У фільтрах розрахунок зазвичай починають із завдання параметрів фільтра, найголовнішим є АЧХ. Як ми вже обговорювали у статті, спочатку здійснюється приведення вимог заданого фільтра до вимог ФНЧ-прототипу. Приклад вимог до амплітудно-частотної характеристики ФНЧ-прототипу фільтра проектованого наведено на малюнку 1.

На даному графіку наведено залежність коефіцієнта передачі фільтра до нормованої частоти ξ , де ξ = f/fв

На наведеному малюнку 1 графіку видно, що у смузі пропускання задається допустима нерівномірність коефіцієнта передачі. У смузі непропускання задається мінімальний коефіцієнт придушення сигналу, що заважає. Реальна фільтр може мати будь-яку форму. Головне, щоб вона не перетинала межі заданих вимог.

Достатньо довгий часрозрахунок фільтра вели методом підбору амплітудно-частотної характеристики за допомогою стандартних ланок (m-ланка або k-ланка). Подібний метод називався методом аплікації. Він був досить складний і не давав оптимального співвідношення якості розробленого фільтра та кількості ланок. Тому було розроблено математичні методи апроксимації амплітудно-частотної характеристики із заданими характеристиками.

Апроксимацією в математиці називають уявлення складної залежності деякою відомою функцією. Зазвичай ця функція досить проста. У разі розробки фільтра важливо, щоб апроксимуюча функція легко могла бути реалізована схемотехнічно. І тому функції реалізуються з допомогою нулів і полюсів коефіцієнта передачі четырехполюсника, у разі фільтра. Вони легко реалізуються за допомогою LC-контурів або зі зворотними зв'язками.

Найбільш поширеним видом апроксимації АЧХ фільтра є апроксимація за Баттервортом. Подібні фільтри отримали назву фільтри Баттерворт.

Фільтри Баттерворта

Відмінною особливістю амплітудно-частотної характеристики фільтра Баттерворта є відсутність мінімумів та максимумів у смузі пропускання та затримування. Спад АЧХ межі смуги пропускання цих фільтрів дорівнює 3 дБ. Якщо від фільтра потрібно менше значення нерівномірності у смузі пропускання, то повертаючи частота фільтра fвибирається вище заданої верхньої частоти смуги пропускання. Функція апроксимації АЧХ для ФНЧ-прототипу фільтра Баттерворта виглядає так:

де ξ - Нормована частота;
n- Порядок фільтра.

При цьому реальну амплітудно-частотну характеристику фільтра можна отримати, помноживши нормовану частоту ξ частоту зрізу фільтра. Для фільтра Баттерворта нижніх частот функція апроксимації АЧХ виглядатиме так:

Зараз звернемо увагу, що при розрахунку фільтрів широко використовується поняття комплексної s-площини, на якій по осі ординат відкладено кругову частоту. jω, а по осі абсцис - величина, обернена добротності. Таким чином, можна визначити основні параметри LC-контурів, які входять до складу схеми фільтра: частоту налаштування (резонансну частоту) і добротність. Перехід у s-площину здійснюється за допомогою .

Детальний висновок положення полюсів фільтра Баттерворта на комплексній s-площині наведено в . Для нас головне, що полюси цього фільтра розташовані на одиничному колі на рівній відстані один від одного. Кількість полюсів визначається порядком фільтра.

На малюнку 2 наведено розташування полюсів для фільтра Баттерворт першого порядку. Поруч показана АЧХ, що відповідає даному розташуванню полюсів на комплексній s-площині.

На малюнку 2 видно, що для фільтра першого порядку полюс повинен бути налаштований на нульову частоту і його добротність повинна дорівнювати одиниці. На графіці АЧХ видно, що частота налаштування полюса дійсно дорівнює нулю, а добротність полюса така, що на частоті зрізу нормованого фільтра Баттерворта, що дорівнює одиниці, коефіцієнт передачі дорівнює −3дБ.

Так само визначаються полюси для фільтра Баттерворта другого порядку. Цього разу частота налаштування полюса вибирається на перетині одиничного кола з прямою, що проходить через центр кола під кутом 45° Приклад розташування полюсів на комплексній s-площині та АЧХ фільтра Баттерворта другого порядку наведено на малюнку 3.

У разі резонансна частота полюса розташована неподалік частоти зрізу нормованого фільтра. Вона дорівнює 0,707. Добротність полюса за графіком розташування полюсів у корінь з двох разів вище за добротність полюса фільтра Баттерворта першого порядку, тому крутість спаду амплітудно-частотної характеристики виходить більше. (Зверніть увагу на цифри у правій частині графіка. При відбудові за частотою, що дорівнює 2, пригнічення дорівнює вже 13 дБ) Ліва частина амплітудно-частотної характеристики полюса виходить плоскою. Це з впливом полюса, що у зоні негативних частот.

Розташування полюсів та амплітудно-частотна характеристика фільтра Баттерворта третього порядку показано на малюнку 4.

Як видно з графіків, показаних на малюнках 2 ... 5, при збільшенні порядку фільтра Баттерворт збільшується крутість спаду амплітудно-частотної характеристики і зростає потрібна добротність ланцюга другого порядку (контуру), що реалізує полюс характеристики передачі фільтра. Саме зростанням потрібної добротності обмежується максимальний порядок фільтра, який вдається реалізувати. Нині вдається реалізувати фільтри Баттерворта до восьмого — десятого порядку.

Фільтри Чебишева

У фільтрах Чебишева апроксимація амплітудно-частотної характеристики проводиться наступним чином:

При цьому амплітудно-частотну характеристику реального фільтра Чебишева так само як і у фільтрі Баттерворта можна отримати, помноживши нормовану частоту ξ на частоту зрізу фільтра, що розробляється. Для фільтра Чебишева нижніх частот амплітудно-частотну характеристику можна визначити так:

Амплітудно-частотна характеристика фільтра Чебишева низьких частотхарактеризується більш крутим спадом в області частот вище за верхню частоту пропускання. Цей виграш досягається за рахунок появи нерівномірності АЧХ у смузі пропускання. Нерівномірність функції апроксимації АЧХ фільтра Чебишева викликається більшою добротністю полюсів.

Детальний висновок положення полюсів апроксимуючої функції фільтра Чебишева на s-площині наведено в . Для нас важливим є те, що полюси фільтра Чебишева розташовані на еліпсі, велика вісь якого збігається з віссю нормованих частот. На цій осі еліпс проходить через точку частоти зрізу нижнього фільтра частот.

У нормованому варіанті ця точка дорівнює одиниці. Друга вісь визначається нерівномірністю функції апроксимації АЧХ у смузі пропускання. Чим більша допустима нерівномірність у смузі пропускання, тим менша ця вісь. Відбувається хіба що " сплющивание " одиничного кола фільтра Баттерворта. Полюси наближаються до осі частот. Це відповідає зростанню добротності полюсів фільтра. Чим більша нерівномірність у смузі пропускання, тим більша добротність полюсів, тим більша швидкість зростання згасання у смузі непропускання фільтра Чебишева. Кількість полюсів функції апроксимації АЧХ визначається порядком фільтра Чебишева.

Слід зазначити, що фільтра Чебишева першого порядку немає. Розташування полюсів і АЧХ фільтра Чебишева другого порядку наведено малюнку 5. Характеристика фільтра Чебишева цікава тим, що у ній чітко видно частоти полюсів. Вони відповідають максимумам АЧХ у смузі пропускання. У фільтра другого порядку частота полюса відповідає ξ =0.707.

АЧХ фільтра Баттерворт описується рівнянням

Особливості фільтра Баттерворт: нелінійна ФЧХ; частота зрізу не залежить від кількості полюсів; коливальний характер перехідної характеристики при ступінчастому вхідному сигналі Зі збільшенням порядку фільтра коливальний характер посилюється.

Фільтр Чебишева

АЧХ фільтра Чебишева описується рівнянням

,

де T n 2 (ω/ω н ) – поліном Чебишева n-го порядку.

Поліном Чебишева обчислюється за рекурентною формулою

Особливості фільтра Чебишева: - підвищена нерівномірність ФЧХ; хвилеподібна характеристика смуги пропускання. Чим вище коефіцієнт нерівномірності АЧХ фільтра у смузі пропускання, тим паче різкий спад у перехідній області при тому самому порядку. Коливання перехідного процесу при ступінчастому вхідному сигналі сильніше, ніж фільтр Баттерворта. Добротність полюсів фільтра Чебишева вища, ніж у фільтра Баттерворта.

Фільтр Бесселя

АЧХ фільтра Бесселя описується рівнянням

,

де
;B n 2 (ω/ω cp з ) – поліном Бесселя n-го порядку.

Поліном Бесселя обчислюється за рекурентною формулою

Особливості фільтра Бесселя: досить рівномірні АЧХ та ФЧХ, що апроксимуються функцією Гауса; фазовий зсув фільтра пропорційний частоті, тобто. фільтр має частотно-незалежний груповий час затримки. Частота зрізу змінюється за зміни кількості полюсів фільтра. Спад АЧХ фільтра зазвичай більш пологий, ніж у Баттерворта та Чебишева. Особливо добре цей фільтр підходить для імпульсних ланцюгів та фазочутливої ​​обробки сигналу.

Фільтр Кауера (еліптичний фільтр)

Загальний вигляд функції фільтра Кауера

.

Особливості фільтра Кауера: нерівномірна АЧХ у смузі пропускання та у смузі затримування; найрізкіший спад АЧХ із усіх наведених фільтрів; реалізує необхідні передавальні функції при меншому порядку фільтра, ніж під час використання фільтрів інших типів.

Визначення порядку фільтра

Необхідний порядок фільтра визначається за наведеними нижче формулами і округляється у бік цілого найближчого значення. Порядок фільтра Баттерворта

.

Порядку фільтра Чебишева

.

Для фільтра Бесселя немає формули розрахунку порядку, натомість наводяться таблиці відповідності порядку фільтра мінімально необхідним на заданої частоті відхилення часу затримки від одиничної величини і рівню втрат в дБ).

При розрахунку порядку фільтра Бесселя задаються такі параметри:

Допустиме відсоткове відхилення групового часу затримки на заданій частоті ω ω cp з ;

Може бути заданий рівень ослаблення коефіцієнта передачі фільтра у дБ на частоті ω , нормованої щодо ω cp з .

З цих даних визначається необхідний порядок фільтра Бесселя.

Схеми каскадів фнч 1-го та 2-го порядку

На рис. 12.4, 12.5 наведено типові схеми каскадів ФНЧ.

а) б)

Мал. 12.4. Каскади ФНЧ Баттерворта, Чебишева та Бесселя: а – 1-го порядку; б - 2-го порядку

а) б)

Мал. 12.5. Каскади ФНЧ Кауера: а – 1-го порядку; б - 2-го порядку

Загальний вид передавальних функцій ФНЧ Баттерворта, Чебишева та Бесселя 1-го та 2-го порядку

,
.

Загальний вид передавальних функцій ФНЧ Кауера 1-го та 2-го порядку

,
.

Ключовою відмінністю фільтра Кауера 2-го порядку від фільтра, що загороджує, є те, що в передавальній функції фільтра Кауера відношення частот Ω s ≠ 1.

Методика розрахунку ФНЧ Баттерворта, Чебишева та Бесселя

Ця методика побудована на основі коефіцієнтів, наведених у таблицях і справедлива для фільтрів Баттерворта, Чебишева та Бесселя. Методика розрахунку фільтрів Кауера наводиться окремо. Розрахунок ФНЧ Баттерворта, Чебишева та Бесселя починається з визначення їхнього порядку. Для всіх фільтрів задаються параметри мінімального та максимального ослаблення та частота зрізу. Для фільтрів Чебишева додатково визначається коефіцієнт нерівномірності АЧХ у смузі пропускання, а фільтрів Бесселя – груповий час затримки. Далі визначається передатна функція фільтра, яка може бути взята з таблиць, і розраховуються його каскади 1-го та 2-го порядку, дотримується наступний порядок розрахунку:

Залежно від порядку та типу фільтра вибираються схеми його каскадів, при цьому фільтр парного порядку складається з n/2 каскадів 2-го порядку, а фільтр непарного порядку - з одного каскаду 1-го порядку і ( n– 1)/2 каскадів 2-го порядку;

Для розрахунку каскаду 1-го порядку:

За вибраним типом і порядком фільтра визначається значення b 1 каскаду 1-го порядку;

Зменшуючи площу, вибирається номінал ємності C та розраховується Rза формулою (можна вибрати і R, але рекомендується вибирати C, з міркування точності)

;

Обчислюється коефіцієнт посилення До у U 1 каскаду 1-го порядку, що визначається із співвідношення

,

де До у U- Коефіцієнт посилення фільтра в цілому; До у U 2 , …, До у Un- Коефіцієнти посилення каскадів 2-го порядку;

Для реалізації посилення До у U 1 необхідно задати резистори, виходячи з наступного співвідношення

R B = R A ּ (До у U1 –1) .

Для розрахунку каскаду 2-го порядку:

Зменшуючи площу, що займає, вибираються номінали ємностей C 1 = C 2 = C;

Вибираються за таблицями коефіцієнти b 1 iі Q piдля каскадів 2-го порядку;

За заданим номіналом конденсаторів C розраховуються резистори Rза формулою

;

Для вибраного типу фільтра необхідно задати відповідний коефіцієнт посилення До у Ui = 3 – (1/Q pi) кожного каскаду 2-го порядку, за допомогою завдання резисторів, виходячи з наступного співвідношення

R B = R A ּ (До у Ui –1) ;

Для фільтрів Бесселя необхідно помножити номінали всіх ємностей на потрібний час затримки.

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ФНЧ1)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ФВЧ)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ПФ)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> РФ)

Фільтр Баттерворта 4 порядку

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ФНЧ1)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ФВЧ)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ПФ)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> РФ)

Фільтр Чебишева 3 порядку

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ФНЧ1)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ФВЧ)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ПФ)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> РФ)

Фільтр Чебишева 4 порядки

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ФНЧ1)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ФВЧ)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ПФ)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> РФ)

Фільтр Бесселя 3 порядку

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ФНЧ1)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ФВЧ)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ПФ)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> РФ)

Фільтр Бесселя 4 порядку

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ФНЧ1)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ФВЧ)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ПФ)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> РФ)

Здійснити аналіз впливу помилок завдання коефіцієнтів цифрового ФНЧ на АЧХ (змінюючи один з коефіцієнтів b j). Описати характер зміни ЧХ. Зробити висновок вплив зміни одного з коефіцієнтів на поведінку фільтра.

Аналіз впливу помилок завдання коефіцієнтів цифрового ФНЧ на АЧХ проведемо з прикладу фільтра Бесселя 4 порядку.

Виберемо величину відхилення коефіцієнтів ε, що дорівнює -1,5%, щоб максимальне відхилення АЧХ склало близько 10%.

АЧХ "ідеального" фільтра та фільтрів зі зміненими коефіцієнтами на величину ε показана на малюнку:

І

з малюнка видно, що найбільший вплив на АЧХ має зміна коефіцієнтів b 1 і b 2 (їх величина перевищує величину інших коефіцієнтів). Використовуючи негативну величину, відзначаємо, що позитивні коефіцієнти зменшують амплітуду в нижній частині спектру, а негативні - збільшують. За позитивної величини ε, все відбувається навпаки.

Проквантувати коефіцієнти цифрового фільтратаке число двійкових розрядів, щоб максимальне відхилення АЧХ від вихідної становило близько 10 - 20%. Замалювати АЧХ та описати характер її зміни.

Змінюючи кількість розрядів дробової частини коефіцієнтів b jвідзначимо, що максимальне відхилення АЧХ від вихідної не перевищує 20% виходить при ≥3.

Вид АЧХ при різних nнаведено на малюнках:

n =3, максимальне відхилення АЧХ=19,7%

n =4, максимальне відхилення АЧХ=13,2%

n =5, максимальне відхилення АЧХ=5,8%

n =6, максимальне відхилення АЧХ=1,7%

Таким чином, можна відзначити, що збільшення розрядності при квантуванні коефіцієнтів фільтра призводить до того, що фільтр АЧХ все більше прагне до вихідної. Однак необхідно зазначити, що це ускладнює фізичну реалізацію фільтра.

Квантування за різних nможна простежити за малюнком:

Інститут кольорових металів та золота СФУ

Кафедра автоматизації виробничих процесів

Типи фільтрів  ФНЧ Баттерворт  ФНЧ Чебишева I типу  Мінімальний порядок фільтру  ФНЧ із МОС 

 ФНЧ на ІНУН  Біквадратні ФНЧ  Налаштування фільтрів 2 порядку  ФНЧ непарного порядку 

 ФНЧ Чебишева II типу  Еліптичні ФНЧ  Еліптичні ФНЧ на ІНУН  Еліптичні ФНЧ на 3 конденсаторах  Біквадратні еліптичні ФНЧ  Налаштування ФНЧ Чебишева II типу та еліптичних 

 Налаштування фільтрів 2 порядку  Всепропускні фільтри  Моделювання ФНЧ  Створення схем 

 Розрахунок перехідних х-к  Розрахунок частотних х-к  Виконання роботи  Контрольні питання 

Лабораторна робота №1

”Вивчення фільтрації сигналів у середовищі Micro-Cap 6/7”

Мета роботи

1. Вивчити основні типи та характеристики фільтрів

2. Дослідити моделювання фільтрів у середовищі Micro-Cap 6.

3. Дослідити характеристики активних фільтрів у середовищі Micro-Cap 6

Теоретичні відомості

1. Типи та характеристики фільтрів

Фільтрування сигналів відіграє важливу роль у цифрових системахуправління. Вони фільтри використовуються усунення випадкових помилок виміру (накладення сигналів перешкод, шумів) (рис. 1.1). Розрізняють апаратну (схемну) та цифрову (програмну) фільтрацію. У першому випадку використовують електронні фільтри з пасивних та активних елементів, у другому випадку застосовують різні програмні методи виділення та усунення перешкод. Апаратна фільтрація застосовується в модулях УСО (пристроїв зв'язку з об'єктом) контролерів та розподілених систем збору даних та управління.

Цифрова фільтрація використовується в УВМ верхнього рівняАСУ ТП. У цьому роботі докладно розглядаються питання апаратної фільтрації.

фільтри нижніх частот - ФНЧ (пропускають низькі частоти та затримують високі частоти);

фільтри верхніх частот (пропускають високі частоти та затримують низькі частоти);

полосно-пропускающие фільтри (пропускають смугу частот і затримують частоти, розташовані вище та нижче цієї смуги);

полосно-загороджувальні фільтри (які затримують смугу частот і пропускають частоти, розташовані вище та нижче цієї смуги).

Передатна функція (ПФ) фільтра має вигляд:

де ½ Н(j w)½- модульПФ чи АЧХ; j (w) - ФЧХ; w - кутова частота (рад/с), пов'язана з частотою f (Гц) співвідношенням w = 2p f.

П Ф реалізованого фільтра має вигляд

де аі b - постійні величини, а т , n = 1, 2, 3 ... (m £ n).

Ступінь полінома знаменника nвизначає порядок фільтру. Чим він вищий, тим краще АЧХ, але складніша схема, а вартість вища.

Діапазони чи смуги частот, у яких сигнали проходять, - це смуги пропускання й у яких значення АЧХ ½ Н(j w)½ велике, а в ідеальному випадку постійно. Діапазони частот, у яких сигнали придушуються, - це смуги затримування й у них значення АЧХ мало, а ідеальному разі дорівнює нулю.

У реальних фільтрах смуга пропускання - це діапазон частот (0 -  c), де значення АЧХ більше за задану величину А 1 . Смуга затримування - це діапазон частот ( 1 -∞), в якому АЧХ менше значення - A 2 . Інтервал частот переходу від смуги пропускання до смуги затримання ( c - 1) називають перехідною областю.

Найчастіше для характеристики фільтрів замість амплітуди використовують згасання. Згасання в децибелах (дБ) визначають за формулою

Значення амплітуди А = 1 відповідає загасанню a= 0. Якщо A 1 = A/
= 1/= 0,707, то згасання на частоті w c:

На низьких частотах (нижче 0,5 МГц) параметри котушок індуктивності незадовільні: великі розмірита відхилення характеристик від ідеальних. Котушки індуктивності погано пристосовані для інтегрального виконання. Найпростіший фільтр низьких частот (ФНЧ) та його АЧХ показані на рис. 1.8.

Активні фільтри створюються на основі R, C елементів та активних елементів - операційних підсилювачів(ОУ). ОУ повинні мати: високий коефіцієнт посилення (у 50 разів більше, ніж у фільтра); високу швидкість наростання вихідної напруги (до 100-1000 В/мкс).

Фільтр парного порядку з п > 2 містить n/2 ланок другого порядку, з'єднаних каскадно. Фільтр непарного порядку з п > 2 містить ( п – 1)/2 ланок другого порядку та одна ланка першого порядку.

Для фільтрів першого порядку ПФ

де Уі З -постійні числа; P(s) - поліном другого або меншого ступеня.

У ФНЧ максимальне згасання у смузі пропускання a 1 не перевищує 3 дБ, а згасання у смузі затримування a 2 знаходиться в межах від 20 до 100 дБ. Коефіцієнт посилення ФНЧ це значення його передавальної функції при s = 0 чи значення його АЧХ при w = 0 , тобто . дорівнює А.

Баттерворт- мають монотонну АЧХ (рис. 1.12);

Чебишева (типу I) - АЧХ містить пульсації у смузі пропускання та монотонна у смузі затримування (рис. 1.13);

інверсні Чебишева(типу II) - АЧХ монотонна в смузі пропускання і має пульсації в смузі затримування (рис. 1.14);

еліптичні - АЧХ має пульсації як і смузі пропускання, і у смузі затримування (рис. 1.15).

Фільтр Баттерворта НЧ n-го порядку має АЧХ такого виду

ПФ фільтра Баттерворта як поліноміального фільтра дорівнює

Для п = 3, 5, 7 ПФ нормованогофільтра Баттерворта дорівнює

де параметри e та К -постійні числа, а З п- поліном Чебишева першого роду ступеня п, рівний

Розмах Rр можна зменшити, вибравши значення параметра досить малим.

Мінімально допустиме згасання в смузі пропускання - постійний розмах пульсацій - виявляється у децибелах як

ПФ фільтрів НЧ Чебишева та Баттерворта ідентичні за формою та описуються виразами (1.15) – (1.16). АЧХ фільтра Чебишева краще за АЧХ фільтра Баттерворта такого ж порядку, тому що у першого вже ширина перехідної області. Однак у фільтра Чебишева ФЧХ гірше (нелінійніша) ніж ФЧХ у фільтра Баттерворта.

АЧХ фільтра Чебишева даного порядкукраще АЧХ Баттерворта, тому що у фільтра Чебишева вже ширина перехідної області. Однак ФЧХ фільтра Чебишева гірше (нелінійніша) в порівнянні з ФЧХ фільтра Баттерворта.

ФЧХ фільтра Чебишева для 2-7 порядків наведені на рис. 1.18. Для порівняння на рис. 1.18 штриховою лінією зображена ФЧХ фільтра Баттерворт шостого порядку. Можна також відзначити, що ФЧХ фільтрів Чебишева високого порядку гірше ФЧХ фільтрів нижчого порядку. Це узгоджується з тим, що АЧХ фільтра Чебишева високого порядку краще АЧХ фільтра нижчого порядку.

1.1. ВИБІР МІНІМАЛЬНОГО ПОРЯДКУ ФІЛЬТРУ

На основі рис. 1.8 і 1.9 можна дійти невтішного висновку, що чим вище порядок фільтрів Баттерворта і Чебишева, краще їх АЧХ. Однак вищий порядок ускладнює схемну реалізацію і внаслідок цього підвищує вартість. Таким чином, важливим є вибір мінімально необхідного порядку фільтра, що задовольняє заданим вимогам.

Нехай у зображеній на рис. 1.2 загальної характеристикизадані максимально допустиме згасання у смузі пропускання a 1 (дБ), мінімально допустиме згасання в смузі затримування a 2 (дБ), частота зрізу w з (рад/с) або f c (Гц) та максимальна допустима ширина перехідної області T W , яка визначається наступним чином:

де логарифми можуть бути або натуральними або десятковими.

Рівняння (1.24) можна записати як

і отримане співвідношення підставити (1.25) для знаходження залежності порядку пвід ширини перехідної області, а чи не від частоти w 1 . Параметр T W / w з називається нормованоюшириною перехідної області є безрозмірною величиною. Отже, T W і w можна задавати і в радіанах на секунду, і в герцах.

Подібним чином на основі (1.18) для К = 1 знайдемо мінімальний порядок фільтра Чебишева

а з (1.25) слід, що фільтр Баттерворта, що задовольняє цим вимогам, повинен мати наступний мінімальний порядок:

Знову знаходячи найближче ціле число, отримуємо п= 4.

Цей приклад наочно ілюструє перевагу Чебишева фільтра над фільтром Баттерворта, якщо основним параметром є АЧХ. У розглянутому випадку фільтр Чебишева забезпечує ту ж крутість передавальної функції, що і фільтр Баттерворта подвоєної складності.

1.2. ФНЧ З БАГАТОГАРНИЙ ЗВОРОТНИМ ЗВ'ЯЗКОМ

І БЕЗКІНЕЧНИМ КОЕФІЦІЄНТОМ ПОСИЛЕННЯ

Для фільтрів вищого порядку рівняння (1.29) описує ПФ типової ланки другого порядку, де До –коефіцієнт його посилення; Уі С –коефіцієнти ланки, наведені у довідковій літературі. Одна з найбільш простих схемактивних фільтрів, що реалізують ПФ нижніх частот згідно (1.29), наведено на рис. 1.11.

Опір, що задовольняє рівняння (1.30), дорівнює

Доцільний підхід у тому, щоб задати номінальне значення ємності C 2 близьке до значення 10/ f c мкФ та вибрати найбільше наявне номінальне значення ємності C 1, що задовольняє рівняння (1.31). Опір мають бути близькими до значень, обчислених за (1.31). Чим вище порядок фільтра, тим більш критичними є ці вимоги. Якщо у наявності відсутні обчислені номінальні значення опорів, слід зазначити, що це значення опорів можна примножити на загальний коефіцієнт за умови, що значення ємностей діляться той самий коефіцієнт.

Як приклад припустимо, що необхідно розробити фільтр Чебишева з МОС другого порядку з нерівномірністю передачі 0,5 дБ, смугою пропускання 1000 Гц та коефіцієнтом посилення рівним 2. У цьому випадку До= 2, w з = 2π (1000), та якщо з додатку А знаходимо, що У = 1,425625 і З=1,516203. Вибираючи номінальне значення C 2 = 10/f c= 10/1000 = 0,01 мкФ = 10 -8 Ф, з (1.32) отримуємо

Тепер припустимо, що необхідно розробити фільтр Баттерворт шостого порядку з МОС, частотою зрізу f c= 1000 Гц та коефіцієнтом посилення K = 8. Він складатиметься з трьох ланок другого порядку, кожна з ПФ, яка визначається рівнянням (2.1). Виберемо коефіцієнт посилення кожної ланки K= 2, що забезпечує необхідний коефіцієнт посилення самого фільтра 2∙2∙2=8. З додатку А для першої ланки знаходимо У= 0,517638 та З = 1. Знову виберемо номінальне значення ємності З 2 = 0,01 мкФ і в цьому випадку з (2.21) знайдемо З 1 = 0,00022 мкф. Задамо номінальне значення ємності З 1 = 200 пФ та з (2.20) знайдемо значення опорів R 2 = 139,4 кОм; R 1 = 69,7 кОм; R 3 = 90,9 ком. Дві інші ланки розраховуються аналогічним способом, а потім ланки з'єднуються каскадно для реалізації фільтра Баттерворт шостого порядку.

Через свою відносну простоту фільтр з МОС є одним з найбільш популярних типів фільтрів з інвертуючим коефіцієнтом посилення. Він має також певні переваги, а саме хорошу стабільність характеристик і низький вихідний повний опір; таким чином, його можна відразу з'єднувати каскадно з іншими ланками для реалізації більш високого фільтра порядку. Недолік схеми полягає в тому, що неможливо досягти високого значення добротності Q без значного розкиду значень елементів та високої чутливості до їхньої зміни. Для досягнення добрих результатів коефіцієнт посилення До

Скоригована ФНЧ-фільтром. ... МОС-структурою, є можливість регулювання посилення та смуги фільтрапри зміні номіналів мінімального ... фільтрана мікросхемах типу... має той же порядоквеличини, що і... фільтриЧебишеваі Баттерворт, ...

При аналізі фільтрів і розрахунку їх параметрів завжди використовуються деякі стандартні терміни і має сенс дотримуватися їх із самого початку.

Припустимо, що потрібен фільтр нижніх частот з плоскою характеристикою смуги пропускання і різким переходом до смуги придушення. Остаточний нахил характеристики в смузі затримування завжди буде 6n дБ/октава, де n - число "полюсів". На кожен полюс необхідний один конденсатор (або котушка індуктивності), тому вимоги до остаточної швидкості спаду частотної характеристики фільтра, грубо кажучи, визначають його складність.

Тепер припустимо, що ви вирішили використати 6-полюсний фільтр нижніх частот. Вам гарантовано остаточний спад характеристики на високих частотах 36 дБ/октава. У свою чергу тепер можна оптимізувати схему фільтра в сенсі забезпечення максимально плоскої характеристики смуги пропускання за рахунок зменшення крутості переходу від смуги пропускання до смуги затримування. З іншого боку, допускаючи деяку нерівномірність характеристики у смузі пропускання, можна досягти крутішого переходу від смуги пропускання до смуги затримування. Третій критерій, який може виявитися важливим, визначає здатність фільтра пропускати сигнали зі спектром, що лежить у смузі пропускання, без спотворень їх форми, що викликаються фазовими зсувами. Можна також цікавитися часом наростання, викидом та часом встановлення.

Відомі методи проектування фільтрів, придатні для оптимізації будь-якої з цих характеристик або їх комбінацій. Справді, розумний вибір фільтра відбувається не так, як описано вище; як правило, спочатку задаються необхідна рівномірність характеристики смуги пропускання і необхідне згасання на деякій частоті поза смуги пропускання та інші параметри. Після цього вибирається найбільш підходяща схема з кількістю полюсів, достатньою для того, щоб задовольнялися всі ці вимоги. У наступних кількох розділах будуть розглянуті три найбільш популярних типуфільтрів, а саме фільтр Баттерворта (максимально плоска характеристика у смузі пропускання), фільтр Чебишева (найбільш крутий перехід від смуги пропускання до смуги придушення) та фільтр Бесселя (максимально плоска характеристика часу запізнення). Будь-який із цих типів фільтрів можна реалізувати за допомогою різних схем фільтрів; деякі з них ми обговоримо пізніше Всі вони також підходять для побудови фільтрів нижніх і верхніх частот і смугових фільтрів.

Фільтри Баттерворта та Чебишева.Фільтр Баттерворта забезпечує найбільш плоску характеристику смузі пропускання, що досягається ціною плавності характеристики перехідної області тобто. між смугами пропускання та затримування. Як буде показано далі, у нього також погана фазочастотна характеристика. Його амплітудно-частотна характеристика задається такою формулою:
U вих / U вх = 1/ 1/2 ,
де n визначає порядок фільтра (кількість полюсів). Збільшення числа полюсів дає можливість зробити більш плоским ділянку характеристики у смузі пропускання та збільшити крутість спаду від смуги пропускання до смуги придушення, як це показано на рис. 5.10.

Мал. 5.10 Нормовані характеристики фільтрів нижніх частот Баттерворт. Зверніть увагу на збільшення крутості спаду характеристики зі збільшенням порядку фільтра.

Вибираючи фільтр Баттерворта, ми заради максимально плоскої характеристики поступаємося всім іншим. Його характеристика йде горизонтально, починаючи від нульової частоти, перегин її починається на частоті зрізу - ця частота зазвичай відповідає точці -3 дБ.

У більшості застосувань найістотнішим обставиною і те, що нерівномірність характеристики у смузі пропускання має перевищувати певної певної величини, скажімо 1 дБ. Фільтр Чебишева відповідає цій вимогі, при цьому допускається деяка нерівномірність характерності у всій смузі пропускання, але при цьому сильно збільшується гострота її зламу. Для фільтра Чебишева задають кількість полюсів та нерівномірність у смузі пропускання. Допускаючи збільшення нерівномірності у смузі пропускання, отримуємо гостріший злам. Амплітудно-частотна характеристика цього фільтра визначається наступним співвідношенням
U вих / U вх = 1/ 1/2 ,
де З n - поліном Чебишева першого роду ступеня n, а - константа, що визначає нерівномірність характеристики в смузі пропускання. Фільтр Чебишева, як і фільтр Баттерворта, має фазочастотні характеристики, далекі від ідеальних. На рис. 5.11 представлені для порівняння характеристики 6-полюсних фільтрів нижніх частот Чебишева та Баттерворта. Як легко помітити, і той, і інший набагато кращий за 6-полюсний RC-фільтр.

Мал. 5.11. Порівняння характеристик деяких 6-полюсних фільтрів нижніх частот, що зазвичай застосовуються. Характеристики тих самих фільтрів зображені і в логарифмічному (вгорі), і в лінійному (внизу) масштабі. 1 – фільтр Бесселя; 2 – фільтр Баттерворта; 3 – фільтр Чебишева (пульсації 0,5 дБ).

Насправді фільтр Баттерворта з максимально плоскою характеристикою в смузі пропускання не настільки привабливий, як це може здатися, оскільки в будь-якому випадку доводиться миритися з деякою нерівномірністю в смузі пропускання (для фільтра Баттерворта це буде поступове зниження характеристики при наближенні до частоти с, а для фільтра Чебишева-пульсації, розподілені по всій смузі пропускання). Крім того, активні фільтри, побудовані з елементів, номінали яких мають деякий допуск, матимуть характеристику, що відрізняється від розрахункової, а це означає, що насправді на характеристиці фільтра Баттерворта завжди буде мати деяка нерівномірність у смузі пропускання. На рис. 5.12 проілюстровано вплив найбільш небажаних відхилень значень ємності конденсатора та опору резистора на характеристику фільтра.

Мал. 5.12. Вплив змін параметрів елементів на характеристику активного фільтра.

У світлі вищевикладеного дуже раціональною структурою є фільтр Чебишева. Іноді його називають рівнохвильовим фільтром, так як його характеристика в області переходу має велику крутість за рахунок того, що по смузі пропускання розподілено кілька рівновеликих пульсацій, кількість яких зростає разом із порядком фільтра. Навіть при порівняно малих пульсаціях (близько 0,1 дБ) фільтр Чебишева забезпечує набагато більшу крутість характеристики в перехідній області, ніж фільтр Баттерворта. Щоб виразити цю різницю кількісно, ​​припустимо, що потрібен фільтр з нерівномірністю характеристики у смузі пропускання не більше 0,1 дБ та загасанням 20 дБ на частоті, що відрізняється на 25% від граничної частотисмуги пропускання. Розрахунок показує, що в цьому випадку потрібен 19-полюсний фільтр Баттерворта або лише 8-полюсний фільтр Чебишева.

Думка про те, що можна миритися з пульсаціями характеристики у смузі пропускання задля збільшення крутості перехідної ділянки, доводиться до свого логічного завершення в ідеї так званого еліптичного фільтра (або фільтра Кауера), в якому допускаються пульсації характеристики як у смузі пропускання, так і у смузі затримки для забезпечення крутості перехідної ділянки навіть більшої, ніж у характеристики фільтра Чебишева. За допомогою ЕОМ можна сконструювати еліптичні фільтри так само просто, як і класичні фільтри Чебишева та Баттерворта. На рис. 5.13 наведено графічне завдання амплітудно-частотної характеристики фільтра. У цьому випадку (фільтр нижніх частот) визначаються допустимий діапазон коефіцієнта передачі фільтра (тобто. затримування.

Мал. 5.13. Визначення параметрів частотної характеристики фільтра.

Фільтри Безселя. Як було встановлено раніше, амплітудно-частотна характеристика фільтра не дає повної інформації. Фільтр із плоскою амплітудно-частотною характеристикою може мати великі зрушення фаз. Внаслідок цього форма сигналу, спектр якого лежить у смузі пропускання, буде спотворена при проходженні через фільтр. У ситуації, коли форма сигналу має першорядне значення, бажано мати у розпорядженні лінійно-фазовий фільтр (фільтр із постійним часом запізнювання). Пред'явлення до фільтра вимоги забезпечення лінійного зміни зсуву фази в залежності від частоти еквівалентно вимогі сталості часу запізнення для сигналу, спектр якого розташований у смузі пропускання, тобто відсутності спотворень форми сигналу. Фільтр Бесселя (також званий фільтром Томсона) має найбільш плоску ділянку кривої часу запізнення в смузі пропускання, подібно до того, як фільтр Баттерворта має найбільш плоску амплітудно-частотну характеристику. Щоб зрозуміти, яке покращення у часовій області дає фільтр Бесселя, подивіться на рис. 5.14 де зображені нормовані за частотою графіки часу запізнення для 6-полюсних фільтрів нижніх частот Бесселя і Баттерворта. Погана характеристика часу запізнення фільтра Баттерворт зумовлює появу ефектів типу викиду під час проходження через фільтр імпульсних сигналів. З іншого боку, за сталість часів запізнення у фільтра Бесселя доводиться розплачуватися тим, що його амплітудно-частотна характеристика має ще більш пологий перехідну ділянку між смугами пропускання і затримування, ніж навіть у характеристики фільтра Баттерворта.

Мал. 5.14. Порівняння тимчасових запізнювань для 6-смугових фільтрів нижніх частот Бесселя (1) та Баттерворта (2). Фільтр Бесселя завдяки своїм чудовим властивостям у часовій області дає найменше спотворення форми сигналу.

існує багато різних способівпроектування фільтрів, у яких робляться спроби поліпшити робочі параметри фільтра Бесселя у часовій області, частково жертвуючи сталістю часу запізнення заради зменшення часу наростання та поліпшення амплітудно-частотної характеристики. Фільтр Гауса має майже так само хороші фазочастотні характеристики, як і фільтр Бесселя, але при покращеній перехідній характеристиці. Інший цікавий клас являють собою фільтри, що дозволяють досягти однакових за величиною пульсацій кривої часу запізнення в смузі пропускання (аналогічно пульсаціям амплітудно-частотної характеристики фільтра Чебишева) і забезпечують приблизно однакове запізнення для сигналів зі спектром до смуги затримування. Ще один підхід до створення фільтрів з постійним часом запізнення - це застосування фільтрів, що називають всепропускними, званих інакше коректорами в тимчасовій області. Ці фільтри мають постійну амплітудно-частотну характеристику, а зсув фази може змінюватися згідно з конкретними вимогами. Таким чином, їх можна застосовувати для вирівнювання часу запізнення будь-яких фільтрів, зокрема фільтрів Баттерворта та Чебишева.

Порівняння фільтрів.Незважаючи на раніше висловлені зауваження про перехідну характеристику фільтрів Бесселя, він все ж таки має дуже хороші властивості в часовій області в порівнянні з фільтрами Баттерворта і Чебишева. Сам фільтр Чебишева за його дуже підходящої амплітудно-частотної характеристиці має найгірші параметри в часовій області з усіх цих трьох типів фільтрів. Фільтр Баттерворта дає компроміс між частотами та часовими характеристиками. На рис. 5.15 надано інформацію щодо робочих характеристик цих трьох типів фільтрів у часовій області, що доповнює наведені раніше графіки амплітудно-частотних характеристик. За цими даними можна дійти невтішного висновку, що у випадках, коли важливі параметри фільтра у часовій області, бажано застосовувати фільтр Бесселя.

Мал. 5.15. Порівняння перехідних процесів 6-полюсних фільтрів нижніх частот. Криві унормовані приведенням значення ослаблення 3 дБ до частоти 1 Гц. 1 – фільтр Бесселя; 2 – фільтр Баттерворта; 3 – фільтр Чебишева (пульсації 0.5 дБ).