2.6. Analiza corelație-spectrală semnale deterministe. Circuite radio si semnale. Partea I

2.6. Analiza corelație-spectrală a semnalelor deterministe

În multe probleme de inginerie radio, este adesea nevoie de a compara un semnal și copia sa, deplasată pentru ceva timp. În special, această situație apare în radar, unde pulsul reflectat de la țintă ajunge la intrarea receptorului cu o întârziere. Compararea acestor semnale între ele, de ex. Stabilirea relației lor în timpul procesării permite determinarea parametrilor mișcării țintei.

Pentru a cuantifica relația dintre un semnal și copia sa decalată în timp, se introduce o caracteristică

Care se numește funcția de autocorelare(AKF).

Pentru a explica semnificația fizică a ACF, dăm un exemplu în care semnalul este un impuls dreptunghiular de durată și amplitudine. În fig. Figura 2.9 prezintă un impuls, copia acestuia, deplasat cu un interval de timp și produsul. Evident, integrarea produsului dă valoarea zonei pulsului, care este produsul lui . Această valoare, când este fixă, poate fi reprezentată printr-un punct în coordonate. La schimbare, vom obține un grafic al funcției de autocorelare.

Să găsim o expresie analitică. Deoarece

apoi substituind această expresie în (2.57), obținem

Dacă mutați semnalul la stânga, atunci folosind calcule similare este ușor să arătați asta

Apoi combinând (2.58) și (2.59), obținem

Din exemplul luat în considerare, se pot trage următoarele concluzii importante care se aplică formelor de undă arbitrare:

1. Funcția de autocorelare a unui semnal neperiodic scade odată cu creșterea (nu neapărat monoton pentru alte tipuri de semnale). Evident, și ACF tinde spre zero.

2. ACF atinge valoarea maximă la. În acest caz, este egală cu energia semnalului. Astfel, ACF este energie caracteristica semnalului. După cum ar fi de așteptat, semnalul și copia sa sunt complet corelate (interconectate).

3. Dintr-o comparație a (2.58) și (2.59) rezultă că ACF este chiar funcția argument, adică

O caracteristică importantă a semnalului este interval de corelare. Intervalul de corelare este înțeles ca intervalul de timp în care semnalul și copia sa devin necorelate atunci când sunt deplasate.

Din punct de vedere matematic, intervalul de corelație este determinat de următoarea expresie

sau deoarece este o funcție pară

În fig. Figura 2.10 prezintă ACF-ul unei forme de undă arbitrare. Dacă construiți un dreptunghi cu o zonă egală cu aria de sub curbă pentru valori pozitive (ramura dreaptă a curbei), a cărui latură este egală, atunci a doua latură va corespunde.

Să găsim intervalul de corelație pentru un impuls dreptunghiular. Înlocuind (2.58) în (2.60) după transformări simple, obținem:

după cum urmează din Fig. 2.9.

Prin analogie cu funcția de autocorelare se estimează gradul de relație dintre două semnale funcția de corelație încrucișată(VKF)

Să găsim funcția de corelație încrucișată a două semnale: un impuls dreptunghiular cu amplitudine și durată

și un impuls triunghiular de aceeași amplitudine și durată

Folosind (2.61) și calculând integral integralele pentru și, obținem:

Constructii grafice, ilustrând calculele CCF, sunt prezentate în Fig. 2.11

Aici liniile punctate arată poziția inițială (la) a impulsului triunghiular.

Când expresia (2.61) este transformată în (2.57). Rezultă că ACF este un caz special al CCF cu semnale complet potrivite.

Să notăm principalele proprietăți ale VKF.

1. La fel ca și funcția de autocorelare, VCF este o funcție descrescătoare a argumentului. Când VKF tinde spre zero.

2. Valorile funcției de corelație încrucișată la arbitrar sunt valorile energie reciprocă(energie de interacţiune) semnale şi.

3. Când funcția de corelare încrucișată (spre deosebire de funcția de autocorelare) nu atinge întotdeauna un maxim.

4. Dacă semnalele sunt descrise de funcții pare ale timpului, atunci CCF este și el pare. Dacă cel puțin unul dintre semnale este descris de o funcție impară, atunci CCF este, de asemenea, impar. Prima afirmație este ușor de demonstrat dacă calculați CCF a două impulsuri dreptunghiulare de polaritate opusă

Funcția de corelare încrucișată a unor astfel de semnale

este o funcție uniformă a argumentului.

În ceea ce privește a doua afirmație, exemplul considerat de calcul al CCF al impulsurilor dreptunghiulare și triunghiulare o demonstrează.

În unele probleme aplicate, inginerii radio folosesc ACF normalizat

și VKF normalizat

unde şi sunt energiile intrinseci ale semnalelor şi. Când este apelată valoarea VCF normalizat coeficient de corelație încrucișată. Dacă , atunci coeficientul de corelație încrucișată

Evident, valorile variază de la -1 la +1. Dacă comparăm (2.65) cu (1.32), putem verifica că coeficientul de corelație încrucișată corespunde valorii cosinusului unghiului dintre vectori și la reprezentare geometrică semnale.

Să calculăm coeficientul de corelație încrucișată pentru exemplele discutate mai sus. Deoarece energia semnalului de impuls dreptunghiular este

și un impuls triunghiular

atunci coeficientul de corelație încrucișată conform (2.62) și (2.65) va fi egal. În ceea ce privește al doilea exemplu, pentru două impulsuri dreptunghiulare de aceeași amplitudine și durată, dar cu polaritate opusă, .

Experimental, ACF și VCF pot fi obținute folosind un dispozitiv, a cărui diagramă structurală este prezentată în Fig.

2.12

La îndepărtarea ACF, un semnal este trimis la una dintre intrările multiplicatorului, iar același semnal este trimis la a doua, dar întârziat pentru un timp. Un semnal proportional cu produsul este supus unei operatii de integrare. La ieșirea integratorului, se generează o tensiune proporțională cu valoarea ACF la o valoare fixă. Schimbând timpul de întârziere, puteți construi ACF-ul semnalului. Pentru a construi experimental un VCF, semnalul este alimentat la una dintre intrările multiplicatorului, iar semnalul este alimentat la dispozitivul de întârziere (circuitele de intrare sunt afișate în linii punctate). În caz contrar, dispozitivul funcționează în același mod. Rețineți că dispozitivul descris este apelat corelator

Până acum, am efectuat analiza de corelație a semnalelor neperiodice care au energie finită. În același timp, nevoia unei astfel de analize apare adesea pentru semnalele periodice, care au, teoretic, energie infinită, dar putere medie finită. În acest caz, ACF și CCF sunt calculate prin medierea perioadei și au semnificația puterii medii (fie sine, fie reciprocă, respectiv). Astfel, ACF-ul unui semnal periodic este:

și funcția de corelație încrucișată a două semnale periodice cu perioade multiple:

unde este cea mai mare valoare a perioadei.

Să găsim funcția de autocorelare a semnalului armonic

unde este frecvența circulară și este faza inițială.

Înlocuind această expresie în (2.66) și calculând integrala folosind relația trigonometrică cunoscută:

Din exemplul luat în considerare, putem trage următoarele concluzii, care sunt valabile pentru orice semnal periodic.

1. ACF-ul unui semnal periodic este o funcție periodică cu aceeași perioadă.

2. ACF-ul unui semnal periodic este o funcție pară a argumentului.

3. Când valoarea este putere medie, care se remarcă la o rezistență de 1 Ohm și se măsoară.

4. ACF-ul unui semnal periodic nu conține informații despre faza inițială a semnalului.

De asemenea, trebuie remarcat faptul că intervalul de corelare a semnalului periodic.

Acum să calculăm funcția de corelație încrucișată a două semnale armonice de aceeași frecvență, dar care diferă în amplitudine și faze inițiale

Funcțiile de corelare a semnalului sunt utilizate pentru evaluări cantitative integrale ale formelor semnalului și gradului de similitudine dintre acestea.

Funcțiile de autocorelare (ACF) ale semnalelor (funcția de corelare, CF). În raport cu semnalele deterministe cu energie finită, ACF este o caracteristică integrală cantitativă a formei semnalului și reprezintă integrala produsului a două copii ale semnalului s(t), deplasate una față de cealaltă în timpul t:

B s (t) = s(t) s(t+t) dt. (2,25)

După cum reiese din această expresie, ACF este produsul scalar al semnalului și copia acestuia în dependență funcțională de valoarea variabilă a deplasării t. În consecință, ACF are dimensiunea fizică a energiei, iar la t = 0 valoarea ACF este direct egală cu energia semnalului:

B s (0) =s(t) 2 dt = E s .

Funcția ACF este continuă și uniformă. Acesta din urmă este ușor de verificat prin înlocuirea variabilei t = t-t în expresia (2.25):

B s (t) = s(t-t) s(t) dt = s(t) s(t-t) dt = B s (-t). (2,25")

Ținând cont de paritate, reprezentare grafică ACF se efectuează numai pentru valori pozitive ale lui t. În practică, semnalele sunt de obicei specificate în intervalul valorilor argumentelor pozitive de la 0-T. Semnul +t în expresia (2.25) înseamnă că, pe măsură ce valorile lui t cresc, o copie a semnalului s(t+t) se deplasează la stânga de-a lungul axei t și depășește 0, ceea ce necesită o extensie corespunzătoare a semnalul în regiunea valorilor negative ale argumentului. Și întrucât în ​​calcule intervalul pentru specificarea t este, de regulă, mult mai mic decât intervalul pentru specificarea semnalului, este mai practic să se deplaseze copia semnalului la stânga de-a lungul axei argumentului, adică. folosind funcția s(t-t) în loc de s(t+t) în expresia (2.25).

Pe măsură ce valoarea deplasării t pentru semnalele finite crește, suprapunerea temporară a semnalului cu copia sa scade și produsul scalar tinde spre zero.

Exemplu. Pe intervalul (0,T), este dat un impuls dreptunghiular cu o valoare de amplitudine egală cu A Calculați funcția de autocorelare a pulsului.

Când copia pulsului este deplasată de-a lungul axei t spre dreapta, la 0≤t≤T semnalele se suprapun în intervalul de la t la T. Produs punctual:

B s (t) = A 2 dt = A 2 (T-t).

Când deplasați o copie a pulsului la stânga, la -T≤t

B s (t) = A 2 dt = A 2 (T+t).

La |t| > T semnalul și copia sa nu au puncte de intersecție și produsul scalar al semnalelor este zero (semnalul și copia sa deplasată devin ortogonale).

Rezumând calculele, putem scrie:

În cazul semnalelor periodice, ACF se calculează pe o perioadă T, cu medierea produsului scalar și a copiei deplasate a acestuia în perioada:

B s (t) = (1/T)s(t) s(t-t) dt.

La t=0, valoarea ACF în acest caz este egală nu cu energia, ci cu puterea medie a semnalelor în intervalul T. ACF-ul semnalelor periodice este, de asemenea, o funcție periodică cu aceeași perioadă T. Pentru un singur -semnal armonic de ton, acest lucru este evident. Prima valoare maximă ACF va corespunde cu t=0. Când copia semnalului este deplasată cu un sfert de perioadă față de original, funcțiile integrand devin ortogonale între ele (cos w o (t-t) = cos (w o t-p/2) º sin w o t) și dau un ACF zero. valoare. Când este deplasată cu t=T/2, copia semnalului devine opusă în direcția semnalului însuși și produsul scalar atinge valoarea sa minimă. Cu o creștere suplimentară a deplasării, începe procesul invers de creștere a valorilor produsului scalar, trecând cu zero la t=3T/2 și repetând valoarea maximă la t=T=2p/w o (cos w o t-2p copii ale semnalului º cos w o t). Un proces similar are loc pentru semnalele periodice de formă arbitrară (Fig. 2.11).

Rețineți că rezultatul obținut nu depinde de faza inițială a semnalului armonic, care este tipică pentru orice semnale periodice și este una dintre proprietățile ACF.

Pentru semnalele date pe un anumit interval, ACF este calculată cu normalizarea la lungimea intervalului:

B s (t) =s(t) s(t+t) dt. (2,26)

Autocorelarea unui semnal poate fi evaluată și prin funcția coeficienților de autocorelare, care sunt calculați folosind formula (pe baza semnalelor centrate):

r s (t) = cos j(t) = ás(t), s(t+t)ñ /||s(t)|| 2.

Funcția de corelație încrucișată (CCF) a semnalelor (funcția de corelație încrucișată, CCF) arată atât gradul de similitudine în forma a două semnale, cât și poziția relativă a acestora unul față de celălalt de-a lungul coordonatei (variabilă independentă), pentru care este aceeași formulă (2.25) folosit ca pentru ACF, dar sub integrală există produsul a doi semnale diferite, dintre care unul este deplasat de timpul t:

B 12 (t) = s 1 (t) s 2 (t+t) dt. (2,27)

La înlocuirea variabilei t = t-t în formula (2.4.3), obținem:

B 12 (t) = s 1 (t-t) s 2 (t) dt = s 2 (t) s 1 (t-t) dt = B 21 (-t)

Orez. 2.12. Semnale și VKF

Rezultă că condiția de paritate nu este îndeplinită pentru CCF, iar valorile CCF nu trebuie să aibă un maxim la t = 0. Acest lucru poate fi văzut în mod clar în Fig. 2.12, unde sunt date două semnale identice cu centrele în punctele 0.5 și 1.5. Calcul folosind formula (2.27) cu creștere treptată valorile t înseamnă deplasări succesive ale semnalului s2(t) spre stânga de-a lungul axei timpului (pentru fiecare valoare a lui s1(t), valorile s2(t+t) sunt luate pentru înmulțirea integranților).

La t=0 semnalele sunt ortogonale iar valoarea lui B 12 (t)=0. Maximul B 12 (t) va fi observat atunci când semnalul s2(t) este deplasat la stânga cu valoarea t=1, la care semnalele s1(t) și s2(t+t) sunt complet combinate. La calcularea valorilor lui B 21 (-t), se realizează un proces similar prin deplasarea succesivă a semnalului s1(t) la dreapta de-a lungul axei timpului cu o creștere treptată a valorilor negative ale lui t și, în consecință, valorile lui B 21 (-t) sunt afișarea în oglindă (față de axa t=0) a valorilor B 12 (t) și invers. În fig. 2.13 acest lucru poate fi văzut clar.

Orez. 2.13. Semnale și VKF

Astfel, pentru a calcula forma completa Axa numerică t VCF trebuie să includă valori negative, iar schimbarea semnului lui t în formula (2.27) este echivalentă cu rearanjarea semnalelor.

Pentru semnalele periodice, conceptul CCF nu este de obicei aplicat, cu excepția semnalelor cu aceeași perioadă, de exemplu, semnalele de intrare și de ieșire ale sistemelor atunci când se studiază caracteristicile sistemelor.

Funcția coeficienților de corelație încrucișată a două semnale este calculată prin formula (pe baza semnalelor centrate):

r sv (t) = cos j(t) = ás(t), v(t+t)ñ /||s(t)|| ||v(t)||. (2,28)

Valoarea coeficienților de corelație încrucișată poate varia de la -1 la 1.

9 Analiza corelației. Funcția de corelare, proprietățile ei. Calculul funcției de corelare a unui singur impuls și a unui semnal periodic

Alături de analiza spectrală, analiza corelației joacă un rol important în teoria semnalului. Sensul său este de a măsura gradul de similitudine (diferență) dintre semnale. Funcția de corelare este utilizată în acest scop.

CF este integrala produsului a două copii ale semnalului, deplasate una față de cealaltă. prieten pentru o vreme.

Cu cât valoarea CF este mai mare, cu atât este mai puternică asemănarea. CF are următoarele proprietăți:

1. Valoarea CF la

egală cu energia semnalului (integrala pătratului său)

2. Este o funcție egală

3. Valoarea CF la

4. Cu creșterea abdomenului. valorile CF-ul unui semnal cu energie finită se atenuează

5. Dacă semnalul este o funcție a tensiunii în funcție de timp, atunci dimensiunea lui CF [

]

În cazul unui semnal periodic (cu perioada T), CF se calculează prin medierea produsului de copii deplasate într-o perioadă:

Setul de proprietăți al unui astfel de CF se modifică:

1. Valoarea CF la

egală cu puterea medie a semnalului

2. Se păstrează proprietatea de paritate.

3. Valoarea CF la

este maximul posibil.

4. CF este o funcție periodică (cu aceeași perioadă ca și semnalul)

5. Dacă semnalul nu conține funcții delta, atunci CF-ul său este continuu.

6. Dacă semnalul este o dependență de U(t), atunci dimensiunea CF [

]

CF-ul unui semnal armonic este o funcție armonică care nu depinde de faza inițială a semnalului.

10 Funcția de corelație încrucișată, proprietățile acesteia. Calculul funcției de corelație încrucișată a semnalelor

Funcția de corelație încrucișată (CCF) este o funcție care arată gradul de similitudine pentru două semnale diferite deplasate în timp.

Vedere generala:

De exemplu, să calculăm CCF a 2 funcții:

La

La

La

Combinând rezultatele, putem scrie:

Proprietăți VKF:

1)

2)

3)

4) Dacă funcţiile S 1 (t) Şi S 2 (t) nu conțin funcții delta, atunci ICF-ul lor nu poate avea discontinuități.

5) Dacă semnalul este o funcție U(t) , apoi dimensiunea VKF

11 Procese aleatorii. Implementarea unui proces aleatoriu. Legile distribuției proceselor aleatorii

Uneori, în practică, avem de a face cu fenomene, al căror curs în timp este imprevizibil și în fiecare moment de timp este descris de o variabilă aleatorie. Astfel de fenomene se numesc procese aleatorii. Printr-un proces aleatoriu numită funcția ζ( t) argument non-aleatoriu t (de obicei timp), care pentru fiecare valoare fixă ​​a argumentului este o variabilă aleatorie. De exemplu, temperatura din timpul zilei, înregistrată de un reportofon. Valorile luate de procesul ζ( t) V anumite momente timp sunt numite state, iar setul tuturor stărilor este spațiu fazelor proces aleatoriu. În funcție de numărul de stări posibile ale unui proces aleatoriu, spațiul său de fază poate fi discret sau continuu. Dacă un proces aleatoriu își poate schimba starea numai în anumite momente în timp, atunci se numește un astfel de proces proces aleatoriu cu timp discret; iar dacă în cele arbitrare, atunci - proces în timp continuu .

proces aleatoriu ζ( t) se numește staţionar, dacă distribuția de probabilitate a stărilor sale posibile nu se modifică în timp. De exemplu, atunci când aruncați un zar în fiecare secundă, distribuția de probabilitate a stărilor procesului aleator corespunzător (Fig. 44, b) nu depinde (nu se schimbă) de timp (în acest caz, toate stările ζ( t) sunt la fel de posibile). În schimb, procesul aleatoriu care caracterizează temperatura ambiantă nu este staționar, deoarece Vara se caracterizează prin temperaturi mai ridicate decât iarna.

Distribuția de probabilitate a stărilor unui proces aleator staționar se numește distribuție staționară.

Există diverse legi de distribuție, printre care Uniforme, Gaussiene (normale)

Uniformă: lasă o valoare x să ia valorile x 1

P(x)=sistem(0 la x x 2)

Găsim funcția de distribuție prin integrare

F(x)= sistem(0 la x x 2)

Distribuție gaussiană (normală).. În teorie semnale aleatorii densitatea de probabilitate gaussiană este de o importanță fundamentală

Conform egalității (13.5), funcția de corelație a răspunsului unui dispozitiv neliniar poate fi exprimată după cum urmează în termenii funcției de tranziție a acestui dispozitiv:

Integrala dublă este egală, după cum se vede din comparația cu egalitatea (4.25), cu funcția caracteristică comună a mărimilor scrise în funcție de variabile complexe. Prin urmare,

Expresia (13.40) este formula principală pentru analiza efectelor aleatorii asupra dispozitivelor neliniare folosind metoda transformării. Restul acestui capitol este dedicat evaluării acestei expresii pentru diverse tipuri dispozitive și diverse tipuri de influențe asupra acestora.

În multe probleme, influența aplicată intrării sistemului este suma semnalului util și a zgomotului:

unde sunt funcții eșantionare ale proceselor probabilistice independente statistic. În astfel de cazuri, funcția caracteristică comună a influenței este egală cu produsul funcțiilor caracteristice ale semnalului și zgomotului, iar egalitatea (13.40) ia

unde - funcţia caracteristică comună a mărimilor - funcţie caracteristică comună a mărimilor şi

Zgomot gaussian la intrare. Dacă zgomotul la intrarea unui dispozitiv este o funcție de probă a unui proces probabilistic Gaussian real cu zero așteptări matematice, apoi, conform egalității (8.23),

unde Funcția de răspuns de corelație în acest caz ia forma

Dacă funcțiile din și funcțiile din pot fi acum reprezentate ca produse ale funcțiilor din sau ca sume ale unor astfel de produse, atunci integrala dublă din ultima expresie poate fi calculată ca produs al integralelor. Faptul că o funcție exponențială poate fi reprezentată prin produse ale funcțiilor și rezultă din expansiunea ei într-o serie de puteri

Prin urmare, funcția de corelare a răspunsului unui dispozitiv neliniar atunci când zgomotul gaussian este aplicat la intrarea sa poate fi scrisă

Semnale sinusoidale.

Să presupunem acum că semnalul de la intrarea dispozitivului este o sinusoidă modulată, adică că

unde este funcția eșantion a unui proces probabilistic de joasă frecvență (adică unul a cărui densitate spectrală este diferită de zero numai în domeniul de frecvență adiacent frecvenței zero și îngustă în comparație cu și unde variabila aleatoare este distribuită uniform în interval și nu depinde de semnalul modulator şi din zgomot Funcţia caracteristică a unui astfel de semnal este egală cu

Extinderea exponențială la formula Jacobi-Anger [expresia (13.20)], obținem

Deoarece

unde obținem că pentru un semnal sinusoidal modulat în amplitudine

Funcția de corelație a răspunsului unui dispozitiv neliniar atunci când un semnal sinusoidal și un zgomot gaussian sunt aplicați la intrarea acestuia poate fi găsită acum prin înlocuirea (13.47) în (13.45). Să definim funcția

unde și funcția de corelare

unde media este efectuată pe semnalul de modulare; atunci funcţia de corelare a răspunsului va fi egală cu

Dacă atât semnalul modulator, cât și zgomotul sunt staționari, atunci expresia (13.50) ia forma

Dacă semnalul de intrare este o undă sinusoidală nemodulată

căci în acest caz coeficienţii sunt constanţi şi egali între ei.

Componentele semnalului și zgomotului la ieșire.

Să luăm acum în considerare cazul când zgomotul de intrare are forma unei sinusoide modulate. În acest caz, funcția de corelație la ieșire este dată de expresia (13.52). Să extindem această expresie după cum urmează:

Să ne uităm la componentele sale individuale. Primul termen corespunde componentei constante la ieșirea dispozitivului. Următorul grup de termeni corespunde părții periodice a răspunsului și se datorează în principal interacțiunii semnalului de intrare cu el însuși. Termenii rămași corespund fluctuațiilor aleatorii ale răspunsului, adică zgomotului la ieșire. Cei de la

acești termeni rămași pentru care se datorează în principal interacțiunii zgomotului de intrare cu el însuși și cei pentru care interacțiunea semnalului și zgomotul la intrare.

Să ne imaginăm răspunsul unui dispozitiv neliniar ca sumă a valorii medii, a componentelor periodice și a unei componente aleatorii:

Apoi funcția de răspuns de corelație poate fi scrisă ca

unde comparând egalitățile (13.53) și (13.55), vedem că valoarea medie a răspunsului și amplitudinea componentelor sale periodice pot fi exprimate direct prin coeficienți

În plus, funcția de corelare a părții aleatoare a răspunsului poate fi scrisă ca

unde punem prin definiție în conformitate cu (13.50)

Trebuie remarcat faptul că, strict vorbind, toți acești termeni sunt funcții ale procesului de modulare a semnalului de intrare.

Soluția la întrebarea care dintre termenii din (13.62) determină semnalul de ieșire util depinde, desigur, de scopul dispozitivului neliniar. Dacă, de exemplu, dispozitivul este utilizat ca detector, atunci partea de joasă frecvență a semnalului de ieșire este utilă. În acest caz, semnalul util corespunde unei părți din funcția de corelare definită de egalitate

Pe de altă parte, dacă dispozitivul este folosit ca amplificator neliniar, atunci

deoarece în acest caz componenta utilă a semnalului este concentrată în jurul frecvenței purtătoare a semnalului de intrare

Literatură: [L.1], p. 77-83

[L.2], p. 22-26

[L.3], p. 39-43

În multe sarcini de inginerie radio, este adesea nevoie de a compara un semnal și copia sa, deplasată pentru ceva timp

La îndepărtarea ACF, un semnal este trimis la una dintre intrările multiplicatorului, iar același semnal este trimis la a doua, dar întârziat pentru un timp. Semnal proporțional de produs , suferă operația de integrare. La ieșirea integratorului, se generează o tensiune proporțională cu valoarea ACF la o valoare fixă. Schimbând timpul de întârziere, puteți construi ACF-ul semnalului.

Pentru a construi experimental un VCF, semnalul este alimentat la una dintre intrările multiplicatorului, iar semnalul este alimentat la dispozitivul de întârziere (circuitele de intrare sunt afișate în linii punctate). În caz contrar, dispozitivul funcționează în același mod. Rețineți că dispozitivul descris este apelat Pentru a construi experimental un VCF, semnalul este alimentat la una dintre intrările multiplicatorului, iar semnalul este alimentat la dispozitivul de întârziere (circuitele de intrare sunt afișate în linii punctate). În caz contrar, dispozitivul funcționează în același mod. Rețineți că dispozitivul descris este apelatși este utilizat pe scară largă în diverse sisteme radio pentru recepția și procesarea semnalelor.

Până acum, am efectuat analiza de corelație a semnalelor neperiodice care au energie finită. În același timp, nevoia unei astfel de analize apare adesea pentru semnalele periodice, care au, teoretic, energie infinită, dar putere medie finită. În acest caz, ACF și CCF sunt calculate prin medierea perioadei și au semnificația puterii medii (proprie sau, respectiv, mutuală). Astfel, ACF-ul unui semnal periodic este:

, (2.66)

și funcția de corelație încrucișată a două semnale periodice cu perioade multiple:

, (2.67)

unde este cea mai mare valoare a perioadei.

Să găsim funcția de autocorelare a semnalului armonic

,

unde este frecvența circulară și este faza inițială.

Înlocuind această expresie în (2.66) și calculând integrala folosind relația trigonometrică cunoscută:

.

Din exemplul luat în considerare, putem trage următoarele concluzii, care sunt valabile pentru orice semnal periodic.

1. ACF-ul unui semnal periodic este o funcție periodică cu aceeași perioadă.

2. ACF-ul unui semnal periodic este o funcție pară a argumentului.

3. At value reprezintă puterea medie care este eliberată la o rezistență de 1 ohm și are o valoare măsurată.

4. ACF-ul unui semnal periodic nu conține informații despre faza inițială a semnalului.

De asemenea, trebuie remarcat faptul că intervalul de corelare a semnalului periodic.

Acum să calculăm funcția de corelație încrucișată a două semnale armonice de aceeași frecvență, dar care diferă în amplitudine și faze inițiale

Şi.

Folosind (2.67) și efectuând calcule simple, obținem

,

Unde – diferenţa în fazele iniţiale ale semnalelor şi.

Astfel, funcția de corelație încrucișată a celor două semnale luate în considerare conține informații despre diferența dintre fazele inițiale. Această proprietate importantă este utilizată pe scară largă în construcția diferitelor dispozitive de inginerie radio, în special, dispozitive de sincronizare pentru unele sisteme de automatizare radio și altele.

Deoarece și sunt funcții reale și pare, expresiile (2.69) și respectiv (2.70) pot fi scrise sub forma

, (2.71)

. (2.72)

Analiza corelație-spectrală considerată ne permite să oferim o altă interpretare a lățimii spectrale efective. Dacă spectrul de energie este cunoscut, atunci lățimea efectivă a spectrului este determinată după cum urmează:

. (2.73)

Cu alte cuvinte, reprezintă latura unui dreptunghi cu o zonă egală cu aria de sub curba unui spectru unilateral, a cărui latură a doua este egală cu (Fig. 2.13). Evident, produsul dintre lățimea efectivă a spectrului de energie și valoarea intervalului de corelație este o valoare constantă

.

Astfel, în acest caz, ne confruntăm cu o manifestare a principiului incertitudinii: cu cât intervalul de corelație este mai mare, cu atât lățimea spectrului energetic este mai mică și invers.

Întrebări de test pentru capitolul 2

1. Ce este un sistem de funcții trigonometrice de bază?

2. Cum putem scrie seria Fourier trigonometrică?

3. Definiți amplitudinea și spectrul de fază al unui semnal periodic.

4. Care este natura spectrului unei secvențe de impulsuri dreptunghiulare?

5. Cum diferă spectrul unui singur impuls de spectrul unei secvențe periodice de impulsuri?

6. Notați transformatele Fourier direct și invers.

7. Cum să găsiți durata efectivă și lățimea efectivă spectrul unui semnal dreptunghiular?

8. Care este spectrul unui semnal sub forma unei funcții delta?

9. Definiți funcția de autocorelare a unui semnal determinist.

10. Care este funcția de corelație încrucișată a două semnale?

11. Cum să găsiți coeficientul de corelație încrucișată?

12. Ce proprietăți are funcția de autocorelare a unui semnal periodic?

Semnale și sisteme liniare. Corelarea semnalelor

Tema 6. Corelarea semnalelor

Frica extremă și ardoarea extremă a curajului deopotrivă deranjează stomacul și provoacă diaree.

Michel Montaigne. Avocat-gânditor francez, secolul al XVI-lea.

Acesta este numărul! Cele două funcții au o corelație de 100% cu a treia și sunt ortogonale între ele. Ei bine, Atotputernicul a făcut glume în timpul creării Lumii.

Anatoly Pyshmintsev. Geofizician din Novosibirsk al școlii din Ural, secolul al XX-lea.

1. Funcții de autocorelare ale semnalelor. Conceptul de funcții de autocorelare (ACF). ACF de semnale limitate în timp. ACF de semnale periodice. Funcții de autocovarianță (ACF). ACF de semnale discrete. ACF de semnale zgomotoase. ACF de semnale de cod.

2. Funcții de corelație încrucișată a semnalelor (CSF). Funcția de corelație încrucișată (CCF). Corelația încrucișată a semnalelor zgomotoase. CCF de semnale discrete. Estimarea semnalelor periodice în zgomot. Funcția coeficienților de corelație reciprocă.

3. Densitățile spectrale ale funcțiilor de corelație. Densitatea spectrală a ACF. Interval de corelare a semnalului. Densitatea spectrală a VKF. Calculul funcțiilor de corelare folosind FFT.

Introducere

Corelația și cazul său special pentru semnalele centrate - covarianța, este o metodă de analiză a semnalului. Vă prezentăm una dintre opțiunile de utilizare a metodei. Să presupunem că există un semnal s(t), care poate (sau nu) conține o secvență x(t) de lungime finită T, a cărei poziție temporală ne interesează. Pentru a căuta această secvență într-o fereastră de timp de lungime T care alunecă de-a lungul semnalului s(t), se calculează produsele scalare ale semnalelor s(t) și x(t). Astfel, „aplicăm” semnalul dorit x(t) semnalului s(t), alunecând de-a lungul argumentului său, iar prin valoarea produsului scalar estimăm gradul de similitudine a semnalelor la punctele de comparație.

Analiza corelației face posibilă stabilirea în semnale (sau în serii de date digitale ale semnalelor) a prezenței unei anumite conexiuni între modificările valorilor semnalului în funcție de o variabilă independentă, adică atunci când valorile mari ale unui semnal ( raportat la valorile medii ale semnalului) sunt asociate cu valori mari ale altui semnal (corelație pozitivă) sau, dimpotrivă, valori mici ale unui semnal sunt asociate cu valori mari ale altuia (corelație negativă) sau datele dintre două semnale nu sunt legate în niciun fel (corelație zero).

În spațiul funcțional al semnalelor, acest grad de conexiune poate fi exprimat în unități normalizate ale coeficientului de corelație, adică. în cosinusul unghiului dintre vectorii de semnal și, în consecință, va lua valori de la 1 (coincidență completă a semnalelor) la -1 (complet opus) și nu depinde de valoarea (scara) unităților de măsură .

În versiunea de autocorelare, o tehnică similară este utilizată pentru a determina produsul scalar al semnalului s(t) cu propria copie alunecând de-a lungul argumentului. Autocorelarea vă permite să estimați dependența statistică medie a eșantioanelor de semnal curente față de valorile lor anterioare și ulterioare (așa-numita rază de corelare a valorilor semnalului), precum și să identificați prezența elementelor care se repetă periodic în semnal.

Metodele de corelare sunt de o importanță deosebită în analiză procese aleatorii pentru a identifica componente non-aleatoare și a evalua parametrii non-aleatori ai acestor procese.

Rețineți că există o oarecare confuzie în ceea ce privește termenii „corelație” și „covarianță”. În literatura de specialitate, termenul de „covarianță” este aplicat funcțiilor centrate, iar „corelație” celor arbitrare. În literatura tehnică, și în special în literatura despre semnale și metodele de prelucrare a acestora, este adesea folosită terminologia exact opusă. Acest lucru nu are o importanță fundamentală, dar atunci când vă familiarizați cu sursele literare, merită să acordați atenție scopului acceptat al acestor termeni.

Funcția de corelare a semnalului este o caracteristică temporară

oferind o idee despre viteza de schimbare a semnalului în timp, precum și durata semnalului fără a-l descompune în componente armonice.

Există funcții de autocorelare și corelație încrucișată. Pentru un semnal determinist f(t), funcția de autocorelare este dată de

unde este mărimea deplasării în timp a semnalului.

caracterizează gradul de legătură (corelaţie) a semnalului f (t) cu acesta

o copie deplasată cu o sumă de-a lungul axei timpului. Să construim o funcție de autocorelare (ACF) pentru un impuls dreptunghiular f (t). Semnalul este deplasat spre partea anterioară, așa cum se arată în Fig. 6.25.

Pe grafic, fiecare valoare are propriul produs și arie sub graficul funcției. Numeric

valorile unor astfel de zone pentru τ corespunzător dau ordonatele funcției

Pe măsură ce τ crește, acesta scade (nu neapărat monoton) și cu

Adică, mai mare decât durata semnalului este zero.

este, de asemenea, o funcție periodică cu perioada T.

Să luăm în considerare principalele proprietăți ale funcției de autocorelare:

1. ACF este o funcție pară, adică funcția scade pe măsură ce crește.

2. ACF atinge max la , deoarece orice semnal este complet corelat cu el însuși. În acest caz, valoarea maximă a ACF este egală cu energia

Cu cât spectrul de semnal este mai larg, cu atât intervalul de corelație este mai mic, adică magnitudinea deplasării în cadrul căreia funcția de corelare este diferită de zero. În consecință, cu cât intervalul de corelare a semnalului este mai mare, cu atât spectrul acestuia este mai îngust.

Funcția de corelare poate fi folosită și pentru a estima gradul de conexiune dintre două semnale diferite f 1 (t) și f 2 (t) deplasate în timp

În acest caz, se numește funcția de corelație încrucișată (MCF) și este definită prin expresia:

Funcția de corelație încrucișată nu este neapărat egală în raport cu τ și nu atinge neapărat un maxim at. Construcția CCF pentru două semnale triunghiulare f 1 (t) și f 2 (t) este prezentată în Fig. 6.26. La schimbare

semnalul f 2 (t) la stânga (t > 0, Fig. 6.26, a) funcția de corelare a semnalului crește mai întâi, apoi scade la zero la. Când semnalul f 2 (t) se deplasează la dreapta (t< 0, рис. 6.26, б) корреляционная функция сразу убывает. В результате получается нессиметричная относительно оси ординат ВКФ , показанная на рис. 6.26, в.

f1(t)

f2(t)

0 T t

0 t -T T

f 1 (t) × f 2 (t + t)

f1(t)

f2(t)

0 T

f 1 (t) × f 2 (t - t)

6.9. Conceptul de semnale modulate. Modulația de amplitudine

Semnalele de înaltă frecvență sunt folosite pentru a transmite informații la distanță. Informația transmisă trebuie încorporată într-un fel sau altul într-o oscilație de înaltă frecvență, care se numește undă purtătoare. Alegerea ca-

Valoarea ω a semnalului purtător depinde de mulți factori, dar în orice caz ω

ar trebui să fie mult mai mult decât cea mai mare frecvență spectrul mesajului transmis, adică

În funcție de natura purtătorului, se disting două tipuri de modulație:

– continuu – cu o purtătoare armonică continuă în timp;

– pulsat - când purtătorul este sub forma unei secvențe periodice de impulsuri.

O informație purtătoare de semnal poate fi reprezentată în formular

Dacă și sunt valori constante, atunci aceasta este o oscilație armonică simplă care nu poartă informații. Dacă sunt forțați să se schimbe pentru a transmite un mesaj, atunci oscilația devine modulată.

Dacă A (t) se modifică, atunci aceasta este modulația de amplitudine, dacă unghiul este unghiular. Modulația unghiulară este împărțită în două tipuri: frecvență (FM) și fază (PM).

De la , apoi și sunt funcții de timp care variază încet. Apoi putem presupune că pentru orice tip de modulație parametrii semnalului

(1) (amplitudinea, faza și frecvența) se modifică atât de lent încât într-o perioadă o oscilație de înaltă frecvență poate fi considerată armonică. Această premisă stă la baza proprietăților semnalelor și a spectrelor lor.

Modulația de amplitudine (AM). Cu AM, anvelopa de amplitudine a semnalului purtător se modifică conform unei legi care coincide cu legea modificărilor mesajului transmis, frecvențanu se schimbă, iar faza inițialăpoate varia în funcție de momentul începerii modulației. Expresia generală (6.22) poate fi înlocuită cu

O reprezentare grafică a semnalului modulat în amplitudine este prezentată în. 6.27. Aici S (t) este mesajul continuu transmis, amplitudinea semnalului armonic purtător de înaltă frecvență. Plicul A (t) se modifică conform legii care reproduce mesajul

Sf).

Conceptul de corelare înseamnă asemănare. Funcția de corelare a semnalului este o funcție și este dată de

unde τ este deplasarea în timp a semnalului.

Când expresia (2.65) ia forma

unde E este energia semnalului. Astfel, la deplasarea în timp zero, funcția de corelare este egală cu energia semnalului.

Pe lângă funcția de corelare (2.65), există o funcție de corelare reciprocă, care caracterizează relația reciprocă dintre valorile a două semnale și este determinată de expresia:

Când U1(t) și U2(t) sunt același semnal U(t), atunci funcțiile de corelație încrucișată și corelație sunt aceleași.

Funcția de corelare își ia valoarea maximă numai la . Funcția de corelație încrucișată a două semnale identice atinge, de asemenea, un maxim la . Pentru diferite semnale U1(t) și U2(t), valoarea maximă a funcției poate să nu atingă la . De exemplu, funcția de corelație încrucișată a unei unde cosinus are o valoare maximă la .

Să luăm în considerare funcțiile de corelație ale semnalelor tipice.

Semnalul video cu undă pătrată și funcția sa de corelare sunt prezentate în Fig. 2.24.

Funcția de corelare a unui semnal video periodic cu perioada T bazată pe (2.66) are forma:

(2.67)

Funcția de corelație a semnalului armonic este egală cu:

Semnalul și funcția sa de corelare sunt prezentate în Figura 2.25.

Orez. 2.25. Semnalul armonic (a) și funcția sa de corelare (b).

Funcția de corelație încrucișată a două semnale armonice de aceeași frecvență are forma:

(2.69)

Dacă și , atunci funcția de corelație încrucișată (2.68) este egală cu funcția de corelare a semnalului armonic (2.69).

Funcția de corelație încrucișată a două semnale armonice cu frecvențe diferite este zero. Prin urmare, semnale armonice cu frecvențe diferite sunt necorelate (nu sunt asemănătoare) între ele.

Corelația este o operație matematică, asemănătoare convoluției, care vă permite să obțineți un al treilea semnal din două semnale. Se întâmplă: autocorelație (funcția de autocorelare), corelația încrucișată (funcția de corelație încrucișată, funcția de corelație încrucișată). Exemplu:

[Funcția de corelație încrucișată]

[Funcția de autocorelare]

Corelația este o tehnică de detectare a semnalelor cunoscute anterior pe un fundal de zgomot, numită și filtrare optimă. Deși corelația este foarte asemănătoare cu convoluția, acestea sunt calculate diferit. Domeniile lor de aplicare sunt și ele diferite (c(t)=a(t)*b(t) - convoluția a două funcții, d(t)=a(t)*b(-t) - corelație încrucișată).

Corelația este aceeași convoluție, doar unul dintre semnale este inversat de la stânga la dreapta. Autocorelația (funcția de autocorelare) caracterizează gradul de conexiune dintre un semnal și copia acestuia deplasat cu τ. Funcția de corelare încrucișată caracterizează gradul de conexiune între 2 semnale diferite.

Proprietățile funcției de autocorelare:

• 1) R(τ)=R(-τ). Funcția R(τ) este pară.
• 2) Dacă x(t) este o funcție sinusoidală a timpului, atunci funcția sa de autocorelare este o funcție cosinus de aceeași frecvență. Informațiile despre faza inițială se pierd. Dacă x(t)=A*sin(ωt+φ), atunci R(τ)=A 2 /2 * cos(ωτ).
• 3) Funcția de autocorelare și spectrul de putere sunt legate de transformata Fourier.
• 4) Dacă x(t) este orice funcție periodică, atunci R(τ) pentru aceasta poate fi reprezentată ca suma funcțiilor de autocorelare dintr-o componentă constantă și dintr-o componentă variabilă sinusoid.
• 5) Funcția R(τ) nu conține nicio informație despre fazele inițiale ale componentelor armonice ale semnalului.
• 6) Pentru o funcție aleatoare a timpului, R(τ) scade rapid odată cu creșterea lui τ. Intervalul de timp după care R(τ) devine egal cu 0 se numește interval de autocorelație.
• 7) Un dat x(t) corespunde unui R(τ) bine definit, dar pentru același R(τ) pot corespunde diferite funcții x(t)

Semnal original cu zgomot:

Funcția de autocorelare a semnalului original:

Proprietățile funcției de corelație încrucișată (MCF):

• 1) VKF nu este nici o funcție pară, nici impară, adică R xy (τ) nu este egal cu R xy (-τ).
• 2) CCF rămâne neschimbat atunci când se schimbă alternanța funcțiilor și semnul argumentului, adică. Rxy (τ)=Rxy (-τ).
• 3) Dacă funcțiile aleatoare x(t) și y(t) nu conțin componente constante și sunt create de surse independente, atunci pentru ele R xy (τ) tinde spre 0. Astfel de funcții se numesc necorelate.

Semnal original cu zgomot:

Undă pătrată de aceeași frecvență:

Corelația semnalului inițial și a meandrei:

Atenţie! Fiecare notă electronică de curs este proprietatea intelectuală a autorului său și este publicată pe site doar în scop informativ.