Kompleks o'zgaruvchining chiziqli funktsiyasi z - bu a va 6 ga kompleks sonlar berilgan shakldagi funktsiya va PH 0. Chiziqli funktsiya z mustaqil o'zgaruvchining barcha qiymatlari uchun aniqlangan, bir qiymatli va, teskari funksiya ham bir qiymatli bo'lgani uchun butun z tekisligida univalentdir. Chiziqli funktsiya butun kompleks tekislikda analitikdir va uning hosilasi, shuning uchun u amalga oshiradigan xaritalash butun tekislikda mos keladi. Kasr-chiziqli funktsiya berilgan kompleks sonlar ko'rinishidagi funktsiyadir va kasr-chiziqli funktsiya z = -| dan tashqari mustaqil o'zgaruvchining barcha qiymatlari uchun aniqlangan z = -|, u bir ma'noli emas va teskari bo'lgani uchun. funksiya Kompleks o‘zgaruvchining elementar funksiyalari Kasr-ratsional funksiyalar Kuch funksiyasi Ko‘rsatkichli funksiya Logarifmik funksiya Trigonometrik va giperbolik funksiyalar bir qiymatli, butun kompleks tekislikda bir valentli, z = nuqtadan tashqari, bu mintaqada (3) funksiya analitik va uning hosilasi shuning uchun u amalga oshiradigan xaritalash mos keladi. z = - \ nuqtada (3) funktsiyani aniqlaymiz, £) = oo o'rnatamiz va cheksiz masofadagi w = oo nuqtaga z(oo) = nuqtani bog'laymiz, shunda kasr chiziqli funksiya kengaytirilganda birvalent bo'ladi. murakkab tekislik z. 1-misol.Kasr chiziqli funksiyani ko'rib chiqaylik.Tenglikdan kelib chiqadiki, r va u kompleks sonlarning modullari munosabat bilan bog'langan va bu sonlarning o'zi O nuqtadan chiqadigan nurlar ustida joylashgan va haqiqiy o'qga nisbatan simmetrikdir. Xususan, birlik aylana nuqtalari |z| = 1 birlik doirasi nuqtalariga o'ting N = 1. Bu holda kompleks songa konjugat raqam beriladi (11-rasm). Shuni ham yodda tutingki, th = -g funksiya cheksiz uzoqdagi z - oo nuqtani th - 0 nol nuqtasiga moslashtiradi. 2.2. Quvvat funksiyasi Quvvat funksiyasi bunda n natural son, butun kompleks tekislikda analitikdir; uning hosilasi = nzn~] n > 1 uchun z = 0 dan boshqa barcha nuqtalarda noldan farq qiladi. (4) formulada w va z ni eksponensial shaklda yozsak, shuni olamizki (5) formuladan kompleks sonlar aniq bo'ladi. Z\ va z2 shundayki, bu erda k butun son bo'lsa, bir w nuqtaga o'ting. Bu shuni anglatadiki, n > 1 uchun xaritalash (4) z tekisligida univalent emas. gi = zn xaritalash birvalent bo'lgan mintaqaning eng oddiy misoli a har qanday haqiqiy son bo'lgan sektordir. (7) domenida xaritalash (4) mos keladi. - ko'p qiymatli, chunki har bir kompleks son uchun z = e1v ​​F 0 uchun n ta turli xil kompleks sonlarni ko'rsatish mumkinki, ularning n-daraja z ga teng: E’tibor bering, z murakkab o‘zgaruvchining n darajali ko‘phad kompleks sonlar berilgan funksiya va ao PH 0. Har qanday darajadagi ko‘phad butun kompleks tekislikdagi analitik funksiyadir. 2.3. Kasr-ratsional funktsiya Kasr-ratsional funktsiya shakldagi funktsiya deyiladi, bu erda) kompleks o'zgaruvchining ko'phadlari z. Kasr ratsional funksiya butun tekislikda analitikdir, Q(z) maxraji yo‘qolib ketadigan nuqtalardan tashqari. 3-misol. Jukovskiy funksiyasi__ butun r tekisligida analitik, r = 0 nuqtadan tashqari. Keling, ushbu mintaqada ko'rib chiqilayotgan Jukovskiy funksiyasi univalent bo'ladigan kompleks tekislik mintaqasi uchun shartlarni aniqlaylik. M Z) va zj nuqtalar (8) funksiya bo'yicha bir nuqtaga o'tkazilsin. U holda biz shuni olamiz Demak, Jukovskiy funksiyasi birvalent bo'lishi uchun shartni qondirish zarur va etarli (9) birvalentlik shartini qanoatlantiradigan mintaqaga misol sifatida |z| doiraning tashqi ko'rinishi keltirilgan. > 1. Jukovskiy funktsiyasining hosilasi bo'lgani uchun kompleks o'zgaruvchining elementar funktsiyalari Kasr-ratsional funktsiyalar Kuchli funktsiya Ko'rsatkichli funktsiya Logarifmik funktsiya Trigonometrik va giperbolik funktsiyalar nuqtalardan tashqari hamma joyda nolga teng bo'lganligi sababli, bu funktsiya tomonidan amalga oshiriladigan sohani xaritalash konformal bo'ladi. (13-rasm). E'tibor bering, birlik diskining ichki qismi |I, shuningdek, Jukovskiy funktsiyasining birvalentlik sohasi hisoblanadi. Guruch. 13 2.4. Ko'rsatkichli funksiya Har qanday kompleks son z = x + y uchun ez ko'rsatkichli funktsiyani quyidagi munosabat bilan aniqlaymiz: x = 0 uchun Eyler formulasini olamiz: Ko'rsatkichli funktsiyaning asosiy xususiyatlarini tavsiflaymiz: 1. Haqiqiy z uchun bu ta'rif odatiy bilan mos keladi. Buni to'g'ridan-to'g'ri (10) formulaga y = 0 qo'yish orqali tekshirish mumkin.2. ez funksiyasi butun kompleks tekislikda analitik bo'lib, u uchun odatiy differentsiatsiya formulasi saqlanadi 3. ez funktsiyasi uchun qo'shish teoremasi saqlanadi. . Faraz qilaylik 4. ez funktsiyasi davriy bo'lib, xayoliy bosh davri 2xi. Haqiqatan ham, har qanday butun son uchun k Boshqa tomondan, agar (10) ta'rifidan kelib chiqadiki, bu qaerdan kelib chiqadi yoki bu erda n butun sondir. Ip (12) munosabati bo'yicha bog'langan bitta juft nuqtani o'z ichiga olmaydi, shuning uchun o'tkazilgan tadqiqotdan ko'rinib turibdiki, w = e" xaritalash chiziqda bitta (14-rasm). U hosila bo'lgani uchun, bu xaritalash konformaldir.Eslatma g.g har qanday chiziqda univalent 2.5 Logarifmik funktsiya Noma'lum berilgan tenglamadan biz olamiz Demak, funktsiyaning teskari funktsiyasi har qanday uchun aniqlanadi va formula bilan ifodalanadi, bu erda Bu ko'p qiymatli funksiya logarifmik deyiladi va quyidagicha belgilanadi arg z qiymati logarifmning bosh qiymati deyiladi va bilan belgilanadi Keyin Ln z uchun formula 2.6 Trigonometrik va giperbolik funksiyalar Eyler formulasidan (11) haqiqiy y ni olamiz. Bu yerdan har qanday kompleks z uchun sin z va cos z trigonometrik funksiyalarini quyidagi formulalar yordamida aniqlaymiz: Kompleks argumentning sinusi va kosinasi qiziq xossalarga ega. Asosiylarini sanab o‘tamiz: sinz va cos z funksiyalari: 1) uchun. haqiqiy z -x oddiy sinuslar va kosinuslar bilan mos keladi; 2) butun kompleks tekislikda analitik; 3) odatiy farqlash formulalariga bo'ysunish: 4) davriy 2p davri bilan; 5) sin z toq funksiya, cos z esa juft funksiya; 6) odatiy trigonometrik munosabatlar saqlanib qoladi. Ro'yxatdagi barcha xususiyatlarni formulalar (15) dan osongina olish mumkin. Murakkab sohadagi tgz va ctgz funktsiyalari formulalar bilan, giperbolik funktsiyalar esa "Giperbolik funktsiyalar bilan chambarchas bog'liq" formulalar bilan aniqlanadi. trigonometrik funktsiyalar. Bu bog`lanish quyidagi tengliklar bilan ifodalanadi: Kompleks argumentning sinusi va kosinasi yana bir muhim xususiyatga ega: kompleks tekislikda |\ ixtiyoriy katta musbat qiymatlarni oladi. Keling, ko'rsataylik. 6-xususiyatlar va (18) formulalardan foydalanib, biz murakkab oʻzgaruvchining elementar funksiyalari Kasr-ratsional funksiyalar Quvvat funksiyasi Koʻrsatkich funksiyasi Logarifmik funksiya Trigonometrik va giperbolik funksiyalar Qaerdan faraz qilsak, bizda 4-misol bor. Buni tekshirish oson -4 Aslida. ,

11 Kompleks o‘zgaruvchining asosiy funksiyalari

Keling, murakkab ko'rsatkichning ta'rifini eslaylik -. Keyin

Maklaurin seriyasining kengayishi. Ushbu qatorning yaqinlashish radiusi +∞ ga teng, ya'ni kompleks eksponensial butun kompleks tekislikda analitik va

(exp z)"=exp z; exp 0=1. (2)

Bu erda birinchi tenglik, masalan, darajali qatorni hadlar bo'yicha differensiallash teoremasidan kelib chiqadi.

11.1 Trigonometrik va giperbolik funksiyalar

Murakkab o'zgaruvchining sinusi funksiya deb ataladi

Kompleks o'zgaruvchining kosinusu funksiya mavjud

Kompleks o'zgaruvchining giperbolik sinusi quyidagicha aniqlanadi:

Kompleks o'zgaruvchining giperbolik kosinasi-- bu funksiya

Keling, yangi kiritilgan funktsiyalarning ba'zi xususiyatlarini ta'kidlaymiz.

A. Agar x∈ ℝ bo'lsa, u holda cos x, sin x, cosh x, sh x∈ ℝ.

B. Trigonometrik va giperbolik funktsiyalar o'rtasida quyidagi bog'liqlik mavjud:

cos iz=ch z; sin iz=ish z, ch iz=cos z; sh iz=isin z.

B. Asosiy trigonometrik va giperbolik identifikatsiyalar:

cos 2 z+sin 2 z=1; ch 2 z-sh 2 z=1.

Asosiy giperbolik identifikatsiyaning isboti.

Asosiy trigonometrik o'ziga xoslik trigonometrik va giperbolik funktsiyalar o'rtasidagi bog'liqlikni hisobga olgan holda asosiy giperbolik o'ziga xoslikdan kelib chiqadi (B xususiyatiga qarang).

G Qo'shish formulalari:

Ayniqsa,

D. Trigonometrik va giperbolik funksiyalarning hosilalarini hisoblash uchun darajali qatorni hadlar bo'yicha differensiallash teoremasini qo'llash kerak. Biz olamiz:

(cos z)"=-sin z; (sin z)"=cos z; (ch z)"=sh z; (sh z)"=ch z.

E. cos z, ch z funksiyalari juft, sin z, sin z funksiyalari toq.

J. (chastota) e z funksiya 2p i davri bilan davriydir. cos z, sin z funksiyalari davriy 2p davri bilan, ch z, sin z funksiyalari esa 2pi davri bilan davriydir. Bundan tashqari,

Yig'indi formulalarini qo'llash orqali biz olamiz

Z. Haqiqiy va xayoliy qismlarga kengaytirish:

Agar f(z) bir qiymatli analitik funksiya D domenini G domeniga bijektiv ravishda moslashtirsa, u holda D univalent soha deyiladi.

VA. D hududi k =( x+iy | 2p k≤ y<2π (k+1)} для любого целого k является областью однолистности функции e z , которая отображает ее на область ℂ* .

Isbot. (5) munosabatdan ko'rinib turibdiki, eksp:D k → ℂ xaritalash in'ektivdir. w har qanday nolga teng bo'lmagan kompleks son bo'lsin. Keyin, e x =|w| ​​tenglamalarini yechish va e iy =w/|w| haqiqiy o'zgaruvchilar bilan x va y (y yarim intervaldan tanlanadi)