Функциями Уолша называется семейство функций, образующих ортогональную систему, принимающих значения только 1 и −1 на всей области определения.

В принципе, функции Уолша могут быть представлены в непрерывной форме, но чаще их определяют как дискретные последовательности из элементов. Группа из функций Уолша образует матрицу Адамара.

Функции Уолша получили широкое распространение в радиосвязи, где с их помощью осуществляется кодовое разделение каналов (CDMA), например, в таких стандартах сотовой связи, как IS-95, CDMA2000 или UMTS.

Система функций Уолша является ортонормированным базисом и, как следствие, позволяет раскладывать сигналы произвольной формы в обобщённый ряд Фурье.

Преобразование Уолша-Адамара

Является частным случаем обобщённого преобразования Фурье, в котором базисом выступает система функций Уолша.

Обобщённый ряд Фурье представляется формулой:

где это одна из базисных функций, а - коэффициент.

Разложение сигнала по функциям Уолша имеет вид:

В дискретной форме формула запишется следующим образом:

Определить коэффициенты можно, осуществив скалярное произведение раскладываемого сигнала на соответствующую базисную функцию Уолша:

Следует учитывать периодический характер функций Уолша.

9. Интерполяция: спектральная трактовка, КИХ-фильтры для полиномиальной интерполяции 0- и 1-го порядка; использование полифазной структуры. Интерполяция – процесс цифр. обработки сигналов, приводящий к формированию сигнала y(nT) с повышенной частотой дискретизации из сигнала x(vT’)=x(vLT) с более низкой частотой дискретизации при определенных ограничениях на временные и спектральные изменения исх.сигнала.

Выделяют три разновидности процесса интерполяции ЦОС:

1. Увеличение частоты дискретизации осуществляется в соответствии с математическим понятием интерполяции;

2. При увеличении част.дискр. исходные отсчеты дискретного сигнала x(vT’) оказываются утерянными, однако отсчеты выходного сигала y(nT) могут рассматриваться как отсчеты исходного аналогового сигнала x(t), из которого путем дискретизации с интервалом T’ образован исходный дискретный сигнал x(vT’). В этом случае форма огибающей сигналов x(vT’) и y(nT) (и спектр) не изменяются;

3. Увеличение част.дискретизации приводит к изменению формы интерполируемого сигнала, однако модуль спектра не меняется.

Д-дискретизатор c интервалом дискретизации T’=LT., ИИ-идеальный интерполятор увеличивает част.дискр. в целое число L.После ИИ сигнал можно рассматривать, как результат дискретизации исх.аналогового сигнала x(t) с интервалом дискретизации T=T’/L. , Hφ-дискретная система с частотной хар-кой .

Частотная интерполяция процесса с целым коэффициентом L:

а)спектр исходного аналогового сигнала. б)спектр дискретизированного сигнала с часотой дискретизаии fд. в)спектр дискретизированного сигнала с частотой дискретизации fд’=3fд.

Т.О. процесс повышение частоты дискретизации (интерполяции) – преобразование спектра от б) к в), то есть подавление «лишних» частотных составляющих исх.спектра.

Увеличение частоты дискретизации исх.сигнала в нужное число раз L осуществляет экспандер частоты дискретизации (ЭЧД).

Использование полифазной структуры при интерполяции с использованием КИХ-фильтров. Особенность данной структуры в том, что вместо одного фильтра, работающего на высокой частоте дискретизации, используется несколько фильтров, работающих на низкой частоте. Полифазный фильтр представляет собой набор небольших фильтров, работающих параллельно, каждый из которых обрабатывает только подмножество отсчётов сигнала (если всего имеется N фильтров, каждый фильтр будет обрабатывать только каждый N-й отсчёт). Эквивалентная схема полифазной структуры:

Проектирование КИХ-фильтров для полиномиальной интерполяции 0- и 1-го порядка.

Нулевой порядок. При вычислении очередного отсчета вых сигнала y(nT) с интервалом дискретизации T исп-ся только один отсчет входного интерполируемого сигнала x(vT’) с интервалом дискретизации T’. При увеличении частоты дискретизации в L раз отсчет сигнала x(vT’) повторяется L раз на тактах n=vL, vL+1, …,vL+L-1:

y(nT)=x(vT’), n=vL, vL+1, …,vL+L-1, v=0,1,2,…

Процесс интерполяции нулевого порядка показан на след.рис, где Tз-задержка, вносимая фильтром.

Передаточная функция фильтра

Реализация однородного фильтра:

Входной сигнал x(vT’) записывается в регистр RG с частотой fд’=1/T’, а считывание сигнала y(nT) производится с частотой fд=Lfд’=1/T. Первый порядок(линейная интерполяция) . Пусть дан сигнал x(n)=cos(2πn∙0,125). Между кажд. отсчетом исх. сигнала вставляется L-1 отсчетов (повышение част.дискретизации). Записывается передаточная функция

10. Децимация: спектральная трактовка, КИХ-фильтры для полиномиальной децимации 0- и 1-го порядка; использование полифазной структуры.Децимация - процесс уменьшения частоты дискретизации сигнала.

Рассмотрис сигнал x(t), модуль его спекта а).

x(nT)-дискретизированный сигнал с интервалом дискретизации T, его модуль его спектра в первом случае б), во втором г).

x(лямбдаT)-дискретизированный сигнал x(t) с интервалом дискретизации T’=MT.(M=2), его модуль спектра в первом случае в), во втором д).

Случай 1. При дискретизации с частотой wд1 выполнилось условие условие wд1 2Мwmax.(в нашем случае wд1 4wmax). Сигнал можно восстановить, так как спектр не перекрывается.

Случай 2. При дискретизации с частотой wд2 не выполнилось условие условие wд2 2Мwmax. Сигнал восстановить нельзя, т.к спектр накладывается.

Для выполнения операции децимации в целое число раз М необходимо, чтобы частота дискретизации wд сигнала x(nT), подлежащего децимации, удовлетворяло условию wд 2Мwmax.

Операция децимации осуществляется с помощью компрессора частоты дискретизации(КЧД)(рис слева). КЧД представляет собой ключ, который замыкается в моменты t=nMT=лямбдаT’, то есть из входного сигнала x*(nT) с интервалом дискретизации Т берется только каждый М-й отсчет и формирует сигнал x(лямбдаT’)= x*(лямбдаМТ) с интервалом дискретизации Т=МТ

Использование полифазной структуры при децимации с использованием КИХ-фильтров. Данная структура содержит М параллельных ветвей обработки, в каждой из которых находится фильтр, работающий на «низкой» (выходной) частоте дискретизации. Уравнение, описывающее полифазную структуру децимации:

Где М-целочисл.коэффициент,

G-целое число, r=0, 1,…,M-1.

Т.е. выходная последовательность y(лямбдаT’) схемы есть сумма М последовательностей yk(лямбдаMT’), k=0,1,…,M-1, каждая из которых есть в свою очередь результат фильтрации последовательности yk*(лямбдаMT’)=x(лямбдаМТ-kT) дискретным фильтром с ПФ Hk*(zM) и импульсной характеристики brk=brM+k, причем отсчеты импульсной характеристики k-го фильтра есть отсчеты импульсной характеристики bl фильтра-прототипа,взятые через М-1 отсчет.

Проектирование КИХ-фильтров для полиномиальной децимации 0- и 1-го порядка.

Схема уменьшения частоты дискретизации

Нулевой порядок. В качестве фильтра используется однородный, передаточная функция которого:

АЧХ однородного фильтра

Условие, при котором выбирается порядок фильтра: N=k*M.

Первый порядок. В качестве фильтра используется триангулярный с ПФ.

Доказать, что коэффициенты ряда Котельникова s (t ), это значения сигнала в моменты времени t =nT д.

Доказать, что функции отсчетов sinc(t -nT д) и sinc(t -mT д) ортогональны при n ¹m .

Определите спектральную плотность импульса, заданного аналитическим выражением s (t )=sinc(t -nT д).

Почему невозможно существование функции, описывающей сигнал, ограниченный во времени и имеющий ограниченный частотный спектр?

9. Представление сигналов функциями Уолша

В 1923 г. американским математиком Уолшем (Walsh J.L.) были введены и изучены функции, носящие его имя. Дискретные сигналы на основе функций Уолша (ФУ) представляют собой полную систему ортогональных функций типа прямоугольной волны. Область применения функций Уолша, достаточно обширная в настоящее время, постоянно расширяется.

Функции Уолша графически могут быть изображены различными способами. Однако на интервале своего определения они принимают только два значения: +1 и –1. При использовании ФУ обычно вводят безразмерное время, так что.

На рис. 9.1 представлены первые 8 функций Уолша (прямоугольных волн) на интервале значений аргумента.

Рис. 9.1. Функции Уолша, упорядоченные и пронумерованные в соответствии с количеством перемен знака на интервале .

Принятое обозначение wal k (q) связано с написанием фамилии Walsh. Индекс k указывает на число перемен знаков (число пересечений нулевого уровня) функцией на интервале определения. Поэтому половину значения k иначе называют частостью колебания wal k (q). Область существования ФУ характеризуется размером базиса , гдеn =1,2,3,.… На рис. 9.1 размер базиса .

Функции Уолша ортонормированы на интервале :

Функции Уолша обладают свойством мультипликативности, т.е. перемножение двух ФУ дает другую ФУ, при этом

где операция обозначает поразрядное суммирование по модулю 2 по правилам:

1Å1=0; 0Å0=0; 1Å0=1; 0Å1=1.

Умножение ФУ самой на себя дает функцию нулевого порядка , так как в результате получаются только произведения видаи. Таким образом,

Умножение любой ФУ на функцию нулевого порядка, т.е.

не изменяет первой функции. В этом смысле ФУ играет роль своеобразной «единичной» функции.

Естественно, что полная ортонормированная система функций Уолша позволяет представлять любые сигналы рядами Уолша–Фурье.

.

Процедура нахождения амплитуды каждой «прямоугольной гармоники» ряда Уолша–Фурье весьма проста: при известном сигнале s (t ) для k -той «гармоники» коэффициентопределяется по формуле

.

Пример: разложить в ряд Уолша–Фурье функцию на интервале, ограничившись восемью членами разложения (базис).

Переходя к безразмерному времени следует обозначить. Поскольку заданная функцияs (t ) нечетная относительно , а все функции Уолша с четными индексами, включая нуль, четные рис. 9.1, то произведения, гдебудут нечетными функциями и, следовательно, интеграл от этих произведений равен нулю: с 0 =с 2 =с 4 =с 6 =0.

Теперь вычислим коэффициенты и:

Коэффициент равен:

,

где обозначено , а.

Проделав несложные выкладки можно получить

Таким образом, разложение синусоидального колебания s (t ) в базисе функций Уолша с N =8 имеет две ненулевые спектральные составляющие с амплитудами и

.

Результат аппроксимации сигнала усеченным рядом функциям Уолша и спектр этого сигнала в базисе функций Уолша представлен на рис. 9.2,а и б соответственно.

Рис. 9.2. Представление сигнала разложением по ортогональному базису функций Уолша

Среднеквадратическая ошибка представления сигнала усеченным рядомпо функциям Уолша составляет

Разумеется, разложение синусоиды в ряд Фурье по тригонометрическим функциям дает лучшую точность. Стопроцентная точность обеспечивается рядом, содержащим всего один член . Но разложение прямоугольной меандровой функции, такой как wal 1 (q), в ряд Фурье

при удержании всего двух членов ряда обеспечивает гораздо худшую точность по среднеквадратической ошибке, а именно, как следует из, . Естественно, что спектр прямоугольной функции по функциям Уолша будет содержать только одну составляющую и представлять ею исходную функцию совершенно точно.

Этот пример иллюстрирует тот факт, что для каждого конкретного типа сигналов всегда есть такая базисная система, разложение по которой дает максимально компактное представление этого сигнала при заданной точности (или максимально точное представление при заданном числе членов разложения).

Функции Уолша достаточно просто генерируются цифровыми системами формирования и обработки сигнала, выполненными на современной элементной базе.

Базисные функции

Математическое представление

Спектр сигнала можно записать через преобразование Фурье (можно без коэффициента 1 / 2 π {\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}} ) в виде:

S (ω) = ∫ − ∞ + ∞ s (t) e − i ω t d t {\displaystyle S(\omega)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }s(t)e^{-i\omega t}dt} , где ω {\displaystyle \omega } - угловая частота равная 2 π f {\displaystyle 2\pi f} .

Спектр сигнала является комплексной величиной и представляется в виде: S (ω) = A (ω) e − i ϕ (ω) {\displaystyle S(\omega)=A(\omega)e^{-i\phi (\omega)}} , где A (ω) {\displaystyle A(\omega)} - амплитудный спектр сигнала, ϕ (ω) {\displaystyle \phi (\omega)} - фазовый спектр сигнала.

Если под сигналом s (t) {\displaystyle s(t)} понимать

В соответствии со спектральным способом анализа прохождения сигналов через линейные цепи любой случайный сигнал S (T ) можно представить в виде бесконечной суммы элементарных аналитически однотипных детерминированных сигналов :

(2.8)

Подавая на вход линейной цепи (рис. 1.14), коэффициент передачи которой равен , элементарный детерминированный сигнал, можно найти элементарный отклик цепи, то есть сигнал на выходе цепи.

Рис.2.3. К определению сигнала на выходе линейной цепи.

Сигнал на выходе линейной цепи равен

(2.9)

Поскольку для линейных цепей справедлив принцип суперпозиции, то результирующий отклик будет равен:

(2.10)

Функции, описывающие элементарные сигналы, называются базисными функциями. Представление сигнала базисными функциями упрощается, если они являются ортогональными и ортонормированными.

Набор функций называется ортогональным, Если в интервале от до

при (2.11)

И ортонормированным, Если для всех Выполняется условие

. (2.12)

Ортогональность базисных функций, с помощью которых представляется исходный сигнал , является гарантией того, что представление сигнала может быть сделано единственным образом. Условию ортогональности отвечают гармонические функции кратных частот, а также функции Уолша, которые на отрезке своего существования от до принимают лишь значения, равные 1, дискретные сигналы Баркера и некоторые другие функции. Спектральный метод анализа сигналов основан на преобразованиях Фурье и состоит в замене сложной функции времени, описывающей сигнал, суммой простых гармонических сигналов, образующих частотный спектр этого сигнала. Знаменитый французский физик и математик Ж. Б. Фурье (1768 – 1830 г. г.) доказал, что любое изменение во времени некоторой функции можно аппроксимировать в виде конечной или бесконечной суммы ряда гармонических колебаний с разными амплитудами, частотами и начальными фазами. Этой функцией может быть ток или напряжение в электрической цепи.

Рассмотрим вначале представление периодического электрического сигнала (рис. 2.4), отвечающего условию

, (2.13)

где: — период сигнала; =1,2,3,….

Рис. 2.4. Периодический сигнал

Представим этот сигнал бесконечным тригонометрическим рядом:

Этот ряд называется рядом Фурье.

Возможна запись ряда Фурье в другом виде:

, (2.15)

Где: — модуль амплитуд гармоник;

— фазы гармоник;

— круговая частота;

— коэффициенты косинусоидальных составляющих; — коэффициенты синусоидальных составляющих; — среднее значение сигнала за период (постоянная составляющая).

Отдельные слагаемые рядов называют гармониками. Число является номером гармоники. Совокупность величин в ряде (2.15) называют спектром амплитуд, а совокупность величин — спектром фаз.

Ниже на рис. 2.5 представлены амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала. Вертикальные отрезки амплитудного спектра представляют амплитуды гармоник и называются спектральными линиями.

Рис 2.5. Амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала

Таким образом, спектр периодического сигнала – Линейчатый. Каждый периодический сигнал имеет вполне определенные амплитудный и фазовый спектры.

Сумма ряда (2.15) является бесконечной, но, начиная с некоторого номера, амплитуды гармоник настолько малы, что ими можно пренебречь и практически реальный периодический сигнал представляется функцией с ограниченным спектром. Интервал частот, соответствующий ограниченному спектру, называется шириной спектра.

Если функция , описывающая периодический сигнал, является четной, то сумма ряда (2.14) будет содержать только косинусоидальные составляющие. Если — нечетная функция, то сумма будет содержать только синусоидальные составляющие.

Возможно также представление периодического сигнала в виде комплексного ряда Фурье:

, (2.16)

— комплексные амплитуды спектра, содержащие информацию, как об амплитудном, так и о фазовом спектрах.

После подстановки значений и , получим:

(2.17)

Если подставить полученное значение в ряд (1.29), то он обращается в тождество. Таким образом, периодический электрический сигнал можно задавать либо функцией времени , либо комплексной амплитудой спектра.

2.2.1. Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

Состав спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов зависит от величины отношения периода последовательности к длительности импульса, называемого скважностью импульсов. В спектре будут отсутствовать гармоники с номерами кратными скважности импульсов. Скважность импульсов равна . На рис.1.17 приведены три импульсные последовательности с разными скважностями и соответствующие им спектры. Для периодической последовательности, скважность которой равна 2, в спектре отсутствуют 2, 4, 6 ,8 и т. д. гармоники. Для последовательности, скважность которой равна 3, в спектре отсутствуют 3, 6 и т. д. гармоники. Для последовательности, скважность которой равна 4, в спектре отсутствуют 4, 8 и т. д. гармоники. Во всех приведенных спектрах интервал между спектральными линиями равен величине обратной периоду последовательности. Точки на оси частот, в которых спектр равен нулю, соответствуют величине, обратной длительности импульсов периодических последовательностей.

Рис.2.6 .Периодические последовательности импульсов и их спектры.

2.2.2. Спектр непериодического сигнала

При рассмотрении спектра непериодического сигнала воспользуемся предельным переходом от периодического сигнала к непериодическому сигналу, устремив период к бесконечности.

Для периодического сигнала, представленного на рис. 2.4, ранее получено выражение (2.17) для комплексной амплитуды спектра:

(2.18)

Введем обозначение:

(2.19)

Построим модуль спектра :

Рис. 2.7. Модуль спектра периодического сигнала

Расстояние между спектральными линиями равно . Если увеличивать период , то будет уменьшаться интервал w1 . При интервал между спектральными линиями w1® dw. При этом периодическая последовательность импульсов превращается в одиночный импульс и модуль спектра стремится к непрерывной функции частоты . В результате предельного перехода от периодического сигнала к непериодическому линейчатый спектр вырождается в сплошной спектр, представленный на рис. 2.8.

Рис. 2.8. Спектр непериодического сигнала

При этом комплексная амплитуда равна:

. (2.20)

С учетом предельного перехода при

(2.21)

Подставим полученное выражение в ряд (2.16). При этом сумма трансформируется в интеграл, а значения дискретных частот в значение текущей частоты и непериодический сигнал можно представить в следующем виде:

. (2.22)

Это выражение соответствует обратному преобразованию Фурье. Огибающая сплошного спектра одиночного импульса совпадает с огибающей линейчатого спектра периодической функции, представляющей периодическое повторение этого импульса.

Интеграл Фурье позволяет любую непериодическую функцию представить в виде суммы бесконечного числа синусоидальных колебаний с бесконечно малыми амплитудами и бесконечно малым интервалом по частоте. Спектр сигнала определяется из выражения

Этот интеграл соответствует прямому преобразованию Фурье.

– комплексный спектр, в нём содержится информация, как о спектре амплитуд, так и о спектре фаз.

Таким образом, спектр непериодической функции сплошной. Можно сказать, что в нём содержатся «все» частоты. Если вырезать из сплошного спектра малый интервал частот , то частоты спектральных составляющих в этом участке будут отличаться сколь угодно мало. Поэтому спектральные составляющие можно складывать так, как будто все они имеют одну и ту же частоту и одинаковые комплексные амплитуды. Спектральная плотность есть отношение комплексной амплитуды малого интервала частот к величине этого интервала.

Спектральный анализ сигналов имеет фундаментальное значение в радиоэлектронике. Информация о спектре сигнала позволяет обоснованно выбирать полосу пропускания устройств, на которые воздействует этот сигнал.

2.2.3. Спектр одиночного прямоугольного видеоимпульса

Рассчитаем спектр одиночного прямоугольного импульса, амплитуда которого равна Е , а длительность — t, представленного на рис. 2.9.

Рис. 2.9. Одиночный прямоугольный импульс

В соответствии с выражением (2.24) спектр такого сигнала равен

=. (2.24)

Поскольку = 0 , когда , то частоты, на которых спектр обращается в нуль равны , где K =1,2,3…

На рис. 2.10 представлен комплексный спектр одиночного прямоугольного импульса длительностью .

Рис.2.10. Спектр одиночного прямоугольного импульса

Спектральная плотность определяет распределение энергии в спектре одиночного импульса. В общем случае распределение энергии неоднородно. Однородное распределение характерно для хаотического процесса, называемого «белым шумом».

Спектральная плотность импульса на нулевой частоте равна его площади. Приблизительно 90% энергии одиночного прямоугольного импульса сосредоточено в спектре, ширина которого определяется выражением

Соотношение (1.41) определяет требования к ширине полосы пропускания радиотехнического устройства. В задачах, где форма сигнала имеет второстепенное значение полосу пропускания устройства для этого сигнала можно выбрать равной ширине первого лепестка спектра. При этом неизвестна степень искажения формы сигнала. Двукратное увеличение полосы пропускания лишь на 5% увеличит энергию сигнала при одновременном возрастании уровня шумов.

Базисная тригонометрическая ф-я описывается:- номер гармоники.

Интервал ортогональности. При нормировке по мощности базисная ф-ия:Ω=2π\T

;

;
;
;

, A i -амплитуда гармоник, Θ i -фаза

;

2. Разложение сигналов и помех по функциям Уолша.

Ф-ии Уолша складываются из ф-ий Радемахера
,k=1,2...;

sgn– знаковая функция.

Интервал -разбивается на 2 k интервалы ∆T. В них ф-я Радемахера принимает значения “+1” и ”–1”. (Ф-я сохраняет свою ортогональность.)wal 0 =1 – функ-я Уолша “0” порядка 1.

Получение ф-ии walболее высоких порядков (k=1,2,3…):

1)Записывают число kв двоичной системе в

прямом коде.

m-число разрядов кода необходимых для представления ф-ий Уолшаk-го порядка, γ i -весовой коэффициент, имеющий значения 1 или 0 (в зависимости от того, учитывается или нет данный разряд при суммировании).

2)Число kперекодируют по правилу кода Грэя., код комбинации складывают поmod2 с той же комбинацией сдвинутой на 1 разряд вправо. При этом младший разряд откидывают, полученный код называют кодом Уолша.

3) Представление ф. Уолша в ряд Родомахера:

Это правило показывает, что ф. Уолша получается перемножением ф-ии Родомахера в определенной комбинации с коэффициентом b i . Для 4kф. Уолша строим:

для этой системы характерны расположения ф-ий в порядке возрастания

числа переменных знака на интервале . В этой системе четные

относительно середины интервала чередуются с нечетными при этом

число перемен знака на интервале для четных ф-ий число

перемен знака m/2 и для нечетных (m+1)/2.

-ф. Уолша в ортогональной системе.

3. Геометрическое представление сигналов и помех.

Математический объект A i является элементом множества А 1 .

ifнад объектомA i можно произвести линейные операции то множество А 1 принадлежит линейному пространству, а его элементыA i являются точками этого пространства.

Пространство имеет любую размерность m.

Ifв таком пространстве определено расстояние м/у точкамиA i и A j то пространство - метрическое, а расстояние м/у началом координат и какой-либо точкой - норма, а пространство нормированное. Соответственно норму и расстояние можно определить. В линейном нормированном пространстве определена норма в виде
и расстояние
-пространство называется Евклидовым.ifn→∞ - Гильбертово пространство.A i – вектор, его длина – норма.

Тогда колебанию U i (t) можно сопоставить точкуA i или вектор вn-мерном пространстве размерность которого равна числу степеней свободы колебанияu(t). Пусть колебанияu a (t) иu b (t) разлагаются по ортогональной системе функций φ i (t).
,
Этим колебаниям будут соответствовать вектора
с координатами
. Их длинна

. Приняв во внимание условие ортогональности, а точнее ортонормальности. Длина и норма совпадают.

P a иP b -средняя удельная мощность колебания. Длинна вектора вn-мерном пространстве, определяется эффективным значением соответствующего колебания

-Характеризует степень близости. Расстояние можно рассматривать как модуль разности
, чем меньше эта величина тем меньше различия м/у колебаниями.

* - среднее значение произведения колебаний.
**-эффективное взаимодействие м/у колебаниямиu a иu b .взаимная мощность колебаний-P ab .Ifвзять в качестве базисной ф-ии
, то выражения * и ** совпадут.ifu a иu b ортогональны =0.If U a =–U b тогда P ab = – P a = – P b . Сигнал и помеху можно представить как вектор. При геометрическом представлении кодированных сигналов. Широкоusen-мерное пространство в Неевклидовой метрике. Расстояние в этом пространстве определяется по алгоритму
,n- число элементов комбинации данного кода, аx i иy i –значения соответствующих разрядов. Геометрической модельюn- значного двоичного кода являетсяn-мерный куб с ребром = 1, каждая из вершин которого представляет одну из возможных комбинаций. 000,001,010,100,101,110,011,111 Расстояние -. Кодированный сигнал в видеn-мерного куба.