At ngayon magkakaroon ng pagpapatuloy ng paksa, kung saan isasaalang-alang natin hindi lamang ang bagong materyal, kundi pati na rin ang mga aksyon na may mga matrice.

Mayroong maraming mga katangian na nauugnay sa mga operasyon na may mga matrice; sa parehong Wikipedia maaari mong humanga ang maayos na hanay ng mga kaukulang panuntunan. Gayunpaman, sa pagsasagawa, maraming mga pag-aari ang nasa isang tiyak na kahulugan na "patay", dahil iilan lamang sa kanila ang ginagamit sa paglutas ng mga tunay na problema. Ang layunin ko ay tingnan ang praktikal na aplikasyon ng mga katangian na may mga partikular na halimbawa, at kung kailangan mo ng mahigpit na teorya, mangyaring gumamit ng ibang mapagkukunan ng impormasyon.

Tingnan natin ang ilang mga pagbubukod sa panuntunang kakailanganin upang makumpleto ang mga praktikal na gawain.

Kung ang isang square matrix ay may kabaligtaran na matrix, kung gayon ang kanilang multiplikasyon ay commutative:

Ang identity matrix ay isang square matrix na pangunahing dayagonal ang mga yunit ay matatagpuan, at ang natitirang mga elemento ay katumbas ng zero. Halimbawa: , atbp.

Sa kasong ito, totoo ang sumusunod na property: kung ang isang arbitrary na matrix ay pinarami sa kaliwa o kanan ng isang identity matrix na may angkop na laki, ang resulta ay ang orihinal na matrix:

Tulad ng makikita mo, ang commutativity ng matrix multiplication ay nagaganap din dito.

Kumuha tayo ng ilang matrix, mabuti, sabihin natin, ang matrix mula sa nakaraang problema: .

Maaaring suriin at tiyakin ng mga interesado na:

Ang unit matrix para sa matrices ay isang analogue ng numerical unit para sa mga numero, na kung saan ay lalong malinaw mula sa mga halimbawa na tinalakay.

Para sa mga matrice at tunay na numero ang sumusunod na ari-arian ay nagtataglay:

Iyon ay, ang numerical factor ay maaaring (at dapat) ilipat pasulong upang ito ay "hindi makagambala" sa pagpaparami ng mga matrice.

Tandaan : sa pangkalahatan, hindi kumpleto ang formulation ng property - ang "lambda" ay maaaring ilagay kahit saan sa pagitan ng mga matrice, kahit na sa dulo. Ang panuntunan ay nananatiling wasto kung tatlo o higit pang mga matrice ay pinarami.

Halimbawa 4

Kalkulahin ang produkto

Solusyon:

(1) Ayon sa ari-arian ilipat ang numerical factor pasulong. Ang mga matrice mismo ay hindi maaaring muling ayusin!

(2) – (3) Magsagawa ng matrix multiplication.

(4) Dito maaari mong hatiin ang bawat numero ng 10, ngunit pagkatapos ay lilitaw ang mga decimal fraction sa mga elemento ng matrix, na hindi maganda. Gayunpaman, napansin namin na ang lahat ng mga numero sa matrix ay nahahati sa 5, kaya pinarami namin ang bawat elemento sa .

Sagot:

Isang maliit na charade para sa iyo upang malutas sa iyong sarili:

Halimbawa 5

Kalkulahin kung

Ang solusyon at sagot ay nasa katapusan ng aralin.

Anong pamamaraan ang mahalaga sa paglutas ng mga ganitong halimbawa? Alamin natin ang mga numero huli sa lahat .

Ikabit natin ang isa pang karwahe sa lokomotibo:

Una sa lahat, ANO ang dapat maging resulta ng pagpaparami ng tatlong matrice? Ang isang pusa ay hindi manganganak ng isang daga. Kung ang pagpaparami ng matrix ay magagawa, ang resulta ay magiging isang matrix din. Hmmm, well, hindi nakikita ng guro ko sa algebra kung paano ko ipaliwanag ang pagsasara ng algebraic structure na may kaugnayan sa mga elemento nito =)

Ang produkto ng tatlong matrice ay maaaring kalkulahin sa dalawang paraan:

1) hanapin at pagkatapos ay i-multiply sa matrix na "ce": ;

2) alinman sa unang hanapin , pagkatapos ay i-multiply .

Ang mga resulta ay tiyak na magkakasabay, at sa teorya ang property na ito ay tinatawag na associativity ng matrix multiplication:

Halimbawa 6

I-multiply ang mga matrice sa dalawang paraan

Ang algorithm ng solusyon ay dalawang-hakbang: nakita namin ang produkto ng dalawang matrice, pagkatapos ay muli naming mahanap ang produkto ng dalawang matrice.

1) Gamitin ang formula

Unang aksyon:

Ikalawang gawa:

2) Gamitin ang formula

Unang aksyon:

Ikalawang gawa:

Sagot:

Ang unang solusyon ay, siyempre, mas pamilyar at pamantayan, kung saan "mukhang maayos ang lahat." Sa pamamagitan ng paraan, tungkol sa order. Sa gawaing isinasaalang-alang, madalas na lumitaw ang ilusyon na pinag-uusapan natin ang ilang uri ng mga permutasyon ng mga matrice. Wala sila dito. Muli kong ipinapaalala sa iyo na sa pangkalahatang kaso ay IMPOSIBLE NA I-RESTRANGE ANG MATRICES. Kaya, sa pangalawang talata, sa pangalawang hakbang, nagsasagawa kami ng multiplikasyon, ngunit sa anumang kaso ay hindi . Sa mga ordinaryong numero, gagana ang ganoong numero, ngunit sa mga matrice ay hindi ito gagana.

Ang pag-aari ng associative multiplication ay totoo hindi lamang para sa parisukat, kundi pati na rin para sa mga di-makatwirang matrice - hangga't sila ay pinarami:

Halimbawa 7

Hanapin ang produkto ng tatlong matrices

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Sa sample na solusyon, ang mga kalkulasyon ay isinasagawa sa dalawang paraan; pag-aralan kung aling landas ang mas kumikita at mas maikli.

Nalalapat din ang katangian ng pagkakaugnay ng matrix multiplication sa mas malaking bilang ng mga salik.

Ngayon ang oras upang bumalik sa mga kapangyarihan ng matrices. Ang parisukat ng matrix ay isinasaalang-alang sa pinakadulo simula at ang tanong sa agenda ay:

Ang mga operasyong ito ay tinukoy din para lamang sa mga square matrice. Upang i-cube ang isang square matrix, kailangan mong kalkulahin ang produkto:

Sa katunayan, ito ay isang espesyal na kaso ng pagpaparami ng tatlong matrice, ayon sa katangian ng pagkakaugnay ng matrix multiplication: . At ang isang matrix na pinarami sa sarili nito ay ang parisukat ng matrix:

Kaya, nakukuha namin ang gumaganang formula:

Iyon ay, ang gawain ay isinasagawa sa dalawang hakbang: una, ang matrix ay dapat na parisukat, at pagkatapos ay ang resultang matrix ay dapat na i-multiply sa matrix.

Halimbawa 8

Buuin ang matrix sa isang kubo.

Ito ay isang maliit na problema upang malutas sa iyong sarili.

Ang pagtaas ng isang matrix sa ikaapat na kapangyarihan ay isinasagawa sa natural na paraan:

Gamit ang associativity ng matrix multiplication, nakukuha namin ang dalawang gumaganang formula. Una: – ito ang produkto ng tatlong matrice.

1) . Sa madaling salita, hahanapin muna natin ang , pagkatapos ay i-multiply ito sa "maging" - nakakakuha tayo ng isang kubo, at sa wakas, gagawin natin muli ang multiplikasyon - magkakaroon ng pang-apat na kapangyarihan.

2) Ngunit may solusyon na isang hakbang na mas maikli: . Iyon ay, sa unang hakbang ay nakahanap kami ng isang parisukat at, sa pamamagitan ng pag-bypass sa kubo, magsagawa ng multiplikasyon

Karagdagang gawain para sa Halimbawa 8:

Itaas ang matrix sa ikaapat na kapangyarihan.

Gaya ng nabanggit, ito ay maaaring gawin sa dalawang paraan:

1) Dahil kilala ang kubo, pagkatapos ay nagsasagawa kami ng multiplikasyon.

2) Gayunpaman, kung ayon sa mga kondisyon ng problema ay kinakailangan na bumuo ng isang matrix hanggang sa ikaapat na kapangyarihan lamang, pagkatapos ay kapaki-pakinabang na paikliin ang landas - hanapin ang parisukat ng matrix at gamitin ang formula.

Ang parehong mga solusyon at ang sagot ay nasa dulo ng aralin.

Katulad nito, ang matrix ay itinaas sa ikalimang at mas mataas na kapangyarihan. Mula sa praktikal na karanasan masasabi kong minsan ay nakakatagpo ako ng mga halimbawa ng pagtaas sa ika-4 na kapangyarihan, ngunit wala akong natatandaan tungkol sa ikalimang kapangyarihan. Ngunit kung sakali, ibibigay ko ang pinakamainam na algorithm:

1) hanapin;
2) hanapin ;
3) itaas ang matrix sa ikalimang kapangyarihan: .

Ito ay, marahil, ang lahat ng mga pangunahing katangian ng mga operasyon ng matrix na maaaring maging kapaki-pakinabang sa mga praktikal na problema.

Sa ikalawang bahagi ng aralin, inaasahan ang isang pantay na makulay na pulutong.

Ulitin natin ang karaniwang mga ekspresyon ng paaralan na may mga numero. Ang isang numeric na expression ay binubuo ng mga numero, mga simbolo ng matematika, at mga panaklong, halimbawa: . Kapag nagkalkula, nalalapat ang pamilyar na algebraic na priyoridad: una, mga bracket, pagkatapos ay pinaandar exponentiation/rooting, Pagkatapos pagpaparami/paghati at huling ngunit hindi bababa sa - pagdaragdag/pagbabawas.

Kung ang isang numeric na expression ay may katuturan, ang resulta ng pagsusuri nito ay isang numero, halimbawa:

Ang mga expression ng matrix ay gumagana halos sa parehong paraan! Sa pagkakaiba na ang mga pangunahing tauhan ay mga matrice. Dagdag pa ang ilang partikular na operasyon ng matrix, tulad ng transposing at paghahanap ng inverse ng isang matrix.

Isaalang-alang ang matrix expression , kung saan ang ilang mga matrice. Sa matrix expression na ito, tatlong termino at mga pagpapatakbo ng karagdagan/pagbabawas ang huling ginanap.

Sa unang termino, kailangan mo munang i-transpose ang matrix na "be": , pagkatapos ay isagawa ang multiplikasyon at ipasok ang "dalawa" sa resultang matrix. Tandaan na ang transpose operation ay may mas mataas na priyoridad kaysa multiplikasyon. Ang mga panaklong, tulad ng sa mga numerical na expression, ay nagbabago sa pagkakasunud-sunod ng mga aksyon: - dito ang pagpaparami ay unang ginanap, pagkatapos ay ang resultang matrix ay inilipat at pinarami ng 2.

Sa pangalawang termino, ang pagpaparami ng matrix ay unang ginanap, at ang kabaligtaran na matrix ay matatagpuan mula sa produkto. Kung aalisin mo ang mga bracket: , kailangan mo munang hanapin ang inverse matrix at pagkatapos ay i-multiply ang mga matrice: . Ang paghahanap ng kabaligtaran ng isang matrix ay inuuna din kaysa multiplikasyon.

Sa ikatlong termino, ang lahat ay halata: itinataas namin ang matrix sa isang kubo at ipinasok ang "lima" sa nagresultang matrix.

Kung ang isang matrix expression ay may katuturan, ang resulta ng pagsusuri nito ay isang matrix.

Ang lahat ng mga gawain ay magmumula sa mga tunay na pagsubok, at magsisimula tayo sa pinakasimpleng:

Halimbawa 9

Nabigyan ng matrices . Hanapin:

Solusyon: ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon ay malinaw, ang unang pagpaparami ay ginanap, pagkatapos ay ang pagdaragdag.

Ang pagdaragdag ay hindi maaaring gawin dahil ang mga matrice ay may iba't ibang laki.

Huwag magtaka; maliwanag na ang mga imposibleng aksyon ay madalas na iminumungkahi sa mga gawain ng ganitong uri.

Subukan nating kalkulahin ang pangalawang expression:

Maayos ang lahat dito.

Sagot: ang aksyon ay hindi maisagawa, .

Ang matrix A -1 ay tinatawag na inverse matrix na may paggalang sa matrix A kung A*A -1 = E, kung saan ang E ay ang identity matrix ng nth order. Ang isang inverse matrix ay maaari lamang umiral para sa mga square matrice.

Layunin ng serbisyo. Gamit ang serbisyong ito online makakahanap ka ng algebraic complements, transposed matrix AT, allied matrix at inverse matrix. Ang desisyon ay direktang isinasagawa sa website (online) at libre. Ang mga resulta ng pagkalkula ay ipinakita sa isang ulat sa Word at Excel na format (ibig sabihin, posibleng suriin ang solusyon). tingnan ang halimbawa ng disenyo.

Mga tagubilin. Upang makakuha ng isang solusyon, kinakailangan upang tukuyin ang sukat ng matrix. Susunod, punan ang matrix A sa bagong dialog box.

Tingnan din ang Inverse matrix gamit ang Jordano-Gauss method

Halimbawa Blg. 1. Isulat natin ang matrix sa form: