на ранніх етапахРозвиток радіотехніки питання про вибір найкращих сигналів для тих чи інших конкретних застосувань не було дуже гострим. Це зумовлювалося, з одного боку, щодо простою структурою переданих повідомлень (телеграфні посилки, радіомовлення); з іншого, практична реалізація сигналів складної форми в комплексі з обладнанням для їх кодування, модуляції та зворотного перетворення на повідомлення виявлялася важко здійсненною.

Нині ситуація докорінно змінилася. У сучасних радіоелектронних комплексах вибір сигналів диктується насамперед не технічними зручностями їхнього генерування, перетворення та прийому, а можливістю оптимального рішеннязадач, передбачених під час проектування системи. Щоб зрозуміти, як виникає потреба у сигналах зі спеціально обраними властивостями, розглянемо наступний приклад.

Порівняння сигналів, зрушених у часі.

Звернемося до спрощеної ідеї роботи імпульсного радіолокатора, призначеного для виміру дальності до співу. Тут інформація про об'єкт вимірювання закладена у величині - затримці часу між зондуючим і прийнятим сигналами. Форми зондуючого і прийнятого і сигналів однакові при будь-яких затримках.

Структурна схема пристрою обробки сигналів радіолокації, призначеного для вимірювання дальності, може виглядати так, як це зображено на рис. 3,3.

Система складається із набору елементів, які здійснюють затримку «еталонного» сигналу, що передаєтьсяна деякі фіксовані відрізки часу

Мал. 3.3. Пристрій для вимірювання часу затримки сигналів

Затримані сигнали разом з прийнятим сигналом подаються на пристрої порівняння, що діють відповідно до принципу: сигнал на виході з'являється лише за умови, що обидва вхідні коливання є копіями один одного. Знаючи номер каналу, у якому відбувається зазначена подія, можна виміряти затримку, отже, і дальність до мети.

Подібний пристрій працюватиме тим точніше, чим більшою мірою відрізняються один від одного сигнал і його копія, зміщена в часі.

Таким чином, ми отримали якісне уявлення про те, які сигнали можна вважати «хорошими» для даного застосування.

Перейдемо до точного математичного формулювання поставленої проблеми і покажемо, що це коло питань безпосередньо стосується теорії енергетичних спектрів сигналів.

Автокореляційна функція сигналу.

Для кількісного визначення ступеня відмінності сигналу та його зміщеної в часі копії прийнято вводити автокореляційну функцію (АКФ) сигналу , рівну скалярному добутку сигналу та копії:

Надалі припускатимемо, що досліджуваний сигнал має локалізований у часі імпульсний характер, так що інтеграл виду (3.15) свідомо існує.

Безпосередньо видно, що при автокореляційній функції стає рівною енергії сигналу:

До найпростіших властивостей АКФ можна віднести її парність:

Дійсно, якщо в інтегралі (3.15) зробити заміну змінних то

Нарешті, важливість автокореляційної функції полягає в наступному: при будь-якому значенні тимчасового зсуву модуль АКФ не перевищує енергії сигналу:

Цей факт безпосередньо випливає з нерівності Коші – Буняковського (див. гл. 1):

Отже, АКФ є симетричною кривою з центральним максимумом, який завжди позитивний. При цьому в залежності від виду сигналу автокореляційна функція може мати як монотонно спадаючий, так і коливається характер.

Приклад 3.3. Знайти АКФ прямокутного відеоімпульсу.

На рис. 3.4,а зображено прямокутний відеоімпульс з амплітудою U і тривалістю Тут же представлена ​​його копія, зсунута в часі у бік запізнення на . Інтеграл (3.15) обчислюється у разі елементарно виходячи з графічної побудови. Дійсно, твір та й на відміну від нуля лише в межах інтервалу часу, коли спостерігається накладення сигналів. З рис. 3.4, видно, що цей часовий інтервал дорівнює якщо зсув не перевищує тривалості імпульсу. Таким чином, для сигналу, що розглядається

Графік такої функції – трикутник, зображений на рис. 3.4,б. Ширина основи трикутника вдвічі більша за тривалість імпульсу.

Мал. 3.4. Знаходження АКФ прямокутного відеоімпульсу

Приклад 3.4. Знайти АКФ прямокутного радіоімпульсу.

Розглянемо радіосигнал виду

Знаючи заздалегідь, що АКФ парна, обчислимо інтеграл (3.15), вважаючи . При цьому

звідки легко отримуємо

Природно, що за величина стає рівною енергії цього імпульсу (див. приклад 1.9). Формула (3.21) описує АКФ прямокутного радіоімпульсу при всіх зрушеннях , що лежать в межах Якщо абсолютне значення зсуву перевищує тривалість імпульсу, то автокореляційна функція буде тотожно перетворюватися на нуль.

Приклад 3.5. Визначити АКФ послідовності прямокутних відеоімпульсів.

У радіолокації широко використовуються сигнали, що являють собою пачки з однакових формою імпульсів, що йдуть один за одним через однаковий інтервалчасу. Для виявлення такої пачки, а також для вимірювання її параметрів, наприклад, положення в часі, створюють пристрої, які апаратурним чином реалізують алгоритми обчислення АКФ.

Мал. 3.5. АКФ пачки із трьох однакових відеоімпульсів: а - пачка імпульсів; б - графік АКФ

На рис. 3.5, зображена пачка, що складається з трьох однакових відеоімпульсів прямокутної форми. Тут же представлено її автокореляційну функцію, обчислену за формулою (3.15) (рис. 3.5, б).

Добре видно, що максимум АКФ досягається при Однак якщо затримка виявляється кратною періоду послідовності (при нашому випадку), спостерігаються побічні пелюстки АКФ, порівняні по висоті з головною пелюсткою. Тому можна говорити про відому недосконалість кореляційної структури даного сигналу.

Автокореляційна функція необмежено протяжного сигналу.

Якщо потрібно розглядати необмежено протяжні в часі періодичні послідовності, підхід до вивчення кореляційних властивостей сигналів повинен бути дещо змінений.

Вважатимемо, що така послідовність виходить з деякого локалізованого в часі, тобто імпульсного сигналу, коли тривалість останнього прагне нескінченності. Для того щоб уникнути розбіжності одержуваних виразів, визначимо іову АКФ як середнє значення скалярного добутку сигналу та його копії:

При такому підході автокореляційна функція стає рівною середньої взаємної потужності цих сигналів.

Наприклад, бажаючи знайти АКФ для необмеженої в часі косінусоїди можна скористатися формулою (3.21), отриманою для радіоімпульсу тривалістю, а потім перейти до межі з огляду на визначення (3.22). В результаті отримаємо

Ця АКФ сама є періодичною функцією; її значення при рівні

Зв'язок між енергетичним спектром сигналу та його автокореляційною функцією.

При вивченні матеріалу цього розділу читач може подумати, що методи кореляційного аналізу виступають як деякі особливі прийоми, які не мають зв'язку з принципами спектральних розкладів. Однак, це не так. Легко показати, що існує тісний зв'язок між АКФ та енергетичним спектром сигналу.

Дійсно, відповідно до формули (3.15) АКФ є скалярний добуток: Тут символом позначена зміщена в часі копія сигналу

Звернувшись до узагальненої формули Релея (2.42), можна записати рівність

Спектральна щільність зміщеного сигналу в часі

Таким чином, приходимо до результату:

Квадрат модуля спектральної щільності, як відомо, є енергетичним спектром сигналу. Отже, енергетичний спектр та автокореляційна функція пов'язані перетворенням Фур'є:

Зрозуміло, що є і зворотне співвідношення:

Ці результати є принципово важливими з двох причин. По-перше, можна оцінювати кореляційні властивості сигналів, виходячи з розподілу їх енергії по спектру. Чим ширша смуга частот сигналу, тим основніша пелюстка автокореляційної функції і тим досконаліший сигнал з точки зору можливості точного вимірювання моменту його початку.

По-друге, формули (3.24) та (3.26) вказують шлях експериментального визначення енергетичного спектра. Найчастіше зручніше спочатку отримати автокореляційну функцію, а потім, використовуючи перетворення Фур'є, знайти енергетичний спектр сигналу. Такий прийом набув поширення щодо властивостей сигналів з допомогою швидкодіючих ЕОМ у реальному масштабі часу.

Співвідношенням совтк Звідси випливає, що інтервал кореляції

виявляється тим менше, що вище верхня гранична частота спектра сигналу.

Обмеження, що накладаються на вигляд автокореляційної функції сигналу.

Знайдений зв'язок між автокореляційною функцією та енергетичним спектром дає можливість встановити цікавий та на перший погляд неочевидний критерій існування сигналу із заданими кореляційними властивостями. Справа в тому, що енергетичний спектр будь-якого сигналу, за визначенням, має бути позитивним [див. формулу (3.25)]. Ця умовабуде виконуватися далеко не за будь-якого вибору АКФ. Наприклад, якщо взяти

і обчислити відповідне перетворення Фур'є, то

Ця знакозмінна функція не може бути енергетичним спектром будь-якого сигналу.

Кореляційна функція сигналу- це тимчасова характеристика,

дає уявлення про швидкість зміни сигналу в часі, а також про тривалість сигналу без розкладання його гармонійні складові.

Розрізняють автокореляційну та взаємнокореляційну функції. Для детермінованого сигналу f(t) автокореляційна функція визначається виразом

де - Величина тимчасового зсуву сигналу.

характеризує ступінь зв'язку (кореляції) сигналу f (t) зі своєю

копією, зсунутою величину по осі часу. Побудуємо автокореляційну функцію (АКФ) для прямокутного імпульсу f(t). Сигнал зрушений на бік випередження, як показано на рис. 6.25.

На графіці кожному значенню відповідає свій твір та площа під графіком функції. Чисельні

значення таких площ для відповідних τ і дають ординати функції

Зі збільшенням τ убуває (не обов'язково монотонно) і при

Т. е. більше, ніж тривалість сигналу, дорівнює нулю.

є також періодичною функцією з періодом T.

Розглянемо основні властивості автокореляційної функції:

1. АКФ є парною функцією , тобто і зі збільшенням функція зменшується.

2. АКФ досягає max при , оскільки будь-який сигнал повністю корелюваний із самим собою. При цьому максимальне значення АКФ дорівнює енергії

Чим ширший діапазон сигналу, тим менше інтервал кореляції, тобто. величина зсуву , не більше якого кореляційна функція відмінна від нуля. Відповідно, що більше інтервал кореляції сигналу, то його спектр.

Кореляційна функція може бути використана і для оцінки ступеня зв'язку між двома різними сигналами f 1 (t ) і f 2 (t ) зрушеними на час

У цьому випадку вона називається взаємною кореляційною функцією (ВКФ) та визначається виразом:

Взаємно-кореляційна функція не обов'язково є парною щодо і не обов'язково досягає максимуму при. Побудова ВКФ для двох трикутних сигналів f 1 (t) і f 2 (t) наведено на рис. 6.26. При зрушенні

сигналу f 2 (t ) вліво (t > 0, рис. 6.26, а) кореляційна функція сигналу спочатку зростає, потім зменшується до нуля при. При зрушенні сигналу f 2 (t) вправо (t< 0, рис. 6.26, б) корреляционная функция сразу убывает. В результате получается нессиметричная относительно оси ординат ВКФ , показанная на рис. 6.26, в.

f1(t)

f2(t)

0 Т t

0 t -Т Т

f 1 (t ) × f 2 (t + t)

f1(t)

f2(t)

0 Т

f 1 (t ) × f 2 (t - t)

6.9. Поняття про модульовані сигнали. Амплітудна модуляція

Для передачі на відстань застосовуються високочастотні сигнали. Передана інформація повинна бути тим чи іншим способом - закладена у високочастотне коливання, яке називається несучим. Вибір ча-

стоти ω несучого сигналу залежить від багатьох факторів, але в будь-якому випадку ω

має бути набагато більше, ніж найвища частотаспектра повідомлення, тобто.

Залежно від характеру несучої розрізняють два види модуляції:

– безперервну – при гармонійному безперервному у часі переноснику;

– імпульсну – при переноснику у вигляді періодичної послідовності імпульсів.

Сигнал, що несе в собі інформацію, можна подати у вигляді

Якщо і постійні величини, то це просте гармонійне коливання, що не несе інформації. Якщо й піддаються примусової зміни передачі повідомлення, то коливання стає модульованим.

Якщо змінюється A (t ), це амплітудна модуляція, якщо кут – кутова. Кутова модуляція поділяється на два види: частотну (ЧМ) та фазову (ФМ).

Оскільки , те й – функції часу, що повільно змінюються. Тоді можна вважати, що за будь-якого виду модуляції параметри сигналу

(1) (амплітуда, фаза та частота) змінюються настільки повільно, що в межах одного періоду високочастотне коливання можна вважати гармонійним. Ця передумова є основою властивостей сигналів та його спектрів.

Амплітудна модуляція (АМ). При АМ оминає амплітуд несучого сигналу змінюється за законом, що збігається із законом зміни повідомлення, що передається, частотане змінюється, а початкова фазаможе бути різною залежно від початку модуляції. Загальний вираз (6.22) можна замінити на

Графічне подання амплітудно-модульованого сигналу наведено на. 6.27. Тут S (t ) – безперервне повідомлення, що передається, амплітуда несучого гармонійного високочастотного сигналу. Огинальна A (t ) змінюється згідно із законом, що відтворює повідомлення

S(t).

Кореляція – математична операція, схожа на згорткою, дозволяє отримати із двох сигналів третій. Буває автокореляція (автокореляційна функція), взаємна кореляція (взаємнокореляційна функція, кроскореляційна функція). Приклад:

[Взаємна кореляційна функція]

[Автокореляційна функція]

Кореляція - це техніка виявлення заздалегідь відомих сигналів на тлі шумів, що ще називають оптимальною фільтрацією. Хоча кореляція дуже схожа на згортку, але обчислюються вони по-різному. Області застосування також різні (c(t)=a(t)*b(t) - згортка двох функцій, d(t)=a(t)*b(-t) - взаємна кореляція).

Кореляція – це та сама згортка, тільки один із сигналів інвертується зліва направо. Автокореляція (автокореляційна функція) характеризує ступінь зв'язку між сигналом та його зсунутою на τ копією. Взаємнокореляційна функція характеризує ступінь зв'язку між двома різними сигналами.

Властивості автокореляційної функції:

• 1) R(τ)=R(-τ). Функція R(τ) – є парною.
• 2) Якщо х(t) – синусоїдальна функція часу, її автокореляційна функція – косинусоидальная тієї ж частоти. Інформація про початкову фазу втрачається. Якщо x(t)=A*sin(ωt+φ), то R(τ)=A 2 /2 * cos(ωτ).
• 3) Функція автокореляції та спектру потужності пов'язані перетворенням Фур'є.
• 4) Якщо х(t) – будь-яка періодична функція, то R(τ) для неї може бути представлена ​​у вигляді суми автокореляційних функцій від постійної складової та від синусоїдально змінної складової.
• 5) Функція R(τ) не несе жодної інформації про початкові фази гармонійних складових сигналу.
• 6) Для випадкової функції часу R(τ) швидко зменшується із збільшенням τ. Інтервал часу, після якого R(τ) стає рівним 0, називається інтервалом автокореляції.
• 7) Заданою x(t) відповідає цілком певне R(τ), але для однієї і тієї ж R(τ) можуть відповідати різні функції x(t)

Вихідний сигнал із шумами:

Автокореляційна функція вихідного сигналу:

Властивості взаємної кореляційної функції (ВКФ):

• 1) ВКФ перестав бути ні парної ні непарної функцією, тобто. Rху (τ) не дорівнює Rху (-τ).
• 2) ВКФ залишається незмінною при зміні чергування функцій та змін символу аргументу, тобто. Rху (τ) = Rху (-τ).
• 3) Якщо випадкові функції x(t) і y(t) не містять постійних складових і створюються незалежними джерелами, то для них R ху (τ) прагне 0. Такі функції називаються некорельованими.

Вихідний сигнал із шумами:

Меандр тієї ж частоти:

Кореляція вихідного сигналу та меандру:

Увага! Кожен електронний конспект лекцій є інтелектуальною власністю свого автора та опублікований на сайті виключно для ознайомлення.

СИГНАЛИ і ЛІНІЙНІ СИСТЕМИ

Signals і linear systems. Correlation of signals

Тема 6. Кореляція сигналів

Граничний страх і граничний запал хоробрості однаково засмучують шлунок і викликають пронос.

Мішель Монтень. Французький юрист-мислитель, XVI ст.

Оце номер! Дві функції мають стовідсоткову кореляцію з третьою та ортогональні одна одній. Та й жарти були у Всевишнього при створенні Миру.

Анатолій Пишмінцев. Новосибірський геофізик Уральської школи, ХХ ст.

1. Автокореляційні функції сигналів. Концепція автокореляційних функцій (АКФ). АКФ сигналів, обмежених у часі. АКФ періодичних сигналів. Функції автоковарування (ФАК). АКФ дискретних сигналів. АКФ зашумлених сигналів. АКФ кодові сигнали.

2. Взаємно-кореляційні функції сигналів (ВКФ). Взаємна кореляційна функція (ВКФ). Взаємна кореляція зашумлених сигналів. ВКФ дискретних сигналів Оцінка періодичних сигналів у шумі. Функція взаємних кореляційних коефіцієнтів.

3. Спектральні густини кореляційних функцій. Спектральна густина АКФ. Інтервал сигналу кореляції. Спектральна густина ВКФ. Обчислення кореляційних функцій з допомогою БПФ.

Вступ

Кореляція (correlation), і її окремий випадок для центрованих сигналів - коваріація, є методом аналізу сигналів. Наведемо один із варіантів використання методу. Припустимо, що є сигнал s(t), у якому може бути (а може й бути) деяка послідовність x(t) кінцевої довжини Т, тимчасове становище якої нас цікавить. Для пошуку цієї послідовності в ковзному за сигналом s(t) тимчасовому вікні довжиною Т обчислюються скалярні добутки сигналів s(t) і x(t). Тим самим ми "прикладаємо" шуканий сигнал x(t) до сигналу s(t), ковзаючи за його аргументом, і за величиною скалярного твору оцінюємо ступінь схожості сигналів у точках порівняння.

Кореляційний аналіз дає можливість встановити в сигналах (або в рядах цифрових даних сигналів) наявність певного зв'язку зміни значень сигналів незалежної змінної, тобто, коли великі значення одного сигналу (щодо середніх значень сигналу) пов'язані з великими значеннями іншого сигналу (позитивна кореляція), або, навпаки, малі значення одного сигналу пов'язані з більшими значеннями іншого (негативна кореляція), або дані двох сигналів ніяк не пов'язані (нульова кореляція).

У функціональному просторі сигналів цей ступінь зв'язку може виражатися в нормованих одиницях коефіцієнта кореляції, тобто в косинусі кута між векторами сигналів, і, відповідно, прийматиме значення від 1 (повний збіг сигналів) до -1 (повна протилежність) і не залежить від значення (масштабу) одиниць вимірів.

У варіанті автокореляції (autocorrelation) за аналогічною методикою проводиться визначення скалярного добутку сигналу s(t) із власною копією, що ковзає за аргументом. Автокореляція дозволяє оцінити середньостатистичну залежність поточних відліків сигналу від своїх попередніх і наступних значень (так званий радіус кореляції значень сигналу), а також виявити в сигналі наявність елементів, що періодично повторюються.

Особливого значення методи кореляції мають під час аналізу випадкових процесівдля виявлення невипадкових складових та оцінки невипадкових параметрів цих процесів.

Зауважимо, що в термінах "кореляція" та "коваріація" існує деяка плутанина. У математичній літературі термін "коваріація" застосовується до центрованих функцій, а "кореляція" - довільних. В технічній літературі, і особливо в літературі за сигналами та методами їх обробки, часто застосовується прямо протилежна термінологія. Принципового значення це немає, але за знайомстві з літературними джерелами варто звертати увагу до прийняте призначення даних термінів.

6.1. Автокореляційні функції сигналів.

Поняття автокореляційних функцій сигналів . Автокореляційна функція (АКФ, CF - correlation function) сигналу s(t), кінцевого по енергії, є кількісною інтегральною характеристикою форми сигналу, виявлення в сигналі характеру та параметрів взаємного тимчасового зв'язку відліків, що завжди має місце для періодичних сигналів, а також інтервалу та ступеня залежності значень відліків у поточні моменти часу передісторії поточного моменту. АКФ визначається інтегралом від добутку двох копій сигналу s(t), зрушених відносно один одного на час t:

Bs(t) = s(t) s(t+t) dt = as(t), s(t+t)ñ = ||s(t)|| ||s(t+t)|| cos j(t). (6.1.1)

Як випливає з цього виразу, АКФ є скалярним добутком сигналу та його копії у функціональній залежності від змінної величини значення зсуву t. Відповідно, АКФ має фізичну розмірність енергії, а при t = 0 значення АКФ безпосередньо дорівнює енергії сигналу і є максимально можливим (косинус кута взаємодії сигналу із самим собою дорівнює 1):

Bs (0) = s (t) 2 dt = Es.

АКФ відноситься до парних функцій, у чому неважко переконатися заміною змінної t = t-t у виразі (6.1.1):

Bs(t) = s(t-t) s(t) dt = Bs(-t).

Максимум АКФ, рівний енергії сигналу при t=0, завжди позитивний, а модуль АКФ за будь-якого значення тимчасового зсуву вбирається у енергії сигналу. Останнє прямо випливає із властивостей скалярного твору (як і нерівність Коши-Буняковського):

ás(t), s(t+t)ñ =||s(t)||×||s(t+t)||×cos j(t),

cos j(t) = 1 при t = 0, ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)||×||s(t)|| = Es,

cos j(t)< 1 при t ¹ 0, ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)||×||s(t+t)||×cos j(t) < Es.

Як приклад на рис. 6.1.1 наведено два сигнали – прямокутний імпульс і радіоімпульс однакової тривалості Т, і відповідні даним сигналам форми їх АКФ. Амплітуда коливань радіоімпульсу встановлено рівної амплітуди прямокутного імпульсу, при цьому енергії сигналів також будуть однаковими, що підтверджується рівними значеннями центральних максимумів АКФ. При кінцевій тривалості імпульсів тривалості АКФ також кінцеві, і дорівнюють подвоєним значенням тривалості імпульсів (при зрушенні копії кінцевого імпульсу на інтервал його тривалості як вліво, так і вправо, твір імпульсу зі своєю копією стає рівним нулю). Частота коливань АКФ радіоімпульсу дорівнює частоті коливань заповнення радіоімпульсу (бічні мінімуми та максимуми АКФ виникають щоразу при послідовних зрушеннях копії радіоімпульсу на половину періоду коливань його заповнення).

З урахуванням парності, графічне уявленняАКФ зазвичай виробляється лише позитивних значень t. Насправді сигнали зазвичай задаються на інтервалі позитивних значень аргументів від 0-Т. Знак +t у виразі (6.1.1) означає, що при збільшенні значень t копія сигналу s(t+t) зрушується вліво по осі t і йде за 0. Для цифрових сигналів це вимагає відповідного продовження даних в область негативних значень аргументу. Оскільки при обчисленнях інтервал завдання t зазвичай набагато менше інтервалу завдання сигналу, більш практичним є зсув копії сигналу вліво по осі аргументів, т. е. застосування у виразі (6.1.1) функції s(t-t) замість s(t+t ).

Bs(t) = s(t) s(t-t) dt. (6.1.1")

Для фінітних сигналів у міру збільшення значення величини зсуву t тимчасове перекриття сигналу з його копією зменшується, а, відповідно, косинус кута взаємодії та скалярний твір загалом прагнуть нуля:

АКФ, обчислена за центрованим значенням сигналу s(t), є автоковарійнуфункцію сигналу:

Cs(t) = dt, (6.1.2)

де ms - Середнє значення сигналу. Коваріаційні функції пов'язані з кореляційними функціями досить простим співвідношенням:

Cs(t) = Bs(t) – ms2.

АКФ сигналів, обмежених у часі. Насправді зазвичай досліджуються і аналізуються сигнали, задані певному інтервалі. Для порівняння АКФ сигналів, заданих різних часових інтервалах, практичне застосування знаходить модифікація АКФ з нормуванням на довжину інтервалу. Так, наприклад, при заданні сигналу на інтервалі:

Bs(t) = s(t) s(t+t) dt. (6.1.3)

АКФ може бути обчислена і для слабозагасних сигналів з нескінченною енергією, як середнє значення скалярного твору сигналу та його копії при прагненні інтервалу завдання сигналу до нескінченності:

Bs(t) = . (6.1.4)

АКФ за даними виразами має фізичну розмірність потужності, і дорівнює середньої взаємної потужності сигналу та його копії у функціональній залежності від зсуву копії.

АКФ періодичних сигналів. Енергія періодичних сигналів нескінченна, тому АКФ періодичних сигналів обчислюється по одному періоду Т, з усередненням скалярного добутку сигналу та його зрушеної копії в межах періоду:

Bs(t) = (1/Т)s(t) s(t-t) dt. (6.1.5)

Математично суворіше вираз:

Bs(t) = .

При t=0 значення нормованої період АКФ дорівнює середньої потужностісигналів у межах періоду. При цьому АКФ періодичних сигналів є періодичною функцією з тим же періодом Т. Так, сигналу s(t) = A cos(w0t+j0) при T=2p/w0 маємо:

Bs(t) = A cos(w0t+j0) A cos(w0(t-t)+j0) = (A2/2) cos(w0t). (6.1.6)

Отриманий результат залежить від початкової фази гармонійного сигналу, що притаманно будь-яких періодичних сигналів і одна із властивостей АКФ. За допомогою функцій автокореляції можна перевіряти наявність періодичних властивостей будь-яких довільних сигналах. Приклад автокореляційної функції періодичного сигналу наведено на рис. 6.1.2.

Функції автоковарації (ФАК) обчислюються аналогічно, за центрованими значеннями сигналу. Чудовою особливістю цих функцій є прості співвідношення з дисперсією ss2 сигналів (квадратом стандарту - середнього квадратичного відхилення значень сигналу від середнього значення). Як відомо, значення дисперсії дорівнює середній потужності сигналів, звідки слідує:

|Cs(t)| ≤ ss2, Cs(0) = ss2 º ||s(t)||2. (6.1.7)

Значення ФАК, нормовані значення дисперсії, є функцію автокореляційних коефіцієнтів:

rs(t) = Cs(t)/Cs(0) = Cs(t)/ss2 º cos j(t). (6.1.8)

Іноді цю функцію називають "справжньою" автокореляційною функцією. З огляду на нормування її значення залежить від одиниць (масштабу) подання значень сигналу s(t) і характеризують ступінь лінійного зв'язку між значеннями сигналу залежно від величини зсуву t між відліками сигналу. Значення rs(t) º cos j(t) можуть змінюватися від 1 (повна пряма кореляція відліків) до -1 (зворотна кореляція).

На рис. 6.1.3 наведено приклад сигналів s(k) та s1(k) = s(k)+шум з відповідними цим сигналам коефіцієнтами ФАК - rs та rs1. Як видно на графіках, ФАК упевнено виявила наявність періодичних коливань у сигналах. Шум у сигналі s1(k) знизив амплітуду періодичних коливань без зміни періоду. Це підтверджує графік кривої Cs/ss1, тобто ФАК сигналу s(k) з нормуванням (для зіставлення) на значення дисперсії сигналу s1(k), де наочно можна бачити, що шумові імпульси за повної статистичної незалежності своїх відліків викликали збільшення значення Сs1(0) по відношенню до значення Cs(0) і дещо "розмили" функцію коефіцієнтів автоковаріації. Це викликано тим, що значення rs(t) шумових сигналів прагне 1 при t ® 0 і флюктує відносно нуля при t ≠ 0, при цьому амплітуди флюктуацій статистично незалежні і залежать від кількості вибірок сигналу (прагнуть до нуля зі збільшенням кількості відліків).

АКФ дискретних сигналів. При інтервалі дискретизації даних Dt = const обчислення АКФ виконується за інтервалами Dt = Dt і зазвичай записується як дискретна функція номерів n зсуву відліків nDt:

Bs(nDt) = Dtsk×sk-n. (6.1.9)

Дискретні сигнали зазвичай задаються як числових масивів певної довжини з нумерацією відліків до = 0,1,…К при Dt=1, а обчислення дискретної АКФ в одиницях енергії виконується в односторонньому варіанті з урахуванням довжини масивів. Якщо використовується весь масив сигналу і число відліків АКФ дорівнює кількості відліків масиву, то обчислення виконується за формулою:

Bs(n) = sk×sk-n. (6.1.10)

Множник K/(K-n) у цій функції є поправним коефіцієнтом на поступове зменшення числа значень, що перемножуються і підсумовуються в міру збільшення зсуву n. Без цієї поправки для нецентрованих сигналів значення АКФ з'являється тренд підсумовування середніх значень. При вимірах в одиницях потужності сигналу множник К/(K-n) замінюється на множник 1/(K-n).

Формула (6.1.10) застосовується досить рідко, переважно для детермінованих сигналів з невеликим числом відліків. Для випадкових і зашумлених сигналів зменшення знаменника (K-n) і числа відліків, що перемножуються, у міру збільшення зсуву призводить до наростання статистичних флюктуацій обчислення АКФ. Велику достовірність у умовах забезпечує обчислення АКФ в одиницях потужності сигналу по формуле:

Bs(n) = sk×sk-n, sk-n = 0 при k-n< 0, (6.1.11)

тобто з нормуванням на постійний множник 1/K і з продовженням сигналу нульовими значеннями (ліворуч при зсувах k-nабо праворуч при використанні зрушень k+n). Ця оцінка є зміщеною та має дещо меншу дисперсію, ніж за формулою (6.1.10). Різницю між нормуваннями за формулами (6.1.10) та (6.1.11) можна наочно бачити на рис. 6.1.4.

Формулу (6.1.11) можна розглядати як усереднення суми творів, тобто як оцінку математичного очікування:

Bs(n) = M(sk sk-n) @ . (6.1.12)

Фактично, дискретна АКФ має такі ж властивості, як і безперервна АКФ. Вона також є парною, а її значення при n = 0 дорівнює енергії чи потужності дискретного сигналу залежно від нормування.

АКФ зашумлених сигналів . Зашумлений сигнал записується як суми v(k) = s(k)+q(k). У загальному випадку шум не обов'язково повинен мати нульове середнє значення, і нормована за потужністю автокореляційна функція. цифрового сигналу, що містить N - відліків, записується в наступному вигляді:

Bv(n) = (1/N) as(k)+q(k), s(k-n)+q(k-n)ñ =

= (1/N) [as(k), s(k-n)ñ + ás(k), q(k-n)ñ + aq(k), s(k-n)ñ + áq(k), q(k-n)ñ ] =

Bs(n) + M(sk qk-n) + M(qk sk-n) + M(qk qk-n).

Bv(n) = Bs(n) + + +. (6.1.13)

При статистичній незалежності корисного сигналу s(k) та шуму q(k) з урахуванням розкладання математичного очікування

M(sk qk-n) = M(sk) M(qk-n) =

може використовуватися така формула:

Bv(n) = Bs(n) + 2 +. (6.1.13")

Приклад зашумленого сигналу та його АКФ у порівнянні з незашумленим сигналом наведено на рис. 6.1.5.

З формул (6.1.13) випливає, що АКФ зашумленого сигналу складається з АКФ сигнальної компоненти корисного сигналу з накладеною 2+шумової функцією, що затухає до значення. При більших значеннях K, коли → 0, є Bv(n) » Bs(n). Це дає можливість не тільки виділяти по АКФ періодичні сигнали, практично повністю приховані в шумі (потужність шумів набагато більша за потужність сигналу), але і з високою точністю визначати їх період і форму в межах періоду, а для одночастотних гармонійних сигналів - і їх амплітуду з використанням вирази (6.1.6).

Кодові сигнали є різновидом дискретних сигналів. На певному інтервалі кодового слова М×Dt можуть мати лише два амплітудних значення: 0 і 1 або 1 і –1. При виділенні кодів істотному рівні шумів форма АКФ кодового слова має особливе значення. З цієї позиції найкращими вважаються такі коди, значення бічних пелюсток АКФ яких мінімальні по всій довжині інтервалу кодового слова за максимального значення центрального піку. До таких кодів належить код Баркера, наведений у таблиці 6.1. Як видно з таблиці, амплітуда центрального піку коду чисельно дорівнює значенню М, при цьому амплітуда бічних осциляцій при n 0 не перевищує 1.

6.2. Взаємні кореляційні функції сигналів.

Взаємна кореляційна функція (ВКФ) різних сигналів(cross-correlation function, CCF) описує як ступінь подібності форми двох сигналів, і їх взаємне розташування друг щодо друга по координаті (незалежної змінної). Узагальнюючи формулу (6.1.1) автокореляційної функції на два різні сигнали s(t) і u(t), отримуємо наступний скалярний добуток сигналів:

Bsu(t) = s(t) u(t+t) dt. (6.2.1)

Взаємна кореляція сигналів характеризує певну кореляцію явищ і фізичних процесів, що відображаються даними сигналами, і може бути мірою "стійкості" даного взаємозв'язку при роздільній обробці сигналів різних пристроях. Для кінцевих енергії сигналів ВКФ також кінцева, при цьому:

|Bsu(t)| £ ||s(t)||×||u(t)||,

що випливає з нерівності Коші-Буняковського та незалежності норм сигналів від зсуву по координатах.

При заміні змінної t = t-t у формулі (6.2.1) отримуємо:

Bsu(t) = s(t-t) dt = u(t) dt = Bus(-t).

Звідси випливає, що з ВКФ не виконується умова парності, Bsu(t) ¹ Bsu(-t), і значення ВКФ нічого не винні мати максимум при t = 0.

Це можна наочно бачити на рис. 6.2.1, де задані два однакові сигнали з центрами на точках 0.5 та 1.5. Обчислення за формулою (6.2.1) з поступовим збільшеннямзначень t означає послідовні зрушення сигналу s2(t) вліво по осі часу (для кожного значення s1(t) для підінтегрального множення беруться значення s2(t+t)). При t=0 сигнали ортогональні та значення B12(t)=0. Максимум В12(t) спостерігатиметься при зрушенні сигналу s2(t) вліво на значення t=1, при якому відбувається повне поєднання сигналів s1(t) і s2(t+t).

Одні й самі значення ВКФ за формулами (6.2.1) і (6.2.1") спостерігаються при тому самому взаємному положенні сигналів: при зрушенні на інтервал t сигналу u(t) щодо s(t) вправо по осі ординат і сигналу s(t) щодо сигналу u(t) вліво, тобто Bsu(t) = Bus(-t).

На рис. 6.2.2 наведено приклади ВКФ для прямокутного сигналу s(t) та двох однакових трикутних сигналів u(t) та v(t). Всі сигнали мають однакову тривалість Т, причому сигнал v(t) зрушений вперед на інтервал Т/2.

Сигнали s(t) і u(t) однакові за тимчасовим розташуванням і площа "перекриття" сигналів максимальна при t=0, що фіксується функцією Bsu. Разом з тим функція Bsu різко асиметрична, тому що при асиметричній формі сигналу u(t) для симетричної форми s(t) (щодо центру сигналів) площа "перекриття" сигналів змінюється по-різному в залежності від напрямку зсуву (знака t зі збільшенням значення t від нуля). При зміщенні вихідного положення сигналу u(t) вліво по осі ординат (на випередження сигналу s(t) - сигнал v(t)) форма ВКФ залишається без зміни і зсувається праворуч на таке значення величини зсуву - функція Bsv на рис. 6.2.2. Якщо поміняти місцями вираження функцій (6.2.1), то нова функція Bvs буде дзеркально повернутою щодо t=0 функцією Bsv.

З урахуванням цих особливостей повне ВКФ обчислюється, як правило, окремо для позитивних та негативних запізнювань:

Bsu(t) = s(t) u(t+t) dt. Bus(t) = u(t) s(t+t) dt. (6.2.1")

Взаємна кореляція зашумлених сигналів . Для двох зашумлених сигналів u(t) = s1(t)+q1(t) та v(t) = s2(t)+q2(t), застосовуючи методику виведення формул (6.1.13) із заміною копії сигналу s(t) ) на сигнал s2(t), неважко вивести формулу взаємної кореляції в наступному вигляді:

Buv(t) = Bs1s2(t) + Bs1q2(t) + Bq1s2(t) + Bq1q2(t). (6.2.2)

Останні три члени у правій частині (6.2.2) згасають до нуля зі збільшенням t. При великих інтервалах завдання сигналів вираз може бути записано у такій формі:

Buv(t) = Bs1s2(t) + + +. (6.2.3)

При нульових середніх значеннях шумів та статистичної незалежності від сигналів має місце:

Buv(t) → Bs1s2(t).

ВКФ дискретних сигналів Усі властивості ВКФ аналогових сигналівдійсні і для ВКФ дискретних сигналів, при цьому для них дійсні особливості дискретних сигналів, викладені вище для дискретних АКФ (формули 6.1.9-6.1.12). Зокрема, при Dt = const = 1 для сигналів x(k) та y(k) з числом відліків К:

Bxy(n) = xk yk-n. (6.2.4)

При нормуванні в одиницях потужності:

Bxy(n) = xk yk-n @ . (6.2.5)

Оцінка періодичних сигналів у шумі . Зашумлений сигнал можна оцінити за взаємною кореляцією з "еталонним" сигналом методом спроб і помилок з налаштуванням функції взаємної кореляції до максимального значення.

Для сигналу u(k)=s(k)+q(k) при статистичній незалежності шуму і → 0 функція взаємної кореляції (6.2.2) із шаблоном сигналу p(k) при q2(k)=0 набуває вигляду:

Bup(k) = Bsp(k) + Bqp(k) = Bsp(k) + .

Оскільки → 0 зі збільшенням N, то Bup(k) → Bsp(k). Очевидно, що функція Bup(k) матиме максимум, коли p(k) = s(k). Змінюючи форму шаблону p(k) і домагаючись максимізації функції Bup(k), можна отримати оцінку s(k) як оптимальної форми p(k).

Функція взаємних кореляційних коефіцієнтів (ВКФ) є кількісним показником ступеня подібності сигналів s(t) та u(t). Аналогічно функції автокореляційних коефіцієнтів, вона обчислюється через центровані значення функцій (для обчислення взаємної коваріації достатньо центрувати лише одну з функцій), і нормується на добуток значень стандартів функцій s(t) та v(t):

rsu(t) = Csu(t)/sssv. (6.2.6)

Інтервал зміни значень кореляційних коефіцієнтів при зсувах t може змінюватися від -1 (повна зворотна кореляція) до 1 (повна подібність або стовідсоткова кореляція). При зсувах t, у яких спостерігаються нульові значення rsu(t), сигнали незалежні друг від друга (некоррелированны). Коефіцієнт взаємної кореляції дозволяє встановлювати наявність зв'язку між сигналами незалежно від фізичних властивостей сигналів та його величини.

При обчисленні ВКФ зашумлених дискретних сигналів обмеженої довжини з використанням формули (6.2.4) є можливість появи значень |rsu(n)| >1.

Для періодичних сигналів поняття ВКФ зазвичай не застосовується, крім сигналів з однаковим періодом, наприклад, сигналів входу і виходу щодо характеристик систем.

6.3. Спектральні щільності кореляційних функцій.

Спектральна щільність АКФ може бути визначена з таких простих міркувань.

Відповідно до виразу (6.1.1) АКФ є функцією скалярного твору сигналу та його копії, зсунутою на інтервал t, при -¥< t < ¥:

Bs(t) = ás(t), s(t-t)ñ.

Скалярний твір може бути визначений через спектральні щільності сигналу та його копії, твір яких є спектральною щільністю взаємної потужності:

ás(t), s(t-t)ñ = (1/2p)S(w) St*(w) dw.

Зсув сигналу по осі абсцис на інтервал t відображається в спектральному поданні множенням спектра сигналу на exp(-jwt), а для сполученого спектра на множник exp(jwt):

St * (w) = S * (w) exp (jwt).

З урахуванням цього отримуємо:

Bs(t) = (1/2p)S(w) S*(w) exp(jwt) dw =

= (1/2p) | S (w) | 2 exp (jwt) dw. (6.3.1)

Але останній вираз є зворотним перетворенням Фур'є енергетичного спектра сигналу (спектральної щільності енергії). Отже, енергетичний спектр сигналу та його автокореляційна функція пов'язані перетворенням Фур'є:

Bs(t) = S(w)|2 = Ws(w). (6.3.2)

Таким чином, спектральна густина АКФ є не що інше, як спектральна густина потужності сигналу, яка, у свою чергу, може визначатися прямим перетворенням Фур'є через АКФ:

| S (w) | 2 = Bs (t) exp (-jwt) dt. (6.3.3)

Останні вираз накладає певні обмеження на форму АКФ та методику їх обмеження за тривалістю.

Енергетичний спектр сигналів завжди позитивний, потужність сигналів може бути негативною. Отже, АКФ неспроможна мати форми прямокутного імпульсу, т. до. перетворення Фур'є прямокутного імпульсу – знакозмінний інтегральний синус. На АКФ не повинно бути і розривів першого роду (стрибків), тому що з урахуванням парності АКФ будь-який симетричний стрибок по координаті ±t породжує “поділ” АКФ на суму певної безперервної функції та прямокутного імпульсу тривалістю 2t з відповідною появою негативних значень спектрі. Приклад останнього наведено на рис. 6.3.1 (графіки функцій наведено, як прийнято для парних функцій, лише своєю правою частиною).

АКФ досить протяжних сигналів зазвичай обмежуються розмірами (досліджуються обмежені інтервали кореляції даних від –Т/2 до Т/2). Однак усічення АКФ, це множення АКФ на прямокутний селектуючий імпульс тривалістю Т, що частотної області відображається згорткою фактичного спектра потужності зі знакозмінною функцією інтегрального синуса sinc(wT/2). З одного боку, це викликає певне згладжування спектра потужності, що часто буває корисним, наприклад, для дослідження сигналів на значному рівні шумів. Але, з іншого боку, може відбуватися і істотне заниження величини енергетичних піків, якщо в сигналі є якісь гармонійні складові, а також поява негативних значень потужності на крайових частинах піків і стрибків. Приклад прояву цих факторів наведено на рис. 6.3.2.

Мал. 6.3.2. Обчислення енергетичного спектра сигналу АКФ різної довжини.

Як відомо, спектри потужності сигналів немає фазової характеристики і з них неможливо відновлення сигналів. Отже, АКФ сигналів, як тимчасове представлення спектрів потужності, також не має інформації про фазові характеристики сигналів і відновлення сигналів АКФ неможливо. Сигнали однієї форми, зрушені у часі, мають однакові АКФ. Більш того, сигнали різної форми можуть мати подібні АКФ, якщо мають близькі спектри потужності.

Перепишемо рівняння (6.3.1) у наступній формі

s(t) s(t-t) dt = (1/2p)S(w) S*(w) exp(jwt) dw,

і підставимо на цей вираз значення t=0. Отримана рівність добре відома і називається рівністю Парсеваля

s2(t) dt = (1/2p) | S (w) | 2 dw.

Воно дозволяє обчислювати енергію сигналу, як у часової, і частотної області описи сигналів.

Інтервал кореляції сигналу є числовим параметром оцінки ширини АКФ та ступеня значної кореляції значень сигналу за аргументом.

Якщо припустити, що сигнал s(t) має приблизно рівномірний енергетичний спектр зі значенням W0 і верхньою граничною частотою до wв (форма центрованого прямокутного імпульсу, як, наприклад, сигнал 1 на рис. 6.3.3 з fв=50 Гц в односторонньому поданні ), то АКФ сигналу визначиться виразом:

Bs(t) = (Wo/p)cos(wt) dw = (Wow/p) sin(wt//wt).

Інтервалом кореляції сигналу tк вважається величина ширини центрального піку АКФ від максимуму до першого перетину нульової лінії. В даному випадку для прямокутного спектру з верхньою граничною частотою wв перше перетин нуля відповідає sinc(wвt) = 0 при wвt = p, звідки:

tк = p/wв = 1/2fв. (6.3.4)

Інтервал кореляції тим менше, що вище верхня гранична частота спектра сигналу. Для сигналів з плавним зрізом по верхній граничній частотіроль параметра w грає середня ширина спектра (сигнал 2 на рис. 6.3.3).

Спектральна щільність потужності статистичних шумів при одиничному вимірі є випадковою функцією Wq(w) із середнім значенням Wq(w) Þ sq2, де sq2 – дисперсія шумів. У межі, при рівномірному спектральному розподілі шумів від 0 до ¥, АКФ шумів прагне значення Bq(t) ? sq2 при t ? 0, Bq(t) ? 0 при t ? 0, тобто статистичні шуми не кореловані (t Þ 0).

Практичні обчислення АКФ фінітних сигналів зазвичай обмежуються інтервалом зрушень t = (0, (3-5)tk), в якому, як правило, зосереджена основна інформація з автокореляції сигналів.

Спектральна густина ВКФ може бути отримана на підставі тих же міркувань, що і для АФК, або безпосередньо з формули (6.3.1) заміною спектральної щільності сигналу S(w) спектральну щільність другого сигналу U(w):

Bsu(t) = (1/2p) S * (w) U (w) exp (jwt) dw. (6.3.5)

Або при зміні порядку сигналів:

Bus(t) = (1/2p)U*(w) S(w) exp(jwt) dw. (6.3.5")

Твір S*(w)U(w) є взаємним енергетичним спектром Wsu(w) сигналів s(t) і u(t). Відповідно, U * (w) S (w) = Wus (w). Отже, як і АКФ, взаємнокореляційна функція та спектральна щільність взаємної потужності сигналів пов'язані між собою перетвореннями Фур'є:

Bsu(t) û Wsu(w) º W*us(w). (6.3.6)

Bus(t) Wus(w) º W*su(w). (6.3.6")

Загалом, крім спектрів парних функцій, з умови недотримання парності для функцій ВКФ випливає, що взаємні енергетичні спектри є комплексними функціями:

U(w) = Au(w) + j Bu(w), V(w) = Av(w) + j Bv(w).

Wuv = AuAv + BuBv + j (BuAv - AuBv) = Re Wuv (w) + j Im Wuv (w),

На рис. 6.3.4 можна наочно бачити особливості формування ВКФ з прикладу двох однакових формою сигналів, зрушених щодо друг друга.

Мал. 6.3.4. Формування ВКФ.

Форма сигналів та їх взаємне розташування наведені у вигляді А. Модуль і аргумент спектра сигналу s(t) наведені у вигляді У. Модуль спектра u(t) тотожний модулю S(w). На цьому ж наведено модуль спектру взаємної потужності сигналів S(w)U*(w). Як відомо, при перемноженні комплексних спектрів модулі спектрів перемножуються, а фазові кути складаються, при цьому для пов'язаного спектра U * (w) фазовий кут змінює знак. Якщо першим у формулі обчислення ВКФ (6.2.1) стоїть сигнал s(t), а сигнал u(t-t) на осі ординат коштуватиме попереду s(t), то фазові кути S(w) у міру збільшення частоти наростають у бік негативних значень. кутів (без урахування періодичного скидання значень на 2p), а фазові кути U*(w) за абсолютними значеннями менше фазових кутів s(t) і наростають (за рахунок сполучення) у бік позитивних значень. Результатом множення спектрів (як це видно на рис. 6.3.4, вид С) є віднімання з фазових кутів S(w) значень кутів U*(w), при цьому фазові кути спектра S(w)U*(w) залишаються в області негативних значень, що забезпечує зсув всієї функції ВКФ (і її пікових значень) праворуч від нуля по осі t на певну величину (для однакових сигналів – на величину різниці між сигналами по осі ординат). При зміщенні початкового положення сигналу u(t) у бік сигналу s(t) фазові кути S(w)U*(w) зменшуються, межі до нульових значень при повному поєднанні сигналів, при цьому функція Bsu(t) зміщується до нульових значень t, межі до звернення до АКФ (для однакових сигналах s(t) і u(t)).

Як відомо для детермінованих сигналів, якщо спектри двох сигналів не перекриваються і, відповідно, взаємна енергія сигналів дорівнює нулю, такі ортогональні сигнали один одному. Зв'язок енергетичних спектрів та кореляційних функцій сигналів показує ще один бік взаємодії сигналів. Якщо спектри сигналів не перекриваються і їхній взаємний енергетичний спектр дорівнює нулю на всіх частотах, то при будь-яких тимчасових зрушеннях t один щодо одного їх ВКФ також дорівнює нулю. А це означає, що такі сигнали є некорельованими. Це дійсно як для детермінованих, так і для випадкових сигналівта процесів.

Обчислення кореляційних функцій за допомогою ШПФ є, особливо для довгих числових рядів, у десятки та сотні разів більше швидким методом, ніж послідовними зрушеннями у часовій області за великих інтервалів кореляції. Суть методу випливає із формул (6.3.2) для АКФ та (6.3.6) для ВКФ. Враховуючи, що АКФ можна розглядати як окремий випадок ВКФ при тому самому сигналі, процес обчислення розглянемо на прикладі ВКФ для сигналів x(k) і y(k) з числом відліків К. Він включає:

1. Обчислення БПФ спектрів сигналів x(k) → X(k) та y(k) → Y(k). При різній кількості відліків більш короткий ряд доповнюється нулями до більшого ряду.

2. Обчислення спектрів густини потужності Wxy(k) = X*(k) Y(k).

3. Зворотне БПФ Wxy(k) → Bxy(k).

Зазначимо деякі особливості методу.

При зворотному БПФ, як відомо, обчислюється циклічна згортка функцій x(k) ③ y(k). Якщо число відліків функцій дорівнює К, число комплексних відліків спектрів функцій дорівнює К, так само як і число відліків їх твору Wxy (k). Відповідно, число відліків Bxy(k) при зворотному БПФ також дорівнює К і циклічно повторюється з періодом, рівним К. Тим часом, при лінійному згортанні повних масивів сигналів за формулою (6.2.5) розмір лише однієї половини ВКФ становить До точок, а повний двосторонній розмір становить 2К точок. Отже, при зворотному БПФ з урахуванням циклічності згортки відбудеться накладення на головний період ВКФ її бічних періодів, як і за звичайної циклічної згортки двох функцій.

На рис. 6.3.5 наведено приклад двох сигналів та значення ВКФ, обчислені лінійною згорткою (В1ху) та циклічною згорткою через БПФ (В2ху). Для виключення ефекту накладання бічних періодів необхідно доповнити сигнали нулями, в межі, до подвоєння кількості відліків, при цьому результат БПФ (графік В3ху на малюнку 6.3.5) повністю повторює результат лінійної згортки (з урахуванням нормування збільшення кількості відліків).

Насправді число нулів продовження сигналів залежить від характеру кореляційної функції. Мінімальна кількість нулів зазвичай приймається рівною значущою інформаційною частиною функцій, тобто порядку (3-5) інтервалів кореляції.

література

1. Баскаків ланцюги та сигнали: Підручник для вузів. - М: Вища школа, 1988.

19. Прикладний аналіз часових рядів. - М.: Світ, 1982. - 428 с.

25. Сергієнко обробка сигналів. / Підручник для вузів. - СПб.: Пітер, 203. - 608 с.

33. Цифрова обробкасигналів. Практичний підхід / М., "Вільямс", 2004, 992 с.

Про помічені помилки, помилки та пропозиції щодо доповнення: *****@***ru.

Copyright©2008ДавидовА.V.

Сенс спектрального аналізу сигналів полягає у вивченні того, як сигнал може бути представлений у вигляді суми (або інтеграла) простих гармонійних коливань і як форма сигналу визначає структуру розподілу частот амплітуд і фаз цих коливань. На противагу цьому завданням кореляційного аналізу сигналів є визначення міри подібності та відмінності сигналів або зрушених за часом копій одного сигналу. Введення заходу відкриває шляхи проведення кількісних вимірювань ступеня схожості сигналів. Буде показано, що існує певний взаємозв'язок між спектральними та кореляційними характеристиками сигналів.

3.1 Автокореляційна функція (акф)

Автокореляційна функція сигналу з кінцевою енергією – це значення інтеграла від добутку двох копій цього сигналу, зрушених щодо один одного на час τ, що розглядається у функції цього тимчасового зсуву τ:

Якщо сигнал визначено на кінцевому інтервалі часу , його АКФ перебуває як:

,

де
- Інтервал перекриття зрушених копій сигналу.

Вважається, що чим більше значення автокореляційної функції
при даному значенні тим більше дві копії сигналу, зсунуті на проміжок часу , схожі один на одного. Тому кореляційна функція
і є мірою схожості зрушених копій сигналу.

Захід, що вводиться таким чином, для сигналів, що мають форму випадкових коливань навколо нульового значення, має наступні характерні властивості.

Якщо зрушені копії сигналу коливаються приблизно такт друг до друга, це ознакою їх схожості і АКФ приймає великі позитивні значення (велика позитивна кореляція). Якщо копії коливаються майже протифазі, АКФ приймає великі негативні значення (антисходство копій сигналу, велика негативна кореляція).

Максимум АКФ досягається при збігу копій, тобто за відсутності зсуву. Нульові значення АКФ досягаються при зрушеннях, при яких не помітно ні подібності, ні антиподібності копій сигналу (нульова кореляція, відсутність кореляції).

На рис.3.1 зображено фрагмент реалізації деякого сигналу інтервалі часу від 0 до 1 с. Сигнал випадково коливається навколо нульового значення. Оскільки інтервал існування сигналу кінцевий, то кінцева та її енергія. Його АКФ можна обчислити відповідно до рівняння:

.

Автокореляційна функція сигналу, обчислена в MathCad відповідно до цього рівняння, представлена ​​на рис. 3.2. Кореляційна функція показує не тільки те, що сигнал схожий сам на себе (зсув τ=0), але й те, що деякою схожістю володіють і копії сигналу, зрушені одна щодо одної приблизно на 0.063 с (бічний максимум автокореляційної функції). На противагу цьому копії сигналу зрушені на 0.032 с, повинні бути антиподібні дуг на одного, тобто бути в деякому сенсі протилежними один одному.

На рис.33 показані пари цих двох копій. На малюнку можна простежити, що розуміється під схожістю та антисхожістю копій сигналу.

Кореляційна функція має такі властивості:

1. При τ = 0 автокореляційна функція приймає найбільше значення, що дорівнює енергії сигналу

2. Автокореляційна функція є парною функцією тимчасового зсуву
.

3. Зі зростанням τ автокореляційна функція зменшується до нуля

4. Якщо сигнал не містить розривів типу δ - функцій, то
- Безперервна функція.

5. Якщо сигнал є електричною напругою, кореляційна функція має розмірність
.

Для періодичних сигналів у визначенні автокореляційної функції той самий інтеграл ділять ще період повторення сигналу:

.

Так введена кореляційна функція відрізняється такими властивостями:

Наприклад обчислимо кореляційну функцію гармонійного коливання :

Використовуючи ряд тригонометричних перетворень, отримаємо остаточно:

Таким чином, автокореляційна функція гармонійного коливання є косінусоїдою з тим самим періодом зміни, що і сам сигнал. При зрушеннях, кратних періоду коливання, гармоніка перетворюється на себе і АКФ приймає найбільші значення, рівні половині квадрата амплітуди. Зсуви за часом, кратні половині періоду коливання, рівносильні зміщенню фази на кут
, у своїй змінюється знак коливань, а АКФ приймає мінімальне значення, негативне і дорівнює половині квадрата амплітуди. Зрушення, кратні чверті періоду, переводять, наприклад, синусоїдальне коливання в косінусоїдальне і навпаки. При цьому АКФ перетворюється на нуль. Такі сигнали, що у квадратурі друг щодо друга, з погляду автокореляційної функції виявляються зовсім схожими друг на друга.

Важливим є те, що вираз для кореляційної функції сигналу не увійшла його початкова фаза. Інформація про фазу загубилася. Це означає, що з кореляційної функції сигналу не можна відновити сам сигнал. Відображення
на противагу відображенню
не є взаємно однозначним.

Якщо під механізмом генерування сигналів розуміти якогось деміурга, що створює сигнал з обраної ним кореляційної функції, то він зміг би створити цілу сукупність сигналів (ансамбль сигналів), що мають дійсно одну і ту ж кореляційну функцію, але відрізняються один від одного фазовими співвідношеннями.

актом прояву сигналом своєї вільної волі, незалежної від волі творця (виникнення окремих реалізацій деякого випадкового процесу),

результатом стороннього насильства над сигналом (введення у сигнал вимірювальної інформації, одержуваної під час проведення вимірювань будь-якої фізичної величини).

Аналогічно справи з будь-яким періодичним сигналом. Якщо періодичний сигнал із основним періодом Т має амплітудний спектр
та фазовий спектр
, то кореляційна функція сигналу набуває наступного вигляду:

.

Вже в цих прикладах проявляється деякий зв'язок між кореляційною функцією та спектральними властивостями сигналу. Докладніше про ці співвідношення йтиметься надалі.