Ikki o'zgaruvchining funktsiyasini ko'rib chiqing:

$x$ va $y$ oʻzgaruvchilari mustaqil boʻlganligi sababli, bunday funksiya uchun qisman hosila tushunchasini kiritishimiz mumkin:

$f$ funksiyasining $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ nuqtadagi $x$ oʻzgaruvchisiga nisbatan qisman hosilasi boʻladi. chegara

\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Delta x;((y)_(0)) \o'ng))(\Delta x)\]

Xuddi shunday, siz $y$ oʻzgaruvchisiga nisbatan qisman hosilani belgilashingiz mumkin:

\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Delta y \o'ng))(\Delta y)\]

Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, bir nechta o'zgaruvchili funktsiyaning qisman hosilasini topish uchun siz kerakli o'zgaruvchidan tashqari barcha boshqa o'zgaruvchilarni tuzatishingiz kerak, so'ngra ushbu kerakli o'zgaruvchiga nisbatan oddiy hosilani topishingiz kerak.

Bu shunday hosilalarni hisoblashning asosiy texnikasiga olib keladi: bundan tashqari barcha o'zgaruvchilar doimiy deb taxmin qiling va keyin funksiyani "oddiy"ni bitta o'zgaruvchi bilan farqlaganingizdek farqlang. Masalan:

$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \o'ng))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2) )) \right))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \o'ng))^(\ asosiy ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \o'ng))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(align)$

Shubhasiz, turli o'zgaruvchilarga nisbatan qisman hosilalar turli xil javoblar beradi - bu normaldir. Nima uchun, aytaylik, birinchi holatda biz $10y$ ni hosila belgisi ostidan xotirjamlik bilan olib tashlaganimizni, ikkinchi holatda esa birinchi atamani butunlay nolga tushirganimizni tushunish muhimroqdir. Bularning barchasi, farqlash amalga oshiriladigan o'zgaruvchidan tashqari barcha harflar doimiy deb hisoblanganligi sababli sodir bo'ladi: ularni olib tashlash, "yoqish" va hokazo.

"Qisman hosila" nima?

Bugun biz bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalari va ularning qisman hosilalari haqida gapiramiz. Birinchidan, bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyasi nima? Hozirgacha biz funktsiyani $y\left(x \right)$ yoki $t\left(x \right)$ yoki har qanday oʻzgaruvchi va uning bitta funksiyasi sifatida koʻrib chiqishga odatlanganmiz. Endi bizda bitta funktsiya bo'ladi, lekin bir nechta o'zgaruvchilar. $y$ va $x$ oʻzgarishi bilan funksiya qiymati oʻzgaradi. Masalan, agar $x$ ikki baravar oshsa, funktsiyaning qiymati o'zgaradi, agar $x$ o'zgarmasa, lekin $y$ o'zgarmasa, funktsiyaning qiymati ham xuddi shunday o'zgaradi.

Albatta, bir o‘zgaruvchining funksiyasi kabi bir necha o‘zgaruvchining funksiyasi ham farqlanishi mumkin. Biroq, bir nechta o'zgaruvchilar mavjud bo'lganligi sababli, turli xil o'zgaruvchilarga ko'ra farqlash mumkin. Bunday holda, bitta o'zgaruvchini farqlashda mavjud bo'lmagan aniq qoidalar paydo bo'ladi.

Avvalo, har qanday o'zgaruvchidan funktsiyaning hosilasini hisoblaganimizda, biz qaysi o'zgaruvchi uchun hosila hisoblayotganimizni ko'rsatishimiz talab qilinadi - bu qisman hosila deb ataladi. Masalan, bizda ikkita o'zgaruvchining funksiyasi bor va biz uni ham $x$ da, ham $y$ da hisoblashimiz mumkin - har bir o'zgaruvchi uchun ikkita qisman hosila.

Ikkinchidan, biz o'zgaruvchilardan birini aniqlab, unga nisbatan qisman hosilani hisoblashni boshlaganimizdan so'ng, ushbu funktsiyaga kiritilgan barcha qolganlar doimiy hisoblanadi. Masalan, $z\left(xy \right)$ da, agar biz $x$ ga nisbatan qisman hosilani ko'rib chiqsak, u holda $y$ ga har joyda duch kelsak, uni doimiy deb hisoblaymiz va unga shunday munosabatda bo'lamiz. Xususan, mahsulotning hosilasini hisoblashda qavs ichidan $y$ ni olishimiz mumkin (bizda doimiy bo'ladi), yig'indining hosilasini hisoblashda esa, agar biror joyda $y$ va ni o'z ichiga olgan ifoda hosilasini olamiz. $x$ bo'lmasa, bu ifodaning hosilasi doimiyning hosilasi sifatida "nol" ga teng bo'ladi.

Bir qarashda, men murakkab narsa haqida gapirayotgandek tuyulishi mumkin va ko'pchilik o'quvchilar boshida sarosimaga tushishadi. Biroq, qisman hosilalarda g'ayritabiiy narsa yo'q va endi biz buni aniq muammolar misolida ko'rib chiqamiz.

Radikallar va ko'phadlar bilan bog'liq masalalar

Vazifa № 1

Vaqtni behuda o'tkazmaslik uchun boshidan jiddiy misollar bilan boshlaylik.

Boshlash uchun sizga ushbu formulani eslatib o'taman:

Bu standart kursdan biladigan standart jadval qiymati.

Bu holda $z$ hosilasi quyidagicha hisoblanadi:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \o'ng))^(\prime ))_(x)\]

Keling, yana takrorlaymiz, chunki ildiz $x$ emas, balki boshqa qandaydir ifoda, bu holda $\frac(y)(x)$, keyin avval standart jadval qiymatidan foydalanamiz, keyin esa ildiz $x $ emas, balki boshqa ifoda bo'lsa, biz bir xil o'zgaruvchiga nisbatan hosilamizni ushbu ifodaning boshqa biriga ko'paytirishimiz kerak. Avval quyidagilarni hisoblaymiz:

\[((\left(\frac(y)(x) \o'ng))^(\prime ))_(x)=\frac((((y)"))_(x))\cdot x-y \cdot (((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot x-y\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)((x)^(2)))\]

Biz o'z ifodamizga qaytamiz va yozamiz:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \o'ng))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \o'ng)\]

Asosan, hammasi shu. Biroq, uni bu shaklda qoldirish noto'g'ri: bunday qurilishni keyingi hisob-kitoblar uchun ishlatish noqulay, shuning uchun uni biroz o'zgartiramiz:

\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \o'ng)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]

\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)((x)^(3))))\]

Javob topildi. Endi $y$ bilan ishlaymiz:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \o'ng))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \o'ng))^(\prime ))_(y)\]

Keling, buni alohida yozamiz:

\[((\left(\frac(y)(x) \o'ng))^(\prime ))_(y)=\frac((((y)"))_(y))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot x-y\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]

Endi biz yozamiz:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \o'ng))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \o'ng))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]

\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]

Bajarildi.

Muammo № 2

Bu misol avvalgisidan ham sodda, ham murakkabroq. Bu yanada murakkabroq, chunki ko'proq harakatlar mavjud, lekin u oddiyroq, chunki ildiz yo'q va qo'shimcha ravishda, funktsiya $ x $ va $ y $ ga nisbatan nosimmetrikdir, ya'ni. $x$ va $y$ almashtirsak, formula o'zgarmaydi. Ushbu eslatma qisman hosilani hisoblashimizni yanada soddalashtiradi, ya'ni. ulardan birini sanash kifoya, ikkinchisida esa oddiygina $x$ va $y$ almashtiriladi.

Keling, biznesga tushamiz:

\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy)(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \o‘ng ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \o'ng)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \o'ng))^(\prime ) )_(x))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \o'ng))^(2)))\]

Keling, hisoblaymiz:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]

Biroq, ko'plab talabalar bu belgini tushunishmaydi, shuning uchun uni quyidagicha yozamiz:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \o'ng))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]

Shunday qilib, biz qisman hosila algoritmining universalligiga yana bir bor amin bo'ldik: ularni qanday hisoblashimizdan qat'iy nazar, agar barcha qoidalar to'g'ri qo'llanilsa, javob bir xil bo'ladi.

Endi katta formulamizdan yana bir qisman hosilani ko'rib chiqamiz:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \o'ng))^(\prime ))_(x)=((\left((() x)^(2)) \o'ng))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \o'ng))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]

Olingan iboralarni formulamizga almashtiramiz va quyidagini olamiz:

\[\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ o'ng)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \o'ng))^(\bosh ))_(x))(((\chap) (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \o'ng))^(2)))=\]

\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right)-xy\cdot 2x)(((\left((() x)^(2))+((y)^(2))+1 \o'ng))^(2)))=\]

\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \o'ng))(((\) chap(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \o'ng))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \o'ng))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \o'ng))^(2 )))\]

Hisoblangan $x$ asosida. Xuddi shu iboradan $y$ ni hisoblash uchun keling, bir xil harakatlar ketma-ketligini bajarmaylik, balki asl ifodamizning simmetriyasidan foydalanamiz - biz asl ifodamizdagi barcha $y$ ni $x$ bilan almashtiramiz va aksincha:

\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \o'ng))((( \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]

Simmetriya tufayli biz bu ifodani ancha tezroq hisoblab chiqdik.

Yechimning nuanslari

Qisman hosilalar uchun biz oddiylar uchun ishlatadigan barcha standart formulalar ishlaydi, ya'ni qismning hosilasi. Shu bilan birga, o'ziga xos xususiyatlar paydo bo'ladi: agar $x$ ning qisman hosilasini ko'rib chiqsak, uni $x$ dan olganimizda, biz uni doimiy deb hisoblaymiz va shuning uchun uning hosilasi "nol" ga teng bo'ladi. .

Oddiy hosilalarda bo'lgani kabi, qisman (bir xil) bir nechta hisoblab chiqilishi mumkin turli yo'llar bilan. Masalan, biz hisoblagan bir xil qurilishni quyidagicha qayta yozish mumkin:

\[((\left(\frac(y)(x) \o'ng))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \o'ng)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]

Shu bilan birga, boshqa tomondan, hosila yig'indisidan formuladan foydalanishingiz mumkin. Ma'lumki, u hosilalarning yig'indisiga teng. Masalan, quyidagini yozamiz:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \o'ng))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]

Endi bularning barchasini bilgan holda, keling, jiddiyroq ifodalar bilan ishlashga harakat qilaylik, chunki haqiqiy qisman hosilalar faqat polinom va ildizlar bilan cheklanmaydi: trigonometriya, logarifmlar va ko'rsatkichli funktsiya ham mavjud. Endi buni qilaylik.

Trigonometrik funktsiyalar va logarifmlar bilan bog'liq masalalar

Vazifa № 1

Keling, quyidagi standart formulalarni yozamiz:

\[((\left(\sqrt(x) \o'ng))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]

\[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]

Ushbu bilim bilan qurollangan holda, keling, hal qilishga harakat qilaylik:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \o'ng))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left) (\cos \frac(x)(y) \o'ng))^(\prime ))_(x)=\]

Keling, bitta o'zgaruvchini alohida yozamiz:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left() \frac(x)(y)\right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Keling, dizaynimizga qaytaylik:

\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Hammasi shunday, biz uni $x$ ga topdik, endi $y$ uchun hisob-kitoblarni bajaramiz:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \o'ng))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left) (\cos \frac(x)(y) \o'ng))^(\prime ))_(y)=\]

Yana bitta ifodani hisoblaymiz:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left() \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \o'ng)\]

Biz asl ifodaga qaytamiz va yechimni davom ettiramiz:

\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Bajarildi.

Muammo № 2

Bizga kerakli formulani yozamiz:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]

Endi $x$ ga hisoblaymiz:

\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \o'ng))^(\prime ))_(x)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \o'ng)=\frac(1)(x+\ln y)\]

$x$ ga topildi. Biz $y$ ga hisoblaymiz:

\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \o'ng))^(\prime ))_(y)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \o'ng)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \o'ng))\ ]

Muammo hal qilindi.

Yechimning nuanslari

Shunday qilib, biz qaysi funktsiyaning qisman hosilasini olsak ham, trigonometriya, ildizlar yoki logarifmlar bilan ishlayotganimizdan qat'i nazar, qoidalar bir xil bo'lib qoladi.

Standart hosilalar bilan ishlashning klassik qoidalari o'zgarishsiz qoladi, ya'ni yig'indi va ayirmaning hosilasi, qism va kompleks funktsiya.

Oxirgi formula ko'pincha qisman hosilalar bilan muammolarni hal qilishda topiladi. Biz ularni deyarli hamma joyda uchratamiz. Hech qachon biz duch kelmagan bitta vazifa bo'lmagan. Ammo qaysi formuladan foydalanmasak ham, bizda yana bitta talab qo'shiladi, ya'ni qisman hosilalar bilan ishlashning o'ziga xos xususiyati. Bir o'zgaruvchini tuzatganimizdan so'ng, qolganlarning hammasi doimiydir. Xususan, $\cos \frac(x)(y)$ ifodasining $y$ ga nisbatan qisman hosilasini ko‘rib chiqsak, $y$ o‘zgaruvchi bo‘lib, $x$ hamma joyda doimiy bo‘lib qoladi. Xuddi shu narsa aksincha ishlaydi. Uni lotin belgisidan olish mumkin va doimiyning hosilasi "nol" ga teng bo'ladi.

Bularning barchasi bir xil ifodaning qisman hosilalari, ammo turli o'zgaruvchilarga nisbatan butunlay boshqacha ko'rinishi mumkinligiga olib keladi. Masalan, quyidagi iboralarni ko'rib chiqamiz:

\[((\left(x+\ln y \o'ng))^(\asosiy ))_(x)=1+0=1\]

\[((\left(x+\ln y \o'ng))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]

Ko‘rsatkichli funksiyalar va logarifmlar bilan bog‘liq masalalar

Vazifa № 1

Boshlash uchun quyidagi formulani yozamiz:

\[((\left(((e)^(x)) \o'ng))^(\asosiy ))_(x)=((e)^(x))\]

Ushbu faktni, shuningdek, murakkab funktsiyaning hosilasini bilib, hisoblashga harakat qilaylik. Endi men buni ikki xil yo'l bilan hal qilaman. Birinchi va eng aniq mahsulot hosilasi:

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \o'ng) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \o'ng))^(\prime ) )_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+(e)^(x))\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \o'ng))^(\prime ))_(x)=\]

Quyidagi ifodani alohida yechamiz:

\[((\left(\frac(x)(y) \o'ng))^(\prime ))_(x)=\frac((((x)"))_(x))\cdot y-x .((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot y-x\cdot 0)(((y)^(2))) =\frac(y)(((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]

Biz asl dizaynimizga qaytamiz va yechimni davom ettiramiz:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+(e)^(x))\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\chap(1) +\frac(1)(y)\o'ng)\]

Hammasi $x$ hisoblanadi.

Biroq, men va'da qilganimdek, endi biz xuddi shu qisman hosilani boshqacha tarzda hisoblashga harakat qilamiz. Buning uchun quyidagilarga e'tibor bering:

\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]

Keling, buni shunday yozamiz:

\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \o'ng))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \o'ng))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y) )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \o'ng)\]

Natijada, biz aynan bir xil javob oldik, ammo hisob-kitoblar miqdori kichikroq bo'lib chiqdi. Buning uchun mahsulotni bajarishda ko'rsatkichlar qo'shilishi mumkinligini ta'kidlash kifoya edi.

Endi $y$ ga hisoblaymiz:

\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \o'ng) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \o'ng))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \o'ng))^(\prime ) )_(y)=\]

\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \o'ng))^(\prime ))_(y)=\]

Keling, bitta ifodani alohida hal qilaylik:

\[((\left(\frac(x)(y) \o'ng))^(\prime ))_(y)=\frac((((x)"))_(y))\cdot y-x \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)(((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]

Keling, asl qurilishimizni hal qilishni davom ettiramiz:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \o'ng)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]

Albatta, xuddi shu hosilani ikkinchi usulda hisoblash mumkin va javob bir xil bo'ladi.

Muammo № 2

$x$ ga hisoblaymiz:

\[(((z)")_(x))=((\left(x \o'ng))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \o'ng )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \o'ng) \o'ng))^(\prime ))_(x)=\]

Keling, bitta ifodani alohida hisoblaymiz:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \o'ng) \o'ng))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \o‘ng))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)((( x)^(2))+y)\]

Keling, asl qurilishni hal qilishni davom ettiramiz: $$

Bu javob.

$y$ dan foydalangan holda analogiya bo'yicha topish mumkin:

\[(((z)")_(y))=((\left(x \o'ng))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \o'ng)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \o'ng) \o'ng))^(\prime ))_(y)=\]

Har doimgidek, biz bitta ifodani alohida hisoblaymiz:

\[((\left(((x)^(2))+y \o'ng))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \o'ng) )^(\prime ))_(y)+((y)")_(y))=0+1=1\]

Biz asosiy dizaynni hal qilishni davom ettiramiz:

Hammasi hisoblab chiqilgan. Ko'rib turganingizdek, farqlash uchun qaysi o'zgaruvchi olinganiga qarab, javoblar butunlay boshqacha.

Yechimning nuanslari

Mana bir xil funktsiyaning hosilasini ikki xil usulda qanday hisoblash mumkinligiga yorqin misol. Mana qarang:

\[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \o'ng)=( (\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \o'ng))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+(e)^(x))\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\ chap (1+\frac(1)(y) \o'ng)\]

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \o'ng)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \o'ng))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\chap(x+\frac(x)(y) \o'ng))^(\bosh ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \o'ng)\ ]

Turli yo'llarni tanlashda hisob-kitoblar miqdori boshqacha bo'lishi mumkin, ammo javob, agar hamma narsa to'g'ri bajarilgan bo'lsa, bir xil bo'ladi. Bu klassik va qisman hosilalarga ham tegishli. Shu bilan birga, yana bir bor eslatib o'taman: lotin qaysi o'zgaruvchiga qarab, ya'ni. farqlash, javob butunlay boshqacha bo'lishi mumkin. Qarang:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \o'ng) \o'ng))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \o‘ng))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 2x\]

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \o'ng) \o'ng))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \o‘ng))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 1\]

Xulosa qilib aytganda, ushbu materialning barchasini birlashtirish uchun yana ikkita misolni hisoblashga harakat qilaylik.

Trigonometrik funktsiyalar va uchta o'zgaruvchili funksiyalar bilan bog'liq masalalar

Vazifa № 1

Keling, quyidagi formulalarni yozamiz:

\[((\left(((a)^(x)) \o'ng))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]

\[((\left(((e)^(x)) \o'ng))^(\prime ))=((e)^(x))\]

Endi ifodamizni yechamiz:

\[(((z)")_(x))=((\left(((3)^(x\sin y)) \o'ng))^(\prime ))_(x)=((3) )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]

Keling, quyidagi qurilishni alohida hisoblaylik:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]

Biz asl ifodani hal qilishni davom ettiramiz:

\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]

Bu $x$ da xususiy oʻzgaruvchining yakuniy javobidir. Endi $y$ ga hisoblaymiz:

\[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \o'ng))^(\prime ))_(y)=((3) )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \o'ng))^(\prime ))_(y)=\]

Keling, bitta ifodani alohida hal qilaylik:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]

Keling, qurilishimizni oxirigacha hal qilaylik:

\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]

Muammo № 2

Bir qarashda, bu misol juda murakkab ko'rinishi mumkin, chunki uchta o'zgaruvchi mavjud. Aslida, bu bugungi video darsidagi eng oson vazifalardan biridir.

$x$ boʻyicha toping:

\[(((t)")_(x))=((\left(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \o'ng))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \o'ng))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e)) ^(z)) \o'ng))^(\asosiy ))_(x)=\]

\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y) )) \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]

Endi $y$ bilan ishlaymiz:

\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \o'ng))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \o'ng))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot) ((e)^(z)) \o'ng))^(\prime ))_(y)=\]

\[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \o'ng))^(\prime ))_(y)+(e)^(z))\cdot ((\chap) (y \o'ng))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+(e)^(z))\]

Biz javob topdik.

Endi faqat $z$ ni topish qoladi:

\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \o'ng))^(\prime ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e) )^(z)) \o'ng))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \o'ng))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]

Biz uchinchi hosilani hisoblab chiqdik, bu ikkinchi masala yechimini yakunlaydi.

Yechimning nuanslari

Ko'rib turganingizdek, bu ikki misolda murakkab narsa yo'q. Ishonchimiz komilki, murakkab funktsiyaning hosilasi tez-tez ishlatiladi va qaysi qisman hosilani hisoblashimizga qarab, biz turli xil javoblarni olamiz.

Oxirgi vazifada bizdan bir vaqtning o'zida uchta o'zgaruvchining funktsiyasi bilan shug'ullanishni so'rashdi. Buning hech qanday yomon joyi yo'q, lekin oxirida biz ularning barchasi bir-biridan sezilarli darajada farq qilishiga amin bo'ldik.

Asosiy fikrlar

Bugungi video darsdan yakuniy xulosalar quyidagilar:

1. Qisman hosilalar oddiylar kabi ko'rib chiqiladi, lekin bir o'zgaruvchiga nisbatan qisman hosilalarni hisoblash uchun boshqa barcha o'zgaruvchilar kiritiladi. bu funksiya, biz ularni doimiylar deb qabul qilamiz.
2. Qisman hosilalar bilan ishlashda biz oddiy hosilalar bilan bir xil standart formulalardan foydalanamiz: yig'indi, ayirma, mahsulot va qismning hosilasi va, albatta, murakkab funktsiyaning hosilasi.

Albatta, ushbu mavzuni to'liq tushunish uchun ushbu video darsni ko'rishning o'zi etarli emas, shuning uchun hozir mening veb-saytimda ushbu video uchun bugungi mavzuga bag'ishlangan muammolar to'plami mavjud - kiring, yuklab oling, ushbu muammolarni hal qiling va javobni tekshiring. . Va bundan keyin siz imtihonlarda ham, mustaqil ishda ham qisman hosilalar bilan bog'liq muammolarga duch kelmaysiz. Albatta, bu oliy matematika bo'yicha oxirgi dars emas, shuning uchun bizning veb-saytimizga tashrif buyuring, VKontakte-ni qo'shing, YouTube-ga obuna bo'ling, like bosing va biz bilan qoling!

Qisman hosilalar bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalari bilan bog'liq masalalarda qo'llaniladi. Topish qoidalari bitta o'zgaruvchining funktsiyalari bilan mutlaqo bir xil bo'lib, yagona farq shundaki, farqlash vaqtida o'zgaruvchilardan biri doimiy (doimiy son) deb hisoblanishi kerak.

Formula

Ikki o'zgaruvchining $ z(x,y) $ funktsiyasi uchun qisman hosilalar quyidagi $ z"_x, z"_y $ shaklida yoziladi va formulalar yordamida topiladi:

Birinchi tartibli qisman hosilalar

$$ z"_x = \frac(\qisman z)(\qisman x) $$

$$ z"_y = \frac(\qisman z)(\qisman y) $$

Ikkinchi tartibli qisman hosilalar

$$ z""_(xx) = \frac(\qisman^2 z)(\qisman x \qisman x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\qisman^2 z)(\qisman y \qisman y) $$

Aralash hosila

$$ z""_(xy) = \frac(\qisman^2 z)(\qisman x \qisman y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\qisman^2 z)(\qisman y \qisman x) $$

Kompleks funktsiyaning qisman hosilasi

a) $ z (t) = f(x(t), y(t)) $ bo‘lsin, u holda kompleks funksiyaning hosilasi quyidagi formula bilan aniqlanadi:

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\qisman z)(\qisman x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\qisman z)(\qisman y) \cdot \frac (dy)(dt)$$

b) $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $ boʻlsin, u holda funksiyaning qisman hosilalari quyidagi formula boʻyicha topiladi:

$$ \frac(\qisman z)(\qisman u) = \frac(\qisman z)(\qisman x) \cdot \frac(\qisman x)(\qisman u) + \frac(\qisman z)( \qisman y) \cdot \frac(\qisman y)(\qisman u) $$

$$ \frac(\qisman z)(\qisman v) = \frac(\qisman z)(\qisman x) \cdot \frac(\qisman x)(\qisman v) + \frac(\qisman z)( \qisman y) \cdot \frac(\qisman y)(\qisman v) $$

Yashirin funksiyaning qisman hosilalari

a) $ F(x,y(x)) = 0 $, keyin $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$ bo'lsin.

b) $ F(x,y,z)=0 $ bo'lsin, keyin $$ z"_x = - \frac(F"_x)(F"_z); z"_y = - \frac(F"_y)( F"_z) $$

Yechimlarga misollar

Murakkab funktsiyaning hosilasi formulasining isboti berilgan. Murakkab funktsiya bir yoki ikkita o'zgaruvchiga bog'liq bo'lgan holatlar batafsil ko'rib chiqiladi. O'zgaruvchilarning ixtiyoriy soni bo'yicha umumlashma amalga oshiriladi. Tarkib Shuningdek qarang: Murakkab funktsiyaning hosilasi formulasidan foydalanishga misollar Asosiy formulalar Bu yerda kompleks funksiya hosilasi uchun quyidagi formulalar hosilasini keltiramiz. Agar , keyin . Agar , keyin . Agar , keyin . Bitta o‘zgaruvchidan murakkab funksiya hosilasi X o‘zgaruvchining funksiyasi kompleks funksiya sifatida quyidagi ko‘rinishda ifodalansin: , ba'zi funktsiyalar mavjud bo'lgan joyda. Funktsiya x o'zgaruvchining ba'zi bir qiymati uchun differentsiallanadi. Funktsiya o'zgaruvchining qiymatida differentsiallanadi. U holda kompleks (kompozit) funktsiya x nuqtada differentsiallanadi va uning hosilasi formula bilan aniqlanadi: (1) . Formula (1) quyidagicha ham yozilishi mumkin: ; . Isbot Keling, quyidagi belgini kiritamiz. ; . Bu erda o'zgaruvchilarning funktsiyasi va , o'zgaruvchilarning funktsiyasi mavjud va . Ammo hisob-kitoblarni chalkashtirib yubormaslik uchun biz ushbu funktsiyalarning argumentlarini o'tkazib yuboramiz. va funktsiyalari mos ravishda x va nuqtalarda differentsial bo'lganligi sababli, bu nuqtalarda ushbu funktsiyalarning hosilalari mavjud bo'lib, ular quyidagi chegaralardir: ; . Quyidagi funktsiyani ko'rib chiqing: . u o'zgaruvchining sobit qiymati uchun, ning funksiyasi hisoblanadi. Bu aniq . Keyin . Funktsiya nuqtada differensiallanuvchi funktsiya bo'lgani uchun u shu nuqtada uzluksizdir. Shunung uchun . Keyin . Endi biz hosilani topamiz. . Formula isbotlangan. Natija Agar x o'zgaruvchining funktsiyasini kompleks funktsiyaning kompleks funktsiyasi sifatida tasvirlash mumkin bo'lsa , keyin uning hosilasi formula bilan aniqlanadi . Bu erda va ba'zi differentsial funktsiyalar mavjud. Bu formulani isbotlash uchun kompleks funksiyani differensiallash qoidasidan foydalanib hosilani ketma-ket hisoblaymiz. Murakkab funktsiyani ko'rib chiqing . Uning hosilasi . Asl funktsiyani ko'rib chiqing . Uning hosilasi . Ikki o‘zgaruvchidan murakkab funksiya hosilasi Endi murakkab funktsiya bir nechta o'zgaruvchilarga bog'liq bo'lsin. Avval ko'rib chiqaylik ikki o'zgaruvchining kompleks funksiyasi holati. X o‘zgaruvchisiga bog‘liq funksiya ikki o‘zgaruvchining kompleks funksiyasi sifatida quyidagi ko‘rinishda ifodalansin: , Qayerda va x o'zgaruvchining ba'zi bir qiymati uchun differensiallanuvchi funksiyalar mavjud; - nuqtada differentsiallanuvchi ikkita o'zgaruvchining funksiyasi , . Keyin kompleks funktsiya nuqtaning ma'lum bir qo'shnisida aniqlanadi va hosilaga ega bo'lib, u formula bilan aniqlanadi: (2) . Isbot Funktsiyalar va nuqtada differentsial bo'lganligi sababli, ular ushbu nuqtaning ma'lum bir qo'shnisida aniqlangan, nuqtada uzluksiz va ularning hosilalari nuqtada mavjud bo'lib, ular quyidagi chegaralardir: ; . Bu yerga ; . Ushbu funktsiyalarning bir nuqtada uzluksizligi tufayli bizda: ; . Funktsiya nuqtada differentsial bo'lganligi sababli, u ushbu nuqtaning ma'lum bir qo'shnisida aniqlanadi, bu nuqtada uzluksizdir va uning o'sishini quyidagi shaklda yozish mumkin: (3) . Bu yerga - funktsiyaning argumentlari qiymatlari va qiymatlari bilan oshirilganda uning o'sishi; ; - funksiyaning o‘zgaruvchilarga nisbatan qisman hosilalari va . va ning belgilangan qiymatlari uchun va o'zgaruvchilarning funktsiyalari va. Ular nolga moyil bo'ladi va: ; . Shundan beri va , keyin ; . Funktsiya ortishi: . : . (3) ni almashtiramiz: . Formula isbotlangan. Murakkab funktsiyaning bir nechta o'zgaruvchilardan hosilasi Yuqoridagi xulosani murakkab funksiyaning o'zgaruvchilari soni ikkitadan ko'p bo'lgan holatga osongina umumlashtirish mumkin. Misol uchun, agar f bo'lsa uchta o'zgaruvchining funktsiyasi, Bu , Qayerda , va x o'zgaruvchining ba'zi bir qiymati uchun differensiallanuvchi funksiyalar mavjud; - , , nuqtadagi uchta o'zgaruvchining differentsiallanuvchi funktsiyasi. Keyin, funktsiyaning differentsialligi ta'rifidan biz quyidagilarga ega bo'lamiz: (4) . Chunki, davomiylik tufayli, ; ; , Bu ; ; . (4) ga bo'lish va chegaraga o'tish orqali biz quyidagilarni olamiz: . Va nihoyat, ko'rib chiqaylik eng umumiy holat. X o‘zgaruvchining funksiyasi n ta o‘zgaruvchining kompleks funksiyasi sifatida quyidagi ko‘rinishda ifodalansin: , Qayerda x o'zgaruvchining ba'zi bir qiymati uchun differensiallanuvchi funksiyalar mavjud; - nuqtadagi n ta o'zgaruvchining differentsiallanuvchi funktsiyasi , , ... , . Keyin . Shuningdek qarang: Misol. Agar, qaerda toping. Yechim. Formula (1) ga muvofiq bizda: Misol. Agar qisman hosila va umumiy hosilasini toping . Yechim. . Formula (2) asosida biz olamiz . 2°. Bir nechta mustaqil o'zgaruvchilarning holati. Mayli z = f(x;y) - ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi X Va y, ularning har biri funksiyadir mustaqil o'zgaruvchi t: x = x(t), y = y(t). Bu holda funksiya z=f(x(t);y(t)) hisoblanadi bitta mustaqil o'zgaruvchining kompleks funktsiyasi t; o'zgaruvchilar x va y oraliq o'zgaruvchilardir. Teorema. Agar z == f(x; y) - bir nuqtada farqlanadi M(x;y) D funktsiyasi Va x = x(t) Va da =y(t) - mustaqil o'zgaruvchining differentsial funksiyalari t, keyin kompleks funksiyaning hosilasi z(t) == f(x(t);y(t)) formula bo'yicha hisoblanadi (3) Maxsus holat: z = f(x; y), bu yerda y = y(x), bular. z = f(x;y(x)) - birining murakkab funktsiyasi mustaqil o'zgaruvchi X. Bu holat oldingi holatga va o'zgaruvchining rolini kamaytiradi t o'ynaydi X. Formula (3) bo'yicha bizda: . Oxirgi formula deyiladi umumiy hosila formulalari. Umumiy holat: z = f(x;y), Qayerda x = x(u;v), y=y(u;v). Keyin z = f(x(u;v);y(u;v)) - murakkab mustaqil o'zgaruvchilar funktsiyasi Va Va v. Uning qisman hosilalarini topish mumkin (3) formuladan quyidagi tarzda foydalaniladi. Tuzatish v, uni almashtiring, mos keladigan qisman hosilalar Shunday qilib, kompleks funktsiyaning (z) har bir mustaqil o'zgaruvchiga nisbatan hosilasi (Va Va v) bu funktsiyaning (z) oraliq hosilasiga nisbatan qisman hosilalari yig'indisiga teng. o'zgaruvchilar (x va y) tegishli mustaqil o'zgaruvchiga nisbatan ularning hosilalariga (u va v). Ko'rib chiqilgan barcha holatlarda formula haqiqiy hisoblanadi (to'liq differentsialning o'zgarmaslik xususiyati). Misol. Toping va agar z= bo'lsa f(x,y), bu yerda x=uv, .

1°. Bitta mustaqil o'zgaruvchining holati. Agar z=f(x,y) x va y argumentlarining differentsiallanuvchi funksiyasi bo‘lsa, ular o‘z navbatida mustaqil o‘zgaruvchining differentsiallanuvchi funksiyalaridir. t: , keyin kompleks funksiyaning hosilasi formuladan foydalanib hisoblash mumkin

Misol. Agar, qaerda toping.

Yechim. Formula (1) ga muvofiq bizda:

Misol. Agar qisman hosila va umumiy hosilasini toping .

Yechim. .

Formula (2) asosida biz olamiz .

2°. Bir nechta mustaqil o'zgaruvchilarning holati.

Mayli z =f (x ;y) - ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi X Va y, ularning har biri mustaqil o'zgaruvchining funktsiyasidir t : x =x (t ), y =y (t). Bu holda funksiya z =f (x (t);y (t )) bitta mustaqil o‘zgaruvchining kompleks funksiyasidir t; o'zgaruvchilar x va y oraliq o'zgaruvchilardir.

Teorema. Agar z == f(x; y) - bir nuqtada farqlanadi M(x;y)D funktsiyasi va x =x (t) Va da =y (t) - mustaqil o'zgaruvchining differentsial funksiyalari t, keyin kompleks funksiyaning hosilasi z (t) == f(x (t);y (t )) formula bo'yicha hisoblanadi

Maxsus holat:z = f (x ; y), bu yerda y = y(x), bular. z = f (x ;y (x )) - bitta mustaqil o'zgaruvchining kompleks funktsiyasi X. Bu holat oldingi holatga va o'zgaruvchining rolini kamaytiradi t o'ynaydi X. Formula (3) bo'yicha bizda:

.

Oxirgi formula deyiladi umumiy hosila formulalari.

Umumiy holat:z = f (x ;y ), Qayerda x =x (u ;v),y =y (u ;v). Keyin z = f (x (u ;v);y (u ;v)) - mustaqil o'zgaruvchilarning kompleks funktsiyasi Va Va v. Uning qisman hosilalarini (3) formula yordamida quyidagi tarzda topish mumkin. Tuzatish v, unda mos keladigan qisman hosilalarni almashtiramiz

Shunday qilib, har bir mustaqil o'zgaruvchiga nisbatan kompleks funktsiyaning (z) hosilasi (Va Va v) bu funktsiyaning (z) oraliq o'zgaruvchilarga nisbatan qisman hosilalari yig'indisiga teng (x va y) tegishli mustaqil o'zgaruvchiga nisbatan ularning hosilalariga (u va v).

Ko'rib chiqilgan barcha holatlarda formula haqiqiy hisoblanadi

(to'liq differentsialning o'zgarmaslik xususiyati).

Misol. Toping va agar z = bo'lsa f(x ,y ), bu yerda x =uv , .

Yechim. (4) va (5) formulalarni qo'llash orqali biz quyidagilarni olamiz:

Misol. Funktsiya tenglamani qanoatlantirishini ko'rsating .

Yechim. Funktsiya oraliq argument orqali x va y ga bog'liq, shuning uchun

Tenglamaning chap tomoniga qisman hosilalarni almashtirsak, bizda:

Ya’ni z funksiya bu tenglamani qanoatlantiradi.

Funktsiyaning berilgan yo'nalishi va gradienti bo'yicha hosila

1°. Funksiyaning berilgan yo‘nalishdagi hosilasi. Hosil z= funktsiyalari f(x,y) bu yo'nalishda chaqirdi , bu yerda va funksiyaning nuqtalardagi qiymatlari va. Agar z funksiya differensiallanuvchi bo‘lsa, formula to‘g‘ri bo‘ladi

yo'nalishlar orasidagi burchaklar qayerda l va mos keladigan koordinata o'qlari. Berilgan yo‘nalishdagi hosila funksiyaning shu yo‘nalishdagi o‘zgarish tezligini tavsiflaydi.

Misol. z = 2x 2 - 3 2 funksiyaning P (1; 0) nuqtasida OX o‘qi bilan 120° burchak hosil qilgan yo‘nalishda hosilasini toping.

Yechim. Keling, ushbu funktsiyaning qisman hosilalari va ularning P nuqtadagi qiymatlarini topamiz.