Und nun folgt eine Fortsetzung des Themas, in der wir nicht nur neues Material betrachten, sondern auch Aktionen mit Matrizen erarbeiten.

Es gibt eine ganze Reihe von Eigenschaften, die sich auf Operationen mit Matrizen beziehen; in derselben Wikipedia kann man die geordneten Ränge der entsprechenden Regeln bewundern. In der Praxis sind jedoch viele Eigenschaften gewissermaßen „tot“, da nur wenige von ihnen zur Lösung realer Probleme genutzt werden. Mein Ziel ist es, die praktische Anwendung der Eigenschaften anhand konkreter Beispiele zu untersuchen. Wenn Sie eine fundierte Theorie benötigen, nutzen Sie bitte eine andere Informationsquelle.

Schauen wir uns einige Ausnahmen von der Regel an, die für die Erledigung praktischer Aufgaben erforderlich sind.

Wenn eine quadratische Matrix eine inverse Matrix hat, dann ist ihre Multiplikation kommutativ:

Eine Identitätsmatrix ist eine quadratische Matrix, deren Hauptdiagonale Einheiten sind lokalisiert und die restlichen Elemente sind gleich Null. Zum Beispiel: usw.

In diesem Fall gilt die folgende Eigenschaft: Wenn eine beliebige Matrix links oder rechts mit einer Identitätsmatrix geeigneter Größe multipliziert wird, ist das Ergebnis die ursprüngliche Matrix:

Wie Sie sehen, findet auch hier die Kommutativität der Matrizenmultiplikation statt.

Nehmen wir eine Matrix, sagen wir, die Matrix aus dem vorherigen Problem: .

Interessenten können Folgendes überprüfen und sicherstellen:

Die Einheitsmatrix für Matrizen ist ein Analogon der numerischen Einheit für Zahlen, was insbesondere an den gerade besprochenen Beispielen deutlich wird.

Für Matrizen und reelle Zahlen gilt die folgende Eigenschaft:

Das heißt, der numerische Faktor kann (und sollte) nach vorne verschoben werden, damit er die Multiplikation von Matrizen „nicht stört“.

Notiz : Im Allgemeinen ist die Formulierung der Eigenschaft unvollständig – das „Lambda“ kann irgendwo zwischen den Matrizen platziert werden, sogar am Ende. Die Regel bleibt gültig, wenn drei oder mehr Matrizen multipliziert werden.

Beispiel 4

Produkt berechnen

Lösung :

(1) Nach Eigentum Verschieben Sie den numerischen Faktor nach vorne. Die Matrizen selbst können nicht neu angeordnet werden!

(2) – (3) Führen Sie eine Matrixmultiplikation durch.

(4) Hier können Sie jede Zahl durch 10 teilen, aber dann erscheinen Dezimalbrüche zwischen den Elementen der Matrix, was nicht gut ist. Allerdings stellen wir fest, dass alle Zahlen in der Matrix durch 5 teilbar sind, also multiplizieren wir jedes Element mit .

Antwort :

Eine kleine Farce, die Sie selbst lösen können:

Beispiel 5

Berechnen Sie, ob

Die Lösung und Antwort finden Sie am Ende der Lektion.

Welche Technik ist bei der Lösung solcher Beispiele wichtig? Lassen Sie uns die Zahlen herausfinden zuallerletzt .

Hängen wir einen weiteren Waggon an die Lokomotive an:

Zunächst einmal: WAS sollte das Ergebnis der Multiplikation dreier Matrizen sein? Eine Katze bringt keine Maus zur Welt. Wenn eine Matrixmultiplikation möglich ist, ist das Ergebnis ebenfalls eine Matrix. Hmmm, nun ja, mein Algebralehrer versteht nicht, wie ich die Geschlossenheit der algebraischen Struktur relativ zu ihren Elementen erkläre =)

Das Produkt dreier Matrizen kann auf zwei Arten berechnet werden:

1) Finden und multiplizieren Sie sie dann mit der Matrix „ce“: ;

2) entweder zuerst finden, dann multiplizieren.

Die Ergebnisse werden sicherlich übereinstimmen, und theoretisch wird diese Eigenschaft als Assoziativität der Matrixmultiplikation bezeichnet:

Beispiel 6

Multiplizieren Sie Matrizen auf zwei Arten

Der Lösungsalgorithmus ist zweistufig: Wir ermitteln das Produkt zweier Matrizen und dann erneut das Produkt zweier Matrizen.

1) Verwenden Sie die Formel

Aktion eins:

Zweiter Akt:

2) Verwenden Sie die Formel

Aktion eins:

Zweiter Akt:

Antwort :

Die erste Lösung ist natürlich vertrauter und standardisierter, bei der „alles in Ordnung zu sein scheint“. Übrigens, was die Bestellung betrifft. Bei der betrachteten Aufgabe entsteht oft die Illusion, dass es sich um eine Art Permutation von Matrizen handelt. Sie sind nicht hier. Ich erinnere Sie noch einmal daran, dass es im allgemeinen Fall UNMÖGLICH ist, Matrizen neu anzuordnen. Im zweiten Absatz führen wir also im zweiten Schritt eine Multiplikation durch, tun dies aber auf keinen Fall. Mit gewöhnlichen Zahlen würde eine solche Zahl funktionieren, mit Matrizen jedoch nicht.

Die Eigenschaft der assoziativen Multiplikation gilt nicht nur für quadratische, sondern auch für beliebige Matrizen – sofern diese multipliziert werden:

Beispiel 7

Finden Sie das Produkt von drei Matrizen

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. In der Beispiellösung werden die Berechnungen auf zwei Arten durchgeführt: Analysieren, welcher Weg rentabler und kürzer ist.

Die Assoziativitätseigenschaft der Matrixmultiplikation gilt auch für eine größere Anzahl von Faktoren.

Jetzt ist es an der Zeit, zu Matrizenpotenzen zurückzukehren. Das Quadrat der Matrix wird ganz am Anfang betrachtet und die Frage auf der Tagesordnung lautet:

Auch diese Operationen sind nur für quadratische Matrizen definiert. Um eine quadratische Matrix zu würfeln, müssen Sie das Produkt berechnen:

Tatsächlich ist dies ein Sonderfall der Multiplikation von drei Matrizen gemäß der Assoziativitätseigenschaft der Matrixmultiplikation: . Und eine mit sich selbst multiplizierte Matrix ist das Quadrat der Matrix:

Somit erhalten wir die Arbeitsformel:

Das heißt, die Aufgabe wird in zwei Schritten ausgeführt: Zuerst muss die Matrix quadriert werden und dann muss die resultierende Matrix mit der Matrix multipliziert werden.

Beispiel 8

Konstruieren Sie die Matrix zu einem Würfel.

Dies ist ein kleines Problem, das Sie selbst lösen müssen.

Die Erhöhung einer Matrix in die vierte Potenz erfolgt auf natürliche Weise:

Mithilfe der Assoziativität der Matrixmultiplikation leiten wir zwei Arbeitsformeln ab. Erstens: – Dies ist das Produkt von drei Matrizen.

1) . Mit anderen Worten, wir finden zuerst , multiplizieren es dann mit „be“ – wir erhalten einen Würfel, und schließlich führen wir die Multiplikation erneut durch – es wird eine vierte Potenz geben.

2) Aber es gibt eine Lösung, die einen Schritt kürzer ist: . Das heißt, im ersten Schritt finden wir ein Quadrat und führen unter Umgehung des Würfels eine Multiplikation durch

Zusatzaufgabe zu Beispiel 8:

Erhöhen Sie die Matrix auf die vierte Potenz.

Wie bereits erwähnt, kann dies auf zwei Arten erfolgen:

1) Da der Würfel bekannt ist, führen wir eine Multiplikation durch.

2) Wenn es jedoch gemäß den Bedingungen des Problems erforderlich ist, eine Matrix zu erstellen nur bis zur vierten Potenz, dann ist es vorteilhaft, den Weg zu verkürzen – das Quadrat der Matrix zu finden und die Formel zu verwenden.

Beide Lösungen und die Antwort finden Sie am Ende der Lektion.

Ebenso wird die Matrix auf die fünfte und höhere Potenz angehoben. Aus praktischer Erfahrung kann ich sagen, dass ich manchmal auf Beispiele für die Erhöhung in die 4. Potenz stoße, mich aber an nichts über die fünfte Potenz erinnern kann. Aber für alle Fälle gebe ich den optimalen Algorithmus an:

1) finden;
2) finden;
3) Erhöhen Sie die Matrix auf die fünfte Potenz: .

Dies sind möglicherweise alle grundlegenden Eigenschaften von Matrixoperationen, die bei praktischen Problemen nützlich sein können.

Im zweiten Unterrichtsabschnitt wird ein ebenso buntes Publikum erwartet.

Wiederholen wir die üblichen Schulausdrücke mit Zahlen. Ein numerischer Ausdruck besteht aus Zahlen, mathematischen Symbolen und Klammern, zum Beispiel: . Beim Rechnen gilt die bekannte algebraische Priorität: Erstens Klammern, dann ausgeführt Potenzierung/Wurzeln, Dann Multiplikation/Division Zuguterletzt - Addition Subtraktion.

Wenn ein numerischer Ausdruck sinnvoll ist, dann ist das Ergebnis seiner Auswertung eine Zahl, zum Beispiel:

Matrixausdrücke funktionieren fast genauso! Mit dem Unterschied, dass die Hauptfiguren Matrizen sind. Plus einige spezifische Matrixoperationen, wie z. B. Transponieren und Finden der Umkehrung einer Matrix.

Betrachten Sie den Matrixausdruck , wo sind einige Matrizen. In diesem Matrixausdruck werden zuletzt drei Terme und Additions-/Subtraktionsoperationen ausgeführt.

Im ersten Term müssen Sie zunächst die Matrix „be“ transponieren: , dann die Multiplikation durchführen und die „zwei“ in die resultierende Matrix eingeben. Beachten Sie, dass die Transponierungsoperation eine höhere Priorität hat als die Multiplikation. Klammern ändern wie in numerischen Ausdrücken die Reihenfolge der Aktionen: - Hier wird zuerst eine Multiplikation durchgeführt, dann wird die resultierende Matrix transponiert und mit 2 multipliziert.

Im zweiten Term wird zunächst die Matrixmultiplikation durchgeführt und aus dem Produkt die inverse Matrix ermittelt. Wenn Sie die Klammern entfernen: , müssen Sie zuerst die inverse Matrix finden und dann die Matrizen multiplizieren: . Auch die Bestimmung der Umkehrung einer Matrix hat Vorrang vor der Multiplikation.

Beim dritten Term ist alles klar: Wir heben die Matrix in einen Würfel und tragen die „Fünf“ in die resultierende Matrix ein.

Wenn ein Matrixausdruck sinnvoll ist, dann ist das Ergebnis seiner Auswertung eine Matrix.

Alle Aufgaben stammen aus echten Tests und wir beginnen mit den einfachsten:

Beispiel 9

Gegebene Matrizen . Finden:

Lösung: Die Reihenfolge der Aktionen ist klar, zuerst wird multipliziert, dann addiert.

Die Addition kann nicht durchgeführt werden, da die Matrizen unterschiedlich groß sind.

Seien Sie nicht überrascht, bei Aufgaben dieser Art werden offensichtlich oft unmögliche Aktionen vorgeschlagen.

Versuchen wir, den zweiten Ausdruck zu berechnen:

Alles ist gut hier.

Antwort: Die Aktion kann nicht ausgeführt werden, .

Matrix A -1 heißt die inverse Matrix bezüglich Matrix A, wenn A*A -1 = E, wobei E die Identitätsmatrix n-ter Ordnung ist. Eine inverse Matrix kann nur für quadratische Matrizen existieren.

Zweck des Dienstes. Mithilfe dieses Dienstes können Sie online algebraische Komplemente, transponierte Matrizen A T, alliierte Matrizen und inverse Matrizen finden. Die Entscheidung wird direkt auf der Website (online) getroffen und ist kostenlos. Die Berechnungsergebnisse werden in einem Bericht im Word- und Excel-Format dargestellt (d. h. es besteht die Möglichkeit, die Lösung zu überprüfen). siehe Designbeispiel.

Anweisungen. Um eine Lösung zu erhalten, ist es notwendig, die Dimension der Matrix anzugeben. Füllen Sie als Nächstes Matrix A im neuen Dialogfeld aus.

Siehe auch Inverse Matrix mit der Jordano-Gauß-Methode

Beispiel Nr. 1. Schreiben wir die Matrix in der Form: