. ;

i=4, j=4. i=2, j=2. i=3, j=2.

1.10. ; 1.11. ; 1.12. ;

i=2, j=1. i=1, j=2. i=3, j=2.

1.13. ; 1.14. ; 1.15. ;

i=2, j=3. i=1, j=3. i=4, j=2.

1.16. ; 1.17. ; 1.18. ;

i=2, j=3. i=2, j=4. i=1, j=3.

1.19. ; 1.20. ; 1.21. ;

i=2, j=2. i=1, j=4. i=3, j=2.

1.22. ; 1.23. ; 1.24. ;

i=1, j=3. i=2, j=1. i=3, j=4.

1.25. ; 1.26. ; 1.27. ;

i=4, j=3. i=3, j=3. i=1, j=2.

1.28. ; 1.29. ; 1.30. .

i=3, j=3. i=2, j=1. i=3, j=2.

LITERATUR

1. Zhevnyak R.M., Karpuk A.A. Höhere Mathematik. – Mn.: Höher. Schule, 1992.- 384 S.

2. Gusak A.A. Ein Nachschlagewerk zur Lösung von Problemen: analytische Geometrie und lineare Algebra. – Mn.: Tetrasystems, 1998.- 288 S.

3. Markov L.N., Razmyslovich G.P. Höhere Mathematik. Teil 1. –Mn.: Amalthea, 1999. – 208 S.

4. Belko I.V., Kuzmich K.K. Höhere Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Ich Semester. M.: Neues Wissen, 2002.- 140 S.

5.Kovalenko N.S., Minchenkov Yu.V., Ovseets M.I. Höhere Mathematik. Lehrbuch Zuschuss. -Mn.: CIUP, 2003. – 32 S.